Meillä on siis kahden voimat. Jos otat numeron alariviltä, ​​voit helposti löytää tehon, johon sinun on nostettava kaksi saadaksesi tämän numeron. Esimerkiksi saadaksesi 16, sinun on korotettava kaksi neljänteen potenssiin. Ja saadaksesi 64, sinun on korotettava kaksi kuudenteen potenssiin. Tämä näkyy taulukosta.

Ja nyt - itse asiassa logaritmin määritelmä:

x:n logaritmin kanta on potenssi, johon a on nostettava x:n saamiseksi.

Nimitys: log a x = b, jossa a on kanta, x on argumentti, b on mikä logaritmi on todellisuudessa yhtä suuri.

Esimerkiksi 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8:n kanta-2 logaritmi on kolme, koska 2 3 = 8). Samalla menestyksellä loki 2 64 = 6, koska 2 6 = 64.

Operaatiota luvun logaritmin löytämiseksi tiettyyn kantaan kutsutaan logaritmisaatioksi. Lisätään siis uusi rivi taulukkoomme:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Valitettavasti kaikkia logaritmeja ei oteta huomioon niin helposti. Yritä esimerkiksi etsiä loki 2 5 . Numero 5 ei ole taulukossa, mutta logiikka sanelee, että logaritmi on jossain segmentissä. Koska 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tällaisia ​​lukuja kutsutaan irrationaalisiksi: desimaalipilkun jälkeiset luvut voidaan kirjoittaa loputtomiin, eikä niitä koskaan toisteta. Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, on parempi jättää se näin: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

On tärkeää ymmärtää, että logaritmi on lauseke, jossa on kaksi muuttujaa (kanta ja argumentti). Aluksi monet ihmiset sekoittavat, missä on perusta ja missä on argumentti. Välttääksesi ärsyttäviä väärinkäsityksiä, katso vain kuvaa:

Edessämme ei ole muuta kuin logaritmin määritelmä. Muistaa: logaritmi on voima, jolle sinun on nostettava perusta saadaksesi argumentin. Se on pohja, joka nostetaan tehoon - kuvassa se on korostettu punaisella. Osoittautuu, että pohja on aina pohjassa! Kerron opiskelijoilleni tämän upean säännön heti ensimmäisellä oppitunnilla - eikä hämmennystä synny.

Olemme selvittäneet määritelmän - jäljellä on vain opetella laskemaan logaritmeja, ts. päästä eroon "tuki"-merkistä. Aluksi huomautamme, että määritelmästä seuraa kaksi tärkeää tosiasiaa:

1. Argumentin ja kantaluvun tulee aina olla suurempi kuin nolla. Tämä seuraa asteen määrittelystä rationaalisen eksponentin avulla, johon logaritmin määritelmä pelkistyy.
2. Pohjan on oltava erilainen kuin yksi, koska yksi pysyy silti yhtenä. Tästä johtuen kysymys ”mihin valtaan yksi on nostettava saadakseen kaksi” on merkityksetön. Sellaista tutkintoa ei ole!

Tällaisia ​​rajoituksia kutsutaan kelvollinen alue(ODZ). Osoittautuu, että logaritmin ODZ näyttää tältä: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Huomaa, että luvulle b (logaritmin arvo) ei ole rajoituksia. Esimerkiksi logaritmi voi hyvinkin olla negatiivinen: log 2 0,5 \u003d -1, koska 0,5 = 2 -1.

Nyt kuitenkin vasta mietitään numeerisia lausekkeita, jossa logaritmin CVD:tä ei vaadita. Ongelmien tekijät ovat jo ottaneet huomioon kaikki rajoitukset. Mutta kun logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt tulevat peliin, DL-vaatimuksista tulee pakollisia. Loppujen lopuksi peruste ja argumentti voivat sisältää erittäin vahvoja rakenteita, jotka eivät välttämättä vastaa yllä olevia rajoituksia.

