Esineen kehityksen dynamiikkaa, sen elementtien ja eri tilojen suhteiden sisäistä olemusta on mahdollista jäljittää suunnitteluprosessissa vain dynaamisen analogian periaatetta käyttävien mallien avulla, ts. matemaattisia malleja.

Matemaattinen malli on matemaattisten suhteiden järjestelmä, joka kuvaa tutkittavaa prosessia tai ilmiötä. Matemaattisen mallin laatimiseen voit käyttää mitä tahansa matemaattista keinoa - joukkoteoriaa, matemaattista logiikkaa, differentiaali- tai integraaliyhtälöiden kieltä. Matemaattisen mallin laatimisprosessia kutsutaan matemaattinen mallinnus. Muiden mallien tapaan matemaattinen malli esittää tehtävän yksinkertaistetussa muodossa ja kuvaa vain ne ominaisuudet ja kuviot, jotka ovat tärkeimmät tietylle objektille tai prosessille. Matemaattinen malli mahdollistaa monenvälisen kvantitatiivisen analyysin. Alkutietoja, kriteerejä, rajoituksia muuttamalla on joka kerta mahdollista saada optimaalinen ratkaisu annetuille olosuhteille ja määrittää haun jatkosuunta.

Matemaattisten mallien luominen edellyttää niiden kehittäjiltä muodollisten loogisten menetelmien tuntemuksen lisäksi tutkittavan kohteen perusteellista analyysiä tärkeimpien ideoiden ja sääntöjen tiukasti muotoilemiseksi sekä riittävän määrän luotettavan fakta-, tilasto- ja normatiivisen tiedon tunnistamiseksi.

On huomattava, että kaikki tällä hetkellä käytetyt matemaattiset mallit viittaavat ohjeellinen. Preskriptiivisten mallien kehittämisen tavoitteena on osoittaa ratkaisun etsinnän suunta ja kehittämisen tavoite kuvaava mallit - heijastus ihmisen ajattelun todellisista prosesseista.

On melko laajalle levinnyt näkemys, että matematiikan avulla on mahdollista saada vain vähän numeerista tietoa tutkittavasta kohteesta tai prosessista. ”Tietenkin monet matemaattiset aineet tähtäävät lopullisen numeerisen tuloksen saamiseen. Mutta matemaattisten menetelmien pelkistäminen vain luvun saamisen ongelmaksi tarkoittaa matematiikan loputonta köyhdyttämistä, sen tehokkaan aseen mahdollisuutta köyhdyttää, joka on tutkijoiden käsissä nykyään ...

Tietyllä kielellä kirjoitettu matemaattinen malli (esimerkiksi differentiaaliyhtälöt) heijastaa todellisten fyysisten prosessien tiettyjä ominaisuuksia. Matemaattisten mallien analyysin tuloksena saamme ensinnäkin laadullisia ideoita tutkittavien prosessien ominaisuuksista, muodostamme malleja, jotka määrittävät peräkkäisten tilojen dynaamisen sarjan, saamme mahdollisuuden ennustaa prosessin kulkua ja määrittää sen kvantitatiiviset ominaisuudet.

Matemaattisia malleja käytetään monissa tunnetuissa mallinnusmenetelmissä. Niitä ovat kohteen staattista ja dynaamista tilaa kuvaavien mallien kehittäminen, optimointimallit.

Esimerkkinä kohteen staattista ja dynaamista tilaa kuvaavista matemaattisista malleista voivat olla erilaiset perinteisten rakennelaskelmien menetelmät. Laskentaprosessi, joka esitetään matemaattisten operaatioiden sarjana (algoritmi), antaa mahdollisuuden sanoa, että matemaattinen malli on koottu tietyn mallin laskemiseksi.

SISÄÄN optimointi Malleissa on kolme elementtiä:

Hyväksytyn laatukriteerin mukainen tavoitetoiminto;

Säädettävät parametrit;

Asetetut rajoitukset.

Kaikki nämä elementit on kuvattava matemaattisesti yhtälöiden, loogisten ehtojen jne. muodossa. Optimointiongelman ratkaisu on prosessi, jossa löydetään tavoitefunktion pienin (maksimi) arvo määritettyjen rajoitusten mukaisesti. Ratkaisutulos katsotaan optimaaliseksi, jos tavoitefunktio saavuttaa ääriarvonsa.

Esimerkki optimointimallista on matemaattinen kuvaus "sidoksen pituus" -kriteeristä teollisuusrakennusten vaihtoehtosuunnittelumenetelmässä.

Tavoitefunktio heijastaa kaikkien toiminnallisten suhteiden painotettua kokonaispituutta, jonka pitäisi olla minimissä:

missä on elementin painoarvo ;

– elementtien välisen yhteyden pituus;

on sijoitettujen elementtien kokonaismäärä.

Koska tilojen sijoitettujen elementtien pinta-alat ovat kaikissa suunnitteluratkaisun muunnelmissa yhtä suuret, vaihtoehdot eroavat toisistaan ​​vain elementtien eri etäisyyksillä ja niiden sijainnilla toisiinsa nähden. Siksi ohjatut parametrit ovat tässä tapauksessa pohjapiirroksiin sijoitettujen elementtien koordinaatit.

Elementtien sijainnille (ennalta määrätylle suunnitelman paikalle, ulkokehälle, päällekkäin jne.) ja linkkien pituudelle asetetut rajoitukset (elementtien ja elementtien välisten linkkien pituudet on asetettu tiukasti, arvojen minimi- tai enimmäisrajat asetetaan, arvojen muutoksen rajat asetetaan) kirjoitetaan muodollisesti.

Varianttia pidetään optimaalisena (tämän kriteerin mukaan), jos tälle muunnelmalle lasketun tavoitefunktion arvo on minimaalinen.

Erilaisia ​​matemaattisia malleja - taloudellinen ja matemaattinen malli- on malli taloudellisten ominaisuuksien ja järjestelmän parametrien välisestä suhteesta.

Esimerkkinä talousmatemaattisista malleista on kustannuskriteerien matemaattinen kuvaus edellä mainitussa teollisuusrakennusten varianttisuunnittelumenetelmässä. Matemaattisten tilastojen menetelmien avulla saadut matemaattiset mallit kuvastavat yksi- ja monikerroksisten teollisuusrakennusten rungon, perustusten, maanrakennustöiden sekä niiden korkeuden, jännevälin ja tukirakenteiden askelman riippuvuutta.

Sen mukaan, miten satunnaistekijöiden vaikutus päätöksentekoon otetaan huomioon, matemaattiset mallit jaetaan deterministisiin ja probabilistisiin. deterministinen malli ei ota huomioon satunnaisten tekijöiden vaikutusta järjestelmän toimintaprosessiin ja perustuu toimintamallien analyyttiseen esitykseen. Todennäköisyys (stokastinen) malli ottaa huomioon satunnaisten tekijöiden vaikutuksen järjestelmän toimintaprosessissa ja perustuu tilastolliseen, ts. massailmiöiden kvantitatiivinen arviointi, jolloin voidaan ottaa huomioon niiden epälineaarisuus, dynamiikka ja eri jakautumislakien kuvaamat satunnaiset häiriöt.

Yllä olevien esimerkkien avulla voidaan sanoa, että "yhteyksien pituus" -kriteeriä kuvaava matemaattinen malli on deterministinen ja "kustannus"-kriteeriryhmää kuvaavat matemaattiset mallit ovat todennäköisyysmalleja.

Kielelliset, semanttiset ja informaatiomallit

Matemaattisilla malleilla on ilmeisiä etuja, koska tehtävän näkökohtien määrällinen arviointi antaa selkeän kuvan tavoitteiden prioriteeteista. On tärkeää, että asiantuntija voi aina perustella päätöksenteon esittämällä asiaankuuluvat numeeriset tiedot. Suunnittelutoiminnan täydellinen matemaattinen kuvaus on kuitenkin mahdotonta, joten suurin osa arkkitehti- ja rakennussuunnittelun alkuvaiheessa ratkaistavista tehtävistä liittyy puolirakenteinen.

