Määritelmä. Olkoon funktio \(y = f(x) \) määritelty jossain välissä, jonka sisällä on piste \(x_0 \). Kasvatetaan \(\Delta x \) argumenttiin, jotta tämä intervalli ei poistu. Etsi funktion \(\Delta y \) vastaava lisäys (siirrettäessä pisteestä \(x_0 \) pisteeseen \(x_0 + \Delta x \)) ja muodosta relaatio \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Jos tälle suhteelle on raja kohdassa \(\Delta x \rightarrow 0 \), niin määritetty raja kutsutaan johdannainen funktio\(y=f(x) \) pisteessä \(x_0 \) ja merkitse \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbolia y käytetään usein merkitsemään derivaatta. Huomaa, että y" = f(x) on uusi funktio, mutta liittyy luonnollisesti funktioon y = f(x), joka on määritelty kaikissa pisteissä x, joissa yllä oleva raja on olemassa. Tätä funktiota kutsutaan näin: funktion y \u003d f (x) derivaatta.
Derivaatan geometrinen merkitys koostuu seuraavista. Jos tangentti, joka ei ole yhdensuuntainen y-akselin kanssa, voidaan piirtää funktion y \u003d f (x) kuvaajaan pisteessä, jossa on abskissa x \u003d a, niin f (a) ilmaisee tangentin kulmakertoimen:
\(k = f"(a)\)
Koska \(k = tg(a) \), yhtälö \(f"(a) = tg(a) \) on tosi.
Ja nyt tulkitsemme derivaatan määritelmää likimääräisten yhtälöiden kannalta. Olkoon funktiolla \(y = f(x) \) derivaatta tietyssä pisteessä \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tämä tarkoittaa, että pisteen x lähellä likimääräinen yhtälö \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), eli \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Saadun likimääräisen yhtälön merkityksellinen merkitys on seuraava: funktion inkrementti on "melkein verrannollinen" argumentin lisäykseen ja suhteellisuuskerroin on derivaatan arvo annettu piste X. Esimerkiksi funktiolle \(y = x^2 \) likimääräinen yhtälö \(\Delta y \noin 2x \cdot \Delta x \) on voimassa. Jos analysoimme derivaatan määritelmää huolellisesti, huomaamme, että se sisältää algoritmin sen löytämiseksi.
Muotoillaan se.
Kuinka löytää funktion y \u003d f (x) derivaatta?
1. Korjaa arvo \(x \), etsi \(f(x) \)
2. Kasvata \(x \) argumenttia \(\Delta x \), siirry uuteen pisteeseen \(x+ \Delta x \), etsi \(f(x+ \Delta x) \)
3. Etsi funktion inkrementti: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Muodosta relaatio \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Laske $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Tämä raja on funktion derivaatta kohdassa x.
Jos funktiolla y = f(x) on derivaatta pisteessä x, niin sitä kutsutaan differentioituvaksi pisteessä x. Kutsutaan menetelmä funktion y \u003d f (x) derivaatan löytämiseksi erilaistuminen funktiot y = f(x).
Tarkastellaan seuraavaa kysymystä: miten funktion jatkuvuus ja differentioituvuus pisteessä liittyvät toisiinsa?
Olkoon funktio y = f(x) differentioituva pisteessä x. Tällöin funktion kuvaajalle voidaan piirtää tangentti pisteessä M (x; f (x)) ja, muistaakseni, tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x). Tällainen graafi ei voi "murtua" kohdassa pisteen M eli funktion on oltava jatkuva kohdassa x.
Se oli päättelyä "sormilla". Esitetään tiukempi argumentti. Jos funktio y = f(x) on differentioituva pisteessä x, niin likimääräinen yhtälö \(\Delta y \noin f"(x) \cdot \Delta x \) pätee. nolla, sitten \(\Delta y \ ) pyrkii myös nollaan, ja tämä on ehto funktion jatkuvuudelle pisteessä.
Niin, jos funktio on differentioituva pisteessä x, niin se on myös jatkuva siinä pisteessä.
Päinvastoin ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi: funktio y = |x| on jatkuva kaikkialla, erityisesti pisteessä x = 0, mutta funktion kaavion tangenttia "liitospisteessä" (0; 0) ei ole olemassa. Jos jossain vaiheessa on mahdotonta piirtää tangenttia funktiokaavioon, niin tässä vaiheessa ei ole derivaattia.