Mietitään nyt yleinen kaava logaritmien laskeminen. Se koostuu kolmesta vaiheesta:

1. Ilmaise kanta a ja argumentti x potenssina, jonka pienin mahdollinen kanta on suurempi kuin yksi. Matkan varrella on parempi luopua desimaaleista.
2. Ratkaise muuttujan b yhtälö: x = a b ;
3. Tuloksena oleva luku b on vastaus.

Siinä kaikki! Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, tämä näkyy jo ensimmäisessä vaiheessa. Vaatimus, että kanta on suurempi kuin yksi, on erittäin tärkeä: tämä vähentää virheen todennäköisyyttä ja yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti. Sama kuin desimaalit: jos käännät ne heti tavallisiksi, virheitä tulee monta kertaa vähemmän.

Katsotaanpa, kuinka tämä kaavio toimii erityisillä esimerkeillä:

Tehtävä. Laske logaritmi: log 5 25

1. Esitetään kanta ja argumentti viiden potenssina: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Tehdään ja ratkaistaan ​​yhtälö:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Saimme vastauksen: 2.

Tehtävä. Laske logaritmi:

Tehtävä. Laske logaritmi: log 4 64

1. Esitetään kanta ja argumentti kahden potenssina: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Tehdään ja ratkaistaan ​​yhtälö:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Saimme vastauksen: 3.

Tehtävä. Laske logaritmi: log 16 1

1. Esitetään kanta ja argumentti kahden potenssina: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Tehdään ja ratkaistaan ​​yhtälö:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Saimme vastauksen: 0.

Tehtävä. Laske logaritmi: log 7 14

1. Kuvitellaan kantaa ja argumenttia seitsemän potenssina: 7 = 7 1 ; 14:ää ei voida esittää seitsemän potenssina, koska 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Edellisestä kappaleesta seuraa, että logaritmi ei laske;
3. Vastaus ei muutu: loki 7 14.

Pieni huomautus viimeiseen esimerkkiin. Kuinka voit olla varma, että luku ei ole toisen luvun tarkka potenssi? Se on hyvin yksinkertaista - ota se vain tärkeimpiin tekijöihin. Jos laajennuksessa on vähintään kaksi eri tekijää, luku ei ole tarkka teho.

Tehtävä. Selvitä ovatko luvut tarkkoja tehoja: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tarkka aste, koska on vain yksi kerroin;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole tarkka potenssi, koska siinä on kaksi tekijää: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tarkka aste;
35 = 7 · 5 - ei taaskaan tarkka teho;
14 = 7 · 2 - ei taaskaan tarkka aste;

Huomaa myös, että me itse alkuluvut ovat aina tarkkoja asteita itsestään.

Desimaalilogaritmi

Jotkut logaritmit ovat niin yleisiä, että niillä on erityinen nimi ja symboli.

X:n desimaalilogaritmi on logaritmi kantaan 10, ts. Teho, johon luku 10 on nostettava, jotta saadaan luku x. Nimitys: lg x.

Esimerkiksi log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.

Tästä lähtien, kun oppikirjassa esiintyy lause, kuten "Etsi lg 0.01", tiedä, että tämä ei ole kirjoitusvirhe. Tämä on desimaalilogaritmi. Jos et kuitenkaan tunne tätä merkintää, voit aina kirjoittaa sen uudelleen:
log x = log 10 x

Kaikki mikä on totta tavallisille logaritmeille, pätee myös desimaalilogaritmeille.

Luonnollinen logaritmi

On toinen logaritmi, jolla on oma nimitys. Jollain tapaa se on jopa tärkeämpää kuin desimaali. Se on noin luonnollisesta logaritmista.

Luonnollinen logaritmi argumentin x on logaritmi kantaan e, ts. teho, johon luku e on nostettava, jotta saadaan luku x. Nimitys: ln x .

