Tässä videossa katsomme koko setin. lineaariset yhtälöt, jotka ratkaistaan samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.
Aluksi määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja mitä niistä pitäisi kutsua yksinkertaisimmaksi?
Lineaarinen yhtälö on sellainen, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.
Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:
Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin käyttämällä algoritmia:
- Avoimet sulut, jos sellaisia on;
- Siirrä muuttujan sisältävät termit yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle puolelle;
- Tuo samat termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle;
- Jaa saatu yhtälö muuttujan $x$ kertoimella.
Tämä algoritmi ei tietenkään aina auta. Tosiasia on, että joskus kaikkien näiden koneistusten jälkeen muuttujan $x$ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:
- Yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja. Esimerkiksi kun saat jotain $0\cdot x=8$, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla on nollasta poikkeava luku. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä, miksi tämä tilanne on mahdollinen.
- Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, jolloin tämä on mahdollista, on, kun yhtälö on pelkistetty konstruktioon $0\cdot x=0$. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $x$ korvaamme, siitä huolimatta tulee esiin "nolla on yhtä kuin nolla", ts. oikea numeerinen yhtäläisyys.
Ja nyt katsotaan kuinka se kaikki toimii todellisten ongelmien esimerkissä.
Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta
Nykyään käsittelemme lineaarisia yhtälöitä, ja vain yksinkertaisimpia. Yleensä lineaarinen yhtälö tarkoittaa mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää täsmälleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.
Tällaiset rakenteet ratkaistaan suunnilleen samalla tavalla:
- Ensinnäkin sinun on avattava mahdolliset sulut (kuten viimeisessä esimerkissämme);
- Tuo sitten samanlainen
- Lopuksi eristetään muuttuja, ts. kaikki muuttujaan liittyvä - sen sisältämät termit - siirtyy toiselle puolelle ja kaikki, mikä jää ilman sitä, siirtyy toiselle puolelle.
Sitten sinun on pääsääntöisesti tuotava samanlainen tuloksena olevan tasa-arvon kummallekin puolelle, ja sen jälkeen jää vain jakaa kertoimella kohdassa "x", ja saamme lopullisen vastauksen.
Teoriassa tämä näyttää mukavalta ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokeneet lukiolaiset voivat tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaarisissa yhtälöissä. Yleensä virheitä tehdään joko sulkuja avattaessa tai "plussia" ja "miinuksia" laskettaessa.
Lisäksi käy niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan tai niin, että ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Analysoimme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnilla. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, suurimmasta yksinkertaisia tehtäviä.
Kaavio yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi
Aluksi haluan kirjoittaa vielä kerran koko kaavion yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:
- Laajenna mahdolliset sulkeet.
- Eristä muuttujat, ts. kaikki, mikä sisältää "x":n, siirretään toiselle puolelle ja ilman x:tä - toiselle.
- Esittelemme samanlaisia termejä.
- Jaamme kaiken kertoimella "x".
Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, sillä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt opimme tuntemaan ne.
Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä
Tehtävä 1
Ensimmäisessä vaiheessa meidän on avattava kiinnikkeet. Mutta ne eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme tämän vaiheen. Toisessa vaiheessa meidän on eristettävä muuttujat. Huomautus: me puhumme vain yksittäisistä ehdoista. Kirjoitetaan:
Annamme samanlaiset ehdot vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty täällä. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tässä saimme vastauksen.
Tehtävä #2
Tässä tehtävässä voimme tarkkailla sulkuja, joten laajennetaan niitä:
Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman konstruktion, mutta toimitaan algoritmin mukaan, ts. Sequester muuttujat:
Tässä muutamia kuten:
Millä juurilla tämä toimii? Vastaus: mihin tahansa. Siksi voimme kirjoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku.
Tehtävä #3
Kolmas lineaarinen yhtälö on jo mielenkiintoisempi:
\[\vasen(6-x \oikea)+\vasen(12+x \oikea)-\vasen(3-2x \oikea)=15\]
Tässä on useita suluita, mutta niitä ei kerrota millään, niiden edessä on vain erilaisia merkkejä. Puretaan ne:
Suoritamme jo tuntemamme toisen vaiheen:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Lasketaan:
Me toteutamme viimeinen askel- jaa kaikki kertoimella "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Muistettavaa, kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä
Jos jätämme huomiotta liian yksinkertaiset tehtävät, haluaisin sanoa seuraavaa:
- Kuten edellä sanoin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
- Vaikka juuret olisivat, nolla voi päästä niiden joukkoon - siinä ei ole mitään vikaa.
Nolla on sama luku kuin muut, sinun ei pitäisi jotenkin syrjiä sitä tai olettaa, että jos saat nollan, olet tehnyt jotain väärin.
Toinen ominaisuus liittyy sulkeiden laajentamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa muutamme merkit vastapäätä. Ja sitten voimme avata sen standardialgoritmien mukaan: saamme sen, mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.
Tämän yksinkertaisen tosiasian ymmärtäminen auttaa sinua välttämään typeriä ja loukkaavia virheitä lukiossa, kun tällaisia toimia pidetään itsestäänselvyytenä.
Monimutkaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen
Jatketaan lisää monimutkaisia yhtälöitä. Nyt rakenteet monimutkaistuvat ja eri muunnoksia suoritettaessa tulee näkyviin neliöfunktio. Sinun ei kuitenkaan pidä pelätä tätä, koska jos ratkaisemme kirjoittajan tarkoituksen mukaan lineaarisen yhtälön, niin muunnosprosessissa kaikki monomit, jotka sisältävät toisen asteen funktion, pelkistyvät välttämättä.
Esimerkki #1
On selvää, että ensimmäinen askel on avata sulut. Tehdään tämä erittäin huolellisesti:
Otetaan nyt yksityisyys:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Tässä muutamia kuten:
Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten vastauksessa kirjoitamme seuraavasti:
\[\lajike \]
tai ei juuria.
Esimerkki #2
Suoritamme samat vaiheet. Ensimmäinen askel:
Siirretään kaikki muuttujan kanssa vasemmalle ja ilman sitä - oikealle:
Tässä muutamia kuten:
Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen näin:
\[\varnothing\],
tai ei juuria.
Ratkaisun vivahteet
Molemmat yhtälöt ovat täysin ratkaistu. Näiden kahden lausekkeen esimerkissä varmistimme jälleen kerran, että jopa yksinkertaisimmissa lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei voi olla niin yksinkertaista: niitä voi olla joko yksi tai ei yhtään tai äärettömän monta. Meidän tapauksessamme tarkastelimme kahta yhtälöä, molemmissa ei yksinkertaisesti ole juuria.
Mutta haluaisin kiinnittää huomiosi toiseen tosiasiaan: kuinka työskennellä suluilla ja kuinka laajentaa niitä, jos niiden edessä on miinusmerkki. Harkitse tätä ilmaisua:
Ennen avaamista sinun on kerrottava kaikki "x":llä. Huomaa: kerro jokainen yksittäinen termi. Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrotaan.
Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on saatu päätökseen, voidaan sulku avata siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muunnokset on tehty, muistamme, että suluissa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki alla oleva vain muuttaa merkkejä. Samaan aikaan itse kiinnikkeet katoavat ja mikä tärkeintä, myös etuosan "miinus" katoaa.
Teemme saman toisen yhtälön kanssa:
Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin faktoihin. Koska yhtälöiden ratkaisu on aina elementaaristen muunnosten sarja, jossa kyvyttömyys suorittaa selkeästi ja pätevästi yksinkertaiset vaiheet johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat ratkaisemaan niin yksinkertaisia yhtälöitä uudelleen.
