Saatuamme alustavat tiedot muuttujien epäyhtälöistä, siirrymme niiden ratkaisun kysymykseen. Analysoidaan lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisua yhdellä muuttujalla ja kaikkia menetelmiä niiden ratkaisemiseksi algoritmien ja esimerkkien avulla. Vain lineaariset yhtälöt, joissa on yksi muuttuja, otetaan huomioon.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mikä on lineaarinen epäyhtälö?

Ensin sinun on määritettävä lineaarinen yhtälö ja selvitettävä sen vakiomuoto ja kuinka se eroaa muista. Koulukurssista olemme saaneet, että eriarvoisuuksilla ei ole perustavanlaatuista eroa, joten on käytettävä useita määritelmiä.

Määritelmä 1

Lineaarinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x on muotoa a x + b > 0 oleva epäyhtälö, kun mitä tahansa epäyhtälömerkkiä käytetään >:n sijaan< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Määritelmä 2

Epäyhtälöt a x< c или a · x >c , jossa x on muuttuja ja a ja c joitakin lukuja, kutsutaan lineaariset epäyhtälöt yhdellä muuttujalla.

Koska mitään ei sanota siitä, voiko kerroin olla yhtä suuri kuin 0, niin tiukka epäyhtälö muotoa 0 x > c ja 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Niiden erot ovat:

• merkintä a · x + b > 0 ensimmäisessä ja a · x > c – toisessa;
• nollakertoimen a hyväksyttävyys, a ≠ 0 - ensimmäisessä ja a = 0 - toisessa.

Uskotaan, että epäyhtälöt a x + b > 0 ja a x > c ovat ekvivalentteja, koska ne saadaan siirtämällä termi osasta toiseen. Epäyhtälön 0 · x + 5 > 0 ratkaiseminen johtaa siihen, että se täytyy ratkaista, eikä tapaus a = 0 toimi.

Määritelmä 3

On katsottu, että yhden muuttujan x lineaariset epäyhtälöt ovat muodon epäyhtälöitä a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Ja a x + b ≥ 0, jossa a ja b ovat reaalilukuja. X:n sijasta voi olla tavallinen luku.

Säännön perusteella meillä on, että 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 kutsutaan lineaariseksi.

Kuinka ratkaista lineaarinen epäyhtälö

Pääasiallinen tapa ratkaista tällaisia ​​epäyhtälöitä on käyttää ekvivalentteja muunnoksia löytääkseen alkeisyhtälöt x< p (≤ , >, ≥) , p on jokin luku, jos a ≠ 0 ja muotoa a< p (≤ , >, ≥) kun a = 0 .

Voit ratkaista epäyhtälön yhdellä muuttujalla käyttämällä intervallimenetelmää tai esittää sen graafisesti. Mitä tahansa niistä voidaan käyttää erikseen.

Käyttämällä vastaavia muunnoksia

Lineaarisen epäyhtälön ratkaisemiseksi muotoa a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , on tarpeen soveltaa ekvivalentteja epäyhtälön muunnoksia. Kerroin voi olla nolla tai ei. Harkitse molempia tapauksia. Selvyyden vuoksi on tarpeen noudattaa järjestelmää, joka koostuu kolmesta pisteestä: prosessin ydin, algoritmi, itse ratkaisu.

Määritelmä 4

Algoritmi lineaarisen epäyhtälön ratkaisemiseksi a x + b< 0 (≤ , >, ≥), jos ≠ 0

• numero b siirretään oikea puoli epäyhtälöt vastakkaisella merkillä, mikä antaa meille mahdollisuuden tulla ekvivalenttiin a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• molemmat epäyhtälön osat jaetaan luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin 0. Lisäksi, kun a on positiivinen, merkki pysyy, kun a on negatiivinen, se muuttuu päinvastaiseksi.

Harkitse hakemusta tämä algoritmi esimerkkien ratkaisemisessa.

Esimerkki 1

Ratkaise epäyhtälö muotoa 3 · x + 12 ≤ 0 .

Ratkaisu

Tällä lineaarisella epäyhtälöllä a = 3 ja b = 12 . Siten x:n kerroin a ei ole nolla. Sovelletaan yllä olevia algoritmeja ja ratkaistaan.

