Vaikka neliöjuurisymbolin pelottava ulkonäkö saattaa saada jonkun, joka ei ole hyvä matematiikassa, säpsähtämään, neliöjuuren tehtävät eivät ole niin vaikeita kuin miltä ne ensi silmäyksellä näyttävät. Yksinkertaisia ​​tehtäviä Neliöjuuret voidaan usein ratkaista yhtä helposti kuin tavalliset kerto- tai jakotehtävät. Toisaalta monimutkaisemmat tehtävät voivat vaatia vaivaa, mutta oikealla lähestymistavalla nekään eivät ole sinulle vaikeita. Aloita ongelmien ratkaiseminen niiden juurilta tänään ja opi tämä radikaali uusi matemaattinen taito!

Askeleet

Osa 1

Lukujen neliöiden ja neliöjuurien ymmärtäminen

1. Neliöi luku kertomalla se itsellään. Neliöjuurien ymmärtämiseksi on parasta aloittaa numeroiden neliöistä. Numeroiden neliöt ovat melko yksinkertaisia: luvun neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsestään. Esimerkiksi 3 neliö on sama kuin 3 × 3 = 9 ja 9 neliö on sama kuin 9 × 9 = 81. Neliöt merkitään kirjoittamalla pieni "2" oikealle neliöintiluvun yläpuolelle. Esimerkki: 3 2, 9 2, 100 2 ja niin edelleen.

   • Kokeile konseptia neliöimällä itse muutama luku lisää. Muista, että luvun neliöinti tarkoittaa luvun kertomista itsellään. Tämä voidaan tehdä jopa varten negatiivisia lukuja. Tässä tapauksessa tulos on aina positiivinen. Esimerkki: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. Kun me puhumme noin neliöjuuria, silloin tapahtuu käänteinen neliöintiprosessi. Juurisymboli (√, jota kutsutaan myös radikaaliksi) tarkoittaa käytännössä symbolin 2 vastakohtaa. Kun näet radikaalin, sinun on kysyttävä itseltäsi: "Mikä luku voidaan kertoa itsestään, jotta saadaan juuren alla oleva luku?" Jos näet esimerkiksi √(9), sinun on löydettävä luku, joka neliöitynä antaa luvun yhdeksän. Meidän tapauksessamme tämä luku on kolme, koska 3 2 = 9.

   • Katsotaanpa toista esimerkkiä ja etsitään 25:n juuri (√(25)). Tämä tarkoittaa, että meidän on löydettävä luku, joka neliössä antaa meille 25. Koska 5 2 = 5 × 5 = 25, voimme sanoa, että √(25) = 5.
   • Voit myös ajatella sitä neliöinnin "peruuttamisena". Jos esimerkiksi meidän on löydettävä √(64), Neliöjuuri 64, niin ajatellaan tätä lukua 8 2:na. Koska juurisymboli "peruuttaa" neliöinnin, voidaan sanoa, että √(64) = √(8 2) = 8.

3. Tunne ero ihanteellisen ja ei-ideaalisen neliöinnin välillä. Tähän asti vastaukset juuriongelmiimme ovat olleet hyviä ja pyöreitä lukuja, mutta näin ei aina ole. Vastaukset neliöjuuritehtäviin voivat olla hyvin pitkiä ja hankalia desimaalilukuja. Lukuja, joiden juuret ovat kokonaislukuja (toisin sanoen lukuja, jotka eivät ole murtolukuja), kutsutaan täydellisiksi neliöiksi. Kaikki yllä olevat esimerkit (9, 25 ja 64) ovat täydellisiä neliöitä, koska niiden juuri on kokonaisluku (3.5 ja 8).

   • Toisaalta lukuja, jotka juurilleen otettuna eivät tuota kokonaislukua, kutsutaan epätäydellisiksi neliöiksi. Jos laitat jonkin näistä luvuista juuren alle, saat luvun, jossa on desimaalimurto. Joskus tämä luku voi olla melko pitkä. Esimerkiksi √(13) = 3,605551275464...

4. Muista ensimmäiset 1-12 täyttä ruutua. Kuten olet luultavasti huomannut, täydellisen neliön juuren löytäminen on melko helppoa! Koska nämä tehtävät ovat niin yksinkertaisia, on syytä muistaa ensimmäisten kymmenien täydellisten neliöiden juuret. Näihin numeroihin törmäät useammin kuin kerran, joten käytä vähän aikaa niiden muistamiseen ajoissa ja säästä aikaa tulevaisuudessa.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. Yksinkertaista juuria poistamalla täydelliset neliöt, jos mahdollista. Osittaisen neliön juuren löytäminen voi joskus olla vaikeaa, varsinkin jos et käytä laskinta (katso alla olevasta osiosta joitain temppuja prosessin helpottamiseksi). Voit kuitenkin usein yksinkertaistaa juuren alla olevaa numeroa helpottaaksesi käsittelyä. Tätä varten sinun on yksinkertaisesti jaettava juuren alla oleva luku tekijöihin ja löydettävä sitten tekijän juuri, joka on täydellinen neliö, ja kirjoitettava se juuren ulkopuolelle. Se on helpompaa kuin miltä näyttää. Lue lisää saadaksesi lisätietoja.

   • Oletetaan, että meidän on löydettävä 900:n neliöjuuri. Ensi silmäyksellä tämä näyttää melko vaikealta tehtävältä! Se ei kuitenkaan ole niin vaikeaa, jos jaamme luvun 900 tekijöihin. Tekijät ovat lukuja, jotka kerrotaan keskenään uuden luvun muodostamiseksi. Esimerkiksi luku 6 voidaan saada kertomalla 1 × 6 ja 2 × 3, jonka tekijät ovat luvut 1, 2, 3 ja 6.
   • Sen sijaan, että etsisimme 900:n juuria, mikä on hieman hankalaa, kirjoitetaan 900 muodossa 9 x 100. Nyt kun 9, joka on täydellinen neliö, on erotettu 100:sta, voimme löytää sen juuren. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Toisin sanoen √(900) = 3√(100).
   • Voimme jopa mennä pidemmälle jakamalla 100 kahteen tekijään, 25 ja 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Voimme siis sanoa, että √(900) = 3(10) = 30

6. Käytä imaginaarilukuja negatiivisen luvun juuren löytämiseen. Kysy itseltäsi, mikä luku itsellään kerrottuna antaa -16? Se ei ole 4 tai -4, koska näiden lukujen neliöinti antaa meille positiivisen luvun 16. Oletko luovuttanut? Ei ole itse asiassa mitään tapaa kirjoittaa arvon -16 juuria tai mitään muuta negatiivista lukua säännöllisiin numeroihin. Tässä tapauksessa meidän on korvattava kuvitteelliset numerot (yleensä kirjainten tai symbolien muodossa) negatiivisen luvun juuren tilalle. Esimerkiksi muuttujaa "i" käytetään yleensä ottamaan -1:n juuri. Yleensä negatiivisen luvun juuri on aina imaginaariluku (tai se sisältyy siihen).

