monimutkaiset johdannaiset. Logaritminen derivaatta.
Vallan johdannainen- eksponentti funktio

Jatkamme erottelutekniikan parantamista. Tällä oppitunnilla konsolidoimme käsiteltyä materiaalia, harkitsemme monimutkaisempia derivaattoja ja tutustumme myös uusiin temppuihin ja temppuihin derivaatan löytämiseksi, erityisesti logaritmisen derivaatan kanssa.

Niille lukijoille, jotka matala taso valmistelu, katso artikkeli Kuinka löytää johdannainen? Ratkaisuesimerkkejä jonka avulla voit nostaa taitojasi lähes tyhjästä. Seuraavaksi sinun on tutkittava sivu huolellisesti Monimutkaisen funktion johdannainen, ymmärtää ja ratkaista Kaikki antamani esimerkit. Tämä oppitunti on loogisesti kolmas peräkkäin, ja sen hallitsemisen jälkeen erotat luotettavasti melko monimutkaiset toiminnot. Ei ole toivottavaa pitää kiinni asennosta ”Missä muualla? Ja se riittää!", koska kaikki esimerkit ja ratkaisut on otettu todellisuudesta ohjaus toimii ja usein kohdataan käytännössä.

Aloitetaan toistolla. Oppitunnilla Monimutkaisen funktion johdannainen olemme tarkastelleet useita esimerkkejä yksityiskohtaisten kommenttien kera. Differentiaalilaskennan ja muiden matemaattisen analyysin osien opiskelun aikana joudut erottamaan hyvin usein, eikä aina ole kätevää (eikä aina välttämätöntä) maalata esimerkkejä erittäin yksityiskohtaisesti. Siksi harjoittelemme johdannaisten suullista löytämistä. Sopivimmat "ehdokkaat" tähän ovat johdannaiset yksinkertaisimmista monimutkaisista funktioista, esimerkiksi:

Erottelusäännön mukaan monimutkainen toiminto :

Tulevaisuudessa muita matan-aiheita opiskellessa tällaista yksityiskohtaista kirjaamista ei useimmiten vaadita, vaan oletetaan, että opiskelija pystyy löytämään samanlaisia ​​johdannaisia ​​autopilotilla. Kuvitellaan, että kello 3 aamulla oli a puhelu, ja miellyttävä ääni kysyi: "Mikä on kahden x:n tangentin derivaatta?". Tämän pitäisi seurata lähes välitöntä ja kohteliasta vastausta: .

Ensimmäinen esimerkki on heti tarkoitettu itsenäiseksi ratkaisuksi.

Esimerkki 1

Etsi esimerkiksi seuraavat johdannaiset suullisesti, yhdessä vaiheessa: . Tehtävän suorittamiseksi sinun tarvitsee vain käyttää taulukko alkeisfunktioiden johdannaisista(jos hän ei ole jo muistanut). Jos sinulla on vaikeuksia, suosittelen lukemaan oppitunnin uudelleen Monimutkaisen funktion johdannainen.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Vastaukset oppitunnin lopussa

Monimutkaiset johdannaiset

Alustavan tykistövalmistelun jälkeen esimerkit, joissa on 3-4-5 toimintoliitettä, ovat vähemmän pelottavia. Ehkä seuraavat kaksi esimerkkiä näyttävät joillekin monimutkaisilta, mutta jos ne ymmärretään (joku kärsii), niin melkein kaikki muu differentiaalilaskennassa näyttää lapsen vitsiltä.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Kuten jo todettiin, löydettäessä monimutkaisen funktion derivaatta on ensinnäkin välttämätöntä Oikein YMMÄRRÄ SIJOITUKSET. Tapauksissa, joissa on epäilyksiä, muistutan hyödyllinen tekniikka: otamme esimerkiksi kokeellisen arvon "x" ja yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) korvata tämän arvon "kauhealla ilmaisulla".

1) Ensin täytyy laskea lauseke, joten summa on syvin sisäkkäinen.

2) Sitten sinun on laskettava logaritmi:

4) Kuutioi sitten kosini:

5) Viidennessä vaiheessa ero:

6) Ja lopuksi, uloin toiminto on Neliöjuuri:

Monimutkainen funktion erotuskaava sovelletaan käänteisessä järjestyksessä alkaen ulkoinen toiminto, sisimpään. Me päätämme:

Ei näytä olevan vikaa...

(1) Otetaan neliöjuuren derivaatta.

(2) Otetaan erotuksen derivaatta säännön avulla

(3) Kolmikon derivaatta on nolla. Toisessa termissä otamme asteen derivaatan (kuutio).

(4) Otetaan kosinin derivaatta.

(5) Otetaan logaritmin derivaatta.

(6) Lopuksi otamme syvimmän pesinnän derivaatan.

Se voi tuntua liian vaikealta, mutta tämä ei ole julmin esimerkki. Otetaan esimerkiksi Kuznetsovin kokoelma ja arvostat analysoidun johdannaisen viehätystä ja yksinkertaisuutta. Huomasin, että he haluavat antaa samanlaisen asian kokeessa tarkistaakseen, ymmärtääkö opiskelija kuinka löytää monimutkaisen funktion derivaatta, vai ei ymmärrä.

Seuraava esimerkki on erilliselle ratkaisulle.

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Vihje: Ensin sovelletaan lineaarisuuden sääntöjä ja tuotteen erilaistumissääntöä

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

On aika siirtyä johonkin kompaktimpaan ja kauniimpaan.
Ei ole harvinaista, että esimerkissä on annettu ei kahden, vaan kolmen funktion tulo. Kuinka löytää johdannainen kolmen tekijän tulosta?

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Ensin katsotaan, mutta onko mahdollista muuttaa kolmen funktion tulo kahden funktion tuloksi? Esimerkiksi jos tuotteessa olisi kaksi polynomia, voisimme avata sulut. Mutta tässä esimerkissä kaikki funktiot ovat erilaisia: aste, eksponentti ja logaritmi.