Termi 12 on siirrettävä toiseen epäyhtälön osaan, jonka edessä on etumerkki. Sitten saadaan epäyhtälö muotoa 3 · x ≤ − 12 . Molemmat osat on jaettava kolmella. Etumerkki ei muutu, koska 3 on positiivinen luku. Saamme, että (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , mikä antaa tulokseksi x ≤ − 4 .

Epäyhtälö muotoa x ≤ − 4 on ekvivalentti. Eli ratkaisu 3 x + 12 ≤ 0 on mikä tahansa reaaliluku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 4 . Vastaus kirjoitetaan epäyhtälönä x ≤ − 4 tai muodon (− ∞ , − 4 ] numerovälinä).

Koko yllä kuvattu algoritmi on kirjoitettu seuraavasti:

3 x + 12 < 0; 3 x ≤ -12; x ≤ − 4 .

Vastaus: x ≤ − 4 tai (− ∞ , − 4 ] .

Esimerkki 2

Ilmoita kaikki epäyhtälön − 2 , 7 · z > 0 saatavilla olevat ratkaisut.

Ratkaisu

Ehdosta näemme, että kerroin a kohdassa z on yhtä suuri kuin -2, 7 ja b eksplisiittisesti puuttuu tai on yhtä suuri kuin nolla. Et voi käyttää algoritmin ensimmäistä vaihetta, vaan siirry heti toiseen.

Jaamme yhtälön molemmat osat numerolla - 2, 7. Koska luku on negatiivinen, on tarpeen muuttaa epäyhtälömerkki päinvastaiseksi. Eli saamme, että (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Kirjoitamme koko algoritmin sisään lyhyt muoto:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Vastaus: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Esimerkki 3

Ratkaise epäyhtälö - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Ratkaisu

Ehdon mukaan näemme, että epäyhtälö on ratkaistava kertoimella a muuttujalle x, joka on yhtä suuri kuin -5, kertoimella b, joka vastaa murto-osaa -15 22 . Epäyhtälö on ratkaistava algoritmin mukaan, eli: siirrä - 15 22 toiseen osaan, jolla on vastakkainen etumerkki, jaa molemmat osat -5:llä, vaihda epäyhtälömerkki:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Viimeisessä siirtymässä oikealle puolelle käytetään sääntöä luvun jakamisesta eri etumerkeillä 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , jonka jälkeen teemme jaon murtoluku luonnolliseen lukuun - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 \u003d - 3 22.

Vastaus: x ≥ - 3 22 ja [ - 3 22 + ∞) .

Tarkastellaan tilannetta, jossa a = 0. Lineaarinen lauseke muodosta a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Kaikki perustuu epätasa-arvon ratkaisun määritelmään. Mille tahansa x:n arvolle saadaan numeerinen epäyhtälö muotoa b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Käsittelemme kaikki arviot algoritmin muodossa lineaaristen epäyhtälöiden 0 x + b ratkaisemiseksi< 0 (≤ , > , ≥) :

Määritelmä 5

Muodon numeerinen epäyhtälö b< 0 (≤ , >, ≥) on tosi, silloin alkuperäisellä epäyhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle, ja epätosi, kun alkuperäisellä epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Esimerkki 4

Ratkaise epäyhtälö 0 · x + 7 > 0 .

Ratkaisu

Tämä lineaarinen epäyhtälö 0 · x + 7 > 0 voi ottaa minkä tahansa arvon x . Sitten saadaan epäyhtälö muotoa 7 > 0 . Viimeistä epäyhtälöä pidetään tosi, joten mikä tahansa luku voi olla sen ratkaisu.

Vastaus: intervalli (− ∞ , + ∞) .

Esimerkki 5

Etsi ratkaisu epäyhtälölle 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Ratkaisu

Korvaamalla minkä tahansa luvun muuttuja x saadaan, että epäyhtälö on muodossa − 12 , 7 ≥ 0 . Se on väärin. Eli 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 ei ole ratkaisuja.

Vastaus: ei ole ratkaisuja.

Tarkastellaan lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisua, jossa molemmat kertoimet ovat nolla.

