Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitset? Miksi sinun täytyy käyttää aikaa niiden tutkimiseen?

Opi kaikki tutkinnoista, mihin ne on tarkoitettu ja kuinka voit käyttää tietojasi Jokapäiväinen elämä lue tämä artikkeli.

Ja tietysti tutkintojen tunteminen vie sinut lähemmäksi onnistunut toimitus OGE tai USE ja päästäksesi unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos näet kaavojen sijaan hölynpölyä, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL+F5 (Windows) tai Cmd+R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on sama matemaattinen operaatio kuin yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmiskielellä hyvin yksinkertaisia ​​esimerkkejä. Ole varovainen. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama esimerkki colan kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla: . Matemaatikot ovat ovelia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain kuvioita ja sitten keksivät tavan "laskea" ne nopeammin. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä kolapulloja, ja he keksivät tekniikan nimeltä kertolasku. Samaa mieltä, sitä pidetään helpommin ja nopeampana kuin.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, kovemmin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Ja mitä muita hankalia laskentatemppuja laiskot matemaatikot keksivät? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Jos sinun on kerrottava luku itsellään viisi kertaa, matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen potenssiin. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kahdesta viiteen potenssi on. Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat mielessään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Tätä varten tarvitset vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, se tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista tutkintoa kutsutaan neliö numerot ja kolmas kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Kuvittele neliönmuotoinen allas, jonka mitat ovat metrejä metreinä. Allas on takapihallasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... allas ilman pohjaa! Altaan pohja on tarpeen peittää laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan pinta-ala.

Voit yksinkertaisesti laskea sormea ​​työntämällä, että altaan pohja koostuu kuutioista metri metriltä. Jos laattasi ovat metri metriltä, ​​tarvitset kappaleita. Se on helppoa... Mutta missä näit sellaisen laatan? Laatta on mieluummin cm cm. Ja sitten sinua kiusaa "sormella laskeminen". Sitten sinun on kerrottava. Joten altaan pohjan yhdelle puolelle sovitamme laatat (palat) ja toiselle myös laatat. Kertomalla saat laatat ().

Huomasitko, että kerroimme saman luvun itsellään määrittääksemme altaan pohjan alueen? Mitä se tarkoittaa? Koska sama luku kerrotaan, voimme käyttää eksponentiotekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi lukua, sinun on silti kerrottava ne tai nostettava ne potenssiin. Mutta jos niitä on paljon, niin potenssiin nostaminen on paljon helpompaa ja laskelmissa on myös vähemmän virheitä . Kokeen kannalta tämä on erittäin tärkeää).
Joten, kolmekymmentä toista astetta on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen luvun toinen potenssi voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA jonkin luvun toinen potenssi. Neliö on kuva luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Tässä on sinulle tehtävä, laske kuinka monta ruutua on shakkilaudalla käyttämällä numeroruutua ... Toisella puolella soluja ja myös toisella. Niiden lukumäärän laskemiseksi sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... jos huomaat sen Shakkilauta on neliö, jossa on sivu, niin voit neliöida kahdeksan. Hanki soluja. () Siis?

Esimerkki tosielämästä #3

Nyt kuutio tai luvun kolmas potenssi. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava tilavuus. (Muuten, tilavuudet ja nesteet mitataan kuutiometriä. Odottamatta, eikö?) Piirrä allas: metrin kokoinen ja metrin syvä pohja ja yritä laskea, kuinka monta kuutiota metri metriltä yhteensä tulee altaaseen.

Osoita vain sormella ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä… kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme… Kuinka paljon siitä tuli? Etkö eksynyt? Onko vaikeaa laskea sormella? Jotta! Ota esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikot ovat, jos he tekevät sen liian helpoksi. Supistettiin kaikki yhteen toimintoon. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Ja mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten sen, minkä kerran laskit sormella, he tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin:

Jää vain muistaa astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, saadaksesi sinut vihdoin vakuuttuneeksi siitä, että tutkinnot ovat loafereiden ja ovelien ihmisten keksimiä elämänongelmiensa ratkaisemiseksi, eikä ongelmien luomiseksi sinulle, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Esimerkki tosielämästä #4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset toisen miljoonan jokaista miljoonaa kohden. Toisin sanoen jokainen miljoonasta jokaisen vuoden alussa tuplaantuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuosien kuluttua? Jos nyt istut ja "lasket sormella", olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - mitä tapahtui, kahdella lisää, kolmantena vuonna ... Stop! Huomasit, että luku kerrotaan itsellään kerran. Joten kahdesta viiteen potenssiin on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja se, joka laskee nopeammin, saa nämä miljoonat... Kannattaako muistaa lukujen asteet, mitä mieltä olet?

Esimerkki tosielämästä #5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi lisää jokaista miljoonaa kohden. Se on hieno eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Paljonko sinulla on rahaa vuodessa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kerrotaan itsestään kertaa. Neljäs teho on siis miljoona. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kolmesta neljänteen potenssi on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla luvun arvoon, teet elämästäsi paljon helpompaa. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei menisi sekaisin

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on luvun tehon "huipussa". Ei tieteellinen, mutta selkeä ja helppo muistaa...

