Esimerkki 1.5.1.

Tuottakoon tietty talousalue useita (n) tyyppisiä tuotteita yksinomaan yksin ja vain tämän alueen väestölle. Oletetaan, että tekninen prosessi on kehitetty ja väestön kysyntää näille tavaroille on tutkittu. Tuotetuotannon vuotuinen volyymi on määritettävä ottaen huomioon, että tämän määrän on katettava sekä loppu- että teollisuuskulutus.

Luodaan tästä ongelmasta matemaattinen malli. Sen ehtojen mukaan annetaan: tuotetyypit, niiden kysyntä ja teknologinen prosessi; sinun on löydettävä kunkin tuotetyypin tuotantomäärä.

Merkitään tunnetut suuret:

c i– väestön kysyntä i tuote ( i=1,...,n); a ij- määrä i tuote, joka tarvitaan j:nnen tuotteen yksikön tuottamiseen tietyllä teknologialla ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

X i - ulostulon äänenvoimakkuus i- tuote ( i=1,...,n); kokonaisuus Kanssa =(c 1 ,..., c n ) joita kutsutaan kysyntävektoriksi, numeroiksi a ij– teknologiset kertoimet ja kokonaisuus X =(X 1 ,..., X n ) – vapautusvektori.

Ongelmaolosuhteiden mukaan vektori X jaettu kahteen osaan: loppukulutukseen (vektori Kanssa ) ja lisääntymistä varten (vektori x-s ). Lasketaan se osa vektorista X joka menee lisääntymiseen. Tuotantomerkintöjemme mukaan X j toimitetun j:nnen tuotteen määrä a ij · X j määriä i-tuote.

Sitten summa a i1 · X 1 +...+ a sisään · X n näyttää sen arvon i-th tuote, jota tarvitaan koko julkaisulle X =(X 1 ,..., X n ).

Siksi tasa-arvon tulee täyttyä:

Laajentamalla tämän päättelyn kaikkiin tuotteisiin pääsemme haluttuun malliin:

Tämän n lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaiseminen X 1 ,...,X n ja etsi tarvittava vapautusvektori.

Tämän mallin kirjoittamiseksi kompaktimpaan (vektori)muotoon otamme käyttöön seuraavan merkinnän:

Neliö (
) -matriisi A kutsutaan teknologiamatriiksi. On helppo tarkistaa, että mallimme kirjoitetaan nyt näin: x-s = Ah tai

(1.6)

Saimme klassisen mallin " Input - Output ", jonka kirjoittaja on kuuluisa amerikkalainen taloustieteilijä V. Leontiev.

Esimerkki 1.5.2.

Öljynjalostamolla on kaksi öljylaatua: laatu A määrässä 10 yksikköä, arvosana SISÄÄN- 15 yksikköä. Öljyä jalostettaessa saadaan kaksi materiaalia: bensiini (merkitsimme B) ja polttoöljy ( M). Käsittelyteknologiaprosessissa on kolme vaihtoehtoa:

minä: 1 yksikkö A+ 2 kpl SISÄÄN antaa 3 yksikköä. B+ 2 kpl M

II: 2 yksikköä. A+ 1 yksikkö SISÄÄN antaa 1 yksikön. B+ 5 yksikköä M

III: 2 yksikköä A+ 2 kpl SISÄÄN antaa 1 yksikön. B+ 2 kpl M

Bensiinin yksikköhinta on 10 dollaria, polttoöljyn 1 dollari yksikköltä.

On tarpeen määrittää edullisin teknisten prosessien yhdistelmä käytettävissä olevan öljymäärän käsittelemiseksi.

Selvitetään seuraavat asiat ennen mallintamista. Ongelman ehdoista seuraa, että laitoksen teknologisen prosessin "kannattavuus" tulee ymmärtää siten, että se saa maksimaalisen tulon valmiiden tuotteidensa (bensiini ja polttoöljy) myynnistä. Tältä osin on selvää, että laitoksen "valinta (tekeminen)" koostuu siitä, mitä teknologiaa sovelletaan ja kuinka monta kertaa. On selvää, että tällaisia ​​​​vaihtoehtoja on melko paljon.

Merkitään tuntemattomat suuret:

X i– käyttömäärä i tekninen prosessi (i=1,2,3). Muut mallin parametrit (öljyvarat, bensiinin ja polttoöljyn hinnat) tiedossa.

Nyt yksi tietty kasvipäätös tulee valitsemaan yksi vektori X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , josta laitoksen tuotto on yhtä suuri (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Tässä 32 dollaria on tulot, jotka saadaan yhdestä ensimmäisen teknologisen prosessin sovelluksesta (10 dollaria 3 yksikköä. B+ 1 dollari · 2 yksikköä. M= 32 dollaria). Toisen ja kolmannen teknologisen prosessin kertoimilla 15 ja 12 on vastaava merkitys. Öljyvarantojen huomioon ottaminen johtaa seuraaviin ehtoihin:

monipuolisuuden vuoksi A:

monipuolisuuden vuoksi SISÄÄN:,

jossa ensimmäisessä epäyhtälökertoimessa 1, 2, 2 ovat A-luokan öljyn kulutusasteet teknisten prosessien kertakäyttöön minä,II,III vastaavasti. Toisen epäyhtälön kertoimilla on samanlainen merkitys luokan B öljylle.

Matemaattinen malli kokonaisuudessaan on muotoa:

Etsi tällainen vektori x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maksimoimaan

f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3

seuraavin ehdoin:

Tämän merkinnän lyhennetty muoto on:

rajoitusten alla

(1.7)

Meillä on niin sanottu lineaarinen ohjelmointiongelma.

Malli (1.7.) on esimerkki deterministisen tyyppisestä optimointimallista (jossa on tarkasti määritellyt elementit).

Esimerkki 1.5.3.

Sijoittajan on määritettävä paras yhdistelmä osakkeita, joukkovelkakirjoja ja muita arvopapereita ostaakseen tietyllä summalla saadakseen tietyn voiton minimaalisella riskillä itselleen. Voitto arvopaperiin sijoitettua dollaria kohden j- tyyppi, jolle on tunnusomaista kaksi indikaattoria: odotettu voitto ja todellinen voitto. Sijoittajan kannalta on toivottavaa, että odotettu tuotto sijoituksen dollaria kohden ei ole pienempi kuin annettu arvo koko arvopaperijoukolle b.

Huomaa, että tämän ongelman mallintamiseksi oikein matemaatikolla on oltava tietyt perustiedot arvopaperisalkkuteorian alalla.

Merkitään ongelman tunnetut parametrit:

n– arvopaperityyppien lukumäärä; A j– todellinen voitto (satunnaisluku) j:nnen tyyppisestä arvopaperista; – odotettu tuotto j-turvallisuustyyppi.

Merkitään tuntemattomat suuret :

y j - tällaisten arvopapereiden ostoon osoitetut varat j.

Käytämme merkintäämme koko sijoitetun summan ilmaistuna . Mallin yksinkertaistamiseksi otamme käyttöön uusia määriä

.

Täten, X i- tämä on osuus kaikista varoista, jotka on varattu tyyppisten arvopapereiden hankintaan j.

Se on selvää

Ongelman ehdoista käy selvästi ilmi, että sijoittajan tavoitteena on saavuttaa tietty voittotaso minimaalisella riskillä. Pohjimmiltaan riski on mitta, jolla mitataan todellisen voiton poikkeama odotetusta. Siksi se voidaan tunnistaa tyypin i ja j:n arvopapereiden voittojen kovarianssilla. Tässä M on matemaattisen odotuksen nimitys.

Alkuperäisen ongelman matemaattinen malli on muotoa:

rajoitusten alla

,
,
,
. (1.8)

Arvopaperisalkun rakenteen optimointiin on hankittu tunnettu Markowitz-malli.

Malli (1.8.) on esimerkki stokastisen tyyppisestä optimointimallista (satunnaisuuselementeillä).

Esimerkki 1.5.4.

Ammattiorganisaation perusteella yhtä vähimmäisvalikoiman tuotetta on n tyyppiä. Liikkeeseen saa tuoda vain yhden tyyppisen tuotteen. Sinun on valittava myymälään sopiva tuotetyyppi. Jos tuotetyyppi j tulee olemaan kysyntää, myymälä saa voittoa myynnistään R j, jos sille ei ole kysyntää - tappio q j .