Yksi puolistrukturoitujen tehtävien piirteistä on niissä käytettyjen kriteerien sanallinen kuvaus. Luonnollisella kielellä kuvattujen kriteerien käyttöönotto (sellaisia ​​kriteerejä kutsutaan kielellinen), voit käyttää vähemmän monimutkaisia ​​menetelmiä optimaalisten suunnitteluratkaisujen löytämiseen. Tällaisten kriteerien ollessa kyseessä suunnittelija tekee päätöksen tavanomaisen perusteella, ei kyseenalainen tavoiteilmaisuja.

Ongelman kaikkien näkökohtien mielekäs kuvaus tuo toisaalta systematisoinnin sen ratkaisuprosessiin ja toisaalta helpottaa huomattavasti asiantuntijoiden työtä, jotka voivat rationaalisemmin ratkaista ammatilliset ongelmansa ilman matematiikan asianomaisten osien tutkimista. Kuvassa 5.2 annetaan kielellinen malli, joka kuvaa mahdollisuuksia luoda olosuhteet luonnolliselle ilmanvaihdolle erilaisissa leipomon suunnitteluratkaisuissa.

Muita mielekkäiden ongelmakuvausten etuja ovat:

Kyky kuvata kaikki kriteerit, jotka määrittävät suunnitteluratkaisun tehokkuuden. Samalla on tärkeää, että kuvaukseen voidaan tuoda monimutkaisia ​​käsitteitä, ja kvantitatiivisten, mitattavissa olevien tekijöiden ohella laadulliset, ei-mitattavat tulevat asiantuntijan näkökenttään kvantitatiivisten, mitattavissa olevien tekijöiden ohella. Näin ollen päätöksen tekohetkellä käytetään kaikkea subjektiivista ja objektiivista tietoa;

Riisi. 5.2 Kriteerin "tuuletus" sisällön kuvaus kielellisen mallin muodossa

Mahdollisuus arvioida yksiselitteisesti tavoitteen saavutusastetta tämän ominaisuuden vaihtoehdoissa asiantuntijoiden hyväksymän sanamuodon perusteella, mikä varmistaa saatujen tietojen luotettavuuden;

Kyky ottaa huomioon epävarmuutta, joka liittyy epätäydelliseen tietoon kaikista tehtyjen päätösten seurauksista, sekä ennakoivaa tietoa.

Semanttiset mallit kuuluvat myös malleihin, jotka käyttävät luonnollista kieltä kuvaamaan tutkimuskohdetta.

Semanttinen malli- esineestä on sellainen esitys, joka heijastaa objektin eri komponenttien, aspektien ja ominaisuuksien välisen yhteyden astetta (läheisyys). Yhteydellä ei tarkoiteta suhteellista spatiaalista sijaintia, vaan merkityksellistä yhteyttä.

Joten semanttisessa mielessä luonnollisen valaistuksen kertoimen ja läpinäkyvien aitojen valoalueen välinen suhde esitetään lähempänä kuin ikkuna-aukkojen ja niiden vieressä olevien seinän sokeiden osien välinen suhde.

Yhteyssuhteiden joukko näyttää, mitä kukin objektissa erotettu elementti ja objekti kokonaisuutena edustavat. Samanaikaisesti semanttinen malli heijastaa objektin eri näkökohtien yhteysasteen lisäksi myös käsitteiden sisältöä. Luonnollisella kielellä ilmaistut käsitteet toimivat perusmalleina.

Semanttisten mallien rakentaminen perustuu periaatteisiin, joiden mukaan käsitteet ja suhteet eivät muutu koko mallin käyttöajan; yhden käsitteen sisältö ei siirry toiseen; kahden käsitteen välisillä yhteyksillä on tasa-arvoinen ja suuntautumaton vuorovaikutus niiden suhteen.

Jokainen mallin analyysi pyrkii valitsemaan mallin elementtejä, joilla on yhteinen tietty laatu. Tämä antaa perusteita rakentaa algoritmi, joka ottaa huomioon vain suorat yhteydet. Mallin muuntaminen suuntaamattomaksi graafiksi etsii kahden elementin välistä polkua, joka jäljittää liikkeen elementistä toiseen käyttämällä kutakin elementtiä vain kerran. Elementtien järjestystä kutsutaan näiden kahden elementin sekvenssiksi. Jaksot voivat olla eripituisia. Lyhyimpiä näistä kutsutaan elementtisuhteiksi. Kahden elementin sarja on myös olemassa, jos niiden välillä on suora yhteys, mutta tässä tapauksessa yhteyttä ei ole.

Esimerkkinä semanttisesta mallista kuvataan asunnon pohjaratkaisu sekä viestintälinkit. Konsepti on asunnon tilat. Suoralla yhteydellä tarkoitetaan kahden huoneen toiminnallista yhdistämistä esimerkiksi ovella (katso Taulukko 5.1).

Mallin muuntaminen suuntaamattoman graafin muotoon mahdollistaa elementtijonon saamisen (kuva 5.3).

Esimerkkejä elementin 2 (kylpyhuone) ja elementin 6 (ruokakomero) välisestä järjestyksestä on esitetty taulukossa. 5.2. Kuten taulukosta voidaan nähdä, sekvenssi 3 edustaa näiden kahden elementin suhdetta.

Taulukko 5.1

Kuvaus asunnon pohjaratkaisusta

Riisi. 5.3 Suunnittelupäätöksen kuvaus suuntaamattoman graafin muodossa

Matemaattiset mallit

Matemaattinen malli - likimääräinen opimallinnuksen kohteen kuvaus, ilmaistuna käyttämälläschyu matemaattinen symboliikka.

Matemaattiset mallit ilmestyivät matematiikan rinnalle vuosisatoja sitten. Valtavan sysäyksen matemaattisen mallintamisen kehitykselle antoi tietokoneiden ilmestyminen. Tietokoneiden käyttö mahdollisti monien sellaisten matemaattisten mallien analysoinnin ja toteuttamisen, jotka eivät olleet aikaisemmin olleet analyyttisen tutkimuksen kohteena. Tietokoneella toteutettu matematiikkataivas malli nimeltään tietokoneen matemaattinen malli, A kohdennettujen laskelmien tekeminen tietokonemallin avulla nimeltään laskennallinen kokeilu.

Tietokonematematiikan vaiheetpoisto näkyy kuvassa. Ensimmäinenvaiheessa - mallinnuksen tavoitteiden määrittely. Nämä tavoitteet voivat olla erilaisia:

1. mallia tarvitaan ymmärtämään, miten tietty esine toimii, mikä on sen rakenne, perusominaisuudet, kehityksen ja vuorovaikutuksen lait
   ulkomaailman kanssa (ymmärrys);
2. mallia tarvitaan, jotta opitaan hallitsemaan objektia (tai prosessia) ja määrittämään parhaat tavat hallita tiettyjä tavoitteita ja kriteerejä (hallinta);
3. Mallia tarvitaan toteutuksen suorien ja välillisten seurausten ennustamiseen annettuja tapoja ja vaikutuksen muodot kohteeseen (ennuste).

Selitetäänpä esimerkein. Olkoon tutkimuksen kohteena neste- tai kaasuvirran vuorovaikutus tämän virtauksen esteenä olevan kappaleen kanssa. Kokemus osoittaa, että kehon sivulta tuleva virtausvastus kasvaa virtausnopeuden kasvaessa, mutta jollain riittävän suurella nopeudella tämä voima pienenee äkillisesti kasvaakseen uudelleen nopeuden lisääntyessä. Mikä aiheutti vastusvoiman pienenemisen? Matemaattisen mallinnuksen avulla saamme selkeän vastauksen: vastuksen äkillisen laskun hetkellä virtaviivaisen kappaleen takana neste- tai kaasuvirtauksessa muodostuneet pyörteet alkavat irtautua siitä ja kulkeutuvat virtauksen mukana.

Esimerkki täysin eri alueelta: rauhanomaisesti rinnakkaiselo kahden yksilölajin vakaiden populaatioiden kanssa, joilla on yhteinen ravintopohja, "yhtäkkiä" alkaa dramaattisesti muuttaa niiden lukumäärää. Ja tässä matemaattinen mallinnus mahdollistaa (tietyllä varmuudella) syyn selvittämisen (tai vähintään kumoaa tietyn hypoteesin.