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on kuva varmuuden vuoksi.

No ja sisään yleisnäkymä yleistää ja muistaa paremmin ... Tutkinto, jonka kanta on "" ja eksponentti "", luetaan "asteeseen" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

Luultavasti jo arvasit: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä, joita käytetään laskettaessa kohteita listattaessa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme kohteita, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano "kolmasosa" tai "nolla piste viisi kymmenesosaa". Ei ole kokonaislukuja. Mitä nämä luvut mielestäsi ovat?

Numerot, kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuja. Yleisesti ottaen kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisten lukujen vastakohtaiset luvut (eli miinusmerkillä otettuja) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - silloin kun ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset ("miinus") luvut tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti merkitsemään velkoja: jos sinulla on puhelimesi saldo ruplissa, tämä tarkoittaa, että olet velkaa operaattorille ruplaa.

Kaikki murtoluvut ovat rationaalisia lukuja. Miten ne syntyivät, luuletko? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi-isämme huomasivat, että heillä ei ollut tarpeeksi luonnollisia lukuja mittaamaan pituutta, painoa, pinta-alaa jne. Ja he keksivät rationaalisia lukuja… Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna loputon desimaali. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän sen halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
2. Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsellään:
3. Luvun kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkinnon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan mikä on Ja ?

A-priory:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme tekijöitä tekijöihin, ja tulos on tekijöitä.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun aste, jossa on eksponentti, eli: , joka oli todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Ratkaisu: On tärkeää huomata se säännössämme Välttämättä täytyy olla sama syy!
Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

vain voimatuotteille!

Älä missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

2. eli -luvun potenssi

Kuten edellisen ominaisuuden kohdalla, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun :s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta se ei todellakaan ole totta.

Negatiivinen tutkinto

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero. Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisillaan, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia.

Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön kuudennelta luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme, niin se käy.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla ilmaisuilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoituksista

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Muistatko siis? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus! Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne vaihdettaisiin, sääntöä voitaisiin soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

koko nimeämme luonnolliset luvut, niiden vastakohdat (eli otettuna merkillä "") ja luvun.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysymme itseltämme: miksi näin on?

Harkitse pohjan tehoa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun luvulla ja saimme saman kuin se oli -. Millä luvulla pitää kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen on oltava yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot nollan itsellään, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa luvun nollaasteeseen, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä on totuus tästä? Matemaatikko päätti olla puuttumatta asiaan ja kieltäytyi nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sen nollatehoon.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi kokonaisluvut sisältävät negatiivisia lukuja. Ymmärtääksemme, mikä negatiivinen aste on, tehdään samoin kuin viime kerralla: kerrotaan jokin normaaliluku samalla negatiivisessa asteessa:

Täältä on jo helppo ilmaista haluttu:

Laajennamme nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku negatiiviselle potenssille on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille. Mutta samaan aikaan kanta ei voi olla tyhjä:(koska se on mahdoton jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Lauseketta ei ole määritetty tapaukselle. Jos sitten.

II. Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi: .

III. Luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiiviseen potenssiin, on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille: .

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Tiedän, tiedän, luvut ovat pelottavia, mutta tentissä pitää olla valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisu, jos et pystynyt ratkaisemaan sitä, niin opit käsittelemään niitä helposti kokeessa!

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" lukujen ympyrän laajentamista.

Harkitse nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat lisäksi kokonaislukuja.

Ymmärtääkseen mikä on "murto-aste" Tarkastellaanpa murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muista nyt sääntö "asteesta asteeseen":

Mikä luku on nostettava potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri.

Toisin sanoen th asteen juuri on eksponentioinnin käänteisoperaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tämä erikoistapaus voidaan pidentää: .

Lisää nyt osoittaja: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännöllä:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida erottaa juuria.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​lukuja ei voida nostaa murto-osaan parillisella nimittäjällä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Numero voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtoina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, ja nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta heti kun kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, saamme jälleen ongelmia: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen kantaeksponentti murto-osien eksponentin kanssa.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Potenssit, joissa on rationaalinen eksponentti, ovat erittäin hyödyllisiä juurilla olevien lausekkeiden muuntamiseen, esimerkiksi:

5 esimerkkiä harjoituksista

Analyysi 5 esimerkistä koulutusta varten

No, nyt - vaikein. Nyt analysoimme aste irrationaalisella eksponentilla.

Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteilla, lukuun ottamatta

Itse asiassa irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja;

...nolla teho- tämä on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli sitä ei ole vielä alettu kertoa, mikä tarkoittaa, että itse numero ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "tyhjä luku" , nimittäin numero;

...negatiivinen kokonaisluku eksponentti- On kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

MINNE OLEMME VARMUKSIA, ETTÄ MENET! (jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavallisesta säännöstä tutkinnon nostamiseksi asteeksi:

Katso nyt tulos. Muistuttaako hän sinua jostain? Muistamme kaavan neliöiden eron lyhenteelle kertomiseksi:

Tässä tapauksessa,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Tuomme eksponenttimurtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Ei mitään erikoista, käytämme asteiden tavanomaisia ​​ominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määritelmä

Aste on muodon ilmaisu: , jossa:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n = 1, 2, 3,...)

Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin n tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:

Potentti kokonaislukueksponentilla (0, ±1, ±2,...)

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku määrä:

erektio nollatehoon:

Lauseke on epämääräinen, koska toisaalta missä tahansa asteessa on tämä, ja toisaalta mikä tahansa luku :nteen asteeseen asti on tämä.

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku määrä:

(koska se on mahdoton jakaa).

Vielä kerran nolla-arvoista: lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Tutkinnon ominaisuudet

Ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yritetään ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistakaamme ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

A-priory:

Joten tämän lausekkeen oikealla puolella saadaan seuraava tuote:

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : On tärkeää huomata, että säännössämme Välttämättä on oltava samalla pohjalla. Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

Toinen tärkeä huomautus: tämä sääntö - vain voimatuotteille!

En missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

Kuten edellisen ominaisuuden kohdalla, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Järjestetään se uudelleen näin:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun -:s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:!

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta se ei todellakaan ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mitä pitäisi olla indeksi tutkinnon. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero .

Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisillaan, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia. Ajatellaanpa, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön kuudennelta luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme (:lla), saamme -.

Ja niin edelleen loputtomiin: jokaisen seuraavan kertolaskun yhteydessä merkki muuttuu. Sellainen on mahdollista muotoilla yksinkertaiset säännöt:

1. jopa tutkinto, - numero positiivinen.
2. Negatiivinen luku, pystytetty vuonna outo tutkinto, - numero negatiivinen.
3. Minkä tahansa potenssin positiivinen luku on positiivinen luku.
4. Nolla mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla ilmaisuilla on:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Onnistuitko? Tässä vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Tässä sinun on selvitettävä, kumpi on vähemmän: vai? Jos muistamme sen, se tulee selväksi, mikä tarkoittaa, että perusta alle nolla. Eli sovelletaan sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme muistiin asteiden määritelmät ja jaamme ne toisiinsa, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin analysoimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

Ratkaisut :

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Muistatko siis? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus!

Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne käännetään, voitaisiin soveltaa sääntöä 3. Mutta miten tämä tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Jos kerrot sen, ei mikään muutu, eikö niin? Mutta nyt se näyttää tältä:

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä. Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan! Sitä ei voi korvata muuttamalla vain yhtä meille sopimatonta miinusta!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Eli nyt viimeinen sääntö:

Kuinka aiomme todistaa sen? Tietysti, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

No, nyt avataan sulut. Kuinka monta kirjainta tulee olemaan? kertaa kertoimilla - miltä se näyttää? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: yhteensä oli kertoimia. Eli se on määritelmän mukaan luvun potenssi, jossa on eksponentti:

Esimerkki:

Aste irrationaalisella eksponentilla

Keskitason tutkintojen tietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella indikaattorilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella, poikkeuksella - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli , irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja; nolla-asteen luku on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse luku ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "numeron valmistelu", nimittäin numero; aste, jolla on kokonaisluku negatiivinen indikaattori - on ikään kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

On äärimmäisen vaikeaa kuvitella astetta irrationaalisella eksponentilla (kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista avaruutta). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen objekti, jonka matemaatikot ovat luoneet laajentaakseen asteen käsitteen koko lukuavaruuteen.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, jos näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme parhaamme päästä eroon siitä! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

1)

2)

3)

Vastaukset:

1. Muista neliöiden kaava. Vastaus:.
2. Tuomme murtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi: .
3. Ei mitään erikoista, käytämme asteiden tavanomaisia ​​ominaisuuksia:

OSION YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Tutkinto kutsutaan lausekkeeksi muodossa: , jossa:

Aste kokonaislukueksponentilla

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

astetta, jonka indikaattori on negatiivinen ja murtoluku.

Aste irrationaalisella eksponentilla

eksponentti, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Tutkinnon ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

• Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa tutkinto, - numero positiivinen.
• Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
• Minkä tahansa potenssin positiivinen luku on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa teho.
• Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri.

NYT SINULLA ON SANA...

Mitä pidät artikkelista? Kerro alla olevissa kommenteissa, piditkö siitä vai et.

Kerro meille kokemuksistasi tehoominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!

Tarkastellaan aihetta lausekkeiden muuntamisesta voimilla, mutta ensin tarkastellaan useita muunnoksia, jotka voidaan suorittaa millä tahansa lausekkeella, mukaan lukien teholausekkeet. Opimme avaamaan hakasulkeet, antamaan samankaltaisia ​​termejä, työskentelemään kanta- ja eksponentin kanssa, käyttämään potenssien ominaisuuksia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mitä ovat tehoilmaisut?

Koulukurssilla harvat käyttävät ilmausta " voimailmaisuja”, mutta tämä termi löytyy jatkuvasti kokoelmista kokeeseen valmistautumiseen. Useimmissa tapauksissa lause tarkoittaa lausekkeita, jotka sisältävät asteita merkinnöissään. Tätä heijastamme määritelmässämme.

Määritelmä 1

Voiman ilmaisu on lauseke, joka sisältää asteita.

