Monimutkaiset johdannaiset. Logaritminen derivaatta.
Tehojohdannainen eksponentti funktio

Jatkamme erottelutekniikan parantamista. Tällä oppitunnilla konsolidoimme käsittelemäämme materiaalia, katsomme monimutkaisempia derivaattoja ja tutustumme myös uusiin tekniikoihin ja temppuihin derivaatan löytämiseksi, erityisesti logaritmisen derivaatan kanssa.

Niille lukijoille, joilla on matala taso valmisteluun, sinun tulee viitata artikkeliin Kuinka löytää johdannainen? Esimerkkejä ratkaisuista, jonka avulla voit nostaa taitojasi melkein tyhjästä. Seuraavaksi sinun on tutkittava sivu huolellisesti Monimutkaisen funktion johdannainen, ymmärtää ja ratkaista Kaikki antamani esimerkit. Tämä oppitunti on loogisesti kolmas peräkkäin, ja sen hallitsemisen jälkeen erottelet varmuudella melko monimutkaiset toiminnot. Ei ole toivottavaa ottaa kantaa "Missä muualla? Kyllä, se riittää!", koska kaikki esimerkit ja ratkaisut on otettu todellisuudesta testit ja niitä tulee usein vastaan ​​käytännössä.

Aloitetaan toistolla. Oppitunnilla Monimutkaisen funktion johdannainen Tarkastelimme useita esimerkkejä yksityiskohtaisten kommenttien kera. Differentiaalilaskennan ja muiden matemaattisen analyysin haarojen opiskelun aikana joudut erottamaan hyvin usein, eikä esimerkkejä ole aina kätevää (eikä välttämätöntä) kuvata kovin yksityiskohtaisesti. Siksi harjoittelemme johdannaisten löytämistä suullisesti. Sopivimmat "ehdokkaat" tähän ovat yksinkertaisimpien monimutkaisten funktioiden johdannaiset, esimerkiksi:

Erottelusäännön mukaan monimutkainen toiminto :

Tulevaisuudessa muita matan-aiheita opiskellessa tällaista yksityiskohtaista kirjaamista ei useimmiten vaadita, vaan oletetaan, että opiskelija osaa löytää tällaiset johdannaiset autopilotilla. Kuvitellaan, että kello 3 aamulla oli a puhelu, ja miellyttävä ääni kysyi: "Mikä on kahden X:n tangentin derivaatta?" Tämän pitäisi seurata lähes välitöntä ja kohteliasta vastausta: .

Ensimmäinen esimerkki on heti tarkoitettu itsenäiseksi ratkaisuksi.

Esimerkki 1

Etsi seuraavat johdannaiset suullisesti, yhdessä toiminnossa, esimerkiksi: . Tehtävän suorittamiseksi sinun tarvitsee vain käyttää taulukko alkeisfunktioiden johdannaisista(jos et ole vielä muistanut). Jos sinulla on vaikeuksia, suosittelen lukemaan oppitunnin uudelleen Monimutkaisen funktion johdannainen.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Vastaukset oppitunnin lopussa

Monimutkaiset johdannaiset

Alustavan tykistövalmistelun jälkeen esimerkit, joissa on 3-4-5 toimintojen sisäkkäisyyttä, ovat vähemmän pelottavia. Seuraavat kaksi esimerkkiä saattavat tuntua monimutkaisilta joillekin, mutta jos ymmärrät ne (joku kärsii), niin melkein kaikki muu differentiaalilaskennassa näyttää lapsen vitsiltä.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Kuten jo todettiin, löydettäessä monimutkaisen funktion derivaatta on ensinnäkin välttämätöntä Oikein YMMÄRRÄ sijoituksesi. Tapauksissa, joissa on epäilyksiä, muistutan teitä hyödyllinen temppu: otamme esimerkiksi "x":n kokeellisen merkityksen ja yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) korvata tämän merkityksen "kauhealla ilmaisulla".

1) Ensin täytyy laskea lauseke, mikä tarkoittaa, että summa on syvin upotus.

2) Sitten sinun on laskettava logaritmi:

4) Kuutioi sitten kosini:

5) Viidennessä vaiheessa ero:

6) Ja lopuksi ulkopuolisin toiminto on Neliöjuuri:

Kaava monimutkaisen funktion erottamiseksi käytetään käänteisessä järjestyksessä, uloimmasta toiminnosta sisimpään. Me päätämme:

Virheitä ei näytä olevan...

(1) Ota neliöjuuren derivaatta.

(2) Otetaan erotuksen derivaatta säännön avulla

(3) Triplein derivaatta on nolla. Toisessa termissä otetaan asteen derivaatta (kuutio).

(4) Ota kosinin derivaatta.

(5) Ota logaritmin derivaatta.

(6) Ja lopuksi otamme syvimmän upotuksen johdannaisen.

Se voi tuntua liian vaikealta, mutta tämä ei ole julmin esimerkki. Otetaan esimerkiksi Kuznetsovin kokoelma ja arvostat analysoidun johdannaisen kaikkea kauneutta ja yksinkertaisuutta. Huomasin, että he haluavat antaa samanlaisen asian kokeessa tarkistaakseen, ymmärtääkö opiskelija kuinka löytää monimutkaisen funktion derivaatta vai ei ymmärrä.

Seuraava esimerkki on sinun ratkaistavaksesi itse.

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Vihje: Ensin sovelletaan lineaarisuussääntöjä ja tuotteiden erottelusääntöä

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

On aika siirtyä johonkin pienempään ja mukavampaan.
Ei ole harvinaista, että esimerkki näyttää kahden, vaan kolmen funktion tuloa. Kuinka löytää johdannainen kolmen tekijän tulosta?

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Ensin katsotaan, onko mahdollista muuttaa kolmen funktion tulo kahden funktion tuloksi? Esimerkiksi jos tuotteessa olisi kaksi polynomia, voisimme avata sulut. Mutta tarkasteltavassa esimerkissä kaikki funktiot ovat erilaisia: aste, eksponentti ja logaritmi.

