monimutkaiset johdannaiset. Logaritminen derivaatta.
Eksponentiaalifunktion johdannainen

Jatkamme erottelutekniikan parantamista. Tällä oppitunnilla konsolidoimme käsiteltyä materiaalia, harkitsemme monimutkaisempia derivaattoja ja tutustumme myös uusiin temppuihin ja temppuihin derivaatan löytämiseksi, erityisesti logaritmisen derivaatan kanssa.

Niille lukijoille, jotka matala taso valmistelu, katso artikkeli Kuinka löytää johdannainen? Ratkaisuesimerkkejä jonka avulla voit nostaa taitojasi lähes tyhjästä. Seuraavaksi sinun on tutkittava sivu huolellisesti Monimutkaisen funktion johdannainen, ymmärtää ja ratkaista Kaikki antamani esimerkit. Tämä oppitunti on loogisesti kolmas peräkkäin, ja sen hallitsemisen jälkeen erotat luotettavasti melko monimutkaiset toiminnot. Ei ole toivottavaa pitää kiinni asennosta ”Missä muualla? Ja se riittää!", koska kaikki esimerkit ja ratkaisut on otettu todellisuudesta ohjaus toimii ja usein kohdataan käytännössä.

Aloitetaan toistolla. Oppitunnilla Monimutkaisen funktion johdannainen olemme tarkastelleet useita esimerkkejä yksityiskohtaisten kommenttien kera. Differentiaalilaskennan ja muiden matemaattisen analyysin osien opiskelun aikana joudut erottamaan hyvin usein, eikä aina ole kätevää (eikä aina välttämätöntä) maalata esimerkkejä erittäin yksityiskohtaisesti. Siksi harjoittelemme johdannaisten suullista löytämistä. Sopivimmat "ehdokkaat" tähän ovat johdannaiset yksinkertaisimmista monimutkaisista funktioista, esimerkiksi:

Erottelusäännön mukaan monimutkainen toiminto :

Tulevaisuudessa muita matan-aiheita opiskellessa tällaista yksityiskohtaista kirjaamista ei useimmiten vaadita, vaan oletetaan, että opiskelija pystyy löytämään samanlaisia ​​johdannaisia ​​autopilotilla. Kuvitellaan, että kello 3 aamulla oli a puhelu, ja miellyttävä ääni kysyi: "Mikä on kahden x:n tangentin derivaatta?". Tämän pitäisi seurata lähes välitöntä ja kohteliasta vastausta: .

Ensimmäinen esimerkki on heti tarkoitettu itsenäiseksi ratkaisuksi.

Esimerkki 1

Etsi esimerkiksi seuraavat johdannaiset suullisesti, yhdessä vaiheessa: . Tehtävän suorittamiseksi sinun tarvitsee vain käyttää taulukko alkeisfunktioiden johdannaisista(jos hän ei ole jo muistanut). Jos sinulla on vaikeuksia, suosittelen lukemaan oppitunnin uudelleen Monimutkaisen funktion johdannainen.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Vastaukset oppitunnin lopussa

Monimutkaiset johdannaiset

Alustavan tykistövalmistelun jälkeen esimerkit, joissa on 3-4-5 toimintoliitettä, ovat vähemmän pelottavia. Ehkä seuraavat kaksi esimerkkiä näyttävät joillekin monimutkaisilta, mutta jos ne ymmärretään (joku kärsii), niin melkein kaikki muu differentiaalilaskennassa näyttää lapsen vitsiltä.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Kuten jo todettiin, löydettäessä monimutkaisen funktion derivaatta on ensinnäkin välttämätöntä Oikein YMMÄRRÄ SIJOITUKSET. Tapauksissa, joissa on epäilyksiä, muistutan hyödyllinen tekniikka: otamme esimerkiksi kokeellisen arvon "x" ja yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) korvata tämän arvon "kauhealla ilmaisulla".

1) Ensin täytyy laskea lauseke, joten summa on syvin sisäkkäinen.

2) Sitten sinun on laskettava logaritmi:

4) Kuutioi sitten kosini:

5) Viidennessä vaiheessa ero:

6) Ja lopuksi, uloin funktio on neliöjuuri:

Monimutkainen funktion erotuskaava käytetään käänteisessä järjestyksessä, uloimmasta toiminnosta sisimpään. Me päätämme:

Ei näytä olevan vikaa...

(1) Otetaan neliöjuuren derivaatta.

(2) Otetaan erotuksen derivaatta säännön avulla

(3) Kolmikon derivaatta on nolla. Toisessa termissä otamme asteen derivaatan (kuutio).

(4) Otetaan kosinin derivaatta.

(5) Otetaan logaritmin derivaatta.

(6) Lopuksi otamme syvimmän pesinnän derivaatan.

Se voi tuntua liian vaikealta, mutta tämä ei ole julmin esimerkki. Otetaan esimerkiksi Kuznetsovin kokoelma ja arvostat analysoidun johdannaisen viehätystä ja yksinkertaisuutta. Huomasin, että he haluavat antaa samanlaisen asian kokeessa tarkistaakseen, ymmärtääkö opiskelija kuinka löytää monimutkaisen funktion derivaatta, vai ei ymmärrä.

Seuraava esimerkki on erilliselle ratkaisulle.

