Olkoon toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0.
Käytämme neliötrinomiaaliin ax 2 + bx + c samoja muunnoksia, jotka suoritimme § 13:ssa, kun todistimme lauseen, että funktion y \u003d ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli.
Meillä on

Yleensä lauseke b 2 - 4ac merkitään kirjaimella D ja sitä kutsutaan erottajaksi toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0 (tai neliön trinomin ax + bx + c diskriminantti).

Täten

Siten toisen asteen yhtälö ax 2 + niiden + c \u003d O voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

Mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan muuntaa muotoon (1), mikä on kätevää, kuten nyt näemme, jotta voidaan määrittää toisen asteen yhtälön juurten lukumäärä ja löytää nämä juuret.

Todiste. Jos D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Ratkaisu. Tässä a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Koska D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Todiste. Jos D = 0, yhtälö (1) saa muodon

on yhtälön ainoa juuri.

Huomautus 1. Muistatko, että x \u003d - on paraabelin kärjen abskissa, joka toimii funktion y \u003d ax 2 + ux + c kuvaajana? Miksi tämä on
arvo osoittautui toisen asteen yhtälön ax 2 + x + c - 0 ainoaksi juureksi? "Arkku" avautuu yksinkertaisesti: jos D on 0, niin, kuten aiemmin totesimme,

Saman funktion kaavio on paraabeli, jonka kärkipiste on pisteessä (katso esimerkiksi kuva 98). Siten paraabelin kärjen abskissa ja toisen asteen yhtälön ainoa juuri, kun D = 0, ovat sama luku.

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Ratkaisu. Tässä a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Koska D = 0, niin Lauseen 2 mukaan tällä toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri. Tämä juuri löytyy kaavasta

Vastaus: 2.5.

Huomautus 2. Huomaa, että 4x2 - 20x +25 on täydellinen neliö: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Jos huomasimme tämän heti, ratkaisimme yhtälön seuraavasti: (2x - 5) 2 \u003d 0, mikä tarkoittaa 2x - 5 \u003d 0, josta saamme x \u003d 2,5. Yleensä, jos D = 0, niin

ax 2 + bx + c = - huomasimme tämän aiemmin huomautuksessa 1.
Jos D > 0, niin toisen asteen yhtälöllä ax 2 + bx + c \u003d 0 on kaksi juuria, jotka löytyvät kaavoista

Todiste. Kirjoitamme toisen asteen yhtälön ax 2 + b x + c = 0 muodossa (1)

Laitetaan
Oletuksena D > 0, mikä tarkoittaa, että yhtälön oikea puoli on positiivinen luku. Sitten yhtälöstä (2) saamme sen

Joten annetulla toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria:

Huomautus 3. Matematiikassa harvoin käy niin, että käyttöön otetulla termillä ei ole kuvaannollisesti sanottuna jokapäiväistä taustaa. Otetaan uusi
käsite on syrjivä. Muista sana "syrjintä". Mitä se tarkoittaa? Se tarkoittaa toisten nöyryyttämistä ja toisten korottamista, ts. erilaisia ​​asenteita
nie eri pudya. Molemmat sanat (sekä syrjintä että syrjintä) tulevat latinan sanasta discriminans - "erotteleva". Diskriminantti erottaa toisen asteen yhtälöt juurien lukumäärän perusteella.

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälö 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Ratkaisu. Tässä a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Koska D > 0, niin Lauseen 3 mukaan tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria. Nämä juuret löydetään kaavoilla (3)

Itse asiassa olemme kehittäneet seuraavan säännön:

Yhtälön ratkaisusääntö
ax 2 + bx + c = 0

Tämä sääntö on universaali, se koskee sekä täydellisiä että epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä ei kuitenkaan yleensä ratkaista tämän säännön mukaan, vaan ne on helpompi ratkaista, kuten teimme edellisessä kappaleessa.

Esimerkki 4 Ratkaise yhtälöt:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Ratkaisu. a) Tässä a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Koska D > 0, tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria. Nämä juuret löydetään kaavoilla (3)

B) Kuten kokemus osoittaa, on kätevämpää käsitellä toisen asteen yhtälöitä, joissa johtava kerroin on positiivinen. Siksi kerromme ensin yhtälön molemmat puolet arvolla -1, saamme

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tässä a \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
Koska D = 0, tällä toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri. Tämä juuri löytyy kaavasta x \u003d -. tarkoittaa,

Tämä yhtälö voitaisiin ratkaista toisella tavalla: koska
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, niin saamme yhtälön (3x - I) 2 \u003d 0, josta löydämme Zx - 1 \u003d 0, eli x \u003d.

c) Tässä a \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Koska D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matemaatikot ovat käytännöllisiä, taloudellisia ihmisiä. Miksi he sanovat, että käytetään niin pitkää sääntöä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen, on parempi kirjoittaa heti yleinen kaava:

Jos käy ilmi, että diskriminantti D \u003d b 2 - 4ac on negatiivinen luku, kirjoitetussa kaavassa ei ole järkeä (merkin alla neliöjuuri on negatiivinen luku), joten juuria ei ole. Jos käy ilmi, että diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla, niin saamme

Eli yksi juuri (he sanovat myös, että toisen asteen yhtälöllä on tässä tapauksessa kaksi identtistä juurta:

Lopuksi, jos käy ilmi, että b 2 - 4ac > 0, niin saadaan kaksi juuria x 1 ja x 2, jotka lasketaan samoilla kaavoilla (3), kuten edellä on esitetty.

Luku itsessään on tässä tapauksessa positiivinen (kuten mikä tahansa positiivisen luvun neliöjuuri), ja sen edessä oleva kaksoismerkki tarkoittaa, että yhdessä tapauksessa (kun löydetään x 1) tämä positiivinen luku lisätään numeroon - b, ja toisessa tapauksessa (kun löytää x 2) on positiivinen luku
lue numerosta - b.

Sinulla on valinnanvapaus. Jos haluat, ratkaise toisen asteen yhtälö yksityiskohtaisesti käyttämällä yllä muotoiltua sääntöä; Jos haluat, kirjoita kaava (4) heti ylös ja käytä sitä tarvittavien johtopäätösten tekemiseen.

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälöt:

Ratkaisu, a) Tietenkin kaavoja (4) tai (3) voidaan käyttää, kun otetaan huomioon, että tässä tapauksessa Mutta miksi tehdä operaatioita murtoluvuilla, kun kokonaislukujen käsittely on helpompaa ja mikä tärkeintä, miellyttävämpää? Päästään eroon nimittäjistä. Tätä varten sinun on kerrottava yhtälön molemmat osat 12:lla, toisin sanoen yhtälön kertoimina toimivien murtolukujen pienimmällä yhteisellä nimittäjällä. Saada

josta 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Ja nyt käytämme kaavaa (4)

B) Meillä on jälleen yhtälö murtokertoimilla: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Kerro yhtälön molemmat puolet 100:lla, niin saamme yhtälön kokonaislukukertoimilla:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Seuraavaksi käytämme kaavaa (4):

Yksinkertainen arvaus osoittaa, että diskriminantti (radikaalilauseke) on negatiivinen luku. Yhtälöllä ei siis ole juuria.

Esimerkki 6 ratkaise yhtälö
Ratkaisu. Tässä, toisin kuin edellisessä esimerkissä, on parempi toimia säännön mukaan, ei pelkistetyn kaavan (4) mukaan.

Meillä on \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Koska D > 0, toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria, joita etsitään kaavojen (3) avulla.

Esimerkki 7 ratkaise yhtälö
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

Ratkaisu. Tämä toisen asteen yhtälö eroaa kaikista tähän mennessä tarkastelluista toisen asteen yhtälöistä siinä, että kertoimet eivät ole tiettyjä lukuja, vaan kirjaimellisia ilmaisuja. Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan yhtälöiksi kirjainkertoimilla tai yhtälöiksi parametreillä. Tässä tapauksessa parametri (kirjain) p sisältyy yhtälön toiseen kertoimeen ja vapaaseen termiin.
Etsitään diskriminantti:

Esimerkki 8. Ratkaise yhtälö px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Ratkaisu. Tämä on myös yhtälö parametrin p kanssa, mutta toisin kuin edellisessä esimerkissä, sitä ei voida ratkaista välittömästi kaavoilla (4) tai (3). Tosiasia on, että näitä kaavoja voidaan soveltaa toisen asteen yhtälöihin, mutta emme voi vielä sanoa tätä tietystä yhtälöstä. Entä jos p = 0? Sitten
yhtälö saa muotoa 0. x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, eli x - 1 \u003d 0, josta saamme x \u003d 1. Nyt, jos tiedät sen varmasti, voit käyttää juurien kaavoja toisen asteen yhtälöstä:

Ensimmäinen taso

Toisen asteen yhtälöt. Kattava opas (2019)

Termissä "neliöyhtälö" avainsana on "neliö". Tämä tarkoittaa, että yhtälön täytyy välttämättä sisältää muuttuja (sama X) neliössä, eikä samaan aikaan saa olla X:itä kolmannessa (tai suuremmassa) asteessa.

