Mitä pääkohta kaavat?
Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .
Tietenkin sinun on tiedettävä myös ensimmäinen termi a 1 ja etenemisero d, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.
Tämän kaavan muistaminen (tai huutaminen) ei riitä. Sinun on ymmärrettävä sen olemus ja sovellettava kaavaa erilaisiin ongelmiin. Eikä myöskään unohtaa oikealla hetkellä, kyllä...) Miten ei unohda- Minä en tiedä. Ja täällä kuinka muistaa Tarvittaessa neuvon ehdottomasti. Niille, jotka suorittavat oppitunnin loppuun.)
Katsotaanpa siis aritmeettisen progression n:nnen termin kaavaa.
Mikä on kaava yleensä? Muuten, katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. On vielä selvitettävä, mikä se on n. termi.
Edistyminen sisään yleisnäkymä voidaan kirjoittaa numerosarjana:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen, a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - s a 120.
Kuinka voimme määritellä sen yleisesti? minkä tahansa aritmeettisen progression termi, jossa minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:
a n
Sitä se on aritmeettisen progression n:s termi. Kirjain n piilottaa kaikki jäsennumerot kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.
Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajatelkaapa, numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjaimen...
Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisen progression työskentelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja ratkaise joukko muita etenemisongelmia. Katsot itse lisää.
Aritmeettisen progression n:nnen termin kaavassa:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen termi;
n- jäsennumero.
Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d Ja n. Kaikki etenemisongelmat pyörivät näiden parametrien ympärillä.
N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Ongelma voi esimerkiksi sanoa, että etenemisen määrittää ehto:
a n = 5 + (n-1) 2.
Tällainen ongelma voi olla umpikuja... Ei ole sarjaa eikä eroa... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo ymmärtää, että tässä etenemisessä a 1 = 5 ja d = 2.
Ja se voi olla vielä pahempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, Kyllä, avaa sulut ja tuo samanlaisia? Saamme uuden kaavan:
a n = 3 + 2n.
Tämä Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä sudenkuoppa piilee. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen termi on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisella muunnetulla kaavalla.
Etenemisongelmissa on toinen merkintä - a n+1. Tämä on, kuten arvasit, etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi jos otamme jonkin ongelman a n sitten viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.
Useimmiten nimitys a n+1 löytyy toistumiskaavoista. Älä pelkää tätä pelottavaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression jäsen edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen eteneminen tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:
a n+1 = a n+3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Kuinka voimme heti laskea, vaikkapa kahdeskymmenes termi? a 20? Mutta ei ole mitään keinoa!) Ennen kuin saamme selville 19. lukukauden, emme voi laskea 20:tä. Tämä on perustavanlaatuinen ero toistuvan kaavan ja n:nnen termin kaavan välillä. Toistuva toimii vain kautta Edellinen termi, ja n:nnen termin kaava on läpi ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Laskematta koko numerosarjaa järjestyksessä.
Aritmeettisessa progressiossa toistuva kaava on helppo muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava sisään tavallisessa muodossa ja työskentele hänen kanssaan. Tällaisia tehtäviä kohdataan usein valtion tiedeakatemiassa.
Kaavan soveltaminen aritmeettisen progression n:nnelle termille.
Ensin katsotaan suora sovellus kaavat. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:
Aritmeettinen progressio (a n) on annettu. Etsi 121, jos 1 = 3 ja d = 1/6.
Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitykseen. Lisää ja lisää... Tunti tai kaksi.)
Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Päätetään.
Ehdoissa on kaikki tiedot kaavan käyttöä varten: a 1 = 3, d = 1/6. On vielä selvitettävä, mikä on tasa-arvoista n. Ei ongelmaa! Meidän on löydettävä a 121. Joten kirjoitamme:
Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä on meidän n. Tämä on tarkoitus n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaamme kaikki luvut kaavaan ja laskemme:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Se siitä. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen termin ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja me laskemme.
Haluan muistuttaa sinua asiasta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettinen progressiotermi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .
Ratkaistaan ongelma ovelammin. Törmätäänpä seuraavaan ongelmaan:
Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.
Jos sinulla on vaikeuksia, kerron sinulle ensimmäisen vaiheen. Kirjoita aritmeettisen progression n:nnelle termille kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistivihkoon:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Onko se siinä? Jos luulet niin, et ratkaise ongelmaa, kyllä...
Meillä on vielä numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi parametria. Tämä on sekä seitsemännentoista termin arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkuasia" lipsahtaa usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä asiaa", ei päätä!) ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka... ja myös ilman päätä.)
Nyt voimme yksinkertaisesti korvata tietomme typerästi kaavaan:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, korvataan:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Siinä on periaatteessa kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea se. Vastaus tulee olemaan: a 1 = 6.