Monet kysyvät: mikä on numero e? Tämä on irrationaalinen luku tarkka arvo mahdotonta löytää ja tallentaa. Annan vain ensimmäiset luvut:
e = 2,718281828459...

Emme mene yksityiskohtiin siitä, mikä tämä numero on ja miksi sitä tarvitaan. Muista vain, että e on luonnollisen logaritmin kanta:
ln x = log e x

Siten ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Toisaalta ln 2 on irrationaalinen luku. Yleensä minkä tahansa luonnollinen logaritmi rationaalinen luku irrationaalinen. Paitsi tietysti yhtä: ln 1 = 0.

Luonnollisille logaritmeille pätevät kaikki säännöt, jotka pätevät tavallisille logaritmeille.

Kuten tiedät, kun lausekkeita kerrotaan potenssien kanssa, niiden eksponentit laskevat aina yhteen (a b * a c = a b + c). Tämän matemaattisen lain johti Arkhimedes, ja myöhemmin, 800-luvulla, matemaatikko Virasen loi taulukon kokonaislukuindikaattoreista. Juuri he palvelivat logaritmien edelleen löytämistä. Esimerkkejä tämän funktion käytöstä löytyy melkein kaikkialta, missä vaaditaan yksinkertaista monimutkainen kertolasku yksinkertaiseen yhteenlaskuun. Jos käytät 10 minuuttia tämän artikkelin lukemiseen, selitämme sinulle, mitä logaritmit ovat ja miten niitä käytetään. Yksinkertaisella ja ymmärrettävällä kielellä.

Määritelmä matematiikassa

Logaritmi on seuraavan muodon lauseke: log a b=c, eli minkä tahansa ei-negatiivisen luvun (eli minkä tahansa positiivisen) logaritmi "b" kantaansa "a" katsotaan potenssiksi "c". ", johon kantaa "a" on nostettava, jotta lopulta saadaan arvo "b". Analysoidaan logaritmia esimerkein, oletetaan, että on lauseke log 2 8. Miten löytää vastaus? Se on hyvin yksinkertaista, sinun täytyy löytää teho, joka on sellainen, että 2:sta vaadittuun tehoon saat 8. Kun olet tehnyt joitain laskelmia päässäsi, saamme luvun 3! Ja se on totta, koska 2 3:n potenssiin antaa vastauksen 8.

Logaritmien tyypit

Monille oppilaille ja opiskelijoille tämä aihe näyttää monimutkaiselta ja käsittämättömältä, mutta itse asiassa logaritmit eivät ole niin pelottavia, tärkeintä on ymmärtää niiden yleinen merkitys ja muistaa niiden ominaisuudet ja jotkut säännöt. On kolme yksittäisiä lajeja logaritmiset lausekkeet:

1. Luonnollinen logaritmi ln a, jossa kanta on Eulerin luku (e = 2,7).
2. Desimaali a, jossa kantaluku on 10.
3. Minkä tahansa luvun b logaritmi kantaan a>1.

Jokainen niistä ratkaistaan ​​tavallisella tavalla, mukaan lukien yksinkertaistaminen, pelkistys ja myöhempi pelkistys yhdeksi logaritmiksi logaritmisilla teoreemoilla. Saadaksesi oikeat logaritmien arvot, sinun tulee muistaa niiden ominaisuudet ja toimintojen järjestys niitä ratkaiseessasi.

Säännöt ja joitain rajoituksia

Matematiikassa on useita sääntöjä-rajoituksia, jotka hyväksytään aksioomina, eli niistä ei keskustella ja ne ovat totuuksia. Esimerkiksi on mahdotonta jakaa lukuja nollalla, ja on myös mahdotonta poimia parillinen juuri negatiivisia lukuja. Logaritmeilla on myös omat sääntönsä, joita noudattamalla voit helposti oppia työskentelemään pitkien ja tilavien logaritmien lausekkeiden kanssa:

• Kanta "a" on aina suurempi kuin nolla, eikä yhtä suuri kuin 1, muuten lauseke menettää merkityksensä, koska "1" ja "0" missä tahansa määrin ovat aina yhtä suuria kuin niiden arvot;
• jos a > 0, niin a b >0, käy ilmi, että myös c:n on oltava suurempi kuin nolla.