Ennen mallintamista keskustelemme joistakin peruskysymyksistä. Tässä ongelmassa päätöksentekijä (DM) on kauppa. Lopputulos (maksimivoitto) ei kuitenkaan riipu vain hänen päätöksestään, vaan myös siitä, onko tuontituotteella kysyntää, eli ostaako sen väestö (oletetaan, että kauppa ei jostain syystä osta on mahdollisuus tutkia väestön kysyntää ). Siksi väestöä voidaan pitää toisena päätöksentekijänä, joka valitsee tuotetyypin mieltymystensä mukaan. Väestön pahin ”päätös” kauppaa kohtaan on: ”tuodatuilla tuotteilla ei ole kysyntää”. Joten ottaakseen huomioon kaikki mahdolliset tilanteet, kaupan on pidettävä väestö "vihollisenaan" (ehdollisesti) ja pyrkiä päinvastaiseen tavoitteeseen - minimoida kaupan voitto.

Meillä on siis päätöksenteko-ongelma kahden osallistujan kanssa, jotka tavoittelevat vastakkaisia ​​tavoitteita. Selvennetään, että kauppa valitsee yhden myytävistä tavaratyypeistä (päätösvaihtoehtoja on n) ja väestö valitsee yhden eniten kysytyistä tavaratyypeistä ( n ratkaisuvaihtoehdot).

Kääntää matemaattinen malli piirretään pöytä n linjat ja n sarakkeet (yhteensä n 2 solut) ja sovitaan, että rivit vastaavat myymälän valintaa ja sarakkeet perusjoukon valintaa. Sitten solu (i, j) vastaa tilannetta, jossa kauppa valitsee i tuotetyyppi ( i-. rivi), ja väestö valitsee j tuotetyyppi ( j- sarake). Jokaiseen soluun kirjoitetaan numeerinen arvio (voitto tai tappio) vastaavasta tilanteesta myymälän näkökulmasta:

Numerot q i kirjoitettu miinuksella myymälän menetyksen mukaan; kussakin tilanteessa väestön "voitto" (ehdollisesti) on yhtä suuri kuin kaupan "voitto" päinvastaisella merkillä otettuna.

Tämän mallin lyhennetty muoto on:

(1.9)

Meillä on niin sanottu matriisipeli. Malli (1.9.) on esimerkki pelin päätöksentekomalleista.

Matemaattisen mallin rakentamiseen tarvitset:

1. analysoida huolellisesti todellinen kohde tai prosessi;
2. korostaa sen tärkeimpiä ominaisuuksia ja ominaisuuksia;
3. määritellä muuttujat, ts. parametrit, joiden arvot vaikuttavat kohteen pääominaisuuksiin ja ominaisuuksiin;
4. kuvaa objektin, prosessin tai järjestelmän perusominaisuuksien riippuvuutta muuttujien arvoista käyttämällä loogis-matemaattisia suhteita (yhtälöt, yhtälöt, epäyhtälöt, loogis-matemaattiset konstruktit);
5. korostaa kohteen, prosessin tai järjestelmän sisäisiä yhteyksiä rajoitusten, yhtälöiden, yhtälöiden, epäyhtälöiden, loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla;
6. määritellä ulkoiset suhteet ja kuvata niitä rajoitusten, yhtälöiden, yhtälöiden, epäyhtälöiden, loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla.

Matemaattiseen mallinnukseen kuuluu objektin, prosessin tai järjestelmän tutkimisen ja siitä matemaattisen kuvauksen laatimisen lisäksi myös:

1. algoritmin rakentaminen, joka mallintaa objektin, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä;
2. mallin ja kohteen, prosessin tai järjestelmän riittävyyden tarkistaminen laskennallisten ja täysimittaisten kokeiden perusteella;
3. mallin säätö;
4. mallia käyttämällä.

Tutkittavien prosessien ja järjestelmien matemaattinen kuvaus riippuu:

1. todellisen prosessin tai järjestelmän luonne ja se on koottu fysiikan, kemian, mekaniikan, termodynamiikan, hydrodynamiikan, sähkötekniikan, plastisuusteorian, elastisuusteorian jne. lakien perusteella.
2. todellisten prosessien ja järjestelmien tutkimuksen ja tutkimuksen vaadittava luotettavuus ja tarkkuus.

Matemaattisen mallin rakentaminen alkaa yleensä yksinkertaisimman, karkeimman matemaattisen mallin rakentamisesta ja analysoinnista tarkasteltavana olevasta esineestä, prosessista tai järjestelmästä. Jatkossa mallia tarkennetaan tarvittaessa ja sen vastaavuutta kohteeseen täydennetään.

Otetaan yksinkertainen esimerkki. On tarpeen määrittää pöydän pinta-ala. Tyypillisesti tämä tehdään mittaamalla sen pituus ja leveys ja kertomalla sitten saadut luvut. Tämä alkeismenettely tarkoittaa itse asiassa seuraavaa: todellinen esine (pöydän pinta) korvataan abstraktilla matemaattisella mallilla - suorakulmiolla. Pöydän pinnan pituuden ja leveyden mittaamalla saadut mitat on kohdistettu suorakulmioon, ja tällaisen suorakulmion pinta-ala otetaan suunnilleen pöydän vaadittavaksi alueeksi. Pöydän suorakaidemalli on kuitenkin yksinkertaisin ja karkein malli. Jos otat vakavamman lähestymistavan ongelmaan, tämä malli on tarkistettava ennen suorakaidemallin käyttämistä taulukon alueen määrittämiseen. Tarkastukset voidaan tehdä seuraavasti: mittaa pituudet vastakkaiset puolet taulukko sekä sen diagonaalien pituudet ja vertailla niitä toisiinsa. Jos vastakkaisten sivujen ja diagonaalien pituudet ovat vaaditulla tarkkuudella samat pareittain, niin taulukon pintaa voidaan todellakin pitää suorakulmiona. Muussa tapauksessa suorakaidemalli on hylättävä ja korvattava nelikulmamallilla yleisnäkymä. Suuremmalla tarkkuusvaatimuksella mallia voi olla tarpeen jalostaa edelleen, esimerkiksi pöydän kulmien pyöristymisen huomioon ottamiseksi.

Tämän avulla yksinkertainen esimerkki osoitettiin, että matemaattinen malli ei ole yksiselitteisesti määritetty objektin, prosessin tai järjestelmä.

TAI (tarkentuu huomenna)

Tapoja ratkaista matematiikka. Mallit:

1, Luonnonlakeihin perustuvan mallin rakentaminen (analyyttinen menetelmä)

2. Muodollinen tapa tilastollisilla menetelmillä. Käsittely- ja mittaustulokset (tilastollinen lähestymistapa)

3. Elementtien malliin perustuvan mallin rakentaminen (monimutkaiset järjestelmät)

1, Analyyttinen - käytä riittävän tutkimuksen kanssa. Yleinen malli on tiedossa. Mallit.

2. kokeilu. Tietojen puuttuessa.

3. Imitation m. - tutkii kohteen ominaisuuksia. Yleisesti.

Esimerkki matemaattisen mallin rakentamisesta.

Matemaattinen malli on matemaattinen esitys todellisuudesta.

Matemaattinen mallinnus on matemaattisten mallien rakentamisen ja tutkimisen prosessi.

Kaikki matematiikkaa käyttävät luonnon- ja yhteiskuntatieteet harjoittavat olennaisesti matemaattista mallintamista: ne korvaavat kohteen sen matemaattisella mallilla ja tutkivat sitten jälkimmäistä. Matemaattisen mallin ja todellisuuden välinen yhteys toteutetaan hypoteesien, idealisointien ja yksinkertaistamisten ketjun avulla. Matemaattisten menetelmien avulla kuvataan pääsääntöisesti mielekkään mallinnuksen vaiheessa konstruoitu ihanteellinen kohde.

Miksi malleja tarvitaan?

Hyvin usein mitä tahansa esinettä tutkittaessa syntyy vaikeuksia. Alkuperäistä itseään ei toisinaan ole saatavilla tai sen käyttö ei ole suositeltavaa, tai alkuperäisen houkutteleminen on kallista. Kaikki nämä ongelmat voidaan ratkaista simulaatiolla. Tietyssä mielessä malli voi korvata tutkittavan kohteen.

Yksinkertaisimpia esimerkkejä malleista

§ Valokuvaa voidaan kutsua henkilön malliksi. Ihmisen tunnistamiseksi riittää nähdä hänen valokuvansa.

§ Arkkitehti loi mallin uudesta asuinalueesta. Hän voi siirtää korkean rakennuksen osasta toiseen kätensä liikkeellä. Todellisuudessa tämä ei olisi mahdollista.

Mallityypit

Mallit voidaan jakaa materiaali" Ja täydellinen. yllä olevat esimerkit ovat materiaalimalleja. Ihanteellisilla malleilla on usein ikonisia muotoja. Todelliset käsitteet korvataan joillakin merkeillä, jotka voidaan helposti tallentaa paperille, tietokoneen muistiin jne.

