siro ja kaunis yksinkertainen tehtävä niiden kategoriasta, jotka toimivat pelastusköydenä kelluvalle opiskelijalle. Luonnossa heinäkuun puolivälin uninen valtakunta, joten on aika asettua kannettavan tietokoneen kanssa rannalle. Varhain aamulla soi auringonsäde teoriasta, joka keskittyi pian käytäntöön, joka julistetusta keveydestä huolimatta sisältää lasin sirpaleita hiekassa. Tältä osin suosittelen harkitsemaan tunnollisesti muutamia esimerkkejä tältä sivulta. Käytännön tehtävien ratkaisemiseksi sinun on kyettävä löytää johdannaisia ja ymmärtää artikkelin materiaalin Funktion monotonisuuden ja äärimmäisyyden intervallit.

Ensinnäkin lyhyesti pääasiasta. Oppitunnilla aiheesta toiminnan jatkuvuus Annoin jatkuvuuden määritelmän pisteessä ja jatkuvuuden intervallissa. Toiminnon esimerkinomainen käyttäytyminen segmentillä on muotoiltu samalla tavalla. Funktio on jatkuva segmentillä, jos:

1) se on jatkuva aikavälillä ;
2) jatkuva pisteessä oikealla ja pisteessä vasemmalle.

Toisessa kappaleessa käsitellään ns yksipuolinen jatkuvuus toimii jossain kohdassa. Sen määrittelyyn on useita lähestymistapoja, mutta pysyn aiemmin aloitetussa linjassa:

Funktio on jatkuva pisteessä oikealla, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen oikeanpuoleinen raja on sama kuin funktion arvo tietyssä pisteessä: . Se on jatkuvaa pisteessä vasemmalle, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen vasen raja on yhtä suuri kuin arvo tässä tilanteessa:

Kuvittele, että vihreät pisteet ovat nauloja, joihin maaginen kuminauha on kiinnitetty:

Ota henkisesti punainen viiva käsiisi. Ilmeisesti riippumatta siitä kuinka pitkälle venytetään kuvaajaa ylös ja alas (akselia pitkin), funktio pysyy silti rajoitettu- pensas ylhäällä, pensas alla ja tuotteemme laiduntaa aitauksessa. Täten, segmentillä jatkuva funktio rajoittuu siihen. Matemaattisen analyysin aikana tämä näennäisesti yksinkertainen tosiasia todetaan ja todistetaan tiukasti Weierstrassin ensimmäinen lause.… Monia ärsyttää se, että alkeellisia väitteitä perustellaan ikävästi matematiikassa, mutta tällä on tärkeä merkitys. Oletetaan, että tietty froteekeskiajan asukas veti kaavion taivaalle näkyvyyden rajojen yli, tämä lisättiin. Ennen kaukoputken keksintöä rajallinen toiminta avaruudessa ei ollut ollenkaan ilmeinen! Todellakin, mistä tiedät, mikä meitä odottaa horisontin takana? Loppujen lopuksi, kun maata pidettiin litteänä, joten nykyään jopa tavallinen teleportaatio vaatii todisteita =)

Mukaan toinen Weierstrassin lause, jatkuva segmentillätoiminto saavuttaa sen tarkka yläreuna ja hänen tarkka alareuna .

Numeroon myös soitetaan segmentin funktion enimmäisarvo ja merkitty , ja numerolla - segmentin funktion vähimmäisarvo merkitty .

Meidän tapauksessamme:

Huomautus : teoriassa tietueet ovat yleisiä .

Karkeasti sanottuna, korkein arvo sijaitsee siellä, missä kohokohta grafiikka, ja pienin - missä on alin kohta.

Tärkeä! Kuten artikkelissa jo todettiin funktion ääripää, funktion suurin arvo Ja pienin funktion arvo – EI OLE SAMA, Mitä toiminto maksimi Ja funktion minimi. Joten tässä esimerkissä numero on funktion minimi, mutta ei minimiarvo.

Muuten, mitä tapahtuu segmentin ulkopuolella? Kyllä, edes tulva, kyseessä olevan ongelman yhteydessä, tämä ei kiinnosta meitä ollenkaan. Tehtävä sisältää vain kahden luvun etsimisen ja siinä se!

