Koti

Pythagoraan lauseen todistamistapoja.

G. Glaser,
Venäjän koulutusakatemian akateemikko, Moskova

Pythagoraan lauseesta ja sen todistamisesta

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa...

Tämä on yksi antiikin tunnetuimmista geometrisista teoreemoista, nimeltään Pythagoraan lause. Sen tuntevat edelleen lähes kaikki planimetriaa koskaan opiskelleet. Minusta näyttää siltä, ​​että jos haluamme ilmoittaa sinulle Maan ulkopuoliset sivilisaatiotälykkään elämän olemassaolosta maan päällä, kuva Pythagoraan hahmosta tulisi lähettää avaruuteen. Uskon, että jos ajattelevat olennot voivat hyväksyä tämän tiedon, he ymmärtävät ilman monimutkaista signaalidekoodausta, että maan päällä on melko kehittynyt sivilisaatio.

Kuuluisa kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Pythagoras Samoksen, jonka mukaan lause on nimetty, eli noin 2,5 tuhatta vuotta sitten. Pythagoraksen meille tulleet elämäkerralliset tiedot ovat hajanaisia ​​ja kaukana luotettavasta. Hänen nimeensä liittyy monia legendoja. Tiedetään aidosti, että Pythagoras matkusti paljon idän maissa, vieraili Egyptissä ja Babylonissa. Yhdessä Kreikan siirtokunnissa Etelä-Italia hän perusti kuuluisan "Pytagoraan koulun", jolla oli tärkeä rooli tieteellisessä ja poliittinen elämä muinainen Kreikka. Pythagoraksen ansioksi kuuluu hyvin tunnetun geometrisen lauseen todistaminen. Perustuu kuuluisien matemaatikoiden levittämiin legendoihin (Proclus, Plutarch jne.), pitkä aika Uskottiin, että ennen Pythagorasta tätä lausetta ei tiedetty, joten nimi - Pythagoraan lause.

Ei ole kuitenkaan epäilystäkään siitä, että tämä lause tunnettiin monta vuotta ennen Pythagorasta. Joten 1500 vuotta ennen Pythagorasta muinaiset egyptiläiset tiesivät, että kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5, on suorakaiteen muotoinen, ja käyttivät tätä ominaisuutta (eli lausetta, käänteinen lause Pythagoras) suorien kulmien rakentamiseen suunnittelussa tontteja ja rakennusrakenteet. Ja vielä nykyäänkin maaseudun rakentajat ja kirvesmiehet, jotka laskevat kotalle perustan ja tekevät sen yksityiskohtia, piirtävät tämän kolmion oikean kulman saamiseksi. Sama asia tehtiin tuhansia vuosia sitten upeiden temppelien rakentamisessa Egyptissä, Babylonissa, Kiinassa ja luultavasti Meksikossa. Vanhimpaan meille tulleeseen kiinalaiseen matemaattiseen ja tähtitieteelliseen teokseen, Zhou-biin, joka on kirjoitettu noin 600 vuotta ennen Pythagorasta, muiden suorakulmaiseen kolmioon liittyvien lauseiden ohella on myös Pythagoraan lause. Jo aikaisemmin tämä lause oli hindujen tiedossa. Pythagoras ei siis löytänyt tätä suorakulmaisen kolmion ominaisuutta, vaan hän oli luultavasti ensimmäinen, joka yleisti ja todisti sen siirtäen sen siten käytännön alalta tieteen kentälle. Emme tiedä, kuinka hän teki sen. Jotkut matematiikan historioitsijat olettavat, että Pythagoraan todiste ei kuitenkaan ollut perustavanlaatuinen, vaan vain vahvistus, tämän ominaisuuden varmistus useilla tietyntyyppisillä kolmioilla, alkaen tasakylkisessä suorakulmaisessa kolmiossa, jolle se ilmeisesti seuraa kuvasta 1. 1.

KANSSA Muinaisista ajoista lähtien matemaatikot ovat löytäneet yhä enemmän todisteita Pythagoraan lauseesta, yhä enemmän ideoita sen todisteille. Tällaisia ​​todisteita - enemmän tai vähemmän tiukkoja, enemmän tai vähemmän visuaalisia - tunnetaan yli puolitoista sataa, mutta halu lisätä niiden määrää on säilynyt. Uskon, että Pythagoraan lauseen todisteiden itsenäinen "löytö" on hyödyllinen nykyaikaisille koululaisille.

Tarkastellaanpa joitain esimerkkejä todisteista, jotka voivat viitata tällaisten hakujen suuntaan.

Pythagoraan todiste

"Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennettu neliö on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden summa." Lauseen yksinkertaisin todistus saadaan tasakylkisen suorakulmaisen kolmion yksinkertaisimmassa tapauksessa. Luultavasti lause alkoi hänestä. Todellakin, riittää vain katsoa tasakylkisten suorakulmaisten kolmioiden laatoitusta nähdäksesi, että lause on totta. Esimerkiksi DABC:lle: hypotenuusalle rakennettu neliö AU, sisältää 4 alkukolmiota ja jalkoihin kahdella rakennettuja neliöitä. Lause on todistettu.

Todistukset, jotka perustuvat kuvioiden yhtäläisen alueen käsitteen käyttöön.

Samalla voidaan tarkastella todisteita siitä, että tietyn suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennettu neliö ”koostuu” samoista hahmoista kuin jalkoihin rakennetut neliöt. Voidaan harkita myös sellaisia ​​todisteita, joissa käytetään kuvioiden termien permutaatiota ja otetaan huomioon joukko uusia ideoita.

Kuvassa 2 esittää kahta yhtä suurta neliötä. Kunkin neliön sivujen pituus on a + b. Jokainen neliö on jaettu osiin, jotka koostuvat neliöistä ja suorakulmaisista kolmioista. On selvää, että jos vähennämme neliön pinta-alasta suorakulmaisen kolmion, jossa on jalat a, b nelinkertainen pinta-ala, yhtäläiset alueet, eli c 2 \u003d a 2 + b 2. Muinaiset hindut, joille tämä päättely kuuluu, eivät kuitenkaan yleensä kirjoittaneet sitä muistiin, vaan seurasivat piirustusta vain yhdellä sanalla: "Katso!" On täysin mahdollista, että Pythagoras tarjosi saman todisteen.

lisätodisteita.

Nämä todistukset perustuvat jaloille rakennettujen neliöiden hajoamiseen hahmoiksi, joista on mahdollista lisätä hypotenuusalle rakennettu neliö.

