Antiderivatiivisten funktioiden löytämiseen on kolme perussääntöä. Ne ovat hyvin samanlaisia ​​kuin vastaavat erottelusäännöt.

Sääntö 1

Jos F on antiderivaata jollekin funktiolle f ja G on antiderivaata jollekin funktiolle g, niin F + G on antiderivaata f + g:lle.

Antijohdannaisen määritelmän mukaan F' = f. G' = g. Ja koska nämä ehdot täyttyvät, funktioiden summan derivaatan laskentasäännön mukaan meillä on:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Sääntö 2

Jos F on antiderivaata jollekin funktiolle f ja k on jokin vakio. Tällöin k*F on funktion k*f antiderivaata. Tämä sääntö seuraa kompleksisen funktion derivaatan laskemista koskevasta säännöstä.

Meillä on: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Sääntö 3

Jos F(x) on jokin f(x:n) antiderivaata ja k ja b ovat joitain vakioita ja k on nollasta poikkeava, niin (1/k)*F*(k*x+b) on arvon antiderivaata. f (k*x+b).

Tämä sääntö seuraa kompleksisen funktion derivaatan laskentasäännöstä:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä näiden sääntöjen soveltamisesta:

Esimerkki 1. löytö yleinen muoto antiderivaatat funktiolle f(x) = x^3 +1/x^2. Funktiolle x^3 yksi antiderivaatteista on funktio (x^4)/4, ja funktion 1/x^2 yksi antiderivaatteista on funktio -1/x. Ensimmäistä sääntöä käyttämällä meillä on:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Esimerkki 2. Etsitään funktion f(x) = 5*cos(x) antiderivaatojen yleinen muoto. Cos(x)-funktiolle yksi antiderivaatteista on sin(x)-funktio. Jos käytämme nyt toista sääntöä, meillä on:

F(x) = 5*sin(x).

Esimerkki 3 Etsi jokin funktion y = sin(3*x-2) antiderivaatta. Sin(x)-funktiolle yksi antiderivaatteista on -cos(x)-funktio. Jos nyt käytämme kolmatta sääntöä, saamme lausekkeen antiderivaatille:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Esimerkki 4. Etsi antiderivaata funktiolle f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antiderivaata funktiolle 1/x^5 on funktio (-1/(4*x^4)). Nyt, käyttämällä kolmatta sääntöä, saamme.

Olemme nähneet, että derivaatalla on lukuisia sovelluksia: derivaatta on liikkeen nopeus (tai yleisemmin minkä tahansa prosessin nopeus); johdannainen on kaltevuus tangentti funktion kuvaajalle; derivaatan avulla voit tutkia funktiota monotonisuuden ja äärimmäisyyden suhteen; Johdannainen auttaa ratkaisemaan optimointiongelmia.

Mutta sisään oikea elämä Myös käänteisongelmat on ratkaistava: esimerkiksi ongelman lisäksi nopeuden löytäminen tunnetusta liikelaista on myös ongelma liikkeen lain palauttamisessa tunnetusta nopeudesta. Tarkastellaanpa yhtä näistä ongelmista.

Esimerkki 1 Liikkuu suorassa linjassa aineellinen kohta, sen liikkeen nopeus hetkellä t saadaan kaavalla u = tg. Löydä liikkeen laki.

Ratkaisu. Olkoon s = s(t) haluttu liikelaki. Tiedetään, että s"(t) = u"(t). Joten ongelman ratkaisemiseksi meidän on valittava toiminto s = s(t), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin tg. Se on helppo arvata

Huomaamme heti, että esimerkki on ratkaistu oikein, mutta epätäydellisesti. Olemme saaneet, että Itse asiassa ongelmalla on äärettömän monta ratkaisua: mikä tahansa muodon funktio mielivaltainen vakio, voi toimia liikkeen lakina, koska

