Tärkeimmät epätasa-arvotyypit esitetään, mukaan lukien Bernoulli-, Cauchyn-Bunyakovsky-, Minkowski-, Chebyshev-epäyhtälöt. Eriarvoisuuksien ominaisuuksia ja niihin kohdistuvia toimia tarkastellaan. Epäyhtälöiden ratkaisemisen perusmenetelmät esitetään.

Perusepäyhtälöiden kaavat

Kaavat universaaleille epäyhtälöille

Universaalit epäyhtälöt täyttyvät kaikille niihin sisältyvien määrien arvoille. Alla on lueteltu yleismaailmallisen epätasa-arvon päätyypit.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Tasa-arvo tapahtuu vain, kun a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Cauchyn ja Bunyakovskyn epätasa-arvo

Yhtäläisyys pätee jos ja vain jos α a k = β b k kaikille k = 1, 2, ..., n ja joillekin α, β, |α| + |β| > 0.

5) Minkowskin epätasa-arvo, jos p ≥ 1

Tyydytettävän epätasa-arvon kaavat

Tyydytettävät epäyhtälöt täyttyvät tietyille niihin sisältyvien määrien arvoille.

1) Bernoullin epäyhtälö:
.
Enemmässä yleisnäkymä:
,
jossa , numerot saman merkin ja suurempi kuin -1 : .
Bernoullin Lemma:
.
Katso "Epätasa-arvojen todisteet ja Bernoullin lemma".

2)
jos a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n).

3) Chebyshevin epätasa-arvo
klo 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ja 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
klo 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ja b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Yleistetty Chebyshevin epätasa-arvo
klo 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ja 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n ja k luonnollinen
.
klo 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ja b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Eriarvoisuuksien ominaisuudet

Epäyhtälöiden ominaisuudet ovat joukko sääntöjä, jotka täyttyvät niitä muunnettaessa. Alla on epäyhtälöiden ominaisuudet. On selvää, että alkuperäiset epäyhtälöt täyttyvät arvoille x i (i = 1, 2, 3, 4), jotka kuuluvat johonkin ennalta määrättyyn väliin.

1) Kun sivujen järjestys muuttuu, epäyhtälömerkki muuttuu päinvastaiseksi.
Jos x 1< x 2 , то x 2 >x 1.
Jos x 1 ≤ x 2, niin x 2 ≥ x 1.
Jos x 1 ≥ x 2, niin x 2 ≤ x 1.
Jos x 1 > x 2 niin x 2< x 1 .

2) Yksi tasa-arvo vastaa kahta heikkoa eriarvoisuutta eri merkki.
Jos x 1 = x 2, niin x 1 ≤ x 2 ja x 1 ≥ x 2.
Jos x 1 ≤ x 2 ja x 1 ≥ x 2, niin x 1 = x 2.

3) Transitiivisuusominaisuus
Jos x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Jos x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Jos x 1 ≤ x 2 ja x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Jos x 1 ≤ x 2 ja x 2 ≤ x 3, niin x 1 ≤ x 3.

4) Sama luku voidaan lisätä (vähentää) epäyhtälön molemmille puolille.
Jos x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Jos x 1 ≤ x 2, niin x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jos x 1 ≥ x 2, niin x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jos x 1 > x 2, niin x 1 + A > x 2 + A.

5) Jos on kaksi tai useampia samansuuntaisia ​​epäyhtälöitä, niin niiden vasen ja oikea puoli voidaan laskea yhteen.
Jos x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jos x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jos x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jos x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, niin x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Samanlaiset ilmaisut koskevat merkkejä ≥, >.
Jos alkuperäiset epäyhtälöt sisältävät merkkejä ei-tiukoista epäyhtälöistä ja ainakin yhden tiukan epäyhtälön (mutta kaikilla merkeillä on sama suunta), niin yhteenlaskettu tuloksena on tiukka epäyhtälö.

6) Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa (jakaa) positiivisella luvulla.
Jos x 1< x 2 и A >0, sitten A x 1< A · x 2 .
Jos x 1 ≤ x 2 ja A > 0, niin A x 1 ≤ A x 2.
Jos x 1 ≥ x 2 ja A > 0, niin A x 1 ≥ A x 2.
Jos x 1 > x 2 ja A > 0, niin A · x 1 > A · x 2.

7) Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa (jakaa) luvulla negatiivinen luku. Tässä tapauksessa eriarvoisuuden merkki muuttuu päinvastaiseksi.
Jos x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Jos x 1 ≤ x 2 ja A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Jos x 1 ≥ x 2 ja A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Jos x 1 > x 2 ja A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Jos on kaksi tai useampia epäyhtälöitä, joilla on positiivinen termi, samansuuntainen etumerkki, niin niiden vasen ja oikea puoli voidaan kertoa keskenään.
Jos x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sitten x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jos x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sitten x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jos x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sitten x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jos x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, niin x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Samanlaiset ilmaisut koskevat merkkejä ≥, >.
Jos alkuperäiset epäyhtälöt sisältävät merkkejä ei-tiukoista epäyhtälöistä ja vähintään yhden tiukan epäyhtälön (mutta kaikilla merkeillä on sama suunta), niin kertolasku johtaa tiukkaan eriarvoisuuteen.

9) Olkoon f(x) monotonisesti kasvava funktio. Eli millä tahansa x 1 > x 2:lla f(x 1) > f(x 2). Sitten tätä funktiota voidaan soveltaa epäyhtälön molemmille puolille, mikä ei muuta epäyhtälön etumerkkiä.
Jos x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Jos x 1 ≤ x 2, niin f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jos x 1 ≥ x 2, niin f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jos x 1 > x 2, niin f(x 1) > f(x 2).

10) Olkoon f(x) monotonisesti pienenevä funktio, eli millä tahansa x 1 > x 2:lla f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jos x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x2) .
Jos x 1 ≤ x 2, niin f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jos x 1 ≥ x 2, niin f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jos x 1 > x 2 niin f(x 1)< f(x 2) .

Menetelmiä epätasa-arvojen ratkaisemiseksi

Epäyhtälöiden ratkaiseminen intervallimenetelmällä

Intervallimenetelmää voidaan soveltaa, jos epäyhtälö sisältää yhden muuttujan, jota merkitsemme x:llä ja sen muoto on:
f(x) > 0
missä f(x) - jatkuva toiminto, jolla on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä. Epäyhtälömerkki voi olla mikä tahansa: >, ≥,<, ≤ .

Intervallimenetelmä on seuraava.

1) Etsi funktion f(x) määritelmäalue ja merkitse se numeroakselilla intervalleilla.

2) Etsi funktion f(x) epäjatkuvuuspisteet. Jos tämä on esimerkiksi murto-osa, löydämme pisteet, joissa nimittäjästä tulee nolla. Merkitsemme nämä pisteet numeroakselille.

3) Ratkaise yhtälö
f(x) = 0.
Merkitsemme tämän yhtälön juuret numeroakselille.