   • Tiedä, että vaikka imaginaarilukuja ei voida esittää tavallisilla luvuilla, niitä voidaan silti käsitellä sellaisina. Esimerkiksi negatiivisen luvun neliöjuuri voidaan neliöttää antamaan näille negatiivisille luvuille, kuten kaikille muillekin, neliöjuuri. Esimerkiksi i 2 = -1

   Osa 2

   Jaa-algoritmin käyttäminen

   1. Kirjoita juuritehtävä pitkäjakotehtäväksi. Vaikka tämä voi olla melko aikaa vievää, voit tällä tavalla ratkaista osittaisen neliöjuuren ongelman turvautumatta laskimeen. Tätä varten käytämme ratkaisumenetelmää (tai algoritmia), joka on samanlainen (mutta ei täsmälleen sama) kuin tavallinen pitkäjako.

      • Kirjoita ensin ongelma juureen samassa muodossa kuin pitkän jaon kohdalla. Oletetaan, että haluamme löytää 6,45:n neliöjuuren, joka ei todellakaan ole täydellinen neliö. Ensin kirjoitamme tavallisen neliön symbolin, ja sitten sen alle kirjoitamme numeron. Seuraavaksi piirrämme viivan numeron yläpuolelle niin, että se päätyy pieneen "laatikkoon", aivan kuten sarakkeella jaettuna. Tämän jälkeen meillä on juuri kanssa pitkä häntä ja sen alla oleva numero 6.45.
      • Kirjoitamme numeroita juuren yläpuolelle, joten muista jättää tilaa.

   2. Ryhmittele numerot pareiksi. Jotta voit aloittaa ongelman ratkaisemisen, sinun on ryhmiteltävä radikaalin alla olevan luvun numerot pareiksi alkaen kohdasta desimaali. Halutessasi voit tehdä parien väliin pieniä merkkejä (kuten pisteitä, kauttaviivoja, pilkkuja jne.) sekaannusten välttämiseksi.

      • Esimerkissämme meidän on jaettava luku 6.45 pareiksi seuraavasti: 6-.45-00. Huomaa, että vasemmalla on "jäljellä oleva" numero - tämä on normaalia.

   3. Etsi suurin luku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin ensimmäinen "ryhmä". Aloita ensimmäisestä numerosta tai parista vasemmalla. Valitse suurin luku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin jäljellä oleva "ryhmä". Esimerkiksi, jos ryhmä oli 37, valitse numero 6, koska 6 2 = 36< 37, а 7 2 = 49 >37. Kirjoita tämä numero ensimmäisen ryhmän yläpuolelle. Tämä on vastauksesi ensimmäinen numero.

      • Esimerkissämme ensimmäinen ryhmä klo 6-,45-00 on numero 6. Suurin numero, joka neliöitynä on pienempi tai yhtä suuri kuin 6, on 2 2 = 4. Kirjoita luku 2 luvun 6 yläpuolelle, joka on juuren alle.

   4. Tuplaa juuri kirjoittamasi luku, laske se sitten juureen ja vähennä se. Ota vastauksesi ensimmäinen numero (äsken löytämäsi numero) ja tuplaa se. Kirjoita tulos ensimmäisen ryhmäsi alle ja vähennä ero löytääksesi eron. Aseta seuraava numeropari vastauksesi viereen. Kirjoita lopuksi vastauksesi kaksinkertaisen ensimmäisen numeron viimeinen numero vasemmalle ja jätä välilyönti sen viereen.

      • Esimerkissämme aloitamme kaksinkertaistamalla luvun 2, joka on vastauksemme ensimmäinen numero. 2 × 2 = 4. Sitten vähennämme 4:stä 6 (ensimmäinen "ryhmämme"), jolloin tuloksena on 2. Seuraavaksi jätämme pois seuraava ryhmä(45) saadaksesi 245. Ja lopuksi vasemmalle kirjoitamme uudelleen numeron 4 jättäen loppuun pienen välin seuraavasti: 4_

   5. Täytä tyhjä kohta. Sitten sinun on lisättävä numero vasemmalla olevan kirjoitetun numeron oikealle puolelle. Valitse luku, joka kerrottuna uudella numerollasi antaisi sinulle suurimman mahdollisen tuloksen, joka olisi pienempi tai yhtä suuri kuin "jätetty" luku. Jos esimerkiksi "jätetty pois" numero on 1700 ja vasen numero on 40_, sinun on kirjoitettava välilyöntiin numero 4, koska 404 × 4 = 1616< 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • Esimerkissämme on löydettävä luku ja kirjoitettava se 4_ × _ -välilyönteihin, jolloin vastaus on mahdollisimman suuri, mutta silti pienempi tai yhtä suuri kuin 245. Meidän tapauksessamme tämä on luku 5. 45 × 5 = 225, kun taas 46 × 6 = 276

   6. Jatka "tyhjien" numeroiden käyttöä löytääksesi vastauksen. Jatka tämän muokatun pitkän jaon ratkaisemista, kunnes alat saada nollia, kun vähennät "jätettyä" lukua tai kunnes saavutat vastauksen halutun tarkkuustason. Kun olet valmis, vastausnumerosi muodostavat numerot, joita käytit täyttämään tyhjät kussakin vaiheessa (sekä ensimmäinen numero).

      • Jatkamme esimerkkiämme, vähennämme 225 luvusta 245, jolloin saadaan 20. Sitten pudotamme seuraavan numeroparin, 00, saadaksemme 2000. Tuplaa juurimerkin yläpuolella oleva luku. Saamme 25 × 2 = 50. Ratkaistaessa esimerkki välilyönnillä, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. Siirrä desimaalipistettä eteenpäin alkuperäisestä ”osinko”-luvusta. Täydentääksesi vastauksesi, sinun on asetettava desimaalipilkku oikeaan paikkaan. Onneksi tämä on melko helppo tehdä. Sinun tarvitsee vain kohdistaa se alkuperäiseen numeropisteeseen. Jos esimerkiksi numero 49,8 on juuren alla, sinun on asetettava piste kahden luvun väliin yhdeksän ja kahdeksan yläpuolella.

      • Esimerkissämme radikaalin alla oleva luku on 6,45, joten siirrämme pistettä ja asetamme sen vastauksessamme numeroiden 2 ja 5 väliin, jolloin vastaukseksi saadaan 2,539.

   Osa 3

   Laske osittaiset neliöt nopeasti

   1. Etsi epätäydelliset neliöt laskemalla ne. Kun olet muistanut täydelliset neliöt, epätäydellisten neliöiden juuren löytäminen on paljon helpompaa. Koska tiedät jo tusina täydellistä neliötä, mikä tahansa luku, joka osuu näiden kahden täydellisen neliön väliin, voidaan löytää vähentämällä kaikki näiden arvojen likimääräiseksi lukumääräksi. Aloita etsimällä kaksi täydellistä ruutua, joiden välissä numerosi on. Määritä sitten, mikä näistä luvuista on lähempänä.