Matemaattinen mallinnus

Matemaattinen mallinnus kuuluu symbolisen mallinnuksen luokkaan. Lisäksi malleja voidaan luoda mistä tahansa matemaattisista objekteista: numeroista, funktioista, yhtälöistä jne.

Matemaattisen mallin rakentaminen

§ Matemaattisen mallin rakentamisessa voidaan havaita useita vaiheita:

1. Ongelman ymmärtäminen, meille tärkeimpien ominaisuuksien, ominaisuuksien, määrien ja parametrien tunnistaminen.

2. Merkintöjen esittely.

3. Rajoitusjärjestelmän laatiminen, jotka syötettyjen arvojen on täytettävä.

4. Sellaisten ehtojen muotoilu ja kirjaaminen, jotka halutun optimaalisen ratkaisun on täytettävä.

Mallinnusprosessi ei pääty mallin luomiseen, vaan se vasta alkaa siitä. Mallin laatimisen jälkeen he valitsevat menetelmän vastauksen löytämiseksi ja ratkaisevat ongelman. kun vastaus on löydetty, sitä verrataan todellisuuteen. Ja on mahdollista, että vastaus ei ole tyydyttävä, jolloin mallia muutetaan tai valitaan jopa täysin erilainen malli.

Esimerkki matemaattisesta mallista

Tehtävä

Tuotantoyhdistys, johon kuuluu kaksi huonekalutehdasta, tarvitsee konepuistonsa päivitystä. Lisäksi ensimmäisen huonekalutehtaan on vaihdettava kolme konetta ja toisen - seitsemän. Tilaukset voidaan tehdä kahdelle työstökonetehtaalle. Ensimmäinen tehdas voi tuottaa enintään 6 konetta, ja toinen tehdas hyväksyy tilauksen, jos niitä on vähintään kolme. Sinun on päätettävä, miten tilaukset tehdään.

MATEMAATTINEN MALLI - esitys konkreettisessa tieteellisessä tiedossa tutkitusta ilmiöstä tai prosessista matemaattisten käsitteiden kielellä. Tässä tapauksessa useita tutkittavan ilmiön ominaisuuksia odotetaan saatavan mallin todellisia matemaattisia ominaisuuksia tutkimalla. Rakentaminen M.m. Useimmiten sanelee tarve saada tutkittavien ilmiöiden ja prosessien kvantitatiivinen analyysi, jota ilman puolestaan ​​on mahdotonta tehdä kokeellisesti todennettavia ennusteita niiden etenemisestä.

Matemaattisen mallinnuksen prosessi käy pääsääntöisesti läpi seuraavat vaiheet. Ensimmäisessä vaiheessa tunnistetaan yhteydet tulevan M.m:n pääparametrien välillä. Se on noin ensinnäkin siitä laadullinen analyysi tutkittavat ilmiöt ja tutkimuksen pääkohteita yhdistävien kuvioiden muotoilu. Tämän perusteella tunnistetaan kohteet, jotka voidaan kuvata kvantitatiivisesti. Vaihe päättyy hypoteettisen mallin rakentamiseen, toisin sanoen matemaattisten käsitteiden kieleen tallentamiseen kvalitatiivisesti mallin pääobjektien välisistä suhteista, jotka voidaan karakterisoida kvantitatiivisesti.

Toisessa vaiheessa tutkitaan varsinaisia ​​matemaattisia ongelmia, joihin rakennettu hypoteettinen malli johtaa. Tässä vaiheessa tärkeintä on saada mallin matemaattisen analyysin tuloksena empiirisesti todennettavat teoreettiset seuraukset (suoran ongelman ratkaisu). Samaan aikaan on usein tapauksia, joissa rakentaakseen ja tutkiakseen M.m. eri aloilla erityisesti tieteellinen tietämys käytetään samaa matemaattista laitteistoa (esimerkiksi differentiaaliyhtälöt) ja syntyy samantyyppisiä matemaattisia ongelmia, vaikkakin hyvin epätriviaaleja kussakin tapauksessa. Lisäksi tässä vaiheessa nopeiden tietokoneiden (tietokoneiden) käyttö tulee erittäin tärkeäksi, mikä mahdollistaa likimääräisten ratkaisujen löytämisen ongelmiin, jotka ovat usein mahdottomia puhtaan matematiikan puitteissa, sellaisella tarkkuudella, jota aiemmin ei ollut saatavilla ( ilman tietokonetta).

Kolmannelle vaiheelle on tunnusomaista toimet, joilla tunnistetaan konstruoidun hypoteettisen M.M.:n riittävyysaste. ne ilmiöt ja prosessit, joita se oli tarkoitettu tutkimaan. Eli jos kaikki mallin parametrit on määritelty, tutkijat pyrkivät selvittämään, missä määrin niiden tulokset ovat havainnointitarkkuuden rajoissa yhdenmukaisia ​​mallin teoreettisten seurausten kanssa. Havaintotarkkuuden rajat ylittävät poikkeamat osoittavat mallin riittämättömyyttä. Usein on kuitenkin tapauksia, joissa mallia rakennettaessa jää jäljelle useita sen parametreja

epävarma. Ongelmia, joissa mallin parametriset ominaisuudet on määritetty siten, että teoreettiset seuraukset ovat havainnointitarkkuuden rajoissa vertailukelpoisia empiiristen kokeiden tulosten kanssa, kutsutaan käänteisongelmiksi.

Neljännessä vaiheessa, kun otetaan huomioon rakennetun hypoteettisen mallin riittävyysasteen tunnistaminen ja uuden kokeellisen tiedon ilmaantuminen tutkittavista ilmiöistä, tapahtuu mallin myöhempi analyysi ja modifiointi. Tässä tehty päätös vaihtelee sovellettujen matemaattisten työkalujen ehdottomasta hylkäämisestä rakennetun mallin hyväksymiseen perustaksi perusteellisesti uuden tieteellisen teorian rakentamiselle.

Ensimmäinen M.m. ilmestyi muinaisessa tieteessä. Niinpä aurinkokunnan mallintamiseksi kreikkalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Eudoxus antoi kullekin planeetalle neljä palloa, joiden liikkeiden yhdistelmä muodosti hippopedin - matemaattisen käyrän, joka oli samanlainen kuin planeetan havaittu liike. Koska tämä malli ei kuitenkaan pystynyt selittämään kaikkia planeettojen liikkeessä havaittuja poikkeavuuksia, se korvattiin myöhemmin Pergan Apolloniuksen episyklisellä mallilla. Viimeistä mallia käytti tutkimuksissaan Hipparkhos ja sitten Ptolemaios, kun siihen oli tehty jonkin verran muutoksia. Tämä malli, kuten sen edeltäjät, perustui uskomukseen, että planeetat liikkuvat yhtenäisesti pyöreät liikkeet, jonka päällekkäisyys selitti näkyvät epäsäännöllisyydet. On huomattava, että Kopernikaaninen malli oli pohjimmiltaan uusi vain laadullisessa mielessä (mutta ei M.M.:na). Ja vain Kepler rakensi Tycho Brahen havaintojen perusteella uuden M.M. Aurinkokunta, joka osoittaa, että planeetat eivät liiku ympyrämäisesti, vaan elliptisellä kiertoradalla.

Tällä hetkellä sopivimpana pidetään niitä, jotka on rakennettu kuvaamaan mekaanisia ja fyysisiä ilmiöitä. M.m. fysiikan ulkopuolella voidaan joitakin poikkeuksia lukuun ottamatta puhua melko varovaisesti. Siitä huolimatta korjataan M.m.:n hypoteettinen luonne ja usein yksinkertaisesti riittämättömyys. eri tiedonaloilla niiden roolia tieteen kehityksessä ei pidä aliarvioida. Usein on tapauksia, joissa jopa kaukana riittämättömät mallit ovat merkittävästi organisoineet ja kannustaneet jatkotutkimusta sekä virheellisiä johtopäätöksiä, jotka sisälsivät myös totuudenjyviä, jotka oikeuttavat täysin näiden mallien kehittämiseen käytetyt ponnistelut.

Kirjallisuus:

Matemaattinen mallinnus. M., 1979;

Ruzavin G.I. Tieteellisen tiedon matematisointi. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Differentiaaliyhtälöt ekologiassa: historiallinen ja metodologinen heijastus // Kysymyksiä luonnontieteen ja tekniikan historiasta. 1997. Nro 3.

Filosofisten termien sanakirja. Tieteellinen painos professori V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, s. 310-311.