Objektinhallinnan käsitteen kehittäminen on toinen mahdollinen mallintamisen tavoite. Mikä lentokoneen lentotapa tulisi valita, jotta lento olisi turvallinen ja taloudellisesti edullisin? Kuinka ajoittaa satoja erilaisia ​​töitä suuren laitoksen rakentamiseen niin, että se päättyy mahdollisimman nopeasti Lyhytaikainen? Monet tällaiset ongelmat syntyvät systemaattisesti ekonomistien, suunnittelijoiden ja tiedemiesten edessä.

Lopuksi, tiettyjen vaikutusten vaikutusten ennustaminen esineeseen voi olla sekä suhteellisen yksinkertaista yksinkertaisissa fysikaalisissa järjestelmissä että äärimmäisen monimutkaista - toteutettavuuden partaalla - biologisissa, taloudellisissa ja sosiaalisissa järjestelmissä. Jos kysymykseen lämmön etenemistavan muutoksesta ohuessa sauvassa sen koostuvan seoksen muutoksilla on suhteellisen helppo vastata, niin suuren vesivoimalan rakentamisen ympäristö- ja ilmastovaikutuksia on suhteellisen helppo jäljittää (ennustaa). sosiaalisia seurauksia verolainsäädännön muutokset ovat verraten vaikeampia. Ehkä tässäkin matemaattisista mallinnusmenetelmistä on tulevaisuudessa merkittävämpää apua.

Toinen vaihe: mallin tulo- ja lähtöparametrien määrittely; syöttöparametrien jako sen mukaan, kuinka tärkeät niiden muutokset vaikuttavat tuottoon. Tätä prosessia kutsutaan rankingiksi tai jakamiseksi arvon mukaan (katso alla). "Formalisamallinnus").

Kolmas vaihe: matemaattisen mallin rakentaminen. Tässä vaiheessa tapahtuu siirtymä mallin abstraktista muotoilusta formulaatioon, jolla on tietty matemaattinen esitys. Matemaattinen malli on yhtälöt, yhtälöjärjestelmät, epäyhtälöjärjestelmät, differentiaaliyhtälöt tai tällaisten yhtälöiden järjestelmät jne.

Neljäs vaihe: menetelmän valinta matemaattisen mallin tutkimiseen. Useimmiten tässä käytetään numeerisia menetelmiä, jotka sopivat hyvin ohjelmointiin. Pääsääntöisesti useat menetelmät sopivat saman ongelman ratkaisemiseen, eroavat toisistaan ​​tarkkuudessa, stabiilisuudessa jne. Koko mallinnusprosessin onnistuminen riippuu usein oikean menetelmän valinnasta.

Viides vaihe: algoritmin kehittäminen, tietokoneohjelman kokoaminen ja virheenkorjaus on prosessi, jota on vaikea formalisoida. Ohjelmointikielistä monet matemaattisen mallinnuksen ammattilaiset suosivat FORTRANia: sekä perinteestä että kääntäjien (laskennalliseen työhön) ylittämättömän tehokkuuden ja siihen kirjoitettujen valtavien, huolellisesti korjattujen ja optimoitujen matemaattisten menetelmien standardiohjelmien kirjastojen vuoksi. Kielet kuten PASCAL, BASIC, C ovat myös käytössä, riippuen tehtävän luonteesta ja ohjelmoijan taipumuksista.

Kuudes vaihe: ohjelman testaus. Ohjelman toimintaa testataan testitehtävässä, jonka vastaus on tiedossa. Tämä on vasta alkua testausmenettelylle, jota on vaikea kuvata muodollisesti tyhjentävästi. Yleensä testaus päättyy, kun käyttäjä omalla tavallaan ammatillisista syistä pitää ohjelmaa oikeana.

Seitsemäs vaihe: varsinainen laskennallinen koe, jonka aikana selviää, vastaako malli todellista objektia (prosessia). Malli on riittävän riittävä todelliseen prosessiin, jos jotkin tietokoneella saadut prosessin ominaisuudet osuvat yhteen kokeellisesti saatujen ominaisuuksien kanssa tietyllä tarkkuudella. Jos malli ei vastaa todellista prosessia, palataan johonkin edellisistä vaiheista.

Matemaattisten mallien luokittelu

Matemaattisten mallien luokittelu voi perustua erilaisiin periaatteisiin. Malleja on mahdollista luokitella tieteenalojen mukaan (fysiikan, biologian, sosiologian matemaattiset mallit jne.). Se voidaan luokitella käytetyn matemaattisen laitteiston mukaan (tavallisiin differentiaaliyhtälöihin perustuvat mallit, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, stokastiset menetelmät, diskreetit algebralliset muunnokset jne.). Lopuksi perustuen yhteisiä tehtäviä mallinnus eri tieteissä, matemaattisesta laitteesta riippumatta, seuraava luokittelu on luonnollisin:

• kuvailevat (kuvaavat) mallit;
• optimointimallit;
• monikriteerimallit;
• pelimallit.

Selitetään tämä esimerkein.

Kuvailevat (kuvaavat) mallit. Esimerkiksi tunkeutuneen komeetan liikkeen mallintaminen aurinkokunta, tehdään sen lentoradan ennustamiseksi, etäisyyden, jolla se kulkee maasta jne. Tässä tapauksessa mallinnuksen tavoitteet ovat kuvailevia, koska komeetan liikkeeseen ei voi vaikuttaa, siinä jotain muuttaa.

Optimointimallit käytetään kuvaamaan prosesseja, joihin voidaan vaikuttaa yritettäessä saavuttaa tietty tavoite. Tässä tapauksessa malli sisältää yhden tai useamman parametrin, johon voidaan vaikuttaa. Esimerkiksi muuttamalla aitan lämpötilaa voidaan asettaa tavoitteeksi valita tällainen järjestelmä, jotta saavutetaan maksimaalinen viljan säilyvyys, ts. optimoida varastointiprosessi.

Monikriteerimallit. Usein on tarpeen optimoida prosessi useissa parametreissa samanaikaisesti, ja tavoitteet voivat olla hyvinkin ristiriitaisia. Esimerkiksi ruokien hinnat ja ihmisen ruuantarpeet tietävät, sinun on järjestettävä ateriat suuria ryhmiä ihmiset (armeijassa, lasten kesäleirillä jne.) fysiologisesti oikein ja samalla mahdollisimman halvalla. On selvää, että nämä tavoitteet eivät ole ollenkaan samat; mallintamisessa käytetään useita kriteerejä, joiden välillä on pyrittävä tasapainoon.

Pelimallit voi liittyä paitsi tietokonepeleihin, myös erittäin vakaviin asioihin. Esimerkiksi ennen taistelua, jos vastustajan armeijasta on puutteellisia tietoja, komentajan on laadittava suunnitelma: missä järjestyksessä tietyt yksiköt saatetaan taisteluun jne., ottaen huomioon vihollisen mahdollinen reaktio. Nykyaikaisessa matematiikassa on erityinen osa - peliteoria - joka tutkii päätöksentekomenetelmiä epätäydellisen tiedon olosuhteissa.

Tietojenkäsittelytieteen koulukurssilla opiskelijat saavat peruskurssin osana alustavan käsityksen tietokonematemaattisesta mallintamisesta. Lukiossa matemaattista mallintamista voi syvällisesti opiskella fysiikan ja matematiikan luokkien yleissivistävällä kurssilla sekä valinnaisella erikoiskurssilla.

Tietokonematemaattisen mallinnuksen pääasialliset opetusmuodot lukiossa ovat luennot, laboratorio- ja opintotunnit. Yleensä jokaisen uuden mallin luominen ja tutkimukseen valmistautuminen kestää 3-4 oppituntia. Materiaalin esittelyn aikana asetetaan tehtäviä, jotka opiskelijoiden tulee jatkossa ratkaista itsenäisesti, yleisesti ottaen hahmotellaan tapoja niiden ratkaisemiseksi. Muotoillaan kysymyksiä, joihin pitäisi saada vastauksia tehtäviä suoritettaessa. Määritetty lisäkirjallisuutta, jonka avulla voit saada tukea tehtävien onnistuneempaa suorittamista varten.