Monien yhtälöiden ratkaisu pelkistyy toisen asteen yhtälöiden ratkaisuksi.

Opitaan määrittämään, että meillä on toisen asteen yhtälö, ei jokin muu.

Esimerkki 1

Päästä eroon nimittäjästä ja kerro jokainen yhtälön termi

Siirretään kaikki vasen puoli ja järjestä termit x:n potenssien laskevaan järjestykseen

Nyt voimme varmuudella sanoa, että tämä yhtälö on neliö!

Esimerkki 2

Kerrotaan vasen ja oikea puoli osoitteessa:

Tämä yhtälö, vaikka se oli alun perin siinä, ei ole neliö!

Esimerkki 3

Kerrotaan kaikki:

Pelottava? Neljäs ja toinen aste... Jos kuitenkin teemme korvauksen, näemme, että meillä on yksinkertainen toisen asteen yhtälö:

Esimerkki 4

Näyttää siltä, ​​mutta katsotaanpa tarkemmin. Siirretään kaikki vasemmalle puolelle:

Katso, kutistui - ja nyt se on yksinkertaista lineaarinen yhtälö!

Yritä nyt määrittää itse, mitkä seuraavista yhtälöistä ovat neliöllisiä ja mitkä eivät:

Esimerkkejä:

Vastaukset:

1. neliö;
2. neliö;
3. ei neliö;
4. ei neliö;
5. ei neliö;
6. neliö;
7. ei neliö;
8. neliö.

Matemaatikot jakavat kaikki toisen asteen yhtälöt ehdollisesti seuraaviin tyyppeihin:

• Täydelliset toisen asteen yhtälöt- yhtälöt, joissa kertoimet ja sekä vapaa termi c eivät ole nolla (kuten esimerkissä). Lisäksi täydellisten toisen asteen yhtälöiden joukossa on annettu ovat yhtälöitä, joissa kerroin (esimerkin yksi yhtälö ei ole vain täydellinen, vaan myös pelkistetty!)

• Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt- yhtälöt, joissa kerroin ja/tai vapaa termi c ovat nolla:

  Ne ovat epätäydellisiä, koska niistä puuttuu jokin elementti. Mutta yhtälön tulee aina sisältää x neliö !!! Muuten se ei ole enää neliö, vaan jokin muu yhtälö.

Miksi he keksivät tällaisen jaon? Vaikuttaa siltä, ​​​​että siellä on X-neliö, ja okei. Tällainen jako johtuu ratkaisumenetelmistä. Tarkastellaan jokaista niistä yksityiskohtaisemmin.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Keskitytään ensin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen - ne ovat paljon yksinkertaisempia!

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ovat tyyppejä:

1. , tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.
2. , tässä yhtälössä vapaa termi on yhtä suuri kuin.
3. , tässä yhtälössä kerroin ja vapaa termi ovat yhtä suuret.

1. i. Koska osaamme ottaa neliöjuuren, ilmaistaan ​​tämä yhtälö

Ilmaisu voi olla joko negatiivinen tai positiivinen. Neliöluku ei voi olla negatiivinen, koska kun kerrotaan kaksi negatiivista tai kaksi positiivista lukua, tulos on aina positiivinen luku, joten: jos, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Ja jos, niin saamme kaksi juuria. Näitä kaavoja ei tarvitse opetella ulkoa. Tärkeintä on, että sinun tulee aina tietää ja muistaa, että se ei voi olla vähemmän.

Yritetään ratkaista joitakin esimerkkejä.

Esimerkki 5:

Ratkaise yhtälö

Nyt on vielä poistettava juuri vasemmasta ja oikeasta osasta. Loppujen lopuksi muistatko kuinka poimia juuret?

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuria negatiivisella merkillä!!!

Esimerkki 6:

Ratkaise yhtälö

Vastaus:

Esimerkki 7:

Ratkaise yhtälö

Vai niin! Luvun neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälö

ei juuria!

Tällaisille yhtälöille, joissa ei ole juuria, matemaatikot keksivät erityisen kuvakkeen - (tyhjä joukko). Ja vastaus voidaan kirjoittaa näin:

Vastaus:

Siten tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria. Tässä ei ole rajoituksia, koska emme poimineet juuria.
Esimerkki 8:

Ratkaise yhtälö

Otetaan yhteinen tekijä pois suluista:

Täten,

Tällä yhtälöllä on kaksi juurta.

Vastaus:

Yksinkertaisin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden tyyppi (vaikka ne ovat kaikki yksinkertaisia, eikö?). Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri:

Täällä pärjätään ilman esimerkkejä.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Muistutamme, että täydellinen toisen asteen yhtälö on yhtälö muotoyhtälöstä, jossa

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on hieman monimutkaisempaa (vain vähän) kuin annettuja.

Muistaa, mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia! Jopa epätäydellinen.

Muut menetelmät auttavat sinua tekemään sen nopeammin, mutta jos sinulla on ongelmia toisen asteen yhtälöiden kanssa, hallitse ratkaisu ensin erottimen avulla.

1. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen diskriminantilla.

Toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen tällä tavalla on hyvin yksinkertaista, tärkeintä on muistaa toimintojen järjestys ja pari kaavaa.

Jos, niin yhtälöllä on juuri Erityistä huomiota piirrä askel. Diskriminantti () kertoo meille yhtälön juurien lukumäärän.

• Jos, niin vaiheen kaava pienennetään arvoon. Siten yhtälöllä on vain juuri.
• Jos, emme pysty erottamaan erottimen juuria vaiheessa. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Palataanpa yhtälöihimme ja katsotaan muutama esimerkki.

Esimerkki 9:

Ratkaise yhtälö

Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Yhtälöllä on siis kaksi juuria.

Vaihe 3

Vastaus:

Esimerkki 10:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on vakiomuodossa, joten Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Yhtälöllä on siis yksi juuri.

Vastaus:

Esimerkki 11:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on vakiomuodossa, joten Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Tämä tarkoittaa, että emme pysty erottamaan juuria diskriminantista. Yhtälön juuria ei ole.

Nyt tiedämme kuinka kirjoittaa tällaiset vastaukset oikein.

Vastaus: ei juuria

2. Neliöyhtälöiden ratkaisu Vieta-lauseen avulla.

Jos muistat, on olemassa sellaisen tyyppisiä yhtälöitä, joita kutsutaan pelkistetyiksi (kun kerroin a on yhtä suuri):

Tällaiset yhtälöt on erittäin helppo ratkaista käyttämällä Vietan lausetta:

Juurien summa annettu toisen asteen yhtälö on yhtä suuri ja juurien tulo on yhtä suuri.

Esimerkki 12:

Ratkaise yhtälö

Tämä yhtälö sopii ratkaisuun Vieta-lauseen avulla, koska .

Yhtälön juurien summa on ts. saamme ensimmäisen yhtälön:

Ja tuote on:

Luodaan ja ratkaistaan ​​järjestelmä:

• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on yhtä suuri.

ja ovat järjestelmän ratkaisu:

Vastaus: ; .

Esimerkki 13:

Ratkaise yhtälö

Vastaus:

Esimerkki 14:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Vastaus:

NELIÖYHTÄLÖT. KESKITASO

Mikä on toisen asteen yhtälö?

Toisin sanoen toisen asteen yhtälö on muodoltaan yhtälö, jossa - tuntematon - lisäksi joitain lukuja.

Numeroa kutsutaan suurimmaksi tai ensimmäinen kerroin toisen asteen yhtälö, - toinen kerroin, A- vapaa jäsen.

Miksi? Koska jos yhtälöstä tulee välittömästi lineaarinen, koska katoaa.

Tässä tapauksessa ja voi olla nolla. Tässä ulosteyhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi. Jos kaikki ehdot ovat paikoillaan, yhtälö on valmis.

Ratkaisuja erityyppisiin toisen asteen yhtälöihin

Menetelmät epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Aluksi analysoimme menetelmiä epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi - ne ovat yksinkertaisempia.

Seuraavat yhtälötyypit voidaan erottaa:

I. , tässä yhtälössä kerroin ja vapaa termi ovat yhtä suuret.

II. , tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.

III. , tässä yhtälössä vapaa termi on yhtä suuri kuin.

Harkitse nyt kunkin alatyypin ratkaisua.

Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri:

Neliöity luku ei voi olla negatiivinen, koska kun kerrotaan kaksi negatiivista tai kaksi positiivista lukua, tuloksena on aina positiivinen luku. Siksi:

jos, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja;

jos meillä on kaksi juurta

Näitä kaavoja ei tarvitse opetella ulkoa. Tärkeintä on muistaa, että se ei voi olla pienempi.

Esimerkkejä:

Ratkaisut:

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuria negatiivisella merkillä!

Luvun neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälö

ei juuria.