Tällaisissa tapauksissa se on välttämätöntä peräkkäin soveltaa tuotteiden erottelusääntöä kahdesti

Temppu on, että "y" merkitsee kahden funktion tuloa: , ja "ve" merkitsee logaritmia: . Miksi tämä voidaan tehdä? Onko se todella – tämä ei ole kahden tekijän tulos ja sääntö ei toimi?! Ei ole mitään monimutkaista:

Nyt on vielä sovellettava sääntöä toisen kerran suluissa:

Voit myös kiertyä ja laittaa jotain suluista, mutta tässä tapauksessa on parempi jättää vastaus täsmälleen tähän muotoon - se on helpompi tarkistaa.

Tarkasteltu esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla:

Molemmat ratkaisut ovat täysin samanarvoisia.

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, näytteessä se ratkaistaan ​​ensimmäisellä menetelmällä.

Katsotaanpa samanlaisia ​​esimerkkejä murtolukujen kanssa.

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Voit mennä tänne useilla tavoilla:

Tai näin:

Mutta ratkaisu kirjoitetaan kompaktimmin, jos käytämme ensin osamäärän differentiaatiosääntöä , otetaan koko osoittaja:

Periaatteessa esimerkki on ratkaistu, ja jos se jätetään ennalleen, se ei ole virhe. Mutta jos sinulla on aikaa, kannattaa aina tarkistaa luonnoksesta, voidaanko vastausta yksinkertaistaa? Pelkistetään osoittajan lauseke yhteiseksi nimittäjäksi ja päästään eroon kolmikerroksisesta murto-osasta:

Lisäyksinkertaistamisen haittana on, että on olemassa riski tehdä virhe ei johdannaista etsittäessä, vaan banaalien koulumuunnosten yhteydessä. Toisaalta opettajat usein hylkäävät tehtävän ja pyytävät "tuottamaan sen mieleen" johdannaisen.

Yksinkertaisempi esimerkki ratkaistaksesi itse:

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Jatkamme derivaatan löytämismenetelmien hallintaa, ja nyt tarkastelemme tyypillistä tapausta, jossa "kauhea" logaritmi ehdotetaan erottamiseen

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit mennä pitkälle käyttämällä sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Mutta aivan ensimmäinen askel syöttää sinut välittömästi epätoivoon - sinun on otettava epämiellyttävä johdannainen murto-osasta ja sitten myös murto-osasta.

Siksi ennen kuinka ottaa "kehittyneen" logaritmin derivaatta, se yksinkertaistetaan ensin käyttämällä tunnettuja koulun ominaisuuksia:

! Jos sinulla on käsillä harjoitusvihko, kopioi nämä kaavat suoraan sinne. Jos sinulla ei ole muistikirjaa, kopioi ne paperille, koska oppitunnin loput esimerkit pyörivät näiden kaavojen ympärillä.

Itse ratkaisu voidaan kirjoittaa vaikkapa näin:

Muunnetaan funktio:

Johdannan löytäminen:

Itse funktion esimuuntaminen yksinkertaisti ratkaisua huomattavasti. Siten, kun samanlaista logaritmia ehdotetaan erottamiseen, on aina suositeltavaa "hajottaa se".

Ja nyt pari yksinkertaista esimerkkiä, jotka voit ratkaista itse:

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Kaikki muunnokset ja vastaukset ovat oppitunnin lopussa.

Logaritminen derivaatta

Jos logaritmien derivaatta on niin makeaa musiikkia, herää kysymys: onko joissain tapauksissa mahdollista järjestää logaritmi keinotekoisesti? Voi! Ja jopa tarpeellista.

Esimerkki 11

Etsi funktion derivaatta

Tarkastelimme äskettäin vastaavia esimerkkejä. Mitä tehdä? Voit soveltaa peräkkäin osamäärän eriyttämissääntöä ja sitten tuotteen differentiaatiosääntöä. Tämän menetelmän haittana on, että päädyt valtavaan kolmikerroksiseen murto-osaan, jota et halua käsitellä ollenkaan.

Mutta teoriassa ja käytännössä on olemassa niin upea asia kuin logaritminen derivaatta. Logaritmit voidaan järjestää keinotekoisesti "riippaamalla" ne molemmille puolille:

Nyt sinun on "hajottava" oikean puolen logaritmi mahdollisimman paljon (kaavat silmiesi edessä?). Kuvaan tätä prosessia yksityiskohtaisesti:

Aloitetaan erottelusta.
Päätämme molemmat osat prime:n alle:

Oikean puolen johdannainen on melko yksinkertainen, en kommentoi sitä, koska jos luet tätä tekstiä, sinun pitäisi pystyä käsittelemään sitä luottavaisesti.

Entä vasen puoli?

Vasemmalla puolella meillä on monimutkainen toiminto. Ennustan kysymyksen: "Miksi, onko logaritmin alla yksi kirjain "Y"?"

Tosiasia on, että tämä "yhden kirjaimen peli" - ON ITSE TOIMINTO(jos se ei ole kovin selkeä, katso artikkeli implisiittisesti määritellyn funktion johdannainen). Siksi logaritmi on ulkoinen funktio ja "y" on sisäinen funktio. Ja käytämme sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseen :

Vasemmalla puolella kuin taikuudesta taikasauva meillä on johdannainen. Seuraavaksi siirrämme "y" suhteellisuussäännön mukaisesti vasemman puolen nimittäjästä oikean puolen yläosaan:

Ja nyt muistetaan, millaisesta "pelaaja"-toiminnosta puhuimme erottelun aikana? Katsotaanpa tilannetta:

Lopullinen vastaus:

Esimerkki 12

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Tämän tyyppisen esimerkin malliesimerkki on oppitunnin lopussa.

Logaritmisen derivaatan avulla oli mahdollista ratkaista mikä tahansa esimerkeistä 4-7, toinen asia on, että funktiot siellä ovat yksinkertaisempia, ja ehkä logaritmisen derivaatan käyttö ei ole kovin perusteltua.

Potenttieksponentiaalifunktion johdannainen

Emme ole vielä harkinneet tätä toimintoa. Potenttieksponentiaalinen funktio on funktio, jolle sekä aste että kanta riippuvat x:stä. Klassinen esimerkki, joka annetaan sinulle missä tahansa oppikirjassa tai luennossa:

Kuinka löytää potenssieksponentiaalisen funktion derivaatta?

On tarpeen käyttää juuri käsiteltyä tekniikkaa - logaritminen derivaatta. Riputamme logaritmit molemmille puolille:

Yleensä oikealta puolelta aste otetaan pois logaritmin alta:

Tämän seurauksena oikealla puolella on kahden funktion tulo, jotka erotetaan vakiokaavan mukaan .