Lisäksi ratkaisu on puhtaasti analyyttinen, joten ei tarvitse piirtää!

Algoritmi on pinnalla ja ehdottaa itseään yllä olevasta kuvasta:

1) Etsi funktion arvot kriittiset kohdat, jotka kuuluvat tähän segmenttiin.

Ota vielä yksi herkku: ääripään riittävää kuntoa ei tarvitse tarkistaa, koska, kuten juuri näytettiin, minimi- tai maksimiarvo ei vielä taattu mikä on pienin tai suurin arvo. Esittelyfunktio saavuttaa maksiminsa ja kohtalon tahdosta sama luku on funktion suurin arvo välillä . Mutta tällaista sattumaa ei tietenkään aina tapahdu.

Joten ensimmäisessä vaiheessa on nopeampaa ja helpompaa laskea funktion arvot segmenttiin kuuluvissa kriittisissä pisteissä välittämättä siitä, onko niissä äärimmäisiä vai ei.

2) Laskemme funktion arvot segmentin päissä.

3) 1. ja 2. kappaleen funktion arvoista valitsemme pienimmän ja suurimman iso luku, kirjoita vastaus ylös.

Istumme rannalle sininen meri ja lyö kantapäät matalassa vedessä:

Esimerkki 1

Etsi suurin ja pienin arvo toimii välissä

Ratkaisu:
1) Laske funktion arvot kriittisissä pisteissä, jotka kuuluvat tähän segmenttiin:

Lasketaan funktion arvo toisessa kriittisessä pisteessä:

2) Laske funktion arvot segmentin päissä:

3) "Lihavoidut" tulokset saatiin eksponentiaaleilla ja logaritmeilla, mikä vaikeuttaa merkittävästi niiden vertailua. Tästä syystä aseistamme itsemme laskimella tai Excelillä ja laskemme likimääräiset arvot unohtamatta, että:

Nyt kaikki on selvää.

Vastaus:

Murto-rationaalinen ilmentymä itsenäiselle ratkaisulle:

Esimerkki 6

Etsi segmentin funktion enimmäis- ja minimiarvot

Funktion suurin ja pienin arvo

Funktion suurinta arvoa kutsutaan suurimmaksi, pienin arvo on pienin sen arvoista.

Funktiolla voi olla vain yksi suurin ja vain yksi pienin arvo tai sitä ei voi olla ollenkaan. Suurimpien ja pienimpien arvojen löytäminen jatkuvat toiminnot perustuu näiden funktioiden seuraaviin ominaisuuksiin:

1) Jos jossain välissä (äärellinen tai ääretön) funktio y=f(x) on jatkuva ja sillä on vain yksi ääripää, ja jos tämä on maksimi (minimi), se on funktion suurin (pienin) arvo tässä välissä.

2) Jos funktio f(x) on jatkuva jollakin segmentillä , niin sillä on välttämättä suurimmat ja pienimmät arvot tässä segmentissä. Nämä arvot saavutetaan joko segmentin sisällä olevissa ääripisteissä tai tämän segmentin rajoilla.

Segmentin suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi on suositeltavaa käyttää seuraavaa kaaviota:

1. Etsi derivaatta.

2. Etsi kriittiset pisteet funktiolle, jossa =0 tai ei ole olemassa.

3. Etsi funktion arvot kriittisistä pisteistä ja janan päistä ja valitse niistä suurin f max ja pienin f min.

Sovellettuja tehtäviä, erityisesti optimointitehtäviä ratkaistaessa ovat tärkeitä funktion suurimman ja pienimmän arvojen (globaali maksimi ja globaali minimi) löytäminen väliltä X. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi tulee ehdon perusteella , valitse itsenäinen muuttuja ja ilmaise tutkittava arvo tämän muuttujan kautta. Etsi sitten tuloksena olevan funktion haluttu maksimi- tai minimiarvo. Tässä tapauksessa riippumattoman muuttujan muutosväli, joka voi olla äärellinen tai ääretön, määräytyy myös tehtävän ehdosta.

