Funktion suurin ja pienin arvo

Funktion suurin arvo on suurin, pienin arvo on pienin kaikista sen arvoista.

Funktiolla voi olla vain yksi suurin ja vain yksi pienin arvo tai sillä ei voi olla yhtään arvoa. Jatkuvien funktioiden suurimman ja pienimmän arvojen löytäminen perustuu näiden funktioiden seuraaviin ominaisuuksiin:

1) Jos tietyllä aikavälillä (äärellinen tai ääretön) funktio y=f(x) on jatkuva ja sillä on vain yksi ääripää ja jos tämä on maksimi (minimi), niin se on funktion suurin (pienin) arvo tässä välissä.

2) Jos funktio f(x) on jatkuva jollain aikavälillä, niin sillä on välttämättä suurin ja pienin arvo. Nämä arvot saavutetaan joko segmentin sisällä olevissa ääripisteissä tai tämän segmentin rajoilla.

Jos haluat löytää segmentin suurimmat ja pienimmät arvot, on suositeltavaa käyttää seuraavaa kaaviota:

1. Etsi derivaatta.

2. Etsi funktion kriittiset pisteet, joissa =0 tai ei ole olemassa.

3. Etsi funktion arvot kriittisistä pisteistä ja janan päistä ja valitse niistä suurin f max ja pienin f max.

Sovellettuja tehtäviä, erityisesti optimointitehtäviä, ratkaistaessa ovat tärkeitä ongelmat löytää funktion suurimmat ja pienimmät arvot (globaali maksimi ja globaali minimi) väliltä X. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi tulee ehdon perusteella , valitse itsenäinen muuttuja ja ilmaise tutkittava arvo tämän muuttujan kautta. Etsi sitten tuloksena olevan funktion haluttu suurin tai pienin arvo. Tässä tapauksessa riippumattoman muuttujan, joka voi olla äärellinen tai ääretön, muutosväli määräytyy myös tehtävän ehdoista.

Esimerkki. Säiliö, jonka yläosa on muodoltaan avoin suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö neliömäisellä pohjalla, on tinattava sisältä tinalla. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat, jos sen tilavuus on 108 litraa? vettä niin, että sen tinauksen kustannukset ovat minimaaliset?

Ratkaisu. Säiliön tinapinnoituskustannukset ovat minimaaliset, jos sen pinta-ala on tietyllä kapasiteetilla minimaalinen. Merkitään a dm pohjan sivua, b dm säiliön korkeutta. Silloin sen pinnan pinta-ala S on yhtä suuri kuin

JA

Tuloksena oleva suhde määrittää suhteen säiliön pinta-alan S (funktio) ja pohjan a sivun (argumentti) välillä. Tarkastellaan funktiota S ääripäälle. Etsitään ensimmäinen derivaatta, rinnastetaan se nollaan ja ratkaistaan ​​tuloksena oleva yhtälö:

Näin ollen a = 6. (a) > 0, jos a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Esimerkki. Etsi funktion suurin ja pienin arvo välissä.

Ratkaisu: Annettu funktio on jatkuva koko lukuviivalla. Johdannainen funktiosta

Johdannainen for ja for . Lasketaan funktioarvot näissä kohdissa:

.

Annetun intervallin päissä olevan funktion arvot ovat yhtä suuret. Siksi funktion suurin arvo on yhtä suuri kuin at , funktion pienin arvo on at .

Itsetestauskysymykset

1. Muotoile L'Hopitalin sääntö muodon epävarmuustekijöiden paljastamiseksi. Listaa erityyppiset epävarmuustekijät, joita L'Hopitalin sääntöä voidaan käyttää ratkaisemaan.

2. Muotoile kasvavan ja pienenevän funktion merkit.

3. Määritä funktion maksimi- ja minimiarvo.

4. Muotoile välttämätön ehto ääripään olemassaololle.

5. Mitä argumentin arvoja (mitä kohtia) kutsutaan kriittisiksi? Kuinka löytää nämä pisteet?

6. Mitkä ovat riittävät merkit funktion ääripään olemassaolosta? Piirrä kaavio funktion tutkimiseksi ääripäässä käyttämällä ensimmäistä derivaatta.