4) Tämän seurauksena numeroakseli jaetaan intervalleiksi (segmenteiksi) pisteillä. Jokaisesta määritelmäalueeseen kuuluvasta intervallista valitsemme minkä tahansa pisteen ja laskemme tässä vaiheessa funktion arvon. Jos tämä arvo on suurempi kuin nolla, asetamme segmentin (välin) yläpuolelle "+"-merkin. Jos tämä arvo on pienempi kuin nolla, laitamme segmentin (välin) yläpuolelle "-"-merkin.

5) Jos epäyhtälö on muotoa: f(x) > 0, valitse intervallit "+"-merkillä. Ratkaisu epätasa-arvoon on yhdistää nämä intervallit, jotka eivät sisällä niiden rajoja.
Jos epäyhtälö on muotoa: f(x) ≥ 0, niin ratkaisuun lisätään pisteet, joissa f(x) = 0. Toisin sanoen joillakin intervalleilla voi olla suljetut rajat (raja kuuluu väliin). toisessa osassa voi olla avoimet rajat (raja ei kuulu väliin).
Vastaavasti, jos epäyhtälöllä on muoto: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Jos epäyhtälö on muotoa: f(x) ≤ 0, niin ratkaisuun lisätään pisteet, joissa f(x) = 0.

Epäyhtälöiden ratkaiseminen niiden ominaisuuksien avulla

Tätä menetelmää voidaan soveltaa minkä tahansa monimutkaisuuden epäyhtälöihin. Se koostuu yllä olevien ominaisuuksien soveltamisesta epätasa-arvojen vähentämiseksi yksinkertaisempaan muotoon ja ratkaisun saamiseksi. On täysin mahdollista, että tämä ei johda vain yhteen, vaan epätasa-arvojärjestelmään. Tämä on universaali menetelmä. Se pätee kaikkiin eriarvoisuuksiin.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.

Yksi opiskelijoilta mahdollisimman paljon huomiota ja sinnikkyyttä vaativista aiheista on eriarvoisuuden ratkaiseminen. Niin samanlainen kuin yhtälöt ja samalla hyvin erilainen kuin ne. Koska niiden ratkaiseminen vaatii erityistä lähestymistapaa.

Ominaisuudet, joita tarvitaan vastauksen löytämiseen

Niitä kaikkia käytetään korvaamaan olemassa oleva merkintä vastaavalla. Suurin osa niistä on samanlaisia ​​kuin yhtälöissä. Mutta on myös eroja.

• ODZ:ssä määritetty funktio tai mikä tahansa luku voidaan lisätä alkuperäisen epäyhtälön molemmille puolille.
• Samoin kertominen on mahdollista, mutta vain positiivisella funktiolla tai luvulla.
• Jos tämä toiminto suoritetaan negatiivisella funktiolla tai numerolla, epäyhtälömerkki on korvattava vastakkaisella.
• Funktiot, jotka eivät ole negatiivisia, voidaan nostaa positiiviseen potenssiin.

Joskus eriarvoisuuksien ratkaisemiseen liittyy toimia, jotka tarjoavat vieraita vastauksia. Ne on suljettava pois vertaamalla ODZ alue ja monia ratkaisuja.

Intervallimenetelmän käyttäminen

Sen olemus on vähentää epäyhtälö yhtälöksi, jonka oikealla puolella on nolla.

1. Määritä alue, jolla muuttujien sallitut arvot, eli ODZ, ovat.
2. Muunna epäyhtälö matemaattisilla operaatioilla siten, että oikealla puolella on nolla.
3. Korvaa epäyhtälömerkki merkillä "=" ja ratkaise vastaava yhtälö.
4. Merkitse numeeriselle akselille kaikki ratkaisun aikana saadut vastaukset sekä OD-välit. Jos epätasa-arvo on tiukka, pisteet on vedettävä rei'itetyinä. Jos on yhtäläisyysmerkki, ne tulee maalata päälle.
5. Määritä alkuperäisen funktion etumerkki jokaiselle ODZ:n pisteistä saadulle intervalleille ja sen jakaville vastauksille. Jos funktion etumerkki ei muutu pisteen läpi kulkiessaan, se sisällytetään vastaukseen. Muuten se on poissuljettu.
6. ODZ:n rajapisteet on tarkistettava edelleen ja vasta sitten sisällytettävä vastaukseen tai ei.
7. Tuloksena oleva vastaus on kirjoitettava yhdistettyjen joukkojen muodossa.

Vähän kaksinkertaisesta epätasa-arvosta

He käyttävät kahta eriarvoisuusmerkkiä kerralla. Eli jotkin toiminnot ovat ehtojen rajoittamia kahdesti kerralla. Tällaiset epäyhtälöt ratkaistaan ​​kahden järjestelmänä, kun alkuperäinen jaetaan osiin. Ja intervallimenetelmässä molempien yhtälöiden ratkaisemisen vastaukset on merkitty.

Niiden ratkaisemiseksi on myös sallittua käyttää yllä mainittuja ominaisuuksia. Niiden avulla on kätevää vähentää epätasa-arvo nollaan.

Entä epäyhtälöt, joilla on moduuli?

Tässä tapauksessa epäyhtälöiden ratkaisu käyttää seuraavia ominaisuuksia, ja ne pätevät positiiviselle arvolle "a".

Jos "x" kestää algebrallinen lauseke, niin seuraavat korvaukset ovat voimassa:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a - x< -a или х >a.

Jos epäyhtälöt eivät ole tiukkoja, niin kaavat ovat myös oikein, vain niissä esiintyy suuremman tai pienemmän merkin lisäksi "=".

Miten epätasa-arvojärjestelmä ratkaistaan?

Tätä tietoa vaaditaan tapauksissa, joissa tällainen tehtävä annetaan tai tietueessa on kaksinkertainen epäyhtälö tai moduuli. Tällaisessa tilanteessa ratkaisuna ovat muuttujien arvot, jotka täyttäisivät kaikki tietueen epäyhtälöt. Jos tällaisia ​​lukuja ei ole, järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Suunnitelma, jonka mukaan eriarvoisuusjärjestelmän ratkaisu suoritetaan:

• ratkaise jokainen niistä erikseen;
• kuvaa kaikki intervallit numeroakselilla ja määritä niiden leikkauspisteet;
• kirjoita muistiin järjestelmän vastaus, joka on yhdistelmä toisessa kappaleessa tapahtuneesta.

Mitä tehdä murto-epäyhtälöille?

Koska niiden ratkaiseminen saattaa edellyttää eriarvoisuuden merkin vaihtamista, sinun on noudatettava erittäin huolellisesti ja huolellisesti kaikkia suunnitelman kohtia. Muuten saatat saada päinvastaisen vastauksen.

Murtoepäyhtälöiden ratkaisemisessa käytetään myös intervallimenetelmää. Ja toimintasuunnitelma tulee olemaan seuraava:

• Anna murto kuvattujen ominaisuuksien avulla sellaiseksi, että merkin oikealle puolelle jää vain nolla.
• Korvaa epäyhtälö merkillä “=” ja määritä pisteet, joissa funktio on yhtä suuri kuin nolla.
• Merkitse ne koordinaattiakselille. Tässä tapauksessa nimittäjässä olevien laskelmien tuloksena saadut luvut leimataan aina ulos. Kaikki muut perustuvat eriarvoisuuden ehtoon.
• Määritä etumerkin pysyvyyden välit.
• Kirjoita vastauksena muistiin niiden intervallien liitto, joiden etumerkki vastaa alkuperäisen epäyhtälön merkkiä.