Annamme useita esimerkkejä potenssilausekkeista alkaen asteesta luonnollisella eksponentilla ja päättyen asteeseen reaalieksponentilla.

Yksinkertaisimpia potenssilausekkeita voidaan pitää luonnollisen eksponentin luvun potteina: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Sekä potenssit, joiden eksponentti on nolla: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Ja asteet kokonaisluvuilla negatiivisia voimia: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

On hieman vaikeampaa työskennellä tutkinnolla, jolla on rationaaliset ja irrationaaliset eksponentit: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikaattori voi olla muuttuja 3 x - 54 - 7 3 x - 58 tai logaritmi x 2 l g x − 5 x l g x.

Olemme käsitelleet kysymystä siitä, mitä voimailmaisut ovat. Nyt muutetaan ne.

Valtalausekkeiden muunnosten päätyypit

Ensin tarkastellaan lausekkeiden perusidentiteettimuunnoksia, jotka voidaan suorittaa teholausekkeilla.

Esimerkki 1

Laske teholausekkeen arvo 2 3 (4 2 – 12).

Ratkaisu

Toteutamme kaikki muutokset toimintajärjestyksen mukaisesti. Tässä tapauksessa aloitamme suorittamalla suluissa olevat toiminnot: korvaamme tutkinnon digitaalisella arvolla ja laskemme näiden kahden luvun välisen eron. Meillä on 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Meidän tehtävämme on korvata tutkinto 2 3 sen tarkoitus 8 ja laske tuote 8 4 = 32. Tässä on vastauksemme.

Vastaus: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

Esimerkki 2

Yksinkertaista ilmaisu voimilla 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Ratkaisu

Ongelman ehtona meille annettu lauseke sisältää samanlaisia ​​termejä, jotka voimme tuoda: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Vastaus: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Esimerkki 3

Ilmaise lauseke, jonka potenssit ovat 9 - b 3 · π - 1 2 tulona.

Ratkaisu

Esitetään luku 9 potenssina 3 2 ja käytä lyhennettyä kertolaskua:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Vastaus: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

Ja nyt siirrytään identtisten muunnosten analysointiin, joita voidaan soveltaa erityisesti teholausekkeisiin.

Työskentely kanta- ja eksponentin kanssa

Kanta- tai eksponenttiasteessa voi olla lukuja, muuttujia ja joitain lausekkeita. Esimerkiksi, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 Ja . Tällaisten levyjen kanssa on vaikea työskennellä. On paljon helpompaa korvata asteen kantaosassa oleva lauseke tai eksponentin lauseke identtisellä yhtäläisellä lausekkeella.

Tutkinnon ja indikaattorin muunnokset suoritetaan meille tiedossa olevien sääntöjen mukaisesti toisistaan ​​erillään. Tärkeintä on, että muunnosten tuloksena saadaan lauseke, joka on identtinen alkuperäisen kanssa.

Transformaatioiden tarkoituksena on yksinkertaistaa alkuperäistä lauseketta tai saada ratkaisu ongelmaan. Esimerkiksi yllä antamassamme esimerkissä (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 voit suorittaa operaatioita tutkintoon pääsemiseksi 4 , 1 1 , 3 . Hakasulkeet avattaessa voimme tuoda samanlaisia ​​termejä tutkinnon pohjaan (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) ja saat yksinkertaisemman muodon voimailmaisun a 2 (x + 1).

Virran ominaisuuksien käyttäminen

Asteiden ominaisuudet, jotka on kirjoitettu yhtäläisyyksiksi, ovat yksi tärkeimmistä työkaluista astelausekkeiden muuntamiseen. Esittelemme tässä tärkeimmät, ottaen huomioon a Ja b ovat positiivisia lukuja ja r Ja s- mielivaltaiset reaaliluvut:

Määritelmä 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a rbr;
• (a: b) r = a r: br;
• (a r) s = a r s .

Tapauksissa, joissa on kyse luonnollisista, kokonaisluvuista, positiivisista eksponenteista, lukujen a ja b rajoitukset voivat olla paljon vähemmän tiukkoja. Esimerkiksi, jos ajatellaan tasa-arvoa a m a n = a m + n, Missä m Ja n ovat luonnollisia lukuja, niin se on totta kaikille a:n arvoille, sekä positiivisille että negatiivisille, sekä arvoille a = 0.

Voit käyttää asteiden ominaisuuksia ilman rajoituksia, jos asteiden kanta on positiivinen tai sisältää muuttujia, alue sallitut arvot joka on sellainen, että sen perusteet saavat vain positiivisia arvoja. Itse asiassa sisällä koulun opetussuunnitelma matematiikassa opiskelijan tehtävänä on valita sopiva ominaisuus ja soveltaa sitä oikein.

Yliopistoon pääsyä valmisteltaessa voi olla tehtäviä, joissa ominaisuuksien epätarkka soveltaminen johtaa ODZ:n kaventumiseen ja muihin ratkaisuongelmiin. Tässä osiossa tarkastelemme vain kahta tällaista tapausta. Lisätietoja aiheesta löytyy aiheesta "Laukeiden muuntaminen eksponenttiominaisuuksien avulla".

