Tällä oppitunnilla tarkastelemme erilaisia ​​eksponentiaalisia epäyhtälöitä ja opimme ratkaisemaan ne yksinkertaisimman ratkaisutavan perusteella. eksponentiaaliset epätasa-arvot

1. Eksponentiaalisen funktion määritelmä ja ominaisuudet

Muista eksponentiaalisen funktion määritelmä ja pääominaisuudet. Kaikkien eksponentiaaliyhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu perustuu ominaisuuksiin.

Eksponentti funktio on muodon funktio, jossa kanta on aste ja Tässä x on riippumaton muuttuja, argumentti; y - riippuva muuttuja, funktio.

Riisi. 1. Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta

Kaavio näyttää kasvavan ja pienenevän eksponentin havainnollistaen eksponentiaalista funktiota, jonka kanta on suurempi kuin yksi ja pienempi kuin yksi, mutta suurempi kuin nolla.

Molemmat käyrät kulkevat pisteen (0;1) läpi

Eksponentiaalifunktion ominaisuudet:

Verkkotunnus: ;

Arvoalue: ;

Toiminto on monotoninen, kasvaa kuten , pienenee kuin .

Monotoninen funktio ottaa jokaisen arvonsa yhdellä argumentin arvolla.

Kun argumentin kasvaessa miinuksesta plus äärettömyyteen, funktio kasvaa nollasta, ei inklusiivista, plus äärettömyyteen, eli argumentin annetuille arvoille, meillä on monotonisesti kasvava funktio (). Kun päinvastoin, kun argumentti kasvaa miinuksesta plus äärettömyyteen, funktio pienenee äärettömyydestä nollaan, mukaan lukien, eli annetuille argumentin arvoille, meillä on monotonisesti laskeva funktio ().

2. Yksinkertaisimmat eksponentiaaliset epäyhtälöt, ratkaisutekniikka, esimerkki

Edellä olevan perusteella esitämme menetelmän yksinkertaisimpien eksponentiaalisten epäyhtälöiden ratkaisemiseksi:

Menetelmä epätasa-arvojen ratkaisemiseksi:

Tasaa asteiden kantat;

Vertaa indikaattoreita pitäen tai muuttaen eriarvoisuuden vastakkaiseen merkkiin.

Monimutkaisten eksponentiaalisten epäyhtälöiden ratkaisu koostuu pääsääntöisesti niiden pelkistämisestä yksinkertaisimpiin eksponentiaalisiin epäyhtälöihin.

Asteen kanta on suurempi kuin yksi, mikä tarkoittaa, että epäyhtälömerkki säilyy:

Muutetaan oikea puoli tutkinnon ominaisuuksien mukaan:

Tutkinnon kanta on pienempi kuin yksi, epäyhtälömerkki on käännettävä:

Neliöllisen epäyhtälön ratkaisemiseksi ratkaisemme vastaavan toisen asteen yhtälön:

Vietan lauseella löydämme juuret:

Paraabelin haarat ovat ylöspäin.

Meillä on siis ratkaisu epätasa-arvoon:

On helppo arvata, että oikea puoli voidaan esittää potenssina, jonka eksponentti on nolla:

Tutkinnon kanta on suurempi kuin yksi, eriarvoisuusmerkki ei muutu, saamme:

Muista menettely tällaisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi.

Harkitse murto-osallista rationaalista funktiota:

Määritelmäalueen löytäminen:

Löydämme funktion juuret:

Funktiolla on yksi juuri,

Erottelemme etumerkkien pysyvyyden intervallit ja määritämme kunkin intervallin funktion merkit:

Riisi. 2. Merkin pysyvyyden intervallit

Joten saimme vastauksen.

Vastaus:

3. Tyypillisten eksponentiaalisten epäyhtälöiden ratkaisu

Tarkastellaan epäyhtälöitä, joilla on samat eksponentit, mutta eri kanta.