7. Piirrä kaavio ääripäässä olevan funktion tutkimiseksi käyttämällä toista derivaatta.

8. Määrittele käyrän kupera ja koveruus.

9. Mitä kutsutaan funktion kaavion käännepisteeksi? Ilmoita menetelmä näiden pisteiden löytämiseksi.

10. Muotoile tarvittavat ja riittävät merkit käyrän kuperuudesta ja koveruudesta tietylle segmentille.

11. Määrittele käyrän asymptootti. Kuinka löytää funktion kaavion pysty-, vaaka- ja vinoasymptootit?

12. Yleiskuvaus yleinen kaava funktion tutkiminen ja sen graafin rakentaminen.

13. Muotoile sääntö funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi tietyltä aikaväliltä.

Käytännön kannalta kiinnostavinta on derivaatan avulla löytää funktion suurimmat ja pienimmät arvot. Mihin tämä liittyy? Voittojen maksimointi, kustannusten minimoiminen, laitteiden optimaalisen kuormituksen määrittäminen... Toisin sanoen monilla elämänalueilla meidän on ratkaistava joidenkin parametrien optimointiongelmia. Ja nämä ovat tehtäviä löytää funktion suurimmat ja pienimmät arvot.

On huomattava, että funktion suurinta ja pienintä arvoa haetaan yleensä tietyltä väliltä X, joka on joko funktion koko alue tai osa määrittelyaluetta. Itse väli X voi olla segmentti, avoin intervalli , ääretön intervalli.

Tässä artikkelissa puhumme suurimpien ja pienimpien arvojen selvittämisestä annettu toiminto yksi muuttuja y=f(x) .

Sivulla navigointi.

Funktion suurin ja pienin arvo - määritelmät, kuvat.

Katsotaanpa lyhyesti tärkeimpiä määritelmiä.

Funktion suurin arvo että kenelle tahansa eriarvoisuus on totta.

Funktion pienin arvo y=f(x) välissä X kutsutaan sellaiseksi arvoksi että kenelle tahansa eriarvoisuus on totta.

Nämä määritelmät ovat intuitiivisia: funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) hyväksytty arvo tarkasteluvälillä abskissassa.

Kiinteät pisteet– nämä ovat argumentin arvoja, joilla funktion derivaatasta tulee nolla.

Miksi tarvitsemme kiinteitä pisteitä etsiessämme suurimpia ja pienimpiä arvoja? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Fermatin lause. Tästä lauseesta seuraa, että jos differentioituvalla funktiolla on jossain pisteessä ääriarvo (paikallinen minimi tai paikallinen maksimi), tämä piste on stationäärinen. Siten funktio ottaa usein suurimman (pienimmän) arvonsa väliltä X jossakin kiinteässä pisteessä tästä intervallista.

Lisäksi funktio voi usein saada suurimmat ja pienimmät arvonsa pisteissä, joissa tämän funktion ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa, ja itse funktio on määritelty.

Vastataan heti yhteen tämän aiheen yleisimmistä kysymyksistä: "Onko aina mahdollista määrittää funktion suurin (pienin) arvo"? Ei ei aina. Joskus välin X rajat osuvat yhteen funktion määritelmäalueen rajojen kanssa tai väli X on ääretön. Ja jotkut funktiot äärettömyydessä ja määritelmäalueen rajoilla voivat saada sekä äärettömän suuria että äärettömän pieniä arvoja. Näissä tapauksissa ei voida sanoa mitään funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

Selvyyden vuoksi annamme graafisen kuvan. Katso kuvia ja paljon tulee selvemmäksi.

Segmentillä

Ensimmäisessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y) ja pienimmän (min y) arvon segmentin sisällä sijaitsevista kiinteistä pisteistä [-6;6].

Harkitse toisessa kuvassa esitettyä tapausta. Muutetaan segmentti muotoon . Tässä esimerkissä funktion pienin arvo saavutetaan kiinteässä pisteessä ja suurin pisteessä, jonka abskissa vastaa oikea reuna intervalli.

Kuvassa 3 janan [-3;2] rajapisteet ovat funktion suurinta ja pienintä arvoa vastaavien pisteiden abskissoja.