Tällaisissa tapauksissa se on välttämätöntä peräkkäin soveltaa tuotteiden erottelusääntöä kahdesti

Temppu on, että "y" tarkoittaa kahden funktion tulosta: , ja "ve" - ​​logaritmi:. Miksi tämä voidaan tehdä? Onko se - tämä ei ole kahden tekijän tulos ja sääntö ei toimi?! Ei ole mitään monimutkaista:

Nyt on vielä sovellettava sääntöä toisen kerran suluissa:

Voit silti pervertoida ja ottaa jotain pois suluista, mutta tässä tapauksessa on parempi jättää vastaus tähän muotoon - se on helpompi tarkistaa.

Yllä oleva esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla:

Molemmat ratkaisut ovat täysin samanarvoisia.

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, näytteessä se ratkaistaan ​​ensimmäisellä tavalla.

Harkitse vastaavia esimerkkejä murtoluvuilla.

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Täällä voit mennä useilla tavoilla:

Tai näin:

Mutta ratkaisu voidaan kirjoittaa kompaktimmin, jos ensinnäkin käytämme osamäärän differentiaatiosääntöä , ottaen koko osoittaja:

Periaatteessa esimerkki on ratkaistu, ja jos se jätetään tähän muotoon, se ei ole virhe. Mutta jos sinulla on aikaa, on aina suositeltavaa tarkistaa luonnos, mutta onko mahdollista yksinkertaistaa vastausta? Tuomme osoittajan lausekkeen yhteiseen nimittäjään ja päästä eroon kolmikerroksisesta murto-osasta:

Lisäyksinkertaistamisen haittana on, että on olemassa riski tehdä virhe ei johdannaista etsittäessä, vaan banaaleissa koulumuunnosissa. Toisaalta opettajat usein hylkäävät tehtävän ja pyytävät "tuottamaan sen mieleen" johdannaisen.

Yksinkertaisempi esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Jatkamme derivaatan löytämisen tekniikoiden hallintaa, ja nyt tarkastelemme tyypillistä tapausta, jossa "kauhea" logaritmi ehdotetaan erottamiseen

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit mennä pitkälle käyttämällä monimutkaisen funktion eriyttämissääntöä:

Mutta aivan ensimmäinen askel syöksee sinut välittömästi epätoivoon - sinun on otettava epämiellyttävä johdannainen murto-osasta ja sitten myös murto-osasta.

Siksi ennen kuinka ottaa "fancy" logaritmin derivaatta, se on aiemmin yksinkertaistettu käyttämällä tunnettuja koulun ominaisuuksia:

! Jos sinulla on käsillä harjoitusvihko, kopioi nämä kaavat sinne. Jos sinulla ei ole muistikirjaa, piirrä ne paperille, sillä loput oppitunnin esimerkit pyörivät näiden kaavojen ympärillä.

Itse ratkaisu voidaan muotoilla näin:

Muunnetaan funktio:

Löydämme johdannaisen:

Itse funktion alustava muunnos yksinkertaisti ratkaisua huomattavasti. Siten, kun samanlaista logaritmia ehdotetaan erottamiseen, on aina suositeltavaa "hajottaa se".

Ja nyt pari yksinkertaista esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Kaikki muunnokset ja vastaukset oppitunnin lopussa.

logaritminen derivaatta

Jos logaritmien derivaatta on niin makeaa musiikkia, niin herää kysymys, onko mahdollista joissain tapauksissa järjestää logaritmi keinotekoisesti? Voi! Ja jopa tarpeellista.

Esimerkki 11

Etsi funktion derivaatta

Vastaavia esimerkkejä olemme äskettäin tarkastelleet. Mitä tehdä? Voidaan soveltaa peräkkäin osamäärän differentiaatiosääntöä ja sitten tuotteen differentiaatiosääntöä. Tämän menetelmän haittana on, että saat valtavan kolmikerroksisen murto-osan, jota et halua käsitellä ollenkaan.

Mutta teoriassa ja käytännössä on olemassa niin upea asia kuin logaritminen derivaatta. Logaritmit voidaan järjestää keinotekoisesti "roittamalla" ne molemmille puolille:

Nyt sinun on "hajottava" oikean puolen logaritmi mahdollisimman paljon (kaavat silmiesi edessä?). Kuvaan tätä prosessia yksityiskohtaisesti:

Aloitetaan erottelusta.
Päätämme molemmat osat vedolla:

Oikean puolen johdannainen on melko yksinkertainen, en kommentoi sitä, koska jos luet tätä tekstiä, sinun pitäisi pystyä käsittelemään sitä luottavaisin mielin.

Entä vasen puoli?

Vasemmalla puolella meillä on monimutkainen toiminto. Ennakoin kysymyksen: "Miksi, onko logaritmin alla yksi kirjain "y"?".

Tosiasia on, että tämä "yksi kirjain" - ON TOIMINTO ITSENSÄ(jos se ei ole kovin selkeä, katso artikkeli implisiittisesti määritellyn funktion johdannainen). Siksi logaritmi on ulkoinen funktio ja "y" on sisäinen funktio. Ja käytämme yhdistelmäfunktion erottelusääntöä :

Vasemmalla puolella, ikään kuin aallolla taikasauva meillä on johdannainen. Lisäksi suhteellisuussäännön mukaan heitämme "y" vasemman puolen nimittäjästä oikean puolen yläosaan:

Ja nyt muistamme, millaisesta "peli"-toiminnosta puhuimme erotettaessa? Katsotaanpa tilannetta:

Lopullinen vastaus:

Esimerkki 12

Etsi funktion derivaatta

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Mallisuunnittelu tämän tyyppisestä esimerkistä oppitunnin lopussa.

Logaritmisen derivaatan avulla oli mahdollista ratkaista mikä tahansa esimerkeistä nro 4-7, toinen asia on, että funktiot siellä ovat yksinkertaisempia, ja ehkä logaritmisen derivaatan käyttö ei ole kovin perusteltua.