Tehtävän tarkentamiseksi jouduimme korjaamaan alkutilanteen: osoittamaan liikkuvan pisteen koordinaatin jossain ajankohtana, esimerkiksi t=0. Jos esimerkiksi s (0) \u003d s 0, niin yhtälöstä saadaan s (0) \u003d 0 + C, eli S 0 \u003d C. Nyt liikelaki on yksiselitteisesti määritelty:
Matematiikassa toistensa käänteisoperaatioille annetaan eri nimiä, keksitään erityisiä nimityksiä: esimerkiksi neliöinti (x 2) ja irrotus neliöjuuri sini (sinx) ja arcsininen(arcsin x) jne. Prosessi johdannaisen löytämiseksi suhteessa annettu toiminto kutsutaan differentiaatioksi ja käänteisoperaatioksi, ts. prosessi, jossa funktio löydetään tietyn derivaatan avulla - integroimalla.
Itse termi "johdannainen" voidaan perustella "maailmallisella tavalla": funktio y - f (x) "tuottaa maailmaan" uuden funktion y "= f" (x) Funktio y \u003d f (x) toimii ikään kuin "vanhempana" , mutta matemaatikot eivät tietenkään kutsu sitä "vanhemmiksi" tai "tuottajaksi", he sanovat, että se on funktioon y "=f" (x) nähden ensisijainen kuva tai lyhyesti sanottuna antijohdannainen.

Määritelmä 1. Funktiota y \u003d F (x) kutsutaan antiderivaataksi funktiolle y \u003d f (x) tietyllä aikavälillä X, jos kaikille x:lle yhtälö F "(x) \u003d f (x) on tosi .

Käytännössä väliä X ei yleensä määritellä, vaan se on implisiittistä (funktion luonnollisena alueena).

Tässä on joitain esimerkkejä:

1) Funktio y \u003d x 2 on antiderivaata funktiolle y \u003d 2x, koska kaikille x yhtälö (x 2) "\u003d 2x on tosi.
2) funktio y - x 3 on antiderivaata funktiolle y-3x 2, koska kaikille x yhtälö (x 3)" \u003d 3x 2 on tosi.
3) Funktio y-sinx on antiderivaata funktiolle y=cosx, koska kaikille x:ille yhtälö (sinx) "=cosx on tosi.
4) Funktio on antiderivatiivinen intervallin funktiolle, koska kaikilla x > 0 yhtälö on tosi
Yleisesti ottaen, kun tiedetään johdannaisten löytämisen kaavat, ei ole vaikeaa laatia taulukkoa kaavoista antiderivaalien löytämiseksi.

Toivomme, että ymmärrät kuinka tämä taulukko on käännetty: toiseen sarakkeeseen kirjoitetun funktion johdannainen on yhtä suuri kuin funktio, joka on kirjoitettu ensimmäisen sarakkeen vastaavalle riville (tarkista, älä ole laiska, se on todella hyödyllinen). Esimerkiksi funktiolle y \u003d x 5 antiderivaata, kuten määrität, on funktio (katso taulukon neljäs rivi).

Huomautuksia: 1. Todistetaan alla lause, että jos y = F(x) on antiderivaata funktiolle y = f(x), niin funktiolla y = f(x) on äärettömän monta antiderivaataa ja ne kaikki ovat muotoa y = F (x ) + C. Siksi olisi oikeampaa lisätä termi C kaikkialle taulukon toiseen sarakkeeseen, jossa C on mielivaltainen reaaliluku.
2. Lyhyyden vuoksi sanotaan joskus lauseen "funktio y = F(x) on funktion y = f(x) antiderivaata" sijaan, että F(x) on f(x) antiderivaata. ".

2. Säännöt antijohdannaisten löytämiseksi

Antijohdannaisia ​​etsittäessä, samoin kuin johdannaisia ​​haettaessa, ei käytetä vain kaavoja (ne on lueteltu taulukossa sivulla 196), vaan myös joitain sääntöjä. Ne liittyvät suoraan vastaaviin johdannaisten laskennan sääntöihin.

Tiedämme, että summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa. Tämä sääntö luo vastaavan säännön antijohdannaisten löytämiseksi.

Sääntö 1 Summan antiderivaata on yhtä suuri kuin antiderivaattien summa.