Matemaattiset mallit

Matemaattinen malli - likimääräinen opimallinnusobjektin merkitys ilmaistuna käyttäenmatemaattisesta symboliikasta.

Matemaattiset mallit ilmestyivät matematiikan rinnalle vuosisatoja sitten. Tietokoneiden tulo antoi valtavan sysäyksen matemaattisen mallintamisen kehitykselle. Tietokoneiden käyttö on mahdollistanut monien matemaattisten mallien analysoinnin ja soveltamisen käytännössä. analyyttinen tutkimus. Toteutettu tietokoneella matemaattisestitaivas malli nimeltään tietokoneen matemaattinen malli, A kohdennettujen laskelmien tekeminen tietokonemallin avulla nimeltään laskennallinen kokeilu.

Tietojenkäsittelymatematiikan vaiheetjako on esitetty kuvassa. Ensimmäinenvaiheessa - mallinnustavoitteiden määritteleminen. Nämä tavoitteet voivat olla erilaisia:

1. mallia tarvitaan ymmärtämään, miten tietty kohde toimii, mikä sen rakenne on, sen perusominaisuudet, kehityksen ja vuorovaikutuksen lait
   ulkomaailman kanssa (ymmärrys);
2. mallia tarvitaan, jotta opitaan hallitsemaan kohdetta (tai prosessia) ja määrittämään parhaita tapoja johtaminen tietyillä tavoitteilla ja kriteereillä (johtaminen);
3. mallia tarvitaan ennakoimaan toteutuksen suoria ja välillisiä seurauksia annettuja menetelmiä ja vaikutuksen muodot kohteeseen (ennuste).

Selitetäänpä esimerkein. Olkoon tutkimuksen kohteena neste- tai kaasuvirran vuorovaikutus tämän virtauksen esteenä olevan kappaleen kanssa. Kokemus osoittaa, että kehon osan virtausvastus kasvaa virtausnopeuden kasvaessa, mutta jollain riittävän suurella nopeudella tämä voima pienenee äkillisesti kasvaakseen uudelleen nopeuden lisääntyessä. Mikä aiheutti vastusvoiman pienenemisen? Matemaattisen mallinnuksen avulla voimme saada selkeän vastauksen: vastuksen äkillisen laskun hetkellä virtaviivaisen kappaleen takana neste- tai kaasuvirtauksessa muodostuneet pyörteet alkavat irtautua siitä ja kulkeutuvat virtauksen mukana.

Esimerkki täysin toiselta alueelta: kahden yksilölajin populaatiot, jotka olivat eläneet rauhanomaisesti rinnakkain vakaan lukumäärän kanssa ja joilla oli yhteinen ravinto, alkavat "yhtäkkiä" muuttaa lukumääräänsä jyrkästi. Ja tässä matemaattinen mallinnus mahdollistaa (tietyllä luotettavuudella) syyn selvittämisen (tai vähintään kumota tietyn hypoteesin).

Objektin hallintakonseptin kehittäminen on toinen mahdollinen mallintamisen tavoite. Mikä lentokoneen lentotapa minun pitäisi valita varmistaakseni, että lento on turvallinen ja taloudellisesti kannattavin? Kuinka ajoittaa satoja erilaisia ​​töitä suuren laitoksen rakentamiseen niin, että se valmistuu mahdollisimman nopeasti Lyhytaikainen? Monet tällaiset ongelmat syntyvät systemaattisesti ekonomistien, suunnittelijoiden ja tiedemiesten edessä.

Lopuksi, tiettyjen vaikutusten vaikutusten ennustaminen esineeseen voi olla sekä suhteellisen yksinkertaista yksinkertaisissa fysikaalisissa järjestelmissä että erittäin monimutkaista - toteutettavuuden partaalla - biologisissa, taloudellisissa ja sosiaalisissa järjestelmissä. Jos on suhteellisen helppo vastata kysymykseen lämmönjakotavan muutoksista ohuessa sauvassa sen aineseoksen muutoksista johtuvista muutoksista, niin on suhteellisen helppo jäljittää (ennustaa) suuren sauvan rakentamisen ympäristö- ja ilmastovaikutukset. vesivoimala tai sosiaalisia seurauksia verolainsäädännön muutokset ovat verraten vaikeampia. Ehkä tässäkin matemaattisista mallinnusmenetelmistä on tulevaisuudessa merkittävämpää apua.

Toinen vaihe: mallin tulo- ja lähtöparametrien määrittäminen; syöttöparametrien jako sen mukaan, kuinka suuri merkitys niiden muutoksilla on lähtöön. Tätä prosessia kutsutaan rankingiksi tai erotteluksi arvon mukaan (katso. "Formalisointimallinnus").

Kolmas vaihe: matemaattisen mallin rakentaminen. Tässä vaiheessa siirrytään mallin abstraktista muotoilusta formulaatioon, jolla on tietty matemaattinen esitys. Matemaattinen malli on yhtälöt, yhtälöjärjestelmät, epäyhtälöjärjestelmät, differentiaaliyhtälöt tai tällaisten yhtälöiden järjestelmät jne.

Neljäs vaihe: valita menetelmä matemaattisen mallin tutkimiseen. Useimmiten tässä käytetään numeerisia menetelmiä, jotka sopivat hyvin ohjelmointiin. Pääsääntöisesti useat menetelmät sopivat saman ongelman ratkaisemiseen, eroavat toisistaan ​​tarkkuudessa, stabiilisuudessa jne. Koko mallinnusprosessin onnistuminen riippuu usein oikean menetelmän valinnasta.

Viides vaihe: algoritmin kehittäminen, tietokoneohjelman kääntäminen ja virheenkorjaus on vaikea virallistaa. Ohjelmointikielistä monet ammattilaiset suosivat FORTRANia matemaattiseen mallinnukseen: sekä perinteiden että kääntäjien (laskentatyöhön) ylittämättömän tehokkuuden ja siihen kirjoitettujen matemaattisten menetelmien valtavien, huolellisesti korjattujen ja optimoitujen standardiohjelmien kirjastojen saatavuuden vuoksi. . Kielet kuten PASCAL, BASIC, C ovat myös käytössä, riippuen tehtävän luonteesta ja ohjelmoijan taipumuksista.

Kuudes vaihe: ohjelman testaus. Ohjelman toimintaa testataan testitehtävässä, jonka vastaus on aiemmin tiedossa. Tämä on vasta alkua testausmenettelylle, jota on vaikea kuvata muodollisesti kattavasti. Testaus päättyy yleensä, kun käyttäjä omalla tavallaan ammatilliset ominaisuudet löytää ohjelman oikeana.

Seitsemäs vaihe: varsinainen laskennallinen koe, jonka aikana selvitetään, vastaako malli todellista objektia (prosessia). Malli on riittävän riittävä todelliseen prosessiin, jos jotkin tietokoneella saadut prosessin ominaisuudet osuvat yhteen kokeellisesti saatujen ominaisuuksien kanssa tietyllä tarkkuudella. Jos malli ei vastaa todellista prosessia, palataan johonkin edellisistä vaiheista.

Matemaattisten mallien luokittelu

Matemaattisten mallien luokittelu voi perustua erilaisiin periaatteisiin. Voit luokitella malleja tieteenalojen mukaan (fysiikan, biologian, sosiologian matemaattiset mallit jne.). Voidaan luokitella käytetyn matemaattisen laitteiston mukaan (tavallisten differentiaaliyhtälöiden käyttöön perustuvat mallit, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, stokastiset menetelmät, diskreetit algebralliset muunnokset jne.). Lopuksi perustuen yhteisiä tehtäviä mallinnus eri tieteissä, matemaattisesta laitteesta riippumatta, luonnollisin luokitus on:

• kuvailevat (kuvaavat) mallit;
• optimointimallit;
• monikriteerimallit;
• pelien mallit.

Selitetään tämä esimerkein.

Kuvailevat (kuvaavat) mallit. Esimerkiksi mallintaa hyökkäävän komeetan liikettä aurinkokunta, on tehty sen lentoradan ennustamiseksi, etäisyyden, jolla se kulkee maasta, jne. Tässä tapauksessa mallinnustavoitteet ovat luonteeltaan kuvailevia, koska komeetan liikkeeseen ei voida vaikuttaa tai muuttaa siinä mitään.

Optimointimallit käytetään kuvaamaan prosesseja, joihin voidaan vaikuttaa yritettäessä saavuttaa tietty tavoite. Tässä tapauksessa malli sisältää yhden tai useamman parametrin, johon voidaan vaikuttaa. Esimerkiksi aitan lämpötilaa muuttaessasi voit asettaa tavoitteeksi valita järjestelmän, jolla saavutetaan maksimaalinen viljaturvallisuus, ts. optimoida varastointiprosessi.