Löydämme johdannaisen; tätä varten liitämme molemmat osat viivojen alle:

Muut toimet ovat yksinkertaisia:

Lopuksi:

Jos jokin muunnos ei ole täysin selvä, lue esimerkin 11 selitykset uudelleen huolellisesti.

Käytännön tehtävissä potenssieksponentiaalinen funktio on aina monimutkaisempi kuin tarkasteltu luentosimerkki.

Esimerkki 13

Etsi funktion derivaatta

Käytämme logaritmista derivaatta.

Oikealla puolella on vakio ja kahden tekijän tulo - "x" ja "logaritmin x logaritmi" (toinen logaritmi on sisäkkäin logaritmin alle). Differentioinnissa, kuten muistamme, on parempi siirtää vakio välittömästi pois derivaattamerkistä, jotta se ei jää tielle; ja tietysti noudatamme tuttua sääntöä :

Kuten näette, logaritmisen derivaatan käyttöalgoritmi ei sisällä erityisiä temppuja tai temppuja, eikä tehoeksponentiaalisen funktion derivaatan löytäminen yleensä liity "piinaan".

Ensimmäinen taso

Johdannainen funktiosta. The Ultimate Guide (2019)

Kuvitellaan suoraa tietä, joka kulkee mäkisen alueen läpi. Eli se menee ylös ja alas, mutta ei käänny oikealle tai vasemmalle. Jos akseli on suunnattu vaakasuoraan tietä pitkin ja pystysuunnassa, tielinja on hyvin samanlainen kuin jonkin jatkuvan funktion kaavio:

Akseli on tietty nollakorkeus; elämässä käytämme merenpintaa sellaisena.

Kun kuljemme eteenpäin tällaista tietä pitkin, liikumme myös ylös tai alas. Voidaan myös sanoa: kun argumentti muuttuu (liike abskissa-akselia pitkin), funktion arvo muuttuu (liike ordinaatta-akselia pitkin). Mietitään nyt, kuinka tiemme "jyrkkyys" määritetään? Millainen arvo tämä voisi olla? Se on hyvin yksinkertaista: kuinka paljon korkeus muuttuu liikuttaessa eteenpäin tietyn matkan. Todellakin, eri tienosuuksilla eteenpäin (x-akselia pitkin) yhden kilometrin verran nousemme tai laskemme eri metrimäärän suhteessa merenpintaan (y-akselia pitkin).

Merkitään edistystä (lue "delta x").

Kreikan kirjainta (delta) käytetään yleisesti matematiikassa etuliitteenä, joka tarkoittaa "muutosta". Eli - tämä on määrän muutos, - muutos; mikä se sitten on? Aivan oikein, suuruusmuutos.

Tärkeää: lauseke on yksi kokonaisuus, yksi muuttuja. Älä koskaan erota ”deltaa” x:stä tai mistään muusta kirjaimesta! Eli esimerkiksi.

Olemme siis siirtyneet eteenpäin, vaakatasossa, eteenpäin. Jos vertaamme tien viivaa funktion kuvaajaan, niin miten merkitsemme nousua? Varmasti,. Eli kun kuljemme eteenpäin, nousemme korkeammalle.

Arvo on helppo laskea: jos olimme alussa korkeudessa ja siirryttyään löysimme itsemme korkeudesta, niin silloin. Jos päätepiste on alempi kuin aloituspiste, se on negatiivinen - tämä tarkoittaa, että emme ole nouseva, vaan laskeva.

Palataan "jyrkkyyteen": tämä on arvo, joka näyttää kuinka paljon (jyrkästi) korkeus kasvaa, kun siirrytään eteenpäin yhden etäisyyden yksikön verran:

Oletetaan, että jollain tieosuudella kilometri eteenpäin ajettaessa tie nousee kilometriä ylöspäin. Tällöin kaltevuus tässä paikassa on yhtä suuri. Ja jos tie putoaisi km eteenpäin kulkiessaan m? Silloin kaltevuus on yhtä suuri.

Katsotaanpa nyt mäen huipulta. Jos otat osuuden alkua puoli kilometriä ennen huippua ja lopun puoli kilometriä sen jälkeen, huomaat, että korkeus on melkein sama.

Eli logiikkamme mukaan käy ilmi, että kaltevuus on melkein yhtä suuri kuin nolla, mikä ei selvästikään ole totta. Kilometreillä paljon voi muuttua. On tarpeen harkita pienempiä alueita, jotta jyrkkyys voidaan arvioida paremmin ja tarkemmin. Jos esimerkiksi mittaat korkeuden muutoksen liikkuessasi yhden metrin, tulos on paljon tarkempi. Mutta tämäkään tarkkuus ei välttämättä riitä meille - loppujen lopuksi, jos keskellä tietä on pylväs, voimme vain ohittaa sen. Mikä etäisyys meidän sitten pitäisi valita? Senttimetri? Millimetri? Vähemmän on parempi!

SISÄÄN oikea elämä Etäisyyksien mittaaminen lähimpään millimetriin on enemmän kuin tarpeeksi. Mutta matemaatikot pyrkivät aina täydellisyyteen. Siksi konsepti keksittiin äärettömän pieni, eli absoluuttinen arvo on pienempi kuin mikä tahansa numero, jonka voimme nimetä. Sanot esimerkiksi: biljoonasosa! Kuinka paljon vähemmän? Ja jaat tämän luvun - ja se on vielä pienempi. Ja niin edelleen. Jos haluamme kirjoittaa, että määrä on äärettömän pieni, kirjoitamme näin: (luetaan "x pyrkii nollaan"). On erittäin tärkeää ymmärtää että tämä luku ei ole nolla! Mutta hyvin lähellä sitä. Tämä tarkoittaa, että voit jakaa sillä.

Infinitesimaalin vastainen käsite on äärettömän suuri (). Olet luultavasti jo törmännyt siihen, kun työskentelit eriarvoisuuksien parissa: tämä luku on modulo suurempi kuin mikään luku, jonka voit kuvitella. Jos saat suurimman mahdollisen luvun, kerro se kahdella ja saat vielä suuremman luvun. Ja äärettömyys on vielä suurempi kuin mitä tapahtuu. Itse asiassa äärettömän suuri ja äärettömän pieni ovat toistensa käänteisiä, eli at ja päinvastoin: at.

