Ensimmäisessä osassa tarkastelimme teoreettista materiaalia, substituutiomenetelmää sekä menetelmää systeemiyhtälöiden termi-termittäin lisäämiseksi. Kaikille tämän sivun kautta sivustolle tulleille suosittelen ensimmäisen osan lukemista. Ehkä joidenkin kävijöiden mielestä materiaali on liian yksinkertaista, mutta järjestelmien ratkaisun aikana lineaariset yhtälöt Tein useita erittäin tärkeitä huomioita ja johtopäätöksiä matemaattisten ongelmien ratkaisusta yleensä.

Ja nyt analysoimme Cramerin sääntöä sekä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisua käänteismatriisilla (matriisimenetelmällä). Kaikki materiaalit esitetään yksinkertaisesti, yksityiskohtaisesti ja selkeästi, melkein kaikki lukijat voivat oppia ratkaisemaan järjestelmiä yllä olevilla menetelmillä.

Tarkastellaan ensin yksityiskohtaisesti Cramerin sääntöä kahden lineaarisen yhtälön järjestelmälle kahdessa tuntemattomassa. Minkä vuoksi? - Kuitenkin yksinkertaisin järjestelmä voidaan ratkaista koulumenetelmällä, lukukausilisäyksellä!

Tosiasia on, että vaikka joskus, mutta sellainen tehtävä on - ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella tuntemattomalla käyttämällä Cramerin kaavoja. Toiseksi, yksinkertaisempi esimerkki auttaa ymmärtämään, kuinka Cramerin sääntöä käytetään monimutkaisemmassa tapauksessa - kolmen yhtälön järjestelmässä, jossa on kolme tuntematonta.

Lisäksi on olemassa kahdella muuttujalla varustettuja lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka on suositeltavaa ratkaista täsmälleen Cramerin säännön mukaan!

Harkitse yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisessä vaiheessa laskemme determinantin , sitä kutsutaan järjestelmän päätekijä.

Gaussin menetelmä.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kaksi muuta determinanttia:
Ja

Käytännössä yllä olevat determinantit voidaan myös merkitä Latinalainen kirjain.

Yhtälön juuret löytyvät kaavoista:
,

Esimerkki 7

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: Näemme, että yhtälön kertoimet ovat melko suuria, oikealla puolella on desimaalit pilkulla. Pilkku on melko harvinainen vieras matematiikan käytännön tehtävissä, otin tämän järjestelmän ekonometrisesta ongelmasta.

Kuinka ratkaista tällainen järjestelmä? Voit yrittää ilmaista yhtä muuttujaa toisella, mutta tässä tapauksessa saat varmasti kauheita hienoja murtolukuja, joiden kanssa työskentely on erittäin hankalaa, ja ratkaisun suunnittelu näyttää aivan kamalalta. Voit kertoa toisen yhtälön 6:lla ja vähentää termiltä termiltä, ​​mutta samat murtoluvut näkyvät tässä.

Mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa Cramerin kaavat tulevat apuun.

;

;

Vastaus: ,

Molemmilla juurilla on äärettömät häntät ja niitä löytyy likimäärin, mikä on varsin hyväksyttävää (ja jopa yleistä) ekonometristen ongelmien kannalta.

Kommentteja ei tarvita täällä, koska tehtävä ratkaistaan ​​valmiiden kaavojen mukaan, mutta siinä on yksi varoitus. Kun käytössä tätä menetelmää, pakollinen Tehtävän fragmentti on seuraava fragmentti: "Joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu". Muussa tapauksessa arvioija voi rangaista sinua Cramerin lauseen epäkunnioituksesta.

Ei ole tarpeetonta tarkistaa, mikä on kätevää suorittaa laskimella: korvaamme likimääräiset arvot vasen puoli järjestelmän jokainen yhtälö. Tämän seurauksena oikealla puolella olevat numerot tulisi saada pienellä virheellä.

Esimerkki 8

Ilmaise vastauksesi tavallisilla virheellisillä murtoluvuilla. Tee sekki.

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta (esimerkki hienosta suunnittelusta ja vastaus oppitunnin lopussa).

