I. Suoraan verrannolliset suuret.

Anna arvo y riippuu koosta X. Jos korotuksella X useita kertoja suurempi klo kasvaa samalla kertoimella, silloin tällaiset arvot X Ja klo kutsutaan suoraan verrannollisiksi.

Esimerkkejä.

1 . Ostettujen tavaroiden määrä ja ostohinta (kiinteällä yhden tavarayksikön hinnalla - 1 kpl tai 1 kg jne.) Kuinka monta kertaa enemmän tavaroita ostettiin, niin monta kertaa enemmän ja maksettiin.

2 . Kuljettu matka ja siihen käytetty aika (vakionopeudella). Kuinka monta kertaa pidempi polku, kuinka monta kertaa enemmän aikaa käytämme siihen.

3 . Kehon tilavuus ja sen massa. ( Jos yksi vesimeloni on 2 kertaa suurempi kuin toinen, sen massa on 2 kertaa suurempi)

II. Summien suoran suhteellisuuden ominaisuus.

Jos kaksi määrää ovat suoraan verrannollisia, ensimmäisen suuren kahden mielivaltaisen arvon suhde on yhtä suuri kuin toisen suuren kahden vastaavan arvon suhde.

Tehtävä 1. Vadelmahilloa varten 12 kg vadelmia ja 8 kg Sahara. Kuinka paljon sokeria tarvitaan, jos se otetaan 9 kg vadelmia?

Ratkaisu.

Väittelemme näin: olkoon se tarpeellista x kg sokeri päälle 9 kg vadelmia. Vadelmien massa ja sokerin massa ovat suoraan verrannollisia: kuinka monta kertaa vähemmän vadelmia tarvitaan, sama määrä sokeria. Siksi otettujen vadelmien suhde (painon mukaan) 12:9 ) on yhtä suuri kuin käytetyn sokerin suhde ( 8:x). Saamme osuuden:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Vastaus: päällä 9 kg vadelmia ottaa 6 kg Sahara.

Ongelman ratkaisu olisi voitu tehdä näin:

Laverrella 9 kg vadelmia ottaa x kg Sahara.

(Kuvan nuolet on suunnattu yhteen suuntaan, eikä sillä ole väliä ylös tai alas. Merkitys: kuinka monta kertaa numero 12 lisää numeroa 9 , sama numero 8 lisää numeroa X eli tässä on suora riippuvuus).

Vastaus: päällä 9 kg vadelmia ottaa 6 kg Sahara.

Tehtävä 2. autoa varten 3 tuntia kuljettu matka 264 km. Kauanko häneltä kestää 440 km jos se kulkee samalla nopeudella?

Ratkaisu.

Anna varten x tuntia auto menee ohi etäisyys 440 km.

Vastaus: auto menee ohi 440 km 5 tunnissa.

Esimerkki

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 jne.

Suhteellisuustekijä

Suhteellisten suureiden vakiosuhdetta kutsutaan suhteellisuuskerroin. Suhteellisuuskerroin näyttää kuinka monta yksikköä yhtä suuresta putoaa toisen suuren yksikköön.

Suora suhteellisuus

Suora suhteellisuus- toiminnallinen riippuvuus, jossa jokin määrä riippuu toisesta suuresta siten, että niiden suhde pysyy vakiona. Toisin sanoen nämä muuttujat muuttuvat suhteellisesti, yhtä suurissa osuuksissa, eli jos argumentti on muuttunut kahdesti mihin tahansa suuntaan, niin myös funktio muuttuu kahdesti samaan suuntaan.

Matemaattisesti suora suhteellisuus kirjoitetaan kaavana:

f(x) = ax,a = const

Käänteinen suhteellisuus

Käänteinen suhde- tämä on toiminnallinen riippuvuus, jossa riippumattoman arvon (argumentin) kasvu aiheuttaa riippuvaisen arvon (funktion) suhteellisen pienenemisen.

Matemaattisesti käänteinen suhteellisuus kirjoitetaan kaavana:

Toiminnan ominaisuudet:

Lähteet

Wikimedia Foundation. 2010 .

§ 129. Alustavat selvennykset.

Ihminen käsittelee jatkuvasti monenlaisia ​​​​määriä. Työntekijä ja työntekijä yrittävät päästä palveluun, töihin tiettyyn aikaan mennessä, jalankulkija kiirehtii tiettyyn paikkaan lyhintä tietä, höyrylämpölähde pelkää, että kattilan lämpötila nousee hitaasti, yrityspäällikkö suunnittelee tuotantokustannusten alentamista jne.

Tällaisia ​​esimerkkejä voitaisiin mainita vaikka kuinka monta. Aika, etäisyys, lämpötila, hinta - kaikki nämä ovat erilaisia ​​määriä. Tämän kirjan ensimmäisessä ja toisessa osassa tutustuimme joihinkin erityisen yleisiin suureisiin: pinta-ala, tilavuus, paino. Fysiikan ja muiden tieteiden opiskelussa kohtaamme monia määriä.