Avoimella väliajalla

Neljännessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y) ja pienimmän (min y) arvot paikallaan olevista pisteistä, jotka sijaitsevat avoimen intervallin sisällä (-6;6).

Intervallilla ei voi tehdä johtopäätöksiä suurimmasta arvosta.

äärettömyydessä

Seitsemännessä kuvassa esitetyssä esimerkissä funktio saa suurimman arvon (max y) kiinteässä pisteessä, jossa abskissa x=1, ja pienin arvo (min y) saavutetaan intervallin oikealla rajalla. Miinus äärettömässä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3.

Aikavälin aikana funktio ei saavuta pienintä eikä suurinta arvoa. Kun x=2 lähestyy oikealta, funktioarvot pyrkivät miinus äärettömään (suora x=2 on vertikaalinen asymptootti), ja koska abskissa pyrkii plussaan äärettömään, funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3. Tämän esimerkin graafinen esitys näkyy kuvassa 8.

Algoritmi jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi segmentiltä.

Kirjoitetaan algoritmi, jonka avulla voimme löytää segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot.

1. Etsimme funktion määritelmäalueen ja tarkistamme, sisältääkö se koko segmentin.
2. Löydämme kaikki pisteet, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja jotka sisältyvät segmenttiin (yleensä tällaiset pisteet löytyvät funktioista, joissa on argumentti moduulimerkin alla ja tehotoiminnot murto-rationaalisen eksponentin kanssa). Jos tällaisia ​​pisteitä ei ole, siirry seuraavaan kohtaan.
3. Määritämme kaikki segmentin sisällä olevat kiinteät pisteet. Tätä varten vertaamme sen nollaan, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja valitsemme sopivat juuret. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole tai mikään niistä ei kuulu segmenttiin, siirry seuraavaan pisteeseen.
4. Laskemme funktion arvot valituissa stationaarisissa pisteissä (jos sellaisia ​​on), pisteissä, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole (jos sellainen on), sekä kohdissa x=a ja x=b.
5. Valitsemme saaduista funktion arvoista suurimman ja pienimmän - ne ovat vastaavasti vaaditut funktion suurimmat ja pienimmät arvot.

Analysoidaan algoritmi esimerkin ratkaisemiseksi löytääksemme segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot.

Esimerkki.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

• segmentillä ;
• segmentillä [-4;-1] .

Ratkaisu.

Funktion määrittelyalue on koko joukko reaalilukuja, lukuun ottamatta nollaa, eli. Molemmat segmentit kuuluvat määritelmäalueeseen.

Etsi funktion derivaatta suhteessa:

Ilmeisesti funktion derivaatta on olemassa segmenttien kaikissa pisteissä ja [-4;-1].

Määritämme yhtälöstä kiinteät pisteet. Ainoa todellinen juuri on x=2. Tämä paikallaan oleva piste putoaa ensimmäiseen segmenttiin.

Ensimmäisessä tapauksessa laskemme funktion arvot janan päissä ja paikallaan olevassa pisteessä, eli kohdissa x=1, x=2 ja x=4:

Siksi funktion suurin arvo saavutetaan arvolla x = 1 ja pienimmällä arvolla – kohdassa x=2.

Toisessa tapauksessa laskemme funktioarvot vain janan [-4;-1] päissä (koska se ei sisällä yhtä kiinteää pistettä):

Joskus ongelmissa B15 on "huonoja" toimintoja, joille on vaikea löytää johdannaista. Aikaisemmin tämä tapahtui vain näytetestien aikana, mutta nyt nämä tehtävät ovat niin yleisiä, että niitä ei voi enää jättää huomiotta varsinaiseen Unified State -kokeeseen valmistautuessa.

Tässä tapauksessa muut tekniikat toimivat, joista yksi on yksitoikkoinen.

Funktion f (x) sanotaan kasvavan monotonisesti janalla, jos jollekin tämän janan pisteille x 1 ja x 2 pätee seuraava:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funktion f (x) sanotaan monotonisesti pienenevän janalla, jos jollekin tämän janan pisteistä x 1 ja x 2 pätee seuraava:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Toisin sanoen kasvavalle funktiolle mitä suurempi x, sitä suurempi f(x). Pienevälle funktiolle päinvastoin: mitä suurempi x, sitä Vähemmän f(x).