Kiinnitämme huomiosi tämän sanamuodon "keveyteen". Itse asiassa olisi tarpeen muotoilla lause: jos funktioilla y = f(x) ja y=g(x) on antiderivaatat välillä X, y-F(x) ja y-G(x), vastaavasti, niin summa funktioista y = f(x) + g(x) on antiderivaata välillä X, ja tämä antiderivaata on funktio y = F(x) + G(x). Mutta yleensä sääntöjä (eikä lauseita) laadittaessa jätetään vain avainsanoja - tämä on kätevämpää soveltaa sääntöä käytännössä.

Esimerkki 2 Etsi antiderivaata funktiolle y = 2x + cos x.

Ratkaisu. 2x:n antiderivaata on x "; cosx:n antiderivaata on sin x. Näin ollen funktion y \u003d 2x + cos x antiderivaata on funktio y \u003d x 2 + sin x (ja yleensä mikä tahansa funktion funktio muoto Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Tiedämme, että vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan merkistä. Tämä sääntö luo vastaavan säännön antijohdannaisten löytämiseksi.

Sääntö 2 Vakiotekijä voidaan ottaa pois antiderivaatiivisesta merkistä.

Esimerkki 3

Ratkaisu. a) Sin x:n antiderivaata on -cos x; näin ollen funktiolle y \u003d 5 sin x antiderivaata on funktio y \u003d -5 cos x.

b) Cos x:n antiderivaata on sin x; näin ollen antiderivatiiviselle funktiolle tulee olemaan funktio
c) Antiderivaata x 3:lle on antiderivaata x on antiderivaata funktiolle y \u003d 1 on funktio y \u003d x. Käyttämällä ensimmäistä ja toista sääntöä antiderivaatien löytämiseksi saamme, että funktion y \u003d 12x 3 + 8x-1 antiderivaata on funktio
Kommentti. Kuten tiedät, tuotteen derivaatta ei ole yhtä suuri kuin johdannaisten tulo (tuotteen erottamissääntö on monimutkaisempi) ja osamäärän derivaatta ei ole yhtä suuri kuin johdannaisten osamäärä. Siksi ei ole olemassa sääntöjä tuotteen antijohdannaisen tai kahden funktion osamäärän antiderivaatan löytämiseksi. Ole varovainen!
Saamme vielä yhden säännön antijohdannaisten löytämiseksi. Tiedämme, että funktion y \u003d f (kx + m) derivaatta lasketaan kaavalla

Tämä sääntö luo vastaavan säännön antijohdannaisten löytämiseksi.
Sääntö 3 Jos y \u003d F (x) on funktion y \u003d f (x) antiderivaata, niin funktion y \u003d f (kx + m) antiderivaata on funktio

Todellakin,

Tämä tarkoittaa, että se on antiderivaata funktiolle y \u003d f (kx + m).
Kolmannen säännön merkitys on seuraava. Jos tiedät, että funktion y \u003d f (x) antiderivaata on funktio y \u003d F (x), ja sinun on löydettävä funktion y \u003d f (kx + m) antiderivaata, toimi seuraavasti: seuraava: ota sama funktio F, mutta korvaa argumentin x sijasta lauseke xx+m; Lisäksi älä unohda kirjoittaa "korjaustekijä" ennen funktion etumerkkiä
Esimerkki 4 Etsi antijohdannaisia ​​tietyille funktioille:

Ratkaisu, a) Sin x:n antiderivaata on -cos x; tämä tarkoittaa, että funktiolle y \u003d sin2x antiderivaata on funktio
b) Cos x:n antiderivaata on sin x; näin ollen antiderivatiiviselle funktiolle tulee olemaan funktio

c) Sen vuoksi x 7:n antiderivaata on funktiolle y \u003d (4-5x) 7, antiderivaata on funktio

3. Epämääräinen integraali

Olemme jo edellä todenneet, että ongelmalla löytää antiderivaata tietylle funktiolle y = f(x) on useampi kuin yksi ratkaisu. Keskustellaan tästä aiheesta tarkemmin.