Kuvittele, että olet junassa. Ajoittain katsot kelloasi ja huomaat kuinka kauan olet jo ollut tien päällä. Sanot esimerkiksi, että junasi lähdöstä on kulunut 2, 3, 5, 10, 15 tuntia jne. Nämä numerot osoittavat eri ajanjaksoja; niitä kutsutaan tämän määrän (ajan) arvoiksi. Tai katsot ulos ikkunasta ja seuraat pylväitä junasi matkaa varten. Numerot 110, 111, 112, 113, 114 km välkkyvät edessäsi. Nämä numerot osoittavat eri etäisyydet, jotka juna on kulkenut lähtöpaikasta. Niitä kutsutaan myös arvoiksi, tällä kertaa eri arvoilla (reitti tai etäisyys kahden pisteen välillä). Näin ollen yksi arvo, esimerkiksi aika, etäisyys, lämpötila, voi olla mikä tahansa erilaisia ​​merkityksiä.

Kiinnitä huomiota siihen, että ihminen ei juuri koskaan ota huomioon vain yhtä arvoa, vaan yhdistää sen aina joihinkin muihin arvoihin. Hänen täytyy käsitellä kaksi, kolme ja suuri numero määriä. Kuvittele, että sinun täytyy päästä kouluun klo 9 mennessä. Katsot kelloasi ja näet, että sinulla on 20 minuuttia aikaa. Sitten päätät nopeasti, kannattaako mennä raitiovaunulla vai ehtiikö kävellä kouluun. Harkittuasi päätät kävellä. Huomaa, että silloin kun ajattelit, olit ratkaisemassa jotakin ongelmaa. Tästä tehtävästä on tullut yksinkertainen ja tuttu, kun ratkaiset tällaisia ​​​​ongelmia joka päivä. Siinä vertasit nopeasti useita arvoja. Sinä katsoit kelloa, mikä tarkoittaa, että otit ajan huomioon, sitten kuvittelit henkisesti etäisyyden kodistasi kouluun; Lopuksi vertasit kahta määrää: askeleesi nopeutta ja raitiovaunun nopeutta ja päätit, että tietyssä ajassa (20 minuuttia) sinulla on aikaa kävellä. Tästä yksinkertainen esimerkki näet, että käytännössä jotkin suureet ovat yhteydessä toisiinsa, eli ne ovat riippuvaisia ​​toisistaan

Luvussa kaksitoista kerrottiin homogeenisten määrien suhteesta. Jos esimerkiksi yksi segmentti on 12 m ja toinen 4 m, näiden segmenttien suhde on 12:4.

Sanoimme, että se on kahden homogeenisen suuren suhde. Toisin sanoen se on kahden luvun suhde yksi nimi.

Nyt kun suuret ovat tulleet paremmin tutuiksi ja suuren arvon käsite on otettu käyttöön, voimme ilmaista suhteen määritelmän uudella tavalla. Todellakin, kun tarkastelimme kahta segmenttiä 12 m ja 4 m, puhuimme yhdestä arvosta - pituudesta ja 12 m ja 4 m - nämä olivat vain kaksi erilaisia ​​merkityksiä tämä arvo.

Siksi tulevaisuudessa, kun alamme puhua suhteesta, harkitsemme yhden suuren kahta arvoa, ja määrän yhden arvon suhdetta saman suuren toiseen arvoon kutsutaan osamääräksi, joka jaetaan ensimmäisen arvon toisella.

§ 130. Määrät ovat suoraan verrannollisia.

Tarkastellaan ongelmaa, jonka ehto sisältää kaksi suuruutta: etäisyyden ja ajan.

Tehtävä 1. Kappale, joka liikkuu suoraviivaisesti ja kulkee tasaisesti 12 cm sekunnissa Määritä kappaleen kulkema reitti 2, 3, 4, ..., 10 sekunnissa.

Tehdään taulukko, josta olisi mahdollista seurata ajan ja etäisyyden muutosta.

Taulukko antaa meille mahdollisuuden verrata näitä kahta arvosarjaa. Näemme siitä, että kun ensimmäisen suuren (ajan) arvot kasvavat vähitellen 2, 3, ..., 10 kertaa, niin myös toisen suuren (etäisyyden) arvot kasvavat 2, 3, ..., 10 kertaa. Näin ollen, kun yhden suuren arvot kasvavat useita kertoja, toisen suuren arvot kasvavat samalla määrällä ja kun yhden suuren arvot pienenevät useita kertoja, toisen suuren arvot pienenevät saman verran.

Harkitse nyt ongelmaa, joka sisältää kaksi tällaista määrää: aineen määrä ja sen hinta.

Tehtävä 2. 15 metriä kangasta maksoi 120 ruplaa. Laske tämän kankaan hinta useille muille taulukossa mainituille metrimäärille.

Tästä taulukosta voimme nähdä, kuinka hyödykkeen arvo vähitellen kasvaa sen määrän kasvusta riippuen. Huolimatta siitä, että tässä ongelmassa esiintyy täysin erilaisia ​​​​määriä (ensimmäisessä ongelmassa - aika ja etäisyys, ja tässä - tavaroiden määrä ja sen hinta), näiden määrien käyttäytymisestä voidaan kuitenkin löytää suuri samankaltaisuus.