Nyt palataan tiellemme. Ihannetapauksessa laskettu kaltevuus on kaltevuus, joka on laskettu polun äärettömälle pienelle segmentille, eli:

Huomaan, että äärettömän pienellä siirtymällä korkeuden muutos on myös äärettömän pieni. Mutta haluan muistuttaa, että ääretön pieni ei tarkoita yhtä kuin nolla. Jos jaat äärettömän pienet luvut keskenään, saat täysin tavallisen luvun, esimerkiksi . Eli yksi pieni arvo voi olla täsmälleen kertaa suurempi kuin toinen.

Mitä varten tämä kaikki on? Tie, jyrkkyys... Emme ole menossa autoralliin, mutta opetamme matematiikkaa. Ja matematiikassa kaikki on täsmälleen samaa, vain kutsutaan eri tavalla.

Johdannaisen käsite

Funktion derivaatta on funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde argumentin äärettömän pienelle lisäykselle.

Vähitellen matematiikassa he kutsuvat muutosta. Sitä, missä määrin argumentti () muuttuu, kun se liikkuu akselia pitkin, kutsutaan argumentin lisäys Kutsutaan kuinka paljon funktio (korkeus) on muuttunut liikkuessa eteenpäin akselia pitkin etäisyyden verran funktion lisäys ja on nimetty.

Joten funktion derivaatta on suhde milloin. Merkitsemme derivaatta samalla kirjaimella kuin funktio, vain alkuluvulla oikeassa yläkulmassa: tai yksinkertaisesti. Joten kirjoitetaan johdannaiskaava käyttämällä näitä merkintöjä:

Kuten analogisesti tien kanssa, tässä kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen.

Voiko derivaatta olla yhtä suuri kuin nolla? Varmasti. Jos esimerkiksi ajetaan tasaisella vaakasuoralla tiellä, jyrkkyys on nolla. Ja se on totta, korkeus ei muutu ollenkaan. Näin on derivaatan kanssa: vakiofunktion derivaatta (vakio) on yhtä suuri kuin nolla:

koska tällaisen funktion inkrementti on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa.

Muistetaanpa esimerkki kukkulan huipulta. Kävi ilmi, että segmentin päät oli mahdollista järjestää kärjen vastakkaisille puolille siten, että korkeus päissä on sama, eli segmentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:

Mutta suuret segmentit ovat merkki epätarkoista mittauksista. Nostamme segmenttiämme yhdensuuntaisesti itsensä kanssa, sitten sen pituus pienenee.

Lopulta, kun olemme äärettömän lähellä huippua, segmentin pituudesta tulee äärettömän pieni. Mutta samaan aikaan se pysyi yhdensuuntaisena akselin kanssa, eli korkeusero sen päissä on yhtä suuri kuin nolla (se ei pyri, mutta on yhtä suuri). Siis johdannainen

Tämä voidaan ymmärtää näin: kun seisomme aivan huipulla, pieni siirtymä vasemmalle tai oikealle muuttaa pituuttamme merkityksettömästi.

On myös puhtaasti algebrallinen selitys: kärjen vasemmalla puolella funktio kasvaa ja oikealla pienenee. Kuten aiemmin havaitsimme, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen. Mutta se muuttuu sujuvasti, ilman hyppyjä (koska tie ei muuta kaltevuuttaan jyrkästi missään). Siksi negatiivisten ja positiivisten arvojen välillä on oltava. Se on paikka, jossa funktio ei kasva eikä pienene - kärkipisteessä.

Sama pätee kouruun (alue, jossa vasemmanpuoleinen toiminto pienenee ja oikealla kasvaa):

Hieman lisää lisäyksistä.

Joten vaihdamme argumentin suuruuteen. Mistä arvosta muutetaan? Mitä siitä (argumentista) on nyt tullut? Voimme valita minkä tahansa pisteen, ja nyt tanssimme siitä.

Harkitse pistettä, jolla on koordinaatti. Siinä olevan funktion arvo on yhtä suuri. Sitten teemme saman lisäyksen: lisäämme koordinaattia. Mikä nyt on argumentti? Erittäin helppoa: . Mikä on funktion arvo nyt? Mihin argumentti menee, niin myös funktio: . Entä funktion lisäys? Ei mitään uutta: tämä on edelleen määrä, jolla toiminto on muuttunut:

Harjoittele lisäysten etsimistä:

1. Etsi funktion inkrementti pisteessä, jossa argumentin inkrementti on yhtä suuri.
2. Sama koskee funktiota tietyssä pisteessä.

Ratkaisut:

Eri kohdissa samalla argumentin lisäyksellä funktion inkrementti on erilainen. Tämä tarkoittaa, että derivaatta kussakin pisteessä on erilainen (keskustelimme tästä aivan alussa - tien jyrkkyys on erilainen eri kohdissa). Siksi, kun kirjoitamme johdannaista, meidän on ilmoitettava, missä vaiheessa:

Virtatoiminto.

Tehofunktio on funktio, jossa argumentti on jossain määrin (looginen, eikö?).

Lisäksi - missä tahansa määrin: .

Yksinkertaisin tapaus on, kun eksponentti on:

Etsitään sen derivaatta kohdasta. Muistakaamme johdannaisen määritelmä:

Joten argumentti muuttuu arvosta toiseen. Mikä on funktion lisäys?

Lisäys on tämä. Mutta funktio missä tahansa kohdassa on yhtä suuri kuin sen argumentti. Siksi:

Johdannainen on yhtä suuri kuin:

Johdannainen on yhtä suuri kuin:

b) Mieti nyt neliöfunktio (): .

Muistetaan nyt se. Tämä tarkoittaa, että lisäyksen arvo voidaan jättää huomiotta, koska se on äärettömän pieni ja siksi merkityksetön toisen termin taustalla:

Joten keksimme toisen säännön:

c) Jatkamme loogista sarjaa: .

Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa eri tavoilla: avaa ensimmäinen hakasulke käyttämällä kaavaa summan kuution lyhennettyä kertolaskua varten tai kerro koko lauseke käyttämällä kuutioiden erotuskaavaa. Yritä tehdä se itse millä tahansa ehdotetuista menetelmistä.