Esimerkki 6

Määritä ratkaisematon epäyhtälö arvoista 0 · x + 0 > 0 ja 0 · x + 0 ≥ 0 .

Ratkaisu

Kun korvataan mikä tahansa luku x:n sijaan, saadaan kaksi epäyhtälöä, jotka ovat muotoa 0 > 0 ja 0 ≥ 0 . Ensimmäinen on virheellinen. Tämä tarkoittaa, että 0 x + 0 > 0:lla ei ole ratkaisuja ja 0 x + 0 ≥ 0:lla on ääretön määrä ratkaisuja, eli mikä tahansa luku.

Vastaus: epäyhtälöllä 0 x + 0 > 0 ei ole ratkaisuja ja 0 x + 0 ≥ 0:lla on ratkaisuja.

Tämä menetelmä huomioidaan koulun matematiikan kurssilla. Intervallimenetelmä pystyy ratkaisemaan erilaisia epätasa-arvot ovat myös lineaarisia.

Intervallimenetelmää käytetään lineaarisille epäyhtälöille, kun kertoimen x arvo ei ole 0. Muussa tapauksessa sinun on laskettava toisella menetelmällä.

Määritelmä 6

Välitysmenetelmä on:

• funktion y = a x + b johdanto;
• etsi nollia jakaaksesi määritelmän alueiksi;
• merkkien määrittäminen niiden käsitteelle aikavälein.

Kootaan algoritmi lineaaristen yhtälöiden a x + b ratkaisemiseksi< 0 (≤ , >, ≥) arvolle ≠ 0 käyttämällä intervallimenetelmää:

• funktion y = a · x + b nollien löytäminen yhtälön ratkaisemiseksi, jonka muoto on a · x + b = 0 . Jos a ≠ 0, niin ratkaisu on ainoa juuri, joka saa merkinnän x 0;
• koordinaattiviivan rakentaminen pisteen kuvan kanssa, jonka koordinaatti on x 0, tiukalla epäyhtälöllä, piste merkitään rei'itettynä, ei-tiukalla epäyhtälöllä se on varjostettu;
• funktion y = a x + b etumerkkien määrittäminen intervalleilla, tätä varten on tarpeen löytää funktion arvot intervallin pisteistä;
• epäyhtälön ratkaisu koordinaattiviivan merkillä > tai ≥, viivoitus lisätään positiivisen aukon yläpuolelle,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Harkitse useita esimerkkejä lineaarisen epäyhtälön ratkaisemisesta intervallimenetelmällä.

Esimerkki 6

Ratkaise epäyhtälö − 3 · x + 12 > 0 .

Ratkaisu

Algoritmista seuraa, että ensin on löydettävä yhtälön − 3 · x + 12 = 0 juuri. Saamme, että − 3 · x = − 12 , x = 4 . On tarpeen kuvata koordinaattiviiva, johon merkitsemme pisteen 4. Se puhkaistaan, koska epätasa-arvo on tiukka. Harkitse alla olevaa piirustusta.

On tarpeen määrittää välien merkit. Sen määrittämiseksi välillä (− ∞ , 4) on tarpeen laskea funktio y = − 3 · x + 12 x = 3 :lle. Tästä saadaan, että − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Intervallin etumerkki on positiivinen.

Määritämme etumerkin väliltä (4, + ∞), sitten korvaamme arvon x \u003d 5. Meillä on − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Suoritamme epäyhtälön ratkaisun merkillä > ja kuoriutuminen suoritetaan positiivisen aukon yli. Harkitse alla olevaa piirustusta.

Piirustuksesta näkyy, että halutulla ratkaisulla on muoto (− ∞ , 4) tai x< 4 .

Vastaus: (− ∞ , 4) tai x< 4 .

Ymmärtääksesi kuinka kuvata graafisesti, on tarpeen tarkastella esimerkkiä 4 lineaariset epätasa-arvot: 0,5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ja 0, 5 x − 1 ≥ 0. Heidän ratkaisunsa ovat x< 2 , x ≤ 2 , x >2 ja x ≥ 2. Piirrä tätä varten lineaarifunktion y = 0 , 5 · x − 1 kaavio alla.