Tietysti tulee päivä, jolloin hioat nämä taidot automatismiin. Sinun ei enää tarvitse tehdä niin monia muunnoksia joka kerta, kirjoitat kaiken yhdelle riville. Mutta kun olet vain oppimassa, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.
Vielä monimutkaisempien lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen
Sitä, mitä aiomme ratkaista nyt, voidaan tuskin kutsua yksinkertaisimmaksi tehtäväksi, mutta merkitys pysyy samana.
Tehtävä 1
\[\vasen(7x+1 \oikea)\vasen(3x-1 \oikea)-21((x)^(2))=3\]
Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:
Tehdään retriitti:
Tässä muutamia kuten:
Tehdään viimeinen vaihe:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että ratkaisuprosessissa meillä oli neliöfunktion kertoimia, ne kuitenkin kumosivat toisensa, mikä tekee yhtälöstä täsmälleen lineaarisen, ei neliön.
Tehtävä #2
\[\vasen(1-4x \oikea)\vasen(1-3x \oikea)=6x\vasen(2x-1 \oikea)\]
Tehdään ensimmäinen vaihe huolellisesti: kerrotaan jokainen ensimmäisen sulussa oleva elementti jokaisella toisen elementillä. Yhteensä neljä uutta termiä tulisi saada muunnosten jälkeen:
Ja nyt suorita kertolasku huolellisesti jokaisessa termissä:
Siirretään termit "x":n kanssa vasemmalle ja ilman - oikealle:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Tässä on samanlaisia termejä:
Olemme saaneet lopullisen vastauksen.
Ratkaisun vivahteet
Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on tämä: heti kun alamme kertoa hakasulkeet, joissa on enemmän kuin termi, niin tämä tehdään seuraavan säännön mukaisesti: otetaan ensimmäinen termi ensimmäisestä ja kerrotaan jokaisella elementillä toisesta; sitten otetaan toinen elementti ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla jokaisella toisesta elementistä. Tuloksena saamme neljä termiä.
Algebrallisella summalla
Viimeisessä esimerkissä haluaisin muistuttaa oppilaita siitä, mikä on algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa $1-7$ tarkoitamme yksinkertaista konstruktiota: vähennämme seitsemän yhdestä. Algebrassa tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen luvun, nimittäin "miinus seitsemän". Tämä algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.
Heti kun suoritat kaikkia muunnoksia, jokaista yhteenlaskua ja kertolaskua, alat nähdä edellä kuvatun kaltaisia rakenteita, sinulla ei yksinkertaisesti ole ongelmia algebrassa työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.
Lopuksi katsotaan vielä muutama esimerkki, jotka ovat vieläkin monimutkaisempia kuin juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman standardialgoritmiamme.
Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvulla
Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi algoritmiimme on lisättävä vielä yksi vaihe. Mutta ensin muistutan algoritmimme:
- Avaa kiinnikkeet.
- Erilliset muuttujat.
- Tuo samanlainen.
- Jaa kertoimella.
Valitettavasti tämä upea algoritmi kaikesta tehokkuudestaan huolimatta ei ole täysin sopiva, kun meillä on edessämme murto-osia. Ja mitä näemme alla, molemmissa yhtälöissä on murto-osa vasemmalla ja oikealla.
Kuinka toimia tässä tapauksessa? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista! Tätä varten sinun on lisättävä algoritmiin vielä yksi vaihe, joka voidaan suorittaa sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin päästä eroon murtoluvuista. Algoritmi tulee siis olemaan seuraava:
- Päästä eroon murtoluvuista.
- Avaa kiinnikkeet.
- Erilliset muuttujat.
- Tuo samanlainen.
- Jaa kertoimella.
Mitä tarkoittaa "päästä eroon murtoluvuista"? Ja miksi tämä on mahdollista tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murtoluvut ovat numeerisia nimittäjän suhteen, ts. kaikkialla nimittäjä on vain numero. Siksi, jos kerromme yhtälön molemmat osat tällä luvulla, pääsemme eroon murtoluvuista.
Esimerkki #1
\[\frac(\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea))(4)=((x)^(2))-1\]
Päätetään eroon tämän yhtälön murtoluvuista:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Huomaa: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. se, että sinulla on kaksi hakasulkua, ei tarkoita, että sinun täytyy kertoa niistä jokainen "neljällä". Kirjoitetaan:
\[\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea)=\vasen(((x)^(2))-1 \oikea)\cdot 4\]
Nyt avataan:
Suoritamme muuttujan eristämisen:
Suoritamme vastaavien ehtojen vähentämisen:
\[-4x=-1\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Olemme saaneet lopullisen ratkaisun, siirrymme toiseen yhtälöön.
Esimerkki #2
\[\frac(\vasen(1-x \oikea)\vasen(1+5x \oikea))(5)+((x)^(2))=1\]
Täällä teemme kaikki samat toiminnot:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Ongelma ratkaistu.
Se on itse asiassa kaikki, mitä halusin kertoa tänään.
Avainkohdat
Tärkeimmät havainnot ovat seuraavat:
- Tunne lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmi.
- Kyky avata kiinnikkeitä.
- Älä huoli, jos sinulla on toisen asteen funktioita jossain, todennäköisimmin lisämuunnosprosessissa niitä pienennetään.
- Lineaaristen yhtälöiden juuret, jopa yksinkertaisimmat, ovat kolmenlaisia: yksi juuri, koko lukuviiva on juuri, juuria ei ole ollenkaan.
Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertaisen, mutta erittäin tärkeän aiheen kaiken matematiikan ymmärtämiseksi paremmin. Jos jokin on epäselvää, mene sivustolle ja ratkaise siellä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla, sinua odottaa paljon muuta mielenkiintoista!
Tämä yhtälön osa on suluissa oleva lauseke. Avaa sulkeet katsomalla sulkujen edessä olevaa merkkiä. Jos plusmerkki on, mikään ei muutu, kun laajennat lauseketietueen sulkuja: poista vain sulut. Jos on miinusmerkki, sulkuja avattaessa on tarpeen vaihtaa kaikki alun perin suluissa olevat merkit vastakkaisiin. Esimerkiksi -(2x-3)=-2x+3.
Kahden hakasulkeen kertominen.
Jos yhtälö sisältää kahden sulkumerkin tulon, laajenna sulkuja vakiosäännön mukaisesti. Jokainen ensimmäisen sulkumerkin termi kerrotaan kunkin toisen sulkumerkin termillä. Tuloksena saadut luvut lasketaan yhteen. Tässä tapauksessa kahden "plussin" tai kahden "miinuksen" tulo antaa termille "plus"-merkin, ja jos tekijöillä on eri merkit, se saa "miinus"-merkin.
Harkitse.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Laajentamalla sulkeita, joskus nostamalla lausekkeen muotoon . Neliöinnin ja kuutioimisen kaavat on tiedettävä ulkoa ja muistettava.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Kaavat kolmea suuremman lausekkeen nostamiseksi voidaan tehdä käyttämällä Pascalin kolmiota.
Lähteet:
- sulkujen avauskaava
Suluissa matemaattisia operaatioita voi sisältää muuttujia ja lausekkeita vaihtelevassa määrin vaikeuksia. Tällaisten lausekkeiden moninkertaistamiseksi on etsittävä ratkaisua yleisnäkymä, laajentaa sulkuja ja yksinkertaistaa tulosta. Jos suluissa on operaatioita ilman muuttujia, vain kanssa numeerisia arvoja, silloin ei ole tarpeen avata sulkuja, koska jos tietokone on käyttäjän käytettävissä, käytettävissä on erittäin merkittäviä laskentaresursseja - niitä on helpompi käyttää kuin yksinkertaistaa lauseketta.
