The metodologinen materiaali on vain viitteellinen ja koskee monenlaisia ​​aiheita. Artikkeli tarjoaa yleiskatsauksen perusfunktioiden kaavioista ja käsittelee niitä tärkein kysymys – kuinka rakentaa kaavio oikein ja NOPEASTI. Tutkimuksen aikana korkeampaa matematiikkaa ilman tietoa tärkeimmistä aikatauluista perustoiminnot Se tulee olemaan vaikeaa, joten on erittäin tärkeää muistaa, miltä paraabelin, hyperbelin, sinin, kosinin jne. kaaviot näyttävät, ja muistaa joitakin funktion arvoja. Puhumme myös joistakin päätoimintojen ominaisuuksista.

En väitä aineistojen täydellisyyttä ja tieteellistä perusteellisuutta, vaan painotetaan ennen kaikkea käytäntöä - niitä asioita, joilla kohtaa kirjaimellisesti joka vaiheessa, missä tahansa korkeamman matematiikan aiheessa. Kaavioita nukkeille? Niin voisi sanoa.

Lukijoiden lukuisten pyyntöjen vuoksi napsautettava sisällysluettelo:

Lisäksi aiheesta on erittäin lyhyt yhteenveto
– hallitse 16 tyyppistä kaaviota tutkimalla KUUSI sivua!

Vakavasti, kuusi, jopa minä yllätyin. Tämä yhteenveto sisältää parannettua grafiikkaa ja on saatavilla nimellistä maksua vastaan; demoversio on katsottavissa. Tiedosto on kätevä tulostaa niin, että kaaviot ovat aina käsillä. Kiitos projektin tukemisesta!

Ja aloitetaan heti:

Kuinka rakentaa koordinaattiakselit oikein?

Käytännössä opiskelijat suorittavat kokeet lähes aina erillisissä vihkoissa neliön muotoisina. Miksi tarvitset ruudullisia merkintöjä? Loppujen lopuksi työ voidaan periaatteessa tehdä A4-arkeille. Ja häkki on välttämätön vain piirustusten korkealaatuista ja tarkkaa suunnittelua varten.

Mikä tahansa funktiokaavion piirustus alkaa koordinaattiakseleilla.

Piirustukset voivat olla kaksi- tai kolmiulotteisia.

Tarkastellaan ensin kaksiulotteista tapausta Suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä:

1) Piirrä koordinaattiakselit. Akseli on ns x-akseli , ja akseli on y-akseli . Pyrimme aina piirtämään niitä siisti ja ei kiero. Nuolet eivät myöskään saa muistuttaa Papa Carlon partaa.

2) Allekirjoitamme akselit suurilla kirjaimilla “X” ja “Y”. Älä unohda merkitä kirveitä.

3) Aseta asteikko akseleita pitkin: piirrä nolla ja kaksi ykköstä. Piirustusta tehtäessä kätevin ja useimmin käytetty mittakaava on: 1 yksikkö = 2 solua (piirros vasemmalla) - jos mahdollista, pysy siinä. Ajoittain kuitenkin tapahtuu, että piirustus ei mahdu muistikirjan arkille - sitten pienennämme mittakaavaa: 1 yksikkö = 1 solu (piirustus oikealla). Se on harvinaista, mutta tapahtuu, että piirustuksen mittakaavaa on pienennettävä (tai lisättävä) vielä enemmän

EI TARVITA "konepistoolia" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Sillä koordinaattitaso ei ole Descartesin muistomerkki, eikä opiskelija ole kyyhkynen. Laitamme nolla Ja kaksi yksikköä akseleita pitkin. Joskus sijasta yksiköitä, on kätevää "merkitä" muita arvoja, esimerkiksi "kaksi" abskissa-akselille ja "kolme" ordinaatta-akselille - ja tämä järjestelmä (0, 2 ja 3) määrittelee myös yksilöllisesti koordinaattiruudukon.

Piirustuksen arvioidut mitat on parempi arvioida ENNEN piirustuksen rakentamista. Joten jos tehtävä edellyttää esimerkiksi kolmion piirtämistä, jonka kärjet ovat , , , niin on täysin selvää, että suosittu asteikko 1 yksikkö = 2 solua ei toimi. Miksi? Katsotaanpa asiaa - tässä sinun on mitattava viisitoista senttimetriä alaspäin, ja ilmeisesti piirustus ei mahdu (tai tuskin mahdu) muistikirjan arkille. Siksi valitsemme heti pienemmän mittakaavan: 1 yksikkö = 1 solu.

Muuten, noin senttimetrejä ja muistikirjan soluja. Onko totta, että 30 muistikirjan solua sisältää 15 senttimetriä? Mittaa huviksesi 15 senttimetriä vihkoon viivaimella. Neuvostoliitossa tämä saattoi olla totta... On mielenkiintoista huomata, että jos mittaat nämä samat senttimetrit vaaka- ja pystysuunnassa, tulokset (soluissa) ovat erilaisia! Tarkkaan ottaen nykyaikaiset muistikirjat eivät ole ruudullisia, vaan suorakaiteen muotoisia. Tämä voi tuntua hölmöltä, mutta esimerkiksi ympyrän piirtäminen kompassilla tällaisissa tilanteissa on erittäin hankalaa. Ollakseni rehellinen, sellaisina hetkinä alkaa miettiä toveri Stalinin oikeellisuutta, joka lähetettiin leireille hakkeroimaan tuotannossa, puhumattakaan kotimaisesta autoteollisuudesta, putoavista lentokoneista tai räjähtävistä voimalaitoksista.

Laadusta puheen ollen tai lyhyt suositus paperitavaroista. Nykyään useimmat muistikirjat ovat myynnissä, pahoja sanoja täyttä roskaa puhumattakaan. Siitä syystä, että ne kastuvat, eikä vain geelikynistä, vaan myös kuulakärkikynistä! He säästävät rahaa paperilla. Rekisteröintiä varten testit Suosittelen käyttämään Arkangelin sellu- ja paperitehtaan muistikirjoja (18 arkkia, ruudukko) tai "Pyaterochka", vaikka se on kalliimpaa. On suositeltavaa valita geelikynä, halvinkin kiinalainen geelitäyttö on paljon parempi kuin kuulakärkikynä, joka joko tahraa tai repii paperin. Ainoa "kilpailukykyinen" kuulakärkikynä, jonka muistan, on Erich Krause. Hän kirjoittaa selkeästi, kauniisti ja johdonmukaisesti – joko täydellä ytimellä tai lähes tyhjällä.

Lisäksi: Artikkelissa käsitellään suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän näkemystä analyyttisen geometrian silmin Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektorien perusta, yksityiskohtainen tieto Tietoja koordinaattineljänneksistä löytyy oppitunnin toisesta kappaleesta Lineaariset epäyhtälöt.

3D kotelo

Se on melkein sama täällä.

1) Piirrä koordinaattiakselit. Vakio: akseli soveltuu – suunnattu ylöspäin, akseli – suunnattu oikealle, akseli – suunnattu alaspäin vasemmalle tiukasti 45 asteen kulmassa.

2) Merkitse akselit.

3) Aseta asteikko akseleita pitkin. Akselin asteikko on kaksi kertaa pienempi kuin muiden akselien mittakaava. Huomaa myös, että oikeanpuoleisessa piirustuksessa käytin epästandardia "lovea" akselilla (tämä mahdollisuus on jo mainittu edellä). Minun näkökulmastani tämä on tarkempi, nopeampi ja esteettisempi - ei tarvitse etsiä mikroskoopilla solun keskikohtaa ja "veistää" yksikköä lähellä koordinaattien alkupistettä.

Kun teet 3D-piirustusta, aseta mittakaava etusijalle
1 yksikkö = 2 solua (piirros vasemmalla).

Mitä varten nämä kaikki säännöt ovat? Säännöt on tehty rikottaviksi. Sen minä nyt teen. Tosiasia on, että teen artikkelin myöhemmät piirustukset Excelissä ja koordinaattiakselit näyttävät virheellisiltä. oikea muotoilu. Voisin piirtää kaikki kaaviot käsin, mutta on itse asiassa pelottavaa piirtää niitä, koska Excel on haluton piirtämään niitä paljon tarkemmin.

Kuvaajat ja alkeisfunktioiden perusominaisuudet

Lineaarinen funktio annetaan yhtälöllä. Lineaaristen funktioiden kuvaaja on suoraan. Suoran rakentamiseksi riittää, että tietää kaksi pistettä.

Esimerkki 1

Muodosta funktiosta kuvaaja. Etsitään kaksi pistettä. On edullista valita nolla yhdeksi pisteeksi.

Jos sitten

Otetaan toinen kohta, esimerkiksi 1.

Jos sitten

Tehtäviä suoritettaessa pisteiden koordinaatit kootaan yleensä taulukkoon:

Ja itse arvot lasketaan suullisesti tai luonnoksella, laskimella.

Kaksi kohtaa on löydetty, tehdään piirustus:

Piirustusta laadittaessa allekirjoitamme aina grafiikan.

Olisi hyödyllistä muistaa lineaarisen funktion erikoistapaukset:

Huomaa, kuinka laitoin allekirjoitukset, allekirjoitukset eivät saa sallia eroja piirustusta tutkittaessa. Tässä tapauksessa oli erittäin epätoivottavaa laittaa allekirjoitusta viivojen leikkauspisteen viereen tai oikeaan alareunaan kaavioiden väliin.

1) Muodon () lineaarifunktiota kutsutaan suoraksi suhteelliseksi. Esimerkiksi, . Suoran verrannollisuuden graafi kulkee aina origon kautta. Siten suoran rakentaminen yksinkertaistuu - riittää, että löytää vain yksi piste.

2) Muotoinen yhtälö määrittelee akselin suuntaisen suoran, erityisesti itse akseli on annettu yhtälöstä. Funktion kuvaaja piirretään välittömästi, ilman pisteitä. Toisin sanoen merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: "y on aina yhtä suuri kuin –4, millä tahansa x:n arvolla."

3) Muotoinen yhtälö määrittelee akselin suuntaisen suoran, erityisesti itse akseli on annettu yhtälöllä. Myös funktion kaavio piirretään välittömästi. Merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: "x on aina, millä tahansa y:n arvolla, yhtä suuri kuin 1."

Jotkut kysyvät, miksi muistaa 6. luokka?! Näin se on, ehkä se on niin, mutta vuosien harjoittelun aikana olen tavannut kymmenkunta opiskelijaa, jotka olivat hämmentyneitä tehtävästä rakentaa graafi, kuten tai.

Suoran viivan rakentaminen on yleisin toimenpide piirustuksia tehtäessä.

Suoraa käsitellään yksityiskohtaisesti analyyttisen geometrian aikana ja kiinnostuneet voivat tutustua artikkeliin Tason suoran yhtälö.

Neliöllisen kuutiofunktion kuvaaja, polynomin kuvaaja

Paraabeli. Neliöfunktion kuvaaja () edustaa paraabelia. Mieti kuuluisaa tapausta:

Muistetaan joitain funktion ominaisuuksia.

Joten, ratkaisu yhtälöimme: – tässä pisteessä sijaitsee paraabelin kärki. Miksi näin on, löytyy derivaatta käsittelevästä teoreettisesta artikkelista ja oppitunnista funktion ääripäistä. Sillä välin lasketaan vastaava "Y"-arvo:

Siten kärkipiste on pisteessä

Nyt löydämme muita pisteitä, samalla kun käytämme röyhkeästi paraabelin symmetriaa. On huomattava, että toiminto – ei ole tasainen, mutta kukaan ei kuitenkaan kumonnut paraabelin symmetriaa.

Missä järjestyksessä jäljellä olevat pisteet löydetään, luulen, että se selviää finaalipöydästä:

Tämä algoritmi rakenteita voidaan kuvainnollisesti kutsua "sukkulaksi" tai "edestakaisin" -periaatteeksi Anfisa Chekhovan kanssa.

Tehdään piirustus:

Tarkastetuista kaavioista tulee mieleen toinen hyödyllinen ominaisuus:

Neliöfunktiolle () seuraava pitää paikkansa:

Jos , Sitten paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin.

Jos , niin paraabelin haarat on suunnattu alaspäin.

Syvällistä tietoa käyrästä saat oppitunnilla Hyperbola ja parabola.

Funktiolla saadaan kuutioparaabeli. Tässä koulusta tuttu piirros:

Listataan funktion pääominaisuudet

Funktion kaavio

Se edustaa yhtä paraabelin haaroista. Tehdään piirustus:

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Tässä tapauksessa akseli on vertikaalinen asymptootti hyperbolin kuvaajalle kohdassa .

Olisi JURMA virhe, jos piirustusta tehdessäsi antaisit kaavion leikkaamaan huolimattomasti asymptootin.

Myös yksipuoliset rajat kertovat meille, että hyperbola ei ole rajoitettu ylhäältä Ja ei rajoitettu alhaalta.

Tarkastellaan funktiota äärettömyydessä: eli jos alamme liikkua akselia pitkin vasemmalle (tai oikealle) äärettömään, niin "pelit" ovat järjestyksessä äärettömän lähellä lähestyy nollaa, ja vastaavasti hyperbelin haarat äärettömän lähellä lähestyä akselia.

Eli akseli on horisontaalinen asymptootti funktion kuvaajalle, jos "x" pyrkii plus- tai miinusäärettömyyteen.

Toiminto on outo, ja siksi hyperboli on symmetrinen origon suhteen. Tämä tosiasia on ilmeinen piirroksesta, lisäksi se on helppo tarkistaa analyyttisesti: .

Muodon () funktion kuvaaja edustaa hyperbelin kahta haaraa.

Jos , Hyperbola sijaitsee ensimmäisessä ja kolmannessa koordinaattineljänneksessä(katso kuva yllä).

Jos , Hyperbola sijaitsee toisessa ja neljännessä koordinaattineljänneksessä.

Esitetty hyperbola-asuntomalli on helppo analysoida graafien geometristen muunnosten näkökulmasta.

Esimerkki 3

Muodosta hyperbelin oikea haara

Käytämme pistekohtaista rakennusmenetelmää, ja arvot on edullista valita niin, että ne ovat jaettavissa kokonaisuudella:

Tehdään piirustus:

Sen rakentaminen ei ole vaikeaa ja vasen haara hyperbolat, funktion omituisuus auttaa tässä. Karkeasti sanottuna pistemäisen rakentamisen taulukossa lisäämme henkisesti miinuksen jokaiseen numeroon, laitamme vastaavat pisteet ja piirrämme toisen haaran.

Tarkat geometriset tiedot tarkasteltavasta viivasta löytyvät artikkelista Hyperbola ja parabola.

Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta

Tässä osiossa tarkastelen välittömästi eksponentiaalista funktiota, koska korkeamman matematiikan ongelmissa 95% tapauksista esiintyy eksponentiaalista.

Muistutan teitä siitä, että tämä on irrationaalinen luku: , tätä vaaditaan luotaessa graafia, jonka itse asiassa rakennan ilman seremonioita. Kolme pistettä, ehkä se riittää:

Jätetään funktion kaavio toistaiseksi rauhaan, siitä lisää myöhemmin.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Funktiokaaviot jne. näyttävät pohjimmiltaan samalta.

Minun on sanottava, että toinen tapaus esiintyy harvemmin käytännössä, mutta se tapahtuu, joten katsoin tarpeelliseksi sisällyttää sen tähän artikkeliin.

Logaritmisen funktion kuvaaja

Harkitse funktiota kanssa luonnollinen logaritmi.
Tehdään piirustus kohta kohdalta:

Jos olet unohtanut, mikä logaritmi on, katso koulusi oppikirjoja.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Verkkotunnus:

Arvoalue: .

Toimintoa ei ole rajoitettu ylhäältä: , vaikkakin hitaasti, mutta logaritmin haara nousee äärettömyyteen.
Tarkastellaan oikealla lähellä nollaa olevan funktion käyttäytymistä: . Eli akseli on vertikaalinen asymptootti funktion kuvaaja "x" pyrkii nollaan oikealta.

On välttämätöntä tietää ja muistaa logaritmin tyypillinen arvo: .

Periaatteessa logaritmin kuvaaja kantaan näyttää samalta: , , (desimaalilogaritmi kantaan 10) jne. Lisäksi mitä suurempi kanta, sitä litteämpi kaavio on.

Emme käsittele tapausta, en muista milloin viime kerta Rakensin graafin tälle pohjalle. Ja logaritmi näyttää olevan erittäin harvinainen vieras korkeamman matematiikan ongelmissa.

Tämän kappaleen lopussa kerron vielä yhden tosiasian: Eksponentti funktio ja logaritminen funktio- nämä kaksi ovat yhteisiä käänteisiä funktioita . Jos katsot tarkasti logaritmin kuvaajaa, voit nähdä, että tämä on sama eksponentti, se sijaitsee vain hieman eri tavalla.

Trigonometristen funktioiden kuvaajat

Mistä trigonometrinen piina alkaa koulussa? Oikein. Sinistä

Piirretään funktio

Tätä linjaa kutsutaan sinusoidi.

Muistutan, että "pi" on irrationaalinen luku: , ja trigonometriassa se saa silmäsi häikäisemään.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Tämä toiminto on määräajoin jaksolla. Mitä se tarkoittaa? Katsotaanpa segmenttiä. Sen vasemmalla ja oikealla puolella täsmälleen sama kaavion pala toistetaan loputtomasti.

Verkkotunnus: , eli mille tahansa "x":n arvolle on siniarvo.

Arvoalue: . Toiminto on rajoitettu: , eli kaikki "pelit" ovat tiukasti segmentissä .
Tätä ei tapahdu: tai tarkemmin sanottuna tapahtuu, mutta näillä yhtälöillä ei ole ratkaisua.

Kuinka rakentaa paraabeli? On olemassa useita tapoja piirtää neliöfunktion kuvaaja. Jokaisella niistä on hyvät ja huonot puolensa. Harkitse kahta tapaa.

Aloitetaan piirtämällä neliöfunktio muotoa y=x²+bx+c ja y= -x²+bx+c.

Esimerkki.

Piirrä funktio y=x²+2x-3.

Ratkaisu:

y=x²+2x-3 on neliöfunktio. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin. Paraabelin kärjen koordinaatit

Huipulta (-1;-4) rakennetaan kaavio paraabelista y=x² (koordinaattien origosta. (0;0) sijasta - kärki (-1;-4). Alkaen (-1; -4) siirrymme 1 yksikön oikealle ja 1 yksikön ylöspäin, sitten 1 yksikön vasemmalle ja 1 ylöspäin; edelleen: 2 - oikealle, 4 - ylös, 2 - vasemmalle, 4 - ylös; 3 - oikealle, 9 - ylös, 3 - vasemmalle, 9 - ylös. Jos nämä 7 pistettä eivät riitä, niin 4 oikealle, 16 ylös jne.).

Neliöfunktion y= -x²+bx+c kuvaaja on paraabeli, jonka haarat on suunnattu alaspäin. Graafin muodostamiseksi etsitään kärjen koordinaatit ja muodostetaan siitä paraabeli y= -x².

Esimerkki.

Piirrä funktio y= -x²+2x+8.

Ratkaisu:

y= -x²+2x+8 on neliöfunktio. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin. Paraabelin kärjen koordinaatit

Ylhäältä rakennamme paraabelin y= -x² (1 - oikealle, 1 - alas; 1 - vasemmalle, 1 - alas; 2 - oikealle, 4 - alas; 2 - vasemmalle, 4 - alas jne.):

Tällä menetelmällä voit rakentaa paraabelin nopeasti eikä aiheuta vaikeuksia, jos osaa piirtää funktiot y=x² ja y= -x². Haitta: jos kärkikoordinaatit ovat murtolukuja, kaavion rakentaminen ei ole kovin kätevää. Jos sinun tarvitsee tietää tarkat arvot kuvaajan leikkauspisteet Ox-akselin kanssa, joudut lisäksi ratkaisemaan yhtälön x²+bx+c=0 (tai -x²+bx+c=0), vaikka nämä pisteet voidaan määrittää suoraan piirroksesta.

Toinen tapa rakentaa paraabeli on pisteillä, eli voit etsiä kaaviosta useita pisteitä ja piirtää niiden läpi paraabelin (ottaen huomioon, että suora x=xₒ on sen symmetria-akseli). Yleensä tätä varten he ottavat paraabelin kärjen, graafin leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa ja 1-2 lisäpistettä.

Piirrä kuvaaja funktiosta y=x²+5x+4.

Ratkaisu:

y=x²+5x+4 on neliöfunktio. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin. Paraabelin kärjen koordinaatit

eli paraabelin kärki on piste (-2.5; -2.25).

Etsivät . Ox-akselin leikkauspisteessä y=0: x²+5x+4=0. Juuret toisen asteen yhtälö x1=-1, x2=-4, eli saimme kaaviosta kaksi pistettä (-1; 0) ja (-4; 0).

Kuvaajan ja Oy-akselin leikkauspisteessä x=0: y=0²+5∙0+4=4. Saimme pisteen (0; 4).

Kaavion selventämiseksi voit löytää lisäkohdan. Otetaan x=1, sitten y=1²+5∙1+4=10, eli toinen piste kaaviossa on (1; 10). Merkitsemme nämä pisteet koordinaattitasolle. Kun otetaan huomioon paraabelin symmetria sen kärjen kautta kulkevaan suoraan nähden, merkitsemme vielä kaksi pistettä: (-5; 6) ja (-6; 10) ja piirrämme paraabelin niiden läpi:

Piirrä funktio y= -x²-3x.

Ratkaisu:

y= -x²-3x on neliöfunktio. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin. Paraabelin kärjen koordinaatit

Piste (-1,5; 2,25) on paraabelin ensimmäinen piste.

Kuvaajan leikkauspisteissä x-akselin kanssa y=0, eli ratkaisemme yhtälön -x²-3x=0. Sen juuret ovat x=0 ja x=-3, eli (0;0) ja (-3;0) - kaksi pistettä lisää kuvaajassa. Piste (o; 0) on myös paraabelin ja ordinaatta-akselin leikkauspiste.

Kun x=1 y=-1²-3∙1=-4, eli (1; -4) on lisäpiste piirtämiseen.

Paraabelin rakentaminen pisteistä on työvoimavaltaisempi menetelmä verrattuna ensimmäiseen. Jos paraabeli ei leikkaa Ox-akselia, tarvitaan lisää lisäpisteitä.

Ennen kuin jatkamme muotoa y=ax²+bx+c olevien toisen asteen funktioiden graafien rakentamista, tarkastellaan funktioiden kuvaajien rakentamista geometrisia muunnoksia käyttäen. On myös kätevintä rakentaa funktioiden graafit muotoa y=x²+c käyttämällä yhtä näistä muunnuksista — rinnakkaiskäännöstä.

Luokka: |

Funktio muodossa jossa kutsutaan neliöfunktio.

Neliöfunktion kuvaaja – paraabeli.

Mietitäänpä tapauksia:

I CASE, KLASSINEN PARABOLA

Tuo on , ,

Luodaksesi täytä taulukko korvaamalla x-arvot kaavaan:

Merkitse pisteet (0;0); (1; 1); (-1;1) jne. koordinaattitasolla (mitä pienemmällä askeleella otamme x-arvot (tässä tapauksessa vaihe 1), ja mitä enemmän x-arvoja otamme, sitä tasaisempi käyrä on), saamme paraabelin:

On helppo nähdä, että jos otetaan tapaus , , , eli niin saadaan paraabeli, joka on symmetrinen akselin (oh) suhteen. Tämä on helppo varmistaa täyttämällä samanlainen taulukko:

II TAPAUS, "a" ERI KUIN YKSIKKÖ

Mitä tapahtuu, jos otamme , , ? Miten paraabelin käyttäytyminen muuttuu? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Ensimmäisessä kuvassa (katso yllä) näkyy selvästi, että taulukon pisteet paraabelille (1;1), (-1;1) muutettiin pisteiksi (1;4), (1;-4), eli samoilla arvoilla jokaisen pisteen ordinaatit kerrotaan 4:llä. Tämä tapahtuu kaikille alkuperäisen taulukon avainpisteille. Samoin ajattelemme kuvien 2 ja 3 tapauksessa.

Ja kun paraabeli "tulee leveämmäksi" kuin paraabeli:

Tehdään yhteenveto:

1)Kertoimen etumerkki määrittää haarojen suunnan. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoluuttinen arvo kerroin (moduuli) on vastuussa paraabelin "laajenemisesta" ja "puristumisesta". Mitä suurempi , sitä kapeampi paraabeli; mitä pienempi |a|, sitä leveämpi paraabeli.

III TAPAUS, "C" NÄKYVÄÄN

Otetaan nyt peliin käyttöön (eli harkitaan tapausta, jolloin), harkitsemme muodon paraabeleja. Ei ole vaikea arvata (voit aina viitata taulukkoon), että paraabeli siirtyy ylös tai alas akselia pitkin merkistä riippuen:

IV TAPAUS, "b" NÄYTTÖÖN

Milloin paraabeli "irtautuu" akselista ja lopulta "kävelee" pitkin koko koordinaattitasoa? Milloin se lakkaa olemasta tasa-arvoista?

Tässä tarvitaan paraabelin rakentaminen kaava kärjen laskemiseksi: , .

Joten tässä vaiheessa (kuten kohdassa (0;0) uusi järjestelmä koordinaatit) rakennamme paraabelin, jonka voimme jo tehdä. Jos käsittelemme tapausta, niin laitamme kärjestä yhden yksikkösegmentin oikealle, yksi ylös, - tuloksena oleva piste on meidän (samalla tavalla askel vasemmalle, askel ylöspäin on pisteemme); jos kyseessä on esimerkiksi, niin pisteestä laitetaan yksi yksikkösegmentti oikealle, kaksi - ylöspäin jne.

Esimerkiksi paraabelin kärki:

Nyt tärkeintä on ymmärtää, että tässä kärjessä rakennamme paraabelin paraabelimallin mukaan, koska meidän tapauksessamme.

Kun rakennetaan paraabelia löydettyään huippupisteen koordinaatit hyvinOn kätevää ottaa huomioon seuraavat seikat:

1) paraabeli menee varmasti pisteen läpi . Todellakin, korvaamalla x=0 kaavaan, saamme, että . Eli paraabelin ja akselin (oy) leikkauspisteen ordinaatit on . Esimerkissämme (yllä) paraabeli leikkaa ordinaatin kohdassa , koska .

2) symmetria-akseli paraabelit on suora, joten kaikki paraabelin pisteet ovat symmetrisiä sen suhteen. Esimerkissämme otamme välittömästi pisteen (0; -2) ja rakennamme sen symmetriseksi suhteessa paraabelin symmetria-akseliin, saamme pisteen (4; -2), jonka läpi paraabeli kulkee.

3) Equaling to , Selvitetään pisteet leikkauspisteet paraabeli akselin (oh). Tätä varten ratkaisemme yhtälön. Erottajasta riippuen saamme yhden (, ), kaksi ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Edellisessä esimerkissä diskriminantin juuremme ei ole kokonaisluku; konstruoitaessa meillä ei ole juurikaan järkeä löytää juuria, mutta näemme selvästi, että meillä on kaksi leikkauspistettä akselin (oh) kanssa. (alkaen title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Joten selvitetään se

Algoritmi paraabelin muodostamiseksi, jos se annetaan muodossa

1) määritä oksien suunta (a>0 – ylös, a<0 – вниз)

2) löydämme paraabelin kärjen koordinaatit kaavalla , .

3) löydämme paraabelin leikkauspisteen akselin (oy) kanssa vapaalla termillä, muodostamme pisteen, joka on symmetrinen tähän pisteeseen paraabelin symmetria-akselin suhteen (huomaa, että sattuu olemaan kannattamatonta merkitä esimerkiksi tämä kohta, koska arvo on suuri... ohitamme tämän kohdan...)

4) Löydetyssä pisteessä - paraabelin kärjessä (kuten uuden koordinaatiston pisteessä (0;0)) rakennamme paraabelin. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Löydämme paraabelin leikkauspisteet akselin (oy) kanssa (jos ne eivät ole vielä "pinnalle nousseet") ratkaisemalla yhtälön

Esimerkki 1

Esimerkki 2

Huomautus 1. Jos paraabeli annetaan meille alun perin muodossa , jossa on joitain lukuja (esim. ), niin se on vielä helpompi rakentaa, koska meille on jo annettu kärjen koordinaatit. Miksi?

Otetaan neliöllinen trinomi ja eristetään siinä koko neliö: Katso, saimme sen , . Sinä ja minä kutsuimme aiemmin paraabelin kärkeä, eli nyt,.

Esimerkiksi, . Merkitsemme paraabelin kärjen tasoon, ymmärrämme, että oksat on suunnattu alaspäin, paraabeli laajenee (suhteessa ). Toisin sanoen suoritamme kohdat 1; 3; 4; 5 paraabelin muodostamisalgoritmista (katso edellä).

Muistio 2. Jos paraabeli annetaan tämän kaltaisessa muodossa (eli esitetään kahden lineaarisen tekijän tulona), niin näemme heti paraabelin ja akselin (ox) leikkauspisteet. Tässä tapauksessa – (0;0) ja (4;0). Muilta osin toimimme algoritmin mukaan avaamalla sulut.

Koulun matematiikan tunneilla olet jo tutustunut funktion yksinkertaisimpiin ominaisuuksiin ja kuvaajaan y = x 2. Laajennamme tietämystämme neliöfunktio.

Harjoitus 1.

Piirrä funktio y = x 2. Mittakaava: 1 = 2 cm Merkitse piste Oy-akselille F(0; 1/4). Mittaa etäisyys pisteestä kompassin tai paperiliuskan avulla F johonkin pisteeseen M paraabelit. Kiinnitä sitten nauha pisteeseen M ja kierrä sitä tämän pisteen ympäri, kunnes se on pystysuorassa. Nauhan pää putoaa hieman x-akselin alapuolelle (Kuva 1). Merkitse nauhaan kuinka pitkälle se ulottuu x-akselin yli. Ota nyt toinen piste paraabelista ja toista mittaus uudelleen. Kuinka pitkälle nauhan reuna on pudonnut x-akselin alapuolelle?

Tulos: riippumatta siitä, minkä pisteen paraabelista y = x 2 otat, etäisyys tästä pisteestä pisteeseen F(0; 1/4) on aina samalla luvulla suurempi kuin etäisyys samasta pisteestä abskissa-akseliin - 1/4.

Voimme sanoa sen toisin: etäisyys mistä tahansa paraabelin pisteestä pisteeseen (0; 1/4) on yhtä suuri kuin etäisyys paraabelin samasta pisteestä suoraan y = -1/4. Tätä upeaa pistettä F(0; 1/4) kutsutaan keskittyä paraabelit y = x 2 ja suora y = -1/4 – johtajatar tämä paraabeli. Jokaisella paraabelilla on suunta ja painopiste.

Paraabelin mielenkiintoisia ominaisuuksia:

1. Mikä tahansa paraabelin piste on yhtä kaukana jostakin pisteestä, jota kutsutaan paraabelin keskipisteeksi, ja jostain suorasta, jota kutsutaan sen suuntaviivaksi.

2. Jos käännät paraabelia symmetria-akselin ympäri (esim. paraabeli y = x 2 Oy-akselin ympäri), saat erittäin mielenkiintoisen pinnan, jota kutsutaan kierrosparaboloidiksi.

Pyörivässä astiassa olevan nesteen pinta on pyörimisparaboloidin muotoinen. Näet tämän pinnan, jos sekoitat voimakkaasti lusikalla keskeneräiseen teelasilliseen ja poistat sitten lusikan.

3. Jos heität kiven tyhjyyteen tietyssä kulmassa horisonttiin nähden, se lentää paraabelina (Kuva 2).

4. Jos leikkaat kartion pinnan tason kanssa, joka on yhdensuuntainen jonkin sen generatriisin kanssa, poikkileikkaus johtaa paraabeliin (Kuva 3).

5. Huvipuistoissa on joskus hauska ratsastus nimeltään Paraboloid of Wonders. Kaikista pyörivän paraboloidin sisällä seisovilta näyttää siltä, ​​että hän seisoo lattialla, kun taas muut ihmiset pitävät jotenkin ihmeen kautta kiinni seinistä.

6. Heijastavassa teleskoopissa käytetään myös parabolisia peilejä: kaukaisen tähden valo, joka tulee rinnakkain, putoaa kaukoputken peiliin, kerätään tarkennettavaksi.

7. Kohdevaloissa on yleensä paraboloidin muotoinen peili. Jos asetat valonlähteen paraboloidin keskipisteeseen, parabolisesta peilistä heijastuneet säteet muodostavat yhdensuuntaisen säteen.

Neliöfunktion piirtäminen

Matematiikan tunneilla opit kuinka saada funktion y = x 2 kaaviosta muotoisia funktiokaavioita:

1) y = ax 2– kaavion y = x 2 venyminen Oy-akselia pitkin |a|:ssa kertaa (ja |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riisi. 4).

2) y = x 2 + n– kuvaajan siirtymä n yksiköllä Oy-akselia pitkin, ja jos n > 0, niin siirtymä on ylöspäin, ja jos n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– kuvaajan siirtymä m yksiköllä Ox-akselia pitkin: jos m< 0, то вправо, а если m >0, sitten vasemmalle, (Kuva 5).

4) y = -x 2– symmetrinen näyttö suhteessa kaavion Ox-akseliin y = x 2 .

Katsotaanpa tarkemmin funktion piirtämistä y = a(x – m) 2 + n.

Neliöfunktio muotoa y = ax 2 + bx + c voidaan aina pelkistää muotoon

y = a(x – m) 2 + n, missä m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Todistetaan se.

Todella,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Otetaan käyttöön uusia merkintöjä.

Antaa m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

niin saadaan y = a(x – m) 2 + n tai y – n = a(x – m) 2.

Tehdään vielä muutama substituutio: olkoon y – n = Y, x – m = X (*).

Sitten saadaan funktio Y = aX 2, jonka kuvaaja on paraabeli.

Paraabelin kärki on origossa. X = 0; Y = 0.

Korvaamalla kärjen koordinaatit arvolla (*), saadaan graafin y = a(x – m) 2 + n kärjen koordinaatit: x = m, y = n.

Siten, jotta voidaan piirtää neliöfunktio, joka on edustettuna

y = a(x – m) 2 + n

muunnosten kautta voit edetä seuraavasti:

a) piirrä funktio y = x 2 ;

b) rinnakkaissiirrolla Ox-akselia pitkin m yksiköllä ja Oy-akselia pitkin n yksiköllä - siirrä paraabelin huippupiste origosta pisteeseen, jossa on koordinaatit (m; n) (Kuva 6).

Tallennusmuunnokset:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Esimerkki.

Muodosta muunnoksia käyttäen funktion y = 2(x – 3) 2 kuvaaja karteesisessa koordinaatistossa – 2.

Ratkaisu.

Muutosten ketju:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Piirustus näkyy kohdassa riisi. 7.

Voit harjoitella toisen asteen funktioiden piirtämistä itse. Rakenna esimerkiksi funktion y = 2(x + 3) 2 + 2 kuvaaja yhteen koordinaattijärjestelmään muunnoksia käyttäen. Jos sinulla on kysyttävää tai haluat saada neuvoja opettajalta, sinulla on mahdollisuus suorittaa ilmainen 25 minuutin oppitunti verkkotutorin kanssa rekisteröinnin jälkeen. Jos haluat jatkaa työskentelyä opettajan kanssa, voit valita sinulle sopivan tariffisuunnitelman.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö osaa piirtää toisen asteen funktiota?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.