Tilanteet, joissa irrationaalisuus ilmenee epätasa-arvossa

Toisin sanoen merkinnöissä on matemaattinen juuri. Koska koulun algebran kurssilla suurin osa tehtävät ovat neliöjuurelle, niin tämä otetaan huomioon.

Irrationaalisten epätasa-arvojen ratkaisu perustuu kahden tai kolmen järjestelmän saamiseen, joka vastaa alkuperäistä.

Alkuperäinen eriarvoisuus	kunto	vastaava järjestelmä
√ n(x)< m(х)	m(x) pienempi tai yhtä suuri kuin 0	ei ratkaisuja
	m(x) suurempi kuin 0	n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 m(x) pienempi kuin 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) pienempi kuin 0	ei ratkaisuja
	m(x) suurempi tai yhtä suuri kuin 0	n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 m(x) pienempi kuin 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x) pienempi kuin m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) suurempi kuin 0 m(x) pienempi kuin 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) suurempi kuin 0 m(x) suurempi kuin 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) suurempi kuin 0
		n(x) on 0 m(x) - mikä tahansa
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) suurempi kuin 0
		n(x) on 0 m(x) - mikä tahansa

Esimerkkejä erilaisten epätasa-arvojen ratkaisemisesta

Alla on esimerkkejä, jotta epätasa-arvojen ratkaisemista koskeva teoria selkeytyy.

Ensimmäinen esimerkki. 2x - 4 > 1 + x

Ratkaisu: ADI:n määrittämiseksi sinun tarvitsee vain tarkastella eriarvoisuutta tarkasti. Se on muodostettu lineaariset funktiot, joka on siksi määritetty kaikille muuttujan arvoille.

Nyt sinun on vähennettävä (1 + x) epäyhtälön molemmilta puolilta. Osoittautuu: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Kun sulut on avattu ja vastaavat ehdot on annettu, epäyhtälö saa seuraavan muodon: x - 5 > 0.

Kun se rinnastetaan nollaan, sen ratkaisu on helppo löytää: x = 5.

Nyt tämä piste numerolla 5 on merkittävä koordinaattisäteeseen. Tarkista sitten alkuperäisen toiminnon merkit. Ensimmäisellä välillä miinus äärettömyydestä 5:een voit ottaa luvun 0 ja korvata sen muunnosten jälkeen saatuun epäyhtälöön. Laskelmien jälkeen tulee -7 >0. intervallin kaaren alle sinun on allekirjoitettava miinusmerkki.

Seuraavalla aikavälillä 5:stä äärettömään voit valita luvun 6. Sitten käy ilmi, että 1 > 0. Kaaren alla on +-merkki. Tämä toinen väli on vastaus epätasa-arvoon.

Vastaus: x on välissä (5; ∞).

Toinen esimerkki. On ratkaistava kahden yhtälön järjestelmä: 3x + 3 ≤ 2x + 1 ja 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Ratkaisu. Näiden epäyhtälöiden VA on myös minkä tahansa lukujen alueella, koska lineaarifunktiot on annettu.

Toinen epäyhtälö on seuraavan yhtälön muodossa: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Muunnoksen jälkeen: -x - 4 =0. Tämä tuottaa muuttujalle arvon, joka on yhtä suuri kuin -4.

Nämä kaksi numeroa on merkittävä akselille, jotka kuvaavat intervalleja. Koska eriarvoisuus ei ole tiukka, kaikki kohdat on varjostettava. Ensimmäinen intervalli on miinus äärettömästä -4. Valitaan numero -5. Ensimmäinen epäyhtälö antaa arvon -3 ja toinen 1. Tämä tarkoittaa, että tämä väli ei sisälly vastaukseen.

Toinen väli on -4 - -2. Voit valita luvun -3 ja korvata sen molemmilla epäyhtälöillä. Ensimmäisessä ja toisessa arvo on -1. Tämä tarkoittaa, että kaaren alla "-".

Viimeisellä alueella -2:sta äärettömään paras luku on nolla. Sinun on korvattava se ja löydettävä eriarvoisuuksien arvot. Ensimmäinen niistä tuottaa positiivisen luvun ja toinen nollan. Tämä aukko on myös jätettävä pois vastauksesta.

Kolmesta intervallista vain yksi on ratkaisu epäyhtälöön.

Vastaus: x kuuluu [-4; -2].

Kolmas esimerkki. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Ratkaisu. Ensimmäinen askel on määrittää kohdat, joissa funktiot katoavat. Vasemmalle tämä luku on 2, oikealle - 1. Ne on merkittävä palkkiin ja määritettävä etumerkin pysyvyysvälit.

Ensimmäisellä aikavälillä miinus äärettömästä 1:een epäyhtälön vasemmalla puolella oleva funktio saa positiivisia arvoja ja oikeanpuoleinen funktio negatiivisia arvoja. Kaaren alle on kirjoitettava kaksi merkkiä “+” ja “-” vierekkäin.

Seuraava väli on 1 - 2. Siinä molemmat funktiot saavat positiivisia arvoja. Tämä tarkoittaa, että kaaren alla on kaksi plussaa.

Kolmas väli 2:sta äärettömään antaa seuraavan tuloksen: vasen toiminto- negatiivinen, oikea - positiivinen.

Ottaen huomioon saadut merkit, sinun on laskettava epäyhtälöarvot kaikille aikaväleille.

Ensimmäinen tuottaa seuraavan epäyhtälön: 2 - x > - 2 (x - 1). Miinus ennen kahta toisessa epäyhtälössä johtuu siitä, että tämä funktio on negatiivinen.

Muunnoksen jälkeen epäyhtälö näyttää tältä: x > 0. Se antaa heti muuttujan arvot. Toisin sanoen tältä väliltä vastataan vain väliin 0 - 1.

Toisella: 2 - x > 2 (x - 1). Muunnokset antavat seuraavan epäyhtälön: -3x + 4 on suurempi kuin nolla. Sen nolla on x = 4/3. Kun otetaan huomioon epäyhtälömerkki, käy ilmi, että x:n on oltava pienempi kuin tämä luku. Tämä tarkoittaa, että tämä intervalli pienennetään väliin 1 - 4/3.

Jälkimmäinen antaa seuraavan epäyhtälön: - (2 - x) > 2 (x - 1). Sen muunnos johtaa seuraavaan: -x > 0. Eli yhtälö on tosi, kun x on pienempi kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että vaaditulla aikavälillä epäyhtälö ei tarjoa ratkaisuja.

Kahdella ensimmäisellä aikavälillä rajanumeroksi osoittautui 1. Se on tarkistettava erikseen. Eli korvaa se alkuperäiseen epätasa-arvoon. Osoittautuu: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Laskeminen osoittaa, että 1 on suurempi kuin 0. Tämä on tosi väite, joten yksi sisältyy vastaukseen.

Vastaus: x on välissä (0; 4/3).