Esimerkiksi logaritmi kasvaa monotonisesti, jos kanta a > 1, ja monotonisesti pienenee, jos 0< a < 1. Не забывайте про область hyväksyttäviä arvoja logaritmi: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmeettinen neliöjuuri (eikä vain neliöjuuri) kasvaa monotonisesti koko määritelmän alueella:

Eksponentiaalinen funktio käyttäytyy samalla tavalla kuin logaritmi: se kasvaa, kun a > 1 ja laskee kun 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentti funktio määritelty kaikille luvuille, ei vain x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Lopuksi asteet negatiivisella eksponentilla. Voit kirjoittaa ne murtolukuna. Heillä on taukopiste, jossa yksitoikkoisuus katkeaa.

Kaikkia näitä toimintoja ei koskaan löydy puhdas muoto. Ne lisäävät polynomeja, murtolukuja ja muuta hölynpölyä, mikä vaikeuttaa derivaatan laskemista. Katsotaanpa, mitä tässä tapauksessa tapahtuu.

Paraabelin kärjen koordinaatit

Useimmiten funktion argumentti korvataan neliöllinen trinomi muotoa y = ax 2 + bx + c. Sen kaavio on vakioparaabeli, josta olemme kiinnostuneita:

1. Paraabelin haarat voivat mennä ylös (> 0) tai alas (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Paraabelin kärki on toisen asteen funktion ääripiste, jossa tämä funktio saa miniminsä (a > 0) tai maksiminsa (a< 0) значение.

Suurin mielenkiinto on paraabelin huippu, jonka abskissa lasketaan kaavalla:

Joten, olemme löytäneet neliöfunktion ääripisteen. Mutta jos alkuperäinen funktio on monotoninen, sille piste x 0 on myös ääripiste. Joten muotoillaanpa keskeinen sääntö:

Neliöllisen trinomin ääripisteet ja monimutkainen toiminto, johon se sisältyy, ovat samat. Siksi voit etsiä x 0 neliöllisen trinomin ja unohtaa funktion.

Yllä olevasta päättelystä jää epäselväksi, minkä pisteen saamme: maksimin vai minimin. Tehtävät on kuitenkin suunniteltu erityisesti niin, ettei sillä ole väliä. Tuomari itse:

1. Ongelmalausekkeessa ei ole segmenttiä. Siksi f(a):ta ja f(b:tä) ei tarvitse laskea. Jäljelle jää vain ääripisteiden tarkastelu;
2. Mutta on vain yksi sellainen piste - tämä on paraabelin x 0 huippupiste, jonka koordinaatit lasketaan kirjaimellisesti suullisesti ja ilman johdannaisia.

Siten ongelman ratkaiseminen on huomattavasti yksinkertaisempaa ja koostuu vain kahdesta vaiheesta:

1. Kirjoita paraabelin yhtälö y = ax 2 + bx + c ja etsi sen kärki kaavalla: x 0 = −b /2a ;
2. Etsi alkuperäisen funktion arvo tässä pisteessä: f (x 0). Jos lisäehtoja ei ole, tämä on vastaus.

Ensi silmäyksellä tämä algoritmi ja sen perusteet voivat tuntua monimutkaisilta. En tarkoituksella julkaise "paljasta" ratkaisukaaviota, koska tällaisten sääntöjen ajattelematon soveltaminen on täynnä virheitä.

Katsotaanpa todellisia ongelmia koe Unified State Exam matematiikassa - tämä tekniikka löytyy useimmiten. Samalla huolehdimme siitä, että tällä tavalla monet B15-ongelmat muuttuvat lähes suullisiksi.

Juuren alla seisoo neliöfunktio y = x 2 + 6x + 13. Tämän funktion kuvaaja on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska kerroin a = 1 > 0.

Paraabelin huippupiste:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Koska paraabelin haarat ovat ylöspäin, pisteessä x 0 = −3 funktio y = x 2 + 6x + 13 saa minimiarvonsa.