Se on selvää

Määritelmä 7

• epäyhtälön 0, 5 x − 1 ratkaisu< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• ratkaisu 0 , 5 x − 1 ≤ 0 on väli, jossa funktio y = 0, 5 x − 1 on alle 0 x tai osuu yhteen;
• ratkaisua 0 , 5 x − 1 > 0 pidetään välinä, jossa funktio sijaitsee O x:n yläpuolella;
• ratkaisu 0 , 5 x − 1 ≥ 0 on väli, jossa kuvaaja on suurempi kuin O x tai osuu yhteen.

Epäyhtälöiden graafisen ratkaisun tarkoitus on löytää aukot, jotka tulee kuvata kaaviossa. Tässä tapauksessa saamme sen vasen puoli on y \u003d a x + b, ja oikealla on y \u003d 0, ja se on sama kuin O x.

Funktio y = a x + b piirretään:

• samalla kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b ≤ 0, väli määritetään missä kuvaaja näytetään O x -akselin alapuolella tai osuu yhteen;
• kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b > 0, määritetään väli, jossa graafi näytetään O x:n yläpuolella;
• kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b ≥ 0, väli määritetään missä kuvaaja on O x:n yläpuolella tai osuu yhteen.

Esimerkki 7

Ratkaise kaavion avulla epäyhtälö - 5 · x - 3 > 0.

Ratkaisu

On tarpeen rakentaa kuvaaja lineaarisesta funktiosta - 5 · x - 3 > 0 . Tämä viiva pienenee, koska x:n kerroin on negatiivinen. Sen ja O x - 5 · x - 3 > 0 -leikkauspisteen koordinaatit määritetään, saadaan arvo - 3 5 . Piirretään se kaavio.

Epäyhtälön ratkaisu merkillä >, niin sinun on kiinnitettävä huomiota väliin O x:n yläpuolella. Korostamme koneen tarvittavan osan punaisella ja saamme sen

Tarvittava rako on punaisen värin O x -osa. Näin ollen avoin lukusäde - ∞ , - 3 5 on epäyhtälön ratkaisu. Jos ehdon mukaan heillä olisi ei-tiukka epäyhtälö, niin pisteen arvo - 3 5 olisi myös ratkaisu epäyhtälöön. Ja olisi sama kuin O x.

Vastaus: - ∞ , - 3 5 tai x< - 3 5 .

Graafista ratkaisua käytetään, kun vasen puoli vastaa funktiota y = 0 x + b, eli y = b . Sitten viiva on yhdensuuntainen O x:n kanssa tai kohtaa b \u003d 0. Nämä tapaukset osoittavat, että epäyhtälöllä ei välttämättä ole ratkaisuja tai mikä tahansa luku voi olla ratkaisu.

Esimerkki 8

Määritä epäyhtälöistä 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Ratkaisu

Esitys y = 0 x + 7 on y = 7, jolloin saadaan koordinaattitaso, jonka suora on yhdensuuntainen O x:n kanssa ja O x:n yläpuolella. Eli 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Funktion y \u003d 0 x + 0 kuvaajaa pidetään y \u003d 0:na, eli viiva osuu yhteen O x:n kanssa. Näin ollen epäyhtälöllä 0 · x + 0 ≥ 0 on monia ratkaisuja.

Vastaus: toisella epäyhtälöllä on ratkaisu mille tahansa x:n arvolle.

Lineaariset epäyhtälöt

Epäyhtälöiden ratkaisu voidaan pelkistää ratkaisuksi lineaarinen yhtälö, joita kutsutaan lineaarisiksi epäyhtälöiksi.

Näitä epätasa-arvoja pohdittiin koulun kurssilla, koska ne olivat eriarvoisuuksien ratkaisemisen erityinen tapaus, joka johti hakasulkeiden avaamiseen ja vastaavien termien vähentämiseen. Oletetaan esimerkiksi, että 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Yllä annetut epäyhtälöt pelkistetään aina lineaarisen yhtälön muotoon. Sen jälkeen sulut avataan ja annetaan samankaltaisia ​​termejä, joista siirretään eri osat, vaihtamalla merkin päinvastaiseksi.