Tässä: ABC on suorakulmainen kolmio, jossa on oikea kulma C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Todista itse jaloille ja hypotenuusalle rakennetut neliöt jakamalla saatujen kolmioiden pareittainen yhtäläisyys.

Todista lause tällä osiolla.

 Al-Nairiziyan todistuksen perusteella tehtiin toinen neliöiden jako pareittain yhtäläisiksi luvuiksi (kuva 5, tässä ABC on suorakulmainen kolmio, jonka kulma on C).

 Toinen todistus neliöiden jakamisesta yhtä suuriin osiin, nimeltään "pyörä, jossa on terät", on esitetty kuvassa. 6. Tässä: ABC on suorakulmainen kolmio, jonka kulma on C; O - suurelle jalalle rakennetun neliön keskipiste; pisteen O kautta kulkevat katkoviivat ovat kohtisuorassa tai yhdensuuntaisia ​​hypotenuusan kanssa.

 Tämä neliöiden jakautuminen on mielenkiintoinen siinä mielessä, että sen pareittain yhtä suuret nelikulmiot voidaan kuvata toisiinsa rinnakkaissiirrolla. Monia muita Pythagoraan lauseen todisteita voidaan tarjota käyttämällä neliöiden jakamista kuvioiksi.

Todistukset laajennusmenetelmällä.

Tämän menetelmän ydin on, että jalkoihin rakennettuihin neliöihin ja hypotenuusalle rakennettuun neliöön kiinnitetään yhtä suuret luvut siten, että saadaan samankokoiset hahmot.

Pythagoraan lauseen pätevyys seuraa kuusikulmioiden AEDFPB ja ACBNMQ yhtä suuresta koosta. Tässä CEP, viiva EP jakaa kuusikulmion AEDFPB kahdeksi tasa-alaiseksi nelikulmioksi, viiva CM jakaa kuusikulmion ACBNMQ kahdeksi tasa-alaiseksi nelikulmioksi; tason 90° kierto keskipisteen A ympäri kartoittaa nelikulmion AEPB nelikulmioon ACMQ.

Kuvassa 8 Pythagoraan hahmo täydennetään suorakulmioksi, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset jalkoihin rakennettujen neliöiden vastaavien sivujen kanssa. Jaetaan tämä suorakulmio kolmioiksi ja suorakulmioiksi. Ensin vähennämme tuloksena olevasta suorakulmiosta kaikki polygonit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, jolloin hypotenuusalle jää neliö. Sitten samasta suorakulmiosta vähennetään suorakulmiot 5, 6, 7 ja varjostetut suorakulmiot, saadaan jalkoihin rakennettuja neliöitä.

Osoittakaamme nyt, että ensimmäisessä tapauksessa vähennetyt luvut ovat kooltaan yhtä suuria kuin toisessa tapauksessa vähennetyt luvut.

KLOA = ACPF = ACED = a2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

näin ollen c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c2 = a2 + b2.

Algebrallinen todistusmenetelmä.

	Riisi. 12 havainnollistaa todistusta suuresta intialaisesta matemaatikosta Bhaskarista (kuuluisa Lilavati, X. 2. vuosisadalla). Piirustukseen liittyi vain yksi sana: KATSO! Pythagoraan lauseen todisteiden joukossa algebrallinen menetelmä ensimmäinen paikka (ehkä vanhin) on samankaltaisuutta käyttävä todistus.
	Esitetään nykyaikaisessa esityksessä yksi sellaisista Pythagoralle kuuluvasta todisteesta.

H ja fig. 13 ABC - suorakaiteen muotoinen, C - suora kulma, CMAB, b 1 - jalan b projektio hypotenuusalle, a 1 - jalan a projektio hypotenuusalle, h - hypotenuusaan piirretyn kolmion korkeus.

Siitä tosiasiasta, että ABC on samanlainen kuin ACM, se seuraa

b 2 \u003d cb 1; (1)

siitä, että ABC on samanlainen kuin BCM, se seuraa

a 2 = noin 1. (2)

Lisäämällä yhtäläisyydet (1) ja (2) termi kerrallaan saadaan a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Jos Pythagoras todella tarjosi tällaisen todisteen, hän tunsi myös joukon tärkeitä geometrisia lauseita, jotka nykyaikaiset matematiikan historioitsijat tavallisesti pitävät Eukleideen ansioksi.

Möllmannin todistus (kuva 14). Tämän suorakulmaisen kolmion pinta-ala on toisaalta yhtä suuri, missä p on kolmion puolikehä, r on siihen piirretyn ympyrän säde Meillä on:

mistä seuraa, että c 2 =a 2 +b 2 .

toisessa

Yhtälöimällä nämä lausekkeet saadaan Pythagoraan lause.

Yhdistetty menetelmä

Kolmioiden tasa-arvo

c2 = a2 + b2. (3)

Vertaamalla suhteita (3) ja (4) saamme sen

c 1 2 = c 2 tai c 1 = c.

Siten kolmiot - annettu ja rakennettu - ovat yhtä suuret, koska niillä on vastaavasti kolme tasapuoliset puolet. Kulma C 1 on oikea, joten myös tämän kolmion kulma C on oikea.

Muinaiset intialaiset todisteet.

Muinaisen Intian matemaatikot huomasivat, että Pythagoraan lauseen todistamiseksi riittää sisäosa muinainen kiinalainen piirros. 1900-luvun suurimman intialaisen matemaatikon palmunlehdille kirjoittamassa tutkielmassa "Siddhanta Shiromani" ("Tiedon kruunu"). Bha-skara asetti piirustuksen (kuva 4)

tyypillistä intialaisille todisteille l sana "katso!". Kuten näette, suorakulmaiset kolmiot on pinottu tähän niin, että niiden hypotenuusa on ulospäin ja neliö Kanssa 2 siirtynyt "morsian-lo-tuoliin" Kanssa 2 -b 2 . Huomaa, että Pythagoraan lauseen erikoistapaukset (esimerkiksi neliön rakentaminen, jonka pinta-ala on kaksi kertaa suurempi kuva 4 tämän aukion alue) löytyvät muinaisesta intialaisesta tutkielmasta "Sulva"

He ratkaisivat suorakulmaisen kolmion ja sen jaloille rakennetut neliöt, eli toisin sanoen 16 identtisen tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hahmot, jotka sopivat siten neliöön. Se on lilja. pieni osa antiikin matematiikan helmen - Pythagoraan lauseen - kätketyistä rikkauksista.