Todellakin, taulukon ylärivillä on numeroita, jotka osoittavat kangasmetrien lukumäärän, jokaisen alla on kirjoitettu numero, joka ilmaisee vastaavan tavaramäärän kustannukset. Jopa pintapuolinen vilkaisu tähän taulukkoon osoittaa, että luvut sekä ylä- että alariveillä kasvavat; taulukon tarkempi tarkastelu ja yksittäisten sarakkeiden vertailu paljastaa, että kaikissa tapauksissa toisen suuren arvot kasvavat samalla kertoimella kuin ensimmäisen, eli jos ensimmäisen suuren arvo on kasvanut esimerkiksi 10 kertaa, niin toisen suuren arvo on myös kasvanut 10 kertaa.

Jos katsomme taulukkoa oikealta vasemmalle, huomaamme, että määrien ilmoitetut arvot pienenevät saman verran. Tässä mielessä ensimmäisen ja toisen tehtävän välillä on ehdoton samankaltaisuus.

Suuret, jotka tapasimme ensimmäisessä ja toisessa tehtävässä, kutsutaan suoraan verrannollinen.

Siten, jos kaksi suuretta on kytketty toisiinsa niin, että toisen arvon kasvaessa (laskeessa) useita kertoja toisen arvo kasvaa (pienenee) samalla määrällä, tällaisia ​​​​suureita kutsutaan suoraan verrannollisiksi.

He sanovat myös sellaisista määristä, että ne liittyvät toisiinsa suoraan verrannollisella riippuvuudella.

Luonnossa ja ympärillämme olevassa elämässä on monia tällaisia ​​määriä. Tässä on joitain esimerkkejä:

1. Aika työ (päivä, kaksi päivää, kolme päivää jne.) ja tulot saatu tänä aikana päiväpalkalla.

2. Äänenvoimakkuus mikä tahansa homogeenisesta materiaalista valmistettu esine, ja paino Tämä esine.

§ 131. Suoraan verrannollisten määrien ominaisuus.

Otetaan ongelma, joka sisältää seuraavat kaksi määrää: työaika ja tulot. Jos päiväansiot ovat 20 ruplaa, niin 2 päivän tulot ovat 40 ruplaa jne. On kätevintä tehdä taulukko, jossa tietty määrä päivät vastaavat tiettyä tuloa.

Katsomalla tätä taulukkoa näemme, että molemmat suureet ovat saaneet 10 eri arvoa. Jokainen ensimmäisen arvon arvo vastaa tiettyä toisen arvon arvoa, esimerkiksi 40 ruplaa vastaa 2 päivää; 5 päivää vastaa 100 ruplaa. Taulukossa nämä numerot on kirjoitettu toistensa alle.

Tiedämme jo, että jos kaksi määrää ovat suoraan verrannollisia, niin jokainen niistä kasvaa muutosprosessissaan samalla määrällä kuin toinen kasvaa. Tästä seuraa välittömästi: jos otamme ensimmäisen suuren minkä tahansa kahden arvon suhteen, se on yhtä suuri kuin toisen suuren kahden vastaavan arvon suhde. Todellakin:

Miksi tämä tapahtuu? Mutta koska nämä arvot ovat suoraan verrannollisia, eli kun yksi niistä (aika) kasvoi 3 kertaa, niin toinen (tulot) kasvoi 3 kertaa.

Tästä syystä olemme tulleet seuraavaan johtopäätökseen: jos otamme mitkä tahansa kaksi ensimmäisen suuruuden arvoa ja jaamme ne toisillaan ja jaamme sitten toisilla niitä vastaavat toisen suuruuden arvot, niin molemmissa tapauksissa saadaan yksi ja sama luku, eli yksi ja sama suhde. Tämä tarkoittaa, että edellä kirjoittamamme kaksi relaatiota voidaan yhdistää yhtäläisyysmerkillä, ts.

Ei ole epäilystäkään siitä, että jos emme ottaisi näitä suhteita, vaan muita, emmekä siinä järjestyksessä, vaan päinvastaiseen suuntaan, saisimme myös suhteiden tasa-arvon. Todellakin, tarkastelemme määriemme arvoja vasemmalta oikealle ja otamme kolmannen ja yhdeksännen arvon:

60:180 = 1 / 3 .

Joten voimme kirjoittaa:

Tämä merkitsee seuraavaa johtopäätöstä: jos kaksi määrää ovat suoraan verrannollisia, niin ensimmäisen suuren kahden mielivaltaisesti otetun arvon suhde on yhtä suuri kuin toisen suuren kahden vastaavan arvon suhde.

§ 132. Suoran suhteellisuuden kaava.

Tehdään taulukko erilaisten makeismäärien kustannuksista, jos 1 kg niitä maksaa 10,4 ruplaa.