Siirrymme tarkastelemaan Cramerin sääntöä kolmen yhtälön järjestelmälle, jossa on kolme tuntematonta:

Löydämme järjestelmän päätekijän:

Jos , niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja). Tässä tapauksessa Cramerin sääntö ei auta, sinun on käytettävä Gauss-menetelmää.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kolme muuta determinanttia:
, ,

Ja lopuksi vastaus lasketaan kaavoilla:

Kuten näette, "kolme kertaa kolme" -tapaus ei pohjimmiltaan eroa "kaksi kolmelta" -tapauksesta, vapaiden termien sarake "kävelee" peräkkäin vasemmalta oikealle päämääritteen sarakkeita pitkin.

Esimerkki 9

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Ratkaisu: Ratkaistaan ​​järjestelmä Cramerin kaavoilla.

, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Vastaus: .

Itse asiassa tässä ei ole mitään erityistä kommentoitavaa, kun otetaan huomioon, että päätös tehdään valmiiden kaavojen mukaan. Mutta on pari huomautusta.

Tapahtuu, että laskelmien tuloksena saadaan "huonoja" pelkistymättömiä murtolukuja, esimerkiksi: .
Suosittelen seuraavaa "hoito"-algoritmia. Jos tietokonetta ei ole käsillä, teemme näin:

1) Laskelmissa voi olla virhe. Heti kun kohtaat "huonon" laukauksen, sinun on heti tarkistettava, onko onko ehto kirjoitettu uudelleen oikein. Jos ehto kirjoitetaan uudelleen ilman virheitä, sinun on laskettava determinantit uudelleen käyttämällä toisen rivin (sarakkeen) laajennusta.

2) Mikäli tarkastuksen tuloksena ei löytynyt virheitä, on todennäköisimmin kirjoitusvirhe tehtävän tilassa. Tässä tapauksessa ratkaise tehtävä rauhallisesti ja HUOLELLISESTI loppuun asti ja sitten muista tarkistaa ja laadittava se puhtaana kappaleena päätöksen jälkeen. Tietysti murto-osan tarkistaminen on epämiellyttävä tehtävä, mutta se on aseistariisuttava argumentti opettajalle, joka todella haluaa laittaa miinuksen mistä tahansa huonosta asiasta, kuten. Kuinka käsitellä murtolukuja, kerrotaan yksityiskohtaisesti esimerkin 8 vastauksessa.

Jos sinulla on tietokone käsillä, tarkista se automaattisella ohjelmalla, jonka voi ladata ilmaiseksi heti oppitunnin alussa. Muuten, on edullisinta käyttää ohjelmaa heti (jo ennen ratkaisun aloittamista), näet välittömästi välivaiheen, jossa teit virheen! Sama laskin laskee automaattisesti järjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.

Toinen huomautus. Ajoittain tulee järjestelmiä, joiden yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esim.

Tässä ensimmäisessä yhtälössä ei ole muuttujaa, toisessa ei ole muuttujaa. Tällaisissa tapauksissa on erittäin tärkeää kirjoittaa oikein ja HUOLELLISESTI päätekijä:
– puuttuvien muuttujien tilalle laitetaan nollia.
Muuten, on järkevää avata determinantit nollalla sen rivin (sarakkeen) mukaan, jossa nolla sijaitsee, koska laskelmia on huomattavasti vähemmän.

Esimerkki 10

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Tämä on esimerkki itsepäätöksestä (näyte ja vastaus oppitunnin lopussa).

Jos kyseessä on 4 yhtälöjärjestelmä ja 4 tuntemattomat kaavat Cramer's on kirjoitettu samojen periaatteiden mukaan. Voit nähdä elävän esimerkin Determinant Properties -oppitunnilla. Determinantin järjestyksen pienentäminen - viisi 4. kertaluvun determinanttia ovat melko ratkaisevia. Vaikka tehtävä muistuttaa jo kovasti professorin kenkää onnen opiskelijan rinnassa.

Järjestelmän ratkaisu käänteismatriisin avulla

Käänteismatriisimenetelmä on olennaisesti erikoistapaus matriisiyhtälö(Katso määritellyn oppitunnin esimerkki nro 3).

Tämän osan tutkimiseksi sinun on kyettävä laajentamaan determinantteja, löytämään käänteismatriisi ja suorittamaan matriisin kertolasku. Asiaankuuluvat linkit annetaan selityksen edetessä.

Esimerkki 11

Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmällä

Ratkaisu: Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon:
, Missä

Katso yhtälöjärjestelmä ja matriisit. Millä periaatteella kirjoitamme elementtejä matriiseihin, luulen kaikkien ymmärtävän. Ainoa kommentti: jos yhtälöistä puuttuisi joitain muuttujia, niin matriisin vastaaviin paikkoihin pitäisi laittaa nollia.