Kun pelkistetään epäyhtälö 5 − 2 x > 0 lineaariseksi, esitämme sen siten, että sen muoto on − 2 x + 5 > 0 , ja sekuntia pienentämään saadaan, että 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . On tarpeen avata sulut, tuoda samanlaiset termit, siirtää kaikki termit vasemmalle ja tuoda samanlaiset termit. Se näyttää tältä:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Tämä tuo ratkaisun lineaariseen epätasa-arvoon.

Näitä epäyhtälöitä pidetään lineaarisina, koska niillä on sama ratkaisuperiaate, jonka jälkeen ne on mahdollista pelkistää alkeeryhtälöiksi.

Tämän kaltaisen epätasa-arvon ratkaisemiseksi on välttämätöntä pelkistää se lineaariseksi. Se pitäisi tehdä näin:

Määritelmä 9

• avoimet sulut;
• kerää muuttujia vasemmalla ja numeroita oikealla;
• tuoda samanlaiset ehdot;
• jaa molemmat osat kertoimella x .

Esimerkki 9

Ratkaise epäyhtälö 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Ratkaisu

Laajennamme sulkuja, jolloin saadaan epäyhtälö muotoa 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Samankaltaisten termien pelkistämisen jälkeen saamme 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Kun termejä on siirretty vasemmalta oikealle, saadaan 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Näin ollen sen epäyhtälö on muotoa 32 ≤ 0 laskennassa saadusta tuloksesta 0 · x + 32 ≤ 0 . Voidaan nähdä, että epäyhtälö on epätosi, mikä tarkoittaa, että ehdon antamalla epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Vastaus: ei ratkaisuja.

On syytä huomata, että on olemassa monia toisenlaisia ​​epätasa-arvoja, jotka voidaan pelkistää lineaariseksi tai yllä esitetyn kaltaiseksi epäyhtälöksi. Esimerkiksi 5 2 x − 1 ≥ 1 on eksponentiaalinen yhtälö, joka pelkistyy lineaariseen ratkaisuun 2 · x − 1 ≥ 0 . Nämä tapaukset otetaan huomioon tämän tyyppisiä epäyhtälöitä ratkaistaessa.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Yksi opiskelijoilta mahdollisimman paljon huomiota ja sinnikkyyttä vaativista aiheista on eriarvoisuuden ratkaiseminen. Niin samanlainen kuin yhtälöt ja samalla hyvin erilainen kuin ne. Koska heidän ratkaisunsa vaatii erityistä lähestymistapaa.

Vastauksen löytämiseen vaadittavat ominaisuudet

Niitä kaikkia käytetään korvaamaan olemassa oleva merkintä vastaavalla. Suurin osa niistä on samanlaisia ​​kuin yhtälöissä. Mutta on myös eroja.

• DPV:ssä määritetty funktio tai mikä tahansa luku voidaan lisätä alkuperäisen epäyhtälön molempiin osiin.
• Samalla tavalla kertominen on mahdollista, mutta vain positiivisella funktiolla tai luvulla.
• Jos tämä toiminto suoritetaan negatiivisella funktiolla tai numerolla, epäyhtälömerkki on käännettävä.
• Funktiot, jotka eivät ole negatiivisia, voidaan nostaa positiiviseen potenssiin.

Joskus eriarvoisuuksien ratkaisuun liittyy toimia, jotka antavat vieraita vastauksia. Ne on suljettava pois vertaamalla ODZ alue ja monia ratkaisuja.

Välitysmenetelmää käyttämällä

Sen ydin on vähentää epäyhtälö yhtälöksi, jossa nolla on oikealla puolella.

1. Määritä alue, jolla muuttujien sallitut arvot ovat, eli ODZ.
2. Muunna epäyhtälö matemaattisilla operaatioilla siten, että sen oikea puoli on nolla.
3. Korvaa epäyhtälömerkki "=":lla ja ratkaise vastaava yhtälö.
4. Merkitse numeeriselle akselille kaikki ratkaisun aikana saadut vastaukset sekä ODZ:n välit. Jos epätasa-arvo on tiukka, pisteet on vedettävä rei'itetyinä. Jos on yhtäläisyysmerkki, ne on tarkoitus maalata päälle.
5. Määritä alkuperäisen funktion etumerkki kullekin ODZ:n pisteistä ja sen jakavista vastauksista tuloksena olevalle intervalleille. Jos funktion etumerkki ei muutu pisteen läpi kulkiessaan, se syöttää vastauksen. Muuten se on poissuljettu.
6. ODZ:n rajapisteet on tarkastettava lisäksi ja vasta sitten sisällytettävä tai ei vastauksena.
7. Saatu vastaus on kirjoitettava yhdistelmäjoukkojen muodossa.

