Tämän palvelun avulla voit etsi funktion suurin ja pienin arvo yksi muuttuja f(x) ratkaisun suunnittelulla Wordissa. Jos funktio f(x,y) on annettu, on siksi löydettävä kahden muuttujan funktion ääriarvo. Löydät myös funktion lisäys- ja laskuvälit.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

y=

segmentillä [ ;]

Sisällytä teoria

Toiminnon syöttösäännöt:

Tarvittava ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle

Yhtälö f" 0 (x *) = 0 on välttämätön edellytys yhden muuttujan funktion ääriarvo, ts. pisteessä x * funktion ensimmäisen derivaatan täytyy hävitä. Se valitsee kiinteät pisteet x c, joissa funktio ei kasva tai vähennä.

Riittävä ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle

Olkoon f 0 (x) kahdesti differentioituva joukkoon D kuuluvan x:n suhteen. Jos pisteessä x * ehto täyttyy:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tällöin piste x * on funktion paikallisen (globaalin) minimin piste.

Jos pisteessä x * ehto täyttyy:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Piste x * on paikallinen (globaali) maksimi.

Esimerkki #1. Etsi funktion suurin ja pienin arvo: segmentistä .
Ratkaisu.

Kriittinen piste on yksi x 1 = 2 (f'(x)=0). Tämä piste kuuluu segmenttiin . (Piste x=0 ei ole kriittinen, koska 0∉).
Laskemme funktion arvot segmentin päissä ja kriittisessä pisteessä.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Vastaus: f min = 5/2, kun x = 2; f max = 9 kohdassa x = 1

Esimerkki #2. Etsi käyttämällä korkeamman asteen derivaattoja funktion y=x-2sin(x) ääriarvo.
Ratkaisu.
Etsi funktion derivaatta: y’=1-2cos(x) . Etsitään kriittiset pisteet: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Löydämme y''=2sin(x), laskemme , joten x= π / 3 +2πk, k∈Z ovat funktion minimipisteitä; , joten x=- π / 3 +2πk, k∈Z ovat funktion maksimipisteitä.

Esimerkki #3. Tutki pisteen x=0 läheisyydessä olevaa ääriarvofunktiota.
Ratkaisu. Tässä on löydettävä funktion ääripää. Jos äärisumma x=0 , niin selvitä sen tyyppi (minimi tai maksimi). Jos löydettyjen pisteiden joukossa ei ole x = 0, laske funktion arvo f(x=0).
On huomattava, että kun tietyn pisteen kummallakin puolella oleva derivaatta ei muuta etumerkkiään, mahdolliset tilanteet eivät ole käytetty edes differentioituvien funktioiden kohdalla: voi käydä niin, että mielivaltaisen pienelle naapurustolle pisteen toisella puolella x 0 tai molemmilla puolilla derivaatta muuttaa merkkiä. Näissä kohdissa täytyy soveltaa muita menetelmiä ääripään funktioiden tutkimiseen.

Vakioalgoritmi tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi sisältää funktion nollien löytämisen jälkeen derivaatan etumerkkien määrittämisen intervalleilla. Sitten arvojen laskeminen maksimin (tai minimin) löydetyissä pisteissä ja intervallin rajalla riippuen siitä, mikä kysymys on kunnossa.

Suosittelen sinua tekemään asiat hieman eri tavalla. Miksi? Kirjoitti siitä.

Ehdotan tällaisten tehtävien ratkaisemista seuraavasti:

1. Etsi derivaatta.
2. Etsi derivaatan nollat.
3. Selvitä, mitkä niistä kuuluvat annettuun väliin.
4. Laskemme funktion arvot kohdan 3 välin ja pisteiden rajoilla.
5. Teemme johtopäätöksen (vastaamme esitettyyn kysymykseen).

Esitettyjen esimerkkien ratkaisemisen aikana ratkaisua ei tarkasteltu yksityiskohtaisesti. toisen asteen yhtälöt, sinun pitäisi pystyä tekemään tämä. Heidänkin pitäisi tietää.

Harkitse esimerkkejä:

77422. Etsi funktion y=x suurin arvo 3 –3x+4 segmentillä [–2;0].

Etsitään derivaatan nollat:

Piste x = –1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Laskemme funktioarvot pisteissä –2, –1 ja 0:

Funktion suurin arvo on 6.