Kirjoitamme lyhyesti, että ongelmalla ei ole ratkaisuja, käytämme tyhjän sarjan kuvaketta.

Vastaus:

Joten tällä yhtälöllä on kaksi juurta: ja.

Vastaus:

Otetaan yhteinen tekijä pois suluista:

Tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on ratkaisu, kun:

Joten tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juurta: ja.

Esimerkki:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Laskemme yhtälön vasemman puolen ja etsimme juuret:

Vastaus:

Menetelmät täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Syrjivä

Neliöyhtälöiden ratkaiseminen tällä tavalla on helppoa, tärkeintä on muistaa toimintojen järjestys ja pari kaavaa. Muista, että mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia! Jopa epätäydellinen.

Huomasitko erottimen juuren juurikaavassa? Mutta syrjivä tekijä voi olla negatiivinen. Mitä tehdä? Meidän on kiinnitettävä erityistä huomiota vaiheeseen 2. Diskriminantti kertoo meille yhtälön juurien lukumäärän.

• Jos, niin yhtälöllä on juuri:
• Jos yhtälöllä on sama juuri, mutta itse asiassa yksi juuri:

  Tällaisia ​​juuria kutsutaan kaksoisjuuriksi.

• Jos, erottajan juuria ei eroteta. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Miksi juuria on eri määrä? Käännytään geometrinen tunne toisen asteen yhtälö. Funktion kuvaaja on paraabeli:

Tietyssä tapauksessa, joka on toisen asteen yhtälö, . Ja tämä tarkoittaa, että neliöyhtälön juuret ovat leikkauspisteitä x-akselin (akselin) kanssa. Paraabeli ei välttämättä ylitä akselia ollenkaan tai se voi leikata sen yhdessä (kun paraabelin huippu on akselilla) tai kahdessa pisteessä.

Lisäksi kerroin vastaa paraabelin haarojen suunnasta. Jos, niin paraabelin oksat on suunnattu ylöspäin ja jos - niin alaspäin.

Esimerkkejä:

Ratkaisut:

Vastaus:

Vastaus:.

Vastaus:

Tämä tarkoittaa, että ratkaisuja ei ole.

Vastaus:.

2. Vietan lause

Vieta-lauseen käyttäminen on erittäin helppoa: sinun tarvitsee vain valita lukupari, jonka tulo on yhtä suuri kuin yhtälön vapaa termi, ja summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä.

On tärkeää muistaa, että Vietan lausetta voidaan soveltaa vain annetut toisen asteen yhtälöt ().

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:

Esimerkki 1:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Tämä yhtälö sopii ratkaisuun Vieta-lauseen avulla, koska . Muut kertoimet: ; .

Yhtälön juurien summa on:

Ja tuote on:

Valitaan sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri, ja tarkistetaan, onko niiden summa yhtä suuri:

• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on yhtä suuri.

ja ovat järjestelmän ratkaisu:

Siten ja ovat yhtälömme juuret.

Vastaus: ; .

Esimerkki 2:

Ratkaisu:

Valitsemme tuotteessa sellaiset lukuparit ja tarkistamme sitten, onko niiden summa yhtä suuri:

ja: anna yhteensä.

ja: anna yhteensä. Saadaksesi sen, sinun on vain muutettava väitettyjen juurien merkkejä: ja loppujen lopuksi työ.

Vastaus:

Esimerkki #3:

Ratkaisu:

Yhtälön vapaa termi on negatiivinen, joten juurien tulo on negatiivinen luku. Tämä on mahdollista vain, jos yksi juurista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Juurien summa on siis moduulien eroista.

Valitsemme sellaiset numeroparit, jotka antavat tuotteessa ja joiden ero on yhtä suuri:

ja: niiden ero on - ei sovellu;

ja: - ei sovellu;

ja: - ei sovellu;

ja: - sopiva. Jää vain muistaa, että yksi juurista on negatiivinen. Koska niiden summan on oltava yhtä suuri, niin itseisarvoltaan pienemmän juuren on oltava negatiivinen: . Tarkistamme:

Vastaus:

Esimerkki #4:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Vapaa termi on negatiivinen, ja siksi juurien tulo on negatiivinen. Ja tämä on mahdollista vain, kun yhtälön yksi juuri on negatiivinen ja toinen on positiivinen.

Valitsemme sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri, ja määritämme sitten, millä juurilla tulee olla negatiivinen etumerkki:

Ilmeisesti vain juuret ja sopivat ensimmäiseen ehtoon:

Vastaus:

Esimerkki #5:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Juurien summa on negatiivinen, mikä tarkoittaa sitä vähintään, yksi juurista on negatiivinen. Mutta koska heidän tuotteensa on positiivinen, se tarkoittaa, että molemmat juuret ovat miinus.

Valitsemme sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri:

Ilmeisesti juuret ovat numerot ja.

Vastaus:

Samaa mieltä, se on erittäin kätevää - keksiä juuret suullisesti sen sijaan, että laskettaisiin tämä ilkeä erottelutekijä. Yritä käyttää Vietan lausetta niin usein kuin mahdollista.

Mutta Vieta-lausetta tarvitaan helpottamaan ja nopeuttamaan juurien löytämistä. Jotta sen käyttäminen olisi kannattavaa, sinun on saatettava toiminnot automatismiin. Ja tätä varten ratkaise viisi muuta esimerkkiä. Mutta älä huijaa: et voi käyttää erotinta! Vain Vietan lause:

Ratkaisut itsenäisen työn tehtäviin:

Tehtävä 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vietan lauseen mukaan:

Aloitamme valinnan tuttuun tapaan tuotteella:

Ei sovellu, koska määrä;

: määrä on mitä tarvitset.

Vastaus: ; .

Tehtävä 2.

Ja jälleen suosikki Vieta-lauseemme: summan pitäisi selvitä, mutta tulo on yhtä suuri.

Mutta koska sen ei pitäisi olla, vaan, muutamme juurien merkkejä: ja (yhteensä).

Vastaus: ; .

Tehtävä 3.

Hmm... Missä se on?

Kaikki ehdot on siirrettävä yhteen osaan:

Juurien summa on yhtä suuri kuin tulo.

Kyllä, lopeta! Yhtälöä ei ole annettu. Mutta Vietan lause on sovellettavissa vain annetuissa yhtälöissä. Joten ensin sinun on tuotava yhtälö. Jos et pysty tuomaan sitä esille, hylkää tämä idea ja ratkaise se toisella tavalla (esimerkiksi diskriminantin avulla). Haluan muistuttaa, että toisen asteen yhtälön tuominen tarkoittaa, että johtava kerroin on yhtä suuri:

Loistava. Silloin juurien summa on yhtä suuri ja tulo.

Se on helpompi poimia täältä: loppujen lopuksi - alkuluku (anteeksi tautologia).

Vastaus: ; .

Tehtävä 4.

Vapaa termi on negatiivinen. Mikä siinä on niin erikoista? Ja se, että juuret ovat eri merkkejä. Ja nyt valinnan aikana emme tarkista juurien summaa, vaan niiden moduulien välistä eroa: tämä ero on yhtä suuri, mutta tuote.

Joten juuret ovat yhtä suuret ja, mutta yksi niistä on miinuksella. Vietan lause kertoo, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, eli. Tämä tarkoittaa, että pienemmällä juurella on miinus: ja, koska.

Vastaus: ; .

Tehtävä 5.

Mitä pitää tehdä ensin? Aivan oikein, anna yhtälö:

Jälleen: valitsemme luvun tekijät, ja niiden eron tulee olla yhtä suuri:

Juuret ovat yhtä suuret ja, mutta yksi niistä on miinus. Mikä? Niiden summan on oltava yhtä suuri, mikä tarkoittaa, että miinuksella on suurempi juuri.

Vastaus: ; .

Sallikaa minun tiivistää:

1. Vietan lausetta käytetään vain annetuissa toisen asteen yhtälöissä.
2. Vieta-lauseen avulla voit löytää juuret valinnalla, suullisesti.
3. Jos yhtälöä ei anneta tai sopivaa vapaan termin tekijäparia ei löytynyt, kokonaislukujuuria ei ole, ja se on ratkaistava toisella tavalla (esimerkiksi diskriminantin kautta).

3. Koko neliön valintamenetelmä

Jos kaikki tuntemattoman sisältävät termit esitetään termeinä lyhennettyjen kertolaskujen kaavoista - summan tai erotuksen neliö -, niin muuttujien muutoksen jälkeen yhtälö voidaan esittää epätäydellisenä tyyppisenä toisen asteen yhtälönä.

Esimerkiksi:

Esimerkki 1:

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Vastaus:

Esimerkki 2:

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Vastaus:

SISÄÄN yleisnäkymä muunnos näyttää tältä:

Tämä tarkoittaa: .

Eikö se muistuta sinua mistään? Se on se syrjintä! Juuri näin erottelukaava saatiin.