Tämä tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - on suuri apu yksinkertaisissa tehtävissä. No, tietysti sinun täytyy pystyä ilmaisemaan muuttuja kaavasta, mutta mitä tehdä!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei ehkä opiskella ollenkaan...
Toinen suosittu palapeli:
Laske aritmeettisen progression ero (a n), jos a 1 =2; a 15 = 12.
Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Mietitään, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (korostan erityisesti!) n = 15. Voit vapaasti korvata tämän kaavalla:
12=2 + (15-1)d
Teemme aritmetiikkaa.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Tämä on oikea vastaus.
Tehtävät siis a n, a 1 Ja d päättänyt. Jäljelle jää vain opetella löytämään numero:
Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.
Korvaamme meille tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:
a n = 12 + (n-1) 3
Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n- tämä on joku jäsen etenemisestä numerolla n...Ja me tunnemme tämän edistyksen jäsenen! Se on 99. Emme tiedä sen numeroa. n, Joten tämä numero on se, mitä sinun on löydettävä. Korvataan etenemisen termi 99 kaavaan:
99 = 12 + (n-1) 3
Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.
Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):
Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, ei ole parametreja? Hm... Miksi meille annetaan silmät?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen termin? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 = -3,6. Ero d Voitko kertoa sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät, mikä ero aritmeettisella progressiolla on:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Joten teimme yksinkertaisimman asian. Se jää käsittelemään tuntematon numero n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä... Mitä tehdä!? No, mitä tehdä, mitä tehdä... Kytke päälle Luovat taidot!)
Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä, kyllä!)) ja korvaamme numeromme:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:
Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtolukuja progressioina ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen voimme tehdä? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain sadan ensimmäisen ja sadan toisen termien välillä. Jos numero osoittautui luonnolliseksi, ts. on positiivinen kokonaisluku, silloin luku olisi löydetyn luvun etenemisen jäsen. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: Ei.
Tehtävä, joka perustuu GIA:n todelliseen versioon:
Aritmeettinen progressio ehdon mukaan:
a n = -4 + 6,8n
Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.
Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.
Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaava on modifioitu. Sen aritmeettisen progression ensimmäinen termi piilotettu. Ei hätää, löydämme sen nyt.)
Kuten aiemmissakin ongelmissa, korvaamme n = 1 tähän kaavaan:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!
Etsimme kymmenennen termiä samalla tavalla:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Se siitä.
Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)
Oletetaan, että olette unohtaneet aritmeettisen progression n:nnelle termille hyödyllisen kaavan valtiokokeen tai yhtenäisen valtiontutkinnon vaikeassa taistelutilanteessa. Muistan jotain, mutta jotenkin epävarmaa... Tai n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?
Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Se ei ole kovin tiukka, mutta se riittää varmasti itsevarmuuteen ja oikeaan päätökseen!) Johtopäätöksen tekemiseksi riittää, että muistat aritmeettisen etenemisen alkeismerkityksen ja varaa pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.
Piirrä numeroviiva ja merkitse siihen ensimmäinen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomaamme eron d jäsenten välillä. Kuten tämä:
Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mitä toinen termi vastaa? Toinen yksi d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mikä on kolmas termi? Kolmas termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.
a 3 =a 1 + 2 d
Ymmärrätkö? Ei turhaan korostan joitakin sanoja lihavoituna. Okei, vielä yksi askel).
Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.
a 4 =a 1 + 3 d
On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, Aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon n, välilyöntien lukumäärä tahtoa n-1. Siksi kaava on (ilman muunnelmia!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää ratkaisuun koko tehokkaan matematiikan arsenaalin - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi lisätä kuvaa yhtälöön...
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.
Lämmitellä:
1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Etsi 3.
Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) Kohdassa 555 tämä ongelma ratkaistaan käyttämällä sekä kuvaa että kaavaa. Tunne erilaisuus!)
Ja tämä ei ole enää lämmittely.)
2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .
Mitä, etkö halua piirtää kuvaa?) Tietenkin! Parempi kaavan mukaan, kyllä...
3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.
Tässä tehtävässä eteneminen määritellään toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin... Kaikki eivät pysty sellaiseen saavutukseen.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!
4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.
5. Etsi tehtävän 4 ehtojen mukaisesti etenemisen pienimmän positiivisen ja suurimman negatiivisen termin summa.
6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdennentoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.
Ei helpoin tehtävä, kyllä...) "Sormenpää"-menetelmä ei toimi tässä. Sinun on kirjoitettava kaavoja ja ratkaistava yhtälöitä.
Vastaukset (sekaisin):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Tapahtui? Se on kiva!)
Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelman lukeminen vaatii varovaisuutta. Ja logiikkaa.
Ratkaisua kaikkiin näihin ongelmiin käsitellään yksityiskohtaisesti luvussa 555. Ja fantasiaelementti neljännelle ja hienovarainen kohta kuudennelle ja yleiset lähestymistavat n:nnen termin kaavaa sisältävien ongelmien ratkaisemiseen - kaikki on kuvattu. Minä suosittelen.