Tehdään nyt näin. Otetaan mikä tahansa toisen rivin luku ja jaetaan se ensimmäisen rivin vastaavalla numerolla. Esimerkiksi:

Näet, että osamäärässä saadaan koko ajan sama luku. Siksi tietylle suoraan verrannollisten suureiden parille yhden suuren minkä tahansa arvon jakaminen toisen suuren vastaavalla arvolla on vakioluku (eli ei muutu). Esimerkissämme tämä osamäärä on 10,4. Tätä vakiolukua kutsutaan suhteellisuustekijäksi. Tässä tapauksessa se ilmaisee mittayksikön eli yhden kilogramman tavaran hinnan.

Miten suhteellisuustekijä löydetään tai lasketaan? Tätä varten sinun on otettava mikä tahansa yhden suuren arvo ja jaettava se toisen vastaavalla arvolla.

Merkitään tämä yhden suuren mielivaltainen arvo kirjaimella klo , ja toisen suuren vastaava arvo - kirjain X , sitten suhteellisuuskerroin (merkitsimme sitä TO) etsi jakamalla:

Tässä tasa-arvossa klo - jaettavissa X - jakaja ja TO- osamäärä, ja koska jako-ominaisuuden perusteella osinko on yhtä suuri kuin jakaja kerrottuna osamäärällä, voimme kirjoittaa:

y= K x

Tuloksena olevaa tasa-arvoa kutsutaan suoran suhteellisuuden kaava. Tämän kaavan avulla voimme laskea minkä tahansa määrän yhden suoraan verrannollisen suuren arvoja, jos tiedämme toisen suuren vastaavat arvot ja suhteellisuuskertoimen.

Esimerkki. Fysiikasta tiedämme, että paino R minkä tahansa kappaleen ominaispaino on yhtä suuri kuin sen ominaispaino d kerrottuna tämän kappaleen tilavuudella V, eli R = d V.

Ota viisi erikokoista rautaharkkoa; tietäen raudan ominaispainon (7.8), voimme laskea näiden aihioiden painot kaavalla:

R = 7,8 V.

Vertaamalla tätä kaavaa kaavaan klo = TO X , näemme sen y= R, x = V, ja suhteellisuuskerroin TO= 7,8. Kaava on sama, vain kirjaimet ovat erilaisia.

Tehdään tällä kaavalla taulukko: olkoon 1. aihion tilavuus 8 kuutiometriä. cm, niin sen paino on 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Toisen aihion tilavuus on 27 kuutiometriä. Sen paino on 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Taulukko näyttää tältä:

Laske tästä taulukosta puuttuvat luvut itse kaavan avulla R= d V.

§ 133. Muita tapoja ratkaista ongelmia suoraan verrannollisilla suureilla.

Edellisessä kappaleessa ratkaisimme ongelman, jonka ehto sisälsi suoraan verrannolliset suureet. Tätä tarkoitusta varten johdimme aiemmin suoran suhteellisuuskaavan ja sovelsimme sitten tätä kaavaa. Näytämme nyt kaksi muuta tapaa ratkaista samanlaisia ​​ongelmia.

Tehdään tehtävä edellisen kappaleen taulukossa annettujen numeeristen tietojen mukaan.

Tehtävä. Aihio, jonka tilavuus on 8 kuutiometriä. cm painaa 62,4 g Kuinka paljon painaa aihio, jonka tilavuus on 64 kuutiometriä? cm?

Ratkaisu. Raudan paino, kuten tiedät, on verrannollinen sen tilavuuteen. Jos 8 cu. paino 62,4 g, sitten 1 kuutio. cm painaa 8 kertaa vähemmän, ts.

62,4: 8 = 7,8 (g).

Aihio, jonka tilavuus on 64 kuutiometriä. cm painaa 64 kertaa enemmän kuin 1 kuutiometrin aihio. cm, ts.

7,8 64 = 499,2 (g).

Ratkaisimme ongelmamme vähentämällä yhtenäisyyttä. Tämän nimen merkitystä perustelee se, että sen ratkaisemiseksi meidän piti löytää tilavuuden yksikköpaino ensimmäisestä kysymyksestä.

2. Suhteellisuusmenetelmä. Ratkaistaan ​​sama ongelma suhdemenetelmällä.

Koska raudan paino ja tilavuus ovat suoraan verrannollisia suureita, yhden suuren (tilavuuden) kahden arvon suhde on yhtä suuri kuin toisen suuren (painon) kahden vastaavan arvon suhde, ts.

(kirje R merkitsimme aihion tuntematonta painoa). Täältä:

(G).

Ongelma ratkaistaan ​​mittasuhteiden menetelmällä. Tämä tarkoittaa, että sen ratkaisemiseksi ehtoon sisältyvistä numeroista muodostettiin osuus.

§ 134. Määrät ovat kääntäen verrannollisia.

Harkitse seuraavaa ongelmaa: ”Viisi muuraria pystyy kaatamaan talon tiiliseinät 168 päivässä. Määritä kuinka monessa päivässä 10, 8, 6 jne. muurarit voisivat tehdä saman työn.

