Janan pituus koordinaattiakselilla saadaan kaavasta:

Janan pituus koordinaattitasolla haetaan kaavalla:

Janan pituuden selvittämiseksi kolmiulotteisessa koordinaattijärjestelmässä käytetään seuraavaa kaavaa:

Janan keskikohdan koordinaatit (koordinaattiakselille käytetään vain ensimmäistä kaavaa, koordinaattitasolle - kaksi ensimmäistä kaavaa, kolmiulotteiselle koordinaattijärjestelmälle - kaikki kolme kaavaa) lasketaan kaavoilla:

Toiminto on lomakkeen vastaavuus y= f(x) muuttujien välillä, minkä vuoksi jokainen huomioitu jonkin muuttujan arvo x(argumentti tai riippumaton muuttuja) vastaa jonkin toisen muuttujan tiettyä arvoa, y(riippuva muuttuja, joskus tätä arvoa kutsutaan yksinkertaisesti funktion arvoksi). Huomaa, että funktio olettaa yhden argumentin arvon X riippuvalla muuttujalla voi olla vain yksi arvo klo. Kuitenkin sama arvo klo saa erilaisilla X.

Toiminnan laajuus ovat kaikki riippumattoman muuttujan arvot (yleensä funktion argumentti X), jolle funktio on määritelty, ts. sen merkitys on olemassa. Määritelmäalue on osoitettu D(y). Yleisesti ottaen tämä käsite on sinulle jo tuttu. Toiminnon laajuutta kutsutaan muuten soveltamisalaksi sallitut arvot tai ODZ, jonka olet löytänyt jo pitkään.

Toimintoalue ovat tämän funktion riippuvaisen muuttujan kaikki mahdolliset arvot. Merkitty E(klo).

Toiminto nousee välissä missä suurempi arvo argumentti vastaa funktion suurempaa arvoa. Toiminto vähenee väliltä, ​​jolla argumentin suurempi arvo vastaa funktion pienempää arvoa.

Toimintojen välit ovat riippumattoman muuttujan aikavälit, joilla riippuvainen muuttuja säilyttää positiivisen tai negatiivisen etumerkin.

Toimintojen nollia ovat argumentin arvoja, joille funktion arvo on nolla. Näissä pisteissä funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (OX-akseli). Hyvin usein tarve löytää funktion nollia tarkoittaa yksinkertaisesti yhtälön ratkaisemista. Usein tarve löytää vakiomerkkien välit tarkoittaa myös tarvetta yksinkertaisesti ratkaista epäyhtälö.

Toiminto y = f(x) kutsutaan jopa X

Tämä tarkoittaa, että kaikille argumentin vastakkaisille arvoille parillisen funktion arvot ovat yhtä suuret. Ajoittaa tasainen toiminto aina symmetrinen y:n y-akselin suhteen.

Toiminto y = f(x) kutsutaan outo, jos se on määritelty symmetriselle joukolle ja mille tahansa X määritelmäalueelta yhtäläisyys täyttyy:

Tämä tarkoittaa, että kaikille argumentin vastakkaisille arvoille parittoman funktion arvot ovat myös vastakkaisia. Parittoman funktion kuvaaja on aina symmetrinen origon suhteen.

Parillisen ja:n juurien summa outoja ominaisuuksia(x-akselin OX leikkauspisteet) on aina nolla, koska jokaiselle positiiviselle juurelle X on negatiivinen juuri X.

On tärkeää huomata, että joidenkin funktioiden ei tarvitse olla parillisia tai parittomia. On monia toimintoja, jotka eivät ole parillisia eivätkä parittomia. Tällaisia ​​toimintoja kutsutaan toimintoja yleisnäkymä , eikä mikään yllä olevista yhtäläisistä tai ominaisuuksista päde niitä.