Muinaiset kiinalaiset todisteet.

Matemaattiset tutkielmat Muinainen Kiina ovat tulleet meille 1. vuosisadan painoksessa. eKr. Tosiasia on, että vuonna 213 eKr. Kiinan keisari Shi Huang-di, joka pyrki poistamaan vanhat perinteet, määräsi polttamaan kaikki muinaiset kirjat. Vuonna P c. eKr. paperi keksittiin Kiinassa ja samalla alkoi muinaisten kirjojen rekonstruktio. Tämän todistuksen avainta ei ole vaikea löytää. Itse asiassa muinaisessa kiinalaisessa piirroksessa on neljä yhtäläistä suorakulmaista kolmiota, joissa on katetrit a, b ja hypotenuusa Kanssa pinottu G) niin, että niiden ulompi ääriviiva muodostaa kuvassa 2 neliön sivuineen a + b, ja sisempi on hypotenuusalle rakennettu neliö, jonka sivu on c (kuva 2, b). Jos neliö, jonka sivu on c, leikataan pois ja loput 4 varjostettua kolmiota sijoitetaan kahteen suorakulmioon (kuva 2, V), on selvää, että tuloksena oleva tyhjyys on yhtä suuri kuin KANSSA 2 , ja toisaalta - Kanssa 2 +b 2 , nuo. c 2 \u003d  2 + b 2. Lause on todistettu. Huomaa, että tällaisella todistuksella ei käytetä hypotenuusan neliön sisällä olevia rakenteita, jotka näemme muinaisessa kiinalaisessa piirustuksessa (kuva 2, a). Ilmeisesti muinaisilla kiinalaisilla matemaatikoilla oli erilainen todiste. Juuri jos neliössä, jossa on sivu Kanssa kaksi varjostettua kolmiota (kuva 2, b) leikkaa irti ja kiinnitä hypotenuukset kahteen muuhun hypotenuukseen (kuva 2, G), se on helppo löytää

Tuloksena oleva hahmo, jota joskus kutsutaan "morsiamen tuoliksi", koostuu kahdesta neliöstä, joissa on sivut A Ja b, nuo. c 2 == a 2 +b 2 .

H Kuva 3 toistaa piirustuksen tutkielmasta "Zhou-bi ...". Tässä otetaan huomioon Pythagoraan lause Egyptin kolmiolle, jossa on jalat 3, 4 ja hypotenuusa 5 yksikköä. Hypotenuusan neliö sisältää 25 solua ja siihen kirjoitettu neliö suuremmassa jalassa sisältää 16 solua. On selvää, että jäljellä oleva osa sisältää 9 solua. Tämä on neliö pienemmässä jalassa.

Luovuuden potentiaalia pidetään yleensä syynä humanistiset tieteet, luonnollisesti tieteellinen jättäen kaavojen ja kuvioiden analyysin, käytännöllisen lähestymistavan ja kuivan kielen. Matematiikkaa humanitaariset aiheet et kestä sitä ollenkaan. Mutta ilman luovuutta "kaikkien tieteiden kuningattaressa" et pääse pitkälle - ihmiset ovat tienneet tästä jo pitkään. Esimerkiksi Pythagoraan ajoilta lähtien.

Valitettavasti koulukirjat eivät yleensä selitä, että matematiikassa on tärkeää paitsi täyttiä lauseita, aksioomia ja kaavoja. On tärkeää ymmärtää ja tuntea sen perusperiaatteet. Ja samalla yritä vapauttaa mielesi kliseistä ja alkeellisista totuuksista - vain sellaisissa olosuhteissa syntyvät kaikki suuret löydöt.

Tällaisia ​​löytöjä ovat mm. se, jonka nykyään tunnemme Pythagoraan lauseena. Sen avulla yritämme näyttää, että matematiikka ei vain voi, vaan sen pitäisi olla hauskaa. Ja että tämä seikkailu ei sovi vain paksulasien nörteille, vaan kaikille, jotka ovat vahvat mieltä ja vahvat hengessä.

Ongelman historiasta

Tarkkaan ottaen, vaikka lausetta kutsutaan "Pytagoraan lauseeksi", Pythagoras itse ei löytänyt sitä. Suorakulmaista kolmiota ja sen erityisominaisuuksia on tutkittu kauan ennen sitä. Tässä asiassa on kaksi polaarista näkökulmaa. Yhden version mukaan Pythagoras löysi ensimmäisenä täydellisen todisteen lauseesta. Toisen mukaan todiste ei kuulu Pythagoraan kirjoittajaksi.

Nykyään ei voi enää tarkistaa, kuka on oikeassa ja kuka väärässä. Tiedetään vain, että Pythagoraan todisteita, jos niitä on koskaan ollut, ei ole säilynyt. On kuitenkin ehdotuksia, että kuuluisa todistus Euklidin elementeistä saattaa kuulua Pythagoralle, ja Eukleides vain tallensi sen.

Nykyään tiedetään myös, että suorakulmaiseen kolmioon liittyviä ongelmia löytyy egyptiläisistä lähteistä farao Amenemhet I:n ajalta, kuningas Hammurabin hallituskauden babylonilaisista savitauluista, muinaisen intialaisen tutkielman Sulva Sutrasta ja muinaisesta kiinalaisesta teoksesta Zhou. -bi suan jin.

Kuten näette, Pythagoran lause on askarruttanut matemaatikoiden mieliä muinaisista ajoista lähtien. Noin 367 erilaista todistetta, jotka ovat nykyään olemassa, toimivat vahvistuksena. Mikään muu lause ei voi kilpailla sen kanssa tässä suhteessa. Huomattavia todisteiden kirjoittajia ovat Leonardo da Vinci ja Yhdysvaltain 20. presidentti James Garfield. Kaikki tämä kertoo tämän lauseen äärimmäisestä merkityksestä matematiikan kannalta: suurin osa geometrian lauseista on johdettu siitä tai tavalla tai toisella liittyy siihen.

Pythagoraan lauseen todisteet

Koulukirjat antavat enimmäkseen algebrallisia todisteita. Mutta lauseen ydin on geometriassa, joten tarkastellaan ensin niitä kuuluisan lauseen todisteita, jotka perustuvat tähän tieteeseen.