Jos 5 muuraria kaataisi talon seinät 168 päivässä, niin (samalla työn tuottavuudella) 10 muuraria voisi tehdä sen kaksi kertaa nopeammin, koska keskimäärin 10 ihmistä tekee kaksi kertaa enemmän työtä kuin 5 henkilöä.

Tehdään taulukko, jonka mukaan työtuntien ja työtuntien muutosta olisi mahdollista seurata.

Esimerkiksi saadaksesi selville, kuinka monta päivää kestää kuusi työntekijää, sinun on ensin laskettava, kuinka monta päivää kestää yksi työntekijä (168 5 = 840) ja sitten kuusi työntekijää (840: 6 = 140). Katsomalla tätä taulukkoa näemme, että molemmat suureet ovat saaneet kuusi eri arvoa. Jokainen ensimmäisen suuruuden arvo vastaa tarkemmin; toisen arvon arvo, esimerkiksi 10, vastaa 84:ää, numero 8 - numeroa 105 jne.

Jos tarkastelemme molempien arvojen arvoja vasemmalta oikealle, näemme, että ylemmän arvon arvot kasvavat ja alemman arvon arvot laskevat. Kasvuun ja vähennykseen sovelletaan seuraavaa lakia: työntekijöiden lukumäärän arvot kasvavat niin monta kertaa kuin käytetyn työajan arvot pienenevät. Vielä yksinkertaisemmin tämä ajatus voidaan ilmaista seuraavasti: mitä enemmän työntekijöitä työllistää missä tahansa yrityksessä, sitä vähemmän he tarvitsevat aikaa tietyn työn tekemiseen. Tässä ongelmassa kohtaamiamme kahta määrää kutsutaan kääntäen verrannollinen.

Siten, jos kaksi suuretta on kytketty toisiinsa siten, että kun toisen arvo kasvaa (pienenee) useita kertoja, toisen arvo pienenee (kasvaa) samalla määrällä, niin tällaisia ​​​​suureita kutsutaan käänteisesti verrannollisiksi.

Tällaisia ​​asioita elämässä on monia. Annetaan esimerkkejä.

1. Jos 150 ruplaa. sinun on ostettava useita kiloja makeisia, niin makeisten määrä riippuu kilon hinnasta. Mitä korkeampi hinta, sitä vähemmän tavaroita voidaan ostaa tällä rahalla; tämä näkyy taulukosta:

Kun makeisten hinta nousee useita kertoja, 150 ruplalla ostettavien makeisten kilojen määrä vähenee samalla määrällä. Tässä tapauksessa nämä kaksi määrää (tuotteen paino ja hinta) ovat kääntäen verrannollisia.

2. Jos kahden kaupungin välinen etäisyys on 1200 km, se voidaan kattaa eri aikoina liikkeen nopeudesta riippuen. Olla olemassa eri tavoilla Kuljetukset: kävellen, hevosella, polkupyörällä, veneellä, autolla, junalla, lentokoneella. Mitä pienempi nopeus, sitä enemmän aikaa kuluu liikkumiseen. Tämä näkyy taulukosta:

Nopeuden lisääntyessä useita kertoja liikeaika lyhenee samalla määrällä. Näin ollen nopeus ja aika ovat tietyissä olosuhteissa kääntäen verrannollisia.

§ 135. Käänteisesti verrannollisten suureiden ominaisuus.

Otetaan toinen esimerkki, jota tarkastelimme edellisessä kappaleessa. Siellä käsiteltiin kahta määrää - liikkeen nopeutta ja aikaa. Jos tarkastelemme näiden suureiden arvoja vasemmalta oikealle taulukossa, näemme, että ensimmäisen suuren (nopeus) arvot kasvavat ja toisen (aika) arvot pienenevät, ja nopeus kasvaa samalla kertoimella kun aika lyhenee. On helppo selvittää, että jos kirjoitat yhden suuren joidenkin arvojen suhteen, se ei ole yhtä suuri kuin toisen suuren vastaavien arvojen suhde. Itse asiassa, jos otamme ylemmän arvon neljännen arvon suhteen seitsemänteen arvoon (40: 80), se ei ole yhtä suuri kuin alemman arvon neljännen ja seitsemännen arvon suhde (30: 15). Se voidaan kirjoittaa näin:

40:80 ei ole 30:15 tai 40:80 =/= 30:15.

Mutta jos yhden näistä suhteista otamme päinvastaisen, niin saadaan tasa-arvo, eli näistä suhteista on mahdollista tehdä suhde. Esimerkiksi:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Edellä olevan perusteella voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: jos kaksi määrää ovat käänteisesti verrannollisia, niin yhden suuren kahden mielivaltaisesti otetun arvon suhde on yhtä suuri kuin toisen suuren vastaavien arvojen käänteinen suhde.

§ 136. Käänteisen suhteellisuuden kaava.

