Ohjeet

Kirjoita annettu logaritminen lauseke. Jos lauseke käyttää logaritmia 10, sen merkintätapa lyhennetään ja näyttää tältä: lg b on desimaalilogaritmi. Jos logaritmin kantana on luku e, kirjoita lauseke: ln b – luonnollinen logaritmi. Ymmärretään, että minkä tahansa tulos on potenssi, johon perusluku on nostettava luvun b saamiseksi.

Kun etsit kahden funktion summaa, sinun tarvitsee vain erottaa ne yksitellen ja laskea tulokset yhteen: (u+v)" = u"+v";

Kun löydetään kahden funktion tulon derivaatta, on välttämätöntä kertoa ensimmäisen funktion derivaatta toisella ja lisätä toisen funktion derivaatta kerrottuna ensimmäisellä funktiolla: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Kahden funktion osamäärän derivaatan löytämiseksi on vähennettävä osingon derivaatan tulosta kerrottuna jakajafunktiolla jakajan derivaatan tulo kerrottuna osingon funktiolla ja jaettava kaikki tämä jakajafunktiolla neliöitynä. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jos annetaan monimutkainen toiminto, niin on tarpeen kertoa derivaatta sisäinen toiminto ja ulkoisen johdannainen. Olkoon y=u(v(x)), sitten y"(x)=y"(u)*v"(x).

Yllä saatujen tulosten avulla voit erottaa melkein minkä tahansa toiminnon. Katsotaanpa siis muutamia esimerkkejä:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ongelmia liittyy myös derivaatan laskemiseen pisteessä. Olkoon funktio y=e^(x^2+6x+5) annettu, pitää löytää funktion arvo pisteestä x=1.
1) Etsi funktion derivaatta: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Laske funktion arvo in annettu piste y"(1)=8*e^0=8

Video aiheesta

Hyödyllinen neuvo

Opi alkeisjohdannaisten taulukko. Tämä säästää huomattavasti aikaa.

Lähteet:

• vakion derivaatta

Joten mitä eroa on? ir rationaalinen yhtälö rationaalisuudesta? Jos tuntematon muuttuja on merkin alla neliöjuuri, yhtälöä pidetään irrationaalisena.

Ohjeet

Päämenetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on menetelmä molempien puolten rakentamiseksi yhtälöt neliöön. Kuitenkin. Tämä on luonnollista, ensimmäinen asia, joka sinun on tehtävä, on päästä eroon merkistä. Tämä menetelmä ei ole teknisesti vaikea, mutta joskus se voi aiheuttaa ongelmia. Esimerkiksi yhtälö on v(2x-5)=v(4x-7). Neliöimällä molemmat puolet saat 2x-5=4x-7. Tällaisen yhtälön ratkaiseminen ei ole vaikeaa; x=1. Mutta numeroa 1 ei anneta yhtälöt. Miksi? Korvaa yhtälössä yksi x:n arvon sijaan. Ja oikealla ja vasemmalla puolella on lausekkeita, joissa ei ole järkeä, eli. Tämä arvo ei kelpaa neliöjuurelle. Siksi 1 on ulkopuolinen juuri, ja siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Joten irrationaalinen yhtälö ratkaistaan ​​käyttämällä menetelmää neliöimällä sen molemmat puolet. Ja yhtälön ratkaisemisen jälkeen on tarpeen leikata pois vieraat juuret. Voit tehdä tämän korvaamalla löydetyt juuret alkuperäiseen yhtälöön.

Harkitse toista.
2х+vх-3=0
Tietenkin tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä samaa yhtälöä kuin edellinen. Siirrä yhdisteitä yhtälöt, joilla ei ole neliöjuurta, sisään oikea puoli ja käytä sitten neliöintimenetelmää. ratkaise tuloksena oleva rationaalinen yhtälö ja juuret. Mutta myös toinen, tyylikkäämpi. Syötä uusi muuttuja; vх=y. Vastaavasti saat yhtälön muodossa 2y2+y-3=0. Eli tavallista toisen asteen yhtälö. Etsi sen juuret; y1 = 1 ja y2 = -3/2. Seuraavaksi ratkaise kaksi yhtälöt vх=1; vх=-3/2. Toisella yhtälöllä ei ole juuria; ensimmäisestä saamme selville, että x=1. Älä unohda tarkistaa juuria.