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Vihje: Ensin sovelletaan lineaarisuuden sääntöjä ja tuotteen erilaistumissääntöä

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

On aika siirtyä johonkin kompaktimpaan ja kauniimpaan.
Ei ole harvinaista, että esimerkissä on annettu ei kahden, vaan kolmen funktion tulo. Kuinka löytää johdannainen kolmen tekijän tulosta?

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Ensin katsotaan, mutta onko mahdollista muuttaa kolmen funktion tulo kahden funktion tuloksi? Esimerkiksi jos tuotteessa olisi kaksi polynomia, voisimme avata sulut. Mutta tässä esimerkissä kaikki funktiot ovat erilaisia: aste, eksponentti ja logaritmi.

Tällaisissa tapauksissa se on välttämätöntä peräkkäin soveltaa tuotteiden erottelusääntöä kahdesti

Temppu on, että "y" tarkoittaa kahden funktion tulosta: , ja "ve" - ​​logaritmi:. Miksi tämä voidaan tehdä? Onko se - tämä ei ole kahden tekijän tulos ja sääntö ei toimi?! Ei ole mitään monimutkaista:

Nyt on vielä sovellettava sääntöä toisen kerran suluissa:

Voit silti pervertoida ja ottaa jotain pois suluista, mutta tässä tapauksessa on parempi jättää vastaus tähän muotoon - se on helpompi tarkistaa.

Yllä oleva esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla:

Molemmat ratkaisut ovat täysin samanarvoisia.

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, näytteessä se ratkaistaan ​​ensimmäisellä tavalla.

Harkitse vastaavia esimerkkejä murtoluvuilla.

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Täällä voit mennä useilla tavoilla:

Tai näin:

Mutta ratkaisu voidaan kirjoittaa kompaktimmin, jos ensinnäkin käytämme osamäärän differentiaatiosääntöä , ottaen koko osoittaja:

Periaatteessa esimerkki on ratkaistu, ja jos se jätetään tähän muotoon, se ei ole virhe. Mutta jos sinulla on aikaa, on aina suositeltavaa tarkistaa luonnos, mutta onko mahdollista yksinkertaistaa vastausta? Tuomme osoittajan lausekkeen yhteiseen nimittäjään ja päästä eroon kolmikerroksisesta murto-osasta:

Lisäyksinkertaistamisen haittana on, että on olemassa riski tehdä virhe ei johdannaista etsittäessä, vaan banaaleissa koulumuunnosissa. Toisaalta opettajat usein hylkäävät tehtävän ja pyytävät "tuottamaan sen mieleen" johdannaisen.

Yksinkertaisempi esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Jatkamme derivaatan löytämisen tekniikoiden hallintaa, ja nyt tarkastelemme tyypillistä tapausta, jossa "kauhea" logaritmi ehdotetaan erottamiseen

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit mennä pitkälle käyttämällä monimutkaisen funktion eriyttämissääntöä:

Mutta aivan ensimmäinen askel syöksee sinut välittömästi epätoivoon - sinun on otettava epämiellyttävä johdannainen murto-osasta ja sitten myös murto-osasta.

Siksi ennen kuinka ottaa "fancy" logaritmin derivaatta, se on aiemmin yksinkertaistettu käyttämällä tunnettuja koulun ominaisuuksia:

! Jos sinulla on käsillä harjoitusvihko, kopioi nämä kaavat sinne. Jos sinulla ei ole muistikirjaa, piirrä ne paperille, sillä loput oppitunnin esimerkit pyörivät näiden kaavojen ympärillä.

Itse ratkaisu voidaan muotoilla näin:

Muunnetaan funktio:

Löydämme johdannaisen:

Itse funktion alustava muunnos yksinkertaisti ratkaisua huomattavasti. Siten, kun samanlaista logaritmia ehdotetaan erottamiseen, on aina suositeltavaa "hajottaa se".

Ja nyt pari yksinkertaista esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Kaikki muunnokset ja vastaukset oppitunnin lopussa.

logaritminen derivaatta

Jos logaritmien derivaatta on niin makeaa musiikkia, niin herää kysymys, onko mahdollista joissain tapauksissa järjestää logaritmi keinotekoisesti? Voi! Ja jopa tarpeellista.

Esimerkki 11

Etsi funktion derivaatta

Vastaavia esimerkkejä olemme äskettäin tarkastelleet. Mitä tehdä? Voidaan soveltaa peräkkäin osamäärän differentiaatiosääntöä ja sitten tuotteen differentiaatiosääntöä. Tämän menetelmän haittana on, että saat valtavan kolmikerroksisen murto-osan, jota et halua käsitellä ollenkaan.

Mutta teoriassa ja käytännössä on olemassa niin upea asia kuin logaritminen derivaatta. Logaritmit voidaan järjestää keinotekoisesti "roittamalla" ne molemmille puolille:

Nyt sinun on "hajottava" oikean puolen logaritmi mahdollisimman paljon (kaavat silmiesi edessä?). Kuvaan tätä prosessia yksityiskohtaisesti:

Aloitetaan erottelusta.
Päätämme molemmat osat vedolla:

Oikean puolen johdannainen on melko yksinkertainen, en kommentoi sitä, koska jos luet tätä tekstiä, sinun pitäisi pystyä käsittelemään sitä luottavaisin mielin.

Entä vasen puoli?

Vasemmalla puolella meillä on monimutkainen toiminto. Ennakoin kysymyksen: "Miksi, onko logaritmin alla yksi kirjain "y"?".