Juuri kasvaa monotonisesti, mikä tarkoittaa, että x 0 on koko funktion minimipiste. Meillä on:

Tehtävä. Etsi funktion pienin arvo:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Logaritmin alla on taas neliöfunktio: y = x 2 + 2x + 9. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska a = 1 > 0.

Paraabelin huippupiste:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Joten pisteessä x 0 = −1 neliöfunktio saa minimiarvonsa. Mutta funktio y = log 2 x on monotoninen, joten:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponentti sisältää toisen asteen funktion y = 1 − 4x − x 2 . Kirjoitetaan se uudelleen normaalimuotoon: y = −x 2 − 4x + 1.

Ilmeisesti tämän funktion kuvaaja on paraabeli, joka haarautuu alaspäin (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Alkuperäinen funktio on eksponentiaalinen, se on monotoninen, joten suurin arvo on löydetyssä pisteessä x 0 = −2:

Huomaavainen lukija huomaa todennäköisesti, että emme kirjoittaneet juuren ja logaritmin sallittujen arvojen aluetta. Mutta tätä ei vaadittu: sisällä on toimintoja, joiden arvot ovat aina positiivisia.

Seuraukset funktion alueelta

Joskus pelkkä paraabelin kärjen löytäminen ei riitä ratkaisemaan tehtävää B15. Etsimäsi arvo saattaa valehdella jakson lopussa, eikä ollenkaan ääripisteessä. Jos ongelma ei osoita segmenttiä ollenkaan, katso hyväksyttävien arvojen alue alkuperäinen toiminto. Nimittäin:

Huomaa jälleen: nolla voi hyvinkin olla juuren alla, mutta ei koskaan murtoluvun logaritmissa tai nimittäjässä. Katsotaanpa, miten tämä toimii erityisillä esimerkeillä:

Tehtävä. Etsi funktion suurin arvo:

Juuren alla on jälleen neliöfunktio: y = 3 − 2x − x 2 . Sen kuvaaja on paraabeli, mutta haarautuu alaspäin, koska a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Neliöjuuri negatiivista lukua ei ole olemassa.

Kirjoitamme sallittujen arvojen alueen (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Etsitään nyt paraabelin kärki:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Piste x 0 = −1 kuuluu ODZ-segmenttiin - ja tämä on hyvä. Nyt laskemme funktion arvon pisteessä x 0 sekä ODZ:n päissä:

y(−3) = y(1) = 0

Joten, saimme luvut 2 ja 0. Meitä pyydetään löytämään suurin - tämä on numero 2.

Tehtävä. Etsi funktion pienin arvo:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Logaritmin sisällä on neliöfunktio y = 6x − x 2 − 5. Tämä on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin, mutta logaritmissa sitä ei voi olla negatiivisia lukuja, joten kirjoitamme ODZ:n:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Huomaa: epätasa-arvo on tiukka, joten päät eivät kuulu ODZ: lle. Tämä eroaa logaritmista juurista, jossa segmentin päät sopivat meille varsin hyvin.

Etsimme paraabelin kärkeä:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Paraabelin kärki sopii ODZ:n mukaan: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Mutta koska emme ole kiinnostuneita janan päistä, laskemme funktion arvon vain pisteessä x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Pieni ja kaunis yksinkertainen tehtävä kelluvan opiskelijan pelastajaksi toimivien luokasta. Luonnossa on heinäkuun puoliväli, joten on aika asettua kannettavan tietokoneen kanssa rannalle. Varhain aamulla teorian auringonsäde alkoi leikkiä, jotta pian voidaan keskittyä harjoitteluun, joka julistetusta helppoudesta huolimatta sisältää lasinsiruja hiekkaan. Tältä osin suosittelen, että harkitset tunnollisesti tämän sivun muutamia esimerkkejä. Käytännön ongelmien ratkaisemiseksi sinun on kyettävä löytää johdannaisia ja ymmärtää artikkelin materiaalin Monotonisuusvälit ja funktion ääripäät.