Lineaarinen funktio kutsutaan funktioksi, joka voidaan antaa kaavalla:

Ajoittaa lineaarinen funktio on suora viiva ja näyttää yleensä tältä (esimerkki annetaan tapaukselle, kun k> 0, tässä tapauksessa funktio kasvaa; tilaisuutta varten k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Neliöfunktion kuvaaja (paraabeli)

Paraabelin kuvaaja saadaan neliöfunktiolla:

Neliöfunktio, kuten mikä tahansa funktio, leikkaa OX-akselin pisteissä, jotka ovat sen juuret: ( x 1; 0) ja ( x 2; 0). Jos juuria ei ole, niin neliöfunktio ei leikkaa OX-akselia, jos on yksi juuri, niin tässä pisteessä ( x 0; 0) neliöfunktio koskettaa vain OX-akselia, mutta ei leikkaa sitä. Neliöfunktio leikkaa aina OY-akselin pisteessä, jonka koordinaatit: (0; c). Ajoittaa neliöfunktio(paraabeli) voi näyttää tältä (kuvassa on esimerkkejä, jotka eivät täytä kaikkia mahdollisia tyyppejä paraabeli):

Jossa:

• jos kerroin a> 0, funktiossa y = kirves 2 + bx + c, silloin paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin;
• jos a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Paraabelipistekoordinaatit voidaan laskea seuraavilla kaavoilla. X topit (s- yllä olevissa kuvissa) paraabelista (tai pisteestä, jossa neliötrinomi saavuttaa maksimi- tai minimiarvonsa):

Y topit (q- yllä olevissa kuvissa) paraabelin tai maksimi, jos paraabelin haarat ovat alaspäin ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), neliötrinomin arvo:

Kaaviot muista funktioista

tehotoiminto

Tässä on esimerkkejä tehofunktioiden kaavioista:

Käänteisesti verrannollinen riippuvuus kutsukaa kaavan antama funktio:

Riippuen numeron merkistä k kaavio takaisin suhteellinen riippuvuus voi olla kaksi päävaihtoehtoa:

Asymptootti on suora, jota funktion kaavion viiva lähestyy äärettömän lähellä, mutta ei leikkaa. Asymptootit kaavioille käänteinen suhteellisuus yllä olevassa kuvassa on koordinaattiakselit, joita funktion kuvaaja lähestyy äärettömän lähellä, mutta ei leikkaa niitä.

eksponentti funktio pohjan kanssa A kutsukaa kaavan antama funktio:

a eksponentiaalisen funktion kaaviossa voi olla kaksi perusvaihtoehtoa (annamme myös esimerkkejä, katso alla):

logaritminen funktio kutsukaa kaavan antama funktio:

Riippuen siitä, onko luku suurempi vai pienempi kuin yksi a Logaritmisen funktion kaaviolla voi olla kaksi perusvaihtoehtoa:

Funktiokaavio y = |x| seuraavasti:

Jaksottaisten (trigonometristen) funktioiden kuvaajat

Toiminto klo = f(x) kutsutaan kausijulkaisu, jos sellainen nollasta poikkeava luku on olemassa T, Mitä f(x + T) = f(x), kenelle tahansa X toimintoalueen ulkopuolella f(x). Jos toiminto f(x) on jaksollinen pisteen kanssa T, sitten funktio:

Missä: A, k, b ovat vakiolukuja ja k ei ole yhtä suuri kuin nolla, myös jaksollinen pisteen kanssa T 1 , joka määritetään kaavalla:

Useimmat esimerkit jaksollisista funktioista ovat trigonometrisiä funktioita. Tässä ovat pääkaaviot trigonometriset funktiot. Seuraavassa kuvassa on osa funktion kaaviosta y= synti x(koko kaavio jatkuu loputtomasti vasemmalle ja oikealle), funktion kuvaaja y= synti x nimeltään sinusoidi:

Funktiokaavio y= cos x nimeltään kosiniaalto. Tämä kaavio on esitetty seuraavassa kuvassa. Sinin kaaviosta lähtien se jatkuu loputtomasti OX-akselia pitkin vasemmalle ja oikealle:

Funktiokaavio y=tg x nimeltään tangentoidi. Tämä kaavio on esitetty seuraavassa kuvassa. Kuten muidenkin jaksollisten funktioiden kuvaajat, tämä kaavio toistuu loputtomasti OX-akselia pitkin vasemmalle ja oikealle.