Kuinka ratkaista logaritmit?

Tehtävänä on esimerkiksi löytää vastaus yhtälöön 10 x = 100. Tämä on erittäin helppoa, sinun on valittava potenssi nostamalla lukua kymmenen, johon saamme 100. Tämä on tietysti 10 2 = 100.

Esitetään nyt tämä lauseke logaritmisessa muodossa. Saamme log 10 100 = 2. Logaritmeja ratkaistaessa kaikki toiminnot käytännössä konvergoivat löytääkseen potenssin, johon on syötettävä logaritmin kanta tietyn luvun saamiseksi.

Jotta voit määrittää tuntemattoman asteen arvon tarkasti, sinun on opittava työskentelemään astetaulukon kanssa. Se näyttää tältä:

Kuten näet, jotkin eksponentit voidaan arvata intuitiivisesti, jos sinulla on tekninen ajattelutapa ja tietoa kertotaulukosta. Kuitenkin varten suuria arvoja tarvitset astetaulukon. Sitä voivat käyttää myös ne, jotka eivät ymmärrä yhtään mitään monimutkaisista matemaattisista aiheista. Vasemmassa sarakkeessa on numeroita (kanta a), ylimmällä numerorivillä on potenssin c arvo, johon luku a korotetaan. Leikkauskohdassa solut sisältävät numeroarvot, jotka ovat vastaus (a c =b). Otetaan esimerkiksi aivan ensimmäinen solu numerolla 10 ja neliötetään se, saamme arvon 100, joka on merkitty kahden solumme leikkauspisteeseen. Kaikki on niin yksinkertaista ja helppoa, että jopa todellisin humanisti ymmärtää!

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Osoittautuu, että tietyissä olosuhteissa eksponentti on logaritmi. Siksi mitkä tahansa matemaattiset numeeriset lausekkeet voidaan kirjoittaa logaritmisiksi yhtälöiksi. Esimerkiksi 3 4 =81 voidaan kirjoittaa logaritmina 81 kantaan 3, joka on neljä (log 3 81 = 4). varten negatiivisia voimia säännöt ovat samat: 2 -5 = 1/32 kirjoitamme sen logaritmina, saamme log 2 (1/32) = -5. Yksi kiehtovimmista matematiikan osista on "logaritmien" aihe. Käsittelemme yhtälöiden esimerkkejä ja ratkaisuja hieman alempana heti niiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen. Katsotaanpa nyt, miltä epäyhtälöt näyttävät ja miten ne voidaan erottaa yhtälöistä.

Annettu seuraavan muotoinen lauseke: log 2 (x-1) > 3 - se on logaritminen epäyhtälö, koska tuntematon arvo "x" on logaritmin etumerkin alla. Ja myös lausekkeessa verrataan kahta suuruutta: halutun luvun logaritmi kakkoskahdessa on suurempi kuin luku kolme.

Tärkein ero logaritmien yhtälöiden ja epäyhtälöiden välillä on se, että yhtälöt, joissa on logaritmi (esim. logaritmi 2 x = √9) sisältävät yhden tai useamman tietyn numeerisen arvon vastauksessa, kun taas epäyhtälöä ratkaistaessa molemmat hyväksyttävät arvot ja pisteet, jotka rikkovat tämän toiminnon. Tämän seurauksena vastaus ei ole yksinkertainen joukko yksittäisiä lukuja, kuten yhtälön vastauksessa, vaan jatkuva numerosarja tai joukko.