Esimerkki. Säiliö, joka on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö neliömäisellä pohjalla, ylhäältä avoin, on tinattava sisältä tinalla. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat, joiden tilavuus on 108 litraa. vettä niin, että sen tinauskustannukset ovat vähiten?

Ratkaisu. Säiliön tinapinnoituskustannukset ovat alhaisimmat, jos sen pinta on tietyllä kapasiteetilla minimaalinen. Merkitse a dm - pohjan sivu, b dm - säiliön korkeus. Silloin sen pinnan pinta-ala S on yhtä suuri kuin

JA

Tuloksena oleva suhde määrittää suhteen säiliön pinta-alan S (funktio) ja pohjan a sivun (argumentti) välillä. Tutkimme funktiota S ääripäälle. Etsi ensimmäinen derivaatta, vertaa se nollaan ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö:

Näin ollen a = 6. (a) > 0, jos a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Esimerkki. Etsi funktion suurin ja pienin arvo välissä.

Ratkaisu: Aseta toiminto jatkuva kokonaislukurivillä. Funktiojohdannainen

Johdannainen osoitteessa ja . Lasketaan funktion arvot näissä kohdissa:

.

Annetun intervallin päissä olevat funktioarvot ovat yhtä suuria kuin . Siksi funktion suurin arvo on , funktion pienin arvo on .

Kysymyksiä itsetutkiskelua varten

1. Muotoile L'Hopitalin sääntö lomakkeen epävarmuustekijöiden paljastamiseksi. Listaa erityyppiset epävarmuustekijät, joihin L'Hospitalin sääntöä voidaan käyttää.

2. Muotoile toiminnan lisääntymisen ja vähenemisen merkkejä.

3. Määritä funktion maksimi- ja minimiarvo.

4. Muotoile välttämätön edellytysääripään olemassaolo.

5. Mitä argumentin arvoja (mitä kohtia) kutsutaan kriittisiksi? Kuinka löytää nämä pisteet?

6. Mitkä ovat riittävät merkit funktion ääripään olemassaolosta? Piirrä kaavio ääripään funktion tutkimiseksi käyttämällä ensimmäistä derivaatta.

7. Piirrä kaavio ääripään funktion tutkimiseksi käyttämällä toista derivaatta.

8. Määrittele käyrän kupera, koveruus.

9. Mikä on funktiokaavion käännepiste? Määritä, kuinka nämä kohdat löydät.

10. Muotoile tarvittavat ja riittävät merkit käyrän kuperuudesta ja koveruudesta tietylle segmentille.

11. Määritä käyrän asymptootti. Kuinka löytää funktiokaavion pysty-, vaaka- ja vinoasymptootit?

12. Valtio yleinen kaava sen graafin funktion ja rakenteen tutkiminen.

13. Muotoile sääntö funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi tietyltä aikaväliltä.

Prosessi funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämiseksi segmentiltä muistuttaa kiehtovaa lentoa kohteen ympäri (funktion kaavio) helikopterilla, jossa ammutaan pitkän kantaman tykistä tietyissä pisteissä ja valitaan jostakin. Nämä pisteet ovat erittäin erityisiä kontrollilaukauksia varten. Pisteet valitaan tietyllä tavalla ja sen mukaan tietyt säännöt. millä säännöillä? Puhumme tästä lisää.

Jos toiminto y = f(x) jatkuva segmentillä [ a, b] , niin se saavuttaa tämän segmentin vähiten Ja korkeimmat arvot . Tämä voi tapahtua joko sisällä ääripisteet tai jakson päissä. Siksi löytää vähiten Ja funktion suurimmat arvot , jatkuva segmentillä [ a, b], sinun on laskettava sen arvot kokonaisuudessaan kriittiset kohdat ja segmentin päissä ja valitse sitten niistä pienin ja suurin.

Olkoon esimerkiksi tarpeen määrittää funktion maksimiarvo f(x) segmentillä [ a, b] . Voit tehdä tämän etsimällä sen kaikki kriittiset kohdat [ a, b] .

Kriittinen piste kutsutaan pisteeksi, jossa funktio määritetty, ja hän johdannainen on joko nolla tai sitä ei ole olemassa. Sitten sinun tulee laskea funktion arvot kriittisissä pisteissä. Ja lopuksi on verrattava funktion arvoja kriittisissä pisteissä ja segmentin päissä ( f(a) Ja f(b) ). Suurin näistä luvuista tulee olemaan funktion suurin arvo välissä [a, b] .