NELIÖYHTÄLÖT. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Toisen asteen yhtälö on yhtälö muotoa, jossa on tuntematon, ovat kertoimet toisen asteen yhtälön, on vapaa termi.

Täydellinen toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kertoimet eivät ole nolla.

Pelkistetty toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kerroin, eli: .

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kerroin ja/tai vapaa termi c ovat nolla:

• jos kerroin, yhtälö on muotoa: ,
• jos se on vapaa termi, yhtälöllä on muoto: ,
• jos ja, yhtälöllä on muoto: .

1. Algoritmi epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi

1.1. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

1) Ilmaise tuntematon: ,

2) Tarkista lausekkeen merkki:

• jos yhtälöllä ei ole ratkaisuja,
• jos, niin yhtälöllä on kaksi juuria.

1.2. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

1) Otetaan yhteinen tekijä suluista: ,

2) Tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Siksi yhtälöllä on kaksi juuria:

1.3. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

Tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri: .

2. Algoritmi täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi muotoa jossa

2.1. Ratkaisu käyttämällä diskriminanttia

1) Siirretään yhtälö vakiomuotoon: ,

2) Laske diskriminantti kaavalla: , joka ilmaisee yhtälön juurien määrän:

3) Etsi yhtälön juuret:

• jos, niin yhtälöllä on juuri, joka löytyy kaavasta:
• jos, niin yhtälöllä on juuri, joka löytyy kaavasta:
• jos, niin yhtälöllä ei ole juuria.

2.2. Ratkaisu käyttäen Vietan lausetta

Supistetun toisen asteen yhtälön (muodon yhtälö, jossa) juurien summa on yhtä suuri, ja juurien tulo on yhtä suuri, ts. , A.

2.3. Täysi neliöratkaisu

Jos muodon toisen asteen yhtälöllä on juuret, se voidaan kirjoittaa muotoon: .

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Menestystä varten kokeen läpäiseminen, pääsystä instituuttiin budjetilla ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Ihmiset, jotka saivat hyvä koulutus, ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla yksityiskohtainen analyysi ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.

Jotta saat apua tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin - 299 hieroa.
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - 499 hieroa.

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!

Tämä aihe voi aluksi tuntua monimutkaiselta monien ei niin yksinkertaisten kaavojen vuoksi. Paitsi että itse asteen yhtälöillä on pitkiä merkintöjä, myös juuret löytyvät diskriminantin kautta. Uusia kaavoja on yhteensä kolme. Ei kovin helppo muistaa. Tämä on mahdollista vasta tällaisten yhtälöiden toistuvan ratkaisun jälkeen. Sitten kaikki kaavat muistavat itsestään.

Yleinen näkymä toisen asteen yhtälöstä

Tässä ehdotetaan niiden nimenomaista merkintää, kun suurin aste kirjoitetaan ensin ja sitten - laskevassa järjestyksessä. Usein on tilanteita, joissa termit eroavat toisistaan. Silloin on parempi kirjoittaa yhtälö uudelleen muuttujan asteen mukaiseen laskevaan järjestykseen.

Otetaan käyttöön notaatio. Ne on esitetty alla olevassa taulukossa.

Jos hyväksymme nämä merkinnät, kaikki toisen asteen yhtälöt pelkistetään seuraavaan merkintään.

Lisäksi kerroin a ≠ 0. Merkitään tämä kaava numerolla yksi.

Kun yhtälö on annettu, ei ole selvää, kuinka monta juuria vastauksessa on. Koska yksi kolmesta vaihtoehdosta on aina mahdollinen:

• ratkaisulla on kaksi juurta;
• vastaus on yksi numero;
• Yhtälöllä ei ole juuria ollenkaan.

Ja vaikka päätöstä ei saada loppuun asti, on vaikea ymmärtää, mikä vaihtoehdoista putoaa tietyssä tapauksessa.

Neliöyhtälöiden tietuetyypit

Tehtävissä voi olla erilaisia ​​merkintöjä. Ne eivät aina näytä toisen asteen yhtälön yleiseltä kaavalta. Joskus siitä puuttuu joitain termejä. Yllä kirjoitettu on täydellinen yhtälö. Jos poistat siitä toisen tai kolmannen termin, saat jotain erilaista. Näitä tietueita kutsutaan myös toisen asteen yhtälöiksi, vain epätäydellisiksi.

Lisäksi vain termit, joiden kertoimet "b" ja "c" voivat kadota. Luku "a" ei voi missään olosuhteissa olla yhtä suuri kuin nolla. Koska tässä tapauksessa kaava muuttuu lineaariseksi yhtälöksi. Kaavat yhtälöiden epätäydelliselle muodolle ovat seuraavat:

Joten on olemassa vain kaksi tyyppiä, täydellisten lisäksi on myös epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Olkoon ensimmäinen kaava numero kaksi ja toinen numero kolme.

Diskriminantti ja juurten lukumäärän riippuvuus sen arvosta

Tämä luku on tiedettävä, jotta yhtälön juuret voidaan laskea. Se voidaan aina laskea riippumatta siitä, mikä toisen asteen yhtälön kaava on. Diskriminantin laskemiseksi sinun on käytettävä alla olevaa yhtälöä, jolla on numero neljä.

Kun olet korvannut kertoimien arvot tähän kaavaan, voit saada numeroita erilaisia ​​merkkejä. Jos vastaus on kyllä, yhtälön vastaus on kaksi eri juuria. Jos luku on negatiivinen, toisen asteen yhtälön juuret puuttuvat. Jos se on yhtä kuin nolla, vastaus on yksi.

Kuinka täydellinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan?

Itse asiassa tämän asian pohtiminen on jo aloitettu. Koska ensin sinun on löydettävä erottaja. Kun on selvitetty, että toisen asteen yhtälöllä on juuria ja niiden lukumäärä tiedetään, sinun on käytettävä muuttujien kaavoja. Jos juuria on kaksi, sinun on sovellettava tällaista kaavaa.

Koska se sisältää ±-merkin, arvoja on kaksi. Neliöjuuren alla oleva lauseke on diskriminantti. Siksi kaava voidaan kirjoittaa uudelleen eri tavalla.

Formula viisi. Samasta tietueesta voidaan nähdä, että jos diskriminantti on nolla, niin molemmat juuret ottavat samat arvot.

Jos toisen asteen yhtälöiden ratkaisua ei ole vielä laadittu, on parempi kirjoittaa kaikkien kertoimien arvot muistiin ennen erottelu- ja muuttujakaavojen soveltamista. Myöhemmin tämä hetki ei aiheuta vaikeuksia. Mutta heti alussa on hämmennystä.

Miten epätäydellinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan?

Täällä kaikki on paljon yksinkertaisempaa. Ei ole edes tarvetta lisäkaavoja. Etkä tarvitse niitä, jotka on jo kirjoitettu erottaville ja tuntemattomille.

Harkitse ensin epätäydellinen yhtälö numerolla kaksi. Tässä yhtälössä on tarkoitus ottaa tuntematon arvo pois suluista ja ratkaista lineaarinen yhtälö, joka jää hakasulkeisiin. Vastauksella on kaksi juurta. Ensimmäinen on välttämättä nolla, koska siinä on tekijä, joka koostuu itse muuttujasta. Toinen saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälö.

Epätäydellinen yhtälö numerossa kolme ratkaistaan ​​siirtämällä luku yhtälön vasemmalta puolelta oikealle. Sitten sinun on jaettava kertoimella tuntemattoman edessä. Jää vain poimia neliöjuuri ja älä unohda kirjoittaa sitä kahdesti päinvastaisilla merkeillä.

Seuraavassa on joitain toimintoja, jotka auttavat sinua oppimaan ratkaisemaan kaikenlaisia ​​yhtälöitä, jotka muuttuvat toisen asteen yhtälöiksi. Ne auttavat opiskelijaa välttämään huolimattomuudesta johtuvia virheitä. Nämä puutteet ovat syynä huonoihin arvosanoihin tutkittaessa laajaa aihetta "Neliöyhtälöt (Grade 8)". Myöhemmin näitä toimintoja ei tarvitse suorittaa jatkuvasti. Koska tulee vakaa tapa.

• Ensin sinun on kirjoitettava yhtälö vakiomuodossa. Eli ensin termi, jolla on muuttujan suurin aste, ja sitten - ilman astetta ja viimeistä - vain numero.

• Jos miinus ilmestyy ennen kerrointa "a", se voi vaikeuttaa aloittelijan työtä toisen asteen yhtälöiden tutkimisessa. Siitä on parempi päästä eroon. Tätä tarkoitusta varten kaikki yhtäläisyys on kerrottava "-1":llä. Tämä tarkoittaa, että kaikkien termien merkki muuttuu päinvastaiseksi.

• Samalla tavalla on suositeltavaa päästä eroon fraktioista. Yksinkertaisesti kerrotaan yhtälö sopivalla kertoimella niin, että nimittäjät kumoutuvat.