Ohje
Kerro peräkkäin jokainen yhdessä sulussa oleva (tai vähennä niistä) kaikkien muiden sulkeiden sisällöllä, jos haluat saada yleisen tuloksen. Esimerkiksi kirjoitetaan alkuperäinen lauseke näin: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Sitten peräkkäinen kertolasku (eli hakasulkeiden laajentaminen) antaa seuraavan tuloksen: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Yksinkertaista tuloksen jälkeen lyhentämällä lausekkeita. Esimerkiksi edellisessä vaiheessa saatua lauseketta voidaan yksinkertaistaa seuraavasti: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Käytä laskinta, jos sinun täytyy kertoa x on yhtä kuin 4,75, eli (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Laske tämä arvo siirtymällä Googlen tai Nigman hakukoneen verkkosivuille ja kirjoittamalla lauseke kyselykenttään alkuperäisessä muodossaan (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google näyttää numeron 82.265625 välittömästi ilman napin painallusta, kun taas Nigman on lähetettävä tiedot palvelimelle napin painalluksella.
Nyt siirrymme vain avaamaan sulkumerkit lausekkeissa, joissa suluissa oleva lauseke kerrotaan luvulla tai lausekkeella. Muotoilkaamme sääntö miinusmerkin edeltävien hakasulkujen avaamisesta: sulut yhdessä miinusmerkin kanssa jätetään pois ja kaikkien suluissa olevien termien merkit korvataan vastakkaisilla merkeillä.
Eräs lausekkeen muunnostyyppi on sulkeiden laajennus. Numeerinen, kirjaimellisia ilmaisuja ja lausekkeet, joissa on muuttujia, muodostetaan hakasulkeilla, jotka voivat osoittaa toimintojen suoritusjärjestyksen, sisältää negatiivisen luvun ja niin edelleen. Oletetaan, että yllä kuvatuissa lausekkeissa voi olla lukujen ja muuttujien sijasta mitä tahansa lausekkeita.
Ja kiinnitetään huomiota vielä yhteen kohtaan, joka koskee ratkaisun kirjoittamisen erityispiirteitä sulkuja avattaessa. Edellisessä kappaleessa käsittelimme niin sanottua sulkeiden laajennusta. Tätä varten on olemassa sulujen avaamista koskevia sääntöjä, joita tarkastelemme nyt. Tämän säännön sanelee se tosiasia, että on tapana kirjoittaa positiivisia lukuja ilman sulkuja, tässä tapauksessa hakasulkeet ovat tarpeettomia. Lauseke (−3.7)−(−2)+4+(−9) voidaan kirjoittaa ilman sulkuja muodossa −3.7+2+4−9.
Lopuksi säännön kolmas osa johtuu yksinkertaisesti merkinnän erityispiirteistä negatiivisia lukuja, joka seisoo lausekkeen vasemmalla puolella (jonka mainitsimme negatiivisten lukujen kirjoittamista varten suluissa). Saatat kohdata lausekkeita, jotka koostuvat numerosta, miinusmerkeistä ja useista sulkupareista. Jos laajennat sulkuja siirtymällä sisäpuolelta ulompaan, niin ratkaisu on: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5) = −5.
Kuinka avata sulut?
Tässä on selitys: −(−2 x) on +2 x, ja koska tämä lauseke tulee ensin, niin +2 x voidaan kirjoittaa muodossa 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x ja −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Hakasulkeiden avaussäännön ensimmäinen osa seuraa suoraan negatiivisten lukujen kertomista koskevasta säännöstä. Sen toinen osa on seuraus säännöstä kertoa numerot kanssa erilaisia merkkejä. Jatketaan esimerkkejä laajennetuista hakasulkeista tuotteissa ja kahden eri merkin luvun osamäärässä.
Sulujen avaaminen: säännöt, esimerkit, ratkaisut.
Yllä oleva sääntö ottaa huomioon näiden toimien koko ketjun ja nopeuttaa huomattavasti sulujen avaamisprosessia. Saman säännön avulla voit avata hakasulkeet lausekkeissa, jotka ovat tuotteita, ja yksityisissä lausekkeissa, joissa on miinusmerkki, jotka eivät ole summia ja eroja.
Harkitse esimerkkejä tämän säännön soveltamisesta. Annamme vastaavan säännön. Yllä olemme jo kohdanneet muotoa −(a) ja −(−a) olevat lausekkeet, jotka kirjoitetaan ilman sulkuja −a ja a. Esimerkiksi −(3)=3 ja. Nämä ovat mainitun säännön erityistapauksia. Harkitse nyt esimerkkejä avaussuluista, kun niihin on liitetty summia tai eroja. Näytämme esimerkkejä tämän säännön käytöstä. Merkitse lauseke (b1+b2) b:ksi, jonka jälkeen käytämme sääntöä hakasulkujen kertomisesta edellisen kappaleen lausekkeella, saamme (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.
Induktion avulla tämä lause voidaan laajentaa mielivaltaiseen määrään termejä jokaisessa sulussa. Jäljelle jää avata sulut tuloksena olevassa lausekkeessa käyttämällä edellisten kappaleiden sääntöjä, jolloin saadaan 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.
Matematiikan sääntö on sulkeiden avaaminen, jos sulujen edessä on (+) ja (-), erittäin tarpeellinen sääntö
Tämä lauseke on kolmen tekijän (2+4), 3 ja (5+7 8) tulo. Kiinnikkeet on avattava peräkkäin. Nyt käytämme sääntöä hakasulkujen kertomiseen luvulla, meillä on ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Valtiot, joiden kantaluvut ovat joitain suluissa kirjoitettuja lausekkeita, joissa luonnolliset indikaattorit voidaan ajatella useiden sulkeiden tulona.
Muunnetaan esimerkiksi lauseke (a+b+c)2. Ensin kirjoitetaan se kahden hakasulkeen (a + b + c) (a + b + c) tulona, nyt kerrotaan hakasulku hakasulkeittain, saadaan a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.
Sanomme myös, että kahden luvun summien ja erojen nostamiseksi luonnolliseen potenssiin on suositeltavaa käyttää Newtonin binomiaalikaavaa. Esimerkiksi (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Ei ole yhtä kätevää korvata jako alustavasti kertolaskulla ja käyttää sitten asianmukaista sääntöä sulujen avaamiseen tuotteessa.
On vielä selvitettävä sulujen avaamisjärjestys esimerkkien avulla. Otetaan lauseke (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Korvaa nämä tulokset alkuperäisessä lausekkeessa: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Jäljelle jää vain sulkeiden avaaminen loppuun, tuloksena meillä on −5+3 2:4+6 7. Tämä tarkoittaa, että siirryttäessä tasa-arvon vasemmalta puolelta oikealle, sulut avautuivat.
Huomaa, että kaikissa kolmessa esimerkissä poistimme vain sulut. Ensin lisätään 445 889:ään. Tämä henkinen toiminta voidaan suorittaa, mutta se ei ole kovin helppoa. Avataan sulut ja katsotaan, että muuttunut toimintojärjestys yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti.
Kuinka avata sulut eri tavalla
Havainnollistava esimerkki ja sääntö. Harkitse esimerkkiä: . Voit selvittää lausekkeen arvon lisäämällä 2 ja 5 ja ottamalla sitten tuloksena olevan luvun päinvastaisella merkillä. Sääntö ei muutu, jos suluissa ei ole kahta, vaan kolme tai useampia termejä. Kommentti. Merkit käännetään vain termien edessä. Avataksemme sulut, tässä tapauksessa meidän on muistettava distributiivinen ominaisuus.