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)
Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen termit)
Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä uudella termillä, jota myös kutsutaan askel tai etenemisero.
Siten määrittämällä etenemisaskel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla
Aritmeettisen progression ominaisuudet
1) Jokainen aritmeettisen jakson jäsen toisesta numerosta alkaen on progression edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo
Päinvastoin on myös totta. Jos etenemisen vierekkäisten parittomien (parillisten) termien aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva termi, tämä numerosarja on aritmeettinen progressio. Tämän lauseen avulla on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa sekvenssi.
Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan
Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitat termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle
Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.
2) Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa lasketaan kaavalla
Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja löytyy melko usein yksinkertaisista elämäntilanteista.
3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sarjasta alkaen sen k:nnestä termistä, seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle
4) Käytännön kiinnostavaa on löytää k:nnestä luvusta alkaen aritmeettisen progression n:n jäsenen summa. Käytä tätä varten kaavaa
Tähän päättyy teoreettinen materiaali ja siirrytään yleisten ongelmien ratkaisemiseen käytännössä.
Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression neljäskymmenes termi 4;7;...
Ratkaisu:
Meidän tilanteen mukaan
Määritetään etenemisvaihe
Tunnetun kaavan avulla löydämme etenemisen neljäskymmenes termin
Esimerkki 2. Aritmeettinen progressio annetaan sen kolmannella ja seitsemännellä termillä. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.
Ratkaisu:
Kirjataan annetut etenemisen alkiot muistiin kaavojen avulla
Vähennämme ensimmäisen toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen
Korvaamme löydetyn arvon mihin tahansa yhtälöihin löytääksemme aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin
Laskemme etenemisen kymmenen ensimmäisen ehdon summan
Ilman hakemista monimutkaiset laskelmat Löysimme kaikki tarvittavat määrät.
Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjällä ja yhdellä sen termeistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.
Ratkaisu:
Kirjataan ylös kaava progression sadasosalle
ja löytää ensimmäinen
Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin
Etenemisen osan summan löytäminen
ja ensimmäisen 100 summa
Edistymissumma on 250.
Esimerkki 4.
Etsi aritmeettisen progression termien lukumäärä, jos:
a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan yhtälöt ensimmäisen termin ja etenemisaskeleen suhteen ja määritetään ne
Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme termien lukumäärän summassa
Teemme yksinkertaistamista
ja ratkaise toisen asteen yhtälö
Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelmaolosuhteisiin. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.
Esimerkki 5.
Ratkaise yhtälö
1+3+5+...+x=307.
Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitetaan sen ensimmäinen termi ja selvitetään etenemisero
Aritmeettisen progression summa.
Aritmeettisen progression summa on yksinkertainen asia. Sekä merkityksessä että kaavassa. Mutta tähän aiheeseen liittyy kaikenlaisia tehtäviä. Perustasosta melko kiinteään.
Ymmärretään ensin määrän merkitys ja kaava. Ja sitten päätetään. Omaksi iloksesi.) Summan merkitys on yksinkertainen kuin moo. Löytääksesi aritmeettisen progression summan, sinun on vain lisättävä huolellisesti kaikki sen ehdot. Jos näitä termejä on vähän, voit lisätä ilman kaavoja. Mutta jos on paljon, tai paljon... lisääminen on ärsyttävää.) Tässä tapauksessa kaava tulee apuun.
Määrän kaava on yksinkertainen:
Selvitetään, millaisia kirjaimia kaava sisältää. Tämä selventää asioita paljon.
S n - aritmeettisen progression summa. Lisäyksen tulos kaikille jäseniä, kanssa ensimmäinen Tekijä: kestää. On tärkeää. Ne summautuvat täsmälleen Kaikki jäseniä peräkkäin ilman ohittamista. Ja nimenomaan alkaen ensimmäinen. Ongelmissa, kuten kolmannen ja kahdeksannen ehdon summan tai viidennen ja kahdennenkymmenennen termien summan löytäminen, kaavan suora soveltaminen tuottaa pettymyksen.)
a 1 - ensimmäinen etenemisen jäsen. Kaikki on selvää täällä, se on yksinkertaista ensimmäinen rivin numero.
a n- viimeinen etenemisen jäsen. Sarjan viimeinen numero. Ei kovin tuttu nimi, mutta määrään käytettynä se on erittäin sopiva. Sitten näet itse.
n - viimeisen jäsenen numero. On tärkeää ymmärtää, että kaavassa tämä numero sama kuin lisättyjen termien määrä.
Määritellään käsite kestää jäsen a n. Hankala kysymys: mikä jäsen tulee viimeinen jos annetaan loputon aritmeettinen progressio?)