Esimerkkejä

Se on tarpeen ratkaista seuraavat toisen asteen yhtälöt:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ensimmäinen yhtälö: x 2 - 7x \u003d 0. Se on epätäydellinen, joten se ratkaistaan ​​kaavan numero kaksi kuvatulla tavalla.

Haarukoinnin jälkeen käy ilmi: x (x - 7) \u003d 0.

Ensimmäinen juuri saa arvon: x 1 \u003d 0. Toinen löytyy lineaarisesta yhtälöstä: x - 7 \u003d 0. On helppo nähdä, että x 2 \u003d 7.

Toinen yhtälö: 5x2 + 30 = 0. Jälleen epätäydellinen. Vain se ratkaistaan ​​kolmannelle kaavalle kuvatulla tavalla.

Kun 30 on siirretty yhtälön oikealle puolelle: 5x 2 = 30. Nyt sinun täytyy jakaa 5:llä. Osoittautuu: x 2 = 6. Vastaukset ovat numeroita: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Kolmas yhtälö: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tässä ja alla toisen asteen yhtälöiden ratkaisu alkaa kirjoittamalla ne uudelleen vakiomuotoon: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Nyt on aika käyttää toista hyödyllisiä neuvoja ja kerro kaikki miinus yhdellä. Osoittautuu, että x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Neljännen kaavan mukaan sinun on laskettava diskriminantti: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. positiivinen luku. Edellä sanotusta käy ilmi, että yhtälöllä on kaksi juuria. Ne on laskettava viidennen kaavan mukaan. Sen mukaan käy ilmi, että x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Sitten x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Neljäs yhtälö x 2 + 8 + 3x \u003d 0 muunnetaan seuraavaksi: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Sen diskriminantti on yhtä suuri kuin tämä arvo: -23. Koska tämä luku on negatiivinen, vastaus tähän tehtävään on seuraava: "Ei ole juuria."

Viides yhtälö 12x + x 2 + 36 = 0 tulee kirjoittaa uudelleen seuraavasti: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminantin kaavan soveltamisen jälkeen saadaan luku nolla. Tämä tarkoittaa, että sillä on yksi juuri, nimittäin: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Kuudes yhtälö (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) vaatii muunnoksia, jotka koostuvat siitä, että sinun on tuotava samanlaiset termit ennen sulkeiden avaamista. Ensimmäisen tilalle tulee seuraava lauseke: x 2 + 2x + 1. Tasa-arvon jälkeen ilmestyy tämä merkintä: x 2 + 3x + 2. Kun vastaavat termit on laskettu, yhtälö on muodossa: x 2 - x \u003d 0. Siitä on tullut epätäydellinen . Samanlainen se on jo pidetty hieman korkeampi. Tämän juuret ovat luvut 0 ja 1.

Jatkona aiheeseen "Yhtälöiden ratkaiseminen" tämän artikkelin materiaali esittelee sinulle toisen asteen yhtälöitä.

Harkitse kaikkea yksityiskohtaisesti: toisen asteen yhtälön olemus ja merkintä, aseta mukana olevat ehdot, analysoi kaavio epätäydellisten ja täydelliset yhtälöt, tutustumme juurien ja erottimen kaavaan, luomme yhteyksiä juurien ja kertoimien välille ja tietysti annamme visuaalisen ratkaisun käytännön esimerkeistä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neliöyhtälö, sen tyypit

Määritelmä 1

Toisen asteen yhtälö on yhtälö kirjoitettu muodossa a x 2 + b x + c = 0, Missä x– muuttuja, a , b ja c ovat joitakin numeroita, vaikka a ei ole nolla.

Neliöyhtälöitä kutsutaan usein myös toisen asteen yhtälöiksi, koska itse asiassa toisen asteen yhtälö on algebrallinen yhtälö toinen aste.

Annamme esimerkin havainnollistamaan annettua määritelmää: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. ovat toisen asteen yhtälöitä.

Määritelmä 2

Numerot a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimet a x 2 + b x + c = 0, kun taas kerroin a kutsutaan ensimmäiseksi, tai vanhemmiksi, tai kertoimeksi x 2, b - toiseksi kertoimeksi tai kertoimeksi at x, A c kutsutaan vapaaksi jäseneksi.

Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 suurin kerroin on 6, toinen kerroin on − 2 , ja vapaa termi on yhtä suuri kuin − 11 . Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että kun kertoimet b ja/tai c ovat negatiivisia lyhyt muoto lomakkeen tietueet 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, mutta ei 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Selvitetään myös tämä näkökohta: jos kertoimet a ja tai b yhtä suuri 1 tai − 1 , silloin he eivät välttämättä osallistu nimenomaisesti toisen asteen yhtälön kirjoittamiseen, mikä selittyy osoitettujen numeeristen kertoimien kirjoittamisen erityispiirteillä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä y 2 − y + 7 = 0 vanhempi kerroin on 1 ja toinen kerroin on − 1 .

Pelkistetyt ja pelkistämättömät toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen kertoimen arvon mukaan neliöyhtälöt jaetaan pelkistettyihin ja ei-pelkistettyihin.

Määritelmä 3

Pelkistetty toisen asteen yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka johtava kerroin on 1. Muille johtavan kertoimen arvoille toisen asteen yhtälö ei ole pelkistynyt.

Tässä muutamia esimerkkejä: toisen asteen yhtälöt x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 pienennetään, joissa jokaisessa johtava kerroin on 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- pelkistämätön neliöyhtälö, jossa ensimmäinen kerroin on eri kuin 1 .

Mikä tahansa pelkistämätön toisen asteen yhtälö voidaan muuntaa pelkistetyksi yhtälöksi jakamalla sen molemmat osat ensimmäisellä kertoimella (ekvivalenttimuunnos). Muunnetulla yhtälöllä on samat juuret kuin annetulla pelkistymättömällä yhtälöllä tai sillä ei myöskään ole juuria ollenkaan.

Harkinta tapaustutkimus avulla voimme visuaalisesti osoittaa siirtymisen pelkistämättömästä toisen asteen yhtälöstä pelkistettyyn.

Esimerkki 1

Kun yhtälö 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Alkuperäinen yhtälö on muutettava pelkistettyyn muotoon.

Ratkaisu

Yllä olevan kaavion mukaisesti jaamme alkuperäisen yhtälön molemmat osat johtavalla kertoimella 6 . Sitten saamme: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ja tämä on sama kuin: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 ja kauemmas: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Täältä: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Näin saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä.

Vastaus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täydelliset ja epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Siirrytään toisen asteen yhtälön määritelmään. Siinä määritimme sen a ≠ 0. Samanlainen ehto on välttämätön yhtälölle a x 2 + b x + c = 0 oli täsmälleen neliömäinen, koska a = 0 se muuttuu olennaisesti lineaariseksi yhtälöksi b x + c = 0.

Siinä tapauksessa, että kertoimet b Ja c ovat yhtä suuria kuin nolla (mikä on mahdollista sekä erikseen että yhdessä), toisen asteen yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi.

Määritelmä 4

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö on toisen asteen yhtälö a x 2 + b x + c \u003d 0, jossa ainakin yksi kertoimista b Ja c(tai molemmat) on nolla.

Täydellinen toisen asteen yhtälö on neliöyhtälö, jossa kaikki numeeriset kertoimet eivät ole nolla.

Keskustellaan siitä, miksi toisen asteen yhtälötyypeille annetaan juuri tällaiset nimet.

Kun b = 0, toisen asteen yhtälö saa muodon a x 2 + 0 x + c = 0, joka on sama kuin a x 2 + c = 0. klo c = 0 toisen asteen yhtälö kirjoitetaan muodossa a x 2 + b x + 0 = 0, joka on vastaava a x 2 + b x = 0. klo b = 0 Ja c = 0 yhtälö saa muodon a x 2 = 0. Saamamme yhtälöt eroavat täysneliöyhtälöstä siinä, että niiden vasemmalla puolella ei ole termiä muuttujalla x, vapaata termiä tai molempia kerralla. Itse asiassa tämä tosiasia antoi nimen tämän tyyppisille yhtälöille - epätäydellinen.

Esimerkiksi x 2 + 3 x + 4 = 0 ja − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ovat täydellisiä toisen asteen yhtälöitä; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Yllä annettu määritelmä mahdollistaa seuraavan tyyppisten epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden erottamisen:

• a x 2 = 0, kertoimet vastaavat tällaista yhtälöä b = 0 ja c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0, kun c = 0.

Tarkastellaan peräkkäin jokaisen epätäydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisua.

Yhtälön a x 2 \u003d 0 ratkaisu

Kuten edellä jo mainittiin, tällainen yhtälö vastaa kertoimia b Ja c, yhtä kuin nolla. Yhtälö a x 2 = 0 voidaan muuntaa vastaavaksi yhtälöksi x2 = 0, jonka saamme jakamalla alkuperäisen yhtälön molemmat puolet numerolla a, ei ole nolla. Ilmeinen tosiasia on, että yhtälön juuri x2 = 0 on nolla, koska 0 2 = 0 . Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, mikä selittyy asteen ominaisuuksilla: mille tahansa luvulle p , ei ole nolla, epäyhtälö on totta p2 > 0, josta seuraa, että milloin p ≠ 0 tasa-arvo p2 = 0 ei koskaan tavoiteta.