Uuden materiaalin opiskelun tuntien järjestämisen muoto on yleensä luento. Seuraavan mallin keskustelun päätyttyä opiskelijat heillä on käytettävissään tarvittavat teoreettiset tiedot ja tehtävät jatkotyöskentelyä varten. Tehtävään valmistautuessaan opiskelija valitsee sopivan ratkaisutavan ja testaa kehitettyä ohjelmaa jollakin tunnetulla yksityisellä ratkaisulla. Mikäli tehtävien suorittamisessa ilmenee täysin mahdollisia vaikeuksia, neuvotellaan, ehdotetaan näiden osioiden laatimista yksityiskohtaisemmin kirjallisuudessa.

Tietokonemallinnuksen opetuksen käytännön osan kannalta oleellisin on projektien menetelmä. Tehtävä on muotoiltu opiskelijalle koulutusprojektina ja suoritetaan useiden oppituntien aikana ja pääorganisaatiomuoto on tietokone laboratoriotyöt. Oppimisprojektimenetelmällä mallintamisen oppimista voidaan toteuttaa eri tasoilla. Ensimmäinen on projektin toteutusprosessin ongelmanselvitys, jota johtaa opettaja. Toinen on projektin toteuttaminen opiskelijoiden toimesta opettajan ohjauksessa. Kolmas on kasvatustutkimusprojektin opiskelijoiden itsenäinen toteuttaminen.

Työn tulokset tulee esittää numeerisessa muodossa, kaavioiden, kaavioiden muodossa. Jos mahdollista, prosessi esitetään tietokoneen näytöllä dynaamisesti. Laskelmien valmistumisen ja tulosten vastaanoton jälkeen ne analysoidaan, verrataan teoriasta tunnettuihin faktoihin, varmistetaan luotettavuus ja tehdään mielekäs tulkinta, joka heijastuu myöhemmin kirjalliseen raporttiin.

Jos tulokset tyydyttävät opiskelijaa ja opettajaa, niin työ laskee valmis, ja sen viimeinen vaihe on raportin laatiminen. Raportti sisältää lyhyet teoreettiset tiedot tutkittavasta aiheesta, ongelman matemaattinen muotoilu, ratkaisualgoritmi ja sen perustelut, tietokoneohjelma, ohjelman tulokset, tulosten analysointi ja johtopäätökset, lähdeluettelo.

Kun kaikki raportit on koottu, opiskelijat puhuvat koetunnilla lyhyitä viestejä tehdystä työstä, puolustaa projektiaan. Tämä on tehokas projektiryhmän raportointimuoto luokalle sisältäen ongelman asettamisen, muodollisen mallin rakentamisen, mallin työskentelymenetelmien valinnan, mallin toteuttamisen tietokoneella, työskentelyn valmiin mallin kanssa, tulosten tulkitsemisen, ennustamisen. Tämän seurauksena opiskelijat voivat saada kaksi arvosanaa: ensimmäinen - projektin laatimisesta ja sen puolustamisen onnistumisesta, toinen - ohjelmasta, sen algoritmin optimaalisuudesta, käyttöliittymästä jne. Opiskelijat saavat arvosanat myös teoriakyselyiden aikana.

Olennainen kysymys- mitä työkaluja käyttää koulun informatiikan kurssilla matemaattiseen mallinnukseen? Mallien tietokonetoteutus voidaan suorittaa:

• käyttämällä laskentataulukkoa (yleensä MS Excel);
• luomalla ohjelmia perinteisillä ohjelmointikielillä (Pascal, BASIC jne.) sekä niiden nykyaikaisilla versioilla (Delphi, Visual
  Basic for Application jne.);
• käyttämällä erityisiä ohjelmistopaketteja matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen (MathCAD jne.).

Peruskoulun tasolla ensimmäinen parannuskeino näyttää olevan suositeltavampi. Kuitenkin lukiossa, kun ohjelmointi on mallinnuksen ohella tietojenkäsittelytieteen keskeinen aihe, se kannattaa ottaa mallinnustyökaluksi. Ohjelmoinnin aikana matemaattisten menettelyjen yksityiskohdat tulevat opiskelijoiden saataville; Lisäksi heidän on yksinkertaisesti pakko hallita ne, ja tämä edistää myös matemaattista koulutusta. Mitä tulee erikoisohjelmistopakettien käyttöön, tämä sopii profiilitietotekniikan kurssille muiden työkalujen täydennykseksi.

Harjoittele :

• Esittele keskeiset käsitteet.

Matemaattisen mallin rakentamiseksi tarvitset:

1. analysoida huolellisesti todellinen kohde tai prosessi;
2. korostaa sen tärkeimpiä ominaisuuksia ja ominaisuuksia;
3. määritellä muuttujat, ts. parametrit, joiden arvot vaikuttavat kohteen pääominaisuuksiin ja ominaisuuksiin;
4. kuvaa objektin, prosessin tai järjestelmän perusominaisuuksien riippuvuutta muuttujien arvosta käyttämällä loogisia ja matemaattisia suhteita (yhtälöt, yhtälöt, epäyhtälöt, loogiset ja matemaattiset konstruktit);
5. korostaa kohteen, prosessin tai järjestelmän sisäisiä yhteyksiä rajoitusten, yhtälöiden, yhtälöiden, epäyhtälöiden, loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla;
6. määritellä ulkoiset suhteet ja kuvata niitä rajoitusten, yhtälöiden, yhtälöiden, epäyhtälöiden, loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla.

Matemaattiseen mallinnukseen kuuluu objektin, prosessin tai järjestelmän tutkimisen ja niiden matemaattisen kuvauksen laatimisen lisäksi myös:

1. objektin, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä mallintavan algoritmin rakentaminen;
2. mallin ja kohteen, prosessin tai järjestelmän riittävyyden todentaminen laskennalliseen ja luonnonkokeeseen perustuen;
3. mallin säätö;
4. mallia käyttämällä.

Tutkittavien prosessien ja järjestelmien matemaattinen kuvaus riippuu:

1. todellisen prosessin tai järjestelmän luonne ja se on koottu fysiikan, kemian, mekaniikan, termodynamiikan, hydrodynamiikan, sähkötekniikan, plastisuusteorian, kimmoisuusteorian jne. perusteella.
2. todellisten prosessien ja järjestelmien tutkimuksen ja tutkimuksen vaadittava luotettavuus ja tarkkuus.

Matemaattisen mallin rakentaminen alkaa yleensä tarkasteltavan kohteen, prosessin tai järjestelmän yksinkertaisimman, karkeimman matemaattisen mallin rakentamisella ja analysoinnilla. Jatkossa mallia tarkennetaan tarvittaessa, sen vastaavuus kohteeseen tehdään täydellisemmäksi.

Otetaan yksinkertainen esimerkki. Sinun on määritettävä pöydän pinta-ala. Yleensä tätä varten mitataan sen pituus ja leveys, ja sitten saadut luvut kerrotaan. Tällainen alkeismenettely tarkoittaa itse asiassa seuraavaa: todellinen esine (pöydän pinta) korvataan abstraktilla matemaattisella mallilla - suorakulmiolla. Pöydän pinnan pituuden ja leveyden mittaamisen tuloksena saadut mitat lasketaan suorakulmiolle, ja tällaisen suorakulmion pinta-ala otetaan suunnilleen halutuksi pöydän pinta-alaksi. Pöydän suorakaidemalli on kuitenkin yksinkertaisin ja karkein malli. Kun ongelmaa lähestytään vakavammin, tämä malli on tarkistettava ennen kuin käytät suorakaidemallia taulukon alueen määrittämiseen. Tarkastukset voidaan tehdä seuraavasti: mittaa pöydän vastakkaisten sivujen pituudet sekä sen lävistäjän pituudet ja vertaa niitä toisiinsa. Jos vaaditulla tarkkuudella vastakkaisten sivujen pituudet ja diagonaalien pituudet ovat pareittain yhtä suuret, voidaan taulukon pintaa todellakin pitää suorakulmiona. Muussa tapauksessa suorakaidemalli on hylättävä ja korvattava nelikulmamallilla. yleisnäkymä. Suuremmalla tarkkuusvaatimuksella mallia voi olla tarpeen jalostaa edelleen, esimerkiksi pöydän kulmien pyöristymisen huomioon ottamiseksi.