Ensinnäkin lyhyesti pääasiasta. Oppitunnilla aiheesta toiminnan jatkuvuus Annoin määritelmän jatkuvuudelle pisteessä ja jatkuvuudelle välissä. Toiminnon esimerkinomainen käyttäytyminen segmentillä on muotoiltu samalla tavalla. Funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä, jos:

1) se on jatkuva aikavälillä ;
2) jatkuva pisteessä oikealla ja pisteessä vasemmalle.

Toisessa kappaleessa puhuimme ns yksipuolinen jatkuvuus toimii jossain kohdassa. Sen määrittelemiseen on useita lähestymistapoja, mutta pysyn aiemmin aloittamassani linjassa:

Toiminto on jatkuva pisteessä oikealla, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen oikeanpuoleinen raja on sama kuin funktion arvo tietyssä pisteessä: . Se on jatkuvaa pisteessä vasemmalle, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen vasemmanpuoleinen raja yhtä suuri kuin arvo tässä tilanteessa:

Kuvittele, että vihreät pisteet ovat kynsiä, joihin on kiinnitetty maaginen kuminauha:

Ota henkisesti punainen viiva käsiisi. Ilmeisesti riippumatta siitä kuinka pitkälle venytetään kuvaajaa ylös ja alas (akselia pitkin), funktio pysyy silti rajoitettu– aita ylhäällä, aita alhaalla, ja tuotteemme laiduntaa aitauksessa. Täten, väliin jatkuva funktio on rajoitettu siihen. Matemaattisen analyysin aikana tämä näennäisesti yksinkertainen tosiasia todetaan ja todistetaan tiukasti. Weierstrassin ensimmäinen lause....Moni on ärsyyntynyt siitä, että alkeellisia väitteitä perustellaan ikävästi matematiikassa, mutta tällä on tärkeä merkitys. Oletetaan, että tietty froteekeskiajan asukas veti kaavion taivaalle näkyvyyden rajojen yli, tämä lisättiin. Ennen kaukoputken keksintöä rajallinen toiminta avaruudessa ei ollut ollenkaan ilmeinen! Oikeasti, mistä tiedät, mikä meitä odottaa horisontin takana? Maatahan pidettiin joskus litteänä, joten nykyään tavallinen teleportaatiokin vaatii todisteita =)

Mukaan Weierstrassin toinen lause, jatkuva segmentilläfunktio saavuttaa sen tarkka yläraja ja sinun tarkka alareuna .

Numeroon myös soitetaan segmentin funktion enimmäisarvo ja niitä merkitään , ja numero on segmentin funktion vähimmäisarvo merkitty .

Meidän tapauksessamme:

Huomautus : teoriassa tallenteet ovat yleisiä .

Karkeasti sanottuna suurin arvo on siellä, missä eniten kohokohta grafiikkaa, ja pienin on siellä, missä alin kohta on.

Tärkeä! Kuten artikkelissa jo korostettiin funktion ääripää, suurin funktion arvo Ja pienin funktion arvo – EI OLE SAMA, Mitä maksimi toiminto Ja minimitoiminto. Tarkasteltavassa esimerkissä luku on siis funktion minimi, mutta ei minimiarvo.

Muuten, mitä tapahtuu segmentin ulkopuolella? Kyllä, edes tulva, kyseessä olevan ongelman yhteydessä, tämä ei kiinnosta meitä ollenkaan. Tehtävä sisältää vain kahden luvun etsimisen ja siinä se!

Lisäksi ratkaisu on siis puhtaasti analyyttinen ei tarvitse piirtää!

Algoritmi on pinnalla ja ehdottaa itseään yllä olevasta kuvasta:

1) Etsi funktion arvot in kriittiset kohdat, jotka kuuluvat tähän segmenttiin.

Hanki toinen bonus: tässä ei tarvitse tarkistaa ääripään riittävää kuntoa, koska, kuten juuri näytettiin, minimi- tai maksimiarvo ei takaa vielä, mikä on pienin tai suurin arvo. Esittelyfunktio saavuttaa maksiminsa ja kohtalon tahdosta sama luku on segmentin funktion suurin arvo. Mutta tietenkään tällaista sattumaa ei aina tapahdu.