Esimerkki 4

Edustaa ilmaisua a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 tutkinnona pohjalla a.

Ratkaisu

Aluksi käytämme eksponentio-ominaisuutta ja muunnamme toisen tekijän käyttämällä sitä (a 2) – 3. Sitten käytämme kerto- ja potenssijaon ominaisuuksia kanssa sama pohja:

a 2 , 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5 ) ) = a 2.

Vastaus: a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2 .

Potenssilausekkeiden muunnos asteiden ominaisuuden mukaan voidaan tehdä sekä vasemmalta oikealle että vastakkaiseen suuntaan.

Esimerkki 5

Etsi potenssilausekkeen arvo 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Ratkaisu

Jos sovellamme tasa-arvoa (a b) r = a r b r, oikealta vasemmalle, niin saadaan tulo muotoa 3 7 1 3 21 2 3 ja sitten 21 1 3 21 2 3 . Lisätään eksponentit, kun kerrotaan potenssit samoilla kantoilla: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

On toinenkin tapa tehdä muunnoksia:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Vastaus: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Esimerkki 6

Annettu voimailmaisu a 1, 5 - a 0, 5 - 6, syötä uusi muuttuja t = a 0, 5.

Ratkaisu

Kuvittele tutkinto a 1, 5 Miten a 0, 53. Aste-ominaisuuden käyttäminen asteessa (a r) s = a r s oikealta vasemmalle ja saa (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Tuloksena olevaan lausekkeeseen voit helposti lisätä uuden muuttujan t = a 0, 5: saada t 3 − t − 6.

Vastaus: t 3 − t − 6 .

Muunnetaan potenssit sisältävät murtoluvut

Käsittelemme yleensä kahta muunnelmaa murtolukuja sisältävistä potenssilausekkeista: lauseke on murtoluku, jolla on aste tai sisältää sellaisen murtoluvun. Kaikki perusmurtomuunnokset ovat sovellettavissa tällaisiin lausekkeisiin ilman rajoituksia. Ne voidaan pienentää, tuoda uuteen nimittäjään, toimia erikseen osoittajan ja nimittäjän kanssa. Havainnollistetaan tätä esimerkein.

Esimerkki 7

Yksinkertaista teholauseke 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Ratkaisu

Käsittelemme murto-osaa, joten teemme muunnoksia sekä osoittajassa että nimittäjässä:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Laita miinus murtoluvun eteen muuttaaksesi nimittäjän etumerkkiä: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Vastaus: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Potensseja sisältävät murtoluvut pelkistetään uuteen nimittäjään samalla tavalla kuin rationaaliset murtoluvut. Tätä varten sinun on löydettävä lisätekijä ja kerrottava murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sillä. On tarpeen valita lisätekijä siten, että se ei katoa yhdellekään muuttujien arvolle alkuperäisen lausekkeen ODZ-muuttujista.

Esimerkki 8

Tuo murtoluvut uuteen nimittäjään: a) a + 1 a 0, 7 nimittäjään a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 nimittäjään x + 8 y 1 2 .

Ratkaisu

a) Valitsemme tekijän, jonka avulla voimme pelkistää uuteen nimittäjään. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , siksi otamme lisätekijänä a 0, 3. Muuttujan a sallittujen arvojen alue sisältää kaikkien positiivisten reaalilukujen joukon. Tällä alueella tutkinto a 0, 3 ei mene nollaan.

Kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Kiinnitä huomiota nimittäjään:

x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 v 1 6 + 2 v 1 6 2

Kerro tämä lauseke x 1 3 + 2 · y 1 6 :lla, saadaan kuutioiden x 1 3 ja 2 · y 1 6 summa, ts. x + 8 · y 1 2 . Tämä on uusi nimittäjämme, johon meidän on tuotava alkuperäinen murtoluku.

Joten löysimme lisäkertoimen x 1 3 + 2 · y 1 6 . Muuttujien hyväksyttävien arvojen alueella x Ja y lauseke x 1 3 + 2 y 1 6 ei katoa, joten voimme kertoa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän sillä:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 + 2 v 1 6 x 1 3 + 2 v 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Vastaus: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 v 1 2 .

Esimerkki 9

Pienennä murto-osaa: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Ratkaisu

a) Käytä suurinta yhteistä nimittäjää (GCD), jolla osoittaja ja nimittäjä voidaan pienentää. Numeroille 30 ja 45 tämä on 15 . Voimme myös vähentää x 0, 5 + 1 ja x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Saamme:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Tässä identtisten tekijöiden läsnäolo ei ole ilmeistä. Sinun on suoritettava joitain muunnoksia saadaksesi samat tekijät osoittajassa ja nimittäjässä. Tätä varten laajennamme nimittäjä neliöiden erotuskaavalla:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Vastaus: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Tärkeimmät toiminnot murtoluvuilla ovat pelkistys uuteen nimittäjään ja murtolukujen pienentäminen. Molemmat toiminnot suoritetaan useiden sääntöjen mukaisesti. Murtolukuja lisättäessä ja vähennettäessä murtoluvut pelkistetään ensin yhteiseksi nimittäjäksi, jonka jälkeen suoritetaan toiminnot (yhteen- tai vähennyslasku) osoittajilla. Nimittäjä pysyy samana. Toimintamme tuloksena on uusi murtoluku, jonka osoittaja on osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo.