Todiste 1

Pythagoraan lauseen suorakulmaiselle kolmiolle yksinkertaisimman todistuksen saamiseksi sinun on asetettava ihanteelliset olosuhteet: olkoon kolmio ei vain suorakaiteen muotoinen, vaan myös tasakylkinen. On syytä uskoa, että se oli sellainen kolmio, jota muinaiset matemaatikot alun perin pitivät.

lausunto "suoran kolmion hypotenuusalle rakennettu neliö on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden summa" voidaan havainnollistaa seuraavalla piirroksella:

Katso tasakylkistä suorakulmiota kolmio ABC: Hypotenuusalle AC voit rakentaa neliön, joka koostuu neljästä kolmiosta, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen ABC. Ja jaloissa AB ja BC on rakennettu neliöön, joista jokainen sisältää kaksi samanlaista kolmiota.

Muuten, tämä piirustus muodosti perustan lukuisille anekdooteille ja sarjakuville, jotka on omistettu Pythagoraan teoreemaan. Ehkä tunnetuin on "Pythagoralaiset housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin":

Todiste 2

Tämä menetelmä yhdistää algebran ja geometrian, ja se voidaan nähdä muunnelmana muinaisen intialaisen matemaatikon Bhaskarin todisteesta.

Rakenna suorakulmainen kolmio, jossa on sivut a, b ja c(Kuva 1). Rakenna sitten kaksi neliötä, joiden sivut ovat yhtä suuret kuin kahden jalan pituuksien summa - (a+b). Tee jokaiseen ruutuun rakenteet, kuten kuvissa 2 ja 3.

Rakenna ensimmäiseen neliöön neljä samaa kolmiota kuin kuvassa 1. Tuloksena saadaan kaksi neliötä: toisessa on sivu a, toisessa on sivu b.

Toisessa neliössä neljä muodostettua analogista kolmiota muodostavat neliön, jossa on sivut yhtä suuri kuin hypotenuusa c.

Muodostettujen neliöiden pinta-alojen summa kuvassa 2 on yhtä suuri kuin sen neliön pinta-ala, jonka rakensimme kuvan 3 sivun c kanssa. Tämä voidaan helposti varmistaa laskemalla kuvan 1 neliöiden pinta-alat. 2 kaavan mukaan. Ja piirretyn neliön pinta-ala kuvassa 3. vähentämällä neliöön merkityn neljän yhtä suuren suorakulmaisen kolmion pinta-alat suuren neliön, jossa on sivu (a+b).

Kun tämä kaikki lasketaan, meillä on: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Laajenna sulut, tee kaikki tarvittavat algebralliset laskelmat ja hanki se a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Samanaikaisesti kuvassa 3 merkityn alueen pinta-ala. neliö voidaan laskea myös perinteisellä kaavalla S = c2. Nuo. a2+b2=c2 Olet todistanut Pythagoraan lauseen.

Todiste 3

Samaa muinaista intialaista todistetta kuvataan 1100-luvulla tutkielmassa ”Tiedon kruunu” (“Siddhanta Shiromani”), ja pääasiallisena argumenttina kirjailija käyttää vetoomusta, joka on osoitettu opiskelijoiden matemaattisille kyvyille ja havainnointikyvylle. seuraajia: "Katso!".

Mutta analysoimme tätä todistetta yksityiskohtaisemmin:

Rakenna neliön sisälle neljä suorakulmaista kolmiota piirustuksen mukaisesti. Suuren neliön sivu, joka on myös hypotenuusa, on merkitty Kanssa. Kutsutaan kolmion jalkoja A Ja b. Piirustuksen mukaan sisemmän neliön sivu on (a-b).

Käytä neliön pinta-alan kaavaa S = c2 laskea ulomman neliön pinta-ala. Ja samaan aikaan laske sama arvo lisäämällä sisäneliön pinta-ala ja neljän suorakulmaisen kolmion pinta-ala: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Voit käyttää molempia vaihtoehtoja neliön alueen laskemiseen varmistaaksesi, että ne antavat saman tuloksen. Ja se antaa sinulle oikeuden kirjoittaa se ylös c2 =(a-b)2 +4*1\2*a*b. Ratkaisun tuloksena saat Pythagoraan lauseen kaavan c2=a2+b2. Lause on todistettu.

Todiste 4

Tätä omituista muinaista kiinalaista todistetta kutsuttiin "morsian tuoliksi" - tuolin kaltaisen hahmon vuoksi, joka on seurausta kaikista rakenteista:

Se käyttää piirustusta, jonka olemme jo nähneet kuvassa 3 toisessa todistuksessa. Ja sisäneliö, jonka sivu on c, on rakennettu samalla tavalla kuin yllä annetussa muinaisessa Intian todistuksessa.

Jos leikkasit mielessäsi kaksi vihreää suorakulmaista kolmiota kuvan 1 piirroksesta, siirrä ne vastakkaiset puolet Kiinnitä neliö, jossa on sivu c ja hypotenukset lilakolmioiden hypotenuusihin, saat hahmon nimeltä ”morsiamen tuoli” (kuva 2). Selvyyden vuoksi voit tehdä saman paperineliöiden ja kolmioiden kanssa. Näet, että "morsiamen tuoli" muodostuu kahdesta neliöstä: pienistä, joissa on sivu b ja iso sivuilla a.

Näiden rakenteiden ansiosta muinaiset kiinalaiset matemaatikot ja me heitä seurasimme päätymään siihen johtopäätökseen c2=a2+b2.

Todiste 5

Tämä on toinen tapa löytää geometriaan perustuva ratkaisu Pythagoraan lauseeseen. Sitä kutsutaan Garfield-menetelmäksi.

Rakenna suorakulmainen kolmio ABC. Meidän on todistettava se BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Voit tehdä tämän jatkamalla jalkaa AU ja rakentaa segmentti CD, joka on yhtä suuri kuin jalka AB. Alempi kohtisuora ILMOITUS Jana ED. Segmentit ED Ja AU ovat tasa-arvoisia. Yhdistä pisteet E Ja SISÄÄN, ja E Ja KANSSA ja hanki alla olevan kuvan mukainen piirustus:

Tornin todistamiseksi turvaudumme jälleen jo testaamaamme menetelmään: löydämme tuloksena olevan hahmon alueen kahdella tavalla ja rinnastamme lausekkeet toisiinsa.