Sain siis seuraavan:

Ja muistellaanpa se taas. Tämä tarkoittaa, että voimme jättää huomiotta kaikki termit, jotka sisältävät:

Saamme: .

d) Samanlaiset säännöt voidaan saada suurille tehoille:

e) Osoittautuu, että tämä sääntö voidaan yleistää tehotoiminto mielivaltaisella eksponentilla, ei edes kokonaisluvulla:

(2)

Sääntö voidaan muotoilla sanoilla: "tutkinto tuodaan eteenpäin kertoimena ja vähennetään sitten ."

Todistamme tämän säännön myöhemmin (melkein aivan lopussa). Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatta:

1. (kahdella tavalla: kaavalla ja käyttämällä derivaatan määritelmää - laskemalla funktion inkrementti);

1. . Usko tai älä, tämä on tehotoiminto. Jos sinulla on kysymyksiä, kuten "Kuinka tämä on? Missä tutkinto on?", muista aihe ""!
   Kyllä, kyllä, juuri on myös aste, vain murtoluku: .
   Tämä tarkoittaa, että neliöjuuremme on vain potenssi, jolla on eksponentti:
   .
   Etsimme johdannaista käyttämällä äskettäin opittua kaavaa:

   Jos tässä vaiheessa tulee taas epäselväksi, toista aihe ""!!! (noin aste negatiivisella eksponentilla)

2. . Nyt eksponentti:

   Ja nyt määritelmän kautta (oletko unohtanut?):
   ;
   .
   Nyt, kuten tavallista, jätämme huomiotta termin, joka sisältää:
   .

3. . Aiempien tapausten yhdistelmä: .

Trigonometriset funktiot.

Tässä käytämme yhtä faktaa korkeammasta matematiikasta:

Ilmaisulla.

Opit todistuksen instituutin ensimmäisenä vuonna (ja päästäksesi sinne sinun on läpäistävä Unified State Exam hyvin). Näytän sen nyt vain graafisesti:

Näemme, että kun funktiota ei ole olemassa - kuvaajan piste leikataan pois. Mutta mitä lähempänä arvoa, sitä lähempänä funktio on. Tämä on "tarkoituksena".

Lisäksi voit tarkistaa tämän säännön laskimen avulla. Kyllä, kyllä, älä ole ujo, ota laskin, emme ole vielä Unified State -kokeessa.

Joten kokeillaan: ;

Älä unohda vaihtaa laskinta radiaanitilaan!

jne. Näemme, että mitä pienempi, sitä lähempänä suhdelukua on.

a) Harkitse funktiota. Kuten tavallista, etsitään sen lisäys:

Käännetään sinien ero tuloksi. Tätä varten käytämme kaavaa (muista aihe ""): .

Nyt johdannainen:

Tehdään korvaava: . Sitten infinitesimaalille se on myös äärettömän pieni: . Ilmaisu for saa muotoa:

Ja nyt muistamme sen ilmauksella. Ja myös, entä jos äärettömän pieni määrä voidaan jättää huomiotta summassa (eli at).

Joten saamme seuraavan säännön: sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini:

Nämä ovat perusjohdannaisia ​​("taulukkomuotoisia") johdannaisia. Tässä ne yhdessä listassa:

Myöhemmin lisäämme niihin muutaman, mutta nämä ovat tärkeimmät, koska niitä käytetään useimmin.

Harjoitella:

1. Etsi funktion derivaatta pisteessä;
2. Etsi funktion derivaatta.

Ratkaisut:

1. Etsitään ensin johdannainen yleisnäkymä, ja korvaa sen arvo:
   ;
   .
2. Tässä meillä on jotain samanlaista kuin tehofunktio. Yritetään tuoda hänet
   normaali näkymä:
   .
   Hienoa, nyt voit käyttää kaavaa:
   .
   .
3. . Eeeeeee… Mitä tämä on????

Okei, olet oikeassa, emme vielä tiedä kuinka löytää tällaisia ​​johdannaisia. Tässä meillä on useiden erityyppisten toimintojen yhdistelmä. Jotta voit työskennellä heidän kanssaan, sinun on opittava vielä muutama sääntö:

Eksponentti ja luonnollinen logaritmi.

Matematiikassa on funktio, jonka derivaatta mille tahansa arvolle on sama kuin itse funktion arvo samaan aikaan. Sitä kutsutaan "eksponentiksi" ja se on eksponentiaalinen funktio

Tämän funktion perusta on vakio - se on ääretön desimaali, eli irrationaalinen luku (kuten). Sitä kutsutaan "Euler-numeroksi", minkä vuoksi se on merkitty kirjaimella.

Eli sääntö:

Erittäin helppo muistaa.

No, älkäämme menkö kauas, katsokaamme sitä heti käänteinen funktio. Mikä funktio on eksponentiaalisen funktion käänteisfunktio? Logaritmi:

Meidän tapauksessamme perusta on numero:

Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi", ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.

Mihin se vastaa? Tietysti, .

Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Mikä on funktion derivaatta?

Vastaukset: Näytteilleasettaja ja luonnollinen logaritmi- funktiot ovat ainutlaatuisen yksinkertaisia ​​johdannaisten suhteen. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla, joilla on jokin muu kanta, on eri derivaatta, jota analysoimme myöhemmin, kun olemme käyneet läpi differentiaatiosäännöt.

Erottamisen säännöt

Mitä säännöt? Taas uusi termi, taas?!...

Erilaistuminen on prosessi johdannaisen löytämiseksi.

Siinä kaikki. Mitä muuta tätä prosessia voi kutsua yhdellä sanalla? Ei derivaatta... Matemaatikot kutsuvat differentiaalia funktion samaksi inkrementiksi at. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.

Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:

Sääntöjä on yhteensä 5.

Vakio otetaan pois derivaattamerkistä.

Jos - jokin vakioluku (vakio), niin.

Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .

Todistetaan se. Olkoon se yksinkertaisempaa.

Esimerkkejä.

Etsi funktioiden derivaatat:

1. jossain kohdassa;
2. jossain kohdassa;
3. jossain kohdassa;
4. pisteessä.