Vastaus: 6

77425. Etsi janan funktion y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 pienin arvo.

Etsi annetun funktion derivaatta:

Etsitään derivaatan nollat:

Piste x = 2 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Laskemme funktioarvot pisteissä 1, 2 ja 4:

Funktion pienin arvo on -2.

Vastaus: -2

77426. Etsi janan [-3; 3] funktion y \u003d x 3 - 6x 2 suurin arvo.

Etsi annetun funktion derivaatta:

Etsitään derivaatan nollat:

Piste x = 0 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Laskemme funktioarvot pisteissä –3, 0 ja 3:

Funktion pienin arvo on 0.

Vastaus: 0

77429. Etsi segmentin funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 pienin arvo.

Etsi annetun funktion derivaatta:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Saamme juuret: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Vain x = 1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Etsi funktioarvot kohdista 1 ja 4:

Huomasimme, että funktion pienin arvo on 3.

Vastaus: 3

77430. Etsi janan [- 4; -1].

Etsi annetun funktion derivaatta:

Etsi derivaatan nollat, ratkaise toisen asteen yhtälö:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Otetaan juuret:

Juuri х = –1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Etsi funktioarvot pisteistä –4, –1, –1/3 ja 1:

Huomasimme, että funktion suurin arvo on 3.

Vastaus: 3

77433. Etsi segmentin funktion y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 pienin arvo.

Etsi annetun funktion derivaatta:

Etsi derivaatan nollat, ratkaise toisen asteen yhtälö:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Otetaan juuret:

Juuri x = 4 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.

Löydämme funktion arvot pisteistä 0 ja 4:

Huomasimme, että funktion pienin arvo on -109.

Vastaus: -109

Harkitse menetelmää suurimman ja pienin arvo toimii ilman johdannaista. Tätä lähestymistapaa voidaan käyttää, jos sinulla on johdannaisen määritelmä suuria ongelmia. Periaate on yksinkertainen - korvaamme kaikki kokonaislukuarvot intervallista funktioon (totuus on, että kaikissa tällaisissa prototyypeissä vastaus on kokonaisluku).

77437. Etsi janan [-2; 2] funktion y \u003d 7 + 12x - x 3 pienin arvo.

Korvaamme pisteet -2:sta 2:een: Näytä ratkaisu

77434. Etsi janan [-2; 0] funktion y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 suurin arvo.

Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Kuinka löytää segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot?

Tätä varten noudatamme tunnettua algoritmia:

1 . Löydämme ODZ-toiminnot.

2 . Funktion derivaatan löytäminen

3 . Yhdistä derivaatta nollaan

4 . Löydämme välit, joilla derivaatta säilyttää etumerkkinsä, ja määritämme niistä funktion kasvu- ja laskuvälit:

Jos välillä I funktion 0 derivaatta" title="f^(alkuluku)(x)>0">, то функция !} kasvaa tällä aikavälillä.

Jos välillä I funktion derivaatta, niin funktio pienenee tällä aikavälillä.

5 . Löydämme funktion maksimi- ja minimipisteet.

SISÄÄN funktion maksimipiste, derivaatta muuttaa etumerkin "+":sta "-".

SISÄÄN funktion minimipistejohdannainen muuttaa merkin "-" arvosta "+".

6 . Löydämme funktion arvon segmentin päistä,

• sitten vertaamme funktion arvoa janan päissä ja maksimipisteissä, ja Valitse niistä suurin, jos haluat löytää funktion suurimman arvon
• tai vertaamme funktion arvoa janan päissä ja minimipisteissä, ja valitse niistä pienin, jos haluat löytää funktion pienimmän arvon

Kuitenkin riippuen siitä, kuinka funktio käyttäytyy välissä, tätä algoritmia voidaan vähentää merkittävästi.

Harkitse toimintoa . Tämän funktion kaavio näyttää tältä:

Tarkastellaan useita esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta Open Task Bank for

1 . Tehtävä B15 (#26695)

Leikkauksessa.

1. Funktio on määritelty kaikille x:n todellisille arvoille

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja derivaatta on positiivinen kaikille x:n arvoille. Siksi funktio kasvaa ja saa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, eli kohdassa x=0.

Vastaus: 5.

2 . Tehtävä B15 (nro 26702)

Etsi funktion suurin arvo segmentillä.

1.ODZ-toiminto title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivaata on nolla kohdassa , mutta näissä kohdissa se ei muuta etumerkkiä:

Siksi title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} kasvaa ja ottaa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, klo .