Esimerkki 10

Suorita vaiheet x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Ratkaisu

Aloitetaan vähentämällä suluissa olevat murtoluvut. Tuodaan ne yhteiseen nimittäjään:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Vähennetään osoittajat:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nyt kerrotaan murtoluvut:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Vähennetään asteella x 1 2, saamme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Lisäksi voit yksinkertaistaa nimittäjässä olevaa potenssilauseketta käyttämällä neliöiden erotuskaavaa: neliöt: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Vastaus: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Esimerkki 11

Yksinkertaista teholauseke x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Ratkaisu

Voimme pienentää murto-osuutta (x 2, 7 + 1) 2. Saamme murto-osan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Jatketaan muunnoksia x potenssien x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Nyt voit käyttää tehonjakoominaisuutta samoilla perusteilla: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Siirrymme viimeisestä tuotteesta murto-osaan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vastaus: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Useimmissa tapauksissa on kätevämpää siirtää kertoimet negatiivisilla eksponenteilla osoittajasta nimittäjään ja päinvastoin vaihtamalla eksponentin etumerkkiä. Tämä toimenpide yksinkertaistaa jatkopäätöstä. Otetaan esimerkki: potenssilauseke (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 voidaan korvata x 3 · (x + 1) 0, 2 .

Lausekkeiden muuntaminen juurilla ja voimavaroilla

Tehtävissä on potenssilausekkeita, jotka eivät sisällä vain asteita murto-osien eksponenteilla, vaan myös juuria. On toivottavaa pelkistää tällaiset ilmaisut vain juuriksi tai vain tehoiksi. Siirtyminen tutkintoihin on parempi, koska niiden kanssa on helpompi työskennellä. Tällainen siirtymä on erityisen edullinen silloin, kun alkuperäisen lausekkeen muuttujien DPV mahdollistaa juurien korvaamisen potenssilla ilman, että joudut käyttämään moduulia tai jakamaan DPV:tä useisiin aikaväleihin.

Esimerkki 12

Ilmaise lauseke x 1 9 x x 3 6 potenssina.

Ratkaisu

Muuttujan kelvollinen alue x määräytyy kahdella epätasa-arvolla x ≥ 0 ja x · x 3 ≥ 0 , jotka määrittelevät joukon [ 0 , + ∞) .

Tässä sarjassa meillä on oikeus siirtyä juurista voimiin:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Käyttämällä asteiden ominaisuuksia yksinkertaistamme tuloksena olevaa teholauseketta.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Vastaus: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Muunnetaan potenssit eksponentin muuttujilla

Nämä muunnokset ovat melko yksinkertaisia ​​tehdä, jos käytät oikein tutkinnon ominaisuuksia. Esimerkiksi, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Voimme korvata sen asteen tulon, jonka perusteella löydetään jonkin muuttujan ja luvun summa. Vasemmalla puolella tämä voidaan tehdä lausekkeen vasemman puolen ensimmäisellä ja viimeisellä termillä:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Jaetaan nyt yhtälön molemmat puolet 7 2 x. Tämä lauseke muuttujan x ODZ:ssä saa vain positiivisia arvoja:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Vähennetään murtolukuja potenssien kanssa, saadaan: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Lopuksi potenssien suhde samoilla eksponenteilla korvataan suhteiden potenssilla, mikä johtaa yhtälöön 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , joka vastaa 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Otetaan käyttöön uusi muuttuja t = 5 7 x , joka pelkistää alkuperäisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisun toisen asteen yhtälön 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 ratkaisuksi.

Lausekkeiden muuntaminen potenssien ja logaritmien avulla

Tehtävissä on myös potenssia ja logaritmeja sisältäviä lausekkeita. Esimerkkejä tällaisista lausekkeista ovat: 1 4 1 - 5 log 2 3 tai log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Tällaisten lausekkeiden muunnos suoritetaan käyttämällä edellä käsiteltyjä lähestymistapoja ja logaritmien ominaisuuksia, joita olemme analysoineet yksityiskohtaisesti aiheessa "Logaritmien lausekkeiden muuntaminen".

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Sivustomme youtube-kanavalle, jotta olet tietoinen kaikista uusista videotunneista.

Muistetaan ensin asteiden peruskaavat ja niiden ominaisuudet.

Numeron tulo a tapahtuu itsestään n kertaa, voimme kirjoittaa tämän lausekkeen muodossa a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Virta tai eksponentiaaliyhtälöt - nämä ovat yhtälöitä, joissa muuttujat ovat potenssiina (tai eksponenteina) ja kanta on luku.

Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

Tässä esimerkissä numero 6 on kanta, se on aina alareunassa ja muuttuja x aste tai mitta.

Annetaan lisää esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0

Katsotaanpa nyt kuinka eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan?