Määritelmä 5

Siten epätäydelliselle toisen asteen yhtälölle a x 2 = 0 on ainutlaatuinen juuri x=0.

Esimerkki 2

Ratkaistaan ​​esimerkiksi epätäydellinen toisen asteen yhtälö − 3 x 2 = 0. Se vastaa yhtälöä x2 = 0, sen ainoa juuri on x=0, niin alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri - nolla.

Ratkaisu on tiivistettynä seuraavasti:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Yhtälön a x 2 + c \u003d 0 ratkaisu

Seuraavaksi jonossa on epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu, jossa b \u003d 0, c ≠ 0, eli yhtälöt muotoa a x 2 + c = 0. Muunnetaan tämä yhtälö siirtämällä termi yhtälön toiselta puolelta toiselle, muuttamalla etumerkki vastakkaiseksi ja jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla, joka ei ole nolla:

• kestää c oikealle puolelle, joka antaa yhtälön a x 2 = − c;
• jaa yhtälön molemmat puolet a, saamme tuloksena x = - c a .

Muunnoksemme ovat vastaavasti ekvivalentteja, tuloksena oleva yhtälö on myös ekvivalentti alkuperäisen kanssa, ja tämä seikka mahdollistaa johtopäätöksen yhtälön juurista. Mistä arvot ovat peräisin a Ja c riippuu lausekkeen arvosta - c a: sillä voi olla miinusmerkki (esimerkiksi jos a = 1 Ja c = 2, niin - c a = - 2 1 = - 2) tai plusmerkki (esimerkiksi jos a = -2 Ja c = 6, niin - c a = - 6 - 2 = 3); se ei ole nolla, koska c ≠ 0. Tarkastellaanpa tarkemmin tilanteita, joissa - c a< 0 и - c a > 0 .

Siinä tapauksessa, kun - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s yhtälö p 2 = - c a ei voi olla tosi.

Kaikki on erilaista, kun - c a > 0: muista neliöjuuri, ja tulee ilmeiseksi, että yhtälön x 2 \u003d - c a juuri on luku - c a, koska - c a 2 \u003d - c a. On helppo ymmärtää, että luku - - c a - on myös yhtälön x 2 = - c a juuri: todellakin - - c a 2 = - c a .

Yhtälöllä ei ole muita juuria. Voimme osoittaa tämän käyttämällä päinvastaista menetelmää. Ensin asetetaan yllä löydettyjen juurien merkintätapa muodossa x 1 Ja − x 1. Oletetaan, että yhtälöllä x 2 = - c a on myös juuri x2, joka eroaa juurista x 1 Ja − x 1. Tiedämme sen korvaamalla yhtälön sijaan x sen juuret, muunnamme yhtälön reiluksi numeeriseksi yhtälöksi.

varten x 1 Ja − x 1 kirjoita: x 1 2 = - c a , ja for x2- x 2 2 \u003d - c a. Numeeristen yhtälöiden ominaisuuksien perusteella vähennämme yhden todellisen yhtälön toisesta termi kerrallaan, mikä antaa meille: x 1 2 − x 2 2 = 0. Käytä lukuoperaatioiden ominaisuuksia kirjoittaaksesi viimeinen yhtälö uudelleen muotoon (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Tiedetään, että kahden luvun tulo on nolla silloin ja vain, jos ainakin yksi luvuista on nolla. Siitä, mitä on sanottu, se seuraa x1 − x2 = 0 ja tai x1 + x2 = 0, joka on sama x2 = x1 ja tai x 2 = − x 1. Ilmeinen ristiriita syntyi, koska aluksi sovittiin, että yhtälön juuri x2 eroaa x 1 Ja − x 1. Olemme siis osoittaneet, että yhtälöllä ei ole muita juuria kuin x = - c a ja x = - - c a .

Teemme yhteenvedon kaikista yllä olevista väitteistä.

Määritelmä 6

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 + c = 0 vastaa yhtälöä x 2 = - c a , joka:

• ei ole juuria - c a< 0 ;
• sillä on kaksi juurta x = - c a ja x = - - c a kun - c a > 0 .

Otetaan esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta a x 2 + c = 0.

Esimerkki 3

Annettu toisen asteen yhtälö 9 x 2 + 7 = 0 . Sen ratkaisu on löydettävä.

Ratkaisu

Siirrämme vapaan termin yhtälön oikealle puolelle, jolloin yhtälö saa muodon 9 x 2 \u003d - 7.
Jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet arvolla 9 , tulemme x 2 = - 7 9 . Oikealla puolella on luku, jossa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa: annetulla yhtälöllä ei ole juuria. Sitten alkuperäinen epätäydellinen toisen asteen yhtälö 9 x 2 + 7 = 0 ei ole juuria.

Vastaus: yhtälö 9 x 2 + 7 = 0 ei ole juuria.

Esimerkki 4

On tarpeen ratkaista yhtälö − x2 + 36 = 0.

Ratkaisu

Siirretään 36 oikealle puolelle: − x 2 = − 36.
Jaetaan molemmat osat − 1 , saamme x2 = 36. Oikealla puolella on positiivinen luku, josta voimme päätellä sen x = 36 tai x = -36.
Poimimme juuren ja kirjoitamme lopputuloksen: epätäydellinen toisen asteen yhtälö − x2 + 36 = 0 on kaksi juurta x=6 tai x = -6.

Vastaus: x=6 tai x = -6.

Yhtälön a x 2 +b x=0 ratkaisu

Analysoidaan kolmannen tyyppisiä epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä, milloin c = 0. Löytää ratkaisu epätäydelliseen toisen asteen yhtälöön a x 2 + b x = 0, käytämme faktorointimenetelmää. Kerrotaan polynomi, joka on yhtälön vasemmalla puolella, ja otetaan yhteinen kerroin pois suluista x. Tämä vaihe mahdollistaa alkuperäisen epätäydellisen toisen asteen yhtälön muuntamisen sen ekvivalentiksi x (a x + b) = 0. Ja tämä yhtälö puolestaan ​​vastaa yhtälöjoukkoa x=0 Ja a x + b = 0. Yhtälö a x + b = 0 lineaarinen ja sen juuri: x = − b a.

Määritelmä 7

Siten epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 + b x = 0 tulee olemaan kaksi juurta x=0 Ja x = − b a.

Yhdistetään aineistoa esimerkillä.

Esimerkki 5

On tarpeen löytää yhtälön 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 ratkaisu.

Ratkaisu

Otetaan pois x hakasulkujen ulkopuolella ja saa yhtälö x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Tämä yhtälö vastaa yhtälöitä x=0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nyt sinun pitäisi ratkaista tuloksena oleva lineaarinen yhtälö: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Lyhyesti, kirjoitamme yhtälön ratkaisun seuraavasti:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 tai 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 tai x = 3 3 7

Vastaus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantti, toisen asteen yhtälön juurien kaava

Ratkaisun löytämiseksi toisen asteen yhtälöihin on olemassa juurikaava:

Määritelmä 8

x = - b ± D 2 a, missä D = b 2 − 4 a c on toisen asteen yhtälön ns.

Kirjoittaminen x \u003d - b ± D 2 a tarkoittaa käytännössä, että x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

On hyödyllistä ymmärtää, kuinka ilmoitettu kaava johdettiin ja kuinka sitä sovelletaan.

Neliöyhtälön juurien kaavan johtaminen

Oletetaan, että edessämme on toisen asteen yhtälön ratkaiseminen a x 2 + b x + c = 0. Suoritetaan joukko vastaavia muunnoksia:

• jaa yhtälön molemmat puolet numerolla a, eroaa nollasta, saadaan pelkistetty toisen asteen yhtälö: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• valitse koko neliö tuloksena olevan yhtälön vasemmalta puolelta:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Tämän jälkeen yhtälö on muodossa: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• nyt on mahdollista siirtää kaksi viimeistä termiä oikealle vaihtamalla etumerkki päinvastaiseksi, jonka jälkeen saadaan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• lopuksi muunnamme viimeisen yhtälön oikealle puolelle kirjoitetun lausekkeen:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Siten olemme päässeet yhtälöön x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , joka vastaa alkuperäistä yhtälöä a x 2 + b x + c = 0.

Käsittelimme tällaisten yhtälöiden ratkaisua edellisissä kappaleissa (epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu). Jo saatu kokemus mahdollistaa johtopäätöksen yhtälön x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurista:

• b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kun b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, yhtälö on muotoa x + b 2 · a 2 = 0, jolloin x + b 2 · a = 0.