Yksittäiset numerot suluissa
Virheesi ei ole merkeissä, vaan väärässä työssä murtolukujen kanssa? 6. luokalla tutustuttiin positiivisiin ja negatiivisiin lukuihin. Kuinka ratkaisemme esimerkkejä ja yhtälöitä?
Paljonko on suluissa? Mitä näistä ilmaisuista voidaan sanoa? Tietenkin ensimmäisen ja toisen esimerkin tulos on sama, joten voit laittaa niiden väliin yhtäläisyysmerkin: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Mitä teimme suluille?
Dian 6 esittely sulujen avaamissäännöillä. Siten sulkeiden avaamista koskevat säännöt auttavat meitä ratkaisemaan esimerkkejä, yksinkertaistamaan lausekkeita. Seuraavaksi opiskelijat kutsutaan työskentelemään pareittain: on tarpeen yhdistää hakasulkeet sisältävä lauseke vastaavaan lausekkeeseen ilman sulkuja nuolilla.
Dia 11 Kerran aurinkoisessa kaupungissa Znayka ja Dunno väittelivät, kumpi heistä ratkaisi yhtälön oikein. Seuraavaksi opiskelijat ratkaisevat itsenäisesti yhtälön soveltamalla sulujen avaamissääntöjä. Yhtälöiden ratkaiseminen ”Oppitunnin tavoitteet: kasvatuksellinen (ZUN:ien kiinnittäminen aiheeseen:“ Aloitussulut.
Oppitunnin aihe: "Alusulut. Tässä tapauksessa sinun on kerrottava jokainen termi ensimmäisistä sulkuista kullakin termillä toisista sulkuista ja sitten laskettava tulokset. Ensin otetaan kaksi ensimmäistä tekijää, jotka suljetaan vielä yhteen hakasulkeeseen, ja näiden suluissa sulut avataan jonkin jo tunnetun säännön mukaisesti.
rawalan.freezeet.ru
Sulujen avaaminen: säännöt ja esimerkit (luokka 7)
Hakasulkeiden päätehtävä on muuttaa toimintojen järjestystä arvoja laskettaessa numeerisia lausekkeita . Esimerkiksi, numeerisessa lausekkeessa \(5 3+7\) lasketaan ensin kertolasku ja sitten yhteenlasku: \(5 3+7 =15+7=22\). Mutta lausekkeessa \(5·(3+7)\) lasketaan ensin yhteenlasku suluissa ja vasta sitten kertolasku: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Kuitenkin, jos olemme tekemisissä algebrallinen lauseke sisältävät muuttuja- esimerkiksi näin: \ (2 (x-3) \) - silloin on mahdotonta laskea arvoa suluissa, muuttuja häiritsee. Siksi tässä tapauksessa sulut "avataan" käyttämällä asianmukaisia sääntöjä.
Kiinnikkeen laajennussäännöt
Jos hakasulkeen edessä on plusmerkki, hakasulke yksinkertaisesti poistetaan, ja siinä oleva lauseke pysyy ennallaan. Toisin sanoen:
Tässä on tarpeen selventää, että matematiikassa merkintöjen vähentämiseksi on tapana olla kirjoittamatta plusmerkkiä, jos se on lausekkeen ensimmäinen. Jos esimerkiksi lisäämme kaksi positiivista lukua, esimerkiksi seitsemän ja kolme, emme kirjoita \(+7+3\), vaan yksinkertaisesti \(7+3\), huolimatta siitä, että seitsemän on myös positiivinen luku . Vastaavasti, jos näet esimerkiksi lausekkeen \((5+x)\) - tiedä se hakasulkeen edessä on plus, jota ei ole kirjoitettu.
Esimerkki
. Avaa hakasulku ja anna vastaavat termit: \((x-11)+(2+3x)\).
Ratkaisu
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Jos hakasulkeen edessä on miinusmerkki, niin kun sulkumerkki poistetaan, jokainen lausekkeen jäsen sen sisällä vaihtaa merkin päinvastaiseksi:
Tässä on tarpeen selventää, että a:lla, kun se oli suluissa, oli plusmerkki (he eivät vain kirjoittaneet sitä), ja hakasulkeen poistamisen jälkeen tämä plus muuttui miinukseksi.
Esimerkki
: Yksinkertaista lauseke \(2x-(-7+x)\).
Ratkaisu
: suluissa on kaksi termiä: \(-7\) ja \(x\), ja hakasulkeen edessä on miinus. Tämä tarkoittaa, että merkit muuttuvat - ja seitsemän on nyt plussalla ja x miinuksella. avaa kannatin ja tuo samat ehdot .
Esimerkki.
Laajenna hakasulku ja anna vastaavat termit \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Ratkaisu
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Jos hakasulkeen edessä on kerroin, niin jokainen hakasulkeen jäsen kerrotaan sillä, eli:
Esimerkki.
Laajenna sulut \(5(3-x)\).
Ratkaisu
: Meillä on \(3\) ja \(-x\) suluissa ja viisi suluissa. Tämä tarkoittaa, että jokainen hakasulkeen jäsen kerrotaan luvulla \ (5 \) - Muistutan, että luvun ja hakasulkujen välistä kertomerkkiä matematiikassa ei kirjoiteta tietueiden koon pienentämiseksi.
Esimerkki.
Laajenna sulut \(-2(-3x+5)\).
Ratkaisu
: Kuten edellisessä esimerkissä, hakasulkeet \(-3x\) ja \(5\) kerrotaan \(-2\).
Jäljelle jää viimeinen tilanne.
Kun sulut kerrotaan suluilla, jokainen ensimmäisen sulussa oleva termi kerrotaan toisen jokaisen termillä:
Esimerkki.
Laajenna sulut \((2-x)(3x-1)\).
Ratkaisu
: Meillä on sulujen tuote ja se voidaan avata välittömästi yllä olevan kaavan avulla. Mutta jotta se ei menisi sekaisin, tehdään kaikki askel askeleelta.
Vaihe 1. Poistamme ensimmäisen kiinnikkeen - jokainen sen jäsen kerrotaan toisella kiinnikkeellä:
Vaihe 2. Laajenna hakasulkujen tulot edellä kuvatulla kertoimella:
- ensimmäinen ensin...
Vaihe 3. Nyt kerromme ja tuomme samanlaiset termit:
Kaikkia muunnoksia ei tarvitse maalata yksityiskohtaisesti, voit kertoa heti. Mutta jos opettelet vain avaamaan hakasulkeet - kirjoita yksityiskohtaisesti, virheen tekemisen mahdollisuus on pienempi.
Huomautus koko jaksoon. Itse asiassa sinun ei tarvitse muistaa kaikkia neljää sääntöä, sinun täytyy muistaa vain yksi, tämä: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miksi? Koska jos korvaamme yhden c:n sijaan, saamme säännön \((a-b)=a-b\) . Ja jos korvataan miinus yksi, saadaan sääntö \(-(a-b)=-a+b\) . No, jos korvaat toisen hakasulkeen c:n sijaan, saat viimeisen säännön.
suluissa suluissa
Joskus käytännössä on ongelmia muiden sulujen sisäkkäisissä suluissa. Tässä on esimerkki tällaisesta tehtävästä: yksinkertaistaa lauseketta \(7x+2(5-(3x+y))\).
Menestyäksesi näissä tehtävissä sinun tulee:
- ymmärrä huolellisesti sulujen sisäkkäisyys - mikä niistä on missä;
- avaa kiinnikkeet peräkkäin aloittaen esimerkiksi sisimmästä.
Se on tärkeää avattaessa jokin kiinnikkeistä älä koske muuhun ilmaisuun, kirjoita se uudelleen sellaisenaan.
Otetaan esimerkkinä yllä oleva tehtävä.
Esimerkki.