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla:
, missä on transponoitu matriisi algebralliset lisäykset matriisin vastaavat elementit.

Ensin käsitellään determinanttia:

Tässä determinanttia laajennetaan ensimmäisellä rivillä.

Huomio! Jos , niin käänteismatriisia ei ole olemassa, ja järjestelmää on mahdotonta ratkaista matriisimenetelmällä. Tässä tapauksessa järjestelmä ratkaistaan ​​eliminoimalla tuntemattomat (Gaussin menetelmä).

Nyt sinun on laskettava 9 alaikäistä ja kirjoitettava ne alaikäisten matriisiin

Viite: On hyödyllistä tietää kaksoisalaindeksien merkitys lineaarialgebrassa. Ensimmäinen numero on rivinumero, jossa elementti sijaitsee. Toinen numero on sen sarakkeen numero, jossa elementti sijaitsee:

Toisin sanoen kaksoisalaindeksi osoittaa, että elementti on ensimmäisellä rivillä, kolmannella sarakkeella, kun taas elementti on esimerkiksi 3. rivillä, 2. sarakkeessa

Kun yhtälöiden määrä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä matriisin päädeterminantilla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, järjestelmän kertoimet (tällaisille yhtälöille on ratkaisu ja se on vain yksi).

Cramerin lause.

Kun neliöjärjestelmän matriisin determinantti on muu kuin nolla, niin järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on yksi ratkaisu ja se voidaan löytää Cramerin kaavat:

missä Δ - järjestelmämatriisin determinantti,

Δ i- järjestelmän matriisin determinantti, jossa sen sijaan i sarake on oikeanpuoleisten osien sarake.

Kun järjestelmän determinantti on nolla, järjestelmästä voi tulla johdonmukainen tai epäjohdonmukainen.

Tätä menetelmää käytetään yleensä pienissä järjestelmissä tilavuuslaskelmissa ja silloin, kun on tarpeen määrittää yksi tuntemattomista. Menetelmän monimutkaisuus on se, että on tarpeen laskea monia determinantteja.

Cramerin menetelmän kuvaus.

On olemassa yhtälöjärjestelmä:

Kolmen yhtälön järjestelmä voidaan ratkaista Cramerin menetelmällä, jota käsiteltiin edellä 2 yhtälöjärjestelmän osalta.

Muodostamme determinantin tuntemattomien kertoimista:

Se tulee olemaan järjestelmän tarkenne. Kun D≠0, joten järjestelmä on johdonmukainen. Nyt muodostamme 3 lisätekijää:

,,

Ratkaisemme järjestelmän Cramerin kaavat:

Esimerkkejä yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramerin menetelmällä.

Esimerkki 1.

Annettu järjestelmä:

Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä.

Ensin sinun on laskettava järjestelmän matriisin determinantti:

Koska Δ≠0, joten Cramerin lauseen perusteella järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on yksi ratkaisu. Laskemme lisädeterminantteja. Determinantti Δ1 saadaan determinantista Δ korvaamalla sen ensimmäinen sarake vapaiden kertoimien sarakkeella. Saamme:

Samalla tavalla saamme determinantin Δ 2 järjestelmän matriisin determinantista korvaamalla toisen sarakkeen vapaiden kertoimien sarakkeella:

Cramerin menetelmä perustuu determinanttien käyttöön lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa. Tämä nopeuttaa huomattavasti ratkaisuprosessia.

Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista niin monen lineaarisen yhtälön järjestelmä kuin jokaisessa yhtälössä on tuntemattomia. Jos järjestelmän determinantti ei ole nolla, niin ratkaisussa voidaan käyttää Cramerin menetelmää, jos se on nolla, niin ei. Lisäksi Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on ainutlaatuinen ratkaisu.

Määritelmä. Tuntemattomien kertoimista koostuvaa determinanttia kutsutaan järjestelmän determinantiksi ja sitä merkitään (delta).

Determinantit

saadaan korvaamalla kertoimet vastaavissa tuntemattomissa vapailla termeillä:

;

.

Cramerin lause. Jos järjestelmän determinantti on nollasta poikkeava, niin lineaariyhtälöjärjestelmällä on yksi ratkaisu, ja tuntematon on yhtä suuri kuin determinanttien suhde. Nimittäjä on järjestelmän determinantti ja osoittaja on determinantti, joka saadaan järjestelmän determinantista korvaamalla kertoimet tuntemattomalla vapailla termeillä. Tämä lause pätee minkä tahansa luokan lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Esimerkki 1 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Mukaan Cramerin lause meillä on:

Eli järjestelmän (2) ratkaisu:

online-laskin, ratkaiseva menetelmä Kramer.