Todiste. 1. Olkoon y \u003d F (x) antiderivaata funktiolle y \u003d f (x) välissä X. Tämä tarkoittaa, että kaikille x:lle yhtälö x "(x) \u003d f (x) on tosi. Etsi minkä tahansa muotoisen y \u003d F (x) + C funktion derivaatta:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Joten (F(x)+C) = f(x). Tämä tarkoittaa, että y \u003d F (x) + C on funktion y \u003d f (x) antiderivaata.
Näin ollen olemme osoittaneet, että jos funktiolla y \u003d f (x) on antiderivaata y \u003d F (x), niin funktiolla (f \u003d f (x) on äärettömän monta antiderivaavaa, esimerkiksi mikä tahansa funktion funktio. muoto y \u003d F (x) +C on antijohdannainen.
2. Osoittakaamme nyt, että osoitetun tyyppisten funktioiden koko antiderivaattien joukko on käytetty loppuun.

Olkoot y=F 1 (x) ja y=F(x) kaksi antiderivaataa funktiolle Y = f(x) välillä X. Tämä tarkoittaa, että kaikille x:lle väliltä X pätee seuraavat suhteet: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Tarkastellaan funktiota y \u003d F 1 (x) -.F (x) ja etsi sen derivaatta: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Tiedetään, että jos funktion derivaatta välillä X on identtisesti nolla, niin funktio on vakio välissä X (ks. Lause 3 § 35). Näin ollen F 1 (x) -F (x) = C, ts. Fx) \u003d F (x) + C.

Lause on todistettu.

Esimerkki 5 Nopeuden muutoksen laki ajasta v = -5sin2t asetetaan. Etsi liikkeen laki s = s(t), jos tiedetään, että hetkellä t=0 pisteen koordinaatti oli yhtä suuri kuin luku 1,5 (eli s(t) = 1,5).

Ratkaisu. Koska nopeus on koordinaatin derivaatta ajan funktiona, on ensin löydettävä nopeuden antiderivaata, ts. funktion v = -5sin2t antiderivaatti. Yksi tällaisista antiderivaatteista on funktio , ja kaikkien antiderivaatien joukolla on muoto:

Vakion C tietyn arvon löytämiseksi käytämme alkuehtoja, joiden mukaan s(0) = 1,5. Korvaamalla kaavassa (1) arvot t=0, S = 1,5, saadaan:

Korvaamalla löydetyn arvon C kaavaan (1) saadaan meitä kiinnostava liikelaki:

Määritelmä 2. Jos funktiolla y = f(x) on antiderivaata y = F(x) välissä X, niin kaikkien antiderivaatojen joukko, ts. funktioiden joukkoa muotoa y \u003d F (x) + C kutsutaan funktion y \u003d f (x) määrittelemättömäksi integraaliksi ja merkitään:

(lukea: " epämääräinen integraali ef kohteesta x de x").
Seuraavassa osiossa saamme selville, mikä tämän merkinnän piilotettu merkitys on.
Tämän kappaleen antiderivaattien taulukon perusteella laadimme taulukon määrittelemättömistä perusintegraaleista:

Voimme muotoilla vastaavat integrointisäännöt edellä olevien kolmen antiderivaatien löytämissäännön perusteella.

Sääntö 1 Funktioiden summan integraali on yhtä suuri kuin summa näiden toimintojen integraalit:

Sääntö 2 Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:

Sääntö 3 Jos

Esimerkki 6 Etsi määrittelemättömät integraalit:

Ratkaisu, a) Käyttämällä ensimmäistä ja toista integrointisääntöä saamme:

Nyt käytämme kolmatta ja neljättä integrointikaavaa:

Tuloksena saamme:

b) Kolmannen integrointisäännön ja kaavan 8 avulla saamme:

c) Annetun integraalin suoraa määritystä varten meillä ei ole vastaavaa kaavaa eikä vastaavaa sääntöä. Tällaisissa tapauksissa integraalimerkin alla olevan lausekkeen alustavat identtiset muunnokset auttavat joskus.