Ja lopuksi funktion kaavio y=ctg x nimeltään kotangentoidi. Tämä kaavio on esitetty seuraavassa kuvassa. Kuten muidenkin jaksollisten ja trigonometristen funktioiden kuvaajat, tämä kuvaaja toistuu loputtomasti OX-akselia pitkin vasemmalle ja oikealle.

Opi kaikki fysiikan kaavat ja lait sekä matematiikan kaavat ja menetelmät. Itse asiassa se on myös hyvin yksinkertaista, fysiikassa on vain noin 200 tarpeellista kaavaa ja matematiikassa jopa hieman vähemmän. Jokaisessa näistä aineista löytyy noin tusina standardimenetelmää perusmonimutkaisuuden ongelmien ratkaisemiseksi, jotka voidaan myös oppia ja siten täysin automaattisesti ja vaivatta ratkaista suurin osa digitaalisesta muunnoksesta oikeaan aikaan. Sen jälkeen sinun tarvitsee vain ajatella vaikeimpia tehtäviä.

Osallistu kaikkiin kolmeen fysiikan ja matematiikan harjoitustestin vaiheeseen. Jokaisessa RT:ssä voi käydä kahdesti molempien vaihtoehtojen ratkaisemiseksi. Jälleen, CT:llä, kyvyn nopeasti ja tehokkaasti ratkaista ongelmia sekä kaavojen ja menetelmien tuntemuksen lisäksi on myös osattava suunnitella oikein, jakaa voimat ja ennen kaikkea täyttää vastauslomake oikein , sekoittamatta vastausten ja tehtävien numeroita tai omaa nimeäsi. RT:n aikana on myös tärkeää tottua tehtävien kysymystyyliin, mikä saattaa tuntua hyvin epätavalliselta valmistautumattomalle henkilölle DT:llä.

Näiden kolmen kohdan onnistunut, ahkera ja vastuullinen toteuttaminen antaa sinulle mahdollisuuden näyttää TT:ssä erinomaisen tuloksen, maksimaalisen, mihin pystyt.

Löysitkö virheen?

Jos luulet löytäneesi virheen harjoittelumateriaalit, kirjoita sitten siitä postitse. Voit myös ilmoittaa virheestä sosiaalinen verkosto(). Ilmoita kirjeessä aihe (fysiikka tai matematiikka), aiheen tai kokeen nimi tai numero, tehtävän numero tai tekstin (sivun) paikka, jossa mielestäsi on virhe. Kerro myös, mikä väitetty virhe on. Kirjeesi ei jää huomaamatta, virhe joko korjataan tai sinulle selitetään, miksi se ei ole virhe.

Työpaja

Matemaattisella analyysillä

Iltaopiskelijoille

Vau kurssi

(Osa I)

Opetuksen apuväline

Moskova, 2006

UDC 512.8:516

BBK S42

Arvostelijat:

Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden kandidaatti, apulaisprofessori Karolinskaya S.N. (S. Ordzhonikidzen mukaan nimetty Moskovan ilmailuinstituutti);

Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden kandidaatti, apulaisprofessori Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT nimetty M.V. Lomonosovin mukaan).

Skvortsova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., Matemaattisen analyysin työpaja 1. vuoden iltaosaston opiskelijoille (osa I), Opetus- ja metodologinen käsikirja - M .: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 - 44 s.: sairas. 29 .

Kirjasto- ja julkaisutoimikunnan MITHT hyväksymä ne. M.V. Lomonosov opetusapuna. Pos. ___/2006.

Käsikirja on tiivistelmä 6 käytännön harjoituksia matemaattisen analyysin kurssilla MITHT:n iltaosaston opiskelijoille. M.V. Lomonosov. Osa I sisältää seuraavat osat: "Funktion ja sen perusominaisuudet", "Funktion raja", "Funktion jatkuvuus- ja epäjatkuvuuspisteet".