Vielä yksi esimerkki. Funktio \(y=\sqrt(x) \) on jatkuva koko lukuviivalla, mukaan lukien pisteessä x = 0. Ja funktion kaavion tangentti on olemassa missä tahansa pisteessä, myös pisteessä x = 0 Mutta tässä vaiheessa tangentti osuu yhteen y-akselin kanssa, eli se on kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan, sen yhtälö on muotoa x \u003d 0. Kaltevuus tällaista riviä ei ole, mikä tarkoittaa, että \(f"(0) \) ei myöskään ole olemassa
Joten tutustuimme funktion uuteen ominaisuuteen - differentiaatioon. Mistä tiedät, onko funktio erotettavissa funktion kaaviosta?
Vastaus on itse asiassa annettu yllä. Jos funktion kuvaajaan voidaan jossain vaiheessa piirtää tangentti, joka ei ole kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin tässä vaiheessa funktio on differentioituva. Jos jossain vaiheessa funktion kuvaajan tangenttia ei ole olemassa tai se on kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin funktio ei tässä vaiheessa ole differentioituva.
Erottamisen säännöt
Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan erilaistuminen. Tätä toimintoa suoritettaessa joudut usein työskentelemään osamäärien, summien, funktioiden tulojen sekä "funktioiden funktioiden" eli monimutkaisten funktioiden kanssa. Derivaatan määritelmän perusteella voimme johtaa tätä työtä helpottavia differentiointisääntöjä. Jos C on vakioluku ja f=f(x), g=g(x) ovat joitain differentioituvia funktioita, niin seuraavat ovat totta eriyttämissäännöt:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Taulukko joidenkin funktioiden johdannaisista
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Alustavan tykistövalmistelun jälkeen esimerkit, joissa on 3-4-5 toimintoliitettä, ovat vähemmän pelottavia. Ehkä seuraavat kaksi esimerkkiä näyttävät joillekin monimutkaisilta, mutta jos ne ymmärretään (joku kärsii), niin melkein kaikki muu differentiaalilaskennassa näyttää lapsen vitsiltä.
Esimerkki 2
Etsi funktion derivaatta
Kuten jo todettiin, löydettäessä monimutkaisen funktion derivaatta on ensinnäkin välttämätöntä Oikein YMMÄRRÄ SIJOITUKSET. Tapauksissa, joissa on epäilyksiä, muistutan hyödyllinen tekniikka: otamme esimerkiksi kokeellisen arvon "x" ja yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) korvata tämän arvon "kauhealla ilmaisulla".
1) Ensin täytyy laskea lauseke, joten summa on syvin sisäkkäinen.
2) Sitten sinun on laskettava logaritmi:
4) Kuutioi sitten kosini:
5) Viidennessä vaiheessa ero:
6) Ja lopuksi eniten ulkoinen toiminto on neliöjuuri: 
Monimutkainen funktion erotuskaava 
käytetään käänteisessä järjestyksessä, uloimmasta toiminnosta sisimpään. Me päätämme:
Näyttää olevan virheetön:
1) Otetaan neliöjuuren derivaatta.
2) Otetaan erotuksen derivaatta säännön avulla 
3) Kolmikon derivaatta on nolla. Toisessa termissä otamme asteen derivaatan (kuutio).
4) Otetaan kosinin derivaatta.
6) Ja lopuksi otamme syvimmän pesinnän johdannaisen.
Se voi tuntua liian vaikealta, mutta tämä ei ole julmin esimerkki. Otetaan esimerkiksi Kuznetsovin kokoelma ja arvostat analysoidun johdannaisen viehätystä ja yksinkertaisuutta. Huomasin, että he haluavat antaa samanlaisen asian kokeessa tarkistaakseen, ymmärtääkö opiskelija kuinka löytää monimutkaisen funktion derivaatta, vai ei ymmärrä.
Seuraava esimerkki on erilliselle ratkaisulle.
Esimerkki 3
Etsi funktion derivaatta
Vihje: Ensin sovelletaan lineaarisuuden sääntöjä ja tuotteen erilaistumissääntöä
Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.
On aika siirtyä johonkin kompaktimpaan ja kauniimpaan.
Ei ole harvinaista, että esimerkissä on annettu ei kahden, vaan kolmen funktion tulo. Kuinka löytää johdannainen kolmen tekijän tulosta?
Esimerkki 4
Etsi funktion derivaatta 
Ensin katsotaan, mutta onko mahdollista muuttaa kolmen funktion tulo kahden funktion tuloksi? Esimerkiksi jos tuotteessa olisi kaksi polynomia, voisimme avata sulut. Mutta tässä esimerkissä kaikki funktiot ovat erilaisia: aste, eksponentti ja logaritmi.