Kolme tapausta lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa

Kuten näkyy osoitteesta Cramerin lauseet, kun ratkaistaan ​​lineaarinen yhtälöjärjestelmä, voi esiintyä kolme tapausta:

Ensimmäinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu

(järjestelmä on johdonmukainen ja varma)

Toinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja

(järjestelmä on johdonmukainen ja epämääräinen)

** ,

nuo. tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet ovat verrannollisia.

Kolmas tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja

(järjestelmä epäjohdonmukainen)

Järjestelmä siis m lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia kutsutaan yhteensopimaton jos sillä ei ole ratkaisuja, ja liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Yhteistä yhtälöjärjestelmää, jolla on vain yksi ratkaisu, kutsutaan varma, ja enemmän kuin yksi epävarma.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramer-menetelmällä

Anna järjestelmän

.

Perustuu Cramerin lauseeseen

………….
,

Missä
-

järjestelmän tunniste. Loput determinantit saadaan korvaamalla sarake vastaavan muuttujan (tuntemattoman) kertoimilla vapailla jäsenillä:

Esimerkki 2

.

Järjestelmä on siis varma. Ratkaisun löytämiseksi laskemme determinantit

Cramerin kaavoilla löydämme:

Joten (1; 0; -1) on ainoa ratkaisu järjestelmään.

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Jos lineaariyhtälöjärjestelmässä ei ole muuttujia yhdessä tai useammassa yhtälössä, niin determinantissa niitä vastaavat alkiot ovat nolla! Tämä on seuraava esimerkki.

Esimerkki 3 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

.

Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:

Katso huolellisesti yhtälöjärjestelmää ja järjestelmän determinanttia ja toista vastaus kysymykseen, missä tapauksissa yksi tai useampi determinantin alkio on nolla. Joten determinantti ei ole nolla, joten järjestelmä on määrätty. Ratkaisun löytämiseksi laskemme tuntemattomien determinantit

Cramerin kaavoilla löydämme:

Eli järjestelmän ratkaisu on (2; -1; 1).

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Sivun yläreunassa

Jatkamme järjestelmien ratkaisemista Cramer-menetelmällä yhdessä

Kuten jo mainittiin, jos järjestelmän determinantti on nolla ja tuntemattomien determinantit eivät ole nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Havainnollistetaan seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 6 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:

Järjestelmän determinantti on nolla, joten lineaarinen yhtälöjärjestelmä on joko epäjohdonmukainen ja määrätty tai epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Selvyyden vuoksi laskemme tuntemattomien determinantit

Tuntemattomien determinantit eivät ole yhtä suuria kuin nolla, joten järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja.

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tehtävissä on myös sellaisia, joissa muuttujia osoittavien kirjainten lisäksi on myös muita kirjaimia. Nämä kirjaimet tarkoittavat jotakin numeroa, useimmiten todellista numeroa. Käytännössä tällaiset yhtälöt ja yhtälöjärjestelmät aiheuttavat ongelmia minkä tahansa ilmiön ja objektin yleisten ominaisuuksien löytämisessä. Eli keksitkö mitään uutta materiaalia tai laite, ja sen ominaisuuksien kuvaamiseksi, jotka ovat yleisiä kopioiden koosta tai lukumäärästä riippumatta, on tarpeen ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa joidenkin muuttujien kertoimien sijaan on kirjaimia. Esimerkkejä ei tarvitse etsiä kaukaa.

Seuraava esimerkki koskee samanlaista ongelmaa, vain yhtälöiden, muuttujien ja kirjaimien määrä, jotka osoittavat jotain reaalilukua, kasvaa.

Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:

Determinanttien löytäminen tuntemattomille

Tämän kappaleen hallitsemiseksi sinun on kyettävä avaamaan tarkenteet "kaksi kertaa kaksi" ja "kolme kolmella". Jos karsinnat ovat huonoja, lue oppitunti Kuinka determinantti lasketaan?

Tarkastellaan ensin yksityiskohtaisesti Cramerin sääntöä kahden lineaarisen yhtälön järjestelmälle kahdessa tuntemattomassa. Minkä vuoksi? ”Yksinkertaisin järjestelmä on loppujen lopuksi ratkaistavissa koulumenetelmällä, lukukausittaisella lisäyksellä!