Suorien ja määrien vertailu on ollut tarpeen käytännön tehtävien ratkaisussa muinaisista ajoista lähtien. Samaan aikaan ilmaantui sanoja, kuten enemmän ja vähemmän, korkeampi ja matalampi, kevyempi ja raskaampi, hiljaisempi ja äänekkäämpi, halvempi ja kalliimpi jne., jotka tarkoittivat homogeenisten määrien vertailun tuloksia.

Käsitteet enemmän ja vähemmän syntyivät esineiden laskemisen, määrien mittaamisen ja vertailun yhteydessä. Esimerkiksi antiikin Kreikan matemaatikot tiesivät, että minkä tahansa kolmion sivu on pienempi kuin kahden muun sivun summa ja että suurempi sivu on kolmion suurempaa kulmaa vastapäätä. Arkhimedes totesi ympyrää laskeessaan, että minkä tahansa ympyrän kehä on kolme kertaa halkaisija, ylimäärällä, joka on pienempi kuin seitsemäsosa halkaisijasta, mutta yli kymmenen seitsemänkymmentä kertaa halkaisija.

Kirjoita numeroiden ja määrien väliset suhteet symbolisesti käyttämällä merkkejä > ja b. Tietueet, joissa kaksi numeroa on yhdistetty jollakin merkistä: > (suurempi kuin), Kohtasit myös numeerisia epäyhtälöitä junioriluokat. Tiedät, että eriarvoisuudet voivat olla totta tai ne voivat olla vääriä. Esimerkiksi \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) on oikea numeerinen epäyhtälö, 0,23 > 0,235 on väärä numeerinen epäyhtälö.

Tuntemattomiin liittyvät epätasa-arvot voivat olla totta joidenkin tuntemattomien arvojen kohdalla ja vääriä toisille. Esimerkiksi epäyhtälö 2x+1>5 on tosi, kun x = 3, mutta epätosi, kun x = -3. Epäyhtälölle, jossa on yksi tuntematon, voit asettaa tehtävän: ratkaise epäyhtälö. Epäyhtälöiden ratkaisuongelmia käytännössä asetetaan ja ratkaistaan ​​yhtä usein kuin yhtälöiden ratkaisuongelmia. Esimerkiksi monet taloudelliset ongelmat liittyvät järjestelmien tutkimiseen ja ratkaisemiseen lineaariset epätasa-arvot. Monilla matematiikan aloilla epäyhtälöt ovat yleisempiä kuin yhtälöt.

Jotkut eriarvoisuudet toimivat ainoana apu, jonka avulla voit todistaa tai kumota tietyn kohteen, esimerkiksi yhtälön juuren, olemassaolon.

Numeeriset epäyhtälöt

Voitko verrata kokonaislukuja? desimaalit. Tiedätkö vertailun säännöt? tavallisia murtolukuja samoilla nimittäjillä mutta eri osoittajilla; samoilla osoittajilla, mutta eri nimittäjiä. Täällä opit vertaamaan mitä tahansa kahta numeroa etsimällä niiden eron etumerkki.

Lukujen vertailua käytetään laajasti käytännössä. Esimerkiksi taloustieteilijä vertaa suunniteltuja indikaattoreita todellisiin, lääkäri potilaan lämpötilaa normaaliin, sorvaja koneistetun kappaleen mittoja standardiin. Kaikissa tällaisissa tapauksissa verrataan joitain lukuja. Lukujen vertailun seurauksena syntyy numeerisia epäyhtälöitä.

Määritelmä. Numero a lisää numeroa b, jos ero a-b positiivinen. Numero a pienempi numero b, jos ero a-b on negatiivinen.

Jos a on suurempi kuin b, he kirjoittavat: a > b; jos a on pienempi kuin b, niin he kirjoittavat: a Siten epäyhtälö a > b tarkoittaa, että ero a - b on positiivinen, ts. a - b > 0. Epäyhtälö a Joillekin kahdelle luvulle a ja b, seuraavista kolmesta suhteesta a > b, a = b, a Lukujen a ja b vertaaminen tarkoittaa selvittää, mikä merkistä >, = tai Lause. Jos a > b ja b > c, niin a > c.

Lause. Jos lisäät saman luvun epäyhtälön molemmille puolille, eriarvoisuuden etumerkki ei muutu.
Seuraus. Mikä tahansa termi voidaan siirtää epätasa-arvon yhdestä osasta toiseen muuttamalla tämän termin etumerkkiä päinvastaiseksi.

Lause. Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla positiivisella luvulla, niin epäyhtälön etumerkki ei muutu. Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön etumerkki muuttuu päinvastaiseksi.
Seuraus. Jos epäyhtälön molemmat puolet jaetaan samalla positiivisella luvulla, niin eriarvoisuuden etumerkki ei muutu. Jos epäyhtälön molemmat puolet jaetaan samalla negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön etumerkki muuttuu päinvastaiseksi.

Tiedät, että numeerisia yhtäläisyyksiä voidaan lisätä ja kertoa termi kerrallaan. Seuraavaksi opit suorittamaan samanlaisia ​​toimia eriarvoisuuksien kanssa. Käytännössä käytetään usein kykyä lisätä ja kertoa epäyhtälöitä termi kerrallaan. Nämä toimet auttavat ratkaisemaan ilmaisujen merkityksien arviointiin ja vertailuun liittyviä ongelmia.

Erilaisia ​​ongelmia ratkaistaessa on usein tarpeen lisätä tai kertoa epäyhtälöiden vasen ja oikea puoli termi kerrallaan. Samaan aikaan joskus sanotaan, että eriarvoisuudet lisääntyvät tai moninkertaistuvat. Esimerkiksi, jos turisti käveli yli 20 km ensimmäisenä päivänä ja yli 25 km toisena päivänä, voimme sanoa, että hän käveli kahdessa päivässä yli 45 km. Vastaavasti, jos suorakulmion pituus on alle 13 cm ja leveys alle 5 cm, voimme sanoa, että tämän suorakulmion pinta-ala on alle 65 cm2.

Näitä esimerkkejä tarkasteltaessa käytettiin seuraavia: lauseet epäyhtälöiden yhteen- ja kertolaskuista:

Lause. Kun lasketaan yhteen samanmerkkisiä epäyhtälöitä, saadaan samanmerkkinen epäyhtälö: jos a > b ja c > d, niin a + c > b + d.

Lause. Kun kerrotaan saman merkin epäyhtälöt, joiden vasen ja oikea puoli ovat positiivisia, saadaan samanmerkkinen epäyhtälö: jos a > b, c > d ja a, b, c, d ovat positiivisia lukuja, niin ac > bd.

Epäyhtälöt merkillä > (suurempi kuin) ja 1/2, 3/4 b, c Yhdessä tiukan eriarvoisuuden merkkien kanssa > ja Samalla tavalla epäyhtälö \(a \geq b \) tarkoittaa, että luku a on suurempi tai yhtä suuri kuin b, eli .eikä pienempi b.

Epäyhtälöjä, jotka sisältävät merkin \(\geq \) tai merkin \(\leq \), kutsutaan ei-tiukiksi. Esimerkiksi \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) eivät ole tiukkoja epäyhtälöitä.