Avaa sulut ja anna vastaavat termit \(7x+2(5-(3x+y))\).
Ratkaisu:
Aloitetaan tehtävä avaamalla sisäkiinnike (sisäinen). Avaamalla sen käsittelemme vain sitä tosiasiaa, että se liittyy suoraan siihen - tämä on itse kiinnike ja sen edessä oleva miinus (korostettu vihreällä). Kaikki muu (ei valittu) kirjoitetaan uudelleen sellaisena kuin se oli.
Matematiikan tehtävien ratkaiseminen verkossa
Online-laskin.
Polynomin yksinkertaistaminen.
Polynomien kertolasku.
Tällä matemaattisella ohjelmalla voit yksinkertaistaa polynomia.
Kun ohjelma on käynnissä:
- kertoo polynomit
- summaa monomialeja (antaa samankaltaisia)
- avaa sulut
- Nostaa polynomin potenssiin
Polynomin yksinkertaistamisohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, se antaa yksityiskohtaisen ratkaisun selityksineen, ts. näyttää ratkaisuprosessin, jotta voit tarkistaa matematiikan ja/tai algebran tietosi.
Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen opiskelijoille yleissivistävät koulut valmistellessaan valvoa työtä ja tentit, kun testataan tietoja ennen tenttiä, vanhemmat hallitsevat monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.
Tällä tavalla voit suorittaa oman harjoittelusi ja/tai kouluttaa omasi nuoremmat veljet tai sisaruksia, kun taas koulutustaso ratkaistavien tehtävien alalla nousee.
Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota sekunti.
Vähän teoriaa.
Monomin ja polynomin tulo. Polynomin käsite
Algebrassa huomioitujen eri lausekkeiden joukossa, tärkeä paikka ovat monomiaalien summat. Tässä on esimerkkejä tällaisista ilmaisuista:
Monomien summaa kutsutaan polynomiksi. Polynomin termejä kutsutaan polynomin jäseniksi. Mononomeja kutsutaan myös polynomeiksi, kun monomia pidetään polynomina, joka koostuu yhdestä jäsenestä.
Esitämme kaikki termit vakiomuodon monomialeina:
Annamme samanlaiset termit tuloksena olevaan polynomiin:
Tuloksena on polynomi, jonka kaikki jäsenet ovat vakiomuotoisia monomeja, eikä niiden joukossa ole vastaavia. Tällaisia polynomeja kutsutaan vakiomuotoiset polynomit.
Takana polynomin aste vakiolomakkeella sen jäsenten valtuuksista suurin. Joten binomiaalilla on kolmas aste ja trinomilla toinen.
Yleensä yhden muuttujan sisältävien vakiomuotoisten polynomien termit on järjestetty sen eksponentin mukaan laskevaan järjestykseen. Esimerkiksi:
Useiden polynomien summa voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoiseksi polynomiksi.
Joskus polynomin jäsenet on jaettava ryhmiin siten, että jokainen ryhmä merkitään sulkeisiin. Koska sulut ovat sulkeiden vastakohta, se on helppo muotoilla sulkujen avaussäännöt:
Jos +-merkki on ennen sulkeita, suluissa olevat termit kirjoitetaan samoilla merkeillä.
Jos "-"-merkki on asetettu sulujen eteen, suluissa olevat termit kirjoitetaan vastakkaisilla merkeillä.
Monomin ja polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).
Kertolaskun distributiivista ominaisuutta käyttämällä voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) monomin ja polynomin tulo polynomiksi. Esimerkiksi:
Monomin ja polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin tämän monomin ja polynomin kunkin ehdon tulojen summa.
Tämä tulos muotoillaan yleensä sääntönä.
Jotta monomi voidaan kertoa polynomilla, tämä monomi on kerrottava kullakin polynomin ehdolla.
Olemme toistuvasti käyttäneet tätä sääntöä summalla kertomiseen.
Polynomien tulo. Kahden polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).
Yleensä kahden polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin yhden polynomin kunkin termin ja toisen polynomin kunkin termin tulon summa.
Käytä yleensä seuraavaa sääntöä.
Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin kukin termi toisen termillä ja laskettava tuloksena saadut tulot.
Lyhennetyt kertolaskukaavat. Summa-, ero- ja erotusneliöt
Joitakin algebrallisten muunnosten lausekkeita on käsiteltävä useammin kuin toisia. Ehkä yleisimmät lausekkeet ovat ja eli summan neliö, erotuksen neliö ja neliöiden erotus. Olet huomannut, että näiden lausekkeiden nimet näyttävät olevan epätäydellisiä, joten esimerkiksi - tämä ei tietenkään ole vain summan neliö, vaan a:n ja b:n summan neliö. A:n ja b:n summan neliö ei kuitenkaan ole niin yleinen, sillä se sisältää yleensä kirjainten a ja b sijasta erilaisia, joskus varsin monimutkaisia lausekkeita.
Lausekkeet on helppo muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoisiksi polynomeiksi, itse asiassa olet jo kohdannut tällaisen tehtävän kertoessasi polynomeja:
Tuloksena saadut identiteetit ovat hyödyllisiä muistaa ja soveltaa ilman välilaskutoimituksia. Lyhyet sanamuodot auttavat tässä.
on summan neliö on yhtä suuri kuin summa neliöt ja tuplatuote.
- erotuksen neliö on yhtä suuri kuin neliöiden summa ilman kaksinkertaista tuloa.
- neliöiden erotus on yhtä suuri kuin eron tulo summalla.
Nämä kolme identiteettiä sallivat muunnoksissa korvata vasemman osansa oikeilla ja päinvastoin - oikeat osat vasemmalla. Vaikeinta tässä tapauksessa on nähdä vastaavat lausekkeet ja ymmärtää, mitä muuttujat a ja b niissä korvataan. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä lyhennettyjen kertolaskujen käytöstä.
Kirjat (oppikirjat) Yhtenäisen valtiontutkinnon ja OGE-testien tiivistelmät Nettipelit, arvoituksia Toimintojen piirtäminen Venäjän kielen ortografinen sanakirja Nuorten slangin sanakirja Venäläisten koulujen hakemisto Venäjän toisen asteen koulujen luettelo Venäjän yliopistojen luettelo Tehtäväluettelo GCD:n ja LCM:n löytäminen numeerisia murtolukuja Prosenttitehtävien ratkaiseminen Kompleksiluvut: summa, erotus, tulo ja osamäärä Kahden lineaarisen yhtälön järjestelmät kahdella muuttujalla Ratkaisu toisen asteen yhtälö Binomin neliön valinta ja neliötrinomin kertoimet Epäyhtälöiden ratkaiseminen Epäyhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Graafin piirtäminen neliöfunktio Lineaari-murtofunktion piirtäminen Aritmeettisen ja geometrinen eteneminen Trigonometrisen, eksponentiaalisen, logaritmiset yhtälöt Rajojen laskenta, derivaatta, tangentti Integraali, antiderivatiivinen Kolmioiden ratkaiseminen Toimintojen laskenta vektoreilla Toimintojen laskenta suorilla ja tasoilla Geometristen muotojen pinta-ala Geometristen muotojen kehä Geometristen kappaleiden tilavuus Geometristen kappaleiden pinta-ala
Liikennetilanteiden rakentaja
Sää - uutiset - horoskoopit
www.mathsolution.ru
Kiinnikkeen laajennus
Jatkamme algebran perusteiden opiskelua. Tällä oppitunnilla opimme avaamaan sulkeita lausekkeissa. Hakasulkeiden laajentaminen tarkoittaa näiden sulujen ilmaisun poistamista.