Ratkaisut:

1. (derivaata on sama kaikissa kohdissa, koska tämä lineaarinen funktio, muistatko?);

Tuotteen johdannainen

Kaikki on samanlaista täällä: otetaan käyttöön uusi toiminto ja etsitään sen lisäys:

Johdannainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktioiden ja derivaatat;
2. Etsi funktion derivaatta pisteessä.

Ratkaisut:

Eksponentiaalisen funktion johdannainen

Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponentteja (oletko unohtanut mitä se on?).

Eli missä on joku luku.

Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään pelkistää funktiomme uuteen kantaan:

Tätä varten käytämme yksinkertainen sääntö: . Sitten:

No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.

Tapahtui?

Tässä, tarkista itse:

Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy samana, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.

Esimerkkejä:
Etsi funktioiden derivaatat:

Vastaukset:

Tämä on vain luku, jota ei voida laskea ilman laskinta, eli sitä ei voi kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa. Siksi jätämme sen tässä muodossa vastaukseen.

Logaritmisen funktion derivaatta

Se on samanlainen täällä: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:

Siksi, jos haluat löytää mielivaltaisen logaritmin, jolla on eri kanta, esimerkiksi:

Meidän on vähennettävä tämä logaritmi kantaan. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:

Vasta nyt kirjoitamme sen sijaan:

Nimittäjä on yksinkertaisesti vakio (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen saadaan hyvin yksinkertaisesti:

Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ​​ei juuri koskaan löydy Unified State Examinationista, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.

Monimutkaisen funktion johdannainen.

Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arctangentti. Näitä funktioita voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi tuntuu vaikealta, lue aihe "Logaritmit" niin selviät), mutta matemaattisesta näkökulmasta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".

Kuvittele pieni kuljetinhihna: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Tuloksena on yhdistelmäesine: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukan, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet käänteisessä järjestyksessä.

Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: etsitään ensin luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten meille annetaan numero (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliöit sen minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi suoritamme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujalla ja sitten toisen toiminnon ensimmäisestä tuloksella.

Voimme helposti tehdä samat vaiheet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliöit sen, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinin: . On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Monimutkaisten funktioiden tärkeä ominaisuus: kun toimintojen järjestys muuttuu, toiminto muuttuu.

Toisin sanoen, monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .

Ensimmäisessä esimerkissä .

Toinen esimerkki: (sama asia). .

Viimeksi tekemämme toiminta on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).

Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:

Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottaminen on hyvin samanlaista kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa

1. Mitä toimenpiteitä teemme ensin? Lasketaan ensin sini ja vasta sitten kuutioitetaan. Tämä tarkoittaa, että se on sisäinen, mutta ulkoinen toiminto.
   Ja alkuperäinen tehtävä on niiden koostumus: .
2. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
3. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
4. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
5. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .

Muutamme muuttujia ja saamme funktion.

No, nyt puramme suklaapatukkamme ja etsimme johdannaista. Proseduuri on aina päinvastainen: ensin etsitään ulkofunktion derivaatta, sitten kerrotaan tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäiseen esimerkkiin verrattuna se näyttää tältä:

Toinen esimerkki:

Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

Näyttää yksinkertaiselta, eikö?

Tarkastellaanpa esimerkeillä:

Ratkaisut:

1) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

2) Sisäinen: ;

(Älä vain yritä leikata sitä nyt! Kosinuksen alta ei tule mitään, muistatko?)

3) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

On heti selvää, että tämä on kolmitasoinen monimutkainen funktio: tämä on jo itsessään monimutkainen funktio, ja me myös poistamme siitä juuren, eli suoritamme kolmannen toiminnon (laitamme suklaan kääre ja salkussa oleva nauha). Mutta ei ole syytä pelätä: "purkamme" tämän toiminnon edelleen samassa järjestyksessä kuin tavallisesti: lopusta.

Eli ensin erotetaan juuri, sitten kosini ja vasta sitten lauseke suluissa. Ja sitten kerromme kaiken.

Tällaisissa tapauksissa on kätevää numeroida toimet. Eli kuvitellaan mitä tiedämme. Missä järjestyksessä suoritamme toiminnot laskeaksemme tämän lausekkeen arvon? Katsotaanpa esimerkkiä:

Mitä myöhemmin toiminto suoritetaan, sitä "ulkoisempi" vastaava toiminto on. Toimintojen järjestys on sama kuin ennen:

Täällä pesimä on yleensä 4-tasoinen. Päätetään toimintatapa.

1. Radikaali ilmaisu. .

2. Juuri. .

3. Sini. .

4. Neliö. .

5. Laita kaikki yhteen:

JOHDANNAIS. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Johdannainen funktiosta- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen, kun argumentti on äärettömän pieni:

Perusjohdannaiset:

Erottamisen säännöt:

Vakio otetaan pois derivaattamerkistä:

Summan johdannainen:

Tuotteen johdannainen:

Osamäärän johdannainen:

Monimutkaisen funktion johdannainen:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

1. Määrittelemme "sisäisen" funktion ja löydämme sen johdannaisen.
2. Määrittelemme "ulkoisen" funktion ja löydämme sen johdannaisen.
3. Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.

"Vanhoissa" oppikirjoissa sitä kutsutaan myös "ketjusääntöksi". Niin jos y = f (u) ja u = φ (x), tuo on

y = f (φ (x))

kompleksi - yhdistefunktio (funktioiden kokoonpano) sitten

Missä , laskennan jälkeen otetaan huomioon u = φ (x).

Huomaa, että tässä otimme "eri" koostumuksia samoista funktioista, ja erottelun tulos osoittautui luonnollisesti riippuvaiseksi "sekoitusjärjestyksestä".

Ketjusääntö ulottuu luonnollisesti kolmen tai useamman funktion koostumuksiin. Tässä tapauksessa johdannaisen muodostavassa "ketjussa" on kolme tai useampia "linkkiä". Tässä on analogia kertolaskulle: "meillä on" derivaattataulukko; "siellä" - kertotaulukko; "kanssamme" on ketjusääntö ja "siellä" on "sarakkeen" kertolaskusääntö. Laskettaessa tällaisia ​​"monimutkaisia" johdannaisia, apuargumentteja (u¸v jne.) ei tietenkään oteta käyttöön, mutta huomattuaan itse koostumukseen liittyvien toimintojen lukumäärän ja järjestyksen vastaavat linkit "kiinnitetään". ilmoitetussa järjestyksessä.