Kaikki tiukkojen epäyhtälöiden ominaisuudet pätevät myös ei-tiukille epäyhtälöille. Lisäksi, jos tiukkojen epäyhtälöiden kohdalla merkkejä > pidettiin vastakkaisina ja tiedät, että useiden sovellettujen ongelmien ratkaisemiseksi sinun on luotava matemaattinen malli yhtälön tai yhtälöjärjestelmän muodossa. Seuraavaksi saat sen selville matemaattisia malleja Monien ongelmien ratkaisemiseksi on epäyhtälöt tuntemattomien kanssa. Epäyhtälön ratkaisemisen käsite esitellään ja miten testataan, onko annettu luku ratkaisu tiettyyn epäyhtälöön.

Muotojen epätasa-arvo
\(ax > b, \neliakseli, jossa a ja b on annettu numeroita ja x on tuntematon, kutsutaan lineaariset epäyhtälöt yhden tuntemattoman kanssa.

Määritelmä. Ratkaisu epäyhtälölle yhden tuntemattoman kanssa on tuntemattoman arvo, jossa tästä epäyhtälöstä tulee todellinen numeerinen epäyhtälö. Epätasa-arvon ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä tai sen toteamista, että niitä ei ole.

Ratkaisit yhtälöt vähentämällä ne yksinkertaisimpiin yhtälöihin. Vastaavasti epäyhtälöitä ratkaistaessa niitä yritetään pelkistää ominaisuuksien avulla yksinkertaisten epäyhtälöiden muotoon.

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaiseminen yhdellä muuttujalla

Muotojen epätasa-arvo
\(ax^2+bx+c >0 \) ja \(ax^2+bx+c missä x on muuttuja, a, b ja c ovat joitain lukuja ja \(a \neq 0 \), ns. toisen asteen epäyhtälöt yhden muuttujan kanssa.

Ratkaisu eriarvoisuuteen
\(ax^2+bx+c >0 \) tai \(ax^2+bx+c) voidaan katsoa etsintäväleiksi, joissa funktio \(y= ax^2+bx+c \) saa positiivisen tai negatiivisen arvot Tätä varten riittää analysoida kuinka funktion \(y= ax^2+bx+c\) kuvaaja sijaitsee koordinaattitasossa: mihin paraabelin haarat on suunnattu - ylös vai alas, onko paraabeli leikkaa x-akselin ja jos leikkaa, niin missä pisteissä.

Algoritmi toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla:
1) selvitä neliötrinomin \(ax^2+bx+c\) diskriminantti ja selvitä onko trinomilla juuria;
2) jos trinomilla on juuret, merkitse ne x-akselille ja piirrä merkittyjen pisteiden kautta kaavamainen paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin, kun arvo on > 0, tai alaspäin, jos arvo on 0, tai alas, jos on 3) Etsi x-akselilta intervallit, joiden pisteparaabelit sijaitsevat x-akselin yläpuolella (jos ne ratkaisevat epäyhtälön \(ax^2+bx+c >0\)) tai x-akselin alapuolella (jos ne ratkaisevat eriarvoisuutta
\(ax^2+bx+c Epäyhtälöiden ratkaiseminen intervallimenetelmällä

Harkitse toimintoa
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Tämän funktion toimialue on kaikkien numeroiden joukko. Funktion nollat ​​ovat luvut -2, 3, 5. Ne jakavat funktion määritelmäalueen väliin \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) ja \( (5; +\infty)\)

Selvitetään, mitkä tämän funktion merkit ovat kussakin ilmoitetuissa intervalleissa.

Lauseke (x + 2)(x - 3)(x - 5) on kolmen tekijän tulos. Kunkin näiden tekijöiden etumerkki tarkasteltavana olevissa aikaväleissä on osoitettu taulukossa:

Yleensä annetaan funktio kaavalla
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
missä x on muuttuja ja x 1, x 2, ..., x n ovat lukuja, jotka eivät ole keskenään yhtä suuria. Numerot x 1 , x 2 , ..., x n ovat funktion nollia. Jokaisessa välissä, johon määritelmäalue on jaettu funktion nollalla, funktion etumerkki säilyy, ja nollan läpi kulkiessaan sen etumerkki muuttuu.

Tätä ominaisuutta käytetään muodon epäyhtälöiden ratkaisemiseen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) missä x 1, x 2, ..., x n ovat keskenään eriarvoisia lukuja

Harkittu menetelmä epäyhtälöiden ratkaisemista kutsutaan intervallimenetelmäksi.

Otetaan esimerkkejä epäyhtälöiden ratkaisemisesta intervallimenetelmällä.

Ratkaise epätasa-arvo:

\(x(0.5-x)(x+4) On selvää, että funktion f(x) = x(0.5-x)(x+4) nollat ​​ovat pisteitä \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Piirrämme funktion nollat ​​numeroakselille ja laskemme kunkin intervallin etumerkin:

Valitsemme ne välit, joilla funktio on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla, ja kirjoitamme vastauksen muistiin.

Vastaus:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \oikea) \)

Mitä sinun tulee tietää epätasa-arvokuvakkeista? Epätasa-arvo ikonin kanssa lisää (> ), tai Vähemmän (< ) kutsutaan tiukka. Ikonien kanssa enemmän tai yhtä paljon (≥ ), pienempi tai yhtä suuri (≤ ) kutsutaan ei tiukka. Kuvake ei tasa-arvoinen (≠ ) erottuu, mutta sinun on myös ratkaistava esimerkkejä tällä kuvakkeella koko ajan. Ja me päätämme.)

Itse kuvakkeella ei ole juurikaan vaikutusta ratkaisuprosessiin. Mutta päätöksen lopussa, valittaessa lopullista vastausta, kuvakkeen merkitys näkyy täydessä voimassa! Tämän näemme alla esimerkeissä. Siellä on vitsejä...

Epätasa-arvoa, kuten tasa-arvoa, on olemassa uskollinen ja uskoton. Täällä kaikki on yksinkertaista, ei temppuja. Sanotaanko 5 > 2 on todellinen epätasa-arvo. 5 < 2 - väärin.

Tämä valmistelu toimii eriarvoisuuksissa Millainen tahansa ja yksinkertainen kauhun pisteeseen asti.) Sinun tarvitsee vain suorittaa kaksi (vain kaksi!) perustoimintoa oikein. Nämä toimet ovat tuttuja kaikille. Mutta tyypillisesti virheet näissä toimissa ovat suurin virhe eriarvoisuuksien ratkaisemisessa, kyllä... Siksi nämä toimet on toistettava. Näitä toimia kutsutaan seuraavasti:

Epätasa-arvojen identtiset muunnokset.

Epäyhtälöiden identtiset muunnokset ovat hyvin samanlaisia ​​kuin identtiset yhtälöiden muunnokset. Itse asiassa tämä on suurin ongelma. Erot menevät yli pään ja... tässä olet.) Siksi korostan erityisesti näitä eroja. Joten, ensimmäinen identtinen epätasa-arvomuunnos:

1. Sama luku tai lauseke voidaan lisätä (vähentää) epäyhtälön molemmille puolille. Minkä tahansa. Tämä ei muuta eriarvoisuusmerkkiä.