Hakasulkeiden avaamiseksi sinun on opittava ulkoa vain kaksi sääntöä. Säännöllisesti harjoittelemalla voit avata sulut silmät kiinni, ja ne säännöt, jotka piti opetella ulkoa, voidaan turvallisesti unohtaa.
Sulujen laajentamisen ensimmäinen sääntö
Harkitse seuraavaa ilmaisua:
Tämän lausekkeen arvo on 2 . Avataan tämän lausekkeen sulut. Sulujen laajentaminen tarkoittaa niiden poistamista vaikuttamatta ilmaisun merkitykseen. Eli suluista eroon pääsemisen jälkeen lausekkeen arvo 8+(−9+3) pitäisi silti olla yhtä kuin kaksi.
Ensimmäisen sulkeen laajennussääntö näyttää tältä:
Jos sulkuja avattaessa on plusmerkki ennen sulkuja, tämä plus jätetään pois sulkien mukana.
Joten näemme sen ilmaisussa 8+(−9+3) sulujen edessä on plus. Tämä plus on jätettävä pois sulkeiden kanssa. Toisin sanoen sulut katoavat yhdessä niiden edessä olevan plussan kanssa. Ja se, mikä oli suluissa, kirjoitetaan ennallaan:
8−9+3 . Tämä lauseke on yhtä suuri kuin 2 , kuten edellinen suluissa oleva lauseke oli yhtä suuri kuin 2 .
8+(−9+3) Ja 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Esimerkki 2 Laajenna sulut lausekkeessa 3 + (−1 − 4)
Sulujen edessä on plus, joten tämä plus jätetään pois kiinnikkeiden kanssa. Se, mikä oli suluissa, pysyy ennallaan:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Esimerkki 3 Laajenna sulut lausekkeessa 2 + (−1)
Tässä esimerkissä hakasulkeiden laajentamisesta on tullut eräänlainen käänteinen operaatio, jossa vähennyslaskelma korvataan yhteenlaskulla. Mitä se tarkoittaa?
Ilmaisussa 2−1 vähennyslasku tapahtuu, mutta se voidaan korvata yhteenlaskemalla. Sitten saat ilmaisun 2+(−1) . Mutta jos ilmaisussa 2+(−1) avaa sulut, saat alkuperäisen 2−1 .
Siksi ensimmäistä hakasulkeiden laajennussääntöä voidaan käyttää lausekkeiden yksinkertaistamiseen joidenkin muunnosten jälkeen. Eli poista se suluista ja tee siitä helpompaa.
Yksinkertaistetaan esimerkiksi lauseke 2a+a-5b+b .
Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi voimme lisätä samankaltaisia termejä. Muista, että samankaltaisten termien vähentämiseksi sinun on lisättävä samankaltaisten termien kertoimet ja kerrottava tulos yhteisellä kirjaimella:
Sai ilmeen 3a+(−4b). Avaa sulut tässä lausekkeessa. Hakasulkeiden edessä on plus, joten käytämme ensimmäistä sääntöä sulujen avaamiseen, eli jätämme pois sulut sekä plussan, joka tulee ennen sulkuja:
Ilmaisu siis 2a+a-5b+b yksinkertaistettuna 3a-4b .
Kun yksi sulku on avattu, muut voivat tavata matkan varrella. Sovellamme niihin samoja sääntöjä kuin ensimmäiseen. Laajennetaan esimerkiksi sulkeita seuraavassa lausekkeessa:
On kaksi paikkaa, joissa sinun on laajennettava kiinnikkeitä. Tässä tapauksessa pätee ensimmäinen sulkeiden laajentamisen sääntö, nimittäin sulkeiden jättäminen pois sekä plusmerkki, joka tulee ennen näitä sulkeita:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Esimerkki 3 Laajenna sulut lausekkeessa 6+(−3)+(−2)
Molemmissa paikoissa, joissa on hakasulkeet, niitä edeltää plusmerkki. Tässäkin pätee ensimmäinen sulkeiden laajennussääntö:
Joskus ensimmäinen termi suluissa kirjoitetaan ilman merkkiä. Esimerkiksi lausekkeessa 1+(2+3−4) ensimmäinen termi suluissa 2 kirjoitettu ilman merkkiä. Herää kysymys, mikä merkki tulee ennen kakkosta sen jälkeen, kun sulut ja plus suluissa on jätetty pois? Vastaus ehdottaa itsestään - kakkosen edessä on plus.
Itse asiassa, vaikka suluissa olisi, kakkosen edessä on plus, mutta emme näe sitä, koska sitä ei ole kirjoitettu. Olemme jo sanoneet, että positiivisten lukujen täydellinen merkintätapa näyttää +1, +2, +3. Mutta plussia ei perinteisesti kirjoiteta ylös, minkä vuoksi näemme meille tuttuja positiivisia lukuja. 1, 2, 3 .
Siksi sulkujen avaaminen lausekkeessa 1+(2+3−4) , sinun on jätettävä pois sulkeet tavalliseen tapaan sekä plusmerkki näiden sulkeiden edessä, mutta kirjoita ensimmäinen termi, joka oli suluissa plusmerkillä:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Esimerkki 4 Laajenna sulut lausekkeessa −5 + (2 − 3)
Hakasulkeiden edessä on plus, joten noudatamme ensimmäistä sääntöä sulujen avaamiseen, eli jätämme pois sulut sekä plussan, joka tulee ennen sulkuja. Mutta ensimmäinen termi, joka on kirjoitettu suluissa plusmerkillä:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Esimerkki 5 Laajenna sulut lausekkeessa (−5)
Sulkujen edessä on plus, mutta sitä ei kirjoiteta, koska ennen sitä ei ollut muita numeroita tai lausekkeita. Tehtävämme on poistaa sulut soveltamalla ensimmäistä sääntöä sulujen laajentamiselle, nimittäin jättämällä pois sulut tämän plusmerkin kanssa (vaikka se olisi näkymätön)
Esimerkki 6 Laajenna sulut lausekkeessa 2a + (−6a + b)
Sulujen edessä on plus, joten tämä plus jätetään pois kiinnikkeiden kanssa. Se, mikä oli suluissa, kirjoitetaan ennallaan:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Esimerkki 7 Laajenna sulut lausekkeessa 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Tässä lausekkeessa on kaksi paikkaa, joissa sinun on avattava sulut. Molemmissa osissa on plusmerkki ennen sulkuja, joten tämä plus jätetään pois sulkien mukana. Se, mikä oli suluissa, kirjoitetaan ennallaan:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
Toinen sääntö sulkeiden avaamiselle
Katsotaanpa nyt toisen sulkumerkin laajennussääntöä. Sitä käytetään, kun sulkujen edessä on miinus.
Jos ennen sulkuja on miinus, tämä miinus jätetään pois suluissa, mutta suluissa olleet termit muuttavat merkkinsä päinvastaiseksi.
Laajennetaan esimerkiksi seuraavan lausekkeen sulkeita
Näemme, että ennen sulkuja on miinus. Joten sinun täytyy soveltaa toista laajennussääntöä, nimittäin jättää pois sulut ja miinus näiden sulujen edessä. Tässä tapauksessa suluissa olevat termit muuttavat merkkinsä päinvastaiseksi:
Saimme ilmaisun ilman sulkuja 5+2+3 . Tämä lauseke on yhtä suuri kuin 10, aivan kuten edellinen suluilla varustettu lauseke oli 10.