Peruslauseita logaritmeista

Ratkaistaessa primitiivisiä tehtäviä logaritmin arvojen löytämiseksi, sen ominaisuuksia ei ehkä tunneta. Logaritmisista yhtälöistä tai epäyhtälöistä tulee kuitenkin ennen kaikkea ymmärtää ja soveltaa käytännössä kaikki logaritmien perusominaisuudet. Katsomme esimerkkejä yhtälöistä myöhemmin; tarkastellaan ensin jokaista ominaisuutta yksityiskohtaisemmin.

1. Pääidentiteetti näyttää tältä: a logaB =B. Sitä sovelletaan vain, kun a on suurempi kuin 0, ei yhtä kuin yksi ja B on suurempi kuin nolla.
2. Tuloksen logaritmi voidaan esittää seuraavalla kaavalla: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Tässä tapauksessa pakollinen ehto on: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Voit todistaa tämän logaritmisen kaavan esimerkeineen ja ratkaisuineen. Olkoon log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, sitten a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saadaan, että s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ominaisuudet astetta ), ja sitten määritelmän mukaan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mikä oli todistettava.
3. Osamäärän logaritmi näyttää tältä: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Kaavan muodossa oleva lause saa seuraavan muodon: log a q b n = n/q log a b.

Tätä kaavaa kutsutaan "logaritmiasteen ominaisuudeksi". Se muistuttaa tavallisten asteiden ominaisuuksia, eikä se ole yllättävää, koska kaikki matematiikka perustuu luonnollisiin postulaatteihin. Katsotaanpa todistetta.

Olkoon log a b = t, niin saadaan a t =b. Jos nostetaan molemmat osat potenssiin m: a tn = b n ;

mutta koska a tn = (a q) nt/q = b n, log a q b n = (n*t)/t, sitten log a q b n = n/q log a b. Lause on todistettu.

Esimerkkejä ongelmista ja eriarvoisuudesta

Yleisimmät logaritmien ongelmatyypit ovat esimerkkejä yhtälöistä ja epäyhtälöistä. Ne löytyvät lähes kaikista ongelmakirjoista, ja ne ovat myös pakollinen osa matematiikan kokeita. Jos haluat päästä yliopistoon tai läpäistä matematiikan pääsykokeita, sinun on tiedettävä, kuinka ratkaista tällaiset tehtävät oikein.

Valitettavasti logaritmin tuntemattoman arvon ratkaisemiseksi ja määrittämiseksi ei ole olemassa yhtä suunnitelmaa tai suunnitelmaa, mutta sitä voidaan soveltaa jokaiseen matemaattiseen epäyhtälöön tai logaritmiseen yhtälöön. tietyt säännöt. Ensinnäkin sinun tulee selvittää, voidaanko ilmaisua yksinkertaistaa vai johtaako se yleinen ulkonäkö. Yksinkertaista pitkät logaritmiset lausekkeet mahdollista, jos käytät niiden ominaisuuksia oikein. Tutustutaan heihin nopeasti.

Päätettäessä logaritmiset yhtälöt, meidän tulee määrittää, minkä tyyppinen logaritmi meillä on: esimerkkilauseke voi sisältää luonnollisen logaritmin tai desimaalilogaritmin.

Tässä on esimerkkejä ln100, ln1026. Heidän ratkaisunsa tiivistyy siihen tosiasiaan, että heidän on määritettävä teho, jolla kanta 10 on vastaavasti 100 ja 1026. Luonnollisten logaritmien ratkaisemiseksi sinun on käytettävä logaritmisia identiteettejä tai niiden ominaisuuksia. Katsotaanpa esimerkkejä erityyppisten logaritmien ongelmien ratkaisemisesta.

Logaritmikaavojen käyttäminen: Esimerkkejä ja ratkaisuja

Katsotaanpa siis esimerkkejä logaritmien peruslauseiden käytöstä.