Tosiasia on, että vaikka joskus, mutta sellainen tehtävä on - ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella tuntemattomalla käyttämällä Cramerin kaavoja. Toiseksi, yksinkertaisempi esimerkki auttaa ymmärtämään, kuinka Cramerin sääntöä käytetään monimutkaisemmassa tapauksessa - kolmen yhtälön järjestelmässä, jossa on kolme tuntematonta.

Lisäksi on olemassa kahdella muuttujalla varustettuja lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka on suositeltavaa ratkaista täsmälleen Cramerin säännön mukaan!

Harkitse yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisessä vaiheessa laskemme determinantin , sitä kutsutaan järjestelmän päätekijä.

Gaussin menetelmä.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kaksi muuta determinanttia:
Ja

Käytännössä yllä olevat tarkenteet voidaan merkitä myös latinalaisella kirjaimella.

Yhtälön juuret löytyvät kaavoista:
,

Esimerkki 7

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: Näemme, että yhtälön kertoimet ovat melko suuria, oikealla puolella on desimaalimurtolukuja pilkulla. Pilkku on melko harvinainen vieras matematiikan käytännön tehtävissä, otin tämän järjestelmän ekonometrisesta ongelmasta.

Kuinka ratkaista tällainen järjestelmä? Voit yrittää ilmaista yhtä muuttujaa toisella, mutta tässä tapauksessa saat varmasti kauheita hienoja murtolukuja, joiden kanssa työskentely on erittäin hankalaa, ja ratkaisun suunnittelu näyttää aivan kamalalta. Voit kertoa toisen yhtälön 6:lla ja vähentää termiltä termiltä, ​​mutta samat murtoluvut näkyvät tässä.

Mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa Cramerin kaavat tulevat apuun.

;

;

Vastaus: ,

Molemmilla juurilla on äärettömät häntät ja niitä löytyy likimäärin, mikä on varsin hyväksyttävää (ja jopa yleistä) ekonometristen ongelmien kannalta.

Kommentteja ei tarvita täällä, koska tehtävä ratkaistaan ​​valmiiden kaavojen mukaan, mutta siinä on yksi varoitus. Kun käytät tätä menetelmää, pakollinen Tehtävän fragmentti on seuraava fragmentti: "Joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu". Muussa tapauksessa arvioija voi rangaista sinua Cramerin lauseen epäkunnioituksesta.

Ei ole tarpeetonta tarkistaa, mikä on kätevää suorittaa laskimella: korvaamme likimääräiset arvot järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella. Tämän seurauksena oikealla puolella olevat numerot tulisi saada pienellä virheellä.

Esimerkki 8

Ilmaise vastauksesi tavallisilla virheellisillä murtoluvuilla. Tee sekki.

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta (esimerkki hienosta suunnittelusta ja vastaus oppitunnin lopussa).

Siirrymme tarkastelemaan Cramerin sääntöä kolmen yhtälön järjestelmälle, jossa on kolme tuntematonta:

Löydämme järjestelmän päätekijän:

Jos , niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja). Tässä tapauksessa Cramerin sääntö ei auta, sinun on käytettävä Gauss-menetelmää.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kolme muuta determinanttia:
, ,

Ja lopuksi vastaus lasketaan kaavoilla:

Kuten näette, "kolme kertaa kolme" -tapaus ei pohjimmiltaan eroa "kaksi kolmelta" -tapauksesta, vapaiden termien sarake "kävelee" peräkkäin vasemmalta oikealle päämääritteen sarakkeita pitkin.

Esimerkki 9

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Ratkaisu: Ratkaistaan ​​järjestelmä Cramerin kaavoilla.

, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Vastaus: .

Itse asiassa tässä ei ole mitään erityistä kommentoitavaa, kun otetaan huomioon, että päätös tehdään valmiiden kaavojen mukaan. Mutta on pari huomautusta.

Tapahtuu, että laskelmien tuloksena saadaan "huonoja" pelkistymättömiä murtolukuja, esimerkiksi: .
Suosittelen seuraavaa "hoito"-algoritmia. Jos tietokonetta ei ole käsillä, teemme näin:

1) Laskelmissa voi olla virhe. Heti kun kohtaat "huonon" laukauksen, sinun on heti tarkistettava, onko onko ehto kirjoitettu uudelleen oikein. Jos ehto kirjoitetaan uudelleen ilman virheitä, sinun on laskettava determinantit uudelleen käyttämällä toisen rivin (sarakkeen) laajennusta.