Siis ilmaisujen välillä 5−(−2−3) Ja 5+2+3 voit laittaa yhtäläisyysmerkin, koska ne ovat yhtä suuret:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Esimerkki 2 Laajenna sulut lausekkeessa 6 − (−2 − 5)
Hakasulkeiden edessä on miinus, joten käytämme toista sääntöä sulkeiden avaamiseen, eli jätämme pois sulut sekä miinuksen, joka tulee ennen näitä sulkuja. Tässä tapauksessa suluissa olleet termit kirjoitetaan vastakkaisilla merkeillä:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Esimerkki 3 Laajenna sulut lausekkeessa 2 − (7 + 3)
Ennen sulkeita on miinus, joten käytämme toista sääntöä sulkujen avaamiseen:
Esimerkki 4 Laajenna sulut lausekkeessa −(−3 + 4)
Esimerkki 5 Laajenna sulut lausekkeessa −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
On kaksi paikkaa, joissa sinun on laajennettava kiinnikkeitä. Ensimmäisessä tapauksessa sinun on sovellettava toista sääntöä sulkeiden avaamiseen ja kun vuoro tulee lausekkeeseen +(−9−2) sinun on sovellettava ensimmäistä sääntöä:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Esimerkki 6 Laajenna sulut lausekkeessa −(−a−1)
Esimerkki 7 Laajenna sulut lausekkeessa −(4a + 3)
Esimerkki 8 Laajenna sulut lausekkeessa a −(4b + 3) + 15
Esimerkki 9 Laajenna sulut lausekkeessa 2a + (3b − b) − (3c + 5)
On kaksi paikkaa, joissa sinun on laajennettava kiinnikkeitä. Ensimmäisessä tapauksessa sinun on sovellettava ensimmäistä sääntöä hakasulkeiden laajentamiseen, ja kun vuoro tulee lausekkeelle −(3c+5) sinun on sovellettava toista sääntöä:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Esimerkki 10 Laajenna sulut lausekkeessa -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
On kolme paikkaa, joissa sinun on laajennettava kiinnikkeitä. Ensin sinun on sovellettava toista sääntöä hakasulkeiden laajentamiseen, sitten ensimmäistä ja sitten taas toista:
-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15
Sulkujen laajennusmekanismi
Hakasulkeiden avaamista koskevat säännöt, joita olemme nyt tarkastelleet, perustuvat kertolaskulakiin:
Itse asiassa avaussulut kutsua menettelyä, kun yhteinen tekijä kerrotaan jokaisella suluissa olevalla termillä. Tällaisen kertolaskun seurauksena sulut katoavat. Laajennetaan esimerkiksi lausekkeen sulkeita 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Siksi, jos sinun on kerrottava luku suluissa olevalla lausekkeella (tai kerrottava suluissa oleva lauseke numerolla), sinun on sanottava avaa kiinnikkeet.
Mutta miten kertolaskun distributiivinen laki liittyy aiemmin tarkasteltuihin sulujen avaamissääntöihin?
Tosiasia on, että ennen sulkuja on yhteinen tekijä. Esimerkissä 3×(4+5) yhteinen tekijä on 3 . Ja esimerkissä a(b+c) yhteinen tekijä on muuttuja a.
Jos suluissa ei ole lukuja tai muuttujia, niin yhteinen tekijä on 1 tai −1 , riippuen siitä, mikä merkki tulee ennen sulkeita. Jos suluissa on plus, niin yhteinen tekijä on 1 . Jos ennen sulkuja on miinus, niin yhteinen tekijä on −1 .
Laajennetaan esimerkiksi lausekkeen sulkeita −(3b−1). Hakasulkeiden edessä on miinus, joten sinun on käytettävä toista sääntöä sulujen avaamiseen, eli sulut jätetään pois sekä miinus ennen sulkuja. Ja ilmaus, joka oli suluissa, kirjoita vastakkaisilla merkeillä:
Laajensimme sulkeita käyttämällä sulujen laajennussääntöä. Mutta nämä samat sulut voidaan avata käyttämällä kertolaskua. Tätä varten kirjoitamme ensin hakasulkeiden eteen yhteinen tekijä 1, jota ei kirjoitettu ylös:
Miinus, joka oli ennen kiinnikkeiden edessä, viittasi tähän yksikköön. Nyt voit avata hakasulkeet soveltamalla kertolaskua. Tätä varten yhteinen tekijä −1 sinun täytyy kertoa jokaisella suluissa olevalla termillä ja lisätä tulokset.
Mukavuuden vuoksi korvaamme suluissa olevan eron summalla:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Kuten viime kerralla, saimme ilmaisun −3b+1. Kaikki ovat yhtä mieltä siitä, että tällä kertaa käytettiin enemmän aikaa tällaisen yksinkertaisen esimerkin ratkaisemiseen. Siksi on järkevämpää käyttää hakasulkeiden avaamiseen valmiita sääntöjä, joita tarkastelimme tässä oppitunnissa:
Mutta ei haittaa tietää, miten nämä säännöt toimivat.
Tällä oppitunnilla opimme toisen samanlaisen muunnoksen. Yhdessä sulujen avaamisen, yleisen poissulkemisen ja samojen termien tuomisen kanssa on mahdollista hieman laajentaa ratkaistavien tehtävien kirjoa. Esimerkiksi:
Tässä sinun on suoritettava kaksi toimintoa - ensin avattava sulut ja tuotava sitten vastaavat termit. Eli järjestyksessä:
1) Laajenna sulut:
2) Annamme vastaavat ehdot:
Tuloksena olevassa lausekkeessa −10b+(−1) voit avata sulut:
Esimerkki 2 Avaa sulut ja lisää vastaavat termit seuraavaan lausekkeeseen:
1) Laajenna sulut:
2) Esittelemme samanlaisia termejä. Tällä kertaa ajan ja tilan säästämiseksi emme kirjoita ylös kuinka kertoimet kerrotaan yhteisellä kirjainosalla
Esimerkki 3 Yksinkertaista ilmaisua 8m+3m ja löydä sen arvo m = -4
1) Yksinkertaistetaan ensin lauseke. Ilmaisun yksinkertaistamiseksi 8m+3m, voit poistaa siitä yhteisen tekijän m suluille:
2) Etsi lausekkeen arvo m(8+3) klo m = -4. Tätä varten ilmaisussa m(8+3) muuttujan sijaan m korvaa numero −4
m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Hakasulkeiden päätehtävä on muuttaa toimintojen järjestystä arvoja laskettaessa. Esimerkiksi, numeerisessa lausekkeessa \(5 3+7\) lasketaan ensin kertolasku ja sitten yhteenlasku: \(5 3+7 =15+7=22\). Mutta lausekkeessa \(5·(3+7)\) lasketaan ensin yhteenlasku suluissa ja vasta sitten kertolasku: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Esimerkki.
Laajenna kiinnike: \(-(4m+3)\).
Ratkaisu
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Esimerkki.
Laajenna hakasulku ja anna vastaavat termit \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Ratkaisu
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Esimerkki.
Laajenna sulut \(5(3-x)\).
Ratkaisu
: Meillä on \(3\) ja \(-x\) suluissa ja viisi suluissa. Tämä tarkoittaa, että jokainen hakasulkeen jäsen kerrotaan luvulla \ (5 \) - Muistutan, että luvun ja hakasulkujen välistä kertomerkkiä matematiikassa ei kirjoiteta tietueiden koon pienentämiseksi.
Esimerkki.
Laajenna sulut \(-2(-3x+5)\).
Ratkaisu
: Kuten edellisessä esimerkissä, hakasulkeet \(-3x\) ja \(5\) kerrotaan \(-2\).
Esimerkki.
Yksinkertaista lauseke: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Ratkaisu
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Jäljelle jää viimeinen tilanne.
Kun sulut kerrotaan suluilla, jokainen ensimmäisen sulussa oleva termi kerrotaan toisen jokaisen termillä:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Esimerkki.
Laajenna sulut \((2-x)(3x-1)\).