Eksponentiaalifunktion johdannainen

Emme ole vielä harkinneet tätä toimintoa. Eksponentiaalinen funktio on funktio, jolla on ja aste ja kanta riippuvat "x:stä". Klassinen esimerkki, joka annetaan sinulle missä tahansa oppikirjassa tai missä tahansa luennossa:

Kuinka löytää eksponentiaalisen funktion derivaatta?

On tarpeen käyttää juuri tarkasteltua tekniikkaa - logaritminen derivaatta. Riputamme logaritmit molemmille puolille:

Yleensä aste otetaan pois logaritmin alta oikealta:

Tämän seurauksena oikealla puolella on kahden funktion tulo, jotka erotetaan vakiokaavan mukaan .

Löydämme johdannaisen, tätä varten liitämme molemmat osat viivojen alle:

Seuraavat vaiheet ovat helppoja:

Lopuksi:

Jos jokin muunnos ei ole täysin selvä, lue huolellisesti uudelleen esimerkin #11 selitykset.

Käytännön tehtävissä eksponentiaalinen funktio on aina monimutkaisempi kuin tarkasteltava luentosimerkki.

Esimerkki 13

Etsi funktion derivaatta

Käytämme logaritmista derivaatta.

Oikealla puolella on vakio ja kahden tekijän tulo - "x" ja "x:n logaritmi" (toinen logaritmi on sisäkkäin logaritmin alle). Kun vakiota eristetään, kuten muistamme, on parempi ottaa se välittömästi pois derivaatan merkistä, jotta se ei jää tielle; ja tietysti soveltaa tuttua sääntöä :

Kuten näette, logaritmisen derivaatan soveltamisalgoritmi ei sisällä erityisiä temppuja tai temppuja, eikä eksponentiaalisen funktion derivaatan löytämiseen yleensä liity "piinaa".

Monimutkaisen funktion johdannainen. Ratkaisuesimerkkejä

Tällä oppitunnilla opimme löytämään kompleksisen funktion derivaatta. Oppitunti on looginen jatko oppitunnille Kuinka löytää johdannainen?, jolla analysoimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin teknisiin menetelmiin derivaattojen löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selkeitä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja viritä vakavaan tunnelmaan - materiaali ei ole helppoa, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukosta sääntöä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Me ymmärrämme. Ensinnäkin tarkastellaan merkintää. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäin funktiossa . Tällaista funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain "x", vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen välittömästi taulukosta ei toimi. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä on mahdotonta "repiä":

Tässä esimerkissä jo selityksistäni on intuitiivisesti selvää, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen funktio (upotus) ja ulkoinen funktio.

Ensimmäinen askel, joka on suoritettava, kun löydetään kompleksisen funktion derivaatta ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Kun yksinkertaisia ​​esimerkkejä näyttää selvältä, että polynomi on sisäkkäin sinin alle. Mutta entä jos se ei ole ilmeistä? Kuinka määrittää tarkalleen, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan suorittaa henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijaan voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensinnäkin sinun on suoritettava seuraava toiminto: , joten polynomi on sisäinen funktio:

toiseksi sinun on löydettävä, joten sini - on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen YMMÄRTÄÄ Sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa yhdistelmäfunktioiden erottelusääntöä.

Alamme päättää. Oppitunnilta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa derivaatan ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme vedon oikeaan yläkulmaan:

Ensiksi etsi ulkoisen funktion derivaatta (sini), katso derivaattataulukkoa perustoiminnot ja huomaa se. Kaikki taulukkokaavat ovat käyttökelpoisia, vaikka "x" korvattaisiin monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

Huomaa, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No sehän on aivan ilmeistä

Kaavan soveltamisen lopputulos näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita päätös paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitämme, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä on sisäinen. Tätä varten yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä pitää tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri:, mikä tarkoittaa, että polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten suoritetaan eksponentio, joten tehofunktio on ulkoinen toiminto:

Kaavan mukaan ensin on löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme haluttua kaavaa taulukosta:. Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "x:lle" vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Siten kompleksisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos on seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulomman funktion derivaatan, sisäfunktio ei muutu:

Nyt on vielä löydettävä hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja "kampattava" tulos hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Monimutkaisen funktion derivaatan ymmärtämisen vahvistamiseksi annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, syy, missä on ulkoinen ja missä on sisäinen funktio, miksi tehtävät ratkaistaan ​​tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä asteena. Joten tuomme ensin funktion oikeaan muotoon erottamista varten:

Analysoimalla funktiota tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja eksponentio on ulkoinen funktio. Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä:

Aste esitetään jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit myös tuoda lausekkeen yhteiseen nimittäjään suluissa ja kirjoittaa kaikki murto-osaan. Se on tietysti kaunista, mutta kun hankalia pitkiä johdannaisia ​​saadaan, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeeton virhe, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voidaan käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttäisi perversiolta ja hauskalta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:

Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - poistamme derivaatan miinusmerkin ja nostamme kosinin osoittajaan:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme:

Löydämme sisäisen funktion derivaatan, nollaamme kosinin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää, ettei sekaannu merkkeihin. Muuten, yritä ratkaista se säännöllä , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Tähän mennessä olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärrämme tämän toiminnon liitteet. Pyrimme arvioimaan lausekkeen kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä, mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin pesä:

Tämä yksikköarsini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän valtaan:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi sisäkkäistä funktiota, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Alamme päättää

Säännön mukaan sinun on ensin otettava ulkoisen funktion derivaatta. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "X":n sijasta meillä on monimutkainen ilmaisu, mikä ei mitätöi tämän kaavan pätevyyttä. Joten monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos on seuraava:

Kojelaudan alla meillä on taas hankala toiminto! Mutta se on jo helpompaa. On helppo nähdä, että sisäfunktio on arcsini ja ulkofunktio on aste. Monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön mukaan sinun on ensin otettava tutkinnon derivaatta.