Tehdäksemme selväksi, miksi derivaatta ei muuta etumerkkiä, muunnamme derivaatan lausekkeen seuraavasti:

Title="y^(alkuluku)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Vastaus: 5.

3. Tehtävä B15 (#26708)

Etsi funktion pienin arvo väliltä .

1. ODZ-funktiot: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Laitetaan tämän yhtälön juuret trigonometriselle ympyrälle.

Väli sisältää kaksi numeroa: ja

Laitetaan merkit. Tätä varten määritetään derivaatan etumerkki pisteessä x=0: . Pisteiden läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Kuvataan funktion derivaatan etumerkkien muutos koordinaattiviivalla:

Ilmeisesti piste on minimipiste (jossa derivaatta muuttaa merkin "-":sta "+":ksi), ja löytääksesi funktion pienimmän arvon väliltä, ​​sinun on verrattava funktion arvoja minimipisteessä ja janan vasemmassa päässä, .

Tässä artikkelissa aion puhua algoritmi suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi funktio, minimi- ja maksimipisteet.

Teoriasta, me varmasti tarvitsemme johdannainen taulukko Ja eriyttämissäännöt. Kaikki on tässä taulussa:

Algoritmi suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi.

Minusta on helpompi selittää konkreettinen esimerkki. Harkitse:

Esimerkki: Etsi janan [–4;0] funktion y=x^5+20x^3–65x suurin arvo.

Vaihe 1. Otamme johdannaisen.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Vaihe 2Ääripisteiden löytäminen.

ääripiste nimetään pisteet, joissa funktio saavuttaa maksimi- tai minimiarvonsa.

Ääripisteiden löytämiseksi on tarpeen rinnastaa funktion derivaatta nollaan (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Nyt ratkaisemme tämän bikvadraattisen yhtälön ja löydetyt juuret ovat ääripisteemme.

Ratkaisen tällaiset yhtälöt korvaamalla t = x^2, sitten 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Pienennä yhtälöä 5:llä, saamme: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Teemme käänteisen substituution x^2 = t:

X_(1 ja 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ja 4) = ±sqrt(-13) (suljemme pois, juuren alla ei voi olla negatiivisia lukuja(ellemme tietysti puhu kompleksiluvuista)

Yhteensä: x_(1) = 1 ja x_(2) = -1 - nämä ovat ääripisteemme.

Vaihe 3 Määritä suurin ja pienin arvo.

Korvausmenetelmä.

Ehdossa meille annettiin segmentti [b][–4;0]. Piste x=1 ei sisälly tähän segmenttiin. Joten emme ota sitä huomioon. Mutta pisteen x=-1 lisäksi meidän on otettava huomioon myös vasen ja oikea reuna segmenttimme, eli pisteet -4 ja 0. Tätä varten korvaamme kaikki nämä kolme pistettä alkuperäiseen funktioon. Huomaa, että alkuperäinen on ehdossa annettu (y=x^5+20x^3–65x), jotkut alkavat korvata johdannaista...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044

Tämä tarkoittaa, että funktion maksimiarvo on [b]44 ja se saavutetaan pisteissä [b]-1, jota kutsutaan funktion maksimipisteeksi janalla [-4; 0].

Päätimme ja saimme vastauksen, olemme mahtavia, voit rentoutua. Mutta lopeta! Eikö y(-4):n laskeminen ole jotenkin liian monimutkaista? Rajoitetun ajan olosuhteissa on parempi käyttää toista menetelmää, kutsun sitä näin:

Vakiovälien kautta.

Nämä aukot löytyvät funktion derivaatalle eli bikvadraattiselle yhtälöllemme.

Teen sen seuraavalla tavalla. Piirrän suuntaviivan. Asetin pisteet: -4, -1, 0, 1. Huolimatta siitä, että 1 ei sisälly annettuun segmenttiin, se tulee silti huomioida, jotta pysyvyysvälit voidaan määrittää oikein. Otetaan jokin luku monta kertaa suurempi kuin 1, sanotaan 100, korvataan se mentaalisesti bikvadraattiseen yhtälöimme 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Jopa ilman mitään laskemista käy ilmi, että pisteessä 100 funktiossa on plusmerkki. Tämä tarkoittaa, että välissä 1-100 sillä on plusmerkki. Kun kuljemme 1:n läpi (menemme oikealta vasemmalle), funktio muuttaa merkin miinukseksi. Kun funktio kulkee pisteen 0 läpi, se säilyttää etumerkkinsä, koska tämä on vain janan raja, ei yhtälön juuri. Kun funktio kulkee -1:n läpi, funktio vaihtaa merkin jälleen plussaksi.