      • Oletetaan esimerkiksi, että meidän on löydettävä luvun 40 neliöjuuri. Koska olemme muistaneet täydelliset neliöt, voimme sanoa, että luku 40 on välillä 6 2 ja 7 2 tai luvut 36 ja 49. Koska 40 on suurempi kuin 6 2, sen juuri on suurempi kuin 6, ja koska se on pienempi kuin 7 2 , sen juuri on myös pienempi kuin 7. 40 on hieman lähempänä lukua 36 kuin 49, joten vastaus on todennäköisesti hieman lähempänä lukua 6 Tarkennamme vastaustamme seuraavissa vaiheissa .
      Seuraavaksi sinun tulee tehdä likimääräisen luvun neliö. Olet todennäköisesti epäonninen etkä saa alkuperäistä numeroa. Se on joko hieman suurempi tai hieman pienempi. Jos tuloksesi on liian korkea, yritä uudelleen, mutta hieman pienemmällä pallonumerolla (ja päinvastoin, jos tulos on liian pieni).
      • Kerro 6,4 itsellään ja saat 6,4 x 6,4 = 40,96, mikä on hieman enemmän kuin alkuperäinen luku.
      • Koska vastauksemme oli suurempi, meidän on kerrottava luku kymmenesosalla likiarvona ja saatava seuraava: 6,3 × 6,3 = 39,69. Tämä on hieman pienempi kuin alkuperäinen luku. Tämä tarkoittaa, että 40:n neliöjuuri on välillä 6,3-6,4. Jälleen, koska 39,69 on lähempänä 40:tä kuin 40,96, tiedämme, että neliöjuuri on lähempänä lukua 6,3 kuin 6,4.

   2. Jatka laskemista. Tässä vaiheessa, jos olet tyytyväinen vastaukseesi, voit tehdä ensimmäisen arvauksen. Jos kuitenkin haluat tarkemman vastauksen, sinun tarvitsee vain valita likimääräinen arvo kahdella desimaalilla, joka sijoittaa likimääräisen arvon kahden ensimmäisen numeron väliin. Jos jatkat tätä laskelmaa, voit saada vastauksesi kolmen, neljän tai useamman desimaalin tarkkuudella. Kaikki riippuu siitä, kuinka pitkälle haluat mennä.

      • Valitsemme esimerkissämme 6,33 likimääräiseksi arvoksi kahden desimaalin tarkkuudella. Kerro 6,33 itsellään saadaksesi 6,33 x 6,33 = 40,0689. koska tämä on hieman suurempi kuin meidän lukumme, otamme pienemmän luvun, esimerkiksi 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Tämä vastaus on hieman pienempi kuin lukumme, joten tiedämme tarkan neliöjuuren olevan välillä 6,32 ja 6,33. Jos haluaisimme jatkaa, jatkaisimme saman lähestymistavan käyttöä saadaksemme vastauksen, joka muuttuisi yhä tarkemmaksi.
   • Jos haluat löytää ratkaisun nopeasti, käytä laskinta. Useimmat nykyaikaiset laskimet voivat löytää välittömästi luvun neliöjuuren. Sinun tarvitsee vain kirjoittaa numerosi ja napsauttaa sitten juurimerkkipainiketta. Jos esimerkiksi haluat löytää 841:n juuren, paina 8, 4, 1 ja (√). Tämän seurauksena saat vastauksen 39.

Aihe: "Muodon irrationaaliset yhtälöt , .»

(Metodologinen kehitys.)

Peruskonseptit

Irrationaaliset yhtälöt Niitä kutsutaan yhtälöiksi, joissa muuttuja on juuren (radikaalin) tai murto-osaan korotuksen merkin alla.

Yhtälö muotoa f(x)=g(x), jossa ainakin yksi lausekkeista f(x) tai g(x) on irrationaalinen irrationaalinen yhtälö.

Radikaalien perusominaisuudet:

• Kaikki radikaalit tasainen tutkinto ovat aritmeettinen, nuo. jos radikaalilauseke on negatiivinen, niin radikaalilla ei ole merkitystä (ei ole olemassa); jos radikaalilauseke on yhtä suuri kuin nolla, niin radikaali on myös yhtä suuri kuin nolla; jos radikaalilauseke on positiivinen, niin radikaalin merkitys on olemassa ja se on positiivinen.
• Kaikki radikaalit pariton aste on määritelty mille tahansa radikaalilausekkeen arvolle. Tässä tapauksessa radikaali on negatiivinen, jos radikaalilauseke on negatiivinen; on yhtä suuri kuin nolla, jos radikaalilauseke on yhtä suuri kuin nolla; positiivinen, jos alistettu lauseke on positiivinen.

Menetelmät ongelmien ratkaisemiseksi rationaaliset yhtälöt

Ratkaise irrationaalinen yhtälö - tarkoittaa muuttujan kaikkien todellisten arvojen löytämistä, kun ne korvataan alkuperäiseen yhtälöön, se muuttuu oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi tai todistaa, että tällaisia ​​arvoja ei ole olemassa. Irrationaaliset yhtälöt ratkaistaan ​​reaalilukujoukolla R.

Yhtälön hyväksyttävien arvojen alue koostuu niistä muuttujan arvoista, joille kaikki parillisen asteen radikaalien merkin alla olevat lausekkeet ovat ei-negatiivisia.

Perusmenetelmät irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen ovat:

a) menetelmä nostaa yhtälön molemmat puolet samaan potenssiin;

b) uusien muuttujien käyttöönoton menetelmä (korvausmenetelmä);

c) keinotekoiset menetelmät irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Tässä artikkelissa tarkastelemme yllä määritellyn tyyppisiä yhtälöitä ja esittelemme 6 menetelmää tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.

1 menetelmä. Kuutio.

Tämä menetelmä edellyttää lyhennettyjen kertolaskujen käyttöä, eikä se sisällä sudenkuoppia, ts. ei johda vieraiden juurien ilmestymiseen.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu:

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon ja kuutioi sen molemmat osat. Saamme yhtälön, joka vastaa tätä yhtälöä,

Vastaus: x=2, x=11.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Kirjoita yhtälö uudelleen muotoon ja kuutioi sen molemmat puolet. Saamme yhtälön, joka vastaa tätä yhtälöä

ja pitää tuloksena olevaa yhtälöä toisen juuren suhteen neliöllisenä

siksi diskriminantti on 0 ja yhtälöllä voi olla ratkaisu x = -2.

Tutkimus:

Vastaus: x=-2.

Kommentti: Tarkistaminen voidaan jättää pois, jos niin päätetään toisen asteen yhtälö.

Menetelmä 2. Kuutio kaavan mukaan.

Jatkamme yhtälön kuutioimista, mutta käytämme modifioituja lyhennettyjä kertolaskukaavoja.

Käytetään kaavoja:

(pieni muutos tunnetusta kaavasta), sitten

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Kuutioitetaan yhtälö käyttämällä yllä annettuja kaavoja.