Vähän kaksinkertaisesta eriarvoisuudesta

He käyttävät tietueessa kahta eriarvoisuusmerkkiä kerralla. Eli jotkin toiminnot ovat ehtojen rajoittamia kahdesti kerralla. Tällaiset epäyhtälöt ratkaistaan ​​kahden järjestelmänä, kun alkuperäinen jaetaan osiin. Ja intervallimenetelmässä on osoitettu molempien yhtälöiden ratkaisun vastaukset.

Niiden ratkaisemiseksi on myös sallittua käyttää yllä mainittuja ominaisuuksia. Heidän avullaan on kätevää vähentää epätasa-arvo nollaan.

Entä epäyhtälöt, joilla on moduuli?

Tässä tapauksessa epäyhtälöiden ratkaisu käyttää seuraavia ominaisuuksia, ja ne pätevät "a":n positiiviselle arvolle.

Jos "x" kestää algebrallinen lauseke, niin seuraavat vaihdot ovat voimassa:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a x:llä< -a или х >a.

Jos epäyhtälöt eivät ole tiukkoja, niin kaavat ovat myös totta, vain niissä esiintyy suuremman tai pienemmän merkin lisäksi "=".

Miten epätasa-arvojärjestelmä ratkaistaan?

Tätä tietoa tarvitaan niissä tapauksissa, joissa tällainen tehtävä annetaan tai tietueessa on tietue kaksois-epäyhtälöstä tai tietueessa näkyy moduuli. Tällaisessa tilanteessa ratkaisuna ovat sellaiset muuttujien arvot, jotka täyttävät kaikki tietueen epäyhtälöt. Jos tällaisia ​​lukuja ei ole, järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Suunnitelma, jonka mukaan eriarvoisuusjärjestelmän ratkaisu suoritetaan:

• ratkaise jokainen niistä erikseen;
• kuvata kaikki intervallit numeerisella akselilla ja määrittää niiden leikkauspisteet;
• kirjoita ylös järjestelmän vastaus, joka on liitto toisessa kappaleessa tapahtuneesta.

Entä murto-epäyhtälöt?

Koska niiden ratkaisun aikana saattaa joutua muuttamaan eriarvoisuuden merkkiä, on suunnitelman kaikkia kohtia noudatettava erittäin huolellisesti ja huolellisesti. Muuten saatat saada päinvastaisen vastauksen.

Murtoepäyhtälöiden ratkaisemisessa käytetään myös intervallimenetelmää. Ja toimintasuunnitelma olisi seuraava:

• Anna murto kuvattujen ominaisuuksien avulla sellaiseksi, että merkin oikealle puolelle jää vain nolla.
• Korvaa epäyhtälö arvolla "=" ja määritä pisteet, joissa funktio on yhtä suuri kuin nolla.
• Merkitse ne koordinaattiakselille. Tässä tapauksessa nimittäjässä olevista laskelmista saadut luvut leimataan aina ulos. Kaikki muut perustuvat epätasa-arvoon.
• Määritä vakiovälit.
• Kirjoita vastauksena muistiin niiden intervallien liitto, joiden merkki vastaa sitä, joka oli alkuperäisessä epäyhtälössä.

Tilanteet, joissa irrationaalisuus ilmenee epätasa-arvossa

Toisin sanoen tietueessa on matemaattinen juuri. Koska koulun algebran kurssilla suurin osa Tehtävät menee neliöjuurelle, niin se otetaan huomioon.

Irrationaalisten epätasa-arvojen ratkaisu perustuu kahden tai kolmen järjestelmän saamiseen, joka vastaa alkuperäistä.

Esimerkkejä erilaisten epätasa-arvojen ratkaisemisesta

Alla on esimerkkejä, jotta epätasa-arvojen ratkaisemista koskeva teoria selkeytyy.