Teoriasta tiedämme, että missä funktion derivaatta on (ja piirsimme tämän sille) vaihtaa merkki plussasta miinusmerkkiin (kohta -1 meidän tapauksessamme) toiminto saavuttaa sen paikallinen maksimi (y(-1)=44 aiemmin laskettuna) tällä segmentillä (tämä on loogisesti erittäin selvää, funktio on lakannut kasvamasta, koska se saavutti maksiminsa ja alkoi laskea).

Näin ollen missä funktion derivaatta muuttaa merkkiä miinuksesta plussaksi, saavutettu funktion paikallinen minimi. Kyllä, kyllä, löysimme myös paikallisen minimipisteen, joka on 1, ja y(1) on funktion minimiarvo väliltä, ​​vaikkapa välillä -1 - +∞. Huomaa, että tämä on vain PAIKALLINEN MINIMI, eli tietyn segmentin minimi. Koska todellinen (globaali) minimifunktio saavuttaa jonnekin siellä, -∞.

Ensimmäinen menetelmä on mielestäni teoreettisesti yksinkertaisempi ja toinen aritmeettisten operaatioiden kannalta yksinkertaisempi, mutta teoriassa paljon vaikeampi. Joskus on nimittäin tapauksia, joissa funktio ei vaihda etumerkkiä yhtälön juuren läpi, ja voit todellakin hämmentyä näihin paikallisiin, globaaleihin maksimiin ja minimiin, vaikka sinun on hallittava se joka tapauksessa hyvin, jos suunnittelet päästä teknilliseen korkeakouluun (ja miksi muuten tehdä profiilikoe ja ratkaista tämä tehtävä). Mutta harjoittelu ja vain harjoitus opettaa sinulle kuinka ratkaista tällaiset ongelmat lopullisesti. Ja voit harjoitella verkkosivuillamme. täällä .

Jos sinulla on kysyttävää tai jokin on epäselvää, kysy. Vastaan ​​sinulle mielelläni ja teen muutoksia, lisäyksiä artikkeliin. Muista, että teemme tämän sivuston yhdessä!

Usein fysiikassa ja matematiikassa vaaditaan funktion pienimmän arvon löytämistä. Kuinka tämä tehdään, kerromme nyt.

Kuinka löytää funktion pienin arvo: ohje

1. Pienimmän arvon laskeminen jatkuva toiminto tietyssä segmentissä sinun on noudatettava seuraavaa algoritmia:
2. Etsi funktion derivaatta.
3. Etsi tietystä segmentistä pisteet, joissa derivaatta on nolla, sekä kaikki kriittiset pisteet. Selvitä sitten funktion arvot näissä kohdissa, eli ratkaise yhtälö, jossa x on nolla. Selvitä, mikä arvoista on pienin.
4. Selvitä, mikä arvo funktiolla on päätepisteissä. Määritä funktion pienin arvo näissä kohdissa.
5. Vertaa vastaanotettuja tietoja pienimpään arvoon. Pienempi vastaanotetuista luvuista on funktion pienin arvo.

Huomaa, että jos segmentin funktiolla ei ole pienimmät pisteet, mikä tarkoittaa, että tällä segmentillä se kasvaa tai laskee. Siksi pienin arvo tulisi laskea funktion äärellisille segmenteille.

Kaikissa muissa tapauksissa funktion arvo lasketaan määritellyn algoritmin mukaan. Algoritmin jokaisessa vaiheessa sinun on ratkaistava yksinkertainen lineaarinen yhtälö yhdellä juurella. Ratkaise yhtälö piirustuksen avulla virheiden välttämiseksi.

Kuinka löytää funktion pienin arvo puoliavoimesta segmentistä? Funktion puoliavoimella tai avoimella jaksolla pienin arvo tulee löytää seuraavasti. Laske funktion arvon päätepisteissä funktion yksipuolinen raja. Toisin sanoen ratkaise yhtälö, jossa suuntauspisteet annetaan arvoilla a+0 ja b+0, missä a ja b ovat nimiä kriittiset kohdat.

Nyt tiedät kuinka löytää funktion pienin arvo. Tärkeintä on tehdä kaikki laskelmat oikein, tarkasti ja ilman virheitä.