Tällaisissa tapauksissa se on välttämätöntä peräkkäin soveltaa tuotteiden erottelusääntöä 
kahdesti
Temppu on, että "y" tarkoittaa kahden funktion tulosta: , ja "ve" - logaritmi:. Miksi tämä voidaan tehdä? Onko se 
- tämä ei ole kahden tekijän tulos ja sääntö ei toimi?! Ei ole mitään monimutkaista:
Nyt on vielä sovellettava sääntöä toisen kerran suluissa:
Voit silti pervertoida ja ottaa jotain pois suluista, mutta tässä tapauksessa on parempi jättää vastaus tähän muotoon - se on helpompi tarkistaa.
Yllä oleva esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla:
Molemmat ratkaisut ovat täysin samanarvoisia.
Esimerkki 5
Etsi funktion derivaatta
Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, näytteessä se ratkaistaan ensimmäisellä tavalla.
Harkitse vastaavia esimerkkejä murtoluvuilla.
Esimerkki 6
Etsi funktion derivaatta 
Täällä voit mennä useilla tavoilla:
Tai näin:
Mutta ratkaisu voidaan kirjoittaa kompaktimmin, jos ensinnäkin käytämme osamäärän differentiaatiosääntöä 
, ottaen koko osoittaja:
Periaatteessa esimerkki on ratkaistu, ja jos se jätetään tähän muotoon, se ei ole virhe. Mutta jos sinulla on aikaa, on aina suositeltavaa tarkistaa luonnos, mutta onko mahdollista yksinkertaistaa vastausta?
Tuomme osoittajan lausekkeen yhteiseen nimittäjään ja päästään eroon kolmikerroksisesta murtoluvusta:
Lisäyksinkertaistamisen haittana on, että on olemassa riski tehdä virhe ei johdannaista etsittäessä, vaan banaaleissa koulumuunnosissa. Toisaalta opettajat usein hylkäävät tehtävän ja pyytävät "tuottamaan sen mieleen" johdannaisen.
Yksinkertaisempi esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:
Esimerkki 7
Etsi funktion derivaatta
Jatkamme derivaatan löytämisen tekniikoiden hallintaa, ja nyt tarkastelemme tyypillistä tapausta, jossa "kauhea" logaritmi ehdotetaan erottamiseen
"Vanhoissa" oppikirjoissa sitä kutsutaan myös "ketjusääntöksi". Niin jos y \u003d f (u) ja u \u003d φ (x), tuo on
y \u003d f (φ (x))
kompleksi - yhdistefunktio (funktioiden kokoonpano) sitten
Missä 
, laskennan jälkeen otetaan huomioon u = φ(x).
Huomaa, että tässä otimme "eri" koostumuksia samoista funktioista, ja erilaistumisen tulos osoittautui luonnollisesti riippuvaiseksi "sekoitusjärjestyksestä".
Ketjusääntö ulottuu luonnollisesti kolmen tai useamman funktion koostumukseen. Tässä tapauksessa johdannaisen muodostavassa "ketjussa" on kolme tai useampia "linkkiä". Tässä on analogia kertolaskulle: "meillä on" - johdannaisten taulukko; "siellä" - kertotaulukko; "kanssamme" on ketjusääntö ja "siellä" on kertosääntö "sarakkeella". Tällaisia "monimutkaisia" johdannaisia laskettaessa ei tietenkään oteta käyttöön apuargumentteja (u¸v jne.), mutta huomattuaan itse koostumukseen osallistuvien funktioiden lukumäärän ja järjestyksen ne "merkkijonoa" vastaavat linkit ilmoitettu tilaus.
. Tässä suoritetaan viisi operaatiota "x":llä "y":n arvon saamiseksi, eli tapahtuu viiden funktion koostumus: "ulkoinen" (viimeinen niistä) - eksponentiaalinen - e ; niin käänteisessä järjestyksessä on teholaki. (♦) 2 ; trigonometrinen synti (); tehoa. () 3 ja lopuksi logaritminen ln.(). Siksi
Seuraavat esimerkit "tappaavat lintupareja yhdellä iskulla": harjoittelemme monimutkaisten funktioiden erottamista ja täydennämme derivaattataulukkoa perustoiminnot. Niin:
4. Tehofunktiolle - y \u003d x α - kirjoitetaan se uudelleen käyttämällä tunnettua "perus" logaritminen identiteetti» - b=e ln b - muodossa x α = x α ln x saamme
5. Mielivaltaiselle eksponentti funktio käytämme samaa menetelmää
6. Saamme peräkkäin mielivaltaiselle logaritmiselle funktiolle käyttämällä tunnettua kaavaa uuteen kantaan siirtymiselle
.