Ensimmäinen esimerkki. 2x - 4 > 1 + x

Ratkaisu: DHS:n määrittämiseksi tarvitsee vain tarkastella tarkasti eriarvoisuutta. Se muodostuu lineaariset funktiot, joten se on määritetty kaikille muuttujan arvoille.

Nyt sinun on vähennettävä epäyhtälön molemmilta puolilta (1 + x). Osoittautuu: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Kun sulut on avattu ja vastaavat ehdot on annettu, epäyhtälö saa seuraavan muodon: x - 5 > 0.

Kun se rinnastetaan nollaan, sen ratkaisu on helppo löytää: x = 5.

Nyt tämä piste numerolla 5 tulee merkitä koordinaattisäteeseen. Tarkista sitten alkuperäisen toiminnon merkit. Ensimmäisellä välillä miinus äärettömyydestä 5:een voit ottaa luvun 0 ja korvata sen muunnosten jälkeen saatuun epäyhtälöön. Laskelmien jälkeen tulee -7 >0. intervallin kaaren alle sinun on allekirjoitettava miinusmerkki.

Seuraavalla aikavälillä 5:stä äärettömään voit valita luvun 6. Sitten käy ilmi, että 1 > 0. Kaaren alle on merkitty “+”-merkki. Tämä toinen väli on vastaus epätasa-arvoon.

Vastaus: x on välissä (5; ∞).

Toinen esimerkki. On ratkaistava kahden yhtälön järjestelmä: 3x + 3 ≤ 2x + 1 ja 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Ratkaisu. Näiden epäyhtälöiden ODZ on myös minkä tahansa lukujen alueella, koska lineaarifunktiot on annettu.

Toinen epäyhtälö on seuraavan yhtälön muodossa: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Muunnoksen jälkeen: -x - 4 =0. Se tuottaa muuttujalle arvon, joka on yhtä suuri kuin -4.

Nämä kaksi numeroa tulee merkitä akselille, joka näyttää välit. Koska eriarvoisuus ei ole tiukka, kaikki kohdat on varjostettava. Ensimmäinen intervalli on miinus äärettömästä -4. Valitaan numero -5. Ensimmäinen epäyhtälö antaa arvon -3 ja toinen 1. Tämä väli ei siis sisälly vastaukseen.

Toinen väli on -4 - -2. Voit valita luvun -3 ja korvata sen molemmissa epäyhtälöissä. Ensimmäisessä ja toisessa saadaan arvo -1. Joten kaaren alla "-".

Viimeisellä välillä -2:sta äärettömyyteen nolla on paras luku. Sinun on korvattava se ja löydettävä eriarvoisuuksien arvot. Ensimmäisessä niistä saadaan positiivinen luku ja toisessa nolla. Tämä aikaväli tulisi myös jättää vastauksen ulkopuolelle.

Kolmesta intervallista vain yksi on ratkaisu epäyhtälöön.

Vastaus: x kuuluu [-4; -2].

Kolmas esimerkki. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Ratkaisu. Ensimmäinen askel on määrittää kohdat, joissa funktiot katoavat. Vasemmalla tämä luku on 2, oikealla - 1. Ne on merkittävä palkkiin ja määritettävä pysyvyysvälit.

Ensimmäisellä aikavälillä, miinus äärettömästä 1:een, epäyhtälön vasemmalta puolelta funktio ottaa positiivisia arvoja ja oikealta negatiivisia arvoja. Kaaren alle on kirjoitettava kaksi merkkiä "+" ja "-" vierekkäin.

Seuraava väli on 1 - 2. Siinä molemmat funktiot saavat positiivisia arvoja. Kaaren alla on siis kaksi plussaa.

Kolmas väli 2:sta äärettömään antaa seuraavan tuloksen: vasen toiminto- negatiivinen, oikea - positiivinen.

Ottaen huomioon saadut merkit, on tarpeen laskea epäyhtälöarvot kaikille aikaväleille.

Ensimmäisessä saadaan seuraava epäyhtälö: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Miinus ennen kahta toisessa epäyhtälössä johtuu siitä, että tämä funktio on negatiivinen.