Harkitse ongelmaa: "Silkkikankaita on kuusi erikokoista ja eri laatuista. Kaikki osat saman hintaisia. Yhdessä kappaleessa 100 m kangasta hintaan 20 ruplaa. metriä kohti. Kuinka monta metriä on kussakin viidestä muusta kappaleesta, jos kangasmetri näissä kappaleissa maksaa vastaavasti 25, 40, 50, 80, 100 ruplaa? Luodaan taulukko tämän ongelman ratkaisemiseksi:

Meidän on täytettävä tämän taulukon ylimmän rivin tyhjät solut. Yritetään ensin määrittää kuinka monta metriä on toisessa kappaleessa. Tämä voidaan tehdä seuraavalla tavalla. Ongelman tilasta tiedetään, että kaikkien osien hinta on sama. Ensimmäisen kappaleen hinta on helppo määrittää: siinä on 100 m ja jokainen metri maksaa 20 ruplaa, mikä tarkoittaa, että ensimmäisessä silkkipalassa 2 000 ruplaa. Koska toinen silkkipala sisältää saman määrän ruplaa, jaettuna 2000 ruplaa. yhden metrin hinnalla, eli 25:ssä, löydämme toisen kappaleen arvon: 2 000: 25 = 80 (m). Samalla tavalla löydämme kaikkien muiden kappaleiden koon. Taulukko näyttää tältä:

On helppo nähdä, että metrien määrän ja hinnan välillä on käänteinen suhde.

Jos teet tarvittavat laskelmat itse, huomaat, että joka kerta, kun joudut jakamaan luku 2000 1 m hinnalla. Kääntäen, jos nyt alat kertoa kappaleen koon metreinä 1 m hinnalla, saat aina luvun 2000. Tämä oli odotettavissa, koska jokainen pala maksaa 2000 ruplaa.

Tästä voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: annetulle käänteisesti verrannollisten suureiden parille yhden suuren minkä tahansa arvon tulo toisen suuren vastaavalla arvolla on vakioluku (eli ei muutu).

Tehtävässämme tämä tulo on yhtä kuin 2 000. Tarkista, että edellisessä tehtävässä, jossa puhuttiin liikkeen nopeudesta ja kaupungista toiseen siirtymiseen tarvittavasta ajasta, oli myös kyseiselle ongelmalle vakioluku (1 200).

Kun kaikki sanottu otetaan huomioon, käänteisen suhteellisuuden kaava on helppo johtaa. Merkitse kirjaimella jonkin suuren arvoa X , ja toisen arvon vastaava arvo - kirjain klo . Sitten yllä olevan työn perusteella X päällä klo on oltava yhtä suuri kuin jokin vakioarvo, jota merkitsemme kirjaimella TO, eli

x v = TO.

Tässä tasa-arvossa X - kerroin, klo - kerroin ja K- tehdä työtä. Kertolaskuominaisuuden mukaan kerroin on yhtä suuri kuin tulo jaettuna kertolaskulla. tarkoittaa,

Tämä on käänteisen suhteellisuuden kaava. Sen avulla voimme laskea minkä tahansa määrän yhden käänteisesti verrannollisen suuren arvoja, kun tiedämme toisen arvot ja vakioluvun TO.

Harkitse toista ongelmaa: ”Yhden esseen kirjoittaja laski, että jos hänen kirjansa olisi tavallisessa muodossa, siinä olisi 96 sivua, mutta jos se olisi taskumuotoinen, siinä olisi 300 sivua. Hän yritti erilaisia ​​muunnelmia, aloitti 96 sivulla, ja sitten hän sai 2 500 kirjettä per sivu. Sitten hän otti alla olevassa taulukossa ilmoitetun sivumäärän ja laski jälleen kuinka monta kirjainta sivulla olisi.

Yritetään laskea kuinka monta kirjainta on sivulla, jos kirjassa on 100 sivua.

Koko kirjassa on 240 000 kirjainta, koska 2 500 96 = 240 000.

Tämän huomioon ottaen käytämme käänteisen suhteellisuuden kaavaa ( klo - kirjainten määrä sivulla X - sivujen määrä):

Meidän esimerkissämme TO= 240 000, joten

Sivulla on siis 2 400 kirjainta.

Samalla tavalla opimme, että jos kirjassa on 120 sivua, sivulla olevien kirjainten määrä on:

Pöytämme näyttää tältä:

Täytä loput solut itse.

§ 137. Muita tapoja ratkaista käänteisesti verrannollisia määriä tehtäviä.

Edellisessä kappaleessa ratkaisimme tehtäviä, jotka sisälsivät käänteisesti verrannollisia määriä. Johdimme aiemmin käänteisen suhteellisuuskaavan ja sovelsimme sitten tätä kaavaa. Näytämme nyt kaksi muuta tapaa ratkaista tällaisia ​​ongelmia.

1. Menetelmä pelkistämiseen ykseyteen.

Tehtävä. 5 sorvaajaa pystyy tekemään töitä 16 päivässä. Kuinka monessa päivässä 8 sorvaajaa voi suorittaa tämän työn?

Ratkaisu. Kääntäjien lukumäärän ja työajan välillä on käänteinen suhde. Jos 5 sorvaajaa tekee työn 16 päivässä, niin yksi henkilö tarvitsee tähän 5 kertaa enemmän aikaa, ts.

5 sorvaajaa tekee työn 16 päivässä,

1 kääntäjä suorittaa sen 16 5 = 80 päivässä.