Mutta ilmaisu on oltava yhtä suuri kuin oikea puoli. Siksi meillä on:

.

Nyt kun kuutiotetaan, saamme tavallisen toisen asteen yhtälön:

, ja sen kaksi juurta

Molemmat arvot, kuten testi osoittaa, ovat oikein.

Vastaus: x=2,x=-33.

Mutta ovatko kaikki muunnokset tässä yhtäläisiä? Ennen kuin vastaat tähän kysymykseen, ratkaistaan ​​vielä yksi yhtälö.

Esimerkki 4. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Nostamalla molemmat puolet kolmanteen tehoon, kuten ennenkin, meillä on:

Mistä (ottaen huomioon, että suluissa oleva lauseke on yhtä suuri kuin ), saamme:

Saamme, tehdään tarkistus ja varmistetaan, että x=0 on ulkopuolinen juuri.

Vastaus: .

Vastataanpa kysymykseen: "Miksi vieraat juuret syntyivät?"

Tasa-arvo merkitsee tasa-arvoa . Korvaa kohteesta - kanssa, saamme:

Henkilöllisyyden tarkistaminen on helppoa

Joten jos , niin joko tai . Yhtälö voidaan esittää muodossa , .

Korvaamalla arvosta -s:iin saamme: jos , sitten joko tai

Siksi, kun käytät tätä ratkaisumenetelmää, sinun on tarkistettava ja varmistettava, ettei siellä ole vieraita juuria.

Menetelmä 3. Järjestelmämenetelmä.

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Antaa , . Sitten:

Missä se on selvää

Järjestelmän toinen yhtälö saadaan siten, että lineaarinen yhdistelmä radikaalilausekkeet eivät olleet riippuvaisia ​​alkuperäisestä muuttujasta.

On helppo nähdä, että järjestelmällä ei ole ratkaisua, ja siksi alkuperäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Vastaus: Ei ole juuria.

Esimerkki 6. Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Otetaan käyttöön korvaus, laaditaan ja ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä.

Antaa , . Sitten

Palaamme alkuperäiseen muuttujaan:

Vastaus: x=0.

Menetelmä 4 Funktioiden monotonisuuden käyttö.

Ennen käyttöä tätä menetelmää Siirrytään teoriaan.

Tarvitsemme seuraavat ominaisuudet:

Esimerkki 7. Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Yhtälön vasen puoli on kasvava funktio ja oikea puoli on luku, ts. on vakio, joten yhtälöllä ei ole enempää kuin yksi juuri, jonka valitsemme: x=9. Tarkistamalla varmistamme, että juuri on sopiva.

Valinnaisen opintojakson metodologinen kehitys

"Menetelmiä irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi"

JOHDANTO

Ehdotettu valinnainen kurssi "Irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmät" on tarkoitettu 11. luokan opiskelijoille yläaste ja on ainekohtainen, ja sen tarkoituksena on laajentaa opiskelijoiden teoreettista ja käytännön tietoa. Valinnainen kurssi rakentuu niille tiedoille ja taidoille, joita opiskelijat hankkivat opiskellessaan matematiikkaa lukiossa.

Tämän kurssin erityispiirteenä on, että se on tarkoitettu ensisijaisesti opiskelijoille, jotka haluavat laajentaa, syventää, systematisoida, yleistää matemaattista tietoaan ja oppia yleisiä menetelmiä ja tekniikoita irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Ohjelma sisältää kysymyksiä, jotka ylittävät osittain nykyiset matematiikan ohjelmat ja epätyypilliset menetelmät, joiden avulla voit ratkaista tehokkaammin erilaisia ​​​​ongelmia.

Useimmat USE-tehtävät vaativat valmistuneilta erilaisia ​​menetelmiä erilaisten yhtälöiden ja niiden järjestelmien ratkaisemiseksi. Yhtälöihin ja yhtälöjärjestelmiin liittyvä materiaali muodostaa merkittävän osan koulun matematiikan kurssista. Valinnaisen opintojakson aiheen valinnan relevanssi määräytyy aiheen "Irrrationaaliset yhtälöt" tärkeys koulun matematiikan kurssilla ja samalla ajan puute pohtia epätyypillisiä menetelmiä ja lähestymistapoja irrationaalisten ratkaisemiseen. yhtälöt, jotka löytyvät yhtenäisen valtiontutkinnon ryhmän "C" tehtävistä.

Matematiikan opetuksen perustehtävän - varmistaa opiskelijoiden vahva ja tietoinen matemaattisten tietojen ja taitojen järjestelmän hallinta - ohella tämä valinnainen kurssi mahdollistaa kestävän kiinnostuksen muodostumisen aihetta kohtaan, matemaattisten kykyjen kehittämisen, matematiikan tason nostamisen. opiskelijoiden matemaattista kulttuuria ja luo perustan onnistuneen valmistumisen Yhtenäinen valtiontutkinto ja täydennyskoulutus yliopistoissa.

Kurssin tarkoitus:

Lisää ymmärrystä ja käytännön koulutusta irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemisessa;

Tutkimustekniikoita ja menetelmiä irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi;

Kehittää kykyä analysoida, korostaa pääasiaa, muodostaa luovan haun elementtejä yleistystekniikoiden pohjalta;

Laajenna opiskelijoiden tietämystä tästä aiheesta, paranna heidän taitojaan erilaisten ongelmien ratkaisemisessa, jotta voit läpäistä yhtenäisen valtionkokeen.

Kurssin tavoitteet:

Laajentaa tietoa algebrallisten yhtälöiden ratkaisumenetelmistä ja tekniikoista;

Tietojen yleistäminen ja systematisointi luokilla 10-11 opiskellessa ja yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautuessa;

Tietojen itsenäisen hankkimisen ja soveltamisen kyvyn kehittäminen;

Opiskelijoiden esittely matemaattisen kirjallisuuden parissa;

Opiskelijoiden loogisen ajattelun, algoritmisen kulttuurin ja matemaattisen intuition kehittäminen;

Opiskelijan matemaattisen kulttuurin parantaminen.

Valinnainen kurssi sisältää opiskelun erilaisia ​​menetelmiä ja lähestymistapoja irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen, käytännön taitojen kehittämiseen käsiteltävissä olevissa asioissa. Kurssi kestää 17 tuntia.

Ohjelma on monimutkainen, ylittää tavanomaisen opintojakson, edistää kehitystä abstraktia ajattelua, laajentaa opiskelijan tietokenttää. Samalla se ylläpitää jatkuvuutta olemassa olevien ohjelmien kanssa, mikä on niiden looginen jatko.

Koulutus- ja teemasuunnitelma

№p/p

Oppitunnin aihe

Tuntien lukumäärä

Yhtälöiden ratkaiseminen ottaen huomioon hyväksyttävien arvojen alueen

Irrationaalisten yhtälöiden ratkaiseminen nostamalla arvoon luonnollinen tutkinto

Yhtälöiden ratkaiseminen ottamalla käyttöön apumuuttujia (korvausmenetelmä)

Yhtälön ratkaiseminen kolmannen asteen radikaalilla.