Tämän avulla yksinkertainen esimerkki osoitettiin, että matemaattista mallia ei yksiselitteisesti määritä tutkittava kohde, prosessi tai järjestelmä.

TAI (vahvistetaan huomenna)

Tapoja ratkaista matto. Mallit:

1, m:n rakentaminen luonnonlakien perusteella (analyysimenetelmä)

2. Muodollinen tapa tilastollisen avulla. Käsittely- ja mittaustulokset (tilastollinen lähestymistapa)

3. Mittarin rakentaminen elementtimallin perusteella (monimutkaiset järjestelmät)

1, Analyyttinen - käytä riittävän tutkimuksen kanssa. Yleinen säännöllisyys tiedossa. mallit.

2. kokeilu. Tietojen puuttuessa

3. Imitation m. - tutkii objektin ominaisuuksia sst. Yleisesti.

Esimerkki matemaattisen mallin rakentamisesta.

Matemaattinen malli on matemaattinen esitys todellisuudesta.

Matemaattinen mallinnus on matemaattisten mallien rakentamisen ja tutkimisen prosessi.

Kaikki luonnon- ja yhteiskuntatieteet, jotka käyttävät matemaattista laitteistoa, harjoittavat olennaisesti matemaattista mallintamista: ne korvaavat kohteen sen matemaattisella mallilla ja sitten tutkivat jälkimmäistä. Matemaattisen mallin yhdistäminen todellisuuteen toteutetaan hypoteesien, idealisointien ja yksinkertaistamisten ketjun avulla. Matemaattisten menetelmien avulla kuvataan yleensä ihanteellinen kohde, joka on rakennettu mielekkään mallinnuksen vaiheessa.

Miksi malleja tarvitaan?

Hyvin usein esinettä tutkittaessa syntyy vaikeuksia. Alkuperäinen itse on joskus poissa tai sen käyttö ei ole suositeltavaa tai alkuperäisen käyttäminen on kallista. Kaikki nämä ongelmat voidaan ratkaista simulaation avulla. Malli voi tietyssä mielessä korvata tutkittavan kohteen.

Yksinkertaisimpia esimerkkejä malleista

§ Valokuvaa voidaan kutsua henkilön malliksi. Ihmisen tunnistamiseksi riittää nähdä hänen valokuvansa.

§ Arkkitehti laati uuden asuinalueen pohjapiirroksen. Hän voi siirtää korkean rakennuksen osasta toiseen kätensä liikkeellä. Todellisuudessa tämä ei olisi mahdollista.

Mallityypit

Mallit voidaan jakaa materiaali" Ja ihanteellinen. yllä olevat esimerkit ovat materiaalimalleja. Ihanteellisilla malleilla on usein ikoninen muoto. Samalla todelliset käsitteet korvataan joillakin merkeillä, jotka voidaan helposti kiinnittää paperille, tietokoneen muistiin jne.

Matemaattinen mallinnus

Matemaattinen mallintaminen kuuluu merkkimallinnuksen luokkaan. Samaan aikaan malleja voidaan luoda mistä tahansa matemaattisista objekteista: numeroista, funktioista, yhtälöistä jne.

Matemaattisen mallin rakentaminen

§ Matemaattisen mallin rakentamisessa on useita vaiheita:

1. Tehtävän ymmärtäminen, meille tärkeimpien ominaisuuksien, ominaisuuksien, arvojen ja parametrien korostaminen.

2. Merkintöjen esittely.

3. Rajoitusjärjestelmän laatiminen, joka syötettyjen arvojen on täytettävä.

4. Niiden ehtojen muotoilu ja kirjaaminen, jotka halutun optimaalisen ratkaisun on täytettävä.

Mallinnusprosessi ei pääty mallin kokoamiseen, vaan se vasta alkaa siitä. Mallin laatimisen jälkeen he valitsevat menetelmän vastauksen löytämiseksi, ratkaisevat ongelman. Kun vastaus on löydetty, vertaa sitä todellisuuteen. Ja on mahdollista, että vastaus ei tyydytä, jolloin mallia muutetaan tai valitaan jopa täysin erilainen malli.

Esimerkki matemaattisesta mallista

Tehtävä

Tuotantoyhdistys, johon kuuluu kaksi huonekalutehdasta, tarvitsee konepuistonsa uudistamista. Lisäksi ensimmäinen huonekalutehdas tarvitsee vaihtaa kolme konetta ja toinen seitsemän. Tilaukset voidaan tehdä kahdelle työstökonetehtaalle. Ensimmäinen tehdas pystyy valmistamaan enintään 6 konetta, ja toinen tehdas hyväksyy tilauksen, jos niitä on vähintään kolme. On määritettävä, miten tilaukset tehdään.

Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan "malli (lat. modulus - mitta) on alkuperäisen objektin objektin korvike, joka tarjoaa alkuperäisen joidenkin ominaisuuksien tutkimisen." (s. 6) "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." (s. 6) "Matemaattisessa mallinnuksessa ymmärrämme prosessin, jolla muodostetaan vastaavuus tietylle matemaattiselle objektille, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, joka mahdollistaa tarkasteltavan todellisen kohteen ominaisuuksien saamisen. Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että kohteen tutkimisen tehtävistä sekä tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee ajatuksen».

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista on:

ja niin edelleen. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti on myös mahdollista sekatyypit: toisaalta keskittynyt (parametrien suhteen), toisessa - hajautetut mallit jne.

Luokittelu objektin esittämistavan mukaan

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla ne edustavat objektia:

• Rakenteelliset tai toiminnalliset mallit

Rakennemallit edustaa esinettä järjestelmänä, jolla on oma laite ja toimintamekanismi. toiminnallisia mallejaÄlä käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastaa vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä (toimintaa). Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "mustan laatikon" malleiksi. Myös yhdistetyt mallityypit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "malleiksi" harmaa laatikko».

Sisältö ja muodolliset mallit

Melkein kaikki matemaattisen mallinnuksen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ideaalirakenne, sisältömalli. Täällä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanteellista objektia Havainnemalli , spekulatiivinen malli tai esimalli. Tässä tapauksessa lopullinen matemaattinen konstruktio kutsutaan muodollinen malli tai vain tämän sisältömallin formalisoinnin tuloksena saatu matemaattinen malli (esimalli). Mielenkiintoisen mallin rakentaminen voidaan suorittaa käyttämällä valmiita idealisaatioita, kuten mekaniikassa, jossa ihanteelliset jouset, kiinteät ruumiit, ihanteelliset heilurit, elastiset materiaalit jne. tarjoavat valmiita rakenneosia mielekkääseen mallintamiseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita (fysiikka, biologia, taloustiede, sosiologia, psykologia ja useimmat muut alat), mielekkäiden mallien luominen on dramaattisesti monimutkaisempaa.

Mielekäs mallien luokittelu

Mitään tieteen hypoteesia ei voida todistaa lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina kyky kumota teoria, mutta huomaa, että emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että esität onnistuneen hypoteesin, lasket mihin se johtaa ja huomaat, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, ettet pystynyt kumoamaan sitä.

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voidaan keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida riittävästi vahvistaa saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin yhtäpitävä esineestä saatavilla olevien teorioiden ja kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin toiseen tyyppiin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uudet tiedot ja teoriat vahvistavat fenomenologisia malleja ja ne nousevat hypoteesin asemaan. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin mallien-hypoteesien kanssa ja siirtyä toiseen. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa se siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat siirtyneet tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls erottaa mallinnuksen kolme tyyppiä yksinkertaistamista.