Löytämisen ongelma funktion pienimmät arvot .

Etsimme yhdessä funktion pienintä ja suurinta arvoa

Esimerkki 1. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 2] .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion derivaatan. Yhdistä derivaatta nollaan () ja saat kaksi kriittistä pistettä: ja . Tietyn segmentin funktion pienimmän ja suurimman arvon löytämiseksi riittää laskea sen arvot janan päissä ja pisteessä , koska piste ei kuulu segmenttiin [-1, 2] . Nämä funktioarvot ovat seuraavat: , , . Seuraa, että pienin funktion arvo(merkitty punaisella alla olevassa kaaviossa), joka on yhtä suuri kuin -7, saavutetaan janan oikeaan päähän - pisteessä , ja suurin(myös punainen kaaviossa), on yhtä suuri kuin 9, - kriittisessä pisteessä .

Jos funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä ja tämä intervalli ei ole jana (mutta on esimerkiksi intervalli; intervallin ja janan välinen ero: intervallin rajapisteet eivät sisälly väliin, mutta janan rajapisteet sisältyvät segmenttiin), niin funktion arvojen joukossa ei välttämättä ole pienintä ja suurinta. Joten esimerkiksi alla olevassa kuvassa esitetty funktio on jatkuva ]-∞, +∞[, eikä sillä ole suurinta arvoa.

Kuitenkin millä tahansa aikavälillä (suljettu, avoin tai ääretön) seuraava jatkuvien funktioiden ominaisuus pätee.

Esimerkki 4. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 3] .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion derivaatan osamäärän derivaatana:

.

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa meille yhden Kriittinen piste: . Se kuuluu väliin [-1, 3] . Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Verrataan näitä arvoja. Johtopäätös: yhtä suuri kuin -5/13, pisteessä ja suurin arvo yhtä suuri kuin 1 pisteessä .

Jatkamme funktion pienimmän ja suurimman arvon etsimistä yhdessä

On opettajia, jotka funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämisestä eivät anna opiskelijoille monimutkaisempia esimerkkejä kuin juuri tarkastelut, eli niitä, joissa funktio on polynomi tai murtoluku, osoittaja ja joiden nimittäjä on polynomi. Mutta emme rajoitu tällaisiin esimerkkeihin, koska opettajien joukossa on ystäviä, jotka haluavat saada opiskelijat ajattelemaan kokonaan (johdannaisten taulukko). Siksi käytetään logaritmia ja trigonometristä funktiota.

Esimerkki 6. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion johdannaisen muodossa tuotteen johdannainen :

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Kaikkien toimien tulos: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin 0, pisteessä ja pisteessä ja suurin arvo yhtä kuin e² kohdassa .

Esimerkki 7. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion johdannaisen:

Yhdistä derivaatta nollaan:

Ainoa kriittinen piste kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Johtopäätös: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin , pisteessä ja suurin arvo, yhtä suuri kuin , pisteessä .

Sovelletuissa äärimmäisissä ongelmissa pienimpien (suurimpien) funktioarvojen löytäminen on pääsääntöisesti vähennetty minimiin (maksimi). Mutta itse minimit tai maksimit eivät ole suurempaa käytännön mielenkiintoa, vaan argumentin arvot, joilla ne saavutetaan. Sovellettuja ongelmia ratkaistaessa syntyy lisävaikeus - funktioiden kokoaminen, jotka kuvaavat tarkasteltavaa ilmiötä tai prosessia.

Esimerkki 8 Säiliö, jonka tilavuus on 4 ja joka on suuntaissärmiön muotoinen neliömäisellä pohjalla ja ylhäältä avoin, on tinattava. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat, jotta se peittyy mahdollisimman vähän materiaalia?