7. Tangentin (kotangentin) erottamiseksi käytämme osamäärän erottamissääntöä:
Käänteisten trigonometristen funktioiden derivaattojen saamiseksi käytetään relaatiota, jonka tyydyttävät kahden keskenään käänteisen funktion derivaatat, eli funktiot φ (x) ja f (x), jotka on yhdistetty suhteilla:
Tässä on suhde
Se on peräisin tästä keskenään käänteisfunktioiden kaavasta
Ja 
,
Lopuksi teemme yhteenvedon näistä ja joistakin muista, yhtä helposti saatavista johdannaisista seuraavaan taulukkoon.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Monimutkaisen funktion johdannainen. Ratkaisuesimerkkejä
Tällä oppitunnilla opimme löytämään kompleksisen funktion derivaatta. Oppitunti on looginen jatko oppitunnille Kuinka löytää johdannainen?, jolla analysoimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin teknisiin menetelmiin derivaattojen löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selkeitä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja viritä vakavaan tunnelmaan - materiaali ei ole helppoa, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.
Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.
Katsomme taulukosta sääntöä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:
Me ymmärrämme. Ensinnäkin tarkastellaan merkintää. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäinen funktioon . Tällaista funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.
Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.
! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.
Selvittääksesi tilannetta, harkitse:
Esimerkki 1
Etsi funktion derivaatta
Sinin alla ei ole vain kirjain "x", vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen välittömästi taulukosta ei toimi. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä on mahdotonta "repiä":
Tässä esimerkissä jo selityksistäni on intuitiivisesti selvää, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen funktio (upotus) ja ulkoinen funktio.
Ensimmäinen askel, joka on suoritettava, kun löydetään kompleksisen funktion derivaatta ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.
Yksinkertaisten esimerkkien tapauksessa näyttää selvältä, että polynomi on sisäkkäin sinin alle. Mutta entä jos se ei ole ilmeistä? Kuinka määrittää tarkalleen, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan suorittaa henkisesti tai luonnoksessa.
Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijaan voi olla mikä tahansa luku).
Mitä laskemme ensin? Ensinnäkin sinun on suoritettava seuraava toiminto: , joten polynomi on sisäinen funktio: 
toiseksi sinun on löydettävä, joten sini - on ulkoinen funktio: 
Meidän jälkeen YMMÄRTÄÄ Sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa yhdistelmäfunktioiden erottelusääntöä.
Alamme päättää. Oppitunnilta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa derivaatan ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme vedon oikeaan yläkulmaan:
Ensiksi löydämme ulkoisen funktion derivaatan (sini), katsomme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa ja huomaamme, että . Kaikki taulukkokaavat ovat käyttökelpoisia, vaikka "x" korvattaisiin monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:
ota huomioon, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.
No sehän on aivan ilmeistä
Kaavan soveltamisen lopputulos näyttää tältä:
Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:
Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita päätös paperille ja lue selitykset uudelleen.
Esimerkki 2
Etsi funktion derivaatta
Esimerkki 3
Etsi funktion derivaatta
Kuten aina, kirjoitamme: 
Selvitämme, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä on sisäinen. Tätä varten yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä pitää tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri:, mikä tarkoittaa, että polynomi on sisäinen funktio: 
Ja vasta sitten eksponentio suoritetaan, siksi tehotoiminto on ulkoinen toiminto: 
Kaavan mukaan ensin on löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme haluttua kaavaa taulukosta:. Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "x:lle" vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Siten kompleksisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos on seuraava:
Korostan jälleen, että kun otamme ulomman funktion derivaatan, sisäfunktio ei muutu: 
Nyt on vielä löydettävä hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja "kampattava" tulos hieman:
Esimerkki 4
Etsi funktion derivaatta
Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).
Monimutkaisen funktion derivaatan ymmärtämisen vahvistamiseksi annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, syy, missä on ulkoinen ja missä on sisäinen funktio, miksi tehtävät ratkaistaan tällä tavalla?
Esimerkki 5
a) Etsi funktion derivaatta
b) Etsi funktion derivaatta
Esimerkki 6
Etsi funktion derivaatta 
Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä asteena. Joten tuomme ensin funktion oikeaan muotoon erottamista varten:
Analysoimalla funktiota tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja eksponentio on ulkoinen funktio. Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä:
Aste esitetään jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:
Valmis. Voit myös tuoda lausekkeen yhteiseen nimittäjään suluissa ja kirjoittaa kaikki murto-osaan. Se on tietysti kaunista, mutta kun hankalia pitkiä johdannaisia saadaan, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeeton virhe, ja opettajan on hankala tarkistaa).
Esimerkki 7
Etsi funktion derivaatta
Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).