Tyyppi 3: Lähentäminen (jotain pidetään erittäin suurena tai erittäin pienenä)

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleinen tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö (tyypin 3 mallit). Heidän joukossa lineaariset vastemallit. Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Tavallinen esimerkki on Ohmin laki.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Nämä ovat myös ajatuskokeita. kuvitteellisten entiteettien kanssa, jotka osoittavat sen oletettu ilmiö perusperiaatteiden mukainen ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero tyypin 7 malleista, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista näistä kokeista on Lobatševskin geometria (Lobatševski kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"). Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. muodollisesti kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi osoittamaan kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuutta. Täysin suunnittelemattomalla tavalla siitä tuli lopulta tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Esimerkki

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja jousen vapaaseen päähän kiinnitetystä massakuormasta. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suuntaan (esimerkiksi liike tapahtuu tankoa pitkin). Tehdään tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyydellä kuorman keskipisteestä sen tasapainoasentoon. Kuvataan jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken laki() jonka jälkeen käytämme Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa toista derivaattia ajan suhteen: .

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisprosessissa teimme monia oletuksia (ulkoisten voimien puuttumisesta, kitkan puuttumisesta, poikkeamien pienuudesta jne.), jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuudessa tämä on useimmiten tyypin 4 malli. yksinkertaistaminen("jätämme pois joitain yksityiskohtia selvyyden vuoksi"), koska joitakin olennaisia ​​universaaleja piirteitä (esimerkiksi hajoaminen) jätetään pois. Jossain likiarvossa (esim. kun kuorman poikkeama tasapainosta on pieni, vähäkitkaisesti, ei liian pitkäksi ajaksi ja tietyissä muissa olosuhteissa) tällainen malli kuvaa todellista mekaanista järjestelmää varsin hyvin, koska poistetut tekijät eivät vaikuta sen käyttäytymiseen. Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi (joskin jälleen rajoitettu) soveltamisala.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein yksinkertaisempi malli mahdollistaa todellisen järjestelmän tutkimisen paremmin ja syvemmälle kuin monimutkaisempi (ja muodollisesti "oikeampi") malli.

Jos käytämme harmonista oskillaattorimallia objekteihin, jotka ovat kaukana fysiikasta, sen merkityksellinen tila voi olla erilainen. Esimerkiksi sovellettaessa tätä mallia biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin liittää tyyppiin 6 analogia("Otetaan huomioon vain jotkin ominaisuudet").

Kovia ja pehmeitä malleja

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä - jokin toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venytysasteesta - jokin pieni parametri. Toiminnon selkeä muoto ei kiinnosta meitä tällä hetkellä. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei poikkea olennaisesti kovan mallin käyttäytymisestä (riippumatta häiritsevien tekijöiden eksplisiittisestä muodosta, jos ne ovat tarpeeksi pieniä), ongelma rajoittuu kovan mallin tutkimiseen. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattorin yhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita, eli värähtelyjä, joiden amplitudi on vakio. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee loputtomasti vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon järjestelmä, jossa on mielivaltaisen pieni kitka (joka on aina läsnä todellisessa järjestelmässä), saamme vaimentuneet värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut laadullisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienessä häiriössä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta (ei-karkeasta) järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin käyttää prosessien tutkimiseen rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallien yleismaailmallisuus

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä omaisuus universaalisuus: olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori ei kuvaa vain jousen kuormituksen käyttäytymistä, vaan myös muita värähtelyprosesseja, jotka ovat usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen pinnan vaihteluita muotoillussa astiassa tai virran voimakkuuden muutosta värähtelypiirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Tämä on matemaattisten mallien eri segmenttien lakien isomorfismi tieteellinen tietämys, Ludwig von Bertalanffyn saavutus "Yleisen järjestelmäteorian" luomisessa.

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallintamiseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnettavan kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu eri materiaaleista valmistettujen levyjen ja monimutkaisempien runkojen järjestelmäksi, jokainen materiaali määritellään sen vakiomekaaniseksi idealisoinniksi (tiheys, kimmomoduulit, vakiolujuusominaisuudet), minkä jälkeen laaditaan yhtälöt, matkan varrella jotkin yksityiskohdat hylätään merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, jalostetaan mallia ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora ongelma: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on tutkia mallia hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Mitä staattista kuormitusta silta kestää? Kuinka se reagoi dynaamiseen kuormaan (esimerkiksi sotilaskomppanian marssiin tai junan kulkemiseen eri nopeuksilla), kuinka kone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen (oikean kysymyksen esittäminen) vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Iso-Britanniassa romahti metallisilta Tey-joen yli, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvamarginaaliksi, mutta unohtivat noissa paikoissa jatkuvasti puhaltavat tuulet. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa (esimerkiksi yksi oskillaattoriyhtälö) suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: monia mahdollisia malleja tunnetaan, on tarpeen valita tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne tunnetaan ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat koostua empiirisista lisätiedoista tai objektin vaatimuksista ( suunnittelutehtävä). Lisätietoa voi tulla riippumatta käänteisen ongelman ratkaisuprosessista ( passiivinen havainto) tai olla ratkaisun aikana erityisesti suunnitellun kokeen tulos ( aktiivinen valvonta).

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien rekonstruoimiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

Toinen esimerkki on matemaattiset tilastot. Tämän tieteen tehtävänä on kehittää menetelmiä havainnointi- ja kokeellisen tiedon tallentamiseksi, kuvaamiseksi ja analysoimiseksi, jotta voidaan rakentaa todennäköisyysmalleja massasatunnaisista ilmiöistä. Nuo. mahdollisten mallien joukkoa rajoittavat todennäköisyysmallit. Tietyissä ongelmissa mallien joukko on rajallisempi.

Tietokonesimulaatiojärjestelmät

Matemaattisen mallintamisen tueksi on kehitetty tietokonematemaattisia järjestelmiä, kuten Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim jne. Niiden avulla voidaan luoda muodollisia ja lohkomalleja sekä yksinkertaisista että monimutkaisista prosesseista ja laitteista sekä muuttaa malliparametreja helposti simuloinnin aikana. Block mallit on esitetty lohkoilla (useimmiten graafisilla), joiden joukko ja yhteys on määritelty mallikaaviossa.

Muita esimerkkejä

Malthus malli

Kasvuvauhti on verrannollinen nykyiseen väestömäärään. Sitä kuvataan differentiaaliyhtälöllä

jossa on tietty parametri, jonka määrittää syntyvyyden ja kuolleisuuden välinen ero. Tämän yhtälön ratkaisu on eksponentiaalinen funktio. Jos syntyvyys ylittää kuolleisuuden (), väestön koko kasvaa loputtomasti ja hyvin nopeasti. On selvää, että todellisuudessa näin ei voi tapahtua rajallisten resurssien vuoksi. Kun tietty kriittinen populaatiokoko saavutetaan, malli lakkaa olemasta riittävä, koska se ei ota huomioon rajallisia resursseja. Malthus-mallin jalostuksena voi olla logistinen malli, jota kuvaa Verhulstin differentiaaliyhtälö.

missä on "tasapaino" väestön koko, jossa kuolleisuus kompensoi täsmälleen syntyvyyden. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon , ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti vakaata.

peto-saalisjärjestelmä

Oletetaan, että tietyllä alueella elää kahdenlaisia ​​eläimiä: kaneja (syövät kasveja) ja kettuja (syövät kaneja). Olkoon kanien lukumäärä, kettujen määrä. Käyttämällä Malthus-mallia tarvittavin korjauksin, ottaen huomioon kettujen syömät kanit, päädymme seuraavaan järjestelmään, joka on nimetty tarjotinmallit - Volterra:

Tässä järjestelmässä on tasapainotila, jossa kanien ja kettujen määrä on vakio. Tästä tilasta poikkeaminen johtaa kanien ja kettujen lukumäärän vaihteluihin, jotka ovat samanlaisia ​​kuin harmonisen oskillaattorin vaihtelut. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti stabiilia: pieni muutos mallissa (esimerkiksi ottaen huomioon kanien tarvitsemat rajalliset resurssit) voi johtaa laadulliseen käyttäytymisen muutokseen. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja väestönvaihtelut hiipuvat. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu, Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Huomautuksia