Ratkaisu. Antaa x- pohjapuoli h- säiliön korkeus, S- sen pinta-ala ilman kantta, V- sen tilavuus. Säiliön pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla, ts. on kahden muuttujan funktio. Ilmaista S yhden muuttujan funktiona käytämme sitä tosiasiaa, että mistä . Korvaa löydetyn lausekkeen h kaavaan S:

Tarkastellaan tätä funktiota ääripäälle. Se on määritelty ja differentioituva kaikkialla ]0:ssa, +∞[ , ja

.

Yhdistämme derivaatan nollaan () ja löydämme kriittisen pisteen. Lisäksi kohdassa , derivaatta ei ole olemassa, mutta tämä arvo ei sisälly määritelmän alueeseen, eikä se siksi voi olla ääripiste. Joten, - ainoa kriittinen kohta. Tarkastetaan ääripään olemassaolo toisella riittävällä merkillä. Etsitään toinen derivaatta. Kun toinen derivaatta on suurempi kuin nolla (). Tämä tarkoittaa, että kun toiminto saavuttaa minimin . Koska tämä minimi - tämän funktion ainoa ääriarvo, se on sen pienin arvo. Joten säiliön pohjan sivun tulee olla 2 m ja sen korkeus.

Esimerkki 9 Kappaleesta A, joka sijaitsee rautatien varrella, pisteeseen KANSSA, kaukana siitä l, tavarat on kuljetettava. Painoyksikön kuljetuksen hinta etäisyysyksikköä kohti rautateitse on yhtä suuri kuin ja maanteillä se on yhtä suuri kuin . Mihin pisteeseen M rivit rautatie valtatie tulisi rakentaa niin, että tavarakuljetukset A V KANSSA oli edullisin AB rautatien oletetaan olevan suora)?

Kuinka löytää segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot?

Tätä varten noudatamme tunnettua algoritmia:

1 . Löydämme ODZ-toiminnot.

2 . Funktion derivaatan löytäminen

3 . Yhdistä derivaatta nollaan

4 . Löydämme välit, joilla derivaatta säilyttää etumerkkinsä, ja määritämme niistä funktion kasvu- ja laskuvälit:

Jos välillä I funktion 0 derivaatta" title="f^(alkuluku)(x)>0">, то функция !} kasvaa tällä aikavälillä.

Jos välillä I funktion derivaatta, niin funktio pienenee tällä aikavälillä.

5 . Löydämme funktion maksimi- ja minimipisteet.

SISÄÄN funktion maksimipiste, derivaatta muuttaa etumerkin "+":sta "-".

SISÄÄN funktion minimipistejohdannainen muuttaa merkin "-" arvosta "+".

6 . Löydämme funktion arvon segmentin päistä,

• sitten vertaamme funktion arvoa janan päissä ja maksimipisteissä, ja Valitse niistä suurin, jos haluat löytää funktion suurimman arvon
• tai vertaamme funktion arvoa janan päissä ja minimipisteissä, ja valitse niistä pienin, jos haluat löytää funktion pienimmän arvon

Kuitenkin riippuen siitä, kuinka funktio käyttäytyy välissä, tätä algoritmia voidaan vähentää merkittävästi.

Harkitse toimintoa . Tämän funktion kaavio näyttää tältä:

Tarkastellaan useita esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta Open Task Bank for

1 . Tehtävä B15 (#26695)

Leikkauksessa.

1. Funktio on määritelty kaikille x:n todellisille arvoille

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja derivaatta on positiivinen kaikille x:n arvoille. Siksi funktio kasvaa ja saa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, eli kohdassa x=0.

Vastaus: 5.

2 . Tehtävä B15 (nro 26702)

Etsi funktion suurin arvo segmentillä.

1.ODZ-toiminto title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivaata on nolla kohdassa , mutta näissä kohdissa se ei muuta etumerkkiä:

Siksi title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} kasvaa ja ottaa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, klo .

Tehdäksemme selväksi, miksi derivaatta ei muuta etumerkkiä, muunnamme derivaatan lausekkeen seuraavasti:

Title="y^(alkuluku)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Vastaus: 5.

3. Tehtävä B15 (#26708)

Etsi funktion pienin arvo väliltä .

1. ODZ-funktiot: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Laitetaan tämän yhtälön juuret trigonometriselle ympyrälle.