2) Mikäli tarkastuksen tuloksena ei löytynyt virheitä, on todennäköisimmin kirjoitusvirhe tehtävän tilassa. Tässä tapauksessa ratkaise tehtävä rauhallisesti ja HUOLELLISESTI loppuun asti ja sitten muista tarkistaa ja laadittava se puhtaana kappaleena päätöksen jälkeen. Tietysti murto-osan tarkistaminen on epämiellyttävä tehtävä, mutta se on aseistariisuttava argumentti opettajalle, joka todella haluaa laittaa miinuksen mistä tahansa huonosta asiasta, kuten. Kuinka käsitellä murtolukuja, kerrotaan yksityiskohtaisesti esimerkin 8 vastauksessa.

Jos sinulla on tietokone käsillä, tarkista se automaattisella ohjelmalla, jonka voi ladata ilmaiseksi heti oppitunnin alussa. Muuten, on edullisinta käyttää ohjelmaa heti (jo ennen ratkaisun aloittamista), näet välittömästi välivaiheen, jossa teit virheen! Sama laskin laskee automaattisesti järjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.

Toinen huomautus. Ajoittain tulee järjestelmiä, joiden yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esim.

Tässä ensimmäisessä yhtälössä ei ole muuttujaa, toisessa ei ole muuttujaa. Tällaisissa tapauksissa on erittäin tärkeää kirjoittaa oikein ja HUOLELLISESTI päätekijä:
– puuttuvien muuttujien tilalle laitetaan nollia.
Muuten, on järkevää avata determinantit nollalla sen rivin (sarakkeen) mukaan, jossa nolla sijaitsee, koska laskelmia on huomattavasti vähemmän.

Esimerkki 10

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Tämä on esimerkki itsepäätöksestä (näyte ja vastaus oppitunnin lopussa).

Jos kyseessä on 4 yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta, Cramerin kaavat kirjoitetaan samanlaisten periaatteiden mukaan. Voit nähdä elävän esimerkin Determinant Properties -oppitunnilla. Determinantin järjestyksen pienentäminen - viisi 4. kertaluvun determinanttia ovat melko ratkaisevia. Vaikka tehtävä muistuttaa jo kovasti professorin kenkää onnen opiskelijan rinnassa.

Järjestelmän ratkaisu käänteismatriisin avulla

Käänteismatriisimenetelmä on pohjimmiltaan erikoistapaus matriisiyhtälö(Katso määritellyn oppitunnin esimerkki nro 3).

Tämän osan tutkimiseksi sinun on kyettävä laajentamaan determinantteja, löytämään käänteismatriisi ja suorittamaan matriisin kertolasku. Asiaankuuluvat linkit annetaan selityksen edetessä.

Esimerkki 11

Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmällä

Ratkaisu: Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon:
, Missä

Katso yhtälöjärjestelmä ja matriisit. Millä periaatteella kirjoitamme elementtejä matriiseihin, luulen kaikkien ymmärtävän. Ainoa kommentti: jos yhtälöistä puuttuisi joitain muuttujia, niin matriisin vastaaviin paikkoihin pitäisi laittaa nollia.

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla:
, jossa on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

Ensin käsitellään determinanttia:

Tässä determinanttia laajennetaan ensimmäisellä rivillä.

Huomio! Jos , niin käänteismatriisia ei ole olemassa, ja järjestelmää on mahdotonta ratkaista matriisimenetelmällä. Tässä tapauksessa järjestelmä ratkaistaan ​​eliminoimalla tuntemattomat (Gaussin menetelmä).

Nyt sinun on laskettava 9 alaikäistä ja kirjoitettava ne alaikäisten matriisiin

Viite: On hyödyllistä tietää kaksoisalaindeksien merkitys lineaarialgebrassa. Ensimmäinen numero on rivinumero, jossa elementti sijaitsee. Toinen numero on sen sarakkeen numero, jossa elementti sijaitsee:

Toisin sanoen kaksoisalaindeksi osoittaa, että elementti on ensimmäisellä rivillä, kolmannella sarakkeella, kun taas elementti on esimerkiksi 3. rivillä, 2. sarakkeessa

Ratkaisun aikana on parempi kuvata alaikäisten laskelma yksityiskohtaisesti, vaikka tietyllä kokemuksella niitä voidaan säätää suullisesti laskemaan virheellisesti.