"Vanhoissa" oppikirjoissa sitä kutsutaan myös "ketjusääntöksi". Niin jos y \u003d f (u) ja u \u003d φ (x), tuo on

y \u003d f (φ (x))

kompleksi - yhdistefunktio (funktioiden kokoonpano) sitten

Missä , laskennan jälkeen otetaan huomioon u = φ(x).

Huomaa, että tässä otimme "eri" koostumuksia samoista funktioista, ja erilaistumisen tulos osoittautui luonnollisesti riippuvaiseksi "sekoitusjärjestyksestä".

Ketjusääntö ulottuu luonnollisesti kolmen tai useamman funktion koostumukseen. Tässä tapauksessa johdannaisen muodostavassa "ketjussa" on kolme tai useampia "linkkiä". Tässä on analogia kertolaskulle: "meillä on" - johdannaisten taulukko; "siellä" - kertotaulukko; "kanssamme" on ketjusääntö ja "siellä" on kertosääntö "sarakkeella". Tällaisia ​​"monimutkaisia" johdannaisia ​​laskettaessa ei tietenkään oteta käyttöön apuargumentteja (u¸v jne.), mutta huomattuaan itse koostumukseen osallistuvien funktioiden lukumäärän ja järjestyksen ne "merkkijonoa" vastaavat linkit ilmoitettu tilaus.

. Tässä suoritetaan viisi operaatiota "x":llä "y":n arvon saamiseksi, eli tapahtuu viiden funktion koostumus: "ulkoinen" (viimeinen niistä) - eksponentiaalinen - e ; niin käänteisessä järjestyksessä on teholaki. (♦) 2 ; trigonometrinen synti (); tehoa. () 3 ja lopuksi logaritminen ln.(). Siksi

Seuraavat esimerkit "tappaavat lintupareja yhdellä iskulla": harjoittelemme monimutkaisten funktioiden erottamista ja täydennämme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa. Niin:

4. Tehofunktiolle - y \u003d x α - kirjoitetaan se uudelleen käyttämällä tunnettua "perus" logaritminen identiteetti» - b=e ln b - muodossa x α = x α ln x saamme

5. Samalla tekniikalla saamme mielivaltaisen eksponentiaalisen funktion

6. Saamme peräkkäin mielivaltaiselle logaritmiselle funktiolle käyttämällä tunnettua kaavaa uuteen kantaan siirtymiselle

.

7. Tangentin (kotangentin) erottamiseksi käytämme osamäärän erottamissääntöä:

Käänteisten trigonometristen funktioiden derivaattojen saamiseksi käytetään relaatiota, jonka tyydyttävät kahden keskenään käänteisen funktion derivaatat, eli funktiot φ (x) ja f (x), jotka on yhdistetty suhteilla:

Tässä on suhde

Se on peräisin tästä keskenään käänteisfunktioiden kaavasta

Ja
,

Lopuksi teemme yhteenvedon näistä ja joistakin muista, yhtä helposti saatavista johdannaisista seuraavaan taulukkoon.

Ensimmäinen taso

Funktiojohdannainen. Kattava opas (2019)

Kuvittele suora tie, joka kulkee mäkisen alueen läpi. Eli se menee ylös ja alas, mutta ei käänny oikealle tai vasemmalle. Jos akseli on suunnattu vaakasuoraan tietä pitkin ja pystysuoraan, tieviiva on hyvin samanlainen kuin jonkin jatkuvan funktion kaavio:

Akseli on tietty nollakorkeus, elämässä käytämme merenpintaa sellaisena.

Tällaista tietä eteenpäin liikuttaessa liikumme myös ylös tai alas. Voidaan myös sanoa: kun argumentti muuttuu (liikkuen abskissa-akselia pitkin), funktion arvo muuttuu (liikkuu ordinaatta-akselia pitkin). Mietitään nyt, kuinka tiemme "jyrkkyys" määritetään? Mikä tämä arvo voisi olla? Hyvin yksinkertaista: kuinka paljon korkeus muuttuu liikuttaessa eteenpäin tietyn matkan. Tien eri osuuksilla, kulkiessamme eteenpäin (abskissaa pitkin) yhden kilometrin, nousemme tai laskemme eri määrän metrejä merenpinnan suhteen (ordinaatta pitkin).

Merkitsemme edistymistä eteenpäin (lue "delta x").

Kreikan kirjainta (delta) käytetään yleisesti matematiikassa etuliitteenä, joka tarkoittaa "muutosta". Eli - tämä on suuruusmuutos, - muutos; mikä se sitten on? Aivan oikein, koon muutos.

Tärkeää: lauseke on yksi entiteetti, yksi muuttuja. Älä koskaan revi pois "deltaa" "x":stä tai mistään muusta kirjaimesta! Eli esimerkiksi.

Olemme siis siirtyneet eteenpäin, vaakatasossa, eteenpäin. Jos vertaamme tien viivaa funktion kuvaajaan, niin miten merkitsemme nousua? Varmasti,. Eli kun kuljemme eteenpäin, nousemme korkeammalle.

Arvo on helppo laskea: jos olimme alussa korkeudessa ja siirron jälkeen olimme korkealla, niin silloin. Jos päätepiste osoittautui alhaisemmaksi kuin aloituspiste, se on negatiivinen - tämä tarkoittaa, että emme ole nouseva, vaan laskeva.

Takaisin "jyrkkyyteen": tämä on arvo, joka osoittaa kuinka paljon (jyrkästi) korkeus kasvaa liikuttaessa eteenpäin etäisyysyksikköä kohti:

Oletetaan, että jollain polun osuudella kilometriä eteenpäin tie nousee km. Silloin jyrkkyys tässä paikassa on yhtä suuri. Ja jos tie vajoaa kilometriä eteneessään m? Silloin kaltevuus on yhtä suuri.

Mieti nyt mäen huippua. Jos otat osuuden alkua puoli kilometriä huipulle ja loppu - puoli kilometriä sen jälkeen, huomaat, että korkeus on melkein sama.