. Tässä "x":llä "y":n arvon saamiseksi suoritetaan viisi operaatiota, eli on viiden funktion koostumus: "ulkoinen" (viimeinen niistä) - eksponentiaalinen - e  ; sitten päinvastaisessa järjestyksessä, teho. (♦) 2 ; trigonometrinen sin(); rauhallinen. () 3 ja lopuksi logaritminen ln.(). Siksi

Seuraavilla esimerkeillä "tappaamme lintupareja yhdellä iskulla": harjoittelemme monimutkaisten funktioiden erottamista ja lisäämme johdannaistaulukkoon perustoiminnot. Niin:

4. Potenttifunktiolle - y = x α - kirjoitetaan se uudelleen käyttämällä tunnettua "perus" logaritminen identiteetti" - b=e ln b - muodossa x α = x α ln x saamme

5. Mielivaltaiselle eksponentiaaliselle funktiolle käyttäen samaa tekniikkaa kuin meillä on

6. Mielivaltaiselle logaritmiselle funktiolle saadaan johdonmukaisesti käyttämällä tunnettua kaavaa uuteen kantaan siirtymiseksi

.

7. Tangentin (kotangentin) erottamiseksi käytämme osamäärän erottamissääntöä:

Käänteisten trigonometristen funktioiden derivaattojen saamiseksi käytetään relaatiota, jonka tyydyttävät kahden keskenään käänteisen funktion derivaatat, eli funktiot φ (x) ja f (x), jotka liittyvät suhteisiin:

Tämä on suhde

Se on peräisin tästä keskenään käänteisfunktioiden kaavasta

Ja
,

Tehdään lopuksi yhteenveto näistä ja joistakin muista johdannaisista, jotka on myös helppo saada seuraavassa taulukossa.

Esimerkkejä on annettu derivaattojen laskemisesta käyttämällä kompleksifunktion derivaatan kaavaa.

Tässä annamme esimerkkejä seuraavien funktioiden johdannaisten laskemisesta:
; ; ; ; .

Jos funktio voidaan esittää kompleksifunktiona seuraavassa muodossa:
,
sitten sen johdannainen määritetään kaavalla:
.
Alla olevissa esimerkeissä kirjoitamme tämän kaavan seuraavasti:
.
Missä .
Tässä alaindeksit tai, jotka sijaitsevat johdannaisen merkin alla, osoittavat muuttujia, joilla differentiointi suoritetaan.

Yleensä derivaattataulukoissa on annettu funktioiden derivaatat muuttujasta x. X on kuitenkin muodollinen parametri. Muuttuja x voidaan korvata millä tahansa muulla muuttujalla. Siksi, kun funktio erotetaan muuttujasta, muutamme derivaattataulukossa yksinkertaisesti muuttujan x muuttujaksi u.

Yksinkertaisia ​​esimerkkejä

Esimerkki 1

Etsi kompleksisen funktion derivaatta
.

Ratkaisu

Kirjoitetaan se ylös annettu toiminto vastaavassa muodossa:
.
Johdannaisten taulukosta löydät:
;
.

Monimutkaisen funktion derivaatan kaavan mukaan meillä on:
.
täällä .

Vastaus

Esimerkki 2

Etsi johdannainen
.

Ratkaisu

Otamme vakion 5 derivaattamerkistä ja derivaattataulukosta löydämme:
.

.
täällä .

Vastaus

Esimerkki 3

Etsi johdannainen
.

Ratkaisu

Otamme pois vakion -1 derivaatan etumerkille ja johdannaistaulukosta löydämme:
;
Johdannaisten taulukosta löydämme:
.

Käytämme kaavaa kompleksisen funktion derivaatalle:
.
täällä .

Vastaus

Monimutkaisempia esimerkkejä

Enemmässä monimutkaisia ​​esimerkkejä soveltamme sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseksi useita kertoja. Tässä tapauksessa laskemme derivaatan lopusta. Eli jaetaan funktio sen komponenttiosiin ja etsitään yksinkertaisimpien osien derivaatat käyttäen johdannaisten taulukko. Käytämme myös summien erottelua koskevat säännöt, tuotteet ja jakeet. Sitten teemme substituutioita ja sovellamme kompleksisen funktion derivaatan kaavaa.

Esimerkki 4

Etsi johdannainen
.

Ratkaisu

Valitaan kaavan yksinkertaisin osa ja etsitään sen johdannainen. .

.
Tässä olemme käyttäneet merkintää
.

Löydämme alkuperäisen funktion seuraavan osan derivaatan saatujen tulosten avulla. Sovellamme summan erottelusääntöä:
.

Jälleen kerran sovelletaan monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä.

.
täällä .

Vastaus

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta
.

Ratkaisu

Valitaan kaavan yksinkertaisin osa ja etsitään sen derivaatta derivaattataulukosta. .

Käytämme monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä.
.
Tässä
.

Ja lause kompleksisen funktion derivaatta, jonka muotoilu on seuraava:

Olkoon 1) funktiolla $u=\varphi (x)$ jossain vaiheessa $x_0$ derivaatta $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funktiolla $y=f(u)$ on vastaavassa pisteessä $u_0=\varphi (x_0)$ derivaatta $y_(u)"=f"(u)$. Tällöin kompleksifunktiolla $y=f\left(\varphi (x) \right)$ mainitussa pisteessä on myös derivaatta, joka on yhtä suuri kuin funktioiden $f(u)$ ja $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

tai lyhyemmällä merkinnällä: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Tämän osion esimerkeissä kaikilla funktioilla on muoto $y=f(x)$ (eli otamme huomioon vain yhden muuttujan $x$ funktiot). Vastaavasti kaikissa esimerkeissä derivaatta $y"$ otetaan suhteessa muuttujaan $x$. Korostaakseen, että derivaatta otetaan suhteessa muuttujaan $x$, kirjoitetaan usein $y"_x$ $y:n sijaan. "$.

Esimerkit nro 1, nro 2 ja nro 3 hahmottelevat yksityiskohtaisen prosessin kompleksisten funktioiden derivaatan löytämiseksi. Esimerkki nro 4 on tarkoitettu johdannaistaulukon täydellisempään ymmärtämiseen ja siihen on järkevää tutustua.

