siro ja kaunis yksinkertainen tehtävä niiden kategoriasta, jotka toimivat pelastusköydenä kelluvalle opiskelijalle. Luonnossa heinäkuun puolivälin uninen valtakunta, joten on aika asettua kannettavan tietokoneen kanssa rannalle. Varhain aamulla soi auringonsäde teoriasta, joka keskittyi pian käytäntöön, joka julistetusta keveydestä huolimatta sisältää lasin sirpaleita hiekassa. Tältä osin suosittelen harkitsemaan tunnollisesti muutamia esimerkkejä tältä sivulta. Käytännön tehtävien ratkaisemiseksi sinun on kyettävä löytää johdannaisia ja ymmärtää artikkelin materiaalin Funktion monotonisuuden ja äärimmäisyyden intervallit.

Ensinnäkin lyhyesti pääasiasta. Oppitunnilla aiheesta toiminnan jatkuvuus Annoin jatkuvuuden määritelmän pisteessä ja jatkuvuuden intervallissa. Toiminnon esimerkinomainen käyttäytyminen segmentillä on muotoiltu samalla tavalla. Funktio on jatkuva segmentillä, jos:

1) se on jatkuva aikavälillä ;
2) jatkuva pisteessä oikealla ja pisteessä vasemmalle.

Toisessa kappaleessa käsitellään ns yksipuolinen jatkuvuus toimii jossain kohdassa. Sen määrittelyyn on useita lähestymistapoja, mutta pysyn aiemmin aloitetussa linjassa:

Funktio on jatkuva pisteessä oikealla, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen oikeanpuoleinen raja on sama kuin funktion arvo tietyssä pisteessä: . Se on jatkuvaa pisteessä vasemmalle, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen vasen raja on yhtä suuri kuin arvo tässä tilanteessa:

Kuvittele, että vihreät pisteet ovat nauloja, joihin maaginen kuminauha on kiinnitetty:

Ota henkisesti punainen viiva käsiisi. Ilmeisesti riippumatta siitä kuinka pitkälle venytetään kuvaajaa ylös ja alas (akselia pitkin), funktio pysyy silti rajoitettu- pensas ylhäällä, pensas alla ja tuotteemme laiduntaa aitauksessa. Täten, segmentillä jatkuva funktio rajoittuu siihen. Matemaattisen analyysin aikana tämä näennäisesti yksinkertainen tosiasia todetaan ja todistetaan tiukasti Weierstrassin ensimmäinen lause.… Monia ärsyttää se, että alkeellisia väitteitä perustellaan ikävästi matematiikassa, mutta tällä on tärkeä merkitys. Oletetaan, että tietty froteekeskiajan asukas veti kaavion taivaalle näkyvyyden rajojen yli, tämä lisättiin. Ennen kaukoputken keksintöä rajallinen toiminta avaruudessa ei ollut ollenkaan ilmeinen! Todellakin, mistä tiedät, mikä meitä odottaa horisontin takana? Loppujen lopuksi, kun maata pidettiin litteänä, joten nykyään jopa tavallinen teleportaatio vaatii todisteita =)

Mukaan toinen Weierstrassin lause, jatkuva segmentillätoiminto saavuttaa sen tarkka yläreuna ja hänen tarkka alareuna .

Numeroon myös soitetaan segmentin funktion enimmäisarvo ja merkitty , ja numerolla - funktion vähimmäisarvo välissä merkitty .

Meidän tapauksessamme:

Huomautus : teoriassa tietueet ovat yleisiä .

Karkeasti sanottuna, korkein arvo sijaitsee siellä, missä kohokohta grafiikka, ja pienin - missä on alin kohta.

Tärkeä! Kuten artikkelissa jo todettiin funktion ääripää, funktion suurin arvo Ja pienin funktion arvo – EI OLE SAMA, Mitä toiminto maksimi Ja funktion minimi. Joten tässä esimerkissä numero on funktion minimi, mutta ei minimiarvo.

Muuten, mitä tapahtuu segmentin ulkopuolella? Kyllä, edes tulva, kyseessä olevan ongelman yhteydessä, tämä ei kiinnosta meitä ollenkaan. Tehtävä sisältää vain kahden luvun etsimisen ja siinä se!

Lisäksi ratkaisu on puhtaasti analyyttinen, joten ei tarvitse piirtää!

Algoritmi on pinnalla ja ehdottaa itseään yllä olevasta kuvasta:

1) Etsi funktion arvot kriittiset kohdat, jotka kuuluvat tähän segmenttiin.

Ota vielä yksi herkku: ääripään riittävää kuntoa ei tarvitse tarkistaa, koska, kuten juuri näytettiin, minimi- tai maksimiarvo ei vielä taattu mikä on pienin tai suurin arvo. Esittelyfunktio saavuttaa maksiminsa ja kohtalon tahdosta sama luku on funktion suurin arvo välillä . Mutta tällaista sattumaa ei tietenkään aina tapahdu.

Joten ensimmäisessä vaiheessa on nopeampaa ja helpompaa laskea funktion arvot segmenttiin kuuluvissa kriittisissä pisteissä välittämättä siitä, onko niissä äärimmäisiä vai ei.

2) Laskemme funktion arvot segmentin päissä.

3) Ensimmäisessä ja toisessa kappaleessa olevien funktion arvojen joukosta valitsemme pienimmän ja suurimman iso luku, kirjoita vastaus ylös.