Vastataksesi itsevarmasti sinun on ymmärrettävä aritmeettisen etenemisen alkeellinen merkitys ja... lue tehtävä huolellisesti!)
Tehtävässä löytää aritmeettisen progression summa, viimeinen termi esiintyy aina (suoraan tai epäsuorasti), joita pitäisi rajoittaa. Muuten lopullinen, tietty määrä ei yksinkertaisesti ole olemassa. Ratkaisun kannalta ei ole väliä onko progressio annettu: äärellinen vai ääretön. Ei ole väliä miten se annetaan: numerosarja vai n:nnen termin kaava.
Tärkeintä on ymmärtää, että kaava toimii etenemisen ensimmäisestä termistä numeron sisältävään termiin n. Itse asiassa kaavan koko nimi näyttää tältä: aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa. Näiden aivan ensimmäisten jäsenten lukumäärä, ts. n, määräytyy yksinomaan tehtävän mukaan. Tehtävässä kaikki tämä arvokas tieto on usein salattu, kyllä... Mutta ei se haittaa, alla olevissa esimerkeissä paljastamme nämä salaisuudet.)
Esimerkkejä tehtävistä aritmeettisen progression summalla.
Ensinnäkin, hyödyllistä tietoa:
Suurin vaikeus tehtävissä, joihin liittyy aritmeettisen progression summa, on oikea määritelmä kaavan elementtejä.
Tehtävän kirjoittajat salaavat juuri nämä elementit rajattomalla mielikuvituksella.) Tärkeintä tässä ei ole pelätä. Elementtien olemuksen ymmärtäminen riittää, kun ne yksinkertaisesti tulkitaan. Katsotaanpa muutama esimerkki yksityiskohtaisesti. Aloitetaan tehtävällä, joka perustuu todelliseen GIA:han.
1. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a n = 2n-3.5. Etsi sen 10 ensimmäisen ehdon summa.
Hyvää työtä. Helppoa.) Mitä meidän on tiedettävä summan määrittämiseksi kaavan avulla? Ensimmäinen jäsen a 1, viime kausi a n, kyllä viimeisen jäsenen numero n.
Mistä saan viimeisen jäsenen numeron? n? Kyllä, siellä ehdolla! Se sanoo: etsi summa 10 ensimmäistä jäsentä. No, millä numerolla se tulee olemaan? kestää, kymmenes jäsen?) Et usko sitä, hänen numeronsa on kymmenes!) Siksi sen sijaan a n Korvataan kaavaan a 10, ja sen sijaan n- kymmenen. Toistan, että viimeisen jäsenen lukumäärä on sama kuin jäsenten lukumäärä.
Se on vielä määritettävä a 1 Ja a 10. Tämä on helppo laskea käyttämällä n:nnen termin kaavaa, joka on annettu tehtävälausekkeessa. Etkö tiedä miten tämä tehdään? Osallistu edelliseen oppituntiin, ilman tätä ei ole mitään keinoa.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Olemme selvittäneet aritmeettisen progression summan kaavan kaikkien elementtien merkityksen. Jäljelle jää vain korvata ne ja laskea:
Se siitä. Vastaus: 75.
Toinen tehtävä, joka perustuu GIA:han. Hieman monimutkaisempi:
2. Annettu aritmeettinen progressio (a n), jonka ero on 3,7; a 1 = 2,3. Etsi sen 15 ensimmäisen ehdon summa.
Kirjoitamme välittömästi summakaavan:
Tämän kaavan avulla voimme löytää minkä tahansa termin arvon sen numeron perusteella. Etsimme yksinkertaista vaihtoa:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
On vielä korvattava kaikki elementit aritmeettisen etenemisen summan kaavaan ja laskettava vastaus:
Vastaus: 423.
Muuten, jos summakaavassa sen sijaan a n Korvaamme yksinkertaisesti kaavan n:nnelle termille ja saamme:
Esitetään samanlaisia ja hankitaan uusi kaava aritmeettisen progression termien summalle:
 |
Kuten näet, n:ttä termiä ei vaadita tässä a n. Joissakin ongelmissa tämä kaava auttaa paljon, kyllä... Voit muistaa tämän kaavan. Tai voit yksinkertaisesti näyttää sen oikeaan aikaan, kuten täällä. Loppujen lopuksi sinun on aina muistettava summan kaava ja n:nnen termin kaava.)
Nyt tehtävä lyhyen salauksen muodossa):
3. Etsi kaikkien positiivisten summa kaksinumeroisia lukuja, kolmen kerrannaiset.
Vau! Ei ensimmäinen jäsen, ei viimeinen tai eteneminen ollenkaan... Kuinka elää!?