Esimerkkien 1-3 aineiston tutkimisen jälkeen kannattaa siirtyä esimerkkien 5, 6 ja 7 itsenäiseen ratkaisemiseen. Esimerkit #5, #6 ja #7 sisältävät lyhyen ratkaisun, jotta lukija voi tarkistaa tuloksensa oikeellisuuden.

Esimerkki nro 1

Etsi funktion $y=e^(\cos x)$ derivaatta.

Meidän on löydettävä kompleksisen funktion $y"$ johdannainen. Koska $y=e^(\cos x)$, niin $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. etsi derivaatta $ \left(e^(\cos x)\right)"$ käytämme kaavaa nro 6 derivaattataulukosta. Jotta voisimme käyttää kaavaa nro 6, meidän on otettava huomioon, että meidän tapauksessamme $u=\cos x$. Toinen ratkaisu on yksinkertaisesti korvata lauseke $\cos x$ lausekkeen $u$ sijaan kaavaan nro 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nyt meidän on löydettävä lausekkeen $(\cos x)"$ arvo. Siirrymme jälleen derivaattataulukkoon ja valitsemme siitä kaavan nro 10. Korvaamalla $u=x$ kaavaan nro 10, saamme : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Jatketaan nyt yhtälöä (1.1) täydentämällä sitä löydetyllä tuloksella:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Koska $x"=1$, jatkamme tasa-arvoa (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Eli yhtälöstä (1.3) saamme: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Selitykset ja väliyhtälöt yleensä ohitetaan, kirjoitetaan derivaatan löytö yhdelle riville, kuten yhtälössä ( 1.3) Eli kompleksisen funktion derivaatta on löydetty, ei tarvitse muuta kuin kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Esimerkki nro 2

Etsi funktion $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ derivaatta.

Meidän on laskettava derivaatta $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Aluksi huomautamme, että vakio (eli luku 9) voidaan ottaa pois derivaattamerkistä:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Siirrytään nyt lausekkeeseen $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Jotta halutun kaavan valinta olisi helpompaa johdannaistaulukosta, esitän lausekkeen kyseessä tässä muodossa: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Nyt on selvää, että on tarpeen käyttää kaavaa nro 2, ts. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Korvataan $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ja $\alpha=12$ tähän kaavaan:

Täydentäen yhtälön (2.1) saadulla tuloksella saamme:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Tässä tilanteessa tehdään usein virhe, kun ratkaisija valitsee ensimmäisessä vaiheessa kaavan $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ kaavan sijaan $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Asia on siinä, että ulkoisen funktion derivaatan on oltava ensin. Ymmärtääksesi, mikä funktio on lausekkeen $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ulkopuolella, kuvittele, että olet laskemassa lausekkeen $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ jollain arvolla $x$. Laske ensin arvon $5^x$ ja kerro sitten tulos 4:llä, jolloin saadaan $4\cdot 5^x$. Otetaan nyt tästä tuloksesta arktangentti, jolloin saadaan $\arctg(4\cdot 5^x)$. Sitten nostetaan saatu luku kahdestoista potenssiin, jolloin saadaan $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Viimeinen toimenpide, ts. nostamalla 12, - ja se tulee olemaan ulkoinen toiminto. Ja juuri tästä meidän on alettava löytää derivaatta, mikä tehtiin yhtälössä (2.2).

Nyt meidän on löydettävä $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 19 ja korvaamme sen $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Yksinkertaistetaan saatua lauseketta hieman ottaen huomioon $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Tasa-arvosta (2.2) tulee nyt:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Vielä on löydettävä $(4\cdot \ln x)"$. Otetaan vakio (eli 4) derivaattamerkistä: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Löytääksemme $(\ln x)"$ käytämme kaavaa nro 8 ja korvaamme sen $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Koska $x"=1$, niin $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Korvaamalla saatu tulos kaavaan (2.3) saadaan:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Muistutan teitä siitä, että kompleksisen funktion derivaatta löytyy useimmiten yhdeltä riviltä, ​​kuten viimeisessä yhtälössä on kirjoitettu. Siksi standardilaskelmia tai ohjaustyötä valmistettaessa ratkaisua ei ole ollenkaan tarpeen kuvata näin yksityiskohtaisesti.

Vastaus: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Esimerkki nro 3

Etsi $y"$ funktiosta $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Aluksi muutetaan hieman funktiota $y$, joka ilmaisee radikaalin (juuren) potenssina: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \oikea)^(\frac(3)(7))$. Aloitetaan nyt johdannaisen etsiminen. Koska $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, niin:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Käytetään kaavaa nro 2 derivaattataulukosta ja korvataan siihen $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ja $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Jatketaan yhtälöä (3.1) käyttämällä saatua tulosta:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nyt meidän on löydettävä $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tätä varten käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 9 korvaamalla siihen $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Täydennettyään yhtälöä (3.2) saadulla tuloksella, meillä on:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Vielä on löydettävä $(5\cdot 9^x)"$. Otetaan ensin vakio (luku $5$) derivaatan ulkopuolelle, eli $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Löytääksesi derivaatan $(9^x)"$, käytä johdannaistaulukon kaavaa nro 5 korvaamalla siihen $a=9$ ja $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Koska $x"=1$, sitten $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nyt voimme jatkaa yhtäläisyyttä (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Voimme jälleen palata potenssista radikaaleihin (eli juuriin) kirjoittamalla $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ muodossa $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Sitten johdannainen kirjoitetaan tässä muodossa:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Vastaus: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Esimerkki nro 4

Osoita, että johdannaistaulukon kaavat nro 3 ja nro 4 ovat erikoistapaus tämän taulukon kaavat nro 2.

Johdannaisten taulukon kaava nro 2 sisältää funktion $u^\alpha$ derivaatan. Korvaamalla $\alpha=-1$ kaavaan nro 2, saadaan:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Koska $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ja $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, yhtälö (4.1) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tämä on johdannaistaulukon kaava nro 3.

Käännytään taas johdannaistaulukon kaavaan nro 2. Korvataan $\alpha=\frac(1)(2)$ siihen:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Koska $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ja $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, niin yhtälö (4.2) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Tuloksena oleva yhtälö $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ on derivaattataulukon kaava nro 4. Kuten näet, johdannaistaulukon kaavat nro 3 ja 4 saadaan kaavasta nro 2 korvaamalla vastaava $\alpha$-arvo.