Tästä eteenpäin ainoa juuri x = - b 2 · a on ilmeinen;

• kun b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, oikea on: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 tai x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , joka on sama kuin x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 tai x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , ts. yhtälöllä on kaksi juuria.

Voidaan päätellä, että yhtälön x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurten (ja siten alkuperäisen yhtälön) olemassaolo tai puuttuminen riippuu lausekkeen b 2 - 4 a c etumerkistä. 4 · oikealle puolelle kirjoitettu 2. Ja tämän lausekkeen merkin antaa osoittajan merkki (nimittäjä 4 ja 2 on aina positiivinen), eli ilmaisun merkki b 2 − 4 a c. Tämä ilmaisu b 2 − 4 a c annetaan nimi - toisen asteen yhtälön erottaja ja kirjain D määritellään sen nimitykseksi. Täällä voit kirjoittaa muistiin diskriminantin olemuksen - sen arvon ja merkin perusteella he päättelevät, onko toisen asteen yhtälöllä todellisia juuria, ja jos on, kuinka monta juuria - yksi tai kaksi.

Palataan yhtälöön x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Kirjoitetaan se uudelleen käyttämällä erottelua: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Kerrataan johtopäätökset:

Määritelmä 9

• klo D< 0 yhtälöllä ei ole todellisia juuria;
• klo D = 0 yhtälöllä on yksi juuri x = - b 2 · a ;
• klo D > 0 yhtälöllä on kaksi juuria: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 tai x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikaalien ominaisuuksien perusteella nämä juuret voidaan kirjoittaa seuraavasti: x \u003d - b 2 a + D 2 a tai - b 2 a - D 2 a. Ja kun avaamme moduulit ja vähennämme murtoluvut yhteiseen nimittäjään, saamme: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Joten päättelymme tuloksena oli toisen asteen yhtälön juurien kaavan johtaminen:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, erotteleva D lasketaan kaavalla D = b 2 − 4 a c.

Nämä kaavat mahdollistavat molemmat todelliset juuret, kun erottaja on suurempi kuin nolla. Kun erottaja on nolla, molempien kaavojen soveltaminen antaa saman juurin toisen asteen yhtälön ainoana ratkaisuna. Jos diskriminantti on negatiivinen, yritämme käyttää neliöjuuren kaavaa, joudumme poimimaan neliöjuuren negatiivinen numero, joka vie meidät reaalilukujen ulkopuolelle. Negatiivisella diskriminantilla toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, mutta monimutkaisten konjugaattijuurien pari on mahdollista, jotka määritetään samoilla juurikaavoilla, jotka saimme.

Algoritmi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi juurikaavojen avulla

Neliöyhtälö voidaan ratkaista välittömästi juurikaavaa käyttämällä, mutta periaatteessa tämä tehdään, kun on tarpeen löytää monimutkaisia ​​juuria.

Suurin osa tapauksista ei yleensä ole tarkoitettu monimutkaisille, vaan toisen asteen yhtälön todellisille juurille. Sitten on optimaalista, ennen kuin käytät kaavoja toisen asteen yhtälön juurille, määrittää ensin diskriminantti ja varmistaa, että se ei ole negatiivinen (muuten päätämme, että yhtälöllä ei ole todellisia juuria), ja sitten laskea juurien arvo.

Yllä oleva päättely mahdollistaa algoritmin muodostamisen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi.

Määritelmä 10

Ratkaisemaan toisen asteen yhtälön a x 2 + b x + c = 0, tarpeen:

• kaavan mukaan D = b 2 − 4 a c löytää erottajan arvo;
• osoitteessa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• kun D = 0, etsi yhtälön ainoa juuri kaavalla x = - b 2 · a ;
• kun D > 0, määritä toisen asteen yhtälön kaksi todellista juurta kaavalla x = - b ± D 2 · a.

Huomaa, että kun erottaja on nolla, voit käyttää kaavaa x = - b ± D 2 · a , se antaa saman tuloksen kuin kaava x = - b 2 · a .

Harkitse esimerkkejä.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta

Annamme esimerkin ratkaisusta erilaisia ​​arvoja syrjivä.

Esimerkki 6

On tarpeen löytää yhtälön juuret x 2 + 2 x - 6 = 0.

Ratkaisu

Kirjoitamme toisen asteen yhtälön numeeriset kertoimet: a \u003d 1, b \u003d 2 ja c = -6. Seuraavaksi toimitaan algoritmin mukaan, ts. Aloitetaan diskriminantin laskeminen, jolle korvataan kertoimet a , b Ja c erottelukaavaan: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Saimme siis D > 0, mikä tarkoittaa, että alkuperäisellä yhtälöllä on kaksi reaalijuurta.
Niiden löytämiseksi käytämme juurikaavaa x \u003d - b ± D 2 · a ja korvaamalla sopivat arvot, saamme: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Yksinkertaistamme tuloksena olevaa lauseketta ottamalla kertoimen pois juuren merkistä, minkä jälkeen vähennämme murtolukua:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 tai x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 tai x = - 1 - 7

Vastaus: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Esimerkki 7

On tarpeen ratkaista toisen asteen yhtälö − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Ratkaisu

Määritellään diskriminantti: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Tällä erottimen arvolla alkuperäisellä yhtälöllä on vain yksi juuri, joka määräytyy kaavalla x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Vastaus: x = 3, 5.

Esimerkki 8

On tarpeen ratkaista yhtälö 5 v 2 + 6 v + 2 = 0

Ratkaisu

Tämän yhtälön numeeriset kertoimet ovat: a = 5 , b = 6 ja c = 2 . Käytämme näitä arvoja löytääksemme diskriminantin: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Laskettu diskriminantti on negatiivinen, joten alkuperäisellä toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Siinä tapauksessa, että tehtävänä on osoittaa kompleksijuuret, käytämme juurikaavaa suorittamalla operaatioita kompleksiluvuilla:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 tai x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i tai x = - 3 5 - 1 5 i .

Vastaus: ei ole todellisia juuria; kompleksiset juuret ovat: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

SISÄÄN koulun opetussuunnitelma oletusarvoisesti monimutkaisia ​​juuria ei tarvitse etsiä, joten jos erottaja määritetään ratkaisun aikana negatiiviseksi, kirjataan heti vastaus, että todellisia juuria ei ole.

Juurikaava jopa toiselle kertoimelle

Juurikaava x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) mahdollistaa toisen kaavan, kompaktimman, jonka avulla voit löytää ratkaisuja toisen asteen yhtälöille parillisella kertoimella x:ssä (tai kertoimella muotoa 2 a n, esimerkiksi 2 3 tai 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näytämme kuinka tämä kaava johdetaan.

Oletetaan, että meidän edessämme on löytää ratkaisu toisen asteen yhtälölle a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Toimimme algoritmin mukaan: määritämme diskriminantin D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ja käytämme sitten juurikaavaa:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Merkitään lauseke n 2 − a c muodossa D 1 (joskus sitä merkitään D "). Silloin kaava tarkasteltavan toisen kertoimen 2 n mukaisen toisen asteen yhtälön juurille saa muotoa:

x \u003d - n ± D 1 a, missä D 1 \u003d n 2 - a c.

On helppo nähdä, että D = 4 · D 1 tai D 1 = D 4 . Toisin sanoen D 1 on neljäsosa diskriminantista. On selvää, että D 1:n etumerkki on sama kuin D:n etumerkki, mikä tarkoittaa, että D 1:n etumerkki voi toimia myös osoittimena toisen asteen yhtälön juurien olemassaolosta tai poissaolosta.

Määritelmä 11

Siten ratkaisun löytämiseksi toisen 2 n:n kertoimen toiselle yhtälölle on välttämätöntä:

• etsi D 1 = n 2 − a c ;
• paikassa D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kun D 1 = 0, määritä yhtälön ainoa juuri kaavalla x = - n a ;
• kun D 1 > 0, määritä kaksi reaalijuurta kaavalla x = - n ± D 1 a.

Esimerkki 9

On tarpeen ratkaista toisen asteen yhtälö 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Ratkaisu

Annetun yhtälön toinen kerroin voidaan esittää muodossa 2 · (− 3) . Sitten kirjoitetaan annettu toisen asteen yhtälö uudelleen muotoon 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , missä a = 5, n = −3 ja c = −32.

Lasketaan diskriminantin neljäs osa: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Tuloksena oleva arvo on positiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. Määrittelemme ne vastaavalla juurikaavalla:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 tai x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 tai x = - 2

Laskelmia voitaisiin suorittaa tavallisella kaavalla toisen asteen yhtälön juurille, mutta tässä tapauksessa ratkaisu olisi hankalampi.

Vastaus: x = 3 1 5 tai x = - 2 .

Toissijaisten yhtälöiden muodon yksinkertaistaminen

Joskus on mahdollista optimoida alkuperäisen yhtälön muoto, mikä yksinkertaistaa juurien laskentaprosessia.