Istumme rannalle sininen meri ja lyö kantapäät matalassa vedessä:

Esimerkki 1

Etsi suurin ja pienin arvo toimii segmentillä

Ratkaisu:
1) Laske funktion arvot kriittisissä pisteissä, jotka kuuluvat tähän segmenttiin:

Lasketaan funktion arvo toisessa kriittisessä pisteessä:

2) Laske funktion arvot segmentin päissä:

3) "Lihavoidut" tulokset saatiin eksponentiaaleilla ja logaritmeilla, mikä vaikeuttaa merkittävästi niiden vertailua. Tästä syystä aseistamme itsemme laskimella tai Excelillä ja laskemme likimääräiset arvot unohtamatta, että:

Nyt kaikki on selvää.

Vastaus:

Murto-rationaalinen ilmentymä itsenäiselle ratkaisulle:

Esimerkki 6

Etsi segmentin funktion enimmäis- ja minimiarvot

Olkoon funktio $z=f(x,y)$ määritelty ja jatkuva jossain rajatussa suljettu alue$D$. Olkoon annetulla funktiolla tällä alueella äärelliset ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat (lukuun ottamatta mahdollisesti äärellistä määrää pisteitä). Kahden muuttujan funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi tietyllä suljetulla alueella tarvitaan yksinkertaisen algoritmin kolme vaihetta.

Algoritmi funktion $z=f(x,y)$ suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi suljetussa verkkotunnuksessa $D$.

1. Etsi funktion $z=f(x,y)$ kriittiset pisteet, jotka kuuluvat alueeseen $D$. Laske funktioarvot kriittisissä pisteissä.
2. Tutki funktion $z=f(x,y)$ käyttäytymistä alueen $D$ rajalla etsimällä mahdollisten maksimi- ja minimiarvojen pisteet. Laske funktioarvot saaduissa pisteissä.
3. Valitse kahdessa edellisessä kappaleessa saaduista funktioarvoista suurin ja pienin.

Mitkä ovat kriittiset kohdat? näytä piilota

Alla kriittiset kohdat tarkoittaa pisteitä, joissa molemmat ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat yhtä suuria kuin nolla (eli $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ja $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) tai ainakin yhtä osittaista johdannaista ei ole olemassa.

Usein kutsutaan pisteitä, joissa ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat yhtä kuin nolla kiinteitä pisteitä. Siten kiinteät pisteet ovat kriittisten pisteiden osajoukko.

Esimerkki #1

Etsi funktion $z=x^2+2xy-y^2-4x$ suurin ja pienin arvo suljetulla alueella, viivojen rajaama$x=3$, $y=0$ ja $y=x+1$.

Noudatamme yllä olevaa, mutta ensin käsittelemme tietyn alueen piirtämistä, jota merkitään kirjaimella $D$. Meille on annettu yhtälöt kolme suorat viivat, jotka rajoittavat tätä aluetta. Suora $x=3$ kulkee y-akselin suuntaisen pisteen $(3;0)$ kautta (akseli Oy). Suora $y=0$ on abskissa-akselin (Ox-akselin) yhtälö. No, rakentaaksesi suoran $y=x+1$ etsitään kaksi pistettä, joiden läpi vedämme tämän suoran. Voit tietysti korvata pari mielivaltaista arvoa $x$:n sijasta. Esimerkiksi korvaamalla $x=10$, saamme: $y=x+1=10+1=11$. Olemme löytäneet pisteen $(10;11)$, joka sijaitsee viivalla $y=x+1$. On kuitenkin parempi löytää pisteet, joissa suora $y=x+1$ leikkaa suorien $x=3$ ja $y=0$. Miksi se on parempi? Koska laskemme pari lintua yhdellä iskulla: saamme kaksi pistettä suoran $y=x+1$ muodostamisesta ja samalla selvitämme missä pisteissä tämä suora leikkaa muita viivoja, jotka rajoittavat annettua alueella. Suora $y=x+1$ leikkaa suoran $x=3$ pisteessä $(3;4)$ ja suoran $y=0$ - pisteessä $(-1;0)$. Jotta ratkaisun kulku ei sotkeutuisi apuselityksillä, laitan kysymyksen näiden kahden pisteen saamisesta muistiinpanoon.

Miten pisteet $(3;4)$ ja $(-1;0)$ saatiin? näytä piilota

Aloitetaan suorien $y=x+1$ ja $x=3$ leikkauspisteestä. Halutun pisteen koordinaatit kuuluvat sekä ensimmäiselle että toiselle riville, joten tuntemattomien koordinaattien löytämiseksi sinun on ratkaistava yhtälöjärjestelmä:

$$ \left \( \begin(tasattu) & y=x+1;\\ & x=3. \end(tasattu) \oikea. $$

Tällaisen järjestelmän ratkaisu on triviaali: korvaamalla $x=3$ ensimmäiseen yhtälöön saadaan: $y=3+1=4$. Piste $(3;4)$ on viivojen $y=x+1$ ja $x=3$ haluttu leikkauspiste.

Etsitään nyt suorien $y=x+1$ ja $y=0$ leikkauspiste. Jälleen laadimme ja ratkaisemme yhtälöjärjestelmän:

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & y=x+1;\\ & y=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Korvaamalla $y=0$ ensimmäiseen yhtälöön saadaan: $0=x+1$, $x=-1$. Piste $(-1;0)$ on viivojen $y=x+1$ ja $y=0$ (abskissa-akseli) haluttu leikkauspiste.

Kaikki on valmis rakentamaan piirustuksen, joka näyttää tältä:

Setin kysymys näyttää ilmeiseltä, koska kuvasta näkyy kaikki. On kuitenkin syytä muistaa, että piirustus ei voi toimia todisteena. Kuva on vain havainnollistava selvyyden vuoksi.