Monikriteerimallit. Usein on tarpeen optimoida prosessi useiden parametrien mukaan samanaikaisesti, ja tavoitteet voivat olla hyvinkin ristiriitaisia. Kun esimerkiksi tiedät ruoan hinnat ja ihmisen ruuan tarpeen, sinun on järjestettävä ateriat suuria ryhmiä ihmiset (armeijassa, lasten kesäleirillä jne.) on fysiologisesti oikea ja samalla mahdollisimman halpa. On selvää, että nämä tavoitteet eivät täsmää ollenkaan, ts. Mallinnuksessa käytetään useita kriteerejä, joiden välillä on pyrittävä tasapainoon.

Pelimallit voi koskea paitsi tietokonepelit, mutta myös erittäin vakaviin asioihin. Esimerkiksi ennen taistelua komentajan, jos vastapuolen armeijasta on puutteellisia tietoja, on laadittava suunnitelma: missä järjestyksessä tietyt yksiköt viedään taisteluun jne. ottaen huomioon ja mahdollinen reaktio vihollinen. Nykyaikaisessa matematiikassa on erityinen haara - peliteoria - joka tutkii päätöksentekomenetelmiä epätäydellisen tiedon olosuhteissa.

Koulun tietojenkäsittelytieteen kurssilla opiskelijat saavat alkuymmärryksen tietokoneiden matemaattisesta mallintamisesta osana peruskurssia. Lukiossa matemaattista mallintamista voi opiskella perusteellisesti fysiikan ja matematiikan luokkien yleissivistävällä kurssilla sekä osana valinnaista erikoiskurssia.

Tietokonematemaattisen mallinnuksen pääasialliset opetusmuodot lukiossa ovat luennot, laboratorio- ja testitunnit. Tyypillisesti jokaisen uuden mallin luominen ja opiskeluun valmistautuminen kestää 3-4 oppituntia. Aineiston esittelyn aikana asetetaan tehtäviä, jotka opiskelijoiden tulee jatkossa ratkaista itsenäisesti. yleinen hahmotelma hahmotellaan tapoja niiden ratkaisemiseksi. Muotoillaan kysymyksiä, joihin tulee saada vastaukset tehtäviä suoritettaessa. Osoitettu lisäkirjallisuutta, jonka avulla voit hankkia aputietoja tehtävien onnistuneempaa suorittamista varten.

Tuntien järjestelymuoto uutta materiaalia opiskellessa on yleensä luento. Seuraavan mallin keskustelun päätyttyä opiskelijat heillä on käytettävissään tarvittavat teoreettiset tiedot ja tehtävät jatkotyöskentelyä varten. Tehtävän suorittamiseen valmistautuessaan opiskelija valitsee sopivan ratkaisutavan ja testaa kehitettyä ohjelmaa jollakin tutulla yksityisellä ratkaisulla. Mikäli tehtävien suorittamisessa ilmenee täysin mahdollisia vaikeuksia, neuvotellaan ja ehdotetaan näiden osien tutkimista tarkemmin kirjallisissa lähteissä.

Tietokonemallinnuksen opetuksen käytännön osaan sopivin on projektimenetelmä. Tehtävä on muotoiltu opiskelijalle koulutusprojektina ja suoritetaan useiden oppituntien aikana ja pääorganisaatiomuoto on tietokone laboratoriotyöt. Opetusmallinnuksen opetusprojektimenetelmällä voidaan toteuttaa eri tasoilla. Ensimmäinen on opettajan johtama ongelmallinen esitys projektin valmistumisprosessista. Toinen on projektin toteuttaminen opiskelijoiden toimesta opettajan ohjauksessa. Kolmas on opiskelijoiden suorittamaan itsenäisesti koulutustutkimusprojekti.

Työn tulokset tulee esittää numeerisessa muodossa, kaavioiden ja kaavioiden muodossa. Jos mahdollista, prosessi esitetään tietokoneen näytöllä dynaamisesti. Kun laskelmat on suoritettu ja tulokset vastaanotettu, ne analysoidaan ja verrataan niihin tunnetut tosiasiat teoriasta varmistetaan luotettavuus ja tehdään mielekäs tulkinta, joka heijastuu myöhemmin kirjalliseen raporttiin.

Jos tulokset tyydyttävät opiskelijaa ja opettajaa, niin työ laskee valmis, ja sen viimeinen vaihe on raportin laatiminen. Raportti sisältää lyhyet teoreettiset tiedot tutkittavasta aiheesta, ongelman matemaattinen muotoilu, ratkaisualgoritmi ja sen perustelut, tietokoneohjelma, ohjelman tulokset, tulosten analysointi ja johtopäätökset sekä lähdeluettelo.

Kun kaikki raportit on koottu, opiskelijat esittelevät omat lyhyitä viestejä tehdystä työstä, puolustaa projektiaan. Tämä on tehokas raportointimuoto projektin suorittavalta ryhmältä luokalle, mukaan lukien ongelman asettaminen, muodollisen mallin rakentaminen, mallin työskentelymenetelmien valinta, mallin toteuttaminen tietokoneella, työskentely valmiin mallin kanssa, tulkinta tulokset ja ennusteiden tekeminen. Tämän seurauksena opiskelijat voivat saada kaksi arvosanaa: ensimmäinen - projektin laatimisesta ja sen puolustamisen onnistumisesta, toinen - ohjelmasta, sen algoritmin optimaalisuudesta, käyttöliittymästä jne. Opiskelijat saavat arvosanoja myös teoriakilpailujen aikana.

Olennainen kysymys- mitä työkaluja tulisi käyttää koulun tietojenkäsittelytieteen kurssilla matemaattiseen mallinnukseen? Mallien tietokonetoteutus voidaan suorittaa:

• taulukkolaskentaprosessori (yleensä MS Excel);
• luomalla ohjelmia perinteisillä ohjelmointikielillä (Pascal, BASIC jne.) sekä niiden nykyaikaisilla versioilla (Delphi, Visual
  Basic for Application jne.);
• käyttämällä erityisiä sovelluspaketteja matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen (MathCAD jne.).

Peruskoulun tasolla ensimmäinen tapa näyttää olevan parempi. Kuitenkin lukiossa, kun ohjelmointi on mallinnuksen ohella tietojenkäsittelytieteen avainaiheena, sitä kannattaa käyttää mallinnustyökaluna. Ohjelmointiprosessin aikana matemaattisten menettelyjen yksityiskohdat tulevat opiskelijoiden saataville; Lisäksi heidät yksinkertaisesti pakotetaan hallitsemaan ne, ja tämä edistää myös matemaattista koulutusta. Mitä tulee erityisten ohjelmistopakettien käyttöön, tämä sopii tietojenkäsittelytieteen erikoiskurssille muiden työkalujen täydennykseksi.

Harjoittele :

• Tee kaavio avainkäsitteistä.

Luento 1.

MALLINNAN MENETELMÄT PERUSTEET

Järjestelmämallinnuksen ongelman nykytila

Mallintamisen ja simuloinnin käsitteet

Mallintaminen voidaan katsoa tutkittavan kohteen (alkuperäisen) korvaamiseksi sen tavanomaisella kuvalla, kuvauksella tai muulla esineellä ns. malli ja alkuperäistä lähellä olevan käyttäytymisen tarjoaminen tiettyjen oletusten ja hyväksyttävien virheiden puitteissa. Mallintamisen tavoitteena on yleensä ymmärtää alkuperäisen ominaisuudet tutkimalla sen mallia, ei itse esinettä. Tietenkin mallintaminen on perusteltua, kun se on helpompi luoda itse alkuperäinen tai kun jostain syystä on parempi olla luomatta jälkimmäistä ollenkaan.

Alla malli tarkoitetaan fyysistä tai abstraktia objektia, jonka ominaisuudet ovat tietyssä mielessä samankaltaisia ​​kuin tutkittavan kohteen ominaisuudet, jolloin mallin vaatimukset määräytyvät ratkaistavan ongelman ja käytettävissä olevien keinojen mukaan. Malleille on olemassa useita yleisiä vaatimuksia:

2) täydellisyys – kaikkien tarvittavien tietojen toimittaminen vastaanottajalle

esineestä;

3) joustavuus - kyky toistaa erilaisia ​​tilanteita kaikessa

olosuhteiden ja parametrien muutokset;

4) kehittämisen monimutkaisuuden tulee olla nykyisen kannalta hyväksyttävää

aikaa ja ohjelmistoja.

Mallintaminen on prosessi, jossa rakennetaan esineen malli ja tutkitaan sen ominaisuuksia mallia tutkimalla.