Käytännössä tätä sääntöä käytetään termien siirtona epäyhtälön vasemmalta puolelta oikealle (ja päinvastoin) etumerkin muutoksella. Termin merkin muutoksella, ei epätasa-arvolla! Yksi-yhteen-sääntö on sama kuin yhtälöiden sääntö. Mutta seuraavat identtiset muunnokset epäyhtälöissä eroavat merkittävästi yhtälöiden muutoksista. Joten korostan ne punaisella:

2. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa (jakaa) samalla asiallapositiivinenmäärä. Mille tahansapositiivinen Ei muutu.

3. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa (jakaa) samalla asiallanegatiivinen määrä. Mille tahansanegatiivinenmäärä. Epätasa-arvomerkki tästämuuttuu päinvastaiseksi.

Muistat (toivottavasti...), että yhtälö voidaan kertoa/jakaa millä tahansa. Ja mille tahansa numerolle ja lausekkeelle, jossa on X. Kunpa se ei olisi nolla. Tämä ei tee hänestä, yhtälöstä, kuumaa eikä kylmää.) Se ei muutu. Mutta eriarvoisuudet ovat herkempiä kerto-/jakolaskulle.

Selkeä esimerkki pitkästä muistista. Kirjoitetaan epätasa-arvo kyseenalainen:

5 > 2

Kerro molemmat puolet +3, saamme:

15 > 6

Onko vastalauseita? Ei ole vastalauseita.) Ja jos kerromme alkuperäisen epäyhtälön molemmat puolet -3, saamme:

15 > -6

Ja tämä on suora valhe.) Täysi valhe! Kansan huijaus! Mutta heti kun vaihdat epätasa-arvon merkin päinvastaiseksi, kaikki loksahtaa paikoilleen:

15 < -6

En vain vanno valheista ja petoksesta.) "Unohdin vaihtaa yhtäläisyysmerkin..."- Tämä Koti virhe epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Tämä triviaali ja yksinkertainen sääntö on satuttanut niin monia ihmisiä! Minkä he unohtivat...) Joten vannon. Ehkä muistan...)

Erityisen tarkkaavaiset ihmiset huomaavat, että eriarvoisuutta ei voi kertoa lausekkeella, jossa on X. Kunnioitus niille, jotka ovat tarkkaavaisia!) Miksi ei? Vastaus on yksinkertainen. Emme tunne tämän lausekkeen merkkiä X:llä. Se voi olla positiivinen, negatiivinen... Siksi emme tiedä mikä epäyhtälömerkki laitetaan kertolaskujen jälkeen. Pitäisikö minun vaihtaa vai ei? Tuntematon. Tietenkin tämä rajoitus (kielto kertoa/jakaa epäyhtälö lausekkeella x:llä) voidaan kiertää. Jos todella tarvitset sitä. Mutta tämä on muiden oppituntien aihe.

Siinä kaikki identtiset eriarvoisuuksien muunnokset. Muistutan vielä kerran, että he työskentelevät minkä tahansa epätasa-arvoa Nyt voit siirtyä tiettyihin tyyppeihin.

Lineaariset epäyhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Lineaariset epäyhtälöt ovat epäyhtälöitä, joissa x on ensimmäisessä potenssissa eikä x:llä ole jakoa. Tyyppi:

x+3 > 5x-5

Miten tällaiset eriarvoisuudet ratkaistaan? Ne on erittäin helppo ratkaista! Nimittäin: avulla vähennämme hämmennyttävintä lineaarista epätasa-arvoa suoraan vastaukseen. Se on ratkaisu. Korostan päätöksen pääkohdat. Tyhmien virheiden välttämiseksi.)

Ratkaistaan ​​tämä epätasa-arvo:

x+3 > 5x-5

Ratkaisemme sen täsmälleen samalla tavalla kuin lineaarisen yhtälön. Ainoalla erolla:

Seuraamme tarkasti eriarvoisuusmerkkiä!

Ensimmäinen vaihe on yleisin. X:illä - vasemmalla, ilman X:llä - oikealla... Tämä on ensimmäinen identtinen muunnos, yksinkertainen ja vaivaton.) Älä vain unohda muuttaa siirrettyjen termien etumerkkejä.

Epätasa-arvomerkki säilyy:

x-5x > -5-3

Tässä samanlaisia.

Epätasa-arvomerkki säilyy:

4x > -8

Jäljelle jää viimeinen identtinen muunnos: jaa molemmat puolet -4:llä.

Jaettuna negatiivinen määrä.

Epätasa-arvomerkki muuttuu päinvastaiseksi:

X < 2

Tämä on vastaus.

Näin kaikki lineaariset epäyhtälöt ratkaistaan.

Huomio! Piste 2 on piirretty valkoiseksi, ts. maalaamaton. Tyhjä sisältä. Tämä tarkoittaa, että hän ei ole mukana vastauksessa! Piirsin hänet niin terveenä tarkoituksella. Tällaista pistettä (tyhjä, ei terve!)) matematiikassa kutsutaan puhjennut kohta.

Loput numerot akselilla voidaan merkitä, mutta ei välttämättömiä. Vieraat luvut, jotka eivät liity meidän eriarvoisuuteen, voivat olla hämmentäviä, kyllä... Pitää vain muistaa, että luvut kasvavat nuolen suuntaan, ts. numerot 3, 4, 5 jne. ovat oikealle ovat kaksija ja luvut ovat 1, 0, -1 jne. - vasemmalle.

Epätasa-arvo x < 2 - tiukka. X on ehdottomasti pienempi kuin kaksi. Jos olet epävarma, tarkistaminen on helppoa. Korvaamme kyseenalaisen luvun epätasa-arvoon ja ajattelemme: "Kaksi on vähemmän kuin kaksi? Ei tietenkään!" Tarkalleen. Epätasa-arvo 2 < 2 väärä. Kaksi vastineeksi ei ole sopivaa.

Onko yksi kunnossa? Varmasti. Vähemmän... Ja nolla on hyvä, ja -17 ja 0,34... Kyllä, kaikki luvut, jotka ovat pienempiä kuin kaksi, ovat hyviä! Ja jopa 1,9999... Ainakin vähän, mutta vähemmän!

Merkitään siis kaikki nämä luvut numeroakselille. Miten? Täällä on vaihtoehtoja. Vaihtoehto yksi on varjostus. Siirrämme hiiren kuvan päälle (tai kosketamme kuvaa tabletilla) ja katsomme, että kaikkien ehdon x täyttävien x:ien alue on varjostettu < 2 . Siinä kaikki.

Tarkastellaan toista vaihtoehtoa toisen esimerkin avulla:

X ≥ -0,5

Piirrä akseli ja merkitse luku -0,5. Kuten tämä:

Huomaatko eron?) No, kyllä, on vaikea olla huomaamatta... Tämä piste on musta! Maalattu päälle. Tämä tarkoittaa -0,5 sisältyy vastaukseen. Tässä muuten vahvistus voi hämmentää jotakuta. Korvataan:

-0,5 ≥ -0,5

Kuinka niin? -0,5 ei ole enempää kuin -0,5! Ja siellä on lisää kuvakkeita...