Tosiasia on, että tämä "yksi kirjain" - ON TOIMINTO ITSENSÄ(jos se ei ole kovin selkeä, katso artikkeli implisiittisesti määritellyn funktion johdannainen). Siksi logaritmi on ulkoinen funktio, ja "y" on sisäinen toiminto. Ja käytämme yhdistelmäfunktion erottelusääntöä :

Vasemmalla puolella, ikään kuin aallolla taikasauva meillä on johdannainen. Lisäksi suhteellisuussäännön mukaan heitämme "y" vasemman puolen nimittäjästä oikean puolen yläosaan:

Ja nyt muistamme, millaisesta "peli"-toiminnosta puhuimme erotettaessa? Katsotaanpa tilannetta:

Lopullinen vastaus:

Esimerkki 12

Etsi funktion derivaatta

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Mallisuunnittelu tämän tyyppisestä esimerkistä oppitunnin lopussa.

Logaritmisen derivaatan avulla oli mahdollista ratkaista mikä tahansa esimerkeistä nro 4-7, toinen asia on, että funktiot siellä ovat yksinkertaisempia, ja ehkä logaritmisen derivaatan käyttö ei ole kovin perusteltua.

Eksponentiaalifunktion johdannainen

Emme ole vielä harkinneet tätä toimintoa. Eksponentiaalinen funktio on funktio, jolla on ja aste ja kanta riippuvat "x:stä". Klassinen esimerkki, joka annetaan sinulle missä tahansa oppikirjassa tai missä tahansa luennossa:

Kuinka löytää eksponentiaalisen funktion derivaatta?

On tarpeen käyttää juuri tarkasteltua tekniikkaa - logaritminen derivaatta. Riputamme logaritmit molemmille puolille:

Yleensä aste otetaan pois logaritmin alta oikealta:

Tämän seurauksena oikealla puolella on kahden funktion tulo, jotka erotetaan vakiokaavan mukaan .

Löydämme johdannaisen, tätä varten liitämme molemmat osat viivojen alle:

Seuraavat vaiheet ovat helppoja:

Lopuksi:

Jos jokin muunnos ei ole täysin selvä, lue huolellisesti uudelleen esimerkin #11 selitykset.

Käytännön tehtävissä eksponentiaalinen funktio on aina monimutkaisempi kuin tarkasteltava luentosimerkki.

Esimerkki 13

Etsi funktion derivaatta

Käytämme logaritmista derivaatta.

Oikealla puolella on vakio ja kahden tekijän tulo - "x" ja "x:n logaritmi" (toinen logaritmi on sisäkkäin logaritmin alle). Kun vakiota eristetään, kuten muistamme, on parempi ottaa se välittömästi pois derivaatan merkistä, jotta se ei jää tielle; ja tietysti soveltaa tuttua sääntöä :

Kuten näette, logaritmisen derivaatan soveltamisalgoritmi ei sisällä erityisiä temppuja tai temppuja, eikä eksponentiaalisen funktion derivaatan löytämiseen yleensä liity "piinaa".

Toiminnot monimutkainen tyyppi eivät aina sovi monimutkaisen funktion määritelmään. Jos funktio on muotoa y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, sitä ei voida pitää kompleksisena, toisin kuin y \u003d sin 2 x.

Tämä artikkeli näyttää monimutkaisen funktion käsitteen ja sen tunnistamisen. Työstetään kaavoja derivaatan löytämiseksi ja esimerkkejä ratkaisuista johtopäätöksessä. Derivaatataulukon ja differentiointisääntöjen käyttö lyhentää merkittävästi derivaatan löytämiseen kuluvaa aikaa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Perusmääritelmät

Määritelmä 1

Monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on myös funktio.

Se merkitään näin: f (g (x)) . Meillä on, että funktiota g (x) pidetään argumenttina f (g (x)) .

Määritelmä 2

Jos on funktio f ja se on kotangenttifunktio, niin g (x) = ln x on funktio luonnollinen logaritmi. Saamme, että kompleksifunktio f (g (x)) kirjoitetaan muodossa arctg (lnx). Tai funktio f, joka on 4. potenssiin korotettu funktio, jossa g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 pidetään kokonaisena rationaalisena funktiona, saadaan, että f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Ilmeisesti g(x) voi olla hankala. Esimerkistä y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 voidaan nähdä, että g:n arvolla on kuutiojuuri murtoluvulla. Tämä lauseke voidaan merkitä muodossa y = f (f 1 (f 2 (x))) . Tästä syystä f on sinifunktio ja f 1 on alla oleva funktio neliöjuuri, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - rationaalinen murto-osafunktio.

Määritelmä 3

Pesäytymisasteen määrittää mikä tahansa luonnollinen luku ja se kirjoitetaan muodossa y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Määritelmä 4

Funktion koostumuksen käsite viittaa sisäkkäisten funktioiden määrään ongelmalauseen mukaan. Ratkaisua varten kaava muodon kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Etsi kompleksifunktion derivaatta muotoa y = (2 x + 1) 2 .

Ratkaisu

Sopimuksen mukaan f on neliöintifunktio, ja g(x) = 2 x + 1 katsotaan lineaarifunktioksi.

Käytämme johdannaiskaavaa monimutkaiselle funktiolle ja kirjoitamme:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

On tarpeen löytää derivaatta funktion yksinkertaistetulla alkumuodolla. Saamme:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Siksi meillä on se

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Tulokset sopivat.

Tällaisia ​​ongelmia ratkaistaessa on tärkeää ymmärtää, missä muodon f ja g (x) funktio sijaitsee.