Sinun täytyy ajatella päälläsi ja vetää kaikki aritmeettisen etenemisen summan elementit pois ehdosta. Tiedämme mitä kaksinumeroiset luvut ovat. Ne koostuvat kahdesta numerosta.) Mikä kaksinumeroinen luku tulee olemaan ensimmäinen? 10, oletettavasti.) A viimeinen asia kaksinumeroinen luku? 99 tietysti! Kolminumeroiset seuraavat häntä...
Kolmen kerrannaiset... Hm... Nämä ovat kolmella jaollisia lukuja, tässä! Kymmenen ei ole jaollinen kolmella, 11 ei ole jaollinen... 12... on jaollinen! Jotain on siis tulossa. Voit jo kirjoittaa sarjan muistiin ongelman ehtojen mukaan:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Onko tämä sarja aritmeettinen progressio? Varmasti! Jokainen termi eroaa edellisestä tiukasti kolmella. Jos lisäät termiin 2 tai 4, sanotaan esimerkiksi tulos, ts. uusi luku ei ole enää jaollinen kolmella. Voit määrittää aritmeettisen etenemisen eron välittömästi: d = 3. Se tulee tarpeeseen!)
Joten voimme turvallisesti kirjoittaa muistiin joitain etenemisparametreja:
Mikä numero tulee olemaan? n viimeinen jäsen? Jokainen, joka luulee, että 99, on kohtalokkaasti väärässä... Numerot menevät aina peräkkäin, mutta jäsenemme hyppäävät kolmen yli. Ne eivät sovi yhteen.
Tässä on kaksi ratkaisua. Yksi tapa on erittäin ahkeralle. Voit kirjoittaa muistiin etenemisen, koko numerosarjan ja laskea jäsenten lukumäärän sormella.) Toinen tapa on harkitseville. Sinun on muistettava n:nnen termin kaava. Jos sovellamme kaavaa ongelmaamme, huomaamme, että 99 on etenemisen kolmaskymmenes termi. Nuo. n = 30.
Katsotaan aritmeettisen progression summan kaavaa:
Katsomme ja iloitsemme.) Poimimme ongelmanratkaisusta kaiken tarvittavan summan laskemiseen:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Jäljelle jää vain perusaritmetiikka. Korvaamme luvut kaavaan ja laskemme:
Vastaus: 1665
Toinen suosittu palapelityyppi:
4. Annettu aritmeettinen progressio:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Etsi termien summa kahdeskymmenes-kolmekymmentäneljäksi.
Katsomme summan kaavaa ja... suuttumme.) Muistutan teitä, kaava laskee määrän ensimmäisestä jäsen. Ja ongelmassa sinun on laskettava summa 20:sta lähtien... Kaava ei toimi.
Voit tietysti kirjoittaa koko etenemisen sarjaksi ja lisätä termejä 20:stä 34:ään. Mutta... se on jotenkin typerää ja kestää kauan, eikö?)
On olemassa tyylikkäämpi ratkaisu. Jaetaan sarjamme kahteen osaan. Ensimmäinen osa tulee olemaan ensimmäisestä lukukaudesta yhdeksänteentoista. Toinen osa - kahdestakymmenestä kolmeenkymmeneenneljään. On selvää, että jos laskemme ensimmäisen osan ehtojen summan S 1-19, lisätään se toisen osan ehtojen summaan S 20-34, saamme etenemisen summan ensimmäisestä termistä kolmeenkymmeneenneljänteen S 1-34. Kuten tämä:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Tästä voimme nähdä, että löytää summa S 20-34 voidaan tehdä yksinkertaisella vähennyksellä
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Molemmat oikealla puolella olevat summat otetaan huomioon ensimmäisestä jäsen, ts. vakiosummakaava soveltuu hyvin niihin. Aloitetaan?
Poimimme etenemisparametrit ongelmalauseesta:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Ensimmäisen 19 ja 34 ensimmäisen termin summan laskemiseksi tarvitsemme 19. ja 34. ehdon. Laskemme ne n:nnen termin kaavalla, kuten tehtävässä 2:
a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Ei ole mitään jäljellä. 34 ehdon summasta vähennetään 19 ehdon summa:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Vastaus: 262,5
Yksi tärkeä huomio! Tämän ongelman ratkaisemisessa on erittäin hyödyllinen temppu. Suoran laskennan sijaan mitä tarvitset (S 20-34), laskimme jotain mitä ei näytä tarvittavan - S 1-19. Ja sitten he päättivät S 20-34, hylkäämällä tarpeettomat täydellisestä tuloksesta. Tällainen "korvien pettäminen" säästää sinut usein pahoilta ongelmilta.)
Tällä oppitunnilla tarkastelimme tehtäviä, joissa riittää ymmärtää aritmeettisen progression summan merkitys. No, sinun täytyy tietää pari kaavaa.)
Kun ratkaiset mitä tahansa aritmeettisen progression summaa koskevaa ongelmaa, suosittelen heti kirjoittamaan kaksi pääkaavaa tästä aiheesta.