Esimerkiksi toisen asteen yhtälö 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 on selvästi helpompi ratkaista kuin 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Useammin toisen asteen yhtälön muodon yksinkertaistaminen suoritetaan kertomalla tai jakamalla sen molemmat osat tietyllä luvulla. Esimerkiksi yllä näytimme yksinkertaistetun esityksen yhtälöstä 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, joka saadaan jakamalla sen molemmat osat 100:lla.

Tällainen muunnos on mahdollinen, kun toisen asteen yhtälön kertoimet eivät ole keskenään alkuluvut. Silloin on tavallista jakaa yhtälön molemmat puolet suurimmalla yhteinen jakaja sen kertoimien absoluuttiset arvot.

Esimerkkinä käytämme toisen asteen yhtälöä 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määritetään sen kertoimien itseisarvojen gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Jaetaan alkuperäisen toisen asteen yhtälön molemmat osat 6:lla ja saadaan vastaava toisen asteen yhtälö 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Kertomalla toisen asteen yhtälön molemmat puolet murtokertoimet yleensä eliminoidaan. Tässä tapauksessa kerrotaan sen kertoimien nimittäjien pienimmällä yhteisellä kerrannaisella. Jos esimerkiksi toisen asteen yhtälön 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 jokainen osa kerrotaan LCM:llä (6, 3, 1) \u003d 6, se kirjoitetaan yksinkertaisemmassa muodossa x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Lopuksi huomaamme, että melkein aina päästä eroon miinuksesta toisen asteen yhtälön ensimmäisessä kertoimessa muuttamalla yhtälön kunkin termin etumerkkejä, mikä saavutetaan kertomalla (tai jakamalla) molemmat osat −1:llä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälöstä - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, voit siirtyä sen yksinkertaistettuun versioon 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Juurien ja kertoimien välinen suhde

Jo tunnettu kaava toisen asteen yhtälöiden juurille x = - b ± D 2 · a ilmaisee yhtälön juuret sen numeeristen kertoimien avulla. Tämän kaavan perusteella meillä on mahdollisuus asettaa muita riippuvuuksia juurien ja kertoimien välille.

Tunnetuimmat ja soveltuvimmat ovat Vieta-lauseen kaavat:

x 1 + x 2 \u003d - b a ja x 2 \u003d c a.

Erityisesti annetulle toisen asteen yhtälölle juurien summa on toinen kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 muodossa on mahdollista määrittää välittömästi, että sen juurien summa on 7 3 ja juurten tulo on 22 3.

Voit myös löytää useita muita suhteita toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välillä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön juurten neliöiden summa voidaan ilmaista kertoimilla:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tällä matematiikkaohjelmalla voit ratkaise toisen asteen yhtälö.

Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisuprosessin kahdella tavalla:
- Diskriminantin käyttö
- käyttämällä Vieta-lausetta (jos mahdollista).

Lisäksi vastaus näytetään täsmällisesti, ei likimääräisesti.
Esimerkiksi yhtälön \(81x^2-16x-1=0\) vastaus näytetään tässä muodossa:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ tämän sijaan: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille yleissivistävät koulut valmistellessaan valvoa työtä ja tentit, kun testataan tietoja ennen tenttiä, vanhemmat hallitsevat monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Tällä tavalla voit suorittaa oman harjoittelusi ja/tai kouluttaa omasi nuoremmat veljet tai sisaruksia, kun taas koulutustaso ratkaistavien tehtävien alalla nousee.

Jos et tunne neliöpolynomin syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme tutustumaan niihin.

Säännöt neliöpolynomin syöttämiseksi

Mikä tahansa latinalainen kirjain voi toimia muuttujana.
Esimerkiksi: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaislukuina tai murtolukuina.
Lisäksi, murtolukuja voidaan syöttää ei vain desimaalilukuna, vaan myös tavallisena murtolukuna.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtoluvuissa murto-osa kokonaisluvusta voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaalit siis: 2,5x - 3,5x^2

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun astut sisään numeerinen murto-osa Osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Tulo: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Tulos: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kun syötät lausekkeen voit käyttää sulkuja. Tässä tapauksessa, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö, esitetty lauseke yksinkertaistetaan ensin.
Esimerkki: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Päättää

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Toisen asteen yhtälö ja sen juuret. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Jokainen yhtälö
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
on muotoa
\(ax^2+bx+c=0, \)
missä x on muuttuja, a, b ja c ovat lukuja.
Ensimmäisessä yhtälössä a = -1, b = 6 ja c = 1,4, toisessa a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmannessa a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan toisen asteen yhtälöt.

Määritelmä.
toisen asteen yhtälö kutsutaan yhtälöä muotoa ax 2 +bx+c=0, jossa x on muuttuja, a, b ja c joitakin lukuja ja \(a \neq 0 \).

Luvut a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimia. Lukua a kutsutaan ensimmäiseksi kertoimeksi, lukua b on toinen kerroin ja lukua c on leikkauspiste.

Jokaisessa yhtälössä, jonka muoto on ax 2 +bx+c=0, missä \(a \neq 0 \), muuttujan x suurin potenssi on neliö. Siitä nimi: toisen asteen yhtälö.

Huomaa, että toisen asteen yhtälöä kutsutaan myös toisen asteen yhtälöksi, koska sen vasen puoli on toisen asteen polynomi.

Kutsutaan neliöyhtälö, jossa kerroin kohdassa x 2 on 1 pelkistetty toisen asteen yhtälö. Esimerkiksi annetut toisen asteen yhtälöt ovat yhtälöitä
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jos toisen asteen yhtälössä ax 2 +bx+c=0 ainakin yksi kertoimista b tai c on yhtä suuri kuin nolla, niin tällaista yhtälöä kutsutaan epätäydellinen toisen asteen yhtälö. Joten yhtälöt -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Ensimmäisessä niistä b=0, toisessa c=0, kolmannessa b=0 ja c=0.

Epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä on kolmea tyyppiä:
1) ax 2 +c=0, missä \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, missä \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Harkitse kunkin näiden tyyppien yhtälöiden ratkaisua.

Epätäydellisen toisen asteen yhtälön, jonka muoto on ax 2 +c=0, ratkaisemiseksi \(c \neq 0 \) sen vapaa termi siirretään oikealle puolelle ja yhtälön molemmat osat jaetaan a:lla:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Oikea nuoli x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Koska \(c \neq 0 \), sitten \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jos \(-\frac(c)(a)>0 \), yhtälöllä on kaksi juuria.

Jos \(-\frac(c)(a) Ratkaise epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +bx=0 arvolle \(b \neq 0 \), kerro sen vasen puoli ja hanki yhtälö
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (taulukko)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Näin ollen epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä muotoa ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) on aina kaksi juuria.

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jonka muoto on ax 2 \u003d 0, vastaa yhtälöä x 2 \u003d 0, ja siksi sillä on yksi juuri 0.

Kaava toisen asteen yhtälön juurille

Tarkastellaan nyt, kuinka ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöt, joissa sekä tuntemattomien kertoimet että vapaa termi ovat nollasta poikkeavia.

Ratkaisemme toisen asteen yhtälön yleisessä muodossa ja tuloksena saamme juurien kaavan. Sitten tätä kaavaa voidaan soveltaa minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen.

Ratkaise toisen asteen yhtälö ax 2 +bx+c=0

Jakamalla sen molemmat osat a:lla, saadaan vastaava pelkistetty toisen asteen yhtälö
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Muunnamme tämän yhtälön korostamalla binomiaalin neliön:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \nuoli oikealle \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Oikeanuoli x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Nuoli oikealle \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Juurilauseketta kutsutaan toisen asteen yhtälön diskriminantti ax 2 +bx+c=0 ("diskriminantti" latinaksi - erottaja). Sitä merkitään kirjaimella D, ts.
\(D = b^2-4ac\)

Nyt, käyttämällä erottimen merkintää, kirjoitamme uudelleen kaava toisen asteen yhtälön juurille:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), missä \(D= b^2-4ac \)

On selvää, että:
1) Jos D>0, niin toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria.
2) Jos D=0, niin toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jos D Siten, erottimen arvosta riippuen, toisen asteen yhtälöllä voi olla kaksi juuria (jos D > 0), yksi juuri (jos D = 0) tai ei juuria (D:lle Kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö tällä kaavalla , on suositeltavaa toimia seuraavasti:
1) laske diskriminantti ja vertaa sitä nollaan;
2) jos diskriminantti on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, käytä juurikaavaa, jos diskriminantti on negatiivinen, kirjoita ylös, että juuria ei ole.

Vietan lause

Annetulla toisen asteen yhtälöllä ax 2 -7x+10=0 on juuret 2 ja 5. Juurien summa on 7 ja tulo on 10. Näemme, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin otettuna vastakkainen merkki, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Jokaisella pelkistetyllä toisen asteen yhtälöllä, jolla on juuret, on tämä ominaisuus.

Annetun toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.

Nuo. Vietan lause sanoo, että pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 +px+q=0 juurilla x 1 ja x 2 on ominaisuus:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)