Yksi eksponentiaalisen funktion ominaisuuksista on, että se ottaa tiukasti positiivisia arvoja kaikille argumentin arvoille, mikä tarkoittaa, että se voidaan jakaa eksponentiaaliseksi funktioksi. Jaetaan annettu epäyhtälö sen oikealla puolella:

Tutkinnon kanta on suurempi kuin yksi, epäyhtälömerkki säilyy.

Havainnollistetaan ratkaisua:

Kuva 6.3 esittää funktioiden ja kaavioita. Ilmeisesti kun argumentti on suurempi kuin nolla, funktion kuvaaja sijaitsee korkeammalla, tämä funktio on suurempi. Kun argumentin arvot ovat negatiivisia, funktio kulkee alle, se on pienempi. Kun funktion argumentin arvo on yhtä suuri, niin annettu piste on myös ratkaisu annettuun epätasa-arvoon.

Riisi. 3. Esimerkki 4

Muunnetaan annettu epäyhtälö asteen ominaisuuksien mukaan:

Tässä samanlaisia ​​jäseniä:

Jaetaan molemmat osat:

Nyt jatkamme ratkaisemista samalla tavalla kuin esimerkissä 4, jaamme molemmat osat seuraavasti:

Tutkinnon kanta on suurempi kuin yksi, epäyhtälömerkki säilyy:

4. Eksponentiaalisten epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Esimerkki 6 - ratkaise epäyhtälö graafisesti:

Harkitse vasemmalla ja oikealla puolella olevia funktioita ja piirrä jokainen niistä.

Funktio on eksponentti, se kasvaa koko määrittelyalueensa yli, eli kaikille argumentin todellisille arvoille.

Funktio on lineaarinen ja pienenee koko määrittelyalueensa yli, eli kaikille argumentin todellisille arvoille.

Jos nämä funktiot leikkaavat toisiaan, eli järjestelmällä on ratkaisu, niin tällainen ratkaisu on ainutlaatuinen ja helposti arvattavissa. Tee tämä iteroimalla kokonaislukuja ()

On helppo nähdä, että tämän järjestelmän juuri on:

Siten funktiokaaviot leikkaavat pisteessä argumentin, joka on yhtä suuri kuin yksi.

Nyt meidän on saatava vastaus. Annetun epäyhtälön merkitys on, että eksponentin on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin lineaarinen funktio, eli olla korkeampi kuin se tai yhtyä sen kanssa. Vastaus on ilmeinen: (Kuva 6.4)

Riisi. 4. Esimerkki 6

Olemme siis harkinneet erilaisten tyypillisten eksponentiaalisten epäyhtälöiden ratkaisua. Seuraavaksi siirrymme monimutkaisempien eksponentiaalisten epäyhtälöiden tarkasteluun.

Bibliografia

Mordkovich A. G. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et ai. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. - M.: Valaistuminen.

Matematiikka. md . Matematiikka - toisto. com. Diffur. kemsu. ru.

Kotitehtävät

1. Algebra ja analyysin alku, arvosanat 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nro 472, 473;

2. Ratkaise epäyhtälö:

3. Ratkaise epäyhtälö.

Teoria:

Eriarvoisuuksia ratkaistaessa käytetään seuraavia sääntöjä:

1. Mikä tahansa epäyhtälön termi voidaan siirtää yhdestä osasta
epätasa-arvo toiseen päinvastaisella merkillä, kun taas eriarvoisuusmerkki ei muutu.

2. Epäyhtälön molemmat osat voidaan kertoa tai jakaa yhdellä
ja sama positiivinen luku muuttamatta epäyhtälömerkkiä.

3. Epäyhtälön molemmat osat voidaan kertoa tai jakaa yhdellä
ja myös negatiivinen luku, kun vaihdat epätasa-arvon merkin muotoon
vastapäätä.

Ratkaise epätasa-arvo − 8 x + 11< − 3 x − 4
Ratkaisu.