1. "Todellisuuden matemaattinen esitys" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Kyberneettisen mallinnuksen filosofisista kysymyksistä. M., Knowledge, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Järjestelmämallinnus: Proc. yliopistoille - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matemaattinen mallinnus. Ideoita. menetelmät. Esimerkkejä. - 2. painos, korjattu. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Teknisten prosessien mallintaminen: oppikirja / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. - M.: Kevyt- ja elintarviketeollisuus, 1984. - 344 s.
7. Wikisanakirja: matemaattiset mallit
8. CliffsNotes.com. Maantieteen sanasto. 20. syyskuuta 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity-sarja, Berliini-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
10. "Teoriaa pidetään lineaarisena tai epälineaarisena riippuen siitä, mitä - lineaarista tai epälineaarista - matemaattista laitteistoa, mitä - lineaarisia tai epälineaarisia - matemaattisia malleja se käyttää. ... jälkimmäistä kieltämättä. Moderni fyysikko, jos hän sattuisi määrittelemään uudelleen niin tärkeän kokonaisuuden kuin epälineaarisuus, toimisi todennäköisesti eri tavalla, ja pitäessään parempana epälineaarisuutta tärkeimpänä ja yhteisenä kahdesta vastakohdasta, määrittelisi lineaarisuuden "epälineaariseksi". Danilov Yu.A., Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen esittely. Synergia: menneisyydestä tulevaisuuteen. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
11. « Dynaamiset järjestelmät, jotka on mallinnettu rajallisella määrällä tavallisia differentiaaliyhtälöitä, kutsutaan niputetuiksi tai pistejärjestelmiksi. Niitä kuvataan äärellisulotteisen vaiheavaruuden avulla ja niille on ominaista äärellinen määrä vapausasteita. Yhtä ja samaa järjestelmää eri olosuhteissa voidaan pitää joko keskittyneenä tai hajautettuna. Hajautettujen järjestelmien matemaattiset mallit ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, integraaliyhtälöitä tai tavallisia viiveyhtälöitä. Hajautetun järjestelmän vapausasteiden määrä on ääretön, ja sen tilan määrittämiseen tarvitaan ääretön määrä dataa. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, nro 11, s. 77-84.
12. ”Riippuen järjestelmän S tutkittujen prosessien luonteesta, kaikki mallintamisen tyypit voidaan jakaa deterministiseen ja stokastiseen, staattiseen ja dynaamiseen, diskreettiin, jatkuvaan ja diskreetti-jatkuvaan. Deterministinen mallinnus näyttää deterministisiä prosesseja, toisin sanoen prosesseja, joissa oletetaan satunnaisten vaikutusten puuttumista; stokastinen mallinnus näyttää todennäköisyysprosesseja ja tapahtumia. … Staattista mallinnusta käytetään kuvaamaan kohteen käyttäytymistä milloin tahansa, kun taas dynaaminen mallinnus heijastaa objektin käyttäytymistä ajan kuluessa. Diskreetti mallinnus kuvaa prosesseja, jotka oletetaan diskreeteiksi, vastaavasti jatkuvalla mallinnuksella voit heijastaa jatkuvia prosesseja järjestelmissä ja diskreetti-jatkuvaa mallinnusta käytetään tapauksissa, joissa halutaan korostaa sekä diskreettien että jatkuvien prosessien olemassaoloa. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Yleensä matemaattinen malli heijastaa mallinnettavan kohteen rakennetta (sijoittelua), tämän objektin komponenttien ominaisuuksia ja yhteyksiä, jotka ovat olennaisia ​​tutkimuksen kannalta; tällaista mallia kutsutaan rakenteelliseksi. Jos malli heijastaa vain sitä, miten kohde toimii - esimerkiksi kuinka se reagoi ulkoisiin vaikutuksiin -, sitä kutsutaan toiminnalliseksi tai kuvaannollisesti mustaksi laatikoksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. ”Ilmeinen, mutta tärkein matemaattisen mallin rakentamisen tai valinnan alkuvaihe on saada mahdollisimman selväksi mallinnettava kohde ja jalostaa sen sisältömallia epävirallisten keskustelujen pohjalta. Tässä vaiheessa ei kannata säästää aikaa ja vaivaa, siitä riippuu pitkälti koko tutkimuksen onnistuminen. Useammin kuin kerran tapahtui, että matemaattisen ongelman ratkaisemiseen käytetty huomattava työ osoittautui tehottomaksi tai jopa hukkaan, koska asian tähän puoleen ei kiinnitetty riittävästi huomiota. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
15. « Järjestelmän käsitteellisen mallin kuvaus. Tässä järjestelmämallin rakentamisen alivaiheessa: a) käsitteellinen malli M kuvataan abstraktein termein ja käsittein; b) mallin kuvaus annetaan käyttäen tyypillisiä matemaattisia kaavioita; c) hypoteesit ja oletukset hyväksytään lopulta; d) todellisten prosessien approksimointimenettelyn valinta mallia rakennettaessa on perusteltu. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Järjestelmämallinnus: Proc. yliopistoille - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Soveltava matematiikka: Aihe, logiikka, lähestymistapojen ominaisuudet. Esimerkkejä mekaniikasta: Opetusohjelma. - 3. painos, Rev. ja ylimääräisiä - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, luku 2.

Matemaattisten mallien tyypit

Riippuen siitä, millä keinoilla, millä ehdoilla ja suhteessa mihin kognitiokohteisiin mallien kyky heijastaa todellisuutta toteutuu, syntyy niiden suuri monimuotoisuus ja sen mukana luokitukset. Yleistämällä olemassa olevia luokituksia erottelemme sovelletun matemaattisen laitteiston mukaiset perusmallit, joiden perusteella kehitetään erityismalleja (kuva 8.1).

Kuva 8.1 - Mallien muodollinen luokittelu

Matemaattiset mallit esittävät tutkittavat objektit (prosessit, järjestelmät) eksplisiittisinä funktionaalisina suhteina: algebralliset yhtäläisyydet ja epäyhtälöt, integraali ja differentiaali, äärellinen ero ja muut matemaattisia lausekkeita(satunnaismuuttujan jakautumislaki, regressiomallit jne.) sekä matemaattisen logiikan suhteet.

Riippuen kahdesta perusominaisuudet matemaattisen mallin rakentaminen - eräänlainen syy-suhteiden ja niiden muutosten ajassa tapahtuva kuvaus - erottaa deterministiset ja stokastiset, staattiset ja dynaamiset mallit (Kuva 8.2).

Kuvassa esitetyn kaavion tarkoitus on näyttää seuraavat ominaisuudet:

1) matemaattiset mallit voivat olla sekä deterministisiä että stokastisia;

2) deterministiset ja stokastiset mallit voivat olla sekä staattisia että dynaamisia.

Matemaattinen malli on ns deterministinen (deterministinen), jos kaikki sen parametrit ja muuttujat ovat yksiselitteisesti määritettyjä arvoja ja myös tiedon täydellisen varmuuden ehto täyttyy. Muutoin tiedon epävarmuuden olosuhteissa, kun mallin parametrit ja muuttujat ovat satunnaismuuttujia, mallia kutsutaan ns. stokastinen (todennäköisyys).

Kuva 8.2 - Matemaattisten mallien luokat

Malli on ns dynaaminen jos ainakin yksi muuttuja muuttuu ajan kuluessa, ja staattinen jos hyväksytään hypoteesi, että muuttujat eivät muutu ajan myötä.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa tasapainomallit toimi saldoyhtälön muodossa, jossa mahdollisten tulojen summa sijaitsee vasemmalla puolella ja menopuoli on myös summan muodossa oikealla puolella. Esimerkiksi tässä muodossa esitetään organisaation vuosibudjetti.

Tilastotietojen perusteella voidaan rakentaa paitsi tasapaino-, myös korrelaatio-regressiomalleja.