Jokainen oppitunti on omistettu erilliselle aiheelle. 5 oppitunnin tiivistelmät sisältävät yhteenveto relevantti teoria, tyypillisiä esimerkkejä ja tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun (vastauksineen). Oppitunnin nro 6 abstraktissa on esimerkkivaihtoehto valvoa työtä(ratkaisujen kanssa), jotka on annettu tällä oppitunnilla.

Käsikirja on tarkoitettu kemiallisen profiilin yliopistojen iltaosaston opiskelijoille.

© MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006

Oppitunti 1.

Toiminnon käsite. Main perustoiminnot, niiden ominaisuudet ja kaaviot …………………………

Oppitunti 2. Napakoordinaattijärjestelmä. Funktioiden kuvaajien rakentaminen siirtämällä ja venyttämällä koordinaattiakseleita pitkin ………………………………………………….

Oppitunti 3. Toiminnan raja. Toiminnan jatkuvuus. Jatkuvien, rationaalisten ja joidenkin irrationaalisten funktioiden rajojen laskeminen ……………………

Oppitunti 4. Ensimmäinen ja toinen upea raja. Tehoeksponentiaalisen funktion rajojen laskenta. Äärettömän pieni ja äärettömän suuri
arvot …………………………………………………….

Oppitunti 5. Funktion jatkuvuuspisteet ja epäjatkuvuuspisteet. Rajoituspisteiden luokittelu. Jatkuvuuden funktion tutkiminen …………………………………

Oppitunti 6. Tentti nro 1 aiheesta "Funktion rajojen laskenta. Jatkuvuuden funktion tutkiminen"…………………………………………………….

Kirjallisuus……………………………………………….

Oppitunti 1.

Toiminnon käsite. Perusfunktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat.

Määritelmä 1. Muuttujan riippuvuutta muuttujasta kutsutaan toiminto jos jokainen arvo vastaa yhtä arvoa .

Me kirjoitamme: Ja puhuminen, joka on funktio . Samalla sitä kutsutaan itsenäinen muuttuja(tai argumentti) ja - riippuva muuttuja.

Määritelmä 2. Toiminnan laajuus(merkitty ) ovat kaikki arvot, jotka . Joukko funktioarvoja(merkitty ) ovat kaikki arvot, jotka .

Määritelmä 3. Funktiota kutsutaan kasvaa (hiipumassa) numeerisella välillä, jos jollekin seuraavista, niin että seuraava epäyhtälö pätee:

.

Määritelmä 4. Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen välillä, jos se vain pienenee tai kasvaa vain .

Määritelmä 5. Funktiota kutsutaan jopa (outo) jos se on symmetrinen nollan suhteen ja jollekin seuraavista:

.

Kansallinen tutkimusyliopisto

Soveltavan geologian laitos

Essee korkeammasta matematiikasta

Aiheesta: "Perustoiminnot,

niiden ominaisuudet ja kaaviot"

Valmistunut:

Tarkistettu:

opettaja

Määritelmä. Kutsutaan kaavan y=a x (jossa a>0, a≠1) antamaa funktiota eksponentti funktio pohjalla a.

Muotoilkaamme eksponentiaalisen funktion pääominaisuudet:

1. Määritelmäalue on kaikkien reaalilukujen joukko (R).

2. Arvoalue on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko (R+).

3. Kun a > 1, funktio kasvaa koko reaaliviivalla; klo 0<а<1 функция убывает.

4. Onko yleinen toiminto.

, välissä xн [-3;3]
, välissä xн [-3;3]

Funktion muotoa y(х)=х n , jossa n on luku ОR, kutsutaan potenssifunktioksi. Luku n voi saada erilaisia ​​arvoja: sekä kokonaisluku- että murtoluku, sekä parillinen että pariton. Tästä riippuen tehotoiminnolla on eri muoto. Harkitse erikoistapauksia, jotka ovat potenssifunktioita ja heijastavat tämäntyyppisten käyrien pääominaisuuksia seuraavassa järjestyksessä: tehofunktio y \u003d x² (funktio, jolla on parillinen eksponentti - paraabeli), potenssifunktio y \u003d x³ (funktio parittomalla eksponentilla - kuutioparaabeli) ja funktiolla y \u003d √ x (x potenssilla ½) (funktio murto-eksponentilla), funktio negatiivisella kokonaislukueksponentilla (hyperbola).