Ratkaisu
: Meillä on sulujen tuote ja se voidaan avata välittömästi yllä olevan kaavan avulla. Mutta jotta se ei menisi sekaisin, tehdään kaikki askel askeleelta.
Vaihe 1. Poista ensimmäinen kiinnike - jokainen sen jäsen kerrotaan toisella kiinnikkeellä:
Vaihe 2. Laajenna hakasulkujen tulot edellä kuvatulla kertoimella:
- ensimmäinen ensin...
Sitten toinen.
Vaihe 3. Nyt kerromme ja tuomme samanlaiset termit:
Kaikkia muunnoksia ei tarvitse maalata yksityiskohtaisesti, voit kertoa heti. Mutta jos opettelet vain avaamaan hakasulkeet - kirjoita yksityiskohtaisesti, virheen tekemisen mahdollisuus on pienempi.
Huomautus koko jaksoon. Itse asiassa sinun ei tarvitse muistaa kaikkia neljää sääntöä, sinun täytyy muistaa vain yksi, tämä: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miksi? Koska jos korvaamme yhden c:n sijaan, saamme säännön \((a-b)=a-b\) . Ja jos korvataan miinus yksi, saadaan sääntö \(-(a-b)=-a+b\) . No, jos korvaat toisen hakasulkeen c:n sijaan, saat viimeisen säännön.
suluissa suluissa
Joskus käytännössä on ongelmia muiden sulujen sisäkkäisissä suluissa. Tässä on esimerkki tällaisesta tehtävästä: yksinkertaistaa lauseketta \(7x+2(5-(3x+y))\).
Menestyäksesi näissä tehtävissä sinun tulee:
- ymmärrä huolellisesti sulujen sisäkkäisyys - mikä niistä on missä;
- avaa kiinnikkeet peräkkäin aloittaen esimerkiksi sisimmästä.
Se on tärkeää avattaessa jokin kiinnikkeistä älä koske muuhun ilmaisuun, kirjoita se uudelleen sellaisenaan.
Otetaan esimerkkinä yllä oleva tehtävä.
Esimerkki.
Avaa sulut ja anna vastaavat termit \(7x+2(5-(3x+y))\).
Ratkaisu:
Esimerkki.
Laajenna sulut ja anna vastaavat termit \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Ratkaisu
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Tämä on kolminkertainen sulkeiden sisäkkäisyys. Aloitamme sisimmästä (korostettu vihreällä). Sulujen edessä on plus, joten se yksinkertaisesti poistetaan. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Nyt sinun on avattava toinen kiinnike, väli. Mutta ennen sitä yksinkertaistamme lauseketta lisäämällä samankaltaisia termejä tähän toiseen hakasulkeeseen. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Nyt avaamme toisen hakasulkeen (korostettu sinisellä). Sulujen edessä on kerroin - joten jokainen suluissa oleva termi kerrotaan sillä. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Ja avaa viimeinen sulkumerkki. Ennen hakasulkua miinus - joten kaikki merkit ovat käänteisiä. |
||
Hakasulkeiden avaaminen on matematiikan perustaito. Ilman tätä taitoa on mahdotonta saada yli kolmea arvosanaa 8 ja 9. Siksi suosittelen tämän aiheen hyvää ymmärtämistä.
A + (b + c) voidaan kirjoittaa ilman sulkuja: a + (b + c) \u003d a + b + c. Tätä toimintoa kutsutaan sulujen laajentamiseksi.
Esimerkki 1 Avataan lausekkeen a + (- b + c) sulut.
Ratkaisu. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.
Jos suluissa on "+"-merkki, voit jättää pois sulut ja tämän "+"-merkin ja säilyttää termien merkit suluissa. Jos ensimmäinen termi suluissa kirjoitetaan ilman merkkiä, se on kirjoitettava "+"-merkillä.
Esimerkki 2 Etsitään lausekkeen arvo -2,87+ (2,87-7,639).
Ratkaisu. Avaamalla sulut saadaan - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.
Löytääksesi lausekkeen arvon - (- 9 + 5), sinun on lisättävä numeroita-9 ja 5 ja etsi saatua summaa vastapäätä oleva luku: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Sama arvo voidaan saada eri tavalla: kirjoita ensin näiden termien vastakkaiset luvut (eli vaihda niiden etumerkkejä) ja lisää sitten: 9 + (- 5) = 4. Näin ollen - (- 9 + 5) = 9-5 = 4.
Useiden termien summan vastakkaisen summan kirjoittamiseksi on tarpeen muuttaa näiden termien etumerkkejä.
Joten - (a + b) \u003d - a - b.
Esimerkki 3 Etsi lausekkeen 16 - (10 -18 + 12) arvo.
Ratkaisu. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Avataksesi sulut, joita edeltää "-" -merkki, sinun on korvattava tämä merkki "+" -merkillä, muuttamalla kaikkien suluissa olevien termien merkit vastakkaisiksi ja avaamalla sitten sulut.
Esimerkki 4 Etsitään lausekkeen 9.36-(9.36 - 5.48) arvo.
Ratkaisu. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Sulujen avaaminen ja kommutatiivisten ja assosiatiivisten ominaisuuksien käyttö lisäyksiä helpottaa laskelmia.
Esimerkki 5 Etsi lausekkeen arvo (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Ratkaisu. Ensin avaamme sulut, ja sitten löydämme erikseen kaikkien positiivisten ja erikseen kaikkien negatiivisten lukujen summan ja lopuksi lisäämme tulokset:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Esimerkki 6 Etsi lausekkeen arvo
Ratkaisu. Ensin esitämme jokaisen termin niiden kokonaisluku- ja murto-osien summana, avaa sitten sulut ja lisää sitten koko ja erikseen murto-osa osat ja lopuksi yhteenveto tuloksista:
Kuinka avaat sulkeet, joita edeltää "+"-merkki? Kuinka voit löytää arvon lausekkeelle, joka on vastakohta useiden lukujen summalle? Kuinka avata hakasulkeet, joita edeltää "-"-merkki?
1218. Laajenna sulut:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Etsi lausekkeen arvo:
1220. Laajenna sulut:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17) + 7,5; e) -a+ (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Laajenna sulut ja etsi lausekkeen arvo:
1222. Yksinkertaista lauseke:
1223. Kirjoita määrä kaksi ilmaisua ja yksinkertaistaa sitä:
a) - 4 - m ja m + 6,4; d) a + b ja p - b
b) 1,1+a ja -26-a; e) - m + n ja -k - n;
c) a + 13 ja -13 + b; e)m - n ja n - m.
1224. Kirjoita kahden lausekkeen ero ja yksinkertaista se:
1226. Käytä yhtälöä ongelman ratkaisemiseen:
a) Yhdellä hyllyllä on 42 kirjaa ja toisella 34. Toisesta hyllystä poistettiin useita kirjoja ja ensimmäisestä saman verran kuin toiselle jäi. Sen jälkeen ensimmäiselle hyllylle jäi 12 kirjaa. Kuinka monta kirjaa poistettiin toiselta hyllyltä?
b) Ensimmäisellä luokalla on 42 oppilasta, toisella 3 oppilasta vähemmän kuin kolmannella. Kuinka monta oppilasta on kolmannella luokalla, jos näillä kolmella luokalla on 125 oppilasta?
1227. Etsi lausekkeen arvo:
1228. Laske suullisesti:
1229. Etsi korkein arvo ilmaisuja:
1230. Syötä 4 peräkkäistä kokonaislukua, jos:
a) pienempi niistä on -12; c) pienempi niistä on yhtä suuri kuin n;
b) suurempi niistä on -18; d) suurempi niistä on yhtä suuri kuin k.