Alueemme asetettiin käyttämällä sitä rajoittavia suorayhtälöitä. On selvää, että nämä viivat määrittelevät kolmion, eikö niin? Vai eikö se ole aivan ilmeistä? Tai ehkä meille annetaan eri alue, jota rajoittavat samat viivat:

Tietysti ehto sanoo, että alue on suljettu, joten esitetty kuva on väärä. Mutta tällaisten epäselvyyksien välttämiseksi on parempi määritellä alueet eriarvoisuuden perusteella. Olemme kiinnostuneita linjan $y=x+1$ alla olevasta koneen osasta? Ok, joten $y ≤ x+1$. Alueemme pitäisi sijaita viivan $y=0$ yläpuolella? Hienoa, joten $y ≥ 0$. Muuten, kaksi viimeistä epäyhtälöä on helppo yhdistää yhdeksi: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(tasattu) \oikea. $$

Nämä epäyhtälöt määrittelevät verkkotunnuksen $D$ ja määrittelevät sen yksiselitteisesti ilman epäselvyyksiä. Mutta kuinka tämä auttaa meitä alaviitteen alussa olevassa kysymyksessä? Se auttaa myös :) Meidän on tarkistettava, kuuluuko piste $M_1(1;1)$ alueeseen $D$. Korvataan $x=1$ ja $y=1$ tätä aluetta määrittelevään epäyhtälöjärjestelmään. Jos molemmat epäyhtälöt täyttyvät, piste on alueen sisällä. Jos ainakin yksi epäyhtälöistä ei täyty, piste ei kuulu alueelle. Niin:

$$ \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(tasattu) \oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(tasattu) \oikea.$$

Molemmat eriarvoisuudet ovat totta. Piste $M_1(1;1)$ kuuluu alueeseen $D$.

Nyt on vuoro tutkia funktion käyttäytymistä toimialueen rajalla, ts. mene. Aloitetaan suoralla $y=0$.

Suora $y=0$ (abskissa-akseli) rajoittaa aluetta $D$ ehdolla $-1 ≤ x ≤ 3$. Korvaa $y=0$ annettuun funktioon $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Tuloksena oleva yhden muuttujan $x$ korvausfunktio merkitään $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nyt funktiolle $f_1(x)$ meidän on löydettävä suurimmat ja pienimmät arvot välillä $-1 ≤ x ≤ 3$. Etsi tämän funktion derivaatta ja vertaa se nollaan:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Arvo $x=2$ kuuluu segmenttiin $-1 ≤ x ≤ 3$, joten lisäämme pisteluetteloon myös $M_2(2;0)$. Lisäksi laskemme funktion $z$ arvot segmentin $-1 ≤ x ≤ 3$ päissä, ts. pisteissä $M_3(-1;0)$ ja $M_4(3;0)$. Muuten, jos piste $M_2$ ei kuuluisi tarkasteltavaan segmenttiin, silloin ei tietenkään tarvitsisi laskea funktion $z$ arvoa siinä.

Lasketaan siis funktion $z$ arvot pisteissä $M_2$, $M_3$, $M_4$. Voit tietysti korvata näiden pisteiden koordinaatit alkuperäisessä lausekkeessa $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Esimerkiksi pisteelle $M_2$ saamme:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Laskelmia voidaan kuitenkin hieman yksinkertaistaa. Tätä varten on syytä muistaa, että segmentillä $M_3M_4$ meillä on $z(x,y)=f_1(x)$. Selitän sen yksityiskohtaisesti:

\begin(tasattu) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(tasattu)

Tietenkään ei yleensä tarvita tällaisia ​​yksityiskohtaisia ​​merkintöjä, ja tulevaisuudessa alamme kirjoittaa kaikki laskelmat lyhyemmällä tavalla:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Käännytään nyt suoralle $x=3$. Tämä rivi rajoittaa $D$ ehdolla $0 ≤ y ≤ 4$. Korvaa $x=3$ annettuun funktioon $z$. Tällaisen korvauksen seurauksena saamme funktion $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funktiolle $f_2(y)$ on löydettävä suurin ja pienin arvo väliltä $0 ≤ y ≤ 4$. Etsi tämän funktion derivaatta ja vertaa se nollaan:

$$ f_(2)^(")(y)=-2v+6;\\ -2v+6=0; \; y=3. $$

Arvo $y=3$ kuuluu segmenttiin $0 ≤ y ≤ 4$, joten lisäämme $M_5(3;3)$ aiemmin löydettyihin pisteisiin. Lisäksi on tarpeen laskea funktion $z$ arvo janan $0 ≤ y ≤ 4$ päissä olevista pisteistä, ts. pisteissä $M_4(3;0)$ ja $M_6(3;4)$. Pisteessä $M_4(3;0)$ olemme jo laskeneet $z$:n arvon. Lasketaan funktion $z$ arvo pisteissä $M_5$ ja $M_6$. Haluan muistuttaa, että segmentillä $M_4M_6$ meillä on $z(x,y)=f_2(y)$, joten:

\begin(tasattu) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(tasattu)

Ja lopuksi harkitse $D$:n viimeistä rajaa, ts. rivi $y=x+1$. Tämä viiva rajaa alueen $D$ ehdolla $-1 ≤ x ≤ 3$. Korvaamalla $y=x+1$ funktioon $z$, saamme:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Jälleen kerran meillä on yhden muuttujan $x$ funktio. Ja jälleen, sinun on löydettävä tämän funktion suurin ja pienin arvo segmentiltä $-1 ≤ x ≤ 3 $. Etsi funktion $f_(3)(x)$ derivaatta ja vertaa se nollaan:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Arvo $x=1$ kuuluu väliin $-1 ≤ x ≤ 3$. Jos $x=1$, niin $y=x+1=2$. Lisätään pisteluetteloon $M_7(1;2)$ ja selvitetään mikä on funktion $z$ arvo tässä vaiheessa. Janan $-1 päissä olevat pisteet ≤ x ≤ 3$, ts. Pisteitä $M_3(-1;0)$ ja $M_6(3;4)$ tarkasteltiin aiemmin, olemme jo löytäneet niistä funktion arvon.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Ratkaisun toinen vaihe on valmis. Meillä on seitsemän arvoa:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Käännytään. Valitsemalla suurimmat ja pienimmät arvot niistä numeroista, jotka saatiin kolmannessa kappaleessa, meillä on:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Ongelma on ratkaistu, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus: $z_(min) = -4; \; z_(max)=6$.