Se on okei. Heikossa epäyhtälössä kaikki, mikä sopii kuvakkeeseen, sopii. JA on yhtä suuri hyvä ja lisää hyvä. Siksi -0,5 sisältyy vastaukseen.

Joten merkitsimme akselille -0,5; jää merkitä kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin -0,5. Tällä kertaa merkitsen sopivien x-arvojen alueen keula-(sanasta kaari), varjostuksen sijaan. Viemme osoittimen piirustuksen päälle ja näemme tämän jousen.

Varjostuksen ja käsivarsien välillä ei ole erityistä eroa. Tee kuten opettaja sanoo. Jos opettajaa ei ole, piirrä kaaria. Monimutkaisemmissa tehtävissä varjostus on vähemmän ilmeinen. Voit hämmentyä.

Näin lineaariset epäyhtälöt piirretään akselille. Siirrytään seuraavaan epätasa-arvoon.

Vastauksen kirjoittaminen eriarvoisuuksiin.

Yhtälöt olivat hyviä.) Löysimme x:n ja kirjoitimme vastauksen muistiin, esimerkiksi: x=3. On olemassa kaksi tapaa kirjoittaa vastauksia eriarvoisuuksiin. Yksi on lopullisen epätasa-arvon muodossa. Sopii yksinkertaisiin tapauksiin. Esimerkiksi:

X< 2.

Tämä on täydellinen vastaus.

Joskus sinun täytyy kirjoittaa sama asia muistiin, mutta eri muodossa, numerovälein. Sitten tallenne alkaa näyttää hyvin tieteelliseltä):

x ∈ (-∞; 2)

-kuvakkeen alla ∈ sana on piilossa "kuuluu".

Kirjoitus kuuluu näin: x kuuluu väliin miinus äärettömästä kahteen ei sisällä. Ihan loogista. X voi olla mikä tahansa luku kaikista mahdollisista luvuista miinus äärettömästä kahteen. Kaksois-X:ää ei voi olla, minkä sana kertoo meille "ei sisällä".

Ja missä vastauksessa se on selvää "ei sisällä"? Tämä tosiasia mainitaan vastauksessa pyöristää suluissa heti kahden jälkeen. Jos nämä kaksi olisivat mukana, kiinnike olisi neliö. Niinkuin tämä: ]. Seuraava esimerkki käyttää tällaista sulkua.

Kirjoita vastaus muistiin: x ≥ -0,5 väliajoin:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lukee: x kuuluu väliin miinus 0,5, mukaan lukien, plus äärettömyyteen.

Infinityä ei voi koskaan kytkeä päälle. Se ei ole numero, se on symboli. Siksi sellaisissa merkinnöissä ääretön on aina sulujen vieressä.

Tämä tallennusmuoto on kätevä monimutkaisiin vastauksiin, joissa on useita välilyöntejä. Mutta - vain lopullisia vastauksia varten. Välituloksissa, joissa odotetaan lisäratkaisua, on parempi käyttää tavallista muotoa, muodossa yksinkertainen epätasa-arvo. Käsittelemme tätä asiaan liittyvissä aiheissa.

Suosittuja tehtäviä, joissa on eriarvoisuutta.

Itse lineaariset epäyhtälöt ovat yksinkertaisia. Siksi tehtävät muuttuvat usein vaikeammiksi. Oli siis pakko ajatella. Tämä ei ole kovin miellyttävää, jos et ole tottunut siihen.) Mutta se on hyödyllistä. Näytän esimerkkejä tällaisista tehtävistä. Sinun ei tarvitse opetella niitä, se on tarpeetonta. Ja jotta ei pelätä kun tapaat tällaisia ​​esimerkkejä. Ajattele vain vähän - ja se on yksinkertaista!)

1. Etsi mitkä tahansa kaksi ratkaisua epäyhtälölle 3x - 3< 0

Jos et ole kovin selvää, mitä tehdä, muista matematiikan pääsääntö:

Jos et tiedä mitä tarvitset, tee mitä voit!)

X < 1

Ja mitä? Ei mitään erityistä. Mitä he kysyvät meiltä? Meitä pyydetään löytämään kaksi tiettyä lukua, jotka ovat ratkaisu eriarvoisuuteen. Nuo. sopii vastaukseen. Kaksi minkä tahansa numeroita. Itse asiassa tämä on hämmentävää.) Pari 0 ja 0,5 ovat sopivia. Pari -3 ja -8. Näitä pareja on ääretön määrä! Kumpi vastaus on oikea?!

Vastaan: kaikki! Mikä tahansa lukupari, joista jokainen on pienempi kuin yksi, tulee olemaan oikea vastaus. Kirjoita kumman haluat. Siirrytään eteenpäin.

2. Ratkaise epäyhtälö:

4x-3 ≠ 0

Tehtävät tässä muodossa ovat harvinaisia. Mutta apuepäyhtälöinä, kun löydetään esimerkiksi ODZ tai kun löydetään funktion määritelmäalue, niitä esiintyy koko ajan. Tällainen lineaarinen epäyhtälö voidaan ratkaista tavallisena lineaarisena yhtälönä. Vain kaikkialla paitsi "="-merkkiä ( on yhtä suuri) laita kyltti " ≠ " (ei tasa-arvoinen). Näin lähestyt vastausta epätasa-arvomerkillä:

X ≠ 0,75

Enemmässä monimutkaisia ​​esimerkkejä, on parempi tehdä asiat toisin. Tehkää tasa-arvosta eriarvoisuutta. Kuten tämä:

4x-3 = 0

Ratkaise se rauhallisesti opetuksen mukaan ja saat vastauksen:

x = 0,75

Tärkeintä on aivan lopussa, kun kirjoitat lopullista vastausta, älä unohda, että löysimme x, joka antaa tasa-arvo. Ja me tarvitsemme - eriarvoisuutta. Siksi emme todellakaan tarvitse tätä X.) Ja meidän on kirjoitettava se ylös oikealla symbolilla:

X ≠ 0,75

Tämä lähestymistapa johtaa vähemmän virheisiin. Ne, jotka ratkaisevat yhtälöitä automaattisesti. Ja niille, jotka eivät ratkaise yhtälöitä, epäyhtälöistä ei itse asiassa ole mitään hyötyä...) Toinen esimerkki suositusta tehtävästä:

3. Etsi epäyhtälön pienin kokonaislukuratkaisu:

3 (x - 1) < 5x + 9

Ensin yksinkertaisesti ratkaisemme eriarvoisuuden. Avaamme kiinnikkeet, siirrämme niitä, tuomme samanlaisia... Saamme:

X > - 6

Eikös se mennyt niin!? Seurasitko merkkejä!? Ja jäsenten merkkien takana ja eriarvoisuuden merkin takana...

Mietitäänpä uudestaan. Meidän on löydettävä tietty luku, joka vastaa sekä vastausta että ehtoa "pienin kokonaisluku". Jos se ei satu heti, voit ottaa minkä tahansa numeron ja selvittää sen. Kaksi yli miinus kuusi? Varmasti! Onko sopivaa pienempi numero? Tietysti. Esimerkiksi nolla on suurempi kuin -6. Ja vielä vähemmän? Tarvitsemme pienimmän mahdollisen asian! Miinus kolme on enemmän kuin miinus kuusi! Voit jo ottaa mallin kiinni ja lopettaa typerän numeroiden läpikäymisen, eikö?)