Esimerkki 2

Sinun pitäisi löytää johdannaiset kompleksisista funktioista, jotka ovat muotoa y \u003d sin 2 x ja y \u003d sin x 2.

Ratkaisu

Funktion ensimmäinen syöte sanoo, että f on neliöintifunktio ja g(x) on sinifunktio. Sitten saamme sen

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Toinen merkintä osoittaa, että f on sinifunktio ja g (x) = x 2 tarkoittaa tehotoiminto. Tästä seuraa, että monimutkaisen funktion tulo voidaan kirjoittaa muodossa

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Derivaatan y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) kaava kirjoitetaan muodossa y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) (... ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) f 2" (f 3 (...) (f n (x) )) )) . . . f n "(x)

Esimerkki 3

Etsi funktion y = sin derivaatta (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Ratkaisu

Tämä esimerkki osoittaa kirjoittamisen ja funktioiden sijainnin määrittämisen monimutkaisuuden. Sitten y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) tarkoittaa, missä f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) on sinifunktio, funktio nostamisesta 3 asteeseen, logaritmin ja kantaluvun e funktio, arktangentin funktio ja lineaarinen funktio.

Monimutkaisen funktion määritelmän kaavasta saamme sen

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Hae mitä löytää

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) sinin derivaatana derivaattataulukossa, sitten f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) potenssifunktion derivaatana, sitten f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) logaritmisena derivaatana, sitten f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) arctangentin derivaatana, niin f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Kun löydät derivaatan f 4 (x) \u003d 2 x, ota 2 derivaatan etumerkistä käyttämällä kaavaa potenssifunktion derivaatalle, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin 1, sitten f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Yhdistämme välitulokset ja saamme sen

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Tällaisten toimintojen analyysi muistuttaa pesiviä nukkeja. Erotussääntöjä ei aina voida soveltaa eksplisiittisesti käyttämällä johdannaistaulukkoa. Usein sinun on käytettävä kaavaa monimutkaisten funktioiden johdannaisten löytämiseksi.

Monimutkaisen näkymän ja monimutkaisen toiminnon välillä on joitain eroja. Johdannaisten löytäminen tulee olemaan erityisen helppoa, jos tämä on selkeä kyky erottaa.

Esimerkki 4

On tarpeen harkita tällaisen esimerkin tuomista. Jos on muotoa y = t g 2 x + 3 t g x + 1 oleva funktio, niin sitä voidaan pitää kompleksifunktiona muotoa g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . On selvää, että on tarpeen soveltaa kaavaa kompleksiselle derivaatalle:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funktiota, jonka muoto on y = t g x 2 + 3 t g x + 1, ei pidetä kompleksina, koska sillä on summa t g x 2 , 3 t g x ja 1 . Kuitenkin t g x 2 katsotaan monimutkaiseksi funktioksi, jolloin saadaan potenssifunktio muotoa g (x) \u003d x 2 ja f, joka on tangentin funktio. Tätä varten sinun on erotettava summa. Me ymmärrämme sen

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Siirrytään etsimään kompleksisen funktion derivaatta (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Saamme, että y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Monimutkaiset funktiot voidaan sisällyttää monimutkaisiin funktioihin, ja kompleksifunktiot itse voivat olla monimutkaisen muodon yhdistelmäfunktioita.

Esimerkki 5

Tarkastellaan esimerkiksi kompleksista funktiota, jonka muoto on y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Tämä funktio voidaan esittää muodossa y = f (g (x)) , jossa f:n arvo on 3-kantaisen logaritmin funktio ja g (x) on kahden muotoa h (x) = olevan funktion summa. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ja k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Ilmeisesti y = f (h (x) + k (x)) .

Tarkastellaan funktiota h(x) . Tämä on suhde l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 suhteessa m (x) = e x 2 + 3 3

Meillä on, että l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) on kahden funktion summa n (x) = x 2 + 7 ja p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , missä p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) on monimutkainen funktio, jonka numeerinen kerroin on 3, ja p 1 on kuutiofunktio, p 2 kosinifunktio, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineaarinen funktio.

Havaitsimme, että m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) on kahden funktion q (x) = e x 2 ja r (x) = 3 3 summa, missä q (x) = q 1 (q 2 (x)) on kompleksifunktio, q 1 on funktio, jossa on eksponentti, q 2 (x) = x 2 on potenssifunktio.

Tämä osoittaa, että h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kun siirrytään muotoon k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), on selvää, että funktio esitetään kompleksina s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) rationaalisella kokonaisluvulla t (x) = x 2 + 1, missä s 1 on neliöintifunktio ja s 2 (x) = ln x on logaritminen kantalla e.

Tästä seuraa, että lauseke saa muotoa k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Sitten saamme sen

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Funktion rakenteiden mukaan kävi selväksi, miten ja mitä kaavoja tulee soveltaa lausekkeen yksinkertaistamiseksi, kun se erotetaan. Tällaisiin ongelmiin perehtymiseksi ja niiden ratkaisun ymmärtämiseksi on tarpeen viitata funktion erottamispisteeseen eli sen johdannaisen löytämiseen.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Siitä lähtien kun tulit tänne, olet todennäköisesti jo onnistunut näkemään tämän kaavan oppikirjassa

ja tee tällaiset kasvot:

Ystävä, älä huoli! Itse asiassa kaikki on yksinkertaista häpeällistä. Ymmärrät varmasti kaiken. Vain yksi pyyntö - lue artikkeli hitaasti yritä ymmärtää jokainen askel. Kirjoitin mahdollisimman yksinkertaisesti ja selkeästi, mutta sinun täytyy silti syventää ajatusta. Ja muista ratkaista artikkelin tehtävät.