Esimerkki #2

Etsi funktion $z=x^2+y^2-12x+16y$ maksimi- ja minimiarvot alueelta $x^2+y^2 ≤ 25$.

Rakennetaan ensin piirustus. Yhtälö $x^2+y^2=25$ (tämä on annetun alueen rajaviiva) määrittää ympyrän, jonka keskipiste on origossa (eli pisteessä $(0;0)$) ja jonka säde on 5. Epäyhtälö $x^2 +y^2 ≤ 25$ toteuttaa kaikki mainitun ympyrän sisällä ja sen päällä olevat pisteet.

Toimimme eteenpäin. Etsitään osittaiset derivaatat ja selvitetään kriittiset pisteet.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2v+16. $$

Ei ole pisteitä, joissa löydettyjä osittaisia ​​derivaattoja ei olisi olemassa. Selvitetään missä kohdissa molemmat osittaiset derivaatat ovat yhtä aikaa nolla, ts. löytää paikallaan olevia pisteitä.

$$ \left \( \begin(tasattu) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(tasattu) \oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & x =6;\\ & y=-8.\end(tasattu) \oikea.$$

Saimme kiinteän pisteen $(6;-8)$. Löytynyt piste ei kuitenkaan kuulu alueeseen $D$. Tämä on helppo näyttää ilman, että edes turvaudutaan piirtämiseen. Tarkastetaan, päteekö epäyhtälö $x^2+y^2 ≤ 25$, joka määrittelee verkkotunnuksemme $D$. Jos $x=6$, $y=-8$, niin $x^2+y^2=36+64=100$, ts. epäyhtälö $x^2+y^2 ≤ 25$ ei täyty. Johtopäätös: piste $(6;-8)$ ei kuulu alueeseen $D$.

Siten $D$:n sisällä ei ole kriittisiä pisteitä. Jatketaan, kohti. Meidän on tutkittava funktion käyttäytymistä tietyn alueen rajalla, ts. ympyrässä $x^2+y^2=25$. Voit tietysti ilmaista $y$:lla $x$ ja korvata tuloksena olevan lausekkeen funktiollamme $z$. Ympyräyhtälöstä saamme: $y=\sqrt(25-x^2)$ tai $y=-\sqrt(25-x^2)$. Korvaamalla esimerkiksi $y=\sqrt(25-x^2)$ annettuun funktioon, saamme:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Lisäratkaisu on täysin identtinen edellisen esimerkin nro 1 alueen rajalla olevan funktion käyttäytymisen tutkimuksen kanssa. Tässä tilanteessa mielestäni on kuitenkin järkevämpää käyttää Lagrangen menetelmää. Olemme kiinnostuneita vain tämän menetelmän ensimmäisestä osasta. Lagrange-menetelmän ensimmäisen osan soveltamisen jälkeen saamme pisteet, joissa tutkitaan funktiota $z$ minimi- ja maksimiarvoille.

Kokoamme Lagrange-funktion:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Etsimme Lagrange-funktion osittaiset derivaatat ja muodostamme vastaavan yhtälöjärjestelmän:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2v+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (tasattu) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(tasattu) \ oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( tasattu)\right.$$

Tämän järjestelmän ratkaisemiseksi osoitetaan heti, että $\lambda\neq -1$. Miksi $\lambda\neq -1$? Yritetään korvata $\lambda=-1$ ensimmäisessä yhtälössä:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x = 6; \; 0=6. $$

Tuloksena oleva ristiriita $0=6$ sanoo, että arvo $\lambda=-1$ on virheellinen. Lähtö: $\lambda\neq -1$. Ilmaistaan ​​$x$ ja $y$ muodossa $\lambda$:

\begin(tasattu) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(tasattu)

Uskon, että tässä käy ilmi, miksi määritimme erityisesti $\lambda\neq -1$ -ehdon. Tämä tehtiin lausekkeen $1+\lambda$ sovittamiseksi nimittäjiin ilman häiriöitä. Toisin sanoen on varmistettava, että nimittäjä on $1+\lambda\neq 0$.

Korvataan $x$ ja $y$ saadut lausekkeet järjestelmän kolmanteen yhtälöön, ts. $x^2+y^2=25$:ssa:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Tuloksena olevasta yhtälöstä seuraa, että $1+\lambda=2$ tai $1+\lambda=-2$. Siksi meillä on kaksi parametrin $\lambda$ arvoa, nimittäin: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Vastaavasti saamme kaksi arvoparia $x$ ja $y$:

\begin(tasattu) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(tasattu)

Saimme siis mahdollisen ehdollisen ääripään kaksi pistettä, ts. $M_1(3;-4)$ ja $M_2(-3;4)$. Etsi funktion $z$ arvot pisteistä $M_1$ ja $M_2$:

\begin(tasattu) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(tasattu)

Meidän tulisi valita suurimmat ja pienimmät arvot niistä, jotka saimme ensimmäisessä ja toisessa vaiheessa. Mutta tässä tapauksessa valinta on pieni :) Meillä on:

$$z_(min) = -75; \; z_(max)=125. $$

Vastaus: $z_(min) = -75; \; z_(max) = 125 $.