Eli logiikkamme mukaan käy ilmi, että kaltevuus on melkein yhtä suuri kuin nolla, mikä ei selvästikään ole totta. Paljon voi muuttua vain muutaman kilometrin päässä. Pienempiä alueita on harkittava riittävän ja tarkemman jyrkkyyden arvioimiseksi. Jos esimerkiksi mittaat korkeuden muutoksen metrin liikuttaessa, tulos on paljon tarkempi. Mutta tämäkään tarkkuus ei välttämättä riitä meille - loppujen lopuksi, jos pylväs on keskellä tietä, voimme yksinkertaisesti liukua sen läpi. Mikä etäisyys meidän sitten pitäisi valita? Senttimetri? Millimetri? Vähemmän on parempi!

SISÄÄN oikea elämä etäisyyden mittaaminen lähimpään millimetriin on enemmän kuin tarpeeksi. Mutta matemaatikot pyrkivät aina täydellisyyteen. Siksi konsepti oli äärettömän pieni, eli modulo-arvo on pienempi kuin mikään numero, jonka voimme nimetä. Sanot esimerkiksi: biljoonasosa! Kuinka paljon vähemmän? Ja jaat tämän luvun - ja se on vielä pienempi. Ja niin edelleen. Jos haluamme kirjoittaa, että arvo on äärettömän pieni, kirjoitamme näin: (luetaan "x pyrkii nollaan"). On erittäin tärkeää ymmärtää että tämä luku ei ole nolla! Mutta hyvin lähellä sitä. Tämä tarkoittaa, että se voidaan jakaa.

Käsite äärettömän pienen vastakohta on äärettömän suuri (). Olet luultavasti kohdannut sen jo työskennellessäsi epätasa-arvojen parissa: tämä luku on moduuliltaan suurempi kuin mikään luku, jota voit ajatella. Jos saat suurimman mahdollisen luvun, kerro se kahdella ja saat vielä enemmän. Ja äärettömyys on vielä enemmän kuin mitä tapahtuu. Itse asiassa äärettömän suuret ja äärettömän pienet ovat käänteisiä toisilleen, eli at ja päinvastoin: at.

Nyt takaisin tiellemme. Ihannetapauksessa laskettu kaltevuus on kaltevuus, joka on laskettu polun äärettömän pienelle osalle, eli:

Huomaan, että äärettömän pienellä siirtymällä myös korkeuden muutos on äärettömän pieni. Mutta haluan muistuttaa, että äärettömän pieni ei tarkoita yhtä kuin nolla. Jos jaat äärettömän pienet luvut keskenään, saat esimerkiksi täysin tavallisen luvun. Eli yksi pieni arvo voi olla täsmälleen kaksi kertaa niin suuri kuin toinen.

Miksi tämä kaikki? Tie, jyrkkyys... Emme ole menossa ralliin, mutta opettelemme matematiikkaa. Ja matematiikassa kaikki on täsmälleen samaa, vain kutsutaan eri tavalla.

Johdannaisen käsite

Funktion derivaatta on funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde argumentin äärettömällä inkrementillä.

Lisäys matematiikassa sitä kutsutaan muutokseksi. Kutsutaan kuinka paljon argumentti () on muuttunut liikkuessaan akselia pitkin argumentin lisäys ja ilmaistaan ​​kuinka paljon funktio (korkeus) on muuttunut, kun akselia pitkin etäisyys eteenpäin liikkuu, kutsutaan funktion lisäys ja on merkitty.

Joten funktion derivaatta on suhde milloin. Merkitsemme derivaatta samalla kirjaimella kuin funktio, vain vedolla oikeasta yläkulmasta: tai yksinkertaisesti. Joten kirjoitetaan johdannaiskaava käyttämällä näitä merkintöjä:

Kuten analogisesti tien kanssa, tässä, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen.

Mutta onko derivaatta yhtä suuri kuin nolla? Varmasti. Jos esimerkiksi ajetaan tasaisella vaakasuoralla tiellä, jyrkkyys on nolla. Itse asiassa korkeus ei muutu ollenkaan. Joten derivaatan kanssa: vakiofunktion derivaatta (vakio) on yhtä suuri kuin nolla:

koska tällaisen funktion inkrementti on nolla mille tahansa.

Otetaan esimerkki kukkulan huipulta. Kävi ilmi, että segmentin päät oli mahdollista järjestää kärjen vastakkaisille puolille siten, että korkeus päissä on sama, eli segmentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:

Mutta suuret segmentit ovat merkki epätarkoista mittauksista. Nostamme segmenttiämme yhdensuuntaisesti itsensä kanssa, sitten sen pituus pienenee.

Lopulta, kun olemme äärettömän lähellä huippua, segmentin pituus tulee äärettömän pieneksi. Mutta samaan aikaan se pysyi yhdensuuntaisena akselin kanssa, eli korkeusero sen päissä on yhtä suuri kuin nolla (ei taipu, mutta on yhtä suuri). Siis johdannainen

Tämä voidaan ymmärtää seuraavasti: kun seisomme aivan huipulla, pieni siirtymä vasemmalle tai oikealle muuttaa korkeuttamme merkityksettömästi.

On myös puhtaasti algebrallinen selitys: ylhäältä vasemmalla funktio kasvaa ja oikealla pienenee. Kuten olemme jo aiemmin havainneet, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen. Mutta se muuttuu sujuvasti, ilman hyppyjä (koska tie ei muuta kaltevuuttaan jyrkästi missään). Siksi negatiivisten ja positiivisten arvojen välillä on oltava. Se on paikka, jossa funktio ei kasva eikä pienene - kärkipisteessä.

Sama pätee laaksoon (alue, jossa funktio pienenee vasemmalla ja kasvaa oikealla):

Hieman lisää lisäyksistä.

Muutamme siis argumentin arvoksi. Mistä arvosta muutetaan? Mikä hänestä (argumentista) on nyt tullut? Voimme valita minkä tahansa pisteen, ja nyt tanssimme siitä.