Virtatoiminto y=x²

1. D(x)=R – funktio on määritelty koko numeeriselle akselille;

2. E(y)= ja kasvaa välissä

Virtatoiminto y=x³

1. Funktion y \u003d x³ kuvaajaa kutsutaan kuutioparaabeliksi. Tehofunktiolla y=x³ on seuraavat ominaisuudet:

2. D(x)=R – funktio on määritelty koko numeeriselle akselille;

3. E(y)=(-∞;∞) – funktio ottaa kaikki arvot määrittelyalueellaan;

4. Kun x=0 y=0 – funktio kulkee origon O(0;0) kautta.

5. Funktio kasvaa koko määrittelyalueen yli.

6. Funktio on pariton (symmetrinen origon suhteen).

, välissä xн [-3;3]

Riippuen x³:n edessä olevasta numeerisesta kertoimesta, funktio voi olla jyrkkä/tasainen ja kasvaa/laskeva.

Potenttifunktio negatiivisella kokonaisluvulla:

Jos eksponentti n on pariton, niin tällaisen potenssifunktion kuvaajaa kutsutaan hyperboliksi. Potenttifunktiolla, jolla on negatiivinen kokonaislukueksponentti, on seuraavat ominaisuudet:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) mille tahansa n:lle;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) jos n on pariton luku; E(y)=(0;∞) jos n on parillinen luku;

3. Funktio pienenee koko määritelmän alueella, jos n on pariton luku; funktio kasvaa välillä (-∞;0) ja pienenee välillä (0;∞), jos n on parillinen luku.

4. Funktio on pariton (symmetrinen origon suhteen), jos n on pariton luku; funktio on parillinen, jos n on parillinen luku.

5. Funktio kulkee pisteiden (1;1) ja (-1;-1) läpi, jos n on pariton luku ja pisteiden (1;1) ja (-1;1) läpi, jos n on parillinen luku.

, välissä xн [-3;3]

Potenttifunktio murto-osalla

Potenssifunktiolla, jolla on muodon (kuva) murto-eksponentti, on kuvassa esitetyn funktion käyrä. Potenttifunktiolla, jossa on murto-osollinen eksponentti, on seuraavat ominaisuudet: (kuva)

1. D(x) нR, jos n on pariton luku ja D(x)=
, välissä xн
, välissä xн [-3;3]

Logaritmisella funktiolla y \u003d log a x on seuraavat ominaisuudet:

1. Määritelmäalue D(x)н (0; + ∞).

2. Arvoalue E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funktio ei ole parillinen eikä pariton (yleinen).

4. Funktio kasvaa aikavälillä (0; + ∞), kun a > 1, pienenee (0; + ∞), jos 0< а < 1.

Funktion y = log a x kuvaaja saadaan funktion y = a x graafista käyttämällä symmetriamuunnosta suoran y = x ympärillä. Kuvassa 9 on piirretty logaritmisen funktion kuvaaja arvolle a > 1 ja kuvassa 10 arvolle 0< a < 1.

; aikavälillä xО
; aikavälillä xО

Funktioita y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x kutsutaan trigonometrisiksi funktioiksi.

Funktiot y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ovat parittomia ja funktio y \u003d cos x on parillisia.

Funktio y \u003d sin (x).

1. Määritelmäalue D(x) ОR.

2. Arvoalue E(y) О [ - 1; 1].

3. Funktio on jaksollinen; pääjakso on 2π.

4. Funktio on pariton.

5. Funktio kasvaa intervalleilla [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ja pienenee intervalleilla [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Funktion y \u003d sin (x) kaavio on esitetty kuvassa 11.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia ​​tietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeusjärjestyksen mukaisesti, oikeudenkäynnissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.