Käytetään trigonometrinen kaava alentaminen:

Sitten peräkkäin löydämme:

A.G. Mordkovich-algebra, luokka 10

Kalenteri-teemaattinen suunnittelu matematiikassa, video matematiikassa verkossa, matematiikassa koulussa

Asiakirja

Jokin intervalli X. Jos varten mikä tahansa xX F "(x) \u003d f (x), sitten toiminto F nimeltäänprimitiivinenvartentoimintoja f välissä X. antijohdannainenvartentoimintoja voit yrittää löytää...

Toiminnon antijohdannainen

Asiakirja

... . Toiminto F(x) nimeltäänprimitiivinenvartentoimintoja f(x) välissä (a;b) if varten kaikille x(a;b) yhtälö F(x) = f(x) pätee. Esimerkiksi, vartentoimintoja x2 primitiivinen tahtoa toiminto x3...

Integraalilaskennan perusteet -opintoopas

Opastus

... ; 5. Etsi integraali. ; B) ; C); D) ; 6. Toimintonimeltäänprimitiivinen Vastaanottaja toimintoja kuvauksissa, jos: varten kaikki; jossain vaiheessa; varten kaikki; jossain ... välissä. Määritelmä 1. Toimintonimeltäänprimitiivinenvartentoimintoja kuvauksissa...

Antiderivatiivinen Indefinite integraali

Asiakirja

Liittäminen. antijohdannainen. jatkuva toiminto F(x) nimeltäänprimitiivinenvartentoimintoja f (x) välissä X if varten kukin F'(x) = f(x). ESIMERKKI Toiminto F(x) = x 3 on primitiivinenvartentoimintoja f(x)=3x...

Neuvostoliiton ERIKOISKOULUTUS Korkeakoulujen opetus- ja menetelmähallinnon hyväksymä

Ohjeita

Kysymyksiä varten itsetesti Määritä primitiivinentoimintoja. Täsmentää geometrinen tunne aggregaatteja antijohdannaisettoimintoja. Mitä nimeltään toistaiseksi...

Epämääräinen integraali

Differentiaalilaskennan päätehtävä oli tietyn funktion derivaatan tai differentiaalin laskenta. Integraalilaskenta, jota nyt tutkimme, ratkaisee käänteisongelman, nimittäin itse funktion löytämisen sen derivaatasta tai differentiaalista. Eli ottaa dF(x)= f(x)d (7.1) tai F′(x)= f(x),

Missä f(x)- tunnettu funktio, sinun on löydettävä funktio F(x).

Määritelmä:Funktiota F(x) kutsutaan primitiivinen funktio f (x) janalla, jos yhtäläisyys on tosi janan kaikissa pisteissä: F'(x) = f(x) tai dF(x)= f(x)d.

Esimerkiksi, yksi toiminnon antijohdannaisista f(x)=3x2 tahtoa F (x) \u003d x 3, koska ( x 3)′=3x2. Mutta funktion antijohdannainen f(x)=3x2 on myös toiminnot ja , koska .

Tämä toiminto siis f(x)=3x2 sillä on ääretön määrä primitiivejä, joista jokainen eroaa vain vakiotermillä. Osoittakaamme, että tämä tulos pätee myös yleisessä tapauksessa.

Lause Saman funktion kaksi erilaista antiderivaatia, jotka on määritelty jossain välissä, eroavat toisistaan ​​tällä välillä vakiotermillä.

Todiste

Anna toiminnon f(x) määritelty välissä (a¸b) Ja F 1 (x) Ja F 2 (x) - primitiivit, ts. F 1 ′(x)= f(x) ja F 2 ′(x)= f(x).

Sitten F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 '(x) - F 2 (x))' = 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) \u003d C

Täältä, F 2 (x) \u003d F 1 (x) + C

Missä KANSSA on vakio (tässä käytetään Lagrangen lauseen seurausta).

Lause on siis todistettu.

geometrinen kuva. Jos klo = F 1 (x) Ja klo = F 2 (x) ovat saman toiminnon antijohdannaisia f(x), sitten niiden kaavioiden tangentti pisteissä, joissa on yhteinen abskissa X yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa (kuva 7.1).