Etsi monikulmion alue SÄNKY voidaan tehdä lisäämällä sen muodostavien kolmen kolmion alueet. Ja yksi niistä ERU, ei ole vain suorakaiteen muotoinen, vaan myös tasakylkinen. Älkäämme myöskään unohtako sitä AB = CD, AC=ED Ja BC = CE- Tämä antaa meille mahdollisuuden yksinkertaistaa tallennusta eikä ylikuormittaa sitä. Niin, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Samalla on selvää, että SÄNKY on puolisuunnikkaan muotoinen. Siksi laskemme sen pinta-alan kaavalla: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Laskelmillemme on kätevämpää ja selkeämpää esittää segmentti ILMOITUS segmenttien summana AU Ja CD.

Kirjoitetaan molemmat tavat laskea kuvion pinta-ala asettamalla yhtäläisyysmerkki niiden väliin: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Käytämme yksinkertaistamiseksi meille jo tunnettua ja yllä kuvattua segmenttien tasa-arvoa oikea puoli tallenteet: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ja nyt avaamme sulut ja muunnamme tasa-arvon: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Kun kaikki muutokset on tehty, saamme juuri sen, mitä tarvitsemme: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Olemme todistaneet lauseen.

Tämä todisteiden luettelo ei tietenkään ole läheskään täydellinen. Pythagoraan lause voidaan myös todistaa käyttämällä vektoreita, kompleksilukuja, differentiaaliyhtälöitä, stereometriaa jne. Ja jopa fyysikot: jos esimerkiksi nestettä kaadetaan neliön ja kolmion muotoisiksi tilavuuksiksi, jotka ovat samanlaisia ​​kuin piirustuksissa. Nestettä kaatamalla voidaan todistaa pinta-alojen yhtäläisyys ja tuloksena itse lause.

Muutama sana Pythagoraan kolmosista

Tätä asiaa käsitellään vähän tai ei lainkaan koulun opetussuunnitelmassa. Samaan aikaan se on erittäin mielenkiintoinen ja on hyvin tärkeä geometriassa. Pythagoraan kolmoiskappaleita käytetään monien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen. Idea niistä voi olla hyödyllinen sinulle jatkokoulutuksessa.

Mitä ovat Pythagoraan kolmoset? Sitä he kutsuvat kokonaislukuja, kerätään kolmeen, joista kahden neliöiden summa on yhtä suuri kuin neliön kolmas luku.

Pythagoraan kolmiot voivat olla:

• primitiivinen (kaikki kolme numeroa ovat suhteellisen alkulukuja);
• ei-primitiivinen (jos jokainen kolmoisluku kerrotaan samalla luvulla, saat uuden kolminkertaisen, joka ei ole primitiivinen).

Jo ennen aikakauttamme muinaiset egyptiläiset kiehtoivat Pythagoraan kolmosten lukumäärän mania: tehtävissä he pitivät suorakulmaista kolmiota, jonka sivut olivat 3,4 ja 5 yksikköä. Muuten, mikä tahansa kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuret kuin Pythagoraan kolminkertaiset luvut, on oletuksena suorakaiteen muotoinen.

Esimerkkejä Pythagoraan kolmosista: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) jne.

Lauseen käytännön soveltaminen

Pythagoraan teoreemaa ei sovelleta vain matematiikassa, vaan myös arkkitehtuurissa ja rakentamisessa, tähtitiedessä ja jopa kirjallisuudessa.

Ensinnäkin rakentamisesta: Pythagoraan lausetta käytetään siinä laajalti eri monimutkaisuustason ongelmissa. Katso esimerkiksi romaanista ikkunaa:

Merkitään ikkunan leveys muodossa b, niin suuren puoliympyrän säde voidaan merkitä muodossa R ja ilmaista kautta b: R = b/2. Pienempien puoliympyröiden säde voidaan ilmaista myös termeillä b: r = b/4. Tässä ongelmassa olemme kiinnostuneita ikkunan sisäympyrän säteestä (kutsutaanko sitä s).

Pythagoraan lause on vain kätevä laskettaessa R. Tätä varten käytämme suorakulmaista kolmiota, joka on merkitty kuvassa katkoviivalla. Kolmion hypotenuusa koostuu kahdesta säteestä: b/4+p. Yksi jalka on säde b/4, toinen b/2-p. Pythagoraan lauseen avulla kirjoitamme: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Seuraavaksi avaamme sulut ja saamme b 2 / 16 + bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Muunnetaan tämä ilmaus muotoon bp/2=b2/4-bp. Ja sitten jaetaan kaikki termit b, annamme samanlaisia ​​saada 3/2*p=b/4. Ja lopulta löydämme sen p=b/6- jota tarvitsimme.

Lauseen avulla voit laskea harjakaton kattopalkkien pituuden. Määritä tornin korkeus matkaviestintä tarvitaan, jotta signaali saavuttaa tietyn sijainti. Ja jopa vakaasti asennettu joulukuusi kaupungin aukiolla. Kuten näette, tämä lause ei asu vain oppikirjojen sivuilla, vaan se on usein hyödyllinen tosielämässä.

Mitä kirjallisuuteen tulee, Pythagoraan lause on inspiroinut kirjoittajia antiikista lähtien ja tekee niin edelleen. Esimerkiksi 1800-luvulla elänyt saksalainen kirjailija Adelbert von Chamisso innostui hänestä kirjoittamaan sonetin:

Totuuden valo ei pian hajoa,
Mutta loistaessaan se ei todennäköisesti hajoa
Ja kuten tuhansia vuosia sitten,
Ei aiheuta epäilyksiä ja riitoja.

Viisain, kun se koskettaa silmää
Totuuden valo, kiitos jumalille;
Ja sata härkää, puukotettuja, valehtelee -
Onnen Pythagoraan palautuslahja.

Siitä lähtien härät ovat karjuneet epätoivoisesti:
Ikuisesti herätti härkäheimon
tässä mainittu tapahtuma.

He luulevat, että on aika
Ja taas heidät uhrataan
Hieno teoreema.

(kääntäjä Viktor Toporov)

Ja 1900-luvulla Neuvostoliiton kirjailija Jevgeni Veltistov omisti kirjassaan "Elektroniikan seikkailut" koko luvun Pythagoraan lauseen todistuksille. Ja puoli lukua tarinaa kaksiulotteisesta maailmasta, joka voisi olla olemassa, jos Pythagoraan lauseesta tulisi yhden maailman peruslaki ja jopa uskonto. Siinä olisi paljon helpompaa elää, mutta myös paljon tylsempää: esimerkiksi siellä ei kukaan ymmärrä sanojen "pyöreä" ja "pörröinen" merkitystä.