1. Tuotteen logaritmin ominaisuutta voidaan käyttää tehtävissä, joissa sitä on laajennettava hyvin tärkeä luvut b yksinkertaisempiin tekijöihin. Esimerkiksi log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastaus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kuten näette, logaritmin potenssin neljättä ominaisuutta käyttämällä onnistuimme ratkaisemaan näennäisesti monimutkaisen ja ratkaisemattoman lausekkeen. Sinun tarvitsee vain ottaa kantaa huomioon ja sitten ottaa eksponenttiarvot pois logaritmin etumerkistä.

Tehtävät yhtenäisestä valtionkokeesta

Logaritmeja löytyy usein pääsykokeista, erityisesti monia logaritmisongelmia Unified State Examissa (valtiokoe kaikille valmistuneille). Yleensä nämä tehtävät eivät ole vain osassa A (helpein testiosa tentti), mutta myös osa C (monimutkaisimmat ja laajimmat tehtävät). Tentti vaatii tarkan ja täydellisen tuntemuksen aiheesta "Luonnolliset logaritmit".

Esimerkit ja ratkaisut ongelmiin on otettu virkamieheltä Unified State Exam vaihtoehdot. Katsotaan kuinka tällaiset tehtävät ratkaistaan.

Annettu log 2 (2x-1) = 4. Ratkaisu:
kirjoitetaan lauseke uudelleen yksinkertaistaen sitä hieman log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmin määritelmällä saadaan, että 2x-1 = 2 4, siis 2x = 17; x = 8,5.

• On parasta vähentää kaikki logaritmit samaan kantaan, jotta ratkaisu ei ole hankala ja hämmentävä.
• Kaikki logaritmimerkin alla olevat lausekkeet ilmoitetaan positiivisina, joten kun logaritmimerkin alla olevan lausekkeen eksponentti ja sen kanta otetaan pois kertoimesta, logaritmin alle jäävän lausekkeen tulee olla positiivinen.

log a r b r =log a b tai kirjaudu a b= log a r b r

Logaritmin arvo ei muutu, jos logaritmin kanta ja logaritmin etumerkin alla oleva luku nostetaan samaan potenssiin.

Vain positiiviset luvut voivat olla logaritmin merkin alla, eikä logaritmin kanta ole yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkkejä.

1) Vertaa log 3 9 ja log 9 81.

log 3 9 = 2, koska 3 2 = 9;

log 9 81 = 2, koska 9 2 = 81.

Joten log 3 9 = log 9 81.

Huomaa, että toisen logaritmin kanta on yhtä suuri kuin ensimmäisen logaritmin kannan neliö: 9=3 2 ja toisen logaritmin etumerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin ensimmäisen logaritmin kannan neliö logaritmi: 81=9 2. Osoittautuu, että sekä numero että perusta ensimmäisen logaritmin loki 3 9 nostettiin toiseen potenssiin, eikä logaritmin arvo muuttunut:

Seuraavaksi juuren purkamisen jälkeen n aste joukosta A on luvun nostaminen A tasolle ( 1/n), sitten logista 9 81 saat log 3 9:n ottamalla luvun neliöjuuren ja logaritmin kantaosan:

2) Tarkista yhtäläisyys: log 4 25=log 0,5 0,2.

Harkitse ensimmäistä logaritmia. Poimitaan Neliöjuuri alustasta 4 ja joukosta 25 ; saamme: log 4 25 = log 2 5.

Harkitse toista logaritmia. Logaritmin kanta: 0,5= 1/2. Tämän logaritmin etumerkin alla oleva luku: 0,2= 1/5. Nostetaan jokainen näistä luvuista miinus ensimmäiseen potenssiin:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Joten log 0,5 0,2 = log 2 5. Johtopäätös: tämä tasa-arvo on totta.

Ratkaise yhtälö:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Tuomme logaritmit vasemmalta kantaan 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Otimme luvun neliöjuuren ja ensimmäisen logaritmin kannasta. Otimme luvun neljännen juuren ja toisen logaritmin kannan.

log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Muunna logaritmien summa tulon logaritmiksi.