Käytännön kannalta mielenkiintoisinta on derivaatan käyttö funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi. Mihin se liittyy? Voittojen maksimointi, kustannusten minimoiminen, laitteiden optimaalisen kuormituksen määrittäminen... Toisin sanoen monilla elämänalueilla on ratkaistava joidenkin parametrien optimointi. Ja tämä on ongelma löytää funktion suurimmat ja pienimmät arvot.

On huomattava, että funktion suurinta ja pienintä arvoa etsitään yleensä joltain väliltä X, joka on joko funktion koko alue tai osa aluetta. Itse väli X voi olla jana, avoin väli , ääretön intervalli.

Tässä artikkelissa puhumme suurimpien ja pienimpien arvojen selvittämisestä. annettu toiminto yksi muuttuja y=f(x) .

Sivulla navigointi.

Funktion suurin ja pienin arvo - määritelmät, kuvat.

Pysähdytään lyhyesti tärkeimpiin määritelmiin.

Funktion suurin arvo , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Funktion pienin arvo y=f(x) välissä X kutsutaan sellaiseksi arvoksi , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Nämä määritelmät ovat intuitiivisia: funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) arvo, joka on hyväksytty tarkasteluvälillä abskissalla.

Kiinteät pisteet ovat argumentin arvoja, joissa funktion derivaatta häviää.

Miksi tarvitsemme kiinteitä pisteitä etsiessämme suurimpia ja pienimpiä arvoja? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Fermatin lause. Tästä lauseesta seuraa, että jos differentioituvalla funktiolla on jossain pisteessä ääriarvo (paikallinen minimi tai paikallinen maksimi), tämä piste on stationäärinen. Siten funktio ottaa usein suurimman (pienimmän) arvonsa väliltä X jossakin kiinteässä pisteessä tästä intervallista.

Lisäksi funktio voi usein saada suurimmat ja pienimmät arvot pisteissä, joissa tämän funktion ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja itse funktio on määritelty.

Vastataan heti yhteen tämän aiheen yleisimmistä kysymyksistä: "Onko aina mahdollista määrittää funktion suurin (pienin) arvo"? Ei ei aina. Joskus välin X rajat osuvat yhteen funktion alueen rajojen kanssa tai väli X on ääretön. Ja jotkut funktiot äärettömyydessä ja määritelmäalueen rajoilla voivat ottaa sekä äärettömän suuria että äärettömän pieniä arvoja. Näissä tapauksissa ei voida sanoa mitään funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

Selvyyden vuoksi annamme graafisen kuvan. Katso kuvia - ja paljon tulee selväksi.

Segmentillä

Ensimmäisessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvon kiinteistä pisteistä janan sisällä [-6;6] .

Harkitse toisessa kuvassa esitettyä tapausta. Muuta segmentiksi . Tässä esimerkissä funktion pienin arvo saavutetaan kiinteässä pisteessä ja suurin - pisteessä, jonka abskissa vastaa oikea reuna intervalli.

Kuvassa 3 janan [-3; 2] rajapisteet ovat funktion suurinta ja pienintä arvoa vastaavien pisteiden abskissoja.

Avoimella alueella

Neljännessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvot kiinteässä pisteessä avoimen intervallin (-6;6) sisällä.

Intervallilla ei voi tehdä johtopäätöksiä suurimmasta arvosta.

äärettömyydessä

Seitsemännessä kuvassa esitetyssä esimerkissä funktio saa suurimman arvon (max y ) stationaarisessa pisteessä, jossa x=1 abskissa, ja pienin arvo (min y ) saavutetaan intervallin oikealla rajalla. Miinus äärettömässä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 .

Intervallilla funktio ei saavuta pienintä tai suurinta arvoa. Kun x=2 suuntautuu oikealle, funktioarvot pyrkivät miinus äärettömyyteen (suora x=2 on vertikaalinen asymptootti), ja koska abskissa pyrkii plussaan äärettömään, funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 . Tämän esimerkin graafinen esitys näkyy kuvassa 8.

Algoritmi jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi segmentiltä .

Kirjoitamme algoritmin, jonka avulla voimme löytää segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvon.

1. Etsimme funktion toimialueen ja tarkistamme, sisältääkö se koko segmentin.
2. Löydämme kaikki pisteet, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja jotka sisältyvät segmenttiin (yleensä tällaisia ​​pisteitä esiintyy funktioissa, joissa on argumentti moduulimerkin alla ja tehotoiminnot rationaalisen eksponentin murtoluvulla). Jos tällaisia ​​pisteitä ei ole, siirry seuraavaan kohtaan.
3. Määritämme kaikki kiinteät pisteet, jotka kuuluvat segmenttiin. Tätä varten vertaamme sen nollaan, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja valitsemme sopivat juuret. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole tai mikään niistä ei kuulu segmenttiin, siirry seuraavaan vaiheeseen.
4. Laskemme funktion arvot valituissa stationaarisissa pisteissä (jos sellaisia ​​on), pisteissä, joissa ensimmäistä derivaattia ei ole (jos sellainen on), sekä myös kohdissa x=a ja x=b .
5. Valitsemme saaduista funktion arvoista suurimmat ja pienimmät - ne ovat funktion halutut enimmäisarvot ja pienimmät arvot.

Analysoidaan algoritmia, kun ratkaistaan ​​esimerkkiä segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi.

Esimerkki.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

• segmentillä;
• aikavälillä [-4;-1] .

Ratkaisu.

Toimintoalue on koko joukko reaalilukuja, paitsi nolla, eli . Molemmat segmentit kuuluvat määritelmän piiriin.