Mikä on monimutkainen funktio?

Kuvittele, että muutat toiseen asuntoon ja siksi pakkaat tavaroita isoihin laatikoihin. Olkoon tarpeen kerätä pieniä esineitä, esimerkiksi koulun paperitavarat. Jos heität ne vain valtavaan laatikkoon, ne katoavat muun muassa. Tämän välttämiseksi laita ne ensin esimerkiksi pussiin, jonka sitten laitat isoon laatikkoon, jonka jälkeen suljet sen. Tämä "vaikein" prosessi on esitetty alla olevassa kaaviossa:

Näyttäisi siltä, ​​missä matematiikka? Ja lisäksi monimutkainen funktio muodostuu TÄYSIN SAMALLA tavalla! Vain me "pakkaamme" ei muistikirjoja ja kyniä, vaan \ (x \), kun taas erilaiset "paketit" ja "laatikot" palvelevat.

Otetaan esimerkiksi x ja "pakataan" se funktioon:

Lopputuloksena saamme tietysti \(\cos⁡x\). Tämä on meidän "laukkumme tavaraa". Ja nyt laitamme sen "laatikkoon" - pakkaamme sen esimerkiksi kuutiofunktioon.

Mitä lopulta tapahtuu? Kyllä, aivan oikein, tulee "paketti, jossa tavarat laatikossa", eli "kosini x kuutio".

Tuloksena oleva rakenne on monimutkainen toiminto. Se eroaa yksinkertaisesta siinä USEITA ”vaikutuksia” (paketteja) sovelletaan yhteen X:ään peräkkäin ja osoittautuu ikään kuin "funktio funktiosta" - "paketti paketissa".

Koulukurssilla näitä samoja "paketteja" on hyvin vähän, vain neljä:

"Pakkaa" x ensin sisään eksponentti funktio kantaluvulla 7 ja sitten trigonometriseksi funktioksi. Saamme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Ja nyt "pakkaa" x kahdesti trigonometriset funktiot, ensin sisään ja sitten sisään:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Yksinkertaista, eikö?

Kirjoita nyt itse funktiot, missä x:
- ensin se "pakattu" kosiniksi ja sitten eksponentiaaliseksi funktioksi, jonka kantaluku on \(3\);
- ensin viidenteen potenssiin ja sitten tangenttiin;
- ensin kantalogaritmiin \(4\) , sitten potenssiin \(-2\).

Katso vastaukset tähän kysymykseen artikkelin lopusta.

Mutta voimmeko "pakkata" x ei kaksi, vaan kolme kertaa? Ei ongelmaa! Ja neljä, ja viisi ja kaksikymmentäviisi kertaa. Tässä on esimerkiksi funktio, jossa x on "pakattu" \(4\) kertaa:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Mutta tällaisia ​​kaavoja ei löydy koulun käytännössä (oppilaat ovat onnekkaampia - ne voivat olla vaikeampia☺).

Monimutkaisen toiminnon "purkaminen".

Katso edellinen toiminto uudelleen. Voitko selvittää "pakkausjärjestyksen"? Mihin X työnnettiin ensin, mihin sitten ja niin edelleen loppuun asti. Eli mikä funktio on sisäkkäin mihin? Ota paperi ja kirjoita mielipiteesi. Voit tehdä tämän nuoliketjulla, kuten yllä kirjoitimme, tai millä tahansa muulla tavalla.

Nyt oikea vastaus on: ensin "pakattu" x \(4\):teen potenssiin, sitten tulos pakattiin siniin, se puolestaan ​​sijoitettiin logaritmin kantaan \(2\) ja lopussa koko rakennustyöntö työnnettiin tehoviisikoihin.

Eli on tarpeen purkaa sekvenssi KÄÄNTEISESSÄ JÄRJESTYSSÄ. Ja tässä on vihje kuinka tehdä se helpommin: katso vain X:tä - sinun täytyy tanssia siitä. Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkiksi tässä on funktio: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Katsomme X:tä – mitä hänelle tapahtuu ensin? Häneltä otettu. Ja sitten? Tuloksen tangentti otetaan. Ja järjestys on sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Toinen esimerkki: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analysoimme - ensin x kuutioitiin ja sitten kosini otettiin tuloksesta. Joten sekvenssi on: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Kiinnitä huomiota, toiminto näyttää olevan samanlainen kuin aivan ensimmäinen (missä kuvilla). Mutta tämä on täysin eri funktio: täällä kuutiossa x (eli \(\cos⁡((x x x)))\) ja siellä kuutiossa kosini \(x\) (eli \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tämä ero johtuu erilaisista "pakkaus"-sekvensseistä.

Viimeinen esimerkki (kanssa tärkeää tietoa siinä): \(y=\sin⁡((2x+5))\). On selvää, että tässä teimme ensin aritmeettisia operaatioita x:llä, sitten tuloksesta otettiin sini: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ja tämä tärkeä pointti: huolimatta siitä, että aritmeettiset operaatiot eivät ole funktioita sinänsä, ne toimivat tässä myös tapana "pakkata". Sukellaanpa hieman syvemmälle tähän hienovaraisuuteen.