Joten ensimmäisessä vaiheessa on nopeampaa ja helpompaa laskea funktion arvot segmenttiin kuuluvissa kriittisissä pisteissä välittämättä siitä, onko niissä äärimmäisyyksiä vai ei.

2) Laskemme funktion arvot segmentin päissä.

3) Valitse 1. ja 2. kappaleessa olevista funktioarvoista pienin ja suurin iso luku, kirjoita vastaus ylös.

Istumme rannalle sininen meri ja osui matalaan veteen kantapäällämme:

Esimerkki 1

Etsi segmentin funktion suurin ja pienin arvo

Ratkaisu:
1) Lasketaan funktion arvot kriittisissä pisteissä, jotka kuuluvat tähän segmenttiin:

Lasketaan funktion arvo toisessa kriittisessä pisteessä:

2) Lasketaan funktion arvot segmentin päissä:

3) "Lihavoidut" tulokset saatiin eksponenteilla ja logaritmeilla, mikä vaikeuttaa merkittävästi niiden vertailua. Tästä syystä aseistakaamme itsemme laskimella tai Excelillä ja lasketaan likimääräiset arvot unohtamatta, että:

Nyt kaikki on selvää.

Vastaus:

Murto-rationaalinen ilmentymä itsenäiselle ratkaisulle:

Esimerkki 6

Etsi segmentin funktion enimmäis- ja minimiarvot

Mikä on funktion ääripää ja mikä on ääripään välttämätön ehto?

Funktion ääriarvo on funktion maksimi ja minimi.

Edellytys Funktion maksimi ja minimi (ääriarvo) ovat seuraavat: jos funktiolla f(x) on ääriarvo pisteessä x = a, niin derivaatta on tässä vaiheessa joko nolla tai ääretön tai sitä ei ole olemassa.

Tämä ehto on välttämätön, mutta ei riittävä. Derivaata pisteessä x = a voi mennä nollaan, äärettömään tai ei ole olemassa ilman, että funktiolla on ääripää tässä pisteessä.

Mikä on riittävä ehto funktion ääripäälle (maksimi tai minimi)?

Ensimmäinen ehto:

Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on positiivinen a:n vasemmalla puolella ja negatiivinen pisteen a oikealla puolella, niin pisteessä x = a funktiolla f(x) on enimmäismäärä

Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on negatiivinen a:n vasemmalla puolella ja positiivinen a:n oikealla puolella, niin pisteessä x = a funktiolla f(x) on minimi edellyttäen, että funktio f(x) on jatkuva.

Sen sijaan voit käyttää toista riittävää ehtoa funktion ääripäälle:

Olkoon pisteessä x = a ensimmäinen derivaatta f?(x) kadonnut; jos toinen derivaatta f??(a) on negatiivinen, niin funktiolla f(x) on maksimi pisteessä x = a, jos se on positiivinen, niin sillä on minimi.

Mikä on funktion kriittinen piste ja miten se löydetään?

Tämä on funktion argumentin arvo, jossa funktiolla on ääriarvo (eli maksimi tai minimi). Löytääksesi sen tarvitset löytää johdannainen funktio f?(x) ja rinnastamalla se nollaan, ratkaise yhtälö f?(x) = 0. Tämän yhtälön juuret sekä pisteet, joissa tämän funktion derivaatta ei ole olemassa, ovat kriittisiä pisteitä, eli argumentin arvoja, joissa voi olla ääriarvo. Ne on helppo tunnistaa katsomalla johdannainen graafi: olemme kiinnostuneita niistä argumentin arvoista, joissa funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (Ox-akseli), ja niistä, joissa kuvaaja kärsii epäjatkuvuudesta.

Etsitään esimerkiksi paraabelin ääripää.

Funktio y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Toiminnon derivaatta: y?(x) = 6x + 2

Ratkaise yhtälö: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Tässä tapauksessa kriittinen piste on x0=-1/3. Tämä argumenttiarvo funktiolla on ääripää. Hänelle löytö, korvaa funktio lausekkeessa löydetyllä numerolla "x":n sijaan:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kuinka määrittää funktion maksimi ja minimi, ts. sen suurimmat ja pienimmät arvot?