On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voidaan käyttää osamäärän erottamissääntöä 
, mutta tällainen ratkaisu näyttäisi perversiolta ja hauskalta. Tässä on tyypillinen esimerkki:
Esimerkki 8
Etsi funktion derivaatta
Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:
Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - poistamme derivaatan miinusmerkin ja nostamme kosinin osoittajaan:
Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme:
Löydämme sisäisen funktion derivaatan, nollaamme kosinin alaspäin:
Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää, ettei sekaannu merkkeihin. Muuten, yritä ratkaista se säännöllä , vastausten on oltava samat.
Esimerkki 9
Etsi funktion derivaatta
Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).
Tähän mennessä olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.
Esimerkki 10
Etsi funktion derivaatta
Ymmärrämme tämän toiminnon liitteet. Pyrimme arvioimaan lausekkeen kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?
Ensin sinun on löydettävä, mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin pesä:
Tämä yksikköarsini tulee sitten neliöidä:
Ja lopuksi nostamme seitsemän valtaan: 
Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi sisäkkäistä funktiota, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.
Alamme päättää
Säännön mukaan sinun on ensin otettava ulkoisen funktion derivaatta. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "x":n sijasta meillä on yhdisteilmaisu, mikä ei mitätöi tämän kaavan pätevyyttä. Joten monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos on seuraava:
Kojelaudan alla meillä on taas hankala toiminto! Mutta se on jo helpompaa. On helppo nähdä, että sisäfunktio on arcsini ja ulkofunktio on aste. Monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön mukaan sinun on ensin otettava tutkinnon derivaatta.
Esimerkkejä derivaattojen laskemisesta käytetään kompleksisen funktion derivaatan kaavaa.
Tässä annamme esimerkkejä seuraavien funktioiden johdannaisten laskemisesta:
;
;
;
;
.
Jos funktio voidaan esittää kompleksifunktiona seuraavassa muodossa:
,
sitten sen johdannainen määritetään kaavalla:
.
Alla olevissa esimerkeissä kirjoitamme tämän kaavan seuraavassa muodossa:
.
Missä .
Tässä derivaatan merkin alla sijaitsevat alaindeksit tai osoittavat muuttujaa, jonka suhteen differentiointi suoritetaan.
Yleensä derivaattataulukoissa on annettu funktioiden derivaatat muuttujasta x. X on kuitenkin muodollinen parametri. Muuttuja x voidaan korvata millä tahansa muulla muuttujalla. Siksi, kun funktio erotetaan muuttujasta , muutamme derivaattataulukossa yksinkertaisesti muuttujan x muuttujaksi u .
Yksinkertaisia esimerkkejä
Esimerkki 1
Etsi kompleksisen funktion derivaatta
.
Ratkaisu
Kirjoitetaanpa ylös annettu toiminto vastaavassa muodossa:
.
Johdannaisten taulukosta löydät:
;
.
Monimutkaisen funktion derivaatan kaavan mukaan meillä on:
.
täällä .
Vastaus
Esimerkki 2
Etsi johdannainen
.
Ratkaisu
Otamme vakion 5 derivaatan etumerkin takaa ja derivaattataulukosta löydämme:
.
.
täällä .
Vastaus
Esimerkki 3
Etsi johdannainen
.
Ratkaisu
Otamme pois vakion -1
derivaatan etumerkille ja johdannaistaulukosta löydämme:
;
Johdannaisten taulukosta löydämme:
.
Käytämme kaavaa kompleksisen funktion derivaatalle:
.
täällä .
Vastaus
Monimutkaisempia esimerkkejä
Enemmässä vaikeita esimerkkejä soveltamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä useita kertoja. Tällöin laskemme derivaatan lopusta. Eli jaetaan funktio sen komponenttiosiin ja etsitään yksinkertaisimpien osien derivaatat käyttäen johdannainen taulukko. Haemme myös summan erottelusäännöt, tuotteet ja jakeet . Sitten teemme substituutioita ja sovellamme kompleksisen funktion derivaatan kaavaa.
Esimerkki 4
Etsi johdannainen
.
Ratkaisu
Valitsemme kaavan yksinkertaisimman osan ja löydämme sen johdannaisen. .
.
Tässä olemme käyttäneet merkintää
.
Löydämme alkuperäisen funktion seuraavan osan derivaatan käyttämällä saatuja tuloksia. Sovellamme summan eriyttämissääntöä:
.
Jälleen kerran sovelletaan monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä.
.
täällä .
Vastaus
Esimerkki 5
Etsi funktion derivaatta
.
Ratkaisu
Valitsemme kaavan yksinkertaisimman osan ja etsimme sen derivaatan derivaattataulukosta. .
Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä.
.
Tässä
.