Näin ollen mallinnus sisältää 2 päävaihetta:

1) mallin kehittäminen;

2) mallin tutkiminen ja johtopäätösten tekeminen.

Samaan aikaan jokaisessa vaiheessa ratkaistaan ​​erilaisia ​​tehtäviä ja

olennaisesti erilaisia ​​menetelmiä ja keinoja.

Käytännössä he käyttävät erilaisia ​​menetelmiä mallinnus. Toteutustavan mukaan kaikki mallit voidaan jakaa kahteen suureen luokkaan: fyysisiin ja matemaattisiin.

Matemaattinen mallinnus Sitä pidetään yleensä keinona tutkia prosesseja tai ilmiöitä niiden matemaattisten mallien avulla.

Alla fyysinen mallinnus tarkoittaa esineiden ja ilmiöiden tutkimista fysikaalisilla malleilla, jolloin tutkittava prosessi toistetaan säilyttäen sen fyysinen luonne tai käytetään muuta tutkittavan kaltaista fyysistä ilmiötä. Jossa fyysisiä malleja Pääsääntöisesti oletetaan todellinen ruumiillistuma ne alkuperäisen fysikaaliset ominaisuudet, jotka ovat merkityksellisiä tietyssä tilanteessa.. Esimerkiksi uutta lentokonetta suunniteltaessa luodaan malli, jolla on samat aerodynaamiset ominaisuudet; Kehitystä suunnitellessaan arkkitehdit tekevät mallin, joka kuvastaa sen elementtien tilajärjestelyä. Tässä suhteessa kutsutaan myös fysikaalista mallintamista prototyyppien tekeminen.

Puoliintumisajan mallinnus on tutkimus ohjattavista järjestelmistä mallinnuskompleksien sisällyttämisessä malliin todellisia laitteita. Suljettu malli sisältää todellisten laitteiden ohella vaikutteiden ja häiriöiden simulaattoreita, ulkoisen ympäristön matemaattisia malleja ja prosesseja, joille ei tunneta riittävän tarkkaa matemaattista kuvausta. Todellisten laitteiden tai todellisten järjestelmien sisällyttäminen monimutkaisten prosessien mallintamispiiriin mahdollistaa a priori -epävarmuuden vähentämisen ja prosessien tutkimisen, joille ei ole tarkkaa matemaattista kuvausta. Puoliluonnollisen mallintamisen avulla tutkimus tehdään ottaen huomioon pienet aikavakiot ja todellisille laitteille ominaiset lineaarisuudet. Kun tarkastellaan malleja todellisilla laitteilla, käytetään konseptia dynaaminen simulointi, kun tutkitaan monimutkaisia ​​järjestelmiä ja ilmiöitä - evolutiivista, jäljitelmä Ja kyberneettinen mallinnus.

On selvää, että mallintamisen todellinen hyöty voidaan saavuttaa vain, jos kaksi ehtoa täyttyvät:

1) malli tarjoaa oikean (riittävän) näytön ominaisuuksista

alkuperäinen, tutkittavan toiminnan kannalta merkittävä;

2) mallin avulla voit poistaa yllä luetellut ongelmat

tehdä tutkimusta oikeista esineistä.

2. Matemaattisen mallinnuksen peruskäsitteet

Käytännön ongelmien ratkaiseminen matemaattisilla menetelmillä tapahtuu johdonmukaisesti muotoilemalla tehtävä (kehittämällä matemaattinen malli), valitsemalla menetelmä tuloksena olevan matemaattisen mallin tutkimiseksi ja analysoimalla saatu matemaattinen tulos. Ongelman matemaattinen muotoilu esitetään yleensä geometristen kuvien, funktioiden, yhtälöjärjestelmien jne. muodossa. Objektin (ilmiön) kuvaus voidaan esittää käyttämällä jatkuvia tai diskreettejä, deterministisiä tai stokastisia ja muita matemaattisia muotoja.

Matemaattisen mallinnuksen teoria varmistaa ympäröivän maailman erilaisten ilmiöiden esiintymismallien tai järjestelmien ja laitteiden toiminnan tunnistamisen niiden matemaattisen kuvauksen ja mallintamisen avulla ilman täysimittaisia ​​testejä. Tässä tapauksessa käytetään matematiikan säännöksiä ja lakeja, jotka kuvaavat simuloituja ilmiöitä, järjestelmiä tai laitteita niiden idealisoinnin jollain tasolla.

Matemaattinen malli (MM) on järjestelmän (tai toiminnan) formalisoitu kuvaus jollain abstraktilla kielellä, esimerkiksi matemaattisten suhteiden joukon tai algoritmikaavion muodossa, ts. eli sellainen matemaattinen kuvaus, joka simuloi järjestelmien tai laitteiden toimintaa riittävän lähellä niiden todellista käyttäytymistä tasolla, joka saadaan järjestelmien tai laitteiden täyden mittakaavan testauksen yhteydessä.

Mikä tahansa MM kuvaa todellista kohdetta, ilmiötä tai prosessia jossain määrin lähentyen todellisuutta. MM:n tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että tutkimuksen tavoitteista.

Matemaattinen mallinnus sosiaaliset, taloudelliset, biologiset ja fyysiset ilmiöt, esineet, järjestelmät ja erilaiset laitteet ovat yksi tärkeimmistä luonnon ymmärtämisen ja monenlaisten järjestelmien ja laitteiden suunnittelun keinoista. Tunnetaan esimerkkejä mallinnuksen tehokkaasta käytöstä ydinteknologioiden, ilmailu- ja ilmailujärjestelmien luomisessa, ilmakehän ja valtamerten ilmiöiden, sään jne. ennustamisessa.

Tällaiset vakavat mallintamisen osa-alueet vaativat kuitenkin usein supertietokoneita ja suurten tiedemiehien vuosien työtä tietojen valmistelemiseksi mallintamista ja sen virheenkorjausta varten. Tässä tapauksessa monimutkaisten järjestelmien ja laitteiden matemaattinen mallintaminen ei kuitenkaan säästä vain rahaa tutkimukseen ja testaukseen, vaan voi myös eliminoida ympäristökatastrofit - sen avulla voit esimerkiksi luopua ydin- ja lämpöydinaseiden testaamisesta niiden matemaattisen mallintamisen hyväksi. tai ilmailu- ja avaruusjärjestelmien testaaminen ennen niiden varsinaisia ​​lentoja. Tästä syystä matemaattisesta mallintamisesta yksinkertaisempien ongelmien ratkaisutasolla esimerkiksi mekaniikan, sähkötekniikan, elektroniikan, radiotekniikan ja monien muiden tieteen ja teknologian aloilta on tullut käytettävissä suoritettavaksi nykyaikaisilla tietokoneilla. Ja yleistettyjä malleja käytettäessä on mahdollista simuloida melko monimutkaisia ​​järjestelmiä, esimerkiksi tietoliikennejärjestelmiä ja -verkkoja, tutka- tai radionavigointijärjestelmiä.

Matemaattisen mallinnuksen tarkoitus on todellisten (luonnon tai tekniikan) prosessien analysointia matemaattisilla menetelmillä. Tämä puolestaan ​​edellyttää tutkittavan MM-prosessin formalisointia Malli voi olla matemaattinen lauseke, joka sisältää muuttujia, joiden käyttäytyminen on samanlaista kuin todellisen järjestelmän käyttäytyminen Malli voi sisältää satunnaisuuselementtejä, jotka huomioivat mahdollisten todennäköisyyksien kahden tai lisää"pelaajat", kuten peliteoriassa; tai se voi edustaa käyttöjärjestelmän toisiinsa liittyvien osien todellisia muuttujia.

Matemaattinen mallinnus järjestelmien ominaisuuksien tutkimiseksi voidaan jakaa analyyttiseen, simulointiin ja yhdistettyyn. MM:t puolestaan ​​jaetaan simulaatioihin ja analyyttisiin.

Analyyttinen mallinnus

varten analyyttinen mallinnus On ominaista, että järjestelmän toimintaprosessit kirjoitetaan tiettyjen funktionaalisten suhteiden muodossa (algebralliset, differentiaali-, integraaliyhtälöt). Analyyttistä mallia voidaan tutkia seuraavilla menetelmillä:

1) analyyttisiä, kun ne pyrkivät saamaan yleisessä muodossa nimenomaisia ​​riippuvuuksia järjestelmien ominaisuuksista;

2) numeerinen, kun yhtälöille ei ole mahdollista löytää ratkaisua yleisessä muodossa ja ne ratkaistaan ​​tietylle lähtötiedolle;

3) kvalitatiivinen, kun ratkaisun puuttuessa löytyy joitakin sen ominaisuuksia.