Kaava n:nnelle termille:
Nämä kaavat kertovat heti, mitä etsiä ja mihin suuntaan ajatella ongelman ratkaisemiseksi. Auttaa.
Ja nyt itsenäisen ratkaisun tehtävät.
5. Laske kaikkien niiden kaksinumeroisten lukujen summa, jotka eivät ole jaollisia kolmella.
Hienoa?) Vihje on piilotettu muistiinpanoon tehtävään 4. No, tehtävä 3 auttaa.
6. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi sen 24 ensimmäisen ehdon summa.
Epätavallinen?) Tämä on toistuva kaava. Voit lukea siitä edellisellä oppitunnilla. Älä sivuuta linkkiä, tällaisia ongelmia löytyy usein valtion tiedeakatemiasta.
7. Vasya säästi rahaa lomaa varten. Jopa 4550 ruplaa! Ja päätin antaa suosikkihenkilölleni (itselleni) muutaman päivän onnea). Elä kauniisti kieltämättä itseltäsi mitään. Käytä 500 ruplaa ensimmäisenä päivänä ja jokaisena seuraavana päivänä kuluta 50 ruplaa enemmän kuin edellinen! Kunnes rahat loppuvat. Kuinka monta onnellista päivää Vasyalla oli?
Onko se vaikeaa?) Auttaako se? lisäkaava tehtävästä 2.
Vastaukset (sekaisin): 7, 3240, 6.
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)
Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
I. V. Jakovlev | Matemaattiset materiaalit | MathUs.ru
Aritmeettinen progressio
Aritmeettinen progressio on erityinen tyyppi jatkojakso. Siksi, ennen kuin määrittelemme aritmeettisen (ja sitten geometrisen) etenemisen, meidän on keskusteltava lyhyesti numerosarjan tärkeästä käsitteestä.
Jakso
Kuvittele laite, jonka näytöllä näkyvät tietyt numerot peräkkäin. Sanotaan 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Tämä numerosarja on täsmälleen esimerkki sekvenssistä.
Määritelmä. Numerosarja on joukko numeroita, joissa jokaiselle numerolle voidaan antaa yksilöllinen numero (eli liittää yhteen luonnolliseen numeroon)1. Numeroa, jonka numero on n, kutsutaan n. termi sekvenssejä.
Joten yllä olevassa esimerkissä ensimmäinen numero on 2, tämä on sekvenssin ensimmäinen jäsen, jota voidaan merkitä a1:llä; numero viisi on numero 6 on sekvenssin viides termi, jota voidaan merkitä a5:llä. Yleensä sekvenssin n:s termi on merkitty an (tai bn, cn, jne.).
Erittäin kätevä tilanne on, kun sekvenssin n:s termi voidaan määrittää jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava an = 2n 3 määrittää sekvenssin: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Kaava an = (1)n määrittää sekvenssin: 1; 1; 1; 1; : : :
Jokainen numerosarja ei ole sarja. Siten segmentti ei ole sekvenssi; se sisältää "liian monta" numeroa uudelleen numeroitavaksi. Kaikkien reaalilukujen joukko R ei myöskään ole sarja. Nämä tosiasiat todistetaan matemaattisen analyysin aikana.
Aritmeettinen progressio: perusmääritelmät
Nyt olemme valmiita määrittelemään aritmeettisen progression.
Määritelmä. Aritmeettinen progressio on sarja, jossa jokainen termi (alkaen toisesta) yhtä suuri kuin summa edellinen termi ja jokin kiinteä luku (kutsutaan aritmeettisen progression erotukseksi).
Esimerkiksi sekvenssi 2; 5; 8; yksitoista; : : : on aritmeettinen progressio, jossa on ensimmäinen termi 2 ja erotus 3. Jakso 7; 2; 3; 8; : : : on aritmeettinen progressio, jossa on ensimmäinen termi 7 ja erotus 5. Sekvenssi 3; 3; 3; : : : on aritmeettinen progressio, jonka erotus on nolla.
Vastaava määritelmä: sekvenssiä an kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi, jos ero an+1 an on vakioarvo (riippumaton n:stä).
Aritmeettista progressiota kutsutaan kasvavaksi, jos sen ero on positiivinen, ja laskevaksi, jos sen ero on negatiivinen.
1 Tässä on ytimekkäämpi määritelmä: sekvenssi on joukkoon määritetty funktio luonnolliset luvut. Esimerkiksi reaalilukujen sarja on funktio f: N ! R.
Oletusarvoisesti sarjoja pidetään äärettöminä, eli ne sisältävät äärettömän määrän numeroita. Mutta kukaan ei vaivaa meitä harkitsemaan äärellisiä sekvenssejä; itse asiassa mitä tahansa äärellistä lukujoukkoa voidaan kutsua äärelliseksi sekvenssiksi. Esimerkiksi loppusekvenssi on 1; 2; 3; 4; 5 koostuu viidestä numerosta.