Identtiset muunnokset ratkaistaessa irrationaalisia yhtälöitä

Epätavanomaisia ​​tehtäviä. Yhtenäisen valtionkokeen ryhmän “C” tehtävät

Valvontamuodot: kotikokeet, itsenäiset työt, esseet ja tutkimuspaperit.

Tämän valinnaisen opintojakson opiskelun tuloksena opiskelijan tulee pystyä ratkaisemaan erilaisia irrationaalisia yhtälöitä käyttämällä vakio- ja ei-standardimenetelmiä ja -tekniikoita;

hallitsee standardien irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemisen algoritmin;

osaa käyttää yhtälöiden ominaisuuksia poikkeavien ongelmien ratkaisemiseen;

osata suorittaa identiteettimuunnoksia yhtälöitä ratkaistaessa;

sinulla on selkeä käsitys yhtenäisen valtiokokeen aiheista, päämenetelmistä niiden ratkaisemiseksi;

saada kokemusta menetelmien valinnasta epätyypillisten ongelmien ratkaisemiseksi.

PÄÄOSA.

Kutsutaan yhtälöitä, joissa tuntematon määrä on radikaalin merkin alla irrationaalinen.

Yksinkertaisimmat irrationaaliset yhtälöt sisältävät yhtälöt, joiden muoto on:

Ratkaisun pääidea irrationaalinen yhtälö koostuu sen pelkistämisestä rationaaliseksi algebrallinen yhtälö, joka on joko ekvivalentti alkuperäisen irrationaalisen yhtälön kanssa tai on sen seuraus. Irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa puhumme aina todellisten juurien löytämisestä.

Katsotaanpa joitain tapoja ratkaista irrationaalisia yhtälöitä.

1. Irrationaalisten yhtälöiden ratkaiseminen ottaen huomioon sallittujen arvojen alueen (APV).

Irrationaalisen yhtälön sallittujen arvojen alue koostuu niistä tuntemattomien arvoista, joille kaikki parillisen asteen radikaalin merkin alla olevat lausekkeet ovat ei-negatiivisia.

Joskus ODZ:n tunteminen antaa sinun todistaa, että yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja joskus voit löytää ratkaisuja yhtälöön korvaamalla numerot suoraan ODZ:stä.

Esimerkki1 . Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu . Kun olemme löytäneet tämän yhtälön ODZ:n, tulemme siihen tulokseen, että alkuperäisen yhtälön ODZ on yksialkiojoukko. Korvaaminenx=2tähän yhtälöön, tulemme siihen tulokseenx=2on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus : 2 .

Esimerkki 2.

Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska jokaisessa hyväksyttävä arvo muuttujassa kahden ei-negatiivisen luvun summa ei voi olla negatiivinen.

Esimerkki 3.
+ 3 =
.

ODZ:

ODZ-yhtälö on tyhjä joukko.

Vastaus: yhtälöllä ei ole juuria.

Esimerkki 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Tarkistamalla olemme vakuuttuneita siitä, että x=1 on yhtälön juuri.

Vastaus: 1.

Todista, että yhtälöllä ei ole

juuret.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Ratkaise yhtälö.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. B nostamalla yhtälön molemmat puolet luonnolliseen tehoon , eli siirtymä yhtälöstä

(1)

yhtälöön

. (2)

Seuraavat väitteet pitävät paikkansa:

1) mikä tahansa yhtälö (2) on yhtälön (1) seuraus;

2) jos ( n on pariton luku), sitten yhtälöt (1) ja (2 ) ovat vastaavia;

3) jos ( n on parillinen luku), yhtälö (2) vastaa yhtälöä

, (3)

ja yhtälö (3) vastaa yhtälöjoukkoa

. (4)

Erityisesti yhtälö

(5)

on sama kuin yhtälöryhmä (4).

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

.

Yhtälö vastaa järjestelmää

mistä seuraa, että x=1, ja juuri ei täytä toista epäyhtälöä. Samaan aikaan pätevä ratkaisu ei vaadi todentamista.

Vastaus:x=1.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö.

Tämän järjestelmän ensimmäisen yhtälön ratkaiseminen, joka vastaa yhtälöä , saamme juuret ja . Näillä arvoilla kuitenkin x epäyhtälö ei päde, ja siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö

Eristämällä ensimmäinen radikaali, saamme yhtälön

vastaava kuin alkuperäinen.

Neliöimällä tämän yhtälön molemmat puolet, koska ne ovat molemmat positiivisia, saamme yhtälön

,

mikä on seurausta alkuperäisestä yhtälöstä. Neliöimällä tämän yhtälön molemmat puolet sillä ehdolla, että saamme yhtälöön

.

Tällä yhtälöllä on juuret , . Ensimmäinen juuri täyttää alkuperäisen ehdon, mutta toinen ei.

Vastaus: x=2.

Jos yhtälö sisältää kaksi tai useampia radikaaleja, ne ensin eristetään ja sitten neliötetään.

Esimerkki 1.

Eristämällä ensimmäinen radikaali, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua radikaalia. Neliötetään yhtälön molemmat puolet:

Tehtyään tarvittavat muunnokset neliöimme tuloksena olevan yhtälön

Tarkastuksen jälkeen huomaamme sen

ei ole hyväksyttävien arvojen alueella.

Vastaus: 8.

Vastaus: 2

Vastaus: 3; 1.4.

3. Monet irrationaaliset yhtälöt ratkaistaan ​​ottamalla käyttöön apumuuttujia.

Kätevä tapa ratkaista irrationaalisia yhtälöitä on joskus menetelmä ottaa käyttöön uusi muuttuja tai "korvausmenetelmä" Menetelmää käytetään yleensä, kun yhtälössä. jokin ilmaus näkyy toistuvasti, riippuen tuntemattomasta määrästä. Sitten on järkevää merkitä tämä lauseke jollakin uudella kirjaimella ja yrittää ratkaista yhtälö ensin käyttöönotetun tuntemattoman suhteen ja sitten etsiä alkuperäinen tuntematon.

Uuden muuttujan onnistunut valinta tekee yhtälön rakenteesta läpinäkyvämmän. Uusi muuttuja on joskus ilmeinen, joskus hieman verhottu, mutta ”tuntuva” ja joskus ”ilmenee” vasta transformaatioprosessissa.

Esimerkki 1.

Antaa
t>0 siis

t =
,

t 2 +5t-14 = 0,

t1 =-7, t2 =2. t=-7 ei siis täytä ehtoa t>0

,

x 2 -2x-5 = 0,

x 1 = 1-
, x 2 = 1+
.

Vastaus: 1-
; 1+
.

Esimerkki 2. Ratkaise irrationaalinen yhtälö

Korvaus:

Käänteinen vaihto: /

Vastaus:

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö .

Tehdään vaihdot: , . Alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon , josta löydämme sen A = 4b Ja . Seuraavaksi nostetaan yhtälön molempia puolia neliöitynä, saamme: täältä X= 15. Jäljelle jää vain tarkistaa:

- oikein!

Vastaus: 15.

Esimerkki 4. Ratkaise yhtälö

Asettamalla , saamme huomattavasti yksinkertaisemman irrationaalisen yhtälön. Neliötetään yhtälön molemmat puolet: .

; ;

; ; , .

Löytyneiden arvojen tarkistaminen ja niiden korvaaminen yhtälössä osoittaa, että se on yhtälön juuri ja ulkopuolinen juuri.

Paluu alkuperäiseen muuttujaan x, saamme yhtälön eli toisen asteen yhtälön, jonka ratkaisemiseksi löydämme kaksi juuria: ,. Molemmat juuret täyttävät alkuperäisen yhtälön.

Vastaus: , .

Korvaaminen on erityisen hyödyllistä, jos tuloksena saavutetaan uusi laatu, esimerkiksi irrationaalinen yhtälö muuttuu rationaaliseksi.

Esimerkki 6. Ratkaise yhtälö.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen seuraavasti: .

Voidaan nähdä, että jos otamme käyttöön uuden muuttujan , yhtälö saa muodon , missä on ulkopuolinen juuri ja .

Yhtälöstä saadaan , .

Vastaus: , .

Esimerkki 7. Ratkaise yhtälö .

Otetaan käyttöön uusi muuttuja, .

Tämän seurauksena alkuperäinen irrationaalinen yhtälö saa neliöllisen muodon

,

mistä saamme rajoituksen huomioon ottaen . Ratkaisemalla yhtälön, saamme juuren. Vastaus: 2,5.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Menetelmä kahden apumuuttujan lisäämiseksi.

Muodon yhtälöt (Tässä a , b , c , d – joitain numeroita m , n – luonnolliset luvut) ja monet muut yhtälöt voidaan usein ratkaista lisäämällä kaksi ylimääräistä tuntematonta: ja , missä ja sen jälkeen siirtyminen vastaava rationaalinen yhtälöjärjestelmä.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö.

Tämän yhtälön kummankin puolen nostaminen neljänteen potenssiin ei lupaa mitään hyvää. Jos laitamme , niin alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti: . Koska olemme ottaneet käyttöön kaksi uutta tuntematonta, meidän on löydettävä toinen yhtälö y Ja z. Tätä varten nostamme yhtäläisyydet neljänteen potenssiin ja huomaamme, että . Joten meidän on ratkaistava yhtälöjärjestelmä

Neliöimällä saamme:

Korvauksen jälkeen meillä on: tai . Tällöin järjestelmässä on kaksi ratkaisua: , ; , , ja järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

On vielä ratkaistava kahden yhtälöjärjestelmän, jossa on yksi tuntematon, järjestelmä

ja järjestelmä Ensimmäinen niistä antaa, toinen antaa.

Vastaus: , .

Esimerkki 2.

Antaa

Vastaus:

5. Yhtälöt kolmannen asteen radikaalilla.
Ratkaistaessa yhtälöitä, jotka sisältävät 3. asteen radikaaleja, voi olla hyödyllistä käyttää yhteenlaskua identiteeteillä:

Esimerkki 1. .
Nostetaan tämän yhtälön molemmat puolet kolmanteen potenssiin ja käytetään yllä olevaa identiteettiä:

Huomaa, että suluissa oleva lauseke on yhtä suuri kuin 1, mikä seuraa alkuperäisestä yhtälöstä. Tämän huomioon ottaen ja samankaltaisilla ehdoilla saamme:
Avataan sulut, lisätään samankaltaisia ​​termejä ja ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö. Sen juuretJa. Jos oletetaan (määritelmän mukaan), että parittomat juuret voidaan erottaa myös negatiivisista luvuista, niin molemmat saadut luvut ovat ratkaisuja alkuperäiseen yhtälöön.
Vastaus:.

6.Kertotaan yhtälön molemmat puolet toisen konjugaattilausekkeella.

Joskus irrationaalinen yhtälö voidaan ratkaista melko nopeasti, jos molemmat puolet kerrotaan hyvin valitulla funktiolla. Tietysti, kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan tietyllä funktiolla, voi ilmetä vieraita ratkaisuja, jotka voivat osoittautua itse tämän funktion nolliksi. Siksi ehdotettu menetelmä edellyttää tuloksena olevien arvojen pakollista tutkimusta.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu: Valitaan toiminto

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet valitulla funktiolla:

Otetaan samanlaiset termit ja saadaan vastaava yhtälö

Lisätään alkuperäinen yhtälö ja viimeinen, saadaan

Vastaus: .

7. Identtiset muunnokset ratkaistaessa irrationaalisia yhtälöitä

Irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa on usein tarpeen soveltaa identtisiä muunnoksia, jotka liittyvät hyvin tunnettujen kaavojen käyttöön. Valitettavasti nämä toimet ovat joskus yhtä vaarallisia kuin tasaisen tehon nostaminen – ratkaisuja voidaan saavuttaa tai menettää.

Katsotaanpa useita tilanteita, joissa näitä ongelmia esiintyy, ja opimme tunnistamaan ja ehkäisemään ne.

minä Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Tässä pätevä kaava on .

Sinun tarvitsee vain ajatella sen käytön turvallisuutta. On helppo nähdä, että sen vasemmalla ja oikealla puolella on eri määrittelyalueet ja että tämä yhtäläisyys on totta vain ehdolla . Siksi alkuperäinen yhtälö vastaa järjestelmää

Ratkaisemalla tämän järjestelmän yhtälön saamme juuret ja . Toinen juuri ei täytä järjestelmän epäyhtälöiden joukkoa ja on siksi alkuperäisen yhtälön ulkopuolinen juuri.

Vastaus: -1 .

II.Seuraava vaarallinen muunnos irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa määritetään kaavalla.

Jos käytät tätä kaavaa vasemmalta oikealle, ODZ laajenee ja voit hankkia kolmannen osapuolen ratkaisuja. Todellakin, vasemmalla puolella molempien funktioiden on oltava ei-negatiivisia; ja oikealla, heidän tuotteensa ei saa olla negatiivinen.

Katsotaanpa esimerkkiä, jossa ongelma toteutetaan kaavan avulla.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Yritetään ratkaista tämä yhtälö factoringin avulla

Huomaa, että tällä toiminnolla ratkaisu osoittautui kadonneeksi, koska se sopii alkuperäiseen yhtälöön eikä enää sovi tuloksena olevaan yhtälöön: siinä ei ole järkeä . Siksi on parempi ratkaista tämä yhtälö tavallisella neliöinnillä

Ratkaisemalla tämän järjestelmän yhtälön saamme juuret ja . Molemmat juuret tyydyttävät järjestelmän epätasa-arvon.

Vastaus: , .