Analyyttisiä malleja voidaan saada vain suhteellisen yksinkertaisille järjestelmille. Monimutkaisissa järjestelmissä syntyy usein suuria matemaattisia ongelmia. Analyyttisen menetelmän soveltamiseksi he menevät alkuperäisen mallin merkittävään yksinkertaistamiseen. Yksinkertaistettua mallia käyttävä tutkimus auttaa kuitenkin saamaan vain suuntaa antavia tuloksia. Analyyttiset mallit kuvaavat matemaattisesti oikein tulo- ja lähtömuuttujien ja parametrien välistä suhdetta. Mutta niiden rakenne ei heijasta esineen sisäistä rakennetta.

Analyyttisen mallinnuksen aikana sen tulokset esitetään analyyttisten lausekkeiden muodossa. Esimerkiksi yhdistämällä R.C.- piiri vakiojännitelähteeseen E(R, C Ja E- tämän mallin komponentit), voimme luoda analyyttisen lausekkeen jännitteen aikariippuvuudelle u(t) kondensaattorissa C:

Tämä lineaarinen differentiaaliyhtälö (DE) on tämän yksinkertaisen lineaarisen piirin analyyttinen malli. Sen analyyttinen ratkaisu alkuolosuhteissa u(0) = 0, mikä tarkoittaa purkautunutta kondensaattoria C mallinnuksen alussa voit löytää halutun riippuvuuden - kaavan muodossa:

u(t) = E(1− esims(- t/RC)). (2)

Kuitenkin jopa tässä yksinkertaisimmassa esimerkissä vaaditaan tiettyjä ponnisteluja DE (1) ratkaisemiseksi tai soveltamiseksi tietokonematemaattiset järjestelmät(SCM) symbolisilla laskelmilla – tietokonealgebrajärjestelmät. Tässä täysin triviaalisessa tapauksessa lineaarisen mallintamisen ongelman ratkaiseminen R.C.-piiri antaa melko yleisen muodon analyyttisen lausekkeen (2) - sopii kuvaamaan piirin toimintaa mille tahansa komponenttiarvoille R, C Ja E, ja kuvaa kondensaattorin eksponentiaalista varausta C vastuksen kautta R vakiojännitelähteestä E.

Tietysti analyyttisten ratkaisujen löytäminen analyyttisen mallinnuksen aikana osoittautuu erittäin arvokkaaksi yksinkertaisten lineaaristen piirien, järjestelmien ja laitteiden yleisten teoreettisten mallien tunnistamisessa, mutta sen monimutkaisuus kasvaa jyrkästi, kun malliin kohdistuvat vaikutukset monimutkaistuvat ja niiden järjestys ja määrä muuttuvat. tilayhtälöt, jotka kuvaavat mallinnetun kohteen kasvua. Voit saada enemmän tai vähemmän näkyviä tuloksia mallinnettaessa toisen tai kolmannen asteen kohteita, mutta korkeammalla analyyttisistä lausekkeista tulee liian hankalia, monimutkaisia ​​ja vaikeasti ymmärrettäviä. Esimerkiksi yksinkertainenkin elektroninen vahvistin sisältää usein kymmeniä komponentteja. Kuitenkin monet nykyaikaiset SCM:t, esimerkiksi symbolisen matematiikan järjestelmät Maple, Mathematica tai ympäristöön MATLAB, pystyvät pitkälti automatisoimaan monimutkaisten analyyttisten mallinnusongelmien ratkaisun.

Yksi mallin tyyppi on numeerinen mallinnus, joka koostuu tarvittavien kvantitatiivisten tietojen hankkimisesta järjestelmien tai laitteiden käyttäytymisestä millä tahansa sopivalla numeerisella menetelmällä, kuten Euler- tai Runge-Kutta-menetelmillä. Käytännössä epälineaaristen järjestelmien ja laitteiden mallintaminen numeerisilla menetelmillä osoittautuu paljon tehokkaammaksi kuin yksittäisten yksityisten lineaaristen piirien, järjestelmien tai laitteiden analyyttinen mallintaminen. Esimerkiksi DE (1) tai DE-järjestelmien ratkaisemiseen monimutkaisemmissa tapauksissa ei saada analyyttisessä muodossa olevaa ratkaisua, mutta numeerista simulaatiodataa käyttämällä saadaan melko täydellistä tietoa myös simuloitujen järjestelmien ja laitteiden käyttäytymisestä. rakentaa kuvaajia riippuvuuksista, jotka kuvaavat tätä käyttäytymistä.

Simulaatiomallinnus

klo jäljitelmä 10ja mallintamisessa mallin toteuttava algoritmi toistaa järjestelmän toimintaprosessin ajan mittaan. Prosessin muodostavat alkeisilmiöt simuloidaan säilyttäen niiden looginen rakenne ja tapahtumajärjestys ajan myötä.

Simulaatiomallien tärkein etu analyyttisiin malleihin verrattuna on kyky ratkaista monimutkaisempia ongelmia.

Simulaatiomallien avulla on helppo ottaa huomioon diskreettien tai jatkuvien elementtien, epälineaaristen ominaisuuksien, satunnaisten vaikutusten jne. läsnäolo. Siksi tätä menetelmää käytetään laajalti monimutkaisten järjestelmien suunnitteluvaiheessa. Simulaatiomallinnuksen pääasiallinen toteutusväline on tietokone, joka mahdollistaa järjestelmien ja signaalien digitaalisen mallintamisen.

Tässä suhteessa määritellään ilmaus " tietokonemallinnus”, jota käytetään yhä enemmän kirjallisuudessa. Oletetaan, että tietokonemallinnus on matemaattista mallinnusta tietotekniikalla. Vastaavasti tietokonemallinnustekniikkaan sisältyy seuraavien toimien suorittaminen:

1) mallinnuksen tarkoituksen määrittäminen;

2) käsitteellisen mallin kehittäminen;

3) mallin formalisointi;

4) mallin ohjelmistototeutus;

5) mallikokeilujen suunnittelu;

6) koesuunnitelman toteuttaminen;

7) mallinnuksen tulosten analysointi ja tulkinta.

klo simulaatiomallinnus käytetty MM toistaa tutkittavan järjestelmän toiminnan algoritmin ("logiikan") ajan mittaan järjestelmäparametrien ja ulkoisen ympäristön arvojen erilaisille yhdistelmille.

Esimerkki yksinkertaisimmasta analyyttisestä mallista on suoraviivaisen tasaisen liikkeen yhtälö. Sellaista prosessia tutkittaessa simulaatiomallilla tulee ottaa käyttöön ajassa kuljetun reitin muutosten havainnointi, joissain tapauksissa analyyttinen mallinnus on luonnollisesti parempi, toisissa simulaatio (tai näiden yhdistelmä). Tehdäksesi onnistuneen valinnan, sinun on vastattava kahteen kysymykseen.

Mikä on mallintamisen tarkoitus?

Mihin luokkaan mallinnettu ilmiö voidaan luokitella?

Molempiin kysymyksiin voidaan saada vastaukset mallinnuksen kahdessa ensimmäisessä vaiheessa.

Simulaatiomallit eivät ainoastaan ​​ominaisuuksiltaan, vaan myös rakenteeltaan vastaavat mallinnettua objektia. Tässä tapauksessa mallilla saatujen prosessien ja objektissa tapahtuvien prosessien välillä on yksiselitteinen ja ilmeinen vastaavuus. Simuloinnin haittana on, että ongelman ratkaiseminen kestää kauan hyvän tarkkuuden saavuttamiseksi.

Stokastisen järjestelmän toiminnan simulaatiomallinnuksen tulokset ovat satunnaismuuttujien tai prosessien realisaatioita. Siksi järjestelmän ominaisuuksien löytämiseksi tarvitaan useita toistoja ja myöhempää tietojenkäsittelyä. Useimmiten tässä tapauksessa käytetään simulaatiotyyppiä - tilastollinen

mallinnus(tai Monte Carlo -menetelmä), ts. satunnaisten tekijöiden, tapahtumien, määrien, prosessien, kenttien toistaminen malleissa.

Tilastollisen mallinnuksen tulosten perusteella määritetään arviot hallitun järjestelmän toimintaa ja tehokkuutta kuvaavista yleisistä ja erityisistä todennäköisyyspohjaisista laatukriteereistä. Tilastollista mallintamista käytetään laajalti tieteellisten ja sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen eri tieteen ja teknologian aloilla. Tilastollisia mallinnusmenetelmiä käytetään laajasti monimutkaisten dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa, arvioitaessa niiden toimintaa ja tehokkuutta.