Löydämme funktion derivaatan suhteessa:

Ilmeisesti funktion derivaatta on olemassa segmenttien kaikissa pisteissä ja [-4;-1] .

Kiinteät pisteet määritetään yhtälöstä . Ainoa todellinen juuri on x=2 . Tämä paikallaan oleva piste putoaa ensimmäiseen segmenttiin.

Ensimmäisessä tapauksessa laskemme funktion arvot janan päissä ja paikallaan olevassa pisteessä, eli kohdissa x=1, x=2 ja x=4:

Siksi funktion suurin arvo saavutetaan kohdassa x=1 ja pienin arvo – kohdassa x=2.

Toisessa tapauksessa laskemme funktion arvot vain janan [-4;-1] päissä (koska se ei sisällä yhtä kiinteää pistettä):

Katsotaanpa, kuinka funktiota tutkitaan kaavion avulla. Osoittautuu, että katsomalla kaaviota voit selvittää kaiken, mikä kiinnostaa meitä, nimittäin:

• toiminnon laajuus
• toimintoalue
• funktion nollia
• nousu- ja laskukausia
• korkeat ja matalat kohdat
• funktion suurin ja pienin arvo välissä.

Selvennetään terminologiaa:

Abskissa on pisteen vaakakoordinaatti.
Ordinate- pystysuora koordinaatti.
abskissa- vaaka-akseli, jota useimmiten kutsutaan akseliksi.
Y-akseli- pystyakseli tai akseli.

Perustelu on itsenäinen muuttuja, josta funktion arvot riippuvat. Useimmiten ilmoitettu.
Toisin sanoen me itse valitsemme , korvaamme funktiokaavassa ja saamme .

Verkkotunnus funktiot - niiden (ja vain niiden) argumentin arvojen joukko, joille funktio on olemassa.
Merkitään: tai .

Kuvassamme funktion alue on segmentti. Tälle segmentille piirretään funktion kuvaaja. Vain täällä tämä toiminto on olemassa.

Toimintoalue on joukko arvoja, jotka muuttuja ottaa. Kuvassamme tämä on segmentti - pienimmästä suurimpaan arvoon.

Toimintojen nollia- pisteet, joissa funktion arvo on nolla, eli . Kuvassamme nämä ovat pisteet ja .

Toimintoarvot ovat positiivisia missä . Kuvassamme nämä ovat intervallit ja .
Toimintojen arvot ovat negatiivisia missä . Meillä on tämä aikaväli (tai väli) alkaen -.

Tärkeimmät käsitteet - lisäävät ja vähentävät toimintoja jossain setissä. Joukkona voit ottaa segmentin, intervallin, intervalliliiton tai koko numeroviivan.

Toiminto lisääntyy

Toisin sanoen mitä enemmän , sitä enemmän , eli kaavio menee oikealle ja ylöspäin.

Toiminto vähenee joukossa jos jollekin ja joukkoon kuuluminen merkitsee epätasa-arvoa .

Väheneväksi toiminnaksi suurempi arvo vastaa alempaa arvoa. Kaavio kulkee oikealle ja alas.

Kuvassamme funktio kasvaa aikavälillä ja pienenee intervalleilla ja .

Määritellään mikä on funktion maksimi- ja minimipisteet.

Maksimipiste- tämä on määritelmäalueen sisäinen piste, jossa funktion arvo on suurempi kuin kaikissa tarpeeksi lähellä olevissa pisteissä.
Toisin sanoen maksimipiste on sellainen piste, funktion arvo, jossa lisää kuin naapureissa. Tämä on paikallinen "kukkula" kartalla.

Kuvassamme - maksimipiste.

Matala kohta- määritelmäalueen sisäinen piste, jossa funktion arvo on pienempi kuin kaikissa pisteissä, jotka ovat riittävän lähellä sitä.
Eli minimipiste on sellainen, että siinä olevan funktion arvo on pienempi kuin viereisissä. Kaaviossa tämä on paikallinen "reikä".

Kuvassamme - minimipiste.

Pointti on raja. Se ei ole määritelmäalueen sisäinen piste, eikä siksi sovi maksimipisteen määritelmään. Loppujen lopuksi hänellä ei ole naapureita vasemmalla. Samalla tavalla kaaviossamme ei voi olla minimipistettä.

Maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan yhteisesti funktion ääripisteet. Meidän tapauksessamme tämä on ja .

Mutta entä jos sinun on löydettävä esim. funktion minimi leikkauksessa? Tässä tapauksessa vastaus on: Koska funktion minimi on sen arvo minimipisteessä.

Vastaavasti funktiomme maksimi on . Se saavutetaan kohdassa .

Voimme sanoa, että funktion ääripäät ovat yhtä suuret ja .

Joskus tehtävissä sinun täytyy löytää funktion suurimmat ja pienimmät arvot tietyllä segmentillä. Ne eivät välttämättä sovi yhteen äärimmäisyyksien kanssa.

Meidän tapauksessamme pienin funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion minimi ja sama. Mutta sen suurin arvo tällä segmentillä on yhtä suuri kuin . Se saavutetaan segmentin vasemmassa päässä.

Joka tapauksessa suurimmat ja pienimmät arvot jatkuva toiminto segmentillä saavutetaan joko ääripisteissä tai segmentin päissä.

Mikä on funktion ääripää ja mikä on ääripään välttämätön ehto?

Funktion ääriarvo on funktion maksimi ja minimi.

Tarpeellinen kunto funktion maksimi ja minimi (ääriarvo) ovat seuraavat: jos funktiolla f (x) on ääriarvo pisteessä x = a, niin derivaatta on tässä vaiheessa joko nolla tai ääretön tai sitä ei ole olemassa.