Otetaan luku, joka on lähempänä arvoa -6. Esimerkiksi -5. Vastaus on täytetty, -5 > - 6. Onko mahdollista löytää toinen luku, joka on pienempi kuin -5 mutta suurempi kuin -6? Voit esimerkiksi -5,5... Lopeta! Meille on kerrottu koko ratkaisu! Ei rullaa -5,5! Entä miinus kuusi? Ööh! Epäyhtälö on tiukka, miinus 6 ei ole millään tavalla pienempi kuin miinus 6!

Siksi oikea vastaus on -5.

Toivottavasti arvovalikoimalla yleinen ratkaisu kaikki kunnossa. Toinen esimerkki:

4. Ratkaise epäyhtälö:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Tätä ilmaisua kutsutaan kolminkertainen eriarvoisuus. Tarkkaan ottaen tämä on lyhennetty muoto eriarvoisuusjärjestelmästä. Mutta sellaisia ​​kolminkertaisia ​​epätasa-arvoja on vielä ratkaistava joissakin tehtävissä... Se voidaan ratkaista ilman järjestelmiä. Samojen identtisten muunnosten mukaan.

Meidän on yksinkertaistettava, tuotava tämä epätasa-arvo puhtaaseen X:ään. Mutta... Mitä pitäisi siirtää minne?! Tässä on aika muistaa, että liikkuminen vasemmalle ja oikealle on lyhyt muoto ensimmäinen identiteetin muutos.

A täysi lomake kuulostaa tältä: Mikä tahansa luku tai lauseke voidaan lisätä/vähentää yhtälön molemmille puolille (epäyhtälö).

Tässä on kolme osaa. Joten käytämme identtisiä muunnoksia kaikkiin kolmeen osaan!

Joten päästään eroon epätasa-arvon keskiosassa olevasta. Vähennetään yksi koko keskiosasta. Jotta epäyhtälö ei muutu, vähennämme yhden jäljellä olevista kahdesta osasta. Kuten tämä:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Se on parempi, eikö?) Jäljelle jää vain jakaa kaikki kolme osaa kolmeen:

2 < X < 4

Siinä kaikki. Tämä on vastaus. X voi olla mikä tahansa luku kahdesta (ei sisällä) neljään (ei sisällä). Tämä vastaus kirjoitetaan myös väliajoin; tällaiset merkinnät ovat toisen asteen epäyhtälöissä. Siellä ne ovat yleisimmät.

Oppitunnin lopussa toistan tärkeimmän asian. Onnistuminen lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemisessa riippuu kyvystä muuttaa ja yksinkertaistaa lineaarisia yhtälöitä. Jos samaan aikaan tarkkaile epätasa-arvoa, ei tule ongelmia. Sitä minä toivon sinulle. Ei ongelmia.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Matemaattisen epätasa-arvon käsite syntyi muinaisina aikoina. Tämä tapahtui, kun primitiivisen ihmisen täytyi verrata niiden määrää ja kokoa laskeessaan ja käsitellessään erilaisia ​​esineitä. Muinaisista ajoista lähtien Archimedes, Euclid ja muut kuuluisat tiedemiehet: matemaatikot, tähtitieteilijät, suunnittelijat ja filosofit ovat käyttäneet eriarvoisuutta perusteluissaan.

Mutta he yleensä käyttivät verbaalista terminologiaa teoksissaan. Ensimmäistä kertaa Englannissa keksittiin ja otettiin käyttöön nykyaikaiset merkit, jotka osoittavat käsitteitä "enemmän" ja "vähemmän" siinä muodossa, jossa jokainen koululainen tuntee ne nykyään. Matemaatikko Thomas Harriot tarjosi tällaisen palvelun jälkeläisilleen. Ja tämä tapahtui noin neljä vuosisataa sitten.

Eriarvoisuuksia tunnetaan monenlaisia. Niiden joukossa on yksinkertaisia, jotka sisältävät yhden, kaksi tai useampia muuttujia, neliö-, murto- ja kompleksisia suhteita ja jopa niitä, joita edustaa lausekejärjestelmä. Paras tapa ymmärtää, miten eriarvoisuudet ratkaistaan, on käyttää erilaisia ​​esimerkkejä.

Älä missaa junaa

Aluksi kuvitellaan, että maaseudun asukas ryntää rautatieasemalle, joka sijaitsee 20 km päässä hänen kylästään. Jotta hän ei myöhästy klo 11 lähtevästä junasta, hänen on poistuttava talosta ajoissa. Mihin aikaan tämä pitäisi tehdä, jos sen nopeus on 5 km/h? Ratkaisu tähän käytännön ongelma tarkoittaa lausekkeen ehtojen täyttymistä: 5 (11 - X) ≥ 20, missä X on lähtöaika.

Tämä on ymmärrettävää, sillä kyläläisen etäisyys asemalle on yhtä suuri kuin kulkunopeus kerrottuna tuntimäärällä tiellä. Ihminen voi saapua ajoissa, mutta hän ei voi myöhästyä. Kun osaat ratkaista eriarvoisuudet ja soveltaa taitojasi käytännössä, saat tulokseksi X ≤ 7, mikä on vastaus. Tämä tarkoittaa, että kyläläisen tulee mennä rautatieasemalle kello seitsemän aamulla tai vähän aikaisemmin.

Numeeriset intervallit koordinaattiviivalla

Selvitetään nyt, kuinka kuvatut suhteet kartoitetaan Yllä saatu epäyhtälö ei ole tiukka. Se tarkoittaa, että muuttuja voi ottaa arvoja alle 7 tai se voi olla yhtä suuri kuin tämä luku. Annetaan muita esimerkkejä. Tehdäksesi tämän, harkitse huolellisesti alla esitettyjä neljää kuvaa.

Ensimmäisessä näet graafinen kuva rako [-7; 7]. Se koostuu numerojoukosta, jotka on sijoitettu koordinaattiviivalle ja jotka sijaitsevat välillä -7 ja 7, mukaan lukien rajat. Tässä tapauksessa kaavion pisteet on kuvattu täytetyinä ympyröinä ja väli tallennetaan käyttämällä

Toinen kuva on graafinen esitys tiukasta epätasa-arvosta. Tässä tapauksessa rajanumerot -7 ja 7, jotka näkyvät rei'itetyillä (ei täytettyillä) pisteillä, eivät sisälly määritettyyn joukkoon. Ja itse väli kirjoitetaan sulkeisiin seuraavasti: (-7; 7).

Eli kun on selvitetty, kuinka tämän tyyppiset epäyhtälöt ratkaistaan ​​ja saatu samanlainen vastaus, voimme päätellä, että se koostuu luvuista, jotka ovat kyseisten rajojen välissä, paitsi -7 ja 7. Seuraavat kaksi tapausta on arvioitava vastaavalla tavalla. Kolmannessa kuvassa on kuvia intervalleista (-∞; -7] U)