Tässä tapauksessa näiden käyrien välinen etäisyys käy akselia pitkin OU pysyy vakiona F 2 (x) - F 1 (x) \u003d C , eli nämä käyrät sisään jotain ymmärrystä ovat "rinnakkaiset" keskenään.

Seuraus .

Lisää jotain primitiivistä F(x) tätä toimintoa varten f(x) määritelty välissä X, kaikki mahdolliset vakiot KANSSA, saamme kaikki mahdolliset antijohdannaiset funktiolle f(x).

Ilmaisu siis F(x)+C , missä ja F(x) on jokin funktion antijohdannainen f(x) sisältää kaikki mahdolliset antijohdannaiset f(x).

Esimerkki 1 Tarkista, ovatko toiminnot kunnossa antijohdannaisia ​​toimintoa varten

Ratkaisu:

Vastaus: funktion antijohdannaiset tulee olemaan toimintoja Ja

Määritelmä: Jos funktio F(x) on jokin antiderivaata funktiolle f(x), niin kaikkien antiderivaatojen joukko F(x) + C kutsutaan määrittelemätön integraali f(x) ja merkitse:

∫f(x)dx.

A-priory:

f(x) - integrandi,

f(x)dx - integrandi

Tästä seuraa, että epämääräinen integraali on yleisen muodon funktio, jonka differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi ja jonka derivaatta muuttujan suhteen X on sama kuin integrandi kaikissa kohdissa.

Geometrian näkökulmasta epämääräinen integraali on joukko käyriä, joista jokainen saadaan siirtämällä yksi käyristä yhdensuuntainen itsensä kanssa ylös tai alas, eli akselia pitkin OU(Kuva 7.2).

Kutsutaan operaatiota, jolla lasketaan jonkin funktion määrittelemätön integraali liittäminen tämä toiminto.

Huomaa, että jos johdannainen alkeistoiminto on aina alkeisfunktio, silloin alkeisfunktion antiderivaatta ei tarvitse edustaa äärellisellä määrällä alkeisfunktioita.

Harkitse nyt määrittelemättömän integraalin ominaisuudet.

Määritelmä 2 tarkoittaa:

1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi, eli jos F'(x) = f(x) , Tuo

2. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi

. (7.4)

Differentiaalin ja ominaisuuden määritelmästä (7.3)

3. Jonkin funktion differentiaalin epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin tämä funktio vakiotermiin asti, eli (7.5)

Harkitse pisteen liikettä suoraa pitkin. Anna aikaa t liikkeen alusta piste on ohittanut polun s(t). Sitten hetkellinen nopeus v(t) yhtä suuri kuin funktion derivaatta s(t), tuo on v(t) = s"(t).

Käytännössä se tapahtuu käänteinen ongelma: pisteen määritellyn nopeuden mukaan v(t) löytää hänen polkunsa s(t), eli sellaisen funktion löytämiseen s(t), jonka johdannainen on v(t). Toiminto s(t), sellasta s"(t) = v(t), kutsutaan funktion antiderivaatteeksi v(t).

Esimerkiksi jos v(t) = at, Missä A on annettu numero, sitten funktio
s(t) = (pisteessä 2) / 2v(t), koska
s "(t) \u003d ((at 2) / 2) " \u003d at \u003d v (t).

Toiminto F(x) kutsutaan antiderivatiiviseksi funktioksi f(x) tietyllä aikavälillä, jos kaikille X tästä intervallista F"(x) = f(x).

Esimerkiksi funktio F(x) = sin x on funktion antijohdannainen f(x) = cos x, koska (sin x)" = cos x; toiminto F (x) \u003d x 4/4 on funktion antijohdannainen f(x) = x 3, koska (x 4/4)" \u003d x 3.

Mietitäänpä ongelmaa.

Tehtävä.

Todista, että funktiot x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 ovat saman funktion f (x) \u003d x 2 antiderivaata.

Ratkaisu.

1) Merkitse F 1 (x) \u003d x 3/3, sitten F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2 / 3) \u003d x 2 \u003d f (x).