Ongelma kysyy, kuinka monessa päivässä 8 sorvaajaa saa työn valmiiksi. Ilmeisesti he tekevät työn 8 kertaa nopeammin kuin 1 kääntäjä, eli

80:8 = 10 (päivää).

Tämä on ongelman ratkaisu ykseyteen pelkistysmenetelmällä. Tässä oli ensinnäkin määritettävä aika yhden työntekijän työn suorittamiseen.

2. Suhteellisuusmenetelmä. Ratkaistaan ​​sama ongelma toisella tavalla.

Koska työntekijöiden lukumäärän ja työajan välillä on kääntäen verrannollinen suhde, voidaan kirjoittaa: 5 sorvaajan työn kesto uusi sorvaajien määrä (8) 8 sorvaajan työn kesto entinen sorvaajien määrä (5) Merkitään kirjaimella haluttu työn kesto X ja korvaa tarvittavat luvut sanoin ilmaistussa suhteessa:

Sama ongelma ratkaistaan ​​mittasuhteiden menetelmällä. Sen ratkaisemiseksi meidän täytyi tehdä osio ongelman ehtoon sisältyvistä luvuista.

Huomautus. Edellisissä kappaleissa pohdimme suoraa ja käänteistä suhteellisuutta. Luonto ja elämä antavat meille monia esimerkkejä määrien suorista ja käänteisistä suhteista. On kuitenkin huomattava, että nämä kaksi riippuvuustyyppiä ovat vain yksinkertaisimmat. Niiden ohella määrien välillä on muitakin, monimutkaisempia suhteita. Lisäksi ei pidä ajatella, että jos mitkä tahansa kaksi määrää kasvaa samanaikaisesti, niin niiden välillä on välttämättä suora suhteellisuus. Tämä on kaukana totuudesta. Esimerkiksi hinta rautatie kasvaa etäisyyden mukaan: mitä pidemmälle menemme, sitä enemmän maksamme, mutta tämä ei tarkoita, että maksu olisi verrannollinen etäisyyteen.

Esimerkki

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 jne.

Suhteellisuustekijä

Suhteellisten suureiden vakiosuhdetta kutsutaan suhteellisuuskerroin. Suhteellisuuskerroin näyttää kuinka monta yksikköä yhtä suuresta putoaa toisen suuren yksikköön.

Suora suhteellisuus

Suora suhteellisuus- toiminnallinen riippuvuus, jossa jokin määrä riippuu toisesta suuresta siten, että niiden suhde pysyy vakiona. Toisin sanoen nämä muuttujat muuttuvat suhteellisesti, yhtä suurissa osuuksissa, eli jos argumentti on muuttunut kahdesti mihin tahansa suuntaan, niin myös funktio muuttuu kahdesti samaan suuntaan.

Matemaattisesti suora suhteellisuus kirjoitetaan kaavana:

f(x) = ax,a = const

Käänteinen suhteellisuus

Käänteinen suhde- tämä on toiminnallinen riippuvuus, jossa riippumattoman arvon (argumentin) kasvu aiheuttaa riippuvaisen arvon (funktion) suhteellisen pienenemisen.

Matemaattisesti käänteinen suhteellisuus kirjoitetaan kaavana:

Toiminnan ominaisuudet:

Lähteet

Wikimedia Foundation. 2010 .

Perustavoitteet:

• ottaa käyttöön määrien suoran ja käänteisesti verrannollisen riippuvuuden käsite;
• opettaa ratkaisemaan ongelmia näiden riippuvuuksien avulla;
• edistää ongelmanratkaisutaitojen kehittymistä;
• vahvistaa yhtälöiden ratkaisemisen taitoa suhteiden avulla;
• toista vaiheet tavallisilla ja desimaalit;
• kehittää looginen ajattelu opiskelijat.

TUTKIEN AIKANA

minä Itsemääräämisoikeus toimintaan(Järjestämisaika)

- Kaverit! Tänään oppitunnilla tutustumme mittasuhteiden avulla ratkaistuihin ongelmiin.

II. Tietojen päivittäminen ja toiminnan vaikeuksien korjaaminen

2.1. suullinen työ (3 min)

- Selvitä ilmaisujen merkitys ja selvitä vastauksissa salattu sana.

14 - s; 0,1 - ja; 7 - l; 0,2 - a; 17 - sisään; 25 - asti

- Sana tuli esiin - voimaa. Hyvin tehty!
- Tämän päivän oppituntimme motto: Voima on tiedossa! Etsin - joten opin!
- Tee osoitus tuloksena olevista luvuista. (14:7=0,2:0,1 jne.)