Tilastollisen mallinnuksen viimeinen vaihe perustuu saatujen tulosten matemaattiseen käsittelyyn. Tässä käytetään matemaattisten tilastojen menetelmiä (parametrinen ja ei-parametrinen estimointi, hypoteesien testaus). Esimerkki parametrisesta estimaattorista on suorituskyvyn mittarin otoskeskiarvo. Ei-parametristen menetelmien joukossa laajalle levinnyt histogrammimenetelmä.

Tarkasteltu kaavio perustuu järjestelmän toistuviin tilastollisiin testauksiin ja riippumattomien satunnaismuuttujien tilastointimenetelmiin, mikä ei aina ole käytännössä luonnollinen ja kustannusten kannalta optimaalinen. Järjestelmän testausaikaa voidaan lyhentää käyttämällä tarkempia arviointimenetelmiä. Kuten matemaattisista tilastoista tiedetään, tehokkailla arvioilla on suurin tarkkuus tietyllä otoskoolla. Optimaalinen suodatus ja suurimman todennäköisyyden menetelmä antavat yleinen menetelmä Tilastollisissa mallinnusongelmissa satunnaisprosessien prosessointitoteutuksia tarvitaan paitsi tulosprosessien analysoinnissa.

Myös syötettyjen satunnaisvaikutusten ominaisuuksien hallinta on erittäin tärkeää. Ohjaus koostuu luotujen prosessien jakaumien yhteensopivuudesta annettujen jakaumien kanssa. Tämä ongelma muotoillaan usein näin hypoteesin testausongelma.

Yleinen suuntaus monimutkaisten ohjattujen järjestelmien tietokonemallinnuksessa on halu lyhentää mallinnusaikaa sekä tehdä tutkimusta reaaliajassa. Laskennalliset algoritmit on kätevä esittää toistuvassa muodossa, jolloin ne voidaan toteuttaa nykyisen tiedon vastaanottonopeudella.

JÄRJESTELMÄLÄHESTYMISTAVAN PERIAATTEET MALLINTAMISESSA

Systeemiteorian perusperiaatteet

Systeemiteorian perusperiaatteet syntyivät dynaamisten järjestelmien ja niiden toiminnallisten elementtien tutkimuksen aikana. Järjestelmä ymmärretään ryhmänä toisiinsa liittyviä elementtejä, jotka toimivat yhdessä suorittaakseen ennalta määrätyn tehtävän. Järjestelmäanalyysin avulla voit määrittää eniten todellisia tapoja määrätyn tehtävän täyttäminen varmistaen asetettujen vaatimusten parhaan mahdollisen tyydytyksen.

Systeemiteorian perustana olevia elementtejä ei luoda hypoteesien kautta, vaan ne löydetään kokeellisesti. Järjestelmän rakentamisen aloittamiseksi tarvitaan teknisten prosessien yleiset ominaisuudet. Sama pätee matemaattisesti muotoiltujen kriteerien luomisen periaatteisiin, jotka prosessin tai sen teoreettisen kuvauksen tulee täyttää. Mallintaminen on yksi tärkeimmistä tärkeitä menetelmiä tieteellinen tutkimus ja kokeilu.

Kohdemalleja rakennettaessa käytetään järjestelmälähestymistapaa, joka on monimutkaisten ongelmien ratkaisumetodologia, joka perustuu siihen, että kohde pidetään tietyssä ympäristössä toimivana järjestelmänä. Systemaattiseen lähestymistapaan kuuluu esineen eheyden paljastaminen, sen sisäisen rakenteen sekä yhteyksien ulkoiseen ympäristöön tunnistaminen ja tutkiminen. Tässä tapauksessa kohde esitetään osana todellista maailmaa, jota eristetään ja tutkitaan mallin rakentamisongelman yhteydessä. Lisäksi järjestelmälähestymistapa sisältää johdonmukaisen siirtymisen yleisestä erityiseen, kun suunnittelun tavoite on pohdinnan perusta ja kohdetta tarkastellaan suhteessa ympäristöön.

Monimutkainen objekti voidaan jakaa alijärjestelmiin, jotka ovat objektin osia, jotka täyttävät seuraavat vaatimukset:

1) osajärjestelmä on objektin toiminnallisesti itsenäinen osa. Se on yhteydessä muihin osajärjestelmiin, vaihtaa tietoja ja energiaa niiden kanssa;

2) kullekin osajärjestelmälle voidaan määritellä toimintoja tai ominaisuuksia, jotka eivät ole yhtäpitäviä koko järjestelmän ominaisuuksien kanssa;

3) jokainen osajärjestelmä voidaan jakaa edelleen elementtitasolle.

Tässä tapauksessa elementti ymmärretään alemman tason alijärjestelmäksi, jonka edelleen jakaminen ei ole tarkoituksenmukaista ratkaistavan ongelman kannalta.

Siten järjestelmä voidaan määritellä objektin esitykseksi joukon alijärjestelmiä, elementtejä ja yhteyksiä sen luomista, tutkimusta tai parantamista varten. Tässä tapauksessa järjestelmän suurennettua esitystä, sisältäen pääalijärjestelmät ja niiden väliset yhteydet, kutsutaan makrorakenteeksi, ja yksityiskohtaista järjestelmän sisäisen rakenteen paljastamista elementtitasolle asti kutsutaan mikrorakenteeksi.

Järjestelmän rinnalla on yleensä superjärjestelmä - korkeamman tason järjestelmä, joka sisältää kyseisen kohteen ja minkä tahansa järjestelmän toiminta voidaan määrittää vain superjärjestelmän kautta.

On tarpeen korostaa käsitettä ympäristöstä ulkomaailman esineiden joukkona, jotka vaikuttavat merkittävästi järjestelmän tehokkuuteen, mutta eivät ole osa järjestelmää ja sen superjärjestelmää.

Rakennusmallien järjestelmälähestymistavan yhteydessä käytetään infrastruktuurin käsitettä, joka kuvaa järjestelmän suhdetta ympäristöönsä (ympäristöön), jolloin kohteen oleellisten ominaisuuksien tunnistaminen, kuvaus ja tutkiminen. Tietyn tehtävän puitteissa kutsutaan objektin kerrostumista, ja mikä tahansa objektin malli on sen kerrostettu kuvaus.

Systeemilähestymistavan kannalta on tärkeää määrittää järjestelmän rakenne, ts. joukko yhteyksiä järjestelmän elementtien välillä, mikä kuvastaa niiden vuorovaikutusta. Tätä varten tarkastelemme ensin mallinnuksen rakenteellisia ja toiminnallisia lähestymistapoja.

Rakenteellisen lähestymistavan avulla paljastetaan järjestelmän valittujen elementtien koostumus ja niiden väliset yhteydet. Elementtien ja yhteyksien joukko antaa meille mahdollisuuden arvioida järjestelmän rakennetta. Yleisin rakenteen kuvaus on topologinen kuvaus. Sen avulla voit määrittää järjestelmän komponentit ja niiden liitännät kaavioiden avulla. Vähemmän yleistä on toiminnallinen kuvaus, kun tarkastellaan yksittäisiä toimintoja, eli algoritmeja järjestelmän käyttäytymiselle. Tässä tapauksessa toteutetaan toiminnallinen lähestymistapa, joka määrittelee järjestelmän suorittamat toiminnot.

Systeemilähestymistavan perusteella voidaan ehdottaa mallinkehityksen sekvenssi, jossa erotetaan kaksi suunnittelun päävaihetta: makrosuunnittelu ja mikrosuunnittelu.

Makrosuunnitteluvaiheessa rakennetaan ulkoisen ympäristön malli, tunnistetaan resurssit ja rajoitukset, valitaan järjestelmämalli ja kriteerit riittävyyden arvioimiseksi.

Mikrosuunnitteluvaihe riippuu suurelta osin valitun mallin tyypistä. Yleensä se sisältää tieto-, matemaattisten, teknisten ja ohjelmistojen mallinnusjärjestelmien luomisen. Tässä vaiheessa määritetään luodun mallin tärkeimmät tekniset ominaisuudet, arvioidaan sen kanssa työskentelyyn tarvittava aika ja resurssien kustannukset mallin määritellyn laadun saavuttamiseksi.

Riippumatta mallin tyypistä, sitä rakennettaessa on ohjattava useita systemaattisen lähestymistavan periaatteita:

1) johdonmukainen eteneminen mallin luomisen vaiheissa;

2) tiedon, resurssien, luotettavuuden ja muiden ominaisuuksien koordinointi;

3) oikea suhde mallin rakentamisen eri tasojen välillä;

4) mallisuunnittelun yksittäisten vaiheiden eheys.