Kaava aritmeettisen progression n:nnelle termille
On helppo ymmärtää, että aritmeettinen eteneminen määräytyy täysin kahdella numerolla: ensimmäisellä termillä ja erolla. Siksi herää kysymys: kuinka, kun tiedetään ensimmäinen termi ja ero, löytää aritmeettisen progression mielivaltainen termi?
Ei ole vaikeaa saada vaadittua kaavaa aritmeettisen progression n:nnelle termille. Anna an
aritmeettinen eteneminen erolla d. Meillä on: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
Erityisesti kirjoitamme: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
ja nyt käy selväksi, että kaava an on: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Tehtävä 1. Aritmeettisessa progressiossa 2; 5; 8; yksitoista; : : : etsi kaava n:nnelle termille ja laske sadas termi.
Ratkaisu. Kaavan (1) mukaan meillä on:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Aritmeettisen etenemisen ominaisuus ja etumerkki
Aritmeettisen etenemisen ominaisuus. Aritmeettisessa progressiossa an millä tahansa
Toisin sanoen, jokainen aritmeettisen progression jäsen (toisesta alkaen) on vierekkäisten jäsentensä aritmeettinen keskiarvo.
Todiste. Meillä on: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
mitä vaadittiin.
Yleisemmin aritmeettinen progressio an täyttää tasa-arvon
a n = a n k+ a n+k
mille tahansa n > 2:lle ja mille tahansa luonnolliselle k:lle< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Osoittautuu, että kaava (2) ei ole vain välttämätön, vaan myös riittävä ehto sille, että sekvenssi on aritmeettinen progressio.
Aritmeettinen etenemismerkki. Jos yhtälö (2) pätee kaikille n > 2, niin sekvenssi an on aritmeettinen progressio.
Todiste. Kirjoitetaan kaava (2) uudelleen seuraavasti:
a na n 1= a n+1a n:
Tästä voidaan nähdä, että ero an+1 an ei riipu n:stä, ja tämä tarkoittaa juuri sitä, että jono an on aritmeettinen progressio.
Aritmeettisen progression ominaisuus ja etumerkki voidaan muotoilla yhden lauseen muodossa; Mukavuuden vuoksi teemme tämän kolmelle numerolle (tämä tilanne esiintyy usein ongelmissa).
Aritmeettisen progression karakterisointi. Kolme lukua a, b, c muodostavat aritmeettisen progression silloin ja vain jos 2b = a + c.
Tehtävä 2. (MSU, kauppatieteiden tiedekunta, 2007) Kolme numeroa 8x, 3 x2 ja 4 esitetyssä järjestyksessä muodostavat laskevan aritmeettisen progression. Etsi x ja osoita tämän etenemisen ero.
Ratkaisu. Aritmeettisen progression ominaisuuden perusteella meillä on:
2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x = 5:
Jos x = 1, niin saadaan laskeva eteneminen 8, 2, 4 erolla 6. Jos x = 5, niin saadaan kasvava progressio 40, 22, 4; tämä tapaus ei ole sopiva.
Vastaus: x = 1, ero on 6.
Aritmeettisen jakson ensimmäisen n ehdon summa
Legenda kertoo, että eräänä päivänä opettaja käski lasten löytää lukujen summan 1-100 ja istuutui hiljaa lukemaan sanomalehteä. Kuitenkin muutamassa minuutissa eräs poika sanoi, että hän oli ratkaissut ongelman. Tämä oli 9-vuotias Carl Friedrich Gauss, myöhemmin yksi historian suurimmista matemaatikoista.
Pikku Gaussin idea oli seuraava. Antaa
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Kirjoitetaan tämä summa käänteisessä järjestyksessä:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
ja lisää nämä kaksi kaavaa:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Jokainen suluissa oleva termi on 101, ja tällaisia termejä on yhteensä 100. Siksi
2S = 101 100 = 10100;
Käytämme tätä ideaa summakaavan johtamiseen
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Kaavan (3) käyttökelpoinen muunnos saadaan, jos korvaamme siihen n:nnen termin an = a1 + (n 1)d kaavan:
2a1 + (n 1)d | |||||
Tehtävä 3. Etsi kaikkien 13:lla jaollisten positiivisten kolminumeroisten lukujen summa.
Ratkaisu. Kolminumeroiset numerot, luvun 13 kerrannaiset, muodostavat aritmeettisen progression ensimmäisen termin 104 ja erotuksen 13 kanssa; Tämän etenemisen n:nnellä termillä on muoto:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Selvitetään kuinka monta termiä etenemisemme sisältää. Tätä varten ratkaisemme epätasa-arvon:
6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Eli etenemisessämme on 69 jäsentä. Kaavan (4) avulla löydämme tarvittavan määrän:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674:2
Tai aritmetiikka on järjestetyn numeerisen sekvenssin tyyppi, jonka ominaisuuksia tutkitaan koulualgebran kurssilla. Tässä artikkelissa käsitellään yksityiskohtaisesti kysymystä aritmeettisen progression summan löytämisestä.