Kuten edellä sanoin, yksinkertaisissa funktioissa x "pakattu" kerran ja monimutkaisissa funktioissa - kaksi tai useampi. Lisäksi mikä tahansa yksinkertaisten funktioiden yhdistelmä (eli niiden summa, erotus, kertolasku tai jako) on myös yksinkertainen toiminto. Esimerkiksi \(x^7\) on yksinkertainen funktio, ja niin on myös \(ctg x\). Siksi kaikki niiden yhdistelmät ovat yksinkertaisia ​​toimintoja:

\(x^7+ ctg x\) - yksinkertainen,
\(x^7 ctg x\) on yksinkertainen,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) on yksinkertainen ja niin edelleen.

Kuitenkin, jos tällaiseen yhdistelmään sovelletaan vielä yhtä funktiota, se on jo monimutkainen funktio, koska "paketteja" on kaksi. Katso kaavio:

Okei, jatketaan nyt. Kirjoita "käärintä"-funktioiden järjestys:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Vastaukset ovat jälleen artikkelin lopussa.

Sisäiset ja ulkoiset toiminnot

Miksi meidän on ymmärrettävä funktioiden sisäkkäisyys? Mitä tämä antaa meille? Asia on siinä, että ilman tällaista analyysiä emme pysty luotettavasti löytämään edellä käsiteltyjen funktioiden johdannaisia.

Ja jotta voimme jatkaa, tarvitsemme vielä kaksi käsitettä: sisäiset ja ulkoiset toiminnot. Tämä on hyvin yksinkertainen asia, lisäksi itse asiassa olemme jo analysoineet niitä edellä: jos muistamme analogiamme heti alussa, niin sisäinen toiminto on "paketti" ja ulompi on "laatikko". Nuo. se, mihin X on "kääritty" ensin, on sisäinen toiminto, ja se, mihin sisäinen "kääritään", on jo ulkoista. No, on ymmärrettävää miksi - se on ulkopuolella, se tarkoittaa ulkoista.

Tässä esimerkissä: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funktio \(\log_2⁡x\) on sisäinen ja
-ulkoinen.

Ja tässä: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) on sisäinen ja
-ulkoinen.

Suorita viimeinen harjoitus monimutkaisten funktioiden analysoinnille ja siirrytään lopuksi siihen pisteeseen, jota varten kaikki aloitettiin - löydämme monimutkaisten funktioiden johdannaisia:

Täytä taulukon aukot:

Monimutkaisen funktion johdannainen

Bravo meille, pääsimme silti tämän aiheen "pomoon" - itse asiassa monimutkaisen funktion johdannaiseen ja nimenomaan siihen erittäin kauheaan kaavaan artikkelin alusta.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tämä kaava kuuluu näin:

Kompleksifunktion derivaatta on yhtä suuri kuin ulkoisen funktion derivaatan tulo vakion sisäisen funktion suhteen ja sisäisen funktion derivaatan tulo.

Ja katso heti jäsennysjärjestelmää sanojen mukaan ymmärtääksesi, mihin liittyy:

Toivon, että termit "johdannainen" ja "tuote" eivät aiheuta vaikeuksia. "Monimutkainen toiminto" - olemme jo purkaneet. Saalis on "ulkoisen funktion johdannainen suhteessa vakioon sisäiseen toimintoon". Mikä se on?

Vastaus: tämä on tavallinen ulomman funktion derivaatta, jossa vain ulompi funktio muuttuu, kun taas sisempi pysyy samana. Vieläkö epäselvä? Okei, otetaan esimerkki.

Oletetaan, että meillä on funktio \(y=\sin⁡(x^3)\). On selvää, että sisäinen funktio tässä on \(x^3\) ja ulompi
. Etsitään nyt ulomman derivaatta vakion sisäisen suhteen.

Kompleksisen funktion derivaatan kaavan todiste on annettu. Tapauksia, joissa monimutkainen funktio riippuu yhdestä tai kahdesta muuttujasta, tarkastellaan yksityiskohtaisesti. Yleistys tehdään sattumanvaraiseen määrään muuttujia.

Tässä esitetään seuraavien kaavojen johtaminen kompleksisen funktion derivaatalle.
Jos sitten
.
Jos sitten
.
Jos sitten
.

Yhden muuttujan kompleksisen funktion derivaatta

Esitetään muuttujan x funktio kompleksifunktiona seuraavassa muodossa:
,
missä ja on joitain toimintoja. Funktio on differentioituva jollekin muuttujan x arvolle. Funktio on differentioituva muuttujan arvolle.
Tällöin kompleksi (komposiitti)funktio on differentioituva pisteessä x ja sen derivaatta määritetään kaavalla:
(1) .

Kaava (1) voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:
;
.

Todiste

Otetaan käyttöön seuraava merkintä.
;
.
Tässä on muuttujien funktio ja , muuttujien funktio ja . Mutta jätämme pois näiden funktioiden argumentit, jotta emme sotkelisi laskelmia.

Koska funktiot ja ovat differentioituvia pisteissä x ja vastaavasti, niin näissä pisteissä on näiden funktioiden derivaatat, jotka ovat seuraavat rajat:
;
.

Harkitse seuraavaa toimintoa:
.
Muuttujan u kiinteälle arvolle on funktio . Se on selvää
.
Sitten
.

Koska funktio on differentioituva funktio pisteessä, se on jatkuva siinä pisteessä. Siksi
.
Sitten
.