Jos funktio Y ei ole riippuvainen vain muuttujista x 1 , x 2 , ... x n , vaan myös muista tekijöistä, Y:n ja x 1 , x 2 , ... x n välinen suhde on epätarkka tai korrelaatio, toisin kuin tarkka tai funktionaalinen suhde. Korrelaatio esimerkiksi useimmissa tapauksissa ovat OPS:n lähtöparametrien ja sen sisäisten ja ulkoinen ympäristö(katso aihe 5).

Korrelaatio-regressiomallit saatu tutkittaessa kokonaisen tekijöiden kompleksin vaikutusta tietyn ominaisuuden arvoon käyttämällä tilastollista laitteistoa. Tässä tapauksessa tehtävänä ei ole vain muodostaa korrelaatiosuhde, vaan myös ilmaista tämä suhde analyyttisesti, eli valita yhtälöt, jotka kuvaavat tätä korrelaatioriippuvuutta (regressioyhtälö).

Löytämiseen numeerinen arvo regressioyhtälön parametrit käyttävät pienimmän neliösumman menetelmää. Tämän menetelmän ydin on valita sellainen suora, jossa yksittäisten pisteiden ordinaattien Y neliöpoikkeamien summa siitä olisi pienin.

Korrelaatio-regressiomalleja käytetään usein ilmiöiden tutkimuksessa, kun on tarpeen luoda suhde vastaavien ominaisuuksien välille kahdessa tai useammassa sarjassa. Tässä tapauksessa muodon pari- ja moninkertainen lineaarinen regressio

y \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b.

Pienimmän neliösumman menetelmän soveltamisen tuloksena asetetaan parametrien a tai a 1 , a 2 , …, a n ja b arvot ja sitten suoritetaan arviot saadun regressioyhtälön approksimaatiotarkkuudesta ja merkityksestä.

Erikoisryhmässä ovat graafiset analyyttiset mallit . He käyttävät erilaisia graafisia kuvia ja siksi niillä on hyvä näkyvyys.

Graafiteoria - yksi diskreetin matematiikan teorioista, tutkii kaavioita, jotka ymmärretään joukoksi pisteitä ja niitä yhdistäviä viivoja. Graafi on itsenäinen matemaattinen objekti (ensin esitteli Koenig D.). Graafiteorian pohjalta rakennetaan useimmiten puumaisia ​​ja verkkomalleja.

Puumalli (puu) on suuntaamaton yhdistetty graafi, joka ei sisällä silmukoita ja syklejä. Esimerkki tällaisesta mallista on tavoitepuu.

Verkkomalleja käytetään laajasti työnhallinnassa. Verkkomallit (kaaviot) kuvaavat töiden järjestystä ja kunkin työn kestoa (kuva 8.3).

Kuva 8.3 - Työn suorituskyvyn verkkomalli

Verkkokaavion jokainen rivi on jonkinlainen työ. Sen vieressä oleva numero tarkoittaa sen suorittamisen kestoa.

Verkkomallien avulla voit löytää ns. kriittisen polun ja optimoida työn tuotannon aikataulun muiden resurssien rajoituksin.

Verkkomallit voivat olla deterministisiä ja stokastisia. Jälkimmäisessä tapauksessa työn kesto määräytyy satunnaismuuttujien jakautumislakien mukaan.

Optimointimallit määrittävät järjestelmän optimaalisen liikeradan asetetun tavoitteen saavuttamiseksi, kun sen käyttäytymisen ja liikkeen hallintaan on asetettu joitain rajoituksia. Tässä tapauksessa optimointimallit kuvaavat monenlaisia ongelma jonkin tavoitefunktion ääripään löytämisestä (optimointikriteeri).

Tunnistaa Paras tapa johtamisen tavoitteen saavuttamiseksi rajallisten resurssien - teknisten, materiaalisten, työvoiman ja taloudellisten - olosuhteissa käytetään tutkimustoiminnan menetelmiä. Näitä ovat matemaattisen ohjelmoinnin menetelmät (lineaarinen ja epälineaarinen, kokonaisluku, dynaaminen ja stokastinen ohjelmointi), analyyttiset ja todennäköisyysstatistiset menetelmät, verkkomenetelmät, jonoteorian menetelmät, peliteoria (konfliktitilanteiden teoria) jne.

Optimointimalleja käytetään volyymi- ja aikataulutukseen, varastonhallintaan, resurssien ja töiden jakamiseen, laitteiden vaihtoon, parametrointiin ja standardointiin, tavarantoimitusten jakamiseen kuljetusverkossa ja muihin hallintatehtäviin.

Yksi toimintateoriatutkimuksen tärkeimmistä saavutuksista on ohjausmallien ja ongelmanratkaisumenetelmien tyypistäminen. Esimerkiksi kuljetusongelman ratkaisemiseksi sen ulottuvuudesta riippuen on kehitetty tyypillisiä menetelmiä - Vogel-menetelmä, potentiaalimenetelmä, simpleksimenetelmä. Myös varastonhallintaongelmaa ratkaistaessa voidaan sen muotoilusta riippuen käyttää analyyttisiä ja todennäköisyystilastollisia menetelmiä, dynaamisen ja stokastisen ohjelmoinnin menetelmiä.

Johtamisessa kiinnitetään erityistä huomiota verkostosuunnittelun menetelmiin. Nämä menetelmät ovat mahdollistaneet uuden ja hyvin kätevä kieli monimutkaisten monivaiheisten töiden ja projektien kuvaamiseen, mallintamiseen ja analysointiin. Toimintatutkimuksessa merkittävä paikka on monimutkaisten järjestelmien ohjauksen parantamiselle jonoteorian menetelmillä (ks. luku 8.3) ja Markovin prosessien laitteistolla.

Markovin stokastisten prosessien mallit- Differentiaaliyhtälöjärjestelmä, joka kuvaa järjestelmän tai sen prosessien toimintaa järjestysten tilojen joukkona järjestelmän tietyllä liikeradalla. Tätä malliluokkaa käytetään laajalti monimutkaisten järjestelmien toiminnan matemaattisessa mallintamisessa.

Peliteorian mallit valita optimaalinen strategia rajoitetun satunnaisen tiedon tai täydellisen epävarmuuden olosuhteissa.

Peli on matemaattinen malli todellisesta konfliktitilanteesta, jonka ratkaiseminen suoritetaan tiettyjen sääntöjen, algoritmien mukaan, jotka kuvaavat tietyn strategian päätöksen tekevän henkilön käyttäytymiselle epävarmuuden olosuhteissa.

On olemassa "pelejä luonnon kanssa" ja "pelejä vihollisen kanssa". Päätöksenteon arvioinnin menetelmät ja kriteerit määritellään tilanteen perusteella. Joten "luonnon kanssa leikkiessä" käytetään seuraavia kriteerejä: Laplace, maximin (Wald-kriteeri) ja minimax, Hurwitz ja Savage sekä joukko muita algoritmisia sääntöjä. ”Peleissä vihollisen kanssa” päätösten tekemiseen käytetään voittomatriiseja, maksimi- ja minimax-kriteerejä sekä erityisiä matemaattisia muunnoksia, jotka johtuvat siitä, että päätöksentekijää vastustaa epäystävällinen vastustaja.

Tarkasteltavat matemaattisten mallien tyypit eivät kata kaikkea mahdollista monimuotoisuuttaan, vaan karakterisoivat vain yksittäisiä tyyppejä luokituksen hyväksytystä näkökulmasta riippuen. V.A. Kardash yritti luoda järjestelmän mallien luokitteluun neljän yksityiskohdan mukaan (kuva 8.4).

A - mallit ilman parametrien spatiaalista eriyttämistä;

B - mallit, joissa parametrien alueellinen erottelu

Kuva 8.4 - Mallien luokittelu neljän yksityiskohtien mukaan

Laskentatyökalujen kehittyessä yksi yleisimmistä päätöksentekomenetelmistä on bisnespeli, joka on numeerinen kokeilu, jossa ihminen on aktiivisesti mukana. Yrityspelejä on satoja. Niitä käytetään useiden johtamisen, talouden, organisaatioteorian, psykologian, rahoituksen ja kaupan ongelmien tutkimiseen.