Tämä ehto on välttämätön, mutta ei riittävä. Derivaata pisteessä x = a voi kadota, mennä äärettömyyteen tai olla olemassa ilman, että funktiolla on ääripää tässä pisteessä.

Mikä on riittävä ehto funktion ääripäälle (maksimi tai minimi)?

Ensimmäinen ehto:

Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on positiivinen a:n vasemmalla puolella ja negatiivinen pisteen a oikealla puolella, niin itse pisteessä x = a funktiolla f(x) on enimmäismäärä

Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on negatiivinen a:n vasemmalla puolella ja positiivinen a:n oikealla puolella, niin itse pisteessä x = a funktiolla f(x) on minimi edellyttäen, että funktio f(x) on tässä jatkuva.

Sen sijaan voit käyttää toista riittävää ehtoa funktion ääripäälle:

Olkoon pisteessä x = ja ensimmäinen derivaatta f? (x) katoaa; jos toinen derivaatta f??(а) on negatiivinen, niin funktiolla f(x) on maksimi pisteessä x = a, jos se on positiivinen, niin minimi.

Mikä on funktion kriittinen piste ja miten se löydetään?

Tämä on funktion argumentin arvo, jossa funktiolla on ääriarvo (eli maksimi tai minimi). Löytääksesi sen tarvitset löytää johdannainen funktio f?(x) ja rinnastamalla se nollaan, ratkaise yhtälö f?(x) = 0. Tämän yhtälön juuret sekä ne pisteet, joissa tämän funktion derivaatta ei ole olemassa, ovat kriittisiä pisteitä, eli argumentin arvoja, joissa voi olla ääriarvo . Ne on helppo tunnistaa katsomalla johdannainen graafi: olemme kiinnostuneita niistä argumentin arvoista, joissa funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (Ox-akseli), ja niistä, joissa kuvaaja kärsii katkoksista.

Etsitään esimerkiksi paraabelin ääripää.

Funktio y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktioderivaata: y?(x) = 6x + 2

Ratkaisemme yhtälön: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Tässä tapauksessa kriittinen piste on x0=-1/3. Funktiolla on tämä argumentin arvo ääripää. Saadaksesi sen löytö, korvaamme funktion lausekkeessa löydetyn luvun "x":n sijaan:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kuinka määrittää funktion maksimi ja minimi, ts. sen suurimmat ja pienimmät arvot?

Jos derivaatan etumerkki muuttuu "plussista" "miinus" kulkiessaan kriittisen pisteen x0 kautta, niin x0 on maksimipiste; jos derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, niin x0 on minimipiste; jos etumerkki ei muutu, niin pisteessä x0 ei ole maksimi- eikä minimiarvoa.

Tarkastetussa esimerkissä:

Otamme argumentin mielivaltaisen arvon vasemmalla puolella Kriittinen piste: x = -1

Kun x = -1, derivaatan arvo on y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (eli miinusmerkki).

Nyt otamme kriittisen pisteen oikealla puolella olevan argumentin mielivaltaisen arvon: x = 1

Kun x = 1, derivaatan arvo on y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (eli plusmerkki).

Kuten näette, ohittaessaan kriittisen pisteen derivaatta muutti merkin miinuksesta plussaksi. Tämä tarkoittaa, että kriittisellä x0:n arvolla meillä on minimipiste.

Funktion suurin ja pienin arvo välissä(segmentillä) löydetään samalla menettelyllä, vain ottaen huomioon se tosiasia, että ehkä kaikki kriittiset pisteet eivät ole määritetyllä aikavälillä. Ne kriittiset kohdat, jotka ovat intervallin ulkopuolella, on jätettävä huomioimatta. Jos intervallin sisällä on vain yksi kriittinen piste, sillä on joko maksimi tai minimi. Tässä tapauksessa funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi otamme huomioon myös funktion arvot intervallin päissä.

Etsitään esimerkiksi funktion suurimmat ja pienimmät arvot

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

väliajoin:

Joten funktion derivaatta on

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Ratkaisemme yhtälön 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± kaaret (0,16667) + 2πk.

Löydämme kriittiset kohdat väliltä [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (ei sisälly väliin)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ei sisälly väliin)

Löydämme funktion arvot argumentin kriittisistä arvoista:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Voidaan nähdä, että aikavälillä [-9; 9] funktiolla on suurin arvo kohdassa x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

ja pienin - kohdassa x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Aikavälillä [-6; -3] meillä on vain yksi kriittinen piste: x = -4,88. Funktion arvo kohdassa x = -4,88 on y = 5,398.

Löydämme funktion arvon intervallin lopusta:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Aikavälillä [-6; -3] meillä on funktion suurin arvo

y = 5,398 kohdassa x = -4,88

pienin arvo on

y = 1,077 kohdassa x = -3

Kuinka löytää funktiokaavion käännepisteet ja määrittää kuperuuden ja koveruuden sivut?

Löytääksesi kaikki suoran y \u003d f (x) käännepisteet, sinun on löydettävä toinen derivaatta, rinnastettava se nollaan (ratkaistava yhtälö) ja testattava kaikki ne x:n arvot, joille toinen derivaatta on nolla , ääretön tai ei ole olemassa. Jos toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan yhden näistä arvoista, niin funktion kuvaajalla on tässä pisteessä taivutus. Jos se ei muutu, käännettä ei ole.

Yhtälön f juuret? (x) = 0 sekä funktion ja toisen derivaatan mahdolliset epäjatkuvuuspisteet jakavat funktion alueen useisiin intervalleihin. Konveksiteetti kullakin niiden aikavälillä määräytyy toisen derivaatan etumerkillä. Jos toinen derivaatta tutkittavan intervallin pisteessä on positiivinen, niin suora y = f(x) on kovera tässä ylöspäin ja jos negatiivinen, niin alaspäin.