Ja kirjassa "The Adventures of Electronics" kirjoittaja sanoo matematiikan opettaja Tarataran suun kautta: "Matematiikan pääasia on ajatuksen liike, uudet ideat." Juuri tämä luova ajatuslento synnyttää Pythagoraan lauseen - ei turhaan ole, että sillä on niin monia erilaisia ​​todisteita. Se auttaa menemään tavallista pidemmälle ja katsomaan tuttuja asioita uudella tavalla.

Johtopäätös

Tämä artikkeli on luotu, jotta voit katsoa pidemmälle koulun opetussuunnitelma matematiikassa ja oppia paitsi niitä Pythagoraan lauseen todisteita, jotka on annettu oppikirjoissa "Geometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) ja "Geometria 7-11" (A.V. Pogorelov), vaan myös muita mielenkiintoisia tapoja todistaa kuuluisa lause. Ja katso myös esimerkkejä siitä, kuinka Pythagoraan lausetta voidaan soveltaa jokapäiväisessä elämässä.

Ensinnäkin näiden tietojen avulla voit vaatia korkeampia pisteitä matematiikan tunneilla - aihetta koskevat tiedot muista lähteistä ovat aina erittäin arvostettuja.

Toiseksi, halusimme auttaa sinua saamaan käsityksen siitä, miten matematiikka on mielenkiintoista tiedettä. Varmista päällä konkreettisia esimerkkejä että luovuudelle on aina tilaa. Toivomme, että Pythagoraan lause ja tämä artikkeli inspiroivat sinua tekemään omaa tutkimusta ja jännittäviä löytöjä matematiikassa ja muissa tieteissä.

Kerro meille kommenteissa, jos pidit artikkelissa esitettyjä todisteita mielenkiintoisina. Oliko näistä tiedoista apua opinnoissasi? Kerro meille mielipiteesi Pythagoraan lauseesta ja tästä artikkelista - keskustelemme mielellämme kaikesta tästä kanssasi.

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Pythagoraan lause on geometrian tärkein lause. Lause muotoillaan seuraavasti: suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa.

Yleensä tämän lausunnon löytäminen johtuu antiikin kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Pythagoras (VI vuosisadalla eKr.). Mutta babylonialaisten nuolenkirjoitustaulujen ja muinaisten kiinalaisten käsikirjoitusten (jopa vanhempien käsikirjoitusten kopioita) tutkiminen osoitti, että tämä lausunto tunnettiin kauan ennen Pythagorasta, ehkä vuosituhatta ennen häntä. Pythagoraan ansio oli, että hän löysi tämän lauseen todisteen.

Todennäköisesti Pythagoraan lauseessa esitetty tosiasia vahvistettiin ensin tasakylkisille suorakulmaisille kolmioille. Riittää, kun katsot kuvassa 1 esitettyä mustien ja vaaleiden kolmioiden mosaiikkia. 1 kolmiolauseen paikkansapitävyyden varmistamiseksi: hypotenuusalle rakennettu neliö sisältää 4 kolmiota ja 2 kolmiota sisältävä neliö on rakennettu jokaiseen jalkaan. Muinaisen Intian yleisen tapauksen todistamiseksi heillä oli kaksi menetelmää: neliössä, jossa oli sivu, neljä suorakulmaista kolmiota, joiden jalat olivat pituudeltaan ja kuvat (kuva 2, a ja 2, b), minkä jälkeen he kirjoittivat yhden. sana "Katso!". Ja todellakin, katsomalla näitä kuvioita, näemme, että vasemmalla on kolmioista vapaa kuvio, joka koostuu kahdesta neliöstä, joissa on sivut ja vastaavasti sen pinta-ala on yhtä suuri, ja oikealla - neliö, jolla on sivu - sen pinta-ala on yhtä suuri. Tästä syystä , joka on Pythagoraan lauseen väite.

Kahden vuosituhannen ajan ei kuitenkaan käytetty tätä visuaalista näyttöä, vaan Euclidin keksimä monimutkaisempi todiste, joka on sijoitettu hänen kuuluisaan kirjaansa "Alku" (katso Euclid and his "Beginnings"), Euclid alensi korkeutta. huippu oikea kulma hypotenuusalle ja osoitti, että sen jatko jakaa hypotenuusalle rakennetun neliön kahdeksi suorakulmioksi, joiden pinta-alat ovat yhtä suuret kuin jalkoihin rakennettujen vastaavien neliöiden pinta-alat (kuva 3). Tämän lauseen todistuksessa käytettyä piirrosta kutsutaan leikkimielisesti "Pythagoran housuiksi". Häntä pidettiin pitkään yhtenä matemaattisen tieteen symboleista.

Nykyään Pythagoraan lauseesta tunnetaan useita kymmeniä erilaisia ​​todisteita. Jotkut niistä perustuvat neliöiden väliseinään, jossa hypotenuusalle rakennettu neliö koostuu jaloille rakennettujen neliöiden väliseiniin sisältyvistä osista; muut - samansuuruisten lukujen täydennyksestä; kolmas - siitä tosiasiasta, että korkeus, joka lasketaan suoran kulman kärjestä hypotenuusaan, jakaa suorakulmaisen kolmion kahdeksi sen kaltaiseksi kolmioksi.

Pythagoraan lause on useimpien geometristen laskelmien taustalla. Jo muinaisessa Babylonissa sitä käytettiin laskemaan tasakylkisen kolmion korkeuden pituus kannan ja sivun pituuksilla, segmentin nuoli ympyrän halkaisijalla ja jänteen pituudella ja määrittämään suhde. joidenkin säännöllisten polygonien elementtien välillä. Pythagoraan lauseen avulla on todistettu sen yleistys, jonka avulla voidaan laskea terävän tai tylpän kulman vastapäätä olevan sivun pituus:

Tästä yleistyksestä seuraa, että suoran kulman läsnäolo ei ole vain riittävä, vaan myös välttämätön ehto tasa-arvon täyttymiselle. Kaava (1) viittaa relaatioon suunnikkaan diagonaalien ja sivujen pituuksien välillä, jolla on helppo löytää kolmion mediaanin pituus sen sivujen pituuksista.

Pythagoraan lauseeseen perustuen johdetaan myös kaava, joka ilmaisee minkä tahansa kolmion alueen sen sivujen pituuksilla (katso Heronin kaava). Pythagoraan lausetta käytettiin tietysti myös erilaisten käytännön ongelmien ratkaisemiseen.