Jos derivaatan etumerkki kulkiessaan kriittisen pisteen x0 kautta muuttuu plussasta miinusarvoksi, niin x0 on maksimipiste; jos derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, niin x0 on minimipiste; jos etumerkki ei muutu, niin pisteessä x0 ei ole maksimi- eikä minimiarvoa.

Tarkastetussa esimerkissä:

Ota mielivaltainen argumentin arvo vasemmalle Kriittinen piste: x = -1

Kun x = -1, derivaatan arvo on y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (eli merkki on "miinus").

Nyt otamme kriittisen pisteen oikealla puolella olevan argumentin mielivaltaisen arvon: x = 1

Kun x = 1, derivaatan arvo on y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (eli merkki on "plus").

Kuten näet, derivaatta muutti merkin miinuksesta plussaksi kulkiessaan kriittisen pisteen läpi. Tämä tarkoittaa, että kriittisellä arvolla x0 meillä on minimipiste.

Funktion suurin ja pienin arvo välissä(segmentillä) löydetään samalla menettelyllä, vain ottaen huomioon se tosiasia, että ehkä kaikki kriittiset pisteet eivät ole määritetyllä aikavälillä. Ne kriittiset kohdat, jotka ovat intervallin ulkopuolella, on jätettävä huomioimatta. Jos välissä on vain yksi kriittinen piste, sillä on joko maksimi tai minimi. Tässä tapauksessa funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi otamme huomioon myös funktion arvot intervallin päissä.

Etsitään esimerkiksi funktion suurimmat ja pienimmät arvot

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

väliajoin:

Eli funktion derivaatta on

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Ratkaisemme yhtälön 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Löydämme kriittiset kohdat väliltä [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ei sisälly väliin)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ei sisälly väliin)

Löydämme funktioarvot argumentin kriittisistä arvoista:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Voidaan nähdä, että aikavälillä [-9; 9] funktiolla on suurin arvo kohdassa x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

ja pienin - kohdassa x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Aikavälillä [-6; -3] meillä on vain yksi kriittinen piste: x = -4,88. Funktion arvo kohdassa x = -4,88 on yhtä suuri kuin y = 5,398.

Etsi funktion arvo intervallin päistä:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Aikavälillä [-6; -3] meillä on funktion suurin arvo

y = 5,398 kohdassa x = -4,88

pienin arvo -

y = 1,077 kohdassa x = -3

Kuinka löytää funktiokaavion käännepisteet ja määrittää kupera ja kovera sivu?

Löytääksesi kaikki suoran y = f(x) käännepisteet, sinun on löydettävä toinen derivaatta, rinnastettava se nollaan (ratkaistava yhtälö) ja testattava kaikki ne x:n arvot, joille toinen derivaatta on nolla, ääretön tai ei ole olemassa. Jos toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan yhden näistä arvoista, niin funktion kuvaajalla on tässä pisteessä taivutus. Jos se ei muutu, ei ole mutkaa.

Yhtälön f juuret? (x) = 0, sekä funktion ja toisen derivaatan mahdolliset epäjatkuvuuspisteet jakavat funktion määritelmäalueen useisiin intervalleihin. Kummankin niiden välin konveksius määräytyy toisen derivaatan etumerkillä. Jos toinen derivaatta tutkittavan intervallin pisteessä on positiivinen, niin suora y = f(x) on kovera ylöspäin ja jos negatiivinen, niin alaspäin.

Kuinka löytää kahden muuttujan funktion ääriarvo?

Löytääksesi funktion f(x,y) ääripään, joka on differentioituva sen määrittelyalueella, tarvitset:

1) löytää kriittiset pisteet ja tätä varten - ratkaista yhtälöjärjestelmä

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) tutkia jokaisen kriittisen pisteen P0(a;b) osalta, pysyykö eron etumerkki ennallaan

kaikille pisteille (x;y) riittävän lähellä P0:ta. Jos ero pysyy positiivisena, niin pisteessä P0 meillä on minimi, jos negatiivinen, niin meillä on maksimi. Jos ero ei säilytä etumerkkiään, pisteessä P0 ei ole ääriarvoa.

Toiminnon ääriarvot määritetään samalla tavalla lisää argumentteja.