Kuinka löytää kahden muuttujan funktion ääriarvo?

Löytääksesi funktion f(x, y) ääripään, joka on differentioituva sen osoituksen alueella, tarvitset:

1) Etsi kriittiset pisteet ja ratkaise yhtälöjärjestelmä tätä varten

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) tutki jokaiselle kriittiselle pisteelle P0(a;b), pysyykö eron etumerkki ennallaan

kaikille pisteille (x; y) riittävän lähellä P0:ta. Jos ero säilyttää positiivisen merkin, niin pisteessä P0 meillä on minimi, jos negatiivinen, niin maksimi. Jos ero ei säilytä etumerkkiään, pisteessä Р0 ei ole ääriarvoa.

Vastaavasti funktion ääriarvot määritetään lisää argumentteja.

Mistä Shrek Forever After on?
Sarjakuva: Shrek Forever After Julkaisuvuosi: 2010 Ensiesitys (Venäjä): 20. toukokuuta 2010 Maa: USA Ohjaaja: Michael Pitchel Käsikirjoitus: Josh Klausner, Darren Lemke Genre: perhekomedia, fantasia, seikkailu Virallinen verkkosivusto: www.shrekforeverafter.com juoni muuli

Voinko luovuttaa verta kuukautisteni aikana?
Lääkärit eivät suosittele verenluovutusta kuukautisten aikana, koska. verenhukka, vaikkakaan ei merkittävässä määrin, on täynnä hemoglobiinitason laskua ja naisen hyvinvoinnin heikkenemistä. Verenluovutuksen aikana hyvinvointitilanne voi pahentua verenvuodon havaitsemiseen asti. Siksi naisten tulee pidättäytyä luovuttamasta verta kuukautisten aikana. Ja jo viidentenä päivänä niiden valmistumisen jälkeen

Kuinka monta kcal / tunti kuluu lattian pesussa
Erilaisia liikunta Energiankulutus, kcal/h Ruoanlaitto 80 Pukeutuminen 30 Ajo 50 Pölynpoisto 80 Syöminen 30 Puutarhanhoito 135 Silitys 45 Pedaus 130 Ostokset 80 Istuva työ 75 Puun pilkkominen 300 Lattioiden pesu 130 Seksi 100-150 Vähätehoinen

Mitä sana "rogo" tarkoittaa?
Roisto on varas, joka harjoittaa pikkuvarkautta tai petollinen henkilö, joka on altis petollisiin temppuihin. Tämän määritelmän vahvistus löytyy Krylovin etymologisesta sanakirjasta, jonka mukaan sana "huijari" on muodostettu sanasta "huijari" (varas, huijari), joka on sukua verbille &la

Mikä on Strugatskin veljien viimeisimmän julkaistun tarinan nimi
Arkady ja Boris Strugatskin novelli "Kyklaation kysymyksestä" julkaistiin ensimmäisen kerran huhtikuussa 2008 tieteisalmanakissa "Noon. XXI Century" (lisäosa "Vokrug sveta" -lehdelle, julkaistu Boris Strugatskin toimituksessa) . Julkaisu oli omistettu Boris Strugatskin 75-vuotispäivälle.

Mistä voin lukea Work And Travel USA -ohjelman osallistujien tarinoita
Work and Travel USA (työ ja matkustaminen USA:ssa) on suosittu opiskelijavaihto-ohjelma, jossa voi viettää kesän Amerikassa laillisesti palvelualalla työskennellen ja matkustamalla. History of the Work & Travel -ohjelma on osa hallitustenvälisten vaihtojen Cultural Exchange Pro -ohjelmaa

Korva. Kulinaarinen ja historiallinen viittaus Yli kahden ja puolen vuosisadan ajan sanaa "ukha" on käytetty kuvaamaan keittoja tai tuoreen kalakeitteen keittämistä. Mutta oli aika, jolloin tätä sanaa tulkittiin laajemmin. Ne tarkoittivat keittoa - ei vain kalaa, vaan myös lihaa, hernettä ja jopa makeaa. Joten historiallisessa asiakirjassa - "

Tieto- ja rekrytointiportaalit Superjob.ru - Superjob.ru-rekrytointiportaali on toiminut Venäjän online-rekrytointimarkkinoilla vuodesta 2000 ja on johtava työn- ja henkilöstön hakuresurssien joukossa. Sivustotietokantaan lisätään päivittäin yli 80 000 asiantuntijan ansioluetteloa ja yli 10 000 avointa työpaikkaa.

Mikä on motivaatio
Motivaation määritelmä Motivaatio (lat. moveo - liikun) - impulssi toimintaan; fysiologisen ja psykologisen suunnitelman dynaaminen prosessi, joka ohjaa ihmisen käyttäytymistä, määrittää sen suunnan, organisaation, toiminnan ja vakauden; ihmisen kykyä tyydyttää tarpeensa työn avulla. Motivac

Kuka on Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, oikea nimi - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; syntynyt 24. toukokuuta 1941) on amerikkalainen lauluntekijä, joka - Rolling Stone -lehden kyselyn mukaan - on toinen (

Kuinka kuljettaa sisäkasveja
Huonekasvien oston jälkeen puutarhurin edessä on tehtävä, kuinka ostetut eksoottiset kukat toimitetaan vahingoittumattomina. Sisäkasvien pakkaamisen ja kuljetuksen perussääntöjen tunteminen auttaa ratkaisemaan tämän ongelman. Kasvit on pakattava kuljetusta tai kuljetusta varten. Riippumatta siitä, kuinka lyhyellä etäisyydellä kasveja kuljetetaan, ne voivat vaurioitua, kuivua ja talvella &m