Suorakulmaisen kolmion sivuilla olevien neliöiden sijaan voit rakentaa mitä tahansa toistensa kaltaisia ​​muotoja (tasasivuisia kolmioita, puoliympyröitä jne.). Tässä tapauksessa hypotenuusalle rakennetun hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen hahmojen pinta-alojen summa. Toinen yleistys liittyy siirtymiseen tasosta avaruuteen. Se on muotoiltu seuraavasti: suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjän pituuden neliö on yhtä suuri kuin summa sen mittojen neliöt (pituus, leveys ja korkeus). Samanlainen lause pätee myös moniulotteisissa ja jopa äärettömän ulottuvuuden tapauksissa.

Pythagoraan lause on olemassa vain euklidisessa geometriassa. Se ei tapahdu Lobatševskin geometriassa eikä muissa ei-euklidisissa geometrioissa. Pythagoraan lauseelle ei myöskään ole vastaavaa palloa. Kaksi meridiaania, jotka muodostavat 90°:n kulman ja päiväntasaaja, sidoivat palloon tasasivuisen pallomaisen kolmion, joista kaikki kolme ovat suoria kulmia. Hänelle, ei niin kuin lentokoneessa.

Pythagoraan lauseen avulla pisteiden ja koordinaattitason välinen etäisyys lasketaan kaavalla

.

Pythagoraan lauseen löytämisen jälkeen heräsi kysymys, kuinka löytää kaikki luonnollisten lukujen kolmiot, jotka voivat olla suorakulmaisten kolmioiden sivuja (katso Fermatin suuri lause). Pythagoralaiset löysivät ne, mutta jopa babylonialaiset tiesivät joitakin yleisiä menetelmiä tällaisten kolminkertaisten lukujen löytämiseksi. Yksi nuolenkielisistä tableteista sisältää 15 triplettiä. Niiden joukossa on kolmosia, jotka koostuvat niin suuria lukuja että niiden löytämisestä valinnalla ei voi olla kysymys.

HIPPOKRATE HELVETTI

Hippokrateen kuut ovat hahmoja, joita rajoittavat kahden ympyrän kaaret ja lisäksi sellaisia, että käyttämällä näiden ympyröiden yhteisen jänteen säteitä ja pituutta, kompassin ja viivaimen avulla voit rakentaa niille samankokoisia neliöitä.

Pythagoraan lauseen yleistyksestä puoliympyröiksi seuraa, että vasemmalla olevan kuvan vaaleanpunaisten reikien pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin sinisen kolmion pinta-ala. Siksi, jos otamme tasakylkisen suorakulmaisen kolmion, saamme kaksi reikää, joista kummankin pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet kolmion pinta-alasta. Muinainen kreikkalainen matemaatikko Hippokrates (5. vuosisadalla eKr.) yritti ratkaista ympyrän neliöintiongelman (katso antiikin klassiset ongelmat) löysi useita lisää reikiä, joiden alueet ilmaistaan ​​suoraviivaisten kuvioiden pinta-aloilla.

Täydellinen luettelo hippomarginaalisista reikistä saatiin vasta 1800-1900-luvuilla. Galois'n teoriamenetelmien avulla.

Varmista, että antamasi kolmio on suorakulmainen kolmio, koska Pythagoraan lause pätee vain suorakulmaisiin kolmioihin. Suorakulmaisissa kolmioissa yksi kolmesta kulmasta on aina 90 astetta.

• Suorakulmaisen kolmion suora kulma on osoitettu neliöllä käyrän sijaan, joka edustaa ei-suoraa kulmia.

Merkitse kolmion sivut. Nimeä jalat "a" ja "b" (jalat ovat sivut, jotka leikkaavat suorassa kulmassa) ja hypotenuusa "c" (hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion suurin sivu, joka on oikeaa kulmaa vastapäätä).

Päätä, kumman kolmion puolen haluat löytää. Pythagoraan lauseen avulla voit löytää suorakulmaisen kolmion minkä tahansa sivun (jos kaksi muuta sivua tunnetaan). Selvitä, mikä puoli (a, b, c) on löydettävä.

• Esimerkiksi hypotenuusa on 5 ja jalka on 3. Tässä tapauksessa sinun on löydettävä toinen jalka. Palaamme tähän esimerkkiin myöhemmin.
• Jos kaksi muuta puolta ovat tuntemattomia, on tarpeen löytää toisen tuntemattoman sivun pituus, jotta Pythagoraan lausetta voidaan soveltaa. Käytä tätä varten perustoimintoa trigonometriset funktiot(jos sinulle annetaan yhden ei-suoran kulman arvo).

Korvaa sinulle antamasi arvot (tai löytämäsi arvot) kaavassa a 2 + b 2 \u003d c 2. Muista, että a ja b ovat jalkoja ja c on hypotenuusa.

• Kirjoita esimerkissämme: 3² + b² = 5².

Neliö jokainen tunnettu puoli. Tai jätä asteet - voit neliöidä numerot myöhemmin.

• Kirjoita esimerkissämme: 9 + b² = 25.

Eristä tuntematon puoli yhtälön toiselta puolelta. Voit tehdä tämän siirtymällä tunnetut arvot yhtälön toiselle puolelle. Jos löydät hypotenuusan, niin Pythagoran lauseessa se on jo eristetty yhtälön toiselta puolelta (joten mitään ei tarvitse tehdä).

• Siirrä esimerkissämme 9 kohtaan oikea puoli yhtälöt tuntemattoman b²:n eristämiseksi. Saat b² = 16.

Ottaa talteen Neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta sen jälkeen, kun tuntematon (neliö) on läsnä yhtälön toisella puolella ja vapaa termi (luku) on läsnä toisella puolella.

• Esimerkissämme b² = 16. Ota yhtälön kummankin puolen neliöjuuri ja saa b = 4. Joten toinen haara on 4.

Käytä Pythagoraan lausetta Jokapäiväinen elämä, koska sitä voidaan käyttää suuret numerot käytännön tilanteita. Tätä varten sinun on opittava tunnistamaan suorakulmaiset kolmiot jokapäiväisessä elämässä - kaikissa tilanteissa, joissa kaksi kohdetta (tai viivaa) leikkaavat suorassa kulmassa ja kolmas esine (tai viiva) yhdistää (diagonaalisesti) kahden ensimmäisen objektin (tai rivit), voit käyttää Pythagoran lausetta löytääksesi tuntemattoman puolen (jos kaksi muuta puolta tunnetaan).