III On vielä vaarallisempi toimenpide - vähentäminen yhteisellä tekijällä.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö .

Virheellinen päättely: Pienennä yhtälön molempia puolia :lla, saamme .

Ei ole mitään vaarallisempaa ja väärää kuin tämä toiminta. Ensinnäkin alkuperäisen yhtälön sopiva ratkaisu menetettiin; toiseksi ostettiin kaksi kolmannen osapuolen ratkaisua. Osoittautuu, että uudella yhtälöllä ei ole mitään yhteistä alkuperäisen kanssa! Annetaan oikea ratkaisu.

Ratkaisu. Siirretään kaikki jäsenet vasen puoli yhtälö ja kerroin se

.

Tämä yhtälö vastaa järjestelmää

jolla on ainutlaatuinen ratkaisu.

Vastaus: 3 .

PÄÄTELMÄ.

Osana valinnaista kurssia esitellään epätyypillisiä monimutkaisten ongelmien ratkaisutekniikoita, jotka kehittävät menestyksekkäästi loogista ajattelua ja kykyä löytää monien ratkaisujen joukosta sellainen, joka on opiskelijalle mukava ja järkevä. Tämä kurssi vaatii opiskelijoilta itsenäinen työ, auttaa valmistamaan opiskelijoita jatkamaan opintojaan ja parantamaan matemaattisen kulttuurin tasoa.

Työssä käsiteltiin päämenetelmiä irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joitain lähestymistapoja yhtälöiden ratkaisemiseen korkeammat asteet, jonka käyttöä odotetaan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävien ratkaisemisessa sekä yliopistoon tullessa ja matematiikan jatko-opiskelussa. Myös irrationaalisten yhtälöiden ratkaisuteoriaan liittyvien peruskäsitteiden ja väitteiden sisältö paljastettiin. Kun olet määrittänyt yleisimmän yhtälöiden ratkaisumenetelmän, tunnistimme sen käytön vakio- ja ei-standarditilanteissa. Lisäksi mietimme tyypillisiä virheitä suoritettaessa identtisiä muunnoksia ja tapoja voittaa ne.

Kurssin suoritettuaan opiskelijalla on mahdollisuus hallita erilaisia ​​yhtälöiden ratkaisumenetelmiä ja tekniikoita sekä oppia systematisoimaan ja yleistämään teoreettista tietoa, etsimään itsenäisesti ratkaisuja tiettyihin ongelmiin ja laatimaan tämän yhteydessä useita tehtäviä ja harjoituksia. näistä aiheista. Monimutkaisen materiaalin valinta auttaa koululaisia ​​ilmaisemaan itseään tutkimustoiminnassa.

Positiivisella puolella kurssi on opiskelijoiden mahdollisuus jatkosovelta opiskelua materiaalia, kun yhtenäisen valtionkokeen läpäiseminen, pääsy yliopistoihin.

Negatiivinen puoli on, että kaikki opiskelijat eivät voi hallita kaikkia tämän kurssin tekniikoita, vaikka he haluaisivat, koska useimmat ratkaistut ongelmat ovat vaikeita.

KIRJALLISUUS:

Sharygin I.F. "Matematiikka yliopistoihin tuleville." - 3. painos, - M.: Bustard, 2000.

Yhtälöt ja epäyhtälöt. Viiteopas./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Tentti, 1998.

Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. "Matematiikka: intensiivinen tenttiin valmistautumiskurssi." – 8. painos, rev. ja ylimääräisiä – M.:Iris, 2003. – (Kotiopettaja)

Balayan E.N. Monimutkaiset harjoitukset ja harjoitustehtävien muunnelmat matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen. Rostov-on-Don: Phoenix Publishing House, 2004.

Skanavi M.I. "Matematiikan tehtävien kokoelma yliopistoihin tuleville." - M., "Ylempi koulu", 1998.

Igusman O.S. "Matematiikka suullisessa kokeessa." - M., Iris, 1999.

Koemateriaalit yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumiseen – 2008 – 2012.

V.V. Kochagin, M.N. Kochagina "Unified State Examination – 2010. Mathematics. Tutor" Moskovan "Enlightenment" 2010

V.A.Gusev, A.G.Mordkovich "Matematiikka. Viitemateriaalit" Moskova "Enlightenment" 1988

Irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmät.

Alustava valmistelu oppitunnille: Opiskelijoiden tulee pystyä ratkaisemaan irrationaalisia yhtälöitä monin eri tavoin.

Kolme viikkoa ennen tätä oppituntia opiskelijat saavat kotitehtävän numero 1: ratkaise erilaisia ​​irrationaalisia yhtälöitä. (Oppilaat löytävät itsenäisesti 6 erilaista irrationaalista yhtälöä ja ratkaisevat ne pareittain.)

Viikkoa ennen tätä oppituntia opiskelijat saavat kotitehtävän nro 2, jonka he suorittavat erikseen.

1. Ratkaise yhtälöeri tavoilla.

2. Arvioi kunkin menetelmän edut ja haitat.

3. Kirjaa havainnot taulukon muodossa.

№ p/p	Tapa	Edut	Vikoja

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen:opiskelijoiden tiedon yleistäminen tästä aiheesta, erilaisten irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmien esittely, opiskelijoiden kyky lähestyä yhtälöiden ratkaisemista tutkimuksen näkökulmasta.

Koulutuksellinen:itsenäisyyden edistäminen, kyky kuunnella muita ja kommunikoida ryhmissä, lisää kiinnostusta aihetta kohtaan.

Kehittävä:loogisen ajattelun kehittäminen, algoritmikulttuuri, itsekasvatustaidot, itseorganisaatio, parityöskentely kotitehtävissä, analysointi-, vertailu-, yleistys- ja johtopäätöstaidot.

Laitteet: tietokone, projektori, valkokangas, pöytä “Säännöt irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi”, juliste lainauksella M.V. Lomonosov "Matematiikkaa pitäisi opettaa vasta silloin, koska se laittaa mielen järjestykseen", kortit.

Säännöt irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti-seminaari (työskentely 5-6 hengen ryhmissä, jokaisessa ryhmässä tulee olla vahvoja oppilaita).

Tuntien aikana

minä . Ajan järjestäminen

(Oppitunnin aiheesta ja tavoitteista kertominen)

II . Esittely tutkimustyö"Menetelmiä irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi"

(Teoksen esittelee sen tehnyt opiskelija.)

III . Kotitehtävien ratkaisumenetelmien analyysi

(Yksi opiskelija kustakin ryhmästä kirjoittaa taululle ehdottamansa ratkaisumenetelmät. Jokainen ryhmä analysoi yhden ratkaisumenetelmistä, arvioi edut ja haitat ja tekee johtopäätökset. Ryhmien opiskelijat lisäävät tarvittaessa. Ryhmän analyysi ja johtopäätökset Vastausten on oltava selkeitä ja täydellisiä.)