Otetaan yksinkertainen yhtälö:

2 x = 2 3

Tällainen esimerkki voidaan ratkaista jopa mielessä. Voidaan nähdä, että x=3. Loppujen lopuksi niin, että vasen ja oikea osa olivat yhtä suuret, sinun on asetettava numero 3 x:n sijaan.
Katsotaan nyt, miten tämä päätös pitäisi tehdä:

2 x = 2 3
x = 3

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi poistimme samoilla perusteilla(eli kakkosia) ja kirjoitti muistiin, mitä oli jäljellä, nämä ovat asteita. Saimme vastauksen, jota etsimme.

Tehdään nyt yhteenveto ratkaisustamme.

Algoritmi eksponentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi:
1. Tarkasta sama ovatko yhtälön perusteet oikealla ja vasemmalla. Jos perusteet eivät ole samat, etsimme vaihtoehtoja tämän esimerkin ratkaisemiseksi.
2. Kun pohjat ovat samat, rinnastaa aste ja ratkaise tuloksena oleva uusi yhtälö.

Ratkaistaan ​​nyt joitain esimerkkejä:

Aloitetaan yksinkertaisesta.

Vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat yhtä suuria kuin luku 2, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä kannan ja rinnastaa niiden asteet.

x+2=4 Yksinkertaisin yhtälö on selvinnyt.
x = 4 - 2
x=2
Vastaus: x = 2

Seuraavassa esimerkissä voit nähdä, että kannat ovat erilaisia, nämä ovat 3 ja 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Aluksi siirrämme yhdeksän oikealle puolelle, saamme:

Nyt sinun on tehtävä samat pohjat. Tiedämme, että 9 = 3 2 . Käytetään tehokaavaa (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Saamme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nyt näet sen vasemmalla ja oikea puoli kantakohdat ovat samat ja yhtä suuret kuin kolme, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä ne ja rinnastaa asteet.

3x=2x+16 sai yksinkertaisimman yhtälön
3x-2x=16
x = 16
Vastaus: x = 16.

Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Ensinnäkin tarkastelemme pohjaa, pohjat ovat erilaisia ​​kaksi ja neljä. Ja meidän on oltava samanlaisia. Muunnamme nelinkertaisen kaavan (a n) m = a nm mukaan.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ja käytämme myös yhtä kaavaa a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Lisää yhtälöön:

2 2 x 2 4 - 10 2 2 x = 24

Annoimme esimerkin samoista syistä. Mutta muut numerot 10 ja 24 häiritsevät meitä. Mitä niille tehdä? Jos katsot tarkasti, voit nähdä, että vasemmalla puolella toistamme 2 2x, tässä on vastaus - voimme laittaa 2 2x suluista:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lasketaan suluissa oleva lauseke:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Jaamme koko yhtälön kuudella:

Kuvittele 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 kantaa ovat samat, hylkää ne ja vertaa asteet.
2x \u003d 2 osoittautui yksinkertaisimmaksi yhtälöksi. Jaamme sen kahdella, saamme
x = 1
Vastaus: x = 1.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Muunnetaan:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Saamme yhtälön:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Kantamme ovat samat, yhtä kuin kolme. Tässä esimerkissä on selvää, että ensimmäisellä kolmiolla on aste kaksi kertaa (2x) kuin toisella (vain x). Tässä tapauksessa voit päättää korvausmenetelmä. Numero kanssa vähin aste korvata:

Sitten 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Korvaamme kaikki asteet x:illä yhtälössä t:llä:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Saamme toisen asteen yhtälö. Ratkaisemme diskriminantin kautta, saamme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Takaisin muuttujaan x.

Otamme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tuo on,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista, t 2:sta:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastaus: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sivuston osiossa AUTTA PÄÄTTÄMÄÄN voit kysyä kiinnostavia kysymyksiä, vastaamme sinulle varmasti.

Liity ryhmään

Oppitunnin tyyppi: tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti

Tavoitteet:

• koulutuksellinen- toistaa tutkinnon määritelmä, säännöt tutkinnon kertomisesta ja jakamisesta, tutkinnon nostamisesta asteeksi, vahvistaa kykyä ratkaista tutkintoja sisältäviä esimerkkejä,
• kehittymässä-kehitys looginen ajattelu opiskelijat, kiinnostus tutkittavaan materiaaliin,
• kouluttaa- Vastuullisen oppimisasenteen, kommunikaatiokulttuurin ja kollektivismin tunteen edistäminen.

Laitteet: tietokone, multimediaprojektori, interaktiivinen taulu, "Degrees"-esitys suulliseen laskemiseen, tehtäväkortit, monisteet.

Tuntisuunnitelma:

1. Ajan järjestäminen.
2. Sääntöjen toistoa
3. Sanallinen laskenta.
4. Historiallinen viittaus.
5. Liitutaulutyö.
6. Fizkultminutka.
7. Työskentele interaktiivisella taululla.
8. Itsenäinen työ.
9. Kotitehtävät.
10. Yhteenveto oppitunnista.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki

Oppitunnin aiheen ja tavoitteiden esittely.

Aiemmilla oppitunneilla huomasit mahtava maailma asteita, oppinut kertomaan ja jakamaan asteita, nostamaan ne potenssiin. Nykyään meidän on vahvistettava hankittu tieto ratkaisemalla esimerkkejä.