Harkitse pistettä, jolla on koordinaatti. Siinä olevan funktion arvo on yhtä suuri. Sitten teemme saman lisäyksen: lisää koordinaattia. Mikä nyt on argumentti? Erittäin helppoa: . Mikä on funktion arvo nyt? Minne argumentti menee, sinne menee funktio: . Entä funktion lisäys? Ei mitään uutta: tämä on edelleen määrä, jolla toiminto on muuttunut:

Harjoittele lisäysten etsimistä:

1. Etsi funktion lisäys pisteestä, jonka argumentin lisäys on yhtä suuri kuin.
2. Sama funktiolle pisteessä.

Ratkaisut:

Eri kohdissa, samalla argumentin lisäyksellä, funktion kasvu on erilainen. Tämä tarkoittaa, että kunkin pisteen derivaatalla on omansa (keskustelimme tästä aivan alussa - tien jyrkkyys eri kohdissa on erilainen). Siksi, kun kirjoitamme johdannaista, meidän on ilmoitettava, missä vaiheessa:

Virtatoiminto.

Tehofunktiota kutsutaan funktioksi, jossa argumentti on jossain määrin (looginen, eikö?).

Ja - missä tahansa määrin: .

Yksinkertaisin tapaus on, kun eksponentti on:

Etsitään sen derivaatta kohdasta. Muista johdannaisen määritelmä:

Joten argumentti muuttuu arvosta toiseen. Mikä on funktion lisäys?

Lisäys on. Mutta funktio missä tahansa kohdassa on yhtä suuri kuin sen argumentti. Siksi:

Johdannainen on:

Johdannainen on:

b) Mieti nyt neliöfunktio (): .

Muistetaan nyt se. Tämä tarkoittaa, että lisäyksen arvo voidaan jättää huomiotta, koska se on äärettömän pieni ja siksi merkityksetön toisen termin taustalla:

Meillä on siis toinen sääntö:

c) Jatkamme loogista sarjaa: .

Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa eri tavoilla: avaa ensimmäinen hakasulke summan kuution lyhennetyn kertolaskukaavan avulla tai jaa koko lauseke tekijöiksi käyttämällä kuutioiden erotuskaavaa. Yritä tehdä se itse millä tahansa ehdotetuista tavoista.

Sain siis seuraavan:

Ja muistellaanpa se taas. Tämä tarkoittaa, että voimme jättää huomiotta kaikki termit, jotka sisältävät:

Saamme: .

d) Samanlaiset säännöt voidaan saada suurille tehoille:

e) Osoittautuu, että tämä sääntö voidaan yleistää potenssifunktiolle, jolla on mielivaltainen eksponentti, ei edes kokonaisluku:

(2)

Voit muotoilla säännön sanoilla: "aste tuodaan eteenpäin kertoimena ja sitten pienenee".

Todistamme tämän säännön myöhemmin (melkein aivan lopussa). Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatta:

1. (kahdella tavalla: kaavalla ja käyttämällä derivaatan määritelmää - laskemalla funktion inkrementti);

1. . Usko tai älä, tämä on tehotoiminto. Jos sinulla on kysymyksiä, kuten "Miten se menee? Ja missä on tutkinto? ”, Muista aihe" "!
   Kyllä, kyllä, juuri on myös aste, vain murto-osa:.
   Joten neliöjuuremme on vain potenssi, jossa on eksponentti:
   .
   Etsimme johdannaista käyttämällä äskettäin opittua kaavaa:

   Jos tässä vaiheessa tuli taas epäselväksi, toista aihe "" !!! (noin aste negatiivisella indikaattorilla)

2. . Nyt eksponentti:

   Ja nyt määritelmän kautta (oletko unohtanut?):
   ;
   .
   Nyt, kuten tavallista, jätämme huomiotta termin, joka sisältää:
   .

3. . Aiempien tapausten yhdistelmä: .

trigonometriset funktiot.

Tässä käytämme yhtä faktaa korkeammasta matematiikasta:

Kun ilmaisu.

Todistuksen opit instituutin ensimmäisenä vuonna (ja päästäksesi sinne, sinun on läpäistävä tentti hyvin). Näytän sen nyt vain graafisesti:

Näemme, että kun funktiota ei ole olemassa - kaavion piste on punkturoitu. Mutta mitä lähempänä arvoa, sitä lähempänä funktio on.Tämä on juuri se "pyrkimys".

Lisäksi voit tarkistaa tämän säännön laskimella. Kyllä, kyllä, älä ole ujo, ota laskin, emme ole vielä kokeessa.

Joten kokeillaan: ;

Älä unohda vaihtaa laskinta radiaanitilaan!

jne. Näemme, että mitä pienempi, sitä lähempänä suhdelukua on.

a) Tarkastellaan funktiota. Kuten tavallista, löydämme sen lisäyksen:

Käännetään sinien ero tuloksi. Tätä varten käytämme kaavaa (muista aihe ""):.

Nyt johdannainen:

Tehdään vaihto: . Sitten äärettömän pienelle se on myös äärettömän pieni: . Ilmaisu for saa muotoa:

Ja nyt muistamme sen ilmaisulla. Ja myös, mitä jos äärettömän pieni arvo voidaan jättää huomiotta summassa (eli at).

Joten saamme seuraavan säännön: sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini:

Nämä ovat perusjohdannaisia ​​("taulukko"). Tässä ne ovat yhdessä listassa:

Myöhemmin lisäämme niihin muutaman, mutta nämä ovat tärkeimmät, koska niitä käytetään useimmin.

Harjoitella:

1. Etsi funktion derivaatta pisteessä;
2. Etsi funktion derivaatta.

Ratkaisut:

1. Ensin löydämme johdannaisen sisään yleisnäkymä, ja korvaa se sitten sen arvolla:
   ;
   .
2. Tässä meillä on jotain vastaavaa tehotoiminto. Yritetään tuoda hänet
   normaali näkymä:
   .
   Ok, nyt voit käyttää kaavaa:
   .
   .
3. . Eeeeeee… Mikä se on????