Identiteettien ratkaiseminen on melko yksinkertaista. Tätä varten on suoritettava identtisiä muunnoksia, kunnes asetettu tavoite saavutetaan. Siten esitetty ongelma ratkaistaan ​​yksinkertaisten aritmeettisten operaatioiden avulla.

Tarvitset

• - paperi;
• - kynä.

Ohjeet

Yksinkertaisimpia tällaisista muunnoksista ovat algebralliset lyhennetty kertolasku (kuten summan neliö (ero), neliöiden erotus, summa (ero), summan kuutio (ero)). Lisäksi on monia ja trigonometriset kaavat, jotka ovat pohjimmiltaan samoja identiteettejä.

Kahden termin summan neliö on todellakin yhtä suuri kuin ensimmäisen neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen tulo toisella ja plus toisen neliö, eli (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Yksinkertaista molemmat

Ratkaisun yleiset periaatteet

Toista matemaattisen analyysin oppikirja tai korkeampaa matematiikkaa, joka on selvä integraali. Kuten tiedetään, määrätyn integraalin ratkaisu on funktio, jonka derivaatta antaa integrandin. Tätä toimintoa kutsutaan antiderivatiiviseksi. Tämän periaatteen perusteella muodostetaan pääintegraalit.
Määritä integrandin tyypin perusteella, mikä taulukon integraaleista sopii tähän tapaukseen. Tätä ei aina ole mahdollista määrittää heti. Usein taulukkomuoto tulee havaittavaksi vasta useiden muunnosten jälkeen integrandin yksinkertaistamiseksi.

Muuttujan korvausmenetelmä

Jos integrand-funktio on trigonometrinen funktio, jonka argumentti sisältää jonkin polynomin, yritä sitten käyttää muuttujan korvausmenetelmää. Voit tehdä tämän korvaamalla integrandin argumentin polynomin jollain uudella muuttujalla. Määritä integroinnin uudet rajat uusien ja vanhojen muuttujien välisen suhteen perusteella. Erottamalla tämä lauseke löytää uusi differentiaali kohdasta . Joten saat uutta lajia edellisen integraalin, lähellä mitä tahansa taulukkoa tai jopa vastaavaa sitä.

Toisen tyyppisten integraalien ratkaiseminen

Jos integraali on toisen tyyppinen integraali, integrandin vektorimuoto, sinun on käytettävä sääntöjä siirtymiseen näistä integraaleista skalaariin. Yksi tällainen sääntö on Ostrogradsky-Gauss-suhde. Tämä laki sallii meidän siirtyä tietyn vektorifunktion roottorivuosta kolmoisintegraaliin tietyn vektorikentän divergenssin yli.

Integrointirajojen korvaaminen

Antiderivaatin löytämisen jälkeen on tarpeen korvata integraation rajat. Korvaa ensin ylärajan arvo antijohdannaisen lausekkeeseen. Saat jonkin numeron. Vähennä seuraavaksi saadusta luvusta toinen alarajasta saatu luku antiderivaattiin. Jos yksi integroinnin rajoista on äärettömyys, niin kun se korvataan antiderivatiivinen toiminto on tarpeen mennä äärirajoille ja löytää se, mihin ilmaisu pyrkii.
Jos integraali on kaksi- tai kolmiulotteinen, sinun on esitettävä integroinnin rajat geometrisesti ymmärtääksesi, kuinka integraali arvioidaan. Todellakin, esimerkiksi kolmiulotteisen integraalin tapauksessa integroinnin rajat voivat olla kokonaisia ​​tasoja, jotka rajoittavat integroitavaa tilavuutta.

Logaritmiset yhtälöt. Jatkamme matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon osan B ongelmien tarkastelua. Olemme jo tutkineet joidenkin yhtälöiden ratkaisuja artikkeleissa "", "". Tässä artikkelissa tarkastellaan logaritmisia yhtälöitä. Sanon heti, että tällaisten yhtälöiden ratkaisemisessa Unified State -kokeessa ei tapahdu monimutkaisia ​​muutoksia. Ne ovat yksinkertaisia.

Riittää, kun tietää ja ymmärtää perusasiat logaritminen identiteetti, tietää logaritmin ominaisuudet. Huomaa, että sen ratkaisemisen jälkeen sinun TÄYTYY tehdä tarkistus - korvaa saatu arvo alkuperäiseen yhtälöön ja laske, lopulta sinun pitäisi saada oikea yhtälö.

Määritelmä:

Lukun logaritmi kantaan b on eksponentti,johon b on nostettava saadakseen a.