Nyt löydämme johdannaisen.

.

Kaava on todistettu.

Seuraus

Jos muuttujan x funktio voidaan esittää kompleksifunktion kompleksifunktiona
,
sitten sen derivaatta määritetään kaavalla
.
Täällä ja on joitain erotettavia toimintoja.

Tämän kaavan todistamiseksi laskemme derivaatan peräkkäin kompleksisen funktion differentiaatiosäännön mukaisesti.
Harkitse monimutkaista funktiota
.
Sen johdannainen
.
Harkitse alkuperäistä toimintoa
.
Sen johdannainen
.

Yhdistetyn funktion johdannainen kahdessa muuttujassa

Olkoon monimutkainen funktio nyt riippuvainen useista muuttujista. Harkitse ensin kahden muuttujan kompleksisen funktion tapauksessa.

Esitetään muuttujasta x riippuva funktio kahden muuttujan kompleksifunktiona seuraavassa muodossa:
,
Missä
ja jollekin muuttujan x arvolle on differentioituvia funktioita;
on kahden muuttujan funktio, joka on differentioituva pisteessä , . Sitten kompleksifunktio määritellään jossain pisteen ympäristössä ja sillä on derivaatta, joka määritetään kaavalla:
(2) .

Todiste

Koska funktiot ja ovat differentioituvia pisteessä, ne määritellään jossain tämän pisteen ympäristössä, ovat jatkuvia pisteessä ja niiden derivaatat pisteessä ovat olemassa, jotka ovat seuraavat rajat:
;
.
Tässä
;
.
Näiden toimintojen jatkuvuuden vuoksi meillä on:
;
.

Koska funktio on differentioituva pisteessä, se määritellään jossain tämän pisteen ympäristössä, on jatkuva tässä pisteessä ja sen inkrementti voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:
(3) .
Tässä

- funktion lisäys, kun sen argumentteja kasvatetaan arvoilla ja ;
;

- funktion osittaiset derivaatat suhteessa muuttujiin ja .
Kiinteille arvoille ja , ja on olemassa muuttujien ja funktioita. Niillä on taipumus nollata ja:
;
.
Siitä lähtien ja sitten
;
.

Toiminnan lisäys:

. :
.
Korvaava (3):



.

Kaava on todistettu.

Johdannainen useiden muuttujien kompleksisesta funktiosta

Yllä oleva johtaminen on helposti yleistettävissä tapaukseen, jossa kompleksisen funktion muuttujien lukumäärä on suurempi kuin kaksi.

Esimerkiksi jos f on kolmen muuttujan funktio, Tuo
,
Missä
, ja jollekin muuttujan x arvolle on differentioituvia funktioita;
on differentioituva funktio, kolmessa muuttujassa, pisteessä , , .
Sitten funktion differentiatiivisuuden määritelmästä meillä on:
(4)
.
Koska jatkuvuuden vuoksi
; ; ,
Että
;
;
.

Jakamalla (4) arvolla ja siirtymällä rajaan, saadaan:
.

Ja lopuksi harkitse yleisin tapaus.
Esitetään muuttujan x funktio n muuttujan kompleksifunktiona seuraavassa muodossa:
,
Missä
jollekin muuttujan x arvolle on differentioituvia funktioita;
- n muuttujan differentioituva funktio pisteessä
, , ... , .
Sitten
.

Ja lause kompleksisen funktion derivaatta, jonka muotoilu on seuraava:

Olkoon 1) funktiolla $u=\varphi (x)$ derivaatta $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ jossain pisteessä $x_0$, 2) funktiolla $y=f(u)$ on vastaavassa pisteessä $u_0=\varphi (x_0)$ derivaatta $y_(u)"=f"(u)$. Tällöin kompleksifunktiolla $y=f\left(\varphi (x) \right)$ mainitussa pisteessä on myös derivaatta, joka on yhtä suuri kuin funktioiden $f(u)$ ja $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

tai lyhyemmällä merkinnällä: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Tämän osion esimerkeissä kaikki funktiot ovat muotoa $y=f(x)$ (eli otamme huomioon vain yhden muuttujan $x$ funktiot). Vastaavasti kaikissa esimerkeissä derivaatta $y"$ otetaan suhteessa muuttujaan $x$. Korostaakseen, että derivaatta otetaan suhteessa muuttujaan $x$, kirjoitetaan usein $y"_x$ $ sijaan. y"$.

Esimerkit #1, #2 ja #3 tarjoavat yksityiskohtaisen prosessin monimutkaisten funktioiden derivaatan löytämiseksi. Esimerkki nro 4 on tarkoitettu johdannaistaulukon täydellisempään ymmärtämiseen ja siihen on järkevää tutustua.

Esimerkkien 1-3 aineiston tutkimisen jälkeen kannattaa siirtyä esimerkkien 5, 6 ja 7 itsenäiseen ratkaisemiseen. Esimerkit #5, #6 ja #7 sisältävät lyhyen ratkaisun, jotta lukija voi tarkistaa tuloksensa oikeellisuuden.

Esimerkki #1

Etsi funktion $y=e^(\cos x)$ derivaatta.