3x2 =5x+2. Vastaanotettu tehostamisen jälkeen.

3x2 -5x-2=0. Päätetään toisen asteen yhtälö täydellisen toisen asteen yhtälön yleisellä kaavalla:

a = 3, b = -5, c = -2.

D=b2-4ac=(-5)2-4-3∙(-2)=25+24=49=72>0; 2 todellista juuria.

Tutkimus.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81 = log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;

log 2 (4∙3) = log 2 12;

log 2 12 = log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ kirjaudu a b

Luvun logaritmi b perustuen a n yhtä suuri kuin murto-osan tulo 1/ n luvun logaritmiin b perustuen a.

Löytö:1) 21 log 8 3 + 40 log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 , jos se tiedetään log 2 3=b,log 5 2=c.

Ratkaisu.

Ratkaise yhtälöt:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Ratkaisu.

Tuomme nämä logaritmit kantaan 2. Käytä kaavaa: log a n b=(1/ n)∙ kirjaudu a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log2x+0.5log2x+0.25log2x=5.25. Tässä on samanlaisia ​​termejä:

(1+0,5+0,25) log 2 x = 5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x = 3. Logaritmin määritelmän mukaan:

2) 0,5log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.

Ratkaisu. Ota kantaluvun 16 logaritmi kantaan 4.

0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Muunna logaritmien summa tulon logaritmiksi.

log 4 ((x-2)(x-3)) = 0,5;

log 4 (x2-2x-3x+6) = 0,5;

log 4 (x 2 - 5x+6) = 0,5. Logaritmin määritelmän mukaan:

x 2 -5x+4=0. Vietan lauseen mukaan:

x 1 = 1; x 2 = 4. X:n ensimmäinen arvo ei toimi, koska x \u003d 1:lle tämän yhtälön logaritmeja ei ole olemassa, koska vain positiiviset luvut voivat olla logaritmin etumerkin alla.

Tarkastetaan tämä yhtälö x=4:lle.

Tutkimus.

0,5log 4 (4-2) + log 16 (4-3) = 0,25

0,5log 4 2+log 16 1 = 0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Luvun logaritmi b perustuen A yhtä suuri kuin logaritmi numeroita b uudella pohjalla Kanssa jaettuna vanhan kantaluvun logaritmilla A uudella pohjalla Kanssa.

Esimerkkejä:

1) log 2 3 = lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Laskea:

1) loki 5 7, jos se tiedetään lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / Hirsi c a.

log 5 7 = log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Vastaus: loki 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) loki 5 7 , jos se tiedetään ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Ratkaisu. Käytä kaavaa: log a b =loki c b / Hirsi c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Vastaus: loki 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Etsi x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Käytämme kaavaa: loki c b / Hirsi c a = kirjaudu a b . Saamme:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x = log 3 (4∙6∙8);

log 3 x = log 3 192;

x = 192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Käytämme kaavaa: loki c b / Hirsi c a = log a b . Saamme:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11-13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Sivu 1/1 1

Mikä on logaritmi?

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mikä on logaritmi? Kuinka ratkaista logaritmit? Nämä kysymykset hämmentävät monia valmistuneita. Perinteisesti logaritmien aihetta pidetään monimutkaisena, käsittämättömänä ja pelottavana. Erityisesti yhtälöt logaritmeilla.

Tämä ei todellakaan ole totta. Ehdottomasti! Etkö usko? Hieno. Nyt vain 10–20 minuutissa:

1. Ymmärrät mikä on logaritmi.

2. Opi ratkaisemaan koko luokka eksponentiaaliyhtälöt. Vaikka et ole kuullut niistä mitään.

3. Opi laskemaan yksinkertaisia ​​logaritmeja.

Lisäksi tätä varten sinun tarvitsee vain tietää kertotaulukko ja kuinka nostaa luku potenssiin...