Okei, olet oikeassa, emme vieläkään tiedä, kuinka löytää tällaisia ​​johdannaisia. Tässä meillä on useiden erityyppisten toimintojen yhdistelmä. Jotta voit työskennellä heidän kanssaan, sinun on opittava vielä muutama sääntö:

Eksponentti ja luonnollinen logaritmi.

Matematiikassa on sellainen funktio, jonka derivaatta mille tahansa on yhtä suuri kuin itse funktion arvo samalle. Sitä kutsutaan "eksponentiksi" ja se on eksponentiaalinen funktio

Tämän funktion kanta on vakio - se on ääretön desimaali, eli irrationaalinen luku (kuten). Sitä kutsutaan "Euler-numeroksi", minkä vuoksi se on merkitty kirjaimella.

Sääntö on siis:

Se on erittäin helppo muistaa.

No, älkäämme menkö pitkälle, pohditaanpa heti käänteinen funktio. Mikä on eksponentiaalisen funktion käänteisarvo? Logaritmi:

Meidän tapauksessamme kanta on numero:

Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi" ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.

Mikä on yhtä suuri? Tietysti, .

Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Mikä on funktion derivaatta?

Vastaukset: Näytteilleasettaja ja luonnollinen logaritmi- funktiot ovat ainutlaatuisen yksinkertaisia ​​derivaatan suhteen. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla, joilla on jokin muu kanta, on erilainen derivaatta, jota analysoimme myöhemmin, kun olemme käyneet läpi differentiaatiosäännöt.

Erottamisen säännöt

Mitkä säännöt? Taas uusi termi?!...

Erilaistuminen on prosessi johdannaisen löytämiseksi.

Vain ja kaikki. Mikä on toinen sana tälle prosessille? Ei proizvodnovanie... Matematiikan differentiaalia kutsutaan funktion erittäin lisäykseksi. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.

Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:

Sääntöjä on yhteensä 5.

Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä.

Jos - jokin vakioluku (vakio), niin.

Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .

Todistetaan se. Anna, tai helpompaa.

Esimerkkejä.

Etsi funktioiden johdannaiset:

1. pisteessä;
2. pisteessä;
3. pisteessä;
4. pisteessä.

Ratkaisut:

1. (derivaata on sama kaikissa kohdissa, koska se on lineaarinen funktio, muistatko?);

Tuotteen johdannainen

Kaikki on samanlaista täällä: esittelemme uuden toiminnon ja löydämme sen lisäyksen:

Johdannainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi derivaatat funktioista ja;
2. Etsi funktion derivaatta pisteessä.

Ratkaisut:

Eksponentiaalifunktion johdannainen

Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponenttia (oletko unohtanut, mikä se on?).

Joten missä on joku numero.

Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään tuoda funktiomme uudelle perustalle:

Tätä varten käytämme yksinkertainen sääntö: . Sitten:

No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.

Tapahtui?

Tässä, tarkista itse:

Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.

Esimerkkejä:
Etsi funktioiden johdannaiset:

Vastaukset:

Tämä on vain luku, jota ei voida laskea ilman laskinta, eli sitä ei voi kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa. Siksi vastauksessa se jätetään tähän muotoon.

Logaritmisen funktion derivaatta

Tässä se on samanlainen: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:

Siksi, jos haluat löytää mielivaltaisen logaritmista, jolla on eri kanta, esimerkiksi:

Meidän on saatettava tämä logaritmi perustalle. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:

Vasta nyt sen sijaan kirjoitamme:

Nimittäjä osoittautui vain vakioksi (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen on hyvin yksinkertainen:

Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ​​ei kokeesta löydy lähes koskaan, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.

Monimutkaisen funktion johdannainen.

Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arkitangentti. Näitä toimintoja voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi näyttää vaikealta, lue aihe "Logaritmit" ja kaikki selviää), mutta matematiikan kannalta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".

Kuvittele pieni kuljetin: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Sellainen komposiittiesine osoittautuu: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukkaa, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet päinvastaisessa järjestyksessä.

Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: ensin etsitään luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten he antavat meille numeron (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliötät sen, minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi teemme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujalla ja sitten toisen toisen toiminnon sillä, mitä tapahtui ensimmäisen seurauksena.

Voimme hyvinkin tehdä samat toimet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliö, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinia:. On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Monimutkaisten funktioiden tärkeä ominaisuus: kun toimintojen järjestys muuttuu, toiminto muuttuu.

Toisin sanoen, Monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .

Ensimmäisessä esimerkissä .

Toinen esimerkki: (sama). .

Viimeinen toimintamme on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).

Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:

Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottelu on hyvin samanlainen kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa

1. Mihin toimiin ryhdymme ensin? Ensin laskemme sinin ja vasta sitten nostamme sen kuutioksi. Se on siis sisäinen toiminto, ei ulkoinen.
   Ja alkuperäinen tehtävä on niiden koostumus: .
2. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
3. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
4. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
5. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .

muutamme muuttujia ja saamme funktion.

No, nyt puramme suklaamme - etsi johdannainen. Proseduuri on aina päinvastainen: ensin etsitään ulkofunktion derivaatta, sitten kerrotaan tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäisessä esimerkissä se näyttää tältä:

Toinen esimerkki:

Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

Kaikki näyttää olevan yksinkertaista, eikö?

Tarkastetaan esimerkeillä:

Ratkaisut:

1) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

2) Sisäinen: ;

(älä vain yritä vähentää tähän mennessä! Kosinin alta ei oteta mitään, muistatko?)

3) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

On heti selvää, että tässä on kolmitasoinen monimutkainen toiminto: tämä on jo itsessään monimutkainen toiminto, ja silti poistamme juuren siitä, eli suoritamme kolmannen toiminnon (laita suklaa kääreeseen ja salkussa oleva nauha). Mutta ei ole syytä pelätä: joka tapauksessa "purkamme" tämän toiminnon samassa järjestyksessä kuin tavallisesti: lopusta.

Eli ensin erotetaan juuri, sitten kosini ja vasta sitten lauseke suluissa. Ja sitten kerromme kaiken.