Esimerkiksi:

Log 3 9 = 2, koska 3 2 = 9

Logaritmien ominaisuudet:

Logaritmien erikoistapaukset:

Ratkaistaan ​​ongelmia. Ensimmäisessä esimerkissä teemme tarkistuksen. Tarkista se jatkossa itse.

Etsi yhtälön juuri: log 3 (4–x) = 4

Koska log b a = x b x = a, niin

3 4 = 4 – x

x = 4-81

x = – 77

Tutkimus:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Oikein.

Vastaus: 77

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuri: log 2 (4 – x) = 7

Etsi yhtälön log 5 juuri(4 + x) = 2

Käytämme peruslogaritmista identiteettiä.

Koska log a b = x b x = a, niin

5 2 = 4 + x

x = 5 2–4

x = 21

Tutkimus:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 oikein.

Vastaus: 21

Etsi yhtälön juuri log 3 (14 – x) = log 3 5.

Seuraava ominaisuus pätee, sen merkitys on seuraava: jos yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella meillä on logaritmi samalla pohjalla, niin voimme rinnastaa lausekkeet logaritmien etumerkkien alle.

14 – x = 5

x=9

Tee tarkistus.

Vastaus: 9

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuri log 5 (5 – x) = log 5 3.

Etsi yhtälön juuri: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Jos log c a = log c b, niin a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Tee tarkistus.

Vastaus: 6

Etsi yhtälön juuri log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13-64

x = – 51

Tee tarkistus.

Pieni lisäys - kiinteistöä käytetään täällä

astetta ().

Vastaus: 51

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuri: log 1/7 (7 – x) = – 2

Etsi yhtälön juuri log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Muutetaan oikea puoli. Otetaan käyttöön omaisuus:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Jos log c a = log c b, niin a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Tee tarkistus.

Vastaus: 21

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuri: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Ratkaise yhtälö log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jos log c a = log c b, niin a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Tee tarkistus.

Vastaus: 2.75

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuri log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Ratkaise yhtälö log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Pakollinen kanssa oikea puoli yhtälöt saavat muodon lausekkeen:

loki 2 (......)

Esitämme 1:n kantaluvun 2 logaritmina:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Saamme:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Jos log c a = log c b, niin a = b, niin

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Tee tarkistus.

Vastaus: 0.4

Päätä itse: Seuraavaksi sinun on ratkaistava toisen asteen yhtälö. Muuten,

juuret ovat 6 ja – 4.

juuri "-4" ei ole ratkaisu, koska logaritmin kantaluvun on oltava suurempi kuin nolla, ja "– 4" se on yhtä suuri kuin " – 5". Ratkaisu on juuri 6.Tee tarkistus.

Vastaus: 6.

R syö itse:

Ratkaise yhtälö log x –5 49 = 2. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, vastaa pienemmällä.

Kuten olet nähnyt, ei monimutkaisia ​​muunnoksia logaritmisilla yhtälöilläEi. Riittää, kun tietää logaritmin ominaisuudet ja osaa soveltaa niitä. Yhtenäisen valtiontutkinnon muuntamiseen liittyvät ongelmat logaritmiset lausekkeet, tehdään vakavampia muutoksia ja tarvitaan syvempiä ratkaisutaitoja. Katsomme tällaisia ​​esimerkkejä, älä missaa niitä!Toivon sinulle menestystä!!!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit minulle sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Johdanto

Logaritmit keksittiin nopeuttamaan ja yksinkertaistamaan laskelmia. Ajatus logaritmista, eli ajatus lukujen ilmaisemisesta saman kantaluvun potenssina, kuuluu Mikhail Stiefelille. Mutta Stiefelin aikana matematiikka ei ollut niin kehittynyt eikä logaritmin ideaa kehitetty. Skotlantilainen tiedemies John Napier (1550-1617) ja sveitsiläinen Jobst Burgi (1552-1632) keksivät myöhemmin logaritmit samanaikaisesti ja toisistaan ​​riippumatta. Napier julkaisi teoksen ensimmäisenä vuonna 1614. otsikolla "Hämmästyttävän logaritmien taulukon kuvaus" Napierin logaritmien teoria annettiin melko täydellisessä osassa, logaritmien laskentamenetelmä annettiin yksinkertaisin, joten Napierin ansiot logaritmien keksimisessä olivat suuremmat kuin Bürgin. Bürgi työskenteli pöydissä samaan aikaan Napierin kanssa, mutta pitkään aikaan piti ne salassa ja julkