Matriisia A -1 kutsutaan käänteismatriisiksi matriisin A suhteen, jos A*A -1 = E, missä E on n:nnen kertaluvun identiteettimatriisi. Käänteimatriisi voi olla olemassa vain neliömatriiseille.
Palvelun tarkoitus. Käyttämällä tätä palvelua verkossa voit löytää algebrallisia komplementteja, transponoidun matriisin A T, liittoutumatriisin ja käänteimatriisin. Päätös tehdään suoraan verkkosivustolla (online) ja se on ilmainen. Laskentatulokset esitetään raportissa Word- ja Excel-muodossa (eli on mahdollista tarkistaa ratkaisu). katso malliesimerkki.
Ohjeet. Ratkaisun saamiseksi on tarpeen määrittää matriisin ulottuvuus. Täytä seuraavaksi matriisi A uudessa valintaikkunassa.
Katso myös käänteinen matriisi käyttäen Jordano-Gauss-menetelmää
Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
- Transponoidun matriisin A T löytäminen.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä. Korvaa jokainen matriisin elementti sen algebrallisella komplementilla.
- Käänteisen matriisin laatiminen algebrallisista lisäyksistä: tuloksena olevan matriisin jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin A determinantin laskeminen. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä.
- Liittymämatriisin (keskinäinen, adjunktinen) täyttäminen C .
- Käänteismatriisin laatiminen algebrallisista summauksista: adjointmatriisin C jokainen alkio jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Esimerkki nro 1. Kirjoitetaan matriisi muotoon:
Algebralliset lisäykset.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Sitten käänteinen matriisi voidaan kirjoittaa näin:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Toinen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
Esitetään toinen malli käänteismatriisin löytämiseksi.- Etsi annetun neliömatriisin A determinantti.
- Löydämme algebrallisia komplementteja matriisin A kaikille elementeille.
- Kirjoitamme rivielementtien algebrallisia lisäyksiä sarakkeisiin (transponointi).
- Jaamme tuloksena olevan matriisin jokaisen elementin matriisin A determinantilla.
Erikoinen tapaus: Identiteettimatriisin E käänteisarvo on identiteettimatriisi E.
Tyypillisesti käänteisiä operaatioita käytetään kompleksin yksinkertaistamiseen algebrallisia lausekkeita. Jos ongelmaan liittyy esimerkiksi murto-osalla jakaminen, voit korvata sen murtoluvun käänteisluvulla kertomisella, joka on käänteinen operaatio. Lisäksi matriiseja ei voi jakaa, joten sinun on kerrottava käänteismatriisilla. 3x3-matriisin käänteisarvon laskeminen on melko työlästä, mutta sinun on voitava tehdä se manuaalisesti. Myös vastavuoroinen löytyy hyvällä graafisella laskimella.
Askeleet
Adjungoimatriisin käyttö
Transponoi alkuperäinen matriisi. Transpositio tarkoittaa rivien korvaamista sarakkeilla suhteessa matriisin päädiagonaaliin, eli elementit (i,j) ja (j,i) on vaihdettava. Tässä tapauksessa päädiagonaalin elementit (alkaa vasemmasta yläkulmasta ja päättyy oikeaan alakulmaan) eivät muutu.
- Jos haluat muuttaa rivit sarakkeiksi, kirjoita ensimmäisen rivin elementit ensimmäiseen sarakkeeseen, toisen rivin elementit toiseen sarakkeeseen ja kolmannen rivin elementit kolmanteen sarakkeeseen. Elementtien sijainnin muuttamisjärjestys on esitetty kuvassa, jossa vastaavat elementit on ympyröity värillisillä ympyröillä.
Etsi kunkin 2x2 matriisin määritelmä. Minkä tahansa matriisin jokainen elementti, mukaan lukien transponoitu, liittyy vastaavaan 2x2-matriisiin. Löytääksesi 2x2-matriisin, joka vastaa tiettyä elementtiä, yliviivaa rivi ja sarake, joissa kyseinen elementti sijaitsee, eli sinun on yliviivattu viisi alkuperäisen 3x3-matriisin elementtiä. Neljä elementtiä jää ylittämättä, jotka ovat elementtejä vastaavasta 2x2-matriisista.
- Jos haluat esimerkiksi löytää 2x2-matriisin elementille, joka sijaitsee toisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen leikkauskohdassa, yliviivaa ne viisi elementtiä, jotka ovat toisessa rivissä ja ensimmäisessä sarakkeessa. Loput neljä elementtiä ovat vastaavan 2x2-matriisin elementtejä.
- Etsi kunkin 2x2 matriisin determinantti. Tätä varten vähennetään toissijaisen diagonaalin elementtien tulo päälävistäjän elementtien tulosta (katso kuva).
- Yksityiskohtaisia tietoja 2x2-matriiseista, jotka vastaavat 3x3-matriisin tiettyjä elementtejä, löytyy Internetistä.
Luo kofaktorimatriisi. Kirjoita aiemmin saadut tulokset uuden kofaktorimatriisin muotoon. Tätä varten kirjoita kunkin 2x2 matriisin löydetty determinantti, jossa 3x3 matriisin vastaava elementti sijaitsi. Jos esimerkiksi harkitset 2x2-matriisia elementille (1,1), kirjoita sen determinantti kohtaan (1,1). Muuta sitten vastaavien elementtien merkit tietyn kaavion mukaan, joka näkyy kuvassa.
- Kaavio merkkien muuttamisesta: ensimmäisen rivin ensimmäisen elementin merkki ei muutu; ensimmäisen rivin toisen elementin etumerkki käännetään; ensimmäisen rivin kolmannen elementin etumerkki ei muutu, ja niin edelleen rivi riviltä. Huomaa, että kaaviossa näkyvät "+" ja "-" -merkit (katso kuva) eivät tarkoita, että vastaava elementti on positiivinen tai negatiivinen. Tässä tapauksessa "+"-merkki osoittaa, että elementin etumerkki ei muutu, ja "-"-merkki tarkoittaa muutosta elementin etumerkissä.
- Yksityiskohtaisia tietoja kofaktorimatriiseista löytyy Internetistä.
- Tällä tavalla löydät alkuperäisen matriisin adjointmatriisin. Sitä kutsutaan joskus kompleksiseksi konjugaattimatriisiksi. Tällaista matriisia kutsutaan nimellä adj(M).
Jaa adjointmatriisin jokainen elementti sen determinantilla. Sen tarkistamiseksi laskettiin heti alussa matriisin M determinantti käänteinen matriisi olemassa. Jaa nyt adjointmatriisin jokainen elementti tällä determinantilla. Kirjoita jokaisen jakooperaation tulos, jossa vastaava elementti sijaitsee. Näin löydät matriisin käänteisesti alkuperäiselle.
- Kuvassa esitetyn matriisin determinantti on 1. Tässä adjointmatriisi on siis käänteimatriisi (koska kun mikä tahansa luku jaetaan 1:llä, se ei muutu).
- Joissakin lähteissä jakooperaatio korvataan kertoimella 1/det(M). Lopputulos ei kuitenkaan muutu.
Kirjoita käänteismatriisi. Kirjoita suuren matriisin oikealla puoliskolla sijaitsevat elementit erilliseksi matriisiksi, joka on käänteimatriisi.
Syötä alkuperäinen matriisi laskimen muistiin. Voit tehdä tämän napsauttamalla Matrix-painiketta, jos se on käytettävissä. Texas Instruments -laskimessa sinun on ehkä painettava 2nd- ja Matrix-painikkeita.
Valitse Muokkaa-valikko. Tee tämä nuolipainikkeilla tai sopivalla toimintopainikkeella, joka sijaitsee laskimen näppäimistön yläosassa (painikkeen sijainti vaihtelee laskimen mallin mukaan).
Syötä matriisimerkintä. Useimmat graafiset laskimet voivat työskennellä 3-10 matriisin kanssa, jotka voidaan määrittää kirjaimet A-J. Yleensä valitse [A] määrittääksesi alkuperäisen matriisin. Paina sitten Enter-painiketta.
Syötä matriisin koko. Tämä artikkeli käsittelee 3x3-matriiseja. Mutta graafiset laskimet voivat toimia matriisien kanssa suuret koot. Syötä rivien määrä, paina Enter, kirjoita sarakkeiden määrä ja paina Enter uudelleen.
Syötä jokainen matriisin elementti. Matriisi tulee näkyviin laskimen näytölle. Jos olet aiemmin syöttänyt matriisin laskimeen, se tulee näkyviin näytölle. Kursori korostaa matriisin ensimmäisen elementin. Syötä ensimmäisen elementin arvo ja paina Enter. Kohdistin siirtyy automaattisesti seuraavaan matriisielementtiin.
Määritelmä 1: matriisia kutsutaan singulaariksi, jos sen determinantti on nolla.
Määritelmä 2: matriisia kutsutaan ei-singulaariseksi, jos sen determinantti ei ole nolla.
Matriisia "A" kutsutaan käänteinen matriisi, jos ehto A*A-1 = A-1 *A = E (yksikkömatriisi) täyttyy.
Neliömatriisi on käännettävä vain, jos se on ei-singulaarinen.
Kaavio käänteimatriisin laskemiseksi:
1) Laske matriisin "A" determinantti, jos ∆ A = 0, silloin käänteismatriisia ei ole olemassa.
2) Etsi kaikki matriisin "A" algebralliset komplementit.
3) Luo matriisi algebrallisista lisäyksistä (Aij)
4) Transponoi algebrallisten komplementtien matriisi (Aij )T
5) Kerro transponoitu matriisi tämän matriisin determinantin käänteisarvolla.
6) Suorita tarkistus:
Ensi silmäyksellä se voi tuntua monimutkaiselta, mutta itse asiassa kaikki on hyvin yksinkertaista. Kaikki ratkaisut perustuvat yksinkertaisiin aritmeettisiin operaatioihin, joiden ratkaisemisessa pääasia on, ettei sekaannu “-”- ja “+”-merkkeihin eikä hukkaa niitä.
Ratkaistaan nyt käytännön tehtävä yhdessä laskemalla käänteismatriisi.
Tehtävä: etsi alla olevan kuvan käänteinen matriisi "A":
1. Ensimmäinen asia on löytää matriisin "A" determinantti:
Selitys:
Olemme yksinkertaistaneet determinanttiamme käyttämällä sen perustoimintoja. Ensin lisäsimme 2. ja 3. riville ensimmäisen rivin elementit kerrottuna yhdellä numerolla.
Toiseksi muutimme determinantin 2. ja 3. sarakkeen ja sen ominaisuuksien mukaan vaihdoimme sen edessä olevaa merkkiä.
Kolmanneksi poistimme toisen rivin yhteisen kertoimen (-1) ja vaihdoimme siten merkkiä uudelleen, ja siitä tuli positiivinen. Yksinkertaistimme myös riviä 3 samalla tavalla kuin esimerkin alussa.
Meillä on kolmiodeterminantti, jonka diagonaalin alapuolella olevat alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla, ja ominaisuudella 7 se on yhtä suuri kuin lävistäjäelementtien tulo. Lopulta saimme ∆ A = 26, joten käänteismatriisi on olemassa.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Seuraava vaihe on koota matriisi tuloksena olevista lisäyksistä:
5. Kerro tämä matriisi determinantin käänteisarvolla eli 1/26:lla:
6. Nyt meidän on vain tarkistettava:
Testin aikana saimme identiteettimatriisin, joten ratkaisu tehtiin täysin oikein.
2 tapa laskea käänteismatriisi.
1. Alkuainematriisimuunnos
2. Käänteismatriisi alkeismuuntimen kautta.
Elementaarinen matriisimuunnos sisältää:
1. Merkkijonon kertominen luvulla, joka ei ole nolla.
2. Lisätään mille tahansa riville toinen rivi kerrottuna numerolla.
3. Vaihda matriisin rivit.
4. Sovellettaessa alkeismuunnosten ketjua saadaan toinen matriisi.
A -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Katsotaanpa tätä käytännön esimerkki todellisilla numeroilla.
Harjoittele: Etsi käänteismatriisi.
Ratkaisu:
Tarkistetaan:
Pientä selvennystä ratkaisuun:
Ensin järjestimme uudelleen matriisin rivit 1 ja 2, sitten kerroimme ensimmäisen rivin arvolla (-1).
Sen jälkeen kerroimme ensimmäisen rivin (-2):lla ja lisäsimme sen matriisin toisella rivillä. Sitten kerroimme rivin 2 1/4:llä.
Muutoksen viimeinen vaihe oli toisen rivin kertominen kahdella ja sen lisääminen ensimmäiseen. Tämän seurauksena meillä on identiteettimatriisi vasemmalla, joten käänteismatriisi on oikealla oleva matriisi.
Tarkastuksen jälkeen olimme vakuuttuneita, että päätös oli oikea.
Kuten näette, käänteismatriisin laskeminen on hyvin yksinkertaista.
Tämän luennon lopussa haluaisin myös käyttää vähän aikaa tällaisen matriisin ominaisuuksiin.
Tietyn matriisin käänteismatriisi on sellainen matriisi, joka kertoo alkuperäisen, jolla saadaan identiteettimatriisi: Pakollinen ja riittävä ehto käänteismatriisin olemassaololle on, että alkuperäisen matriisin determinantti on ei ole yhtä suuri kuin nolla (mikä puolestaan tarkoittaa, että matriisin on oltava neliö). Jos matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla, sitä kutsutaan singulaariseksi ja sellaisella matriisilla ei ole käänteisarvoa. SISÄÄN korkeampi matematiikka Käänteiset matriisit ovat tärkeitä ja niitä käytetään useiden ongelmien ratkaisemiseen. Esimerkiksi päällä käänteisen matriisin löytäminen rakennettiin matriisimenetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi. Palvelusivustomme mahdollistaa laske käänteismatriisi verkossa kaksi menetelmää: Gauss-Jordan-menetelmä ja algebrallisten lisäysmatriisin käyttö. Keskeytys tarkoittaa suuri määrä alkeismuunnokset matriisin sisällä, toinen on determinantin ja algebrallisten lisäysten laskenta kaikille elementeille. Matriisin determinantin laskemiseen verkossa voit käyttää toista palveluamme - Matriisin determinantin laskenta verkossa
.Etsi sivuston käänteinen matriisi
verkkosivusto antaa sinun löytää käänteinen matriisi verkossa nopea ja ilmainen. Sivustolla tehdään laskelmat palvelumme avulla ja tulos annetaan yksityiskohtaisen ratkaisun löytämiseen käänteinen matriisi. Palvelin antaa aina vain tarkan ja oikean vastauksen. Tehtävissä määritelmän mukaan käänteinen matriisi verkossa, on välttämätöntä, että determinantti matriiseja oli ei-nolla, muuten verkkosivusto ilmoittaa käänteismatriisin löytämisen mahdottomuudesta johtuen siitä, että alkuperäisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla. Tehtävä löytää käänteinen matriisi löytyy monilta matematiikan aloilta, ja se on yksi algebran peruskäsitteistä ja matemaattinen työkalu sovelletuissa ongelmissa. Riippumaton käänteismatriisin määritelmä vaatii paljon vaivaa, paljon aikaa, laskelmia ja suurta huolellisuutta kirjoitusvirheiden tai pienten laskuvirheiden välttämiseksi. Siksi palvelumme käänteisen matriisin löytäminen verkosta tekee tehtävästäsi paljon helpompaa ja siitä tulee välttämätön työkalu matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen. Vaikka sinä etsi käänteismatriisi itse, suosittelemme tarkistamaan ratkaisusi palvelimeltamme. Syötä alkuperäinen matriisi käänteisen matriisin laskentaan verkossa ja tarkista vastauksesi. Järjestelmämme ei koskaan tee virheitä ja löydä käänteinen matriisi annettu mitta tilassa verkossa heti! Sivustolla verkkosivusto merkkimerkinnät ovat sallittuja elementeissä matriiseja, tässä tapauksessa käänteinen matriisi verkossa esitetään yleisesti symbolisessa muodossa.
Samanlainen kuin käänteinen monissa ominaisuuksissa.
Tietosanakirja YouTube
1 / 5
✪ Kuinka löytää matriisin käänteis - bezbotvy
✪ Käänteinen matriisi (2 tapaa löytää)
✪ Käänteinen matriisi #1
✪ 28.1.2015. Käänteinen 3x3 matriisi
✪ 27.1.2015. Käänteismatriisi 2x2
Tekstitykset
Käänteimatriisin ominaisuudet
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Missä det (\displaystyle \\det ) tarkoittaa determinanttia.
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\näyttötyyli \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) kahdelle neliömäiselle käännettävälle matriisille A (\näyttötyyli A) Ja B (\näyttötyyli B).
- (A T) − 1 = (A − 1) T (\näyttötyyli \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Missä (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) tarkoittaa transponoitua matriisia.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\näyttötyyli \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) mille tahansa kertoimelle k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
- E − 1 = E (\näyttötyyli \E^(-1)=E).
- Jos on tarpeen ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä, (b on nollasta poikkeava vektori), jossa x (\displaystyle x) on haluttu vektori, ja jos A − 1 (\displaystyle A^(-1)) on siis olemassa x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Muuten joko ratkaisuavaruuden ulottuvuus on suurempi kuin nolla tai ratkaisuja ei ole ollenkaan.
Menetelmät käänteismatriisin löytämiseksi
Jos matriisi on käännettävä, voit löytää käänteisen matriisin jollakin seuraavista tavoista:
Tarkat (suorat) menetelmät
Gauss-Jordan menetelmä
Otetaan kaksi matriisia: the A ja sinkku E. Esitetään matriisi A identiteettimatriisiin Gauss-Jordan-menetelmällä käyttämällä muunnoksia rivejä pitkin (voit käyttää muunnoksia myös sarakkeita pitkin, mutta ei keskenään). Kun olet käyttänyt jokaista operaatiota ensimmäiseen matriisiin, käytä samaa operaatiota toiseen. Kun ensimmäisen matriisin pelkistys yksikkömuotoon on valmis, toinen matriisi on yhtä suuri kuin A-1.
Gaussin menetelmää käytettäessä ensimmäinen matriisi kerrotaan vasemmalla yhdellä alkeimatriiseista Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvektio- tai diagonaalimatriisi, jonka yksiköt ovat päädiagonaalissa, paitsi yksi paikka):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\pisteet &&&\\0&\pisteet &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\pisteet &0\\0&\pisteet &0&1/a_(mm)&0&\pisteet &0\\0&\pisteet &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\pisteet &0\\&&&\pisteet &&&\\0&\pisteet &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\pisteet &1\end(bmatriisi))).Toinen matriisi kaikkien operaatioiden soveltamisen jälkeen on yhtä suuri kuin Λ (\displaystyle \Lambda), eli se on haluttu. Algoritmin monimutkaisuus - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Algebrallisen komplementtimatriisin käyttö
Matriisin käänteinen matriisi A (\näyttötyyli A), voidaan esittää muodossa
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
Missä adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjoint matriisi;
Algoritmin monimutkaisuus riippuu determinantin O det laskemiseen käytettävän algoritmin monimutkaisuudesta ja on yhtä suuri kuin O(n²)·O det.