Tällaisissa tapauksissa on kätevää numeroida toimet. Eli kuvitellaan mitä tiedämme. Missä järjestyksessä suoritamme toiminnot laskeaksemme tämän lausekkeen arvon? Katsotaanpa esimerkkiä:

Mitä myöhemmin toiminto suoritetaan, sitä "ulkoisempi" vastaava toiminto on. Toimintojen järjestys - kuten ennen:

Täällä pesimä on yleensä 4-tasoinen. Päätetään toimintatapa.

1. Radikaali ilmaisu. .

2. Juuri. .

3. Sinus. .

4. Neliö. .

5. Laita kaikki yhteen:

JOHDANNAIS. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Funktiojohdannainen- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen äärettömän pienellä argumentin lisäyksellä:

Perusjohdannaiset:

Erottamisen säännöt:

Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä:

Summan johdannainen:

Johdannainen tuote:

Osamäärän johdannainen:

Monimutkaisen funktion johdannainen:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

1. Määrittelemme "sisäisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
2. Määrittelemme "ulkoisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
3. Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.

Alustavan tykistövalmistelun jälkeen esimerkit, joissa on 3-4-5 toimintoliitettä, ovat vähemmän pelottavia. Ehkä seuraavat kaksi esimerkkiä näyttävät joillekin monimutkaisilta, mutta jos ne ymmärretään (joku kärsii), niin melkein kaikki muu differentiaalilaskennassa näyttää lapsen vitsiltä.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Kuten jo todettiin, löydettäessä monimutkaisen funktion derivaatta on ensinnäkin välttämätöntä Oikein YMMÄRRÄ SIJOITUKSET. Tapauksissa, joissa on epäilyksiä, muistutan teitä hyödyllisestä tempusta: otamme esimerkiksi kokeellisen arvon "x" ja yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) korvata tämän arvon "kauhealla ilmaisulla".

1) Ensin täytyy laskea lauseke, joten summa on syvin sisäkkäinen.

2) Sitten sinun on laskettava logaritmi:

4) Kuutioi sitten kosini:

5) Viidennessä vaiheessa ero:

6) Ja lopuksi, uloin funktio on neliöjuuri:

Monimutkainen funktion erotuskaava käytetään käänteisessä järjestyksessä, uloimmasta toiminnosta sisimpään. Me päätämme:

Näyttää olevan virheetön:

1) Otetaan neliöjuuren derivaatta.

2) Otetaan erotuksen derivaatta säännön avulla

3) Kolmikon derivaatta on nolla. Toisessa termissä otamme asteen derivaatan (kuutio).

4) Otetaan kosinin derivaatta.

6) Ja lopuksi otamme syvimmän pesinnän johdannaisen.

Se voi tuntua liian vaikealta, mutta tämä ei ole julmin esimerkki. Otetaan esimerkiksi Kuznetsovin kokoelma ja arvostat analysoidun johdannaisen viehätystä ja yksinkertaisuutta. Huomasin, että he haluavat antaa samanlaisen asian kokeessa tarkistaakseen, ymmärtääkö opiskelija kuinka löytää monimutkaisen funktion derivaatta, vai ei ymmärrä.

Seuraava esimerkki on erilliselle ratkaisulle.

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Vihje: Ensin sovelletaan lineaarisuuden sääntöjä ja tuotteen erilaistumissääntöä

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

On aika siirtyä johonkin kompaktimpaan ja kauniimpaan.
Ei ole harvinaista, että esimerkissä on annettu ei kahden, vaan kolmen funktion tulo. Kuinka löytää johdannainen kolmen tekijän tulosta?

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Ensin katsotaan, mutta onko mahdollista muuttaa kolmen funktion tulo kahden funktion tuloksi? Esimerkiksi jos tuotteessa olisi kaksi polynomia, voisimme avata sulut. Mutta tässä esimerkissä kaikki funktiot ovat erilaisia: aste, eksponentti ja logaritmi.

Tällaisissa tapauksissa se on välttämätöntä peräkkäin soveltaa tuotteiden erottelusääntöä kahdesti

Temppu on, että "y" tarkoittaa kahden funktion tulosta: , ja "ve" - ​​logaritmi:. Miksi tämä voidaan tehdä? Onko se - tämä ei ole kahden tekijän tulos ja sääntö ei toimi?! Ei ole mitään monimutkaista:

Nyt on vielä sovellettava sääntöä toisen kerran suluissa:

Voit silti pervertoida ja ottaa jotain pois suluista, mutta tässä tapauksessa on parempi jättää vastaus tähän muotoon - se on helpompi tarkistaa.

Yllä oleva esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla:

Molemmat ratkaisut ovat täysin samanarvoisia.

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, näytteessä se ratkaistaan ​​ensimmäisellä tavalla.

Harkitse vastaavia esimerkkejä murtoluvuilla.

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Täällä voit mennä useilla tavoilla:

Tai näin:

Mutta ratkaisu voidaan kirjoittaa kompaktimmin, jos ensinnäkin käytämme osamäärän differentiaatiosääntöä , ottaen koko osoittaja:

Periaatteessa esimerkki on ratkaistu, ja jos se jätetään tähän muotoon, se ei ole virhe. Mutta jos sinulla on aikaa, on aina suositeltavaa tarkistaa luonnos, mutta onko mahdollista yksinkertaistaa vastausta?

Tuomme osoittajan lausekkeen yhteiseen nimittäjään ja päästään eroon kolmikerroksisesta murtoluvusta:

Lisäyksinkertaistamisen haittana on, että on olemassa riski tehdä virhe ei johdannaista etsittäessä, vaan banaaleissa koulumuunnosissa. Toisaalta opettajat usein hylkäävät tehtävän ja pyytävät "tuottamaan sen mieleen" johdannaisen.

Yksinkertaisempi esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Jatkamme derivaatan löytämisen tekniikoiden hallintaa, ja nyt tarkastelemme tyypillistä tapausta, jossa "kauhea" logaritmi ehdotetaan erottamiseen