2.2. Harkitse tunnettujen määrien välistä suhdetta (7 min)

- auton vakionopeudella kulkema reitti ja sen liikkeen aika: S = v t( nopeuden (ajan) kasvaessa polku kasvaa);
- auton nopeus ja tiellä käytetty aika: v=S:t(reitin kulkuun kuluvan ajan kasvaessa nopeus laskee);
– yhdellä hinnalla ostettujen tavaroiden hinta ja määrä: C \u003d a n (hinnan noustessa (laskussa), ostokustannukset nousevat (laskevat);
- tuotteen hinta ja sen määrä: a \u003d C: n (määrän kasvaessa hinta laskee)
- suorakulmion pinta-ala ja sen pituus (leveys): S = a b (pituuden (leveyden) kasvaessa pinta-ala kasvaa;
- suorakulmion pituus ja leveys: a = S: b (pituuden kasvaessa leveys pienenee;
- työntekijöiden lukumäärä, jotka tekevät jonkin työn samalla työn tuottavuudella, ja tämän työn suorittamiseen kuluva aika: t \u003d A: n (työntekijöiden määrän kasvaessa työhön käytetty aika vähenee) jne.

Olemme saaneet riippuvuuksia, joissa yhden arvon kasvaessa useita kertoja, toinen kasvaa välittömästi saman verran (esimerkiksi nuolilla) ja riippuvuuksia, joissa yhden arvon kasvaessa useita kertoja toinen arvo pienenee saman verran.
Tällaisia ​​suhteita kutsutaan suoriksi ja käänteisiksi suhteiksi.
Suoraan verrannollinen riippuvuus- riippuvuus, jossa yhden arvon kasvaessa (laskeessa) useita kertoja, toinen arvo kasvaa (pienenee) saman verran.
Käänteinen verrannollinen suhde- riippuvuus, jossa yhden arvon kasvaessa (laskeessa) useita kertoja, toinen arvo pienenee (lisää) saman verran.

III. Oppimistehtävän selvitys

Mikä on kohtaamamme ongelma? (Opi erottamaan suorat ja käänteiset suhteet)
- Tämä - kohde meidän oppituntimme. Muotoile nyt aihe oppitunti. (Suora ja käänteinen suhteellisuus).
- Hyvin tehty! Kirjoita oppitunnin aihe vihkoon. (Opettaja kirjoittaa aiheen taululle.)

IV. Uuden tiedon "löytö".(10 min)

Analysoidaan ongelmia numero 199.

1. Tulostin tulostaa 27 sivua 4,5 minuutissa. Kuinka kauan 300 sivun tulostaminen kestää?

27 sivua - 4,5 min.
300 s. - x?

2. Laatikossa on 48 pakkausta teetä, kukin 250 g. Kuinka monta 150 g:n pakkausta tästä teestä tulee?

48 pakkausta - 250 g.
X? - 150 g.

3. Autolla ajettiin 310 km kulutettuaan 25 litraa bensaa. Kuinka pitkän matkan auto voi ajaa täydellä 40 litran tankilla?

310 km - 25 l
X? – 40 l

4. Yhdessä kytkimen vaihteista on 32 hammasta ja toisessa 40. Kuinka monta kierrosta toinen vaihde tekee, kun ensimmäinen 215 kierrosta?

32 hammasta - 315 rpm
40 hammasta - x?

Suhteen laatimiseksi tarvitaan yksi nuolten suunta, tätä varten käänteisessä suhteessa yksi suhde korvataan käänteisellä.

Liitutaululta opiskelijat löytävät määrien arvon, kentällä opiskelijat ratkaisevat yhden valitsemansa tehtävän.

– Muotoile sääntö ongelmien ratkaisemiseksi suoralla ja käänteisellä suhteella.

Taululle ilmestyy taulukko:

V. Ensisijainen lujittaminen ulkoisessa puheessa(10 min)

Tehtävät arkeilla:

1. 21 kg puuvillansiemenistä saatiin 5,1 kg öljyä. Kuinka paljon öljyä saadaan 7 kg puuvillansiemenistä?
2. Stadionin rakentamista varten 5 puskutraktoria raivasivat kohteen 210 minuutissa. Kuinka kauan kestäisi 7 puskutraktoria tämän alueen puhdistamiseen?

VI. Itsenäinen työ standardin mukaisella itsetestauksella(5 minuuttia)

Kaksi opiskelijaa suorittaa tehtävät nro 225 yksin piilotetuilla tauluilla ja loput vihkoissa. Sitten he tarkistavat työn algoritmin mukaan ja vertaavat sitä taululla olevaan ratkaisuun. Virheet korjataan, niiden syyt selvitetään. Jos tehtävä on suoritettu, niin oppilaat laittavat viereen "+" -merkin itselleen.
Itsenäisessä työssään virheitä tekevät opiskelijat voivat käyttää konsultteja.

VII. Tietojärjestelmään sisällyttäminen ja toisto№ 271, № 270.

Taululla työskentelee kuusi henkilöä. 3–4 minuutin kuluttua taululla työskennelleet opiskelijat esittelevät ratkaisunsa ja loput tarkistavat tehtävät ja osallistuvat niiden keskusteluun.

VIII. Aktiviteetin heijastus (tunnin tulos)

- Mitä uutta opit tunnilla?
- Mitä toistit?
Mikä on suhteellisten ongelmien ratkaisemisen algoritmi?
Olemmeko saavuttaneet tavoitteemme?
- Miten arvioit työsi?