Väli sisältää kaksi numeroa: ja

Laitetaan merkit. Tätä varten määritetään derivaatan etumerkki pisteessä x=0: . Pisteiden läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Kuvataan funktion derivaatan etumerkkien muutos koordinaattiviivalla:

Ilmeisesti piste on minimipiste (jossa derivaatta muuttaa merkin "-":sta "+":ksi), ja löytääksesi funktion pienimmän arvon väliltä, ​​sinun on verrattava funktion arvoja minimipisteessä ja janan vasemmassa päässä, .

Vakioalgoritmi tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi sisältää funktion nollien löytämisen jälkeen derivaatan etumerkkien määrittämisen intervalleilla. Sitten arvojen laskeminen maksimin (tai minimin) löydetyissä pisteissä ja intervallin rajalla riippuen siitä, mikä kysymys on kunnossa.

Suosittelen sinua tekemään asiat hieman eri tavalla. Miksi? Kirjoitti siitä.

Ehdotan tällaisten tehtävien ratkaisemista seuraavasti:

1. Etsi derivaatta.
2. Etsi derivaatan nollat.
3. Selvitä, mitkä niistä kuuluvat annettuun väliin.
4. Laskemme funktion arvot kohdan 3 välin ja pisteiden rajoilla.
5. Teemme johtopäätöksen (vastaamme esitettyyn kysymykseen).

Esitettyjen esimerkkien ratkaisemisen aikana ratkaisua ei tarkasteltu yksityiskohtaisesti. toisen asteen yhtälöt, sinun pitäisi pystyä tekemään tämä. Heidänkin pitäisi tietää.

Harkitse esimerkkejä:

77422. Etsi funktion y=x suurin arvo 3 –3x+4 segmentillä [–2;0].

Etsitään derivaatan nollat:

Piste x = –1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Laskemme funktioarvot pisteissä –2, –1 ja 0:

Funktion suurin arvo on 6.

Vastaus: 6

77425. Etsi janan funktion y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 pienin arvo.

Etsi annetun funktion derivaatta:

Etsitään derivaatan nollat:

Piste x = 2 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Laskemme funktioarvot pisteissä 1, 2 ja 4:

Funktion pienin arvo on -2.

Vastaus: -2

77426. Etsi janan [-3; 3] funktion y \u003d x 3 - 6x 2 suurin arvo.

Etsi annetun funktion derivaatta:

Etsitään derivaatan nollat:

Piste x = 0 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Laskemme funktioarvot pisteissä –3, 0 ja 3:

Funktion pienin arvo on 0.

Vastaus: 0

77429. Etsi segmentin funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 pienin arvo.

Etsi annetun funktion derivaatta:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Saamme juuret: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Vain x = 1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Etsi funktioarvot kohdista 1 ja 4:

Huomasimme, että funktion pienin arvo on 3.

Vastaus: 3

77430. Etsi janan [- 4; -1].

Etsi annetun funktion derivaatta:

Etsi derivaatan nollat, ratkaise toisen asteen yhtälö:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Otetaan juuret:

Juuri х = –1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Etsi funktioarvot pisteistä –4, –1, –1/3 ja 1:

Huomasimme, että funktion suurin arvo on 3.

Vastaus: 3

77433. Etsi segmentin funktion y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 pienin arvo.

Etsi annetun funktion derivaatta:

Etsi derivaatan nollat, ratkaise toisen asteen yhtälö:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Otetaan juuret:

Juuri x = 4 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Löydämme funktion arvot pisteistä 0 ja 4:

Huomasimme, että funktion pienin arvo on -109.

Vastaus: -109

Harkitse menetelmää funktioiden suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi ilman derivaatta. Tätä lähestymistapaa voidaan käyttää, jos sinulla on johdannaisen määritelmä suuria ongelmia. Periaate on yksinkertainen - korvaamme kaikki kokonaislukuarvot intervallista funktioon (totuus on, että kaikissa tällaisissa prototyypeissä vastaus on kokonaisluku).

77437. Etsi janan [-2; 2] funktion y \u003d 7 + 12x - x 3 pienin arvo.

Korvaamme pisteet -2:sta 2:een: Näytä ratkaisu

77434. Etsi janan [-2; 0] funktion y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 suurin arvo.

Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.