Ensimmäinen menetelmä: nostetaan yhtälön molemmat puolet samaan potenssiin ja sitten tarkistetaan.

Ratkaisu.

Neliötetään yhtälön molemmat puolet uudelleen:

Täältä

Tutkimus:

1. Josx=42 siis, mikä tarkoittaa numeroa42 ei ole yhtälön juuri.

2. Josx=2 siis, mikä tarkoittaa numeroa2 on yhtälön juuri.

Vastaus:2.

№ p/p	Tapa	Edut	Vikoja
	Yhtälön molempien puolten nostaminen samaan potenssiin	1. Näen. 2 saatavilla.	1. Sanallinen äänitys. 2. Vaikea todentaminen.

Johtopäätös. Ratkaistaessa irrationaalisia yhtälöitä nostamalla yhtälön molemmat puolet samaan potenssiin, tulee pitää sanallista kirjaa, mikä tekee ratkaisusta ymmärrettävän ja saavutettavan. Pakollinen todentaminen on kuitenkin joskus monimutkaista ja aikaa vievää. Tällä menetelmällä voidaan ratkaista yksinkertaisia ​​irrationaalisia yhtälöitä, jotka sisältävät 1-2 radikaalia.

Toinen menetelmä: vastaavat muunnokset.

Ratkaisu:Neliötetään yhtälön molemmat puolet:

Vastaus:2.

№ p/p	Tapa	Edut	Vikoja
	Vastaavat muunnokset	1. Sanallisen kuvauksen puute. 2. Ei vahvistusta. 3. Selkeä looginen merkintä. 4. Vastaavien siirtymien järjestys.	1. Hankala tallennus. 2. Voit tehdä virheen yhdistäessäsi järjestelmän ja joukon merkkejä.

Johtopäätös. Kun irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaan ​​ekvivalenttien siirtymien menetelmällä, on tiedettävä selvästi, milloin järjestelmän etumerkki ja milloin aggregaatin etumerkki. Tallennuksen raskaisuus ja erilaiset järjestelmä- ja yhdistelmäsymbolien yhdistelmät johtavat usein virheisiin. Kuitenkin ekvivalenttien siirtymien järjestys, selkeä looginen merkintä ilman sanallista kuvausta, joka ei vaadi varmennusta, ovat tämän menetelmän kiistattomia etuja.

Kolmas menetelmä: funktionaalinen-graafinen.

Ratkaisu.

Katsotaanpa toimintojaJa.

1. Toimintorauhallinen; lisääntyy, koska eksponentti on positiivinen (ei kokonaisluku) luku.

D(f).

Tehdään arvotaulukkoxJaf( x).

	1,5		3,5
f(x)

2. Toimintorauhallinen; on vähenemässä.

Etsitään funktion määritelmäalueD( g).

Tehdään arvotaulukkoxJag( x).

g(x)

Muodostetaan nämä funktiokaaviot yhteen koordinaattijärjestelmään.

Funktioiden kuvaajat leikkaavat abskissapisteessäKoska toimintof( x) kasvaa, ja toimintog( x) pienenee, yhtälölle on vain yksi ratkaisu.

Vastaus: 2.

№p/p	Tapa	Edut	Vikoja
	Toiminnallinen-grafiikka	1. Näkyvyys. 2. Ei ole tarvetta tehdä monimutkaisia ​​algebrallisia muunnoksia ja valvoa ODZ:tä. 3. Voit löytää useita ratkaisuja.	1. sanallinen äänitys. 2. Tarkkaa vastausta ei aina ole mahdollista löytää, ja jos vastaus on oikea, tarvitaan varmistus.

Johtopäätös. Funktionaalis-graafinen menetelmä on visuaalinen ja mahdollistaa ratkaisujen määrän löytämisen, mutta sitä on parempi käyttää, kun voit helposti rakentaa kaavioita harkittavista funktioista ja saada tarkan vastauksen. Jos vastaus on likimääräinen, on parempi käyttää toista menetelmää.

Neljäs menetelmä: uuden muuttujan käyttöönotto.

Ratkaisu.Otetaan käyttöön uudet muuttujat, denotingSaamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön

Luodaan järjestelmän toinen yhtälö.

Muuttujalle:

Muuttujalle

Siksi

Saamme kahden rationaalisen yhtälön järjestelmän suhteessaJa

Palataan muuttujaan, saamme

Esittelyssä uusi muuttuja

Yksinkertaistaminen - yhtälöjärjestelmän saaminen, joka ei sisällä radikaaleja

1. Tarve seurata uusien muuttujien DID:tä

2. Tarve palata alkuperäiseen muuttujaan

Johtopäätös. Tätä menetelmää voidaan parhaiten käyttää irrationaalisille yhtälöille, jotka sisältävät eriasteisia radikaaleja tai identtisiä polynomeja juurimerkin alla ja juurimerkin takana, tai käänteislausekkeille juurimerkin alla.

- Joten, kaverit, jokaiselle irrationaaliselle yhtälölle sinun on valittava eniten kätevä tapa ratkaisut: selkeä. Helppokäyttöinen, loogisesti ja asiantuntevasti suunniteltu. Nostakaa kätenne kumpi teistä mieluummin:

1) menetelmä nostaa yhtälön molemmat puolet samaan potenssiin varmentamalla;

2) ekvivalenttien muunnosten menetelmä;

3) funktionaalinen-graafinen menetelmä;

4) uuden muuttujan käyttöönottotapa.

IV . Käytännön osa

(Työskentele ryhmissä. Jokainen oppilasryhmä saa kortin, jossa on yhtälö ja ratkaisee sen muistivihkoonsa. Tällä hetkellä yksi ryhmän edustaja ratkaisee esimerkin taululle. Jokaisen ryhmän opiskelijat ratkaisevat saman esimerkin ryhmän jäsenenä. ryhmänsä ja tarkkailemaan oikeita suoritustehtäviä taululla.Jos taululla vastaaja tekee virheitä, niin havaitsija nostaa kätensä ja auttaa korjaamaan ne. Oppitunnin aikana jokainen oppilas ratkaisi esimerkin lisäksi hänen ryhmänsä on kirjoitettava muistikirjaan muut ryhmille ehdottamat ja ratkaista ne kotona.)

Ryhmä 1.

Ryhmä 2.

Ryhmä 3.

V . Itsenäinen työ

(Ryhmissä käydään ensin keskustelu, jonka jälkeen opiskelijat alkavat suorittaa tehtävää. Oikea, opettajan valmistelema ratkaisu näkyy ruudulla.)

VI . Yhteenveto oppitunnista

Nyt tiedät, että irrationaalisten yhtälöiden ratkaiseminen edellyttää hyvää teoreettista tietoa, kykyä soveltaa niitä käytännössä, tarkkaavaisuutta, kovaa työtä ja älykkyyttä.

Kotitehtävät

Ratkaise oppitunnin aikana ryhmille annetut yhtälöt.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudenkäyntimenettelyn, oikeudenkäynnin ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyynnön perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.