Minusta tuntuu, että sinulla on epäilyksiä... No, okei, merkitse aika! Mennä!

Ratkaise ensin tämä yhtälö päässäsi:

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Positiivisen luvun b logaritmi kantaan a (a>0, a ei ole yhtä suuri kuin 1) on luku c siten, että a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Huomaa, että ei-positiivisen luvun logaritmi on määrittelemätön. Lisäksi logaritmin kannan on oltava positiivinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 1. Jos esimerkiksi neliöimme -2, saamme luvun 4, mutta tämä ei tarkoita, että logaritmi 4:n kantaan -2 on yhtä suuri kuin 2.

Peruslogaritminen identiteetti

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

On tärkeää, että tämän kaavan oikean ja vasemman puolen määritelmä on erilainen. Vasen puoli määritelty vain kohteille b>0, a>0 ja a ≠ 1. Oikea osa on määritelty mille tahansa b:lle, mutta se ei riipu lainkaan a:sta. Siten peruslogaritmisen "identiteetin" soveltaminen yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa voi johtaa OD:n muutokseen.

Kaksi ilmeistä logaritmin määritelmän seurausta

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Todellakin, kun nostetaan lukua a ensimmäiseen potenssiin, saamme saman luvun, ja kun nostetaan se nollapotenssiin, saamme yhden.

Tulon logaritmi ja osamäärän logaritmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Haluaisin varoittaa koululaisia ​​käyttämästä ajattelemattomasti näitä kaavoja ratkaessaan logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Kun niitä käytetään "vasemmalta oikealle", ODZ kapenee, ja kun siirrytään logaritmien summasta tai erotuksesta tulon tai osamäärän logaritmiin, ODZ laajenee.

Itse asiassa lauseke log a (f (x) g (x)) määritellään kahdessa tapauksessa: kun molemmat funktiot ovat ehdottomasti positiivisia tai kun f(x) ja g(x) ovat molemmat pienempiä kuin nolla.

Muuntamalla tämä lauseke summaksi log a f (x) + log a g (x), joudumme rajoittumaan vain tapaukseen, jossa f(x)>0 ja g(x)>0. Hyväksyttyjen arvojen vaihteluväli kaventuu, ja tämä on kategorisesti mahdotonta hyväksyä, koska se voi johtaa ratkaisujen menettämiseen. Samanlainen ongelma on kaavalla (6).

Aste voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ja taas haluaisin vaatia tarkkuutta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Yhtälön vasen puoli on luonnollisesti määritelty kaikille f(x):n arvoille nollaa lukuun ottamatta. Oikea puoli on vain f(x)>0! Ottamalla aste pois logaritmista kavennetaan jälleen ODZ:tä. Käänteinen menettely johtaa hyväksyttävien arvojen alueen laajentamiseen. Kaikki nämä huomautukset eivät koske vain tehoa 2, vaan myös mitä tahansa parillista tehoa.

Kaava siirtyäksesi uudelle perustalle

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Että harvinainen tapaus, kun ODZ ei muutu muunnoksen aikana. Jos olet valinnut kannan c viisaasti (positiivinen eikä yhtä suuri kuin 1), kaava uuteen kantaan siirtymiseen on täysin turvallinen.

Jos valitsemme luvun b uudeksi kantaksi c, saamme tärkeän erikoistapaus kaavat (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Muutamia yksinkertaisia ​​esimerkkejä logaritmeilla

Esimerkki 1. Laske: log2 + log50.
Ratkaisu. log2 + log50 = log100 = 2. Käytimme logaritmien summakaavan (5) ja desimaalilogaritmin määritelmää.

Esimerkki 2. Laske: lg125/lg5.
Ratkaisu. log125/log5 = log 5 125 = 3. Käytimme kaavaa uuteen kantaan siirtymiseen (8).

Taulukko logaritmiin liittyvistä kaavoista

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)