Millainen eteneminen tämä on?
Ennen kuin siirryt kysymykseen (miten löytää aritmeettisen progression summa), on syytä ymmärtää, mistä puhumme.
Mitä tahansa reaalilukujen sarjaa, joka saadaan lisäämällä (vähentämällä) jokin arvo jokaisesta edellisestä numerosta, kutsutaan algebralliseksi (aritmeettiseksi) progressioksi. Tämä määritelmä käännettynä matemaattiselle kielelle saa muotoa:
Täällä minä - sarjanumero osa sarjasta a i . Näin ollen, kun tiedät vain yhden aloitusnumeron, voit helposti palauttaa koko sarjan. Kaavan parametria d kutsutaan etenemiseroksi.
Voidaan helposti osoittaa, että tarkasteltavana olevalle lukusarjalle pätee seuraava yhtäläisyys:
a n = a 1 + d* (n - 1).
Eli löytääksesi n:nnen elementin arvon järjestyksessä, sinun tulee lisätä erotus d ensimmäiseen elementtiin a 1 n-1 kertaa.
Mikä on aritmeettisen progression summa: kaava
Ennen kuin annat ilmoitetun määrän kaavan, on syytä harkita yksinkertaista erikoistapaus. Kun otetaan huomioon luonnollisten lukujen eteneminen 1:stä 10:een, sinun on löydettävä niiden summa. Koska etenemisessä (10) on vähän termejä, on mahdollista ratkaista ongelma suoraan, eli summata kaikki elementit järjestyksessä.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
On syytä harkita yhtä mielenkiintoista asiaa: koska jokainen termi eroaa seuraavasta samalla arvolla d = 1, niin ensimmäisen ja yhdeksännen ja niin edelleen parillinen summa antaa saman tuloksen. Todella:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Kuten näette, näitä summia on vain 5, eli tasan kaksi kertaa vähemmän kuin sarjan elementtien lukumäärä. Sitten kertomalla summien lukumäärä (5) kunkin summan tuloksella (11), saadaan ensimmäisessä esimerkissä saatu tulos.
Jos yleistämme nämä argumentit, voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Tämä lauseke osoittaa, että kaikkia rivin alkioita ei tarvitse laskea yhteen, vaan riittää, että tiedät ensimmäisen a 1:n ja viimeisen a n:n arvot sekä kokonaismäärä n termejä.
Gaussin uskotaan ensimmäisenä miettineen tätä tasa-arvoa etsiessään ratkaisua tiettyyn ongelmaan. koulun opettaja tehtävä: summaa ensimmäiset 100 kokonaislukua.
Alkioiden summa m:stä n:ään: kaava
Edellisessä kappaleessa annettu kaava vastaa kysymykseen, kuinka aritmeettisen progression summa (ensimmäiset alkiot) löydetään, mutta usein tehtävissä on tarpeen summata numerosarja etenemisen keskellä. Kuinka tehdä se?
Helpoin tapa vastata tähän kysymykseen on tarkastella seuraavaa esimerkkiä: olkoon tarpeen löytää termien summa m:nnestä n:nneen. Ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee esittää etenemisen annettu segmentti m:stä n:ään uuden numerosarjan muodossa. Tässä näkymässä mth termi a m on ensimmäinen, ja a n on numeroitu n-(m-1). Tässä tapauksessa summan vakiokaavaa käyttämällä saadaan seuraava lauseke:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Esimerkki kaavojen käytöstä
Tietäen kuinka löytää aritmeettisen progression summa, kannattaa harkita yksinkertaista esimerkkiä yllä olevien kaavojen käytöstä.
Alla on annettu numerosarja, sinun pitäisi löytää sen ehtojen summa alkaen 5. ja päättyen 12.:
Annetut numerot osoittavat, että ero d on yhtä suuri kuin 3. Käyttämällä n:nnen elementin lauseketta voit löytää etenemisen 5. ja 12. jäsenen arvot. Se käy ilmi:
a5 = a1 + d*4 = -4 + 3*4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Tietäen annettujen päissä olevien numeroiden arvot algebrallinen eteneminen, ja tiedät myös, mitä numeroita rivillä ne vievät, voit käyttää kaavaa edellisessä kappaleessa saadulle summalle. Siitä tulee ilmi:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
On syytä huomata, että tämä arvo voidaan saada eri tavalla: etsi ensin 12 ensimmäisen elementin summa vakiokaavalla, laske sitten neljän ensimmäisen elementin summa samalla kaavalla ja vähennä sitten toinen ensimmäisestä summasta.