LU/LUP-hajotus
Matriisiyhtälö A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) käänteismatriisille X (\displaystyle X) voidaan pitää kokoelmana n (\displaystyle n) muotoiset järjestelmät A x = b (\displaystyle Ax=b). Merkitään i (\displaystyle i) matriisin sarake X (\displaystyle X) kautta X i (\displaystyle X_(i)); Sitten A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),koska i (\displaystyle i) matriisin sarake I n (\displaystyle I_(n)) on yksikkövektori e i (\displaystyle e_(i)). toisin sanoen käänteismatriisin löytäminen tarkoittaa n yhtälön ratkaisemista samalla matriisilla ja eri oikealla puolella. Kun LUP-hajotus (O(n³) aika) on suoritettu, kunkin n yhtälön ratkaiseminen vie O(n²) aikaa, joten tämä osa työtä vaatii myös O(n³) aikaa.
Jos matriisi A on ei-singulaarinen, voidaan sille laskea LUP-hajotelma P A = L U (\displaystyle PA=LU). Antaa P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\näyttötyyli B^(-1)=D). Sitten käänteismatriisin ominaisuuksista voimme kirjoittaa: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jos kerrot tämän yhtälön U:lla ja L:llä, saat kaksi muodon yhtälöä U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Ja D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Ensimmäinen näistä yhtälöistä edustaa järjestelmää n² lineaariset yhtälöt varten n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) joista oikeat puolet tunnetaan (kolmiomatriisien ominaisuuksista). Toinen edustaa myös n² lineaaristen yhtälöiden järjestelmää n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) joista oikeat puolet tunnetaan (myös kolmiomatriisien ominaisuuksista). Yhdessä ne edustavat n² yhtäläisyyden järjestelmää. Näiden yhtälöiden avulla voimme määrittää rekursiivisesti matriisin D kaikki n² alkiot. Sitten yhtälöstä (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. saadaan yhtälö A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
Käytettäessä LU-hajoamista ei vaadita matriisin D sarakkeiden permutaatiota, mutta ratkaisu voi poiketa, vaikka matriisi A olisi epäsingulaarinen.
Algoritmin monimutkaisuus on O(n³).
Iteratiiviset menetelmät
Schultzin menetelmät
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\summa _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\loppu(tapaukset)))
Virhearvio
Alkuarvioinnin valitseminen
Alkuapproksimaation valintaongelma iteratiivisissa matriisin inversioprosesseissa, joita tässä tarkastellaan, ei salli meidän käsitellä niitä itsenäisinä universaaleina menetelminä, jotka kilpailevat suorien inversiomenetelmien kanssa, jotka perustuvat esimerkiksi matriisien LU-hajotukseen. Valinnassa on joitain suosituksia U 0 (\displaystyle U_(0)), varmistaen ehdon täyttymisen ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matriisin spektrisäde on pienempi kuin yksikkö), mikä on välttämätöntä ja riittävä prosessin konvergenssiin. Tässä tapauksessa on kuitenkin ensinnäkin tiedettävä ylhäältä estimaatti käännettävän matriisin A tai matriisin spektrille. A A T (\displaystyle AA^(T))(eli jos A on symmetrinen positiivinen määrätty matriisi ja ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), sitten voit ottaa U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Missä ; jos A on mielivaltainen ei-singulaarinen matriisi ja ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), sitten he uskovat U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), missä myös α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Voit tietysti yksinkertaistaa tilannetta ja hyödyntää sitä ρ (A A T) ≤ k A A T k (\näyttötyyli \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), laita U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Toiseksi, kun alkumatriisi määritellään tällä tavalla, siitä ei ole takeita ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) tulee olemaan pieni (ehkä jopa osoittautuu ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), eikä lähentymisasteen korkeaa luokkaa paljasteta heti.
Esimerkkejä
Matriisi 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatriisi)).)2x2-matriisin inversio on mahdollista vain sillä ehdolla a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