Muunnoksen jälkeen epäyhtälö näyttää tältä: x > 0. Se antaa heti muuttujan arvot. Toisin sanoen tältä väliltä vain väli 0 - 1 menee vastaukseksi.

Toisella: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Muunnokset antavat tällaisen epätasa-arvon: -3x + 4 on suurempi kuin nolla. Sen nolla on arvo x = 4/3. Epäyhtälömerkki huomioon ottaen käy ilmi, että x:n on oltava pienempi kuin tämä luku. Tämä tarkoittaa, että tämä intervalli pienenee väliin 1 - 4/3.

Jälkimmäinen antaa seuraavan tietueen epäyhtälöstä: - (2 - x) > 2 (x - 1). Sen muunnos johtaa tähän: -x > 0. Eli yhtälö pätee x:lle, joka on pienempi kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että epäyhtälö ei anna ratkaisuja vaaditulla aikavälillä.

Kahdella ensimmäisellä aikavälillä rajanumero oli 1. Se on tarkistettava erikseen. Eli korvaa alkuperäisen epätasa-arvon. Osoittautuu: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Laskemalla saadaan, että 1 on suurempi kuin 0. Tämä on tosi väite, joten yksi sisältyy vastaukseen.

Vastaus: x on välissä (0; 4/3).

Mitä tahansa epäyhtälöä, joka sisältää funktion juuren alla, kutsutaan irrationaalinen. Tällaisia ​​eriarvoisuuksia on kahdenlaisia:

Ensimmäisessä tapauksessa juuri vähemmän toimintoja g (x), toisessa - enemmän. Jos g(x) - vakio, eriarvoisuus yksinkertaistuu dramaattisesti. Huomaa, että nämä epätasa-arvot ovat ulkoisesti hyvin samankaltaisia, mutta niiden ratkaisumallit ovat pohjimmiltaan erilaisia.

Tänään opimme ratkaisemaan ensimmäisen tyypin irrationaaliset epätasa-arvot - ne ovat yksinkertaisimpia ja ymmärrettävimpiä. Epätasa-arvomerkki voi olla tiukka tai ei-tiukka. Seuraava väite pitää paikkansa heidän kohdallaan:

Lause. Mikä tahansa muodon irrationaalinen epätasa-arvo

Vastaa epätasa-arvojärjestelmää:

Ei heikko? Katsotaanpa, mistä tällainen järjestelmä tulee:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - tässä kaikki on selvää. Tämä on alkuperäinen epätasa-arvo neliöitynä;
2. f(x) ≥ 0 on juuren ODZ. Muistutan teitä: aritmetiikka Neliöjuuri on olemassa vain alkaen ei-negatiivinen numerot;
3. g(x) ≥ 0 on juuren alue. Neliöimällä epätasa-arvon poltamme haitat. Tämän seurauksena ylimääräisiä juuria voi ilmestyä. Epäyhtälö g (x) ≥ 0 leikkaa ne pois.

Monet opiskelijat "käyvät sykleissä" järjestelmän ensimmäisessä epäyhtälössä: f (x) ≤ g 2 (x) - ja unohtavat kokonaan kaksi muuta. Tulos on ennustettavissa: väärä päätös, menetetyt pisteet.

Koska irrationaaliset epätasa-arvot ovat melko monimutkainen aihe, analysoidaan 4 esimerkkiä kerralla. Alkeista todella monimutkaisiin. Kaikki tehtävät otetaan Moskovan valtionyliopiston pääsykokeista. M. V. Lomonosov.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

Meillä on klassikko järjetöntä eriarvoisuutta: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 on vakio. Meillä on:

Vain kaksi kolmesta epäyhtälöstä oli jäljellä ratkaisun loppuun mennessä. Koska epäyhtälö 2 ≥ 0 pätee aina. Leikkaa jäljellä olevat epäyhtälöt:

Joten x ∈ [−1,5; 0,5]. Kaikki pisteet on varjostettu, koska eriarvoisuus ei ole tiukkaa.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

Käytämme lausetta:

Ratkaisemme ensimmäisen epätasa-arvon. Tätä varten avaamme eron neliön. Meillä on:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Ratkaistaan ​​nyt toinen epäyhtälö. Myös siellä neliön trinomi:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)