II. Sääntöjen toistoa(suullisesti)

1. Anna tutkinnon määritelmä luonnollisella indikaattorilla? (luvun potenssilla A jonka luonnollinen eksponentti on suurempi kuin 1, kutsutaan tuloksi n kertoimet, joista jokainen on yhtä suuri A.)
2. Kuinka kertoa kaksi tehoa? (Jos haluat kertoa potenssit samalla kantalla, sinun on jätettävä kanta ennalleen ja lisättävä eksponentit.)
3. Kuinka jakaa tutkinto tutkinnolla? (Jotta haluat jakaa potenssit samalla kantalla, sinun on jätettävä kanta ennalleen ja vähennettävä eksponentit.)
4. Kuinka nostaa tuote tehoon? (Jotta haluat nostaa tuotteen tehoon, sinun on nostettava jokainen tekijä kyseiseen potenssiin)
5. Kuinka nostaa tutkinto tutkintoon? (Jos haluat nostaa potenssin potenssiksi, sinun on jätettävä kanta ennalleen ja kerrottava eksponentit)

III. Sanallinen laskenta(multimedialla)

IV. Historiallinen viittaus

Kaikki ongelmat ovat peräisin Ahmesin papyruksesta, joka kirjoitettiin noin vuonna 1650 eaa. e. liittyvät rakentamisen harjoittamiseen, tonttien rajaamiseen jne. Tehtävät on ryhmitelty aiheittain. Nämä ovat suurimmaksi osaksi tehtäviä kolmion, nelikulmion ja ympyrän pinta-alojen etsimiseen, erilaisiin kokonaislukujen ja murtolukujen toimintoihin, suhteelliseen jakoon, suhteiden löytämiseen, on myös korkeus eri asteet, ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisu yhdellä tuntemattomalla.

Ei ole minkäänlaista selitystä tai todistetta. Haluttu tulos annetaan joko suoraan tai annetaan lyhyt algoritmi sen laskentaa varten. Tämä esitystapa, tyypillinen maiden tieteelle muinainen itä, viittaa siihen, että matematiikka siellä kehittyi yleistysten ja olettamusten avulla, jotka eivät muodosta mitään yleistä teoriaa. Papyruksessa on kuitenkin useita todisteita siitä, että egyptiläiset matemaatikot pystyivät poimimaan juuria ja nostamaan potenssiin, ratkaisemaan yhtälöitä ja jopa hallussaan algebran alkeita.

V. Liitutaulutyö

Etsi lausekkeen arvo järkevällä tavalla:

Laske lausekkeen arvo:

VI. Liikuntaminuutti

1. silmille
2. niskaa varten
3. käsille
4. vartaloa varten
5. jalkoja varten

VII. Ongelmanratkaisu(interaktiivisella taulunäytöllä)

Onko yhtälön juuri positiivinen luku?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x)< 0)

VIII. Itsenäinen työ

IX. Kotitehtävät

X. Oppitunnin yhteenveto

Tulosten analysointi, arvosanojen julkistaminen.

Käytämme tutkinnoista saatuja tietoja yhtälöiden, lukion tehtävien ratkaisemisessa ja niitä löytyy usein myös tentistä.

Tehokaavat käytetään vähentämis- ja yksinkertaistamisprosessissa monimutkaisia ​​ilmaisuja, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Määrä c On n-luvun potenssi a Kun:

Operaatiot asteilla.

1. Kun asteet kerrotaan samalla pohjalla, niiden indikaattorit laskevat yhteen:

olena n = a m + n.

2. Saman kantaluvun asteiden jaossa niiden indikaattorit vähennetään:

3. Tuloksen aste 2 tai lisää tekijät on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden potenssien tulo:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murto-osan aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan asteiden suhde:

(a/b) n = an/bn.

5. Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan:

(am) n = a mn.

Jokainen yllä oleva kaava on oikea suunnassa vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

Esimerkiksi. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaatiot juurilla.

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja juurien jakajan suhde:

3. Kun juuria nostetaan potenssiin, riittää juurinumeron nostaminen tähän potenssiin:

4. Jos lisäämme juuren astetta sisään n kerran ja samaan aikaan korottaa n th potenssi on juuriluku, silloin juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennämme juuren astetta sisään n root samaan aikaan n astetta radikaaliluvusta, niin juuren arvo ei muutu:

Aste negatiivisella eksponentilla. Luvun aste, jolla on ei-positiivinen (kokonaisluku) eksponentti, määritellään jaettuna saman luvun asteella, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin ei-positiivisen eksponentin itseisarvo:

Kaava olen:a n = a m - n voidaan käyttää paitsi m> n, mutta myös klo m< n.

Esimerkiksi. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kaavaan olen:a n = a m - n tuli reiluksi m = n, tarvitset nollaasteen.

Aste nollaeksponentilla. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, potenssi on yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkiksi. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Aste, jossa on murtoluku. Nostaaksesi todellista numeroa A jossain määrin m/n, sinun on purettava juuri n aste m tämän luvun potenssi A.