2) F 2 (x) \u003d x 3/3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3/3 + 1)" \u003d (x 3/3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f (x).

3) F 3 (x) \u003d x 3/3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3/3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).

Yleensä mikä tahansa funktio x 3 / 3 + C, jossa C on vakio, on funktion x 2 antiderivaata. Tämä johtuu siitä, että vakion derivaatta on nolla. Tämä esimerkki osoittaa, että tietylle funktiolle sen antijohdannaista ei ole määritelty yksiselitteisesti.

Olkoot F 1 (x) ja F 2 (x) saman funktion f(x) kaksi antiderivaataa.

Sitten F 1 "(x) = f(x) ja F" 2 (x) = f(x).

Niiden erotuksen johdannainen g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) on yhtä suuri kuin nolla, koska g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) = 0.

Jos g "(x) \u003d 0 tietyllä aikavälillä, funktion y \u003d g (x) kaavion tangentti tämän välin jokaisessa pisteessä on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi funktion kaavio y \u003d g (x) on Ox-akselin suuntainen suora viiva, eli g (x) \u003d C, missä C on jokin vakio yhtälöistä g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) tästä seuraa, että F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

Joten jos funktio F(x) on f(x):n antiderivaata jollain välillä, niin kaikki f(x):n antiderivaatat kirjoitetaan muodossa F(x) + С, missä С on mielivaltainen vakio.

Tarkastellaan tietyn funktion f(x) kaikkien antiderivaatojen kuvaajia. Jos F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaatta, niin mikä tahansa tämän funktion antiderivaata saadaan lisäämällä F(x):ään jokin vakio: F(x) + C. Funktioiden y = graafit F(x) + C saadaan graafista y = F(x) siirtämällä Oy-akselia. Valitsemalla C voidaan varmistaa, että antiderivaatan graafi kulkee tietyn pisteen läpi.

Kiinnitäkäämme huomiota primitiivien löytämisen sääntöihin.

Muista, että operaatiota derivaatan löytämiseksi tietylle funktiolle kutsutaan erilaistuminen. Kutsutaan käänteistä operaatiota tietyn funktion antiderivaatan löytämiseksi liittäminen(latinan sanasta "palauttaa").

Taulukko antijohdannaisista Joillekin funktioille voidaan kääntää käyttämällä johdannaistaulukkoa. Esimerkiksi sen tiedossa (cos x)" = -sin x, saamme (-cos x)" = sin x, mistä seuraa, että kaikki antiderivatiiviset toiminnot synti x on kirjoitettu muodossa -cos x + C, Missä KANSSA- vakio.

Tarkastellaan joitain antijohdannaisten arvoja.

1) Tehtävä: x p, p ≠ -1. Antijohdannainen: (x p + 1) / (p + 1) + C.

2) Tehtävä: 1/x, x > 0. Antijohdannainen: lnx + C.

3) Tehtävä: x p, p ≠ -1. Antijohdannainen: (x p + 1) / (p + 1) + C.

4) Tehtävä: e x. Antijohdannainen: e x + C.

5) Tehtävä: synti x. Antijohdannainen: -cos x + C.

6) Tehtävä: (kx + b) p , p ≠ -1, k ≠ 0. Antijohdannainen: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Tehtävä: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antijohdannainen: (1/k) ln (kx + b) + C.

8) Tehtävä: e kx + b , k ≠ 0. Antijohdannainen: (1/k) e kx + b + C.

9) Tehtävä: sin (kx + b), k ≠ 0. Antijohdannainen: (-1/k) cos (kx + b).

10) Tehtävä: cos (kx + b), k ≠ 0. Antijohdannainen: (1/k) sin (kx + b).

Integrointisäännöt saa käyttämällä eriyttämissäännöt. Katsotaanpa joitain sääntöjä.

Antaa F(x) Ja G(x) ovat vastaavasti funktioiden antijohdannaisia f(x) Ja g(x) jossain välissä. Sitten:

1) toiminto F(x) ± G(x) on funktion antijohdannainen f(x) ± g(x);

2) toiminto aF(x) on funktion antijohdannainen af(x).

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.