1. Siirrä jäsentä – 3 x V vasen puoli eriarvoisuudet ja termi 11 - epäyhtälön oikealle puolelle, samalla kun vaihdat merkit vastakkaiseksi y:ksi – 3 x ja klo 11 .
Sitten saamme

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

– 5 x< − 15

2. Jaa epäyhtälön molemmat osat – 5 x< − 15 negatiiviseen numeroon − 5 , kun taas eriarvoisuusmerkki < , vaihtuu muotoon > , eli siirrymme päinvastaiseen eriarvoisuuteen.
Saamme:

– 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > −15 : (−5)

x > 3

x > 3 on annetun epäyhtälön ratkaisu.

Kiinnittää huomiota!

Ratkaisun kirjoittamiseen on kaksi vaihtoehtoa: x > 3 tai numeerisena alueena.

Merkitsemme reaaliviivalle epäyhtälön ratkaisujoukon ja kirjoitamme vastauksen numeerisena välinä.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Vastaus: x > 3 tai x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebralliset epäyhtälöt.

Neliön epätasa-arvot. Korkeamman asteen rationaaliset epätasa-arvot.

Epäyhtälöiden ratkaisumenetelmät riippuvat pääasiassa siitä, mihin luokkaan epäyhtälön muodostavat funktiot kuuluvat.

1. minä. Neliön epätasa-arvot, eli muodon epätasa-arvoja

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Voit ratkaista epätasa-arvon seuraavasti:

1. Kerroin neliötrinomi, eli kirjoita epäyhtälö muodossa

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Laita polynomin juuret lukuviivalle. Juuret jakavat reaalilukujoukon intervalleiksi, joista jokaisessa vastaavat neliöfunktio tulee olemaan jatkuva merkki.
2. Määritä kunkin aukon (x - x 1) (x - x 2) etumerkki ja kirjoita vastaus muistiin.

Jos neliötrinomilla ei ole juuria, niin D:lle<0 и a>0 on neliötrinomi, jos x on positiivinen.

• Ratkaise epätasa-arvo. x 2 + x - 6 > 0.

Neliön trinomin kertoimella (x + 3) (x - 2) > 0

Vastaus: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Tämä epäyhtälö pätee mille tahansa x:lle paitsi x = 6.

Vastaus: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Täällä D< 0, a = 1 >0. Neliötrinomi on positiivinen kaikille x:ille.

Vastaus: x О Ø.

Ratkaise epäyhtälöt:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Vastaus:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Vastaus:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Vastaus:
5. Millä a:n arvoilla epätasa-arvo vaikuttaa

x² - ax > pätee mihin tahansa x:ään? Vastaus:

1. II. Korkeamman asteen rationaaliset epätasa-arvot, eli muodon epätasa-arvoja

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polynomi korkein aste tulee ottaa huomioon, eli epäyhtälö tulee kirjoittaa muotoon

a n (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 (<0).

Merkitse numeroviivalle kohdat, joista polynomi katoaa.

Määritä kunkin intervallin polynomin etumerkit.

1) Ratkaise epäyhtälö x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) = x (x - 1) (x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Joten x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Vastaus: (0; 1) (2; 3).

2) Ratkaise epäyhtälö (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Merkitse todelliselle akselille kohdat, joista polynomi katoaa. Tämä on x \u003d 1, x \u003d -2, x \u003d ½, x \u003d - ½.

Pisteessä x \u003d - ½ etumerkkimuutosta ei tapahdu, koska binomi (2x + 1) nostetaan parilliseen potenssiin, eli lauseke (2x + 1) 4 ei muuta etumerkkiä kulkiessaan pisteen läpi x \u003d - ½.

Vastaus: (-∞; -2) (½; 1).

3) Ratkaise epäyhtälö: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Tämä epäyhtälö vastaa seuraavaa joukkoa

(1):n ratkaisu on x (-∞; -2) (3; +∞). Ratkaisu (2) on x = 0, x = -2, x = 3. Yhdistämällä saadut ratkaisut saadaan x н (-∞; -2] (0) (0) )