Meidän on löydettävä kompleksifunktion $y"$ derivaatta. Koska $y=e^(\cos x)$, niin $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. etsi derivaatta $ \left(e^(\cos x)\right)"$ käytä kaavaa #6 derivaattataulukosta. Jotta voit käyttää kaavaa nro 6, sinun on otettava huomioon, että meidän tapauksessamme $u=\cos x$. Toinen ratkaisu koostuu lausekkeen $\cos x$ banaalista korvaamisesta $u$:n sijaan kaavassa nro 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nyt meidän on löydettävä lausekkeen $(\cos x)"$ arvo. Siirrymme jälleen derivaattataulukkoon ja valitsemme siitä kaavan nro 10. Korvaamalla $u=x$ kaavan nro 10 saamme : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Jatketaan yhtälöä (1.1) täydentämällä sitä löydetyllä tuloksella:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Koska $x"=1$, jatkamme tasa-arvoa (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Eli yhtälöstä (1.3) on: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Selitykset ja väliyhtälöt yleensä ohitetaan, kirjoitetaan derivaatta yhdelle riville, kuten yhtälössä ( 1.3) Eli kompleksifunktion derivaatta on löydetty, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Esimerkki #2

Etsi funktion $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ derivaatta.

Meidän on laskettava derivaatta $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Aluksi huomautamme, että vakio (eli luku 9) voidaan ottaa pois derivaatan merkistä:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Siirrytään nyt lausekkeeseen $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Jotta halutun kaavan valinta olisi helpompaa johdannaistaulukosta, esitän lausekkeen kyseessä tässä muodossa: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Nyt on selvää, että on tarpeen käyttää kaavaa nro 2, ts. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Korvaa $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ja $\alpha=12$ tähän kaavaan:

Täydentämällä yhtälöä (2.1) saadulla tuloksella saamme:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Tässä tilanteessa tehdään usein virhe, kun ratkaisija valitsee ensimmäisessä vaiheessa kaavan $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ kaavan sijaan $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Asia on siinä, että ensin on löydettävä ulkoisen funktion derivaatta. Ymmärtääksesi, mikä funktio on lausekkeen $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ulkopuolella, kuvittele, että lasket lausekkeen $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ jollekin arvolle $x$. Laske ensin arvon $5^x$ ja kerro sitten tulos 4:llä saadaksesi $4\cdot 5^x$. Nyt otamme tämän tuloksen arktangentin, jolloin saadaan $\arctg(4\cdot 5^x)$. Sitten nostetaan saatu luku kahdestoista potenssiin, jolloin saadaan $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Viimeinen toimenpide, ts. nostamalla 12, - ja se tulee olemaan ulkoinen toiminto. Ja juuri siitä pitäisi aloittaa derivaatan etsiminen, mikä tehtiin yhtälössä (2.2).

Nyt meidän on löydettävä $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 19 ja korvaamme sen $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Yksinkertaistetaan hieman tuloksena olevaa lauseketta ottaen huomioon $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Tasa-arvosta (2.2) tulee nyt:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Jäljelle jää löytää $(4\cdot \ln x)"$. Otetaan vakio (eli 4) derivaatan etumerkistä: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Löytääksemme $(\ln x)"$ käytämme kaavaa nro 8 ja korvaamme sen $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Koska $x"=1$, niin $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Korvaamalla saatu tulos kaavaan (2.3) saadaan:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Haluan muistuttaa, että kompleksisen funktion derivaatta on useimmiten yhdellä rivillä, kuten viimeisessä yhtälössä on kirjoitettu. Siksi standardilaskelmia tai -kokeita tehtäessä ratkaisua ei tarvitse maalata samalla tavalla.

Vastaus: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Esimerkki #3

Etsi $y"$ funktiosta $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Aluksi muutetaan hieman $y$-funktiota ilmaisemalla radikaali (juuri) potenssina: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \oikea)^(\frac(3)(7))$. Aloitetaan nyt johdannaisen etsiminen. Koska $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, niin:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 2 korvaamalla siihen $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ja $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Jatkamme yhtälöä (3.1) käyttämällä saatua tulosta:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nyt meidän on löydettävä $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tätä varten käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 9 korvaamalla siihen $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Täydentämällä yhtäläisyyttä (3.2) saadulla tuloksella saamme:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Vielä on löydettävä $(5\cdot 9^x)"$. Ensin otetaan vakio (luku $5$) derivaatan etumerkistä, eli $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Löytääksemme derivaatan $(9^x)"$, käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 5 korvaamalla siihen $a=9$ ja $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Koska $x"=1$, sitten $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nyt voimme jatkaa yhtäläisyyttä (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Voit palata potenssista radikaaleihin (eli juuriin) kirjoittamalla $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ muodossa $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Sitten johdannainen kirjoitetaan seuraavassa muodossa:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Vastaus: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Esimerkki #4

Osoita, että johdannaistaulukossa on kaavat nro 3 ja nro 4 erikoistapaus tämän taulukon kaava numero 2.

Johdannaisten taulukon kaavaan nro 2 kirjoitetaan funktion $u^\alpha$ derivaatta. Korvaamalla $\alpha=-1$ kaavaan #2 saadaan:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Koska $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ja $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, yhtälö (4.1) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tämä on johdannaistaulukon kaava numero 3.

Käännytään taas johdannaistaulukon kaavaan nro 2. Korvaa $\alpha=\frac(1)(2)$ siihen:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Koska $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ja $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, niin yhtälö (4.2) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Tuloksena oleva yhtälö $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ on johdannaistaulukon kaava nro 4. Kuten näet, johdannaistaulukon kaavat nro 3 ja 4 saadaan kaavasta nro 2 korvaamalla vastaava arvo $\alpha$.