• Esimerkki: Tikkaat nojaavat rakennusta vasten. Portaiden alaosa on 5 metriä seinän pohjasta. Yläosa portaat sijaitsevat 20 metrin päässä maasta (seinää ylös). Mikä on tikkaiden pituus?
  • "5 metriä seinän pohjasta" tarkoittaa, että a = 5; "on 20 metriä maasta" tarkoittaa, että b = 20 (eli sinulle annetaan kaksi suorakulmaisen kolmion jalkaa, koska rakennuksen seinä ja maan pinta leikkaavat suorassa kulmassa). Tikkaiden pituus on hypotenuusan pituus, jota ei tunneta.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Näin ollen portaiden likimääräinen pituus on 20,6 metriä.

GEOMETRISTEN KUVIEN ALUEEN MITTAAMINEN.

§ 58. PYTHAGOREAN LAUSE 1 .

__________
1 Pythagoras on kreikkalainen tiedemies, joka eli noin 2500 vuotta sitten (564-473 eKr.).
_________

Olkoon annettu suorakulmainen kolmio, jonka sivut A, b Ja Kanssa(kehittäjä 267).

Rakennetaan neliöitä sen sivuille. Näiden neliöiden pinta-alat ovat vastaavasti A 2 , b 2 ja Kanssa 2. Todistetaan se Kanssa 2 = a 2 +b 2 .

Tehdään kaksi neliötä MKOR ja M"K"O"R" (kuvat 268, 269) ottamalla kummankin sivuksi jana, joka on yhtä suuri kuin suorakulmaisen kolmion ABC haarojen summa.

Kun näissä neliöissä on tehty piirustuksissa 268 ja 269 esitetyt rakenteet, näemme, että MKOR-neliö on jaettu kahteen ruutuun, joiden pinta-alat A 2 ja b 2 ja neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota, joista jokainen on yhtä suuri kuin suorakulmainen kolmio ABC. Neliö M"K"O"R on jaettu nelikulmioon (se on varjostettu piirustuksessa 269) ja neljään suorakulmaiseen kolmioon, joista jokainen on yhtä suuri kuin kolmio ABC. Varjostettu nelikulmio on neliö, koska sen sivut ovat yhtä suuret (kukin on yhtä suuri kuin kolmion ABC hypotenuusa, ts. Kanssa) ja kulmat ovat oikeat / 1 + / 2 = 90°, mistä / 3 = 90°).

Siten jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa (piirustuksessa 268 nämä neliöt on varjostettu) on yhtä suuri kuin MKOR-neliön pinta-ala ilman neljän yhtä suuren kolmion pinta-alojen summaa ja pinta-ala hypotenuusalle rakennettu neliö (piirustuksessa 269 tämä neliö on myös varjostettu) on yhtä suuri kuin neliön M "K" O "R" pinta-ala, joka on yhtä suuri kuin MKOR:n neliö ilman pinta-alojen summaa neljä samaa kolmiota. Siksi suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa.

Saamme kaavan Kanssa 2 = a 2 +b 2, missä Kanssa- hypotenuusa, A Ja b- suorakulmaisen kolmion jalat.

Pythagoraan lause voidaan tiivistää seuraavasti:

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

Kaavasta Kanssa 2 = a 2 +b 2 saat seuraavat kaavat:

A 2 = Kanssa 2 - b 2 ;
b 2 = Kanssa 2 - A 2 .

Näitä kaavoja voidaan käyttää oikean kolmion tuntemattoman sivun löytämiseen, kun on annettu sen kaksi sivua.
Esimerkiksi:

a) jos jalat annetaan A= 4 cm, b\u003d 3 cm, niin löydät hypotenuusan ( Kanssa):
Kanssa 2 = a 2 +b 2, eli Kanssa 2 = 4 2 + 3 2; jossa 2 = 25, mistä Kanssa= √25 = 5 (cm);

b) jos hypotenuusa annetaan Kanssa= 17 cm ja jalka A= 8 cm, niin löydät toisen jalan ( b):

b 2 = Kanssa 2 - A 2, eli b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, mistä b= √225 = 15 (cm).

Seuraus: Jos kahdessa suorakulmaisessa kolmiossa ABC ja A 1 B 1 C 1 hypotenuusa Kanssa Ja Kanssa 1 ovat yhtä suuret, ja jalka b Kolmio ABC on suurempi kuin jalka b 1 kolmio A 1 B 1 C 1,
sitten jalka A kolmio ABC pienempi kuin jalka A 1 kolmio A 1 B 1 C 1 . (Tee piirustus, joka havainnollistaa tätä seurausta.)

Pythagoraan lauseen perusteella saammekin:

A 2 = Kanssa 2 - b 2 ,
A 1 2 = Kanssa 1 2 - b 1 2

Kirjoitetuissa kaavoissa minuendit ovat yhtä suuret, ja ensimmäisen kaavan aliosa on suurempi kuin toisen kaavan aliosa, joten ensimmäinen ero on pienempi kuin toinen,
eli A 2 < A 12. Missä A< A 1 .

Harjoitukset.

1. Todista Pythagoran lause tasakylkiselle suorakulmaiselle kolmiolle piirustuksen 270 avulla.

2. Suorakulmaisen kolmion toinen haara on 12 cm, toinen 5 cm. Laske tämän kolmion hypotenuusan pituus.

3. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 10 cm, toinen haara on 8 cm. Laske tämän kolmion toisen haaran pituus.

4. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 37 cm, sen toinen haara on 35 cm. Laske tämän kolmion toisen haaran pituus.

5. Muodosta neliö, joka on kaksi kertaa annetun neliön pinta-ala.

6. Muodosta neliö, joka on kaksi kertaa annetun neliön pinta-ala. Ohje. Piirrä diagonaalit tähän neliöön. Näiden diagonaalien puolikkaille rakennetut neliöt ovat haluttuja.

7. Suorakulmaisen kolmion jalat ovat vastaavasti 12 cm ja 15 cm. Laske tämän kolmion hypotenuusan pituus 0,1 cm:n tarkkuudella.

8. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 20 cm, sen toinen haara on 15 cm. Laske toisen jalan pituus 0,1 cm:n tarkkuudella.

9. Kuinka pitkät tikkaiden tulee olla, jotta ne voidaan kiinnittää 6 m korkeudella sijaitsevaan ikkunaan, jos tikkaiden alapää on 2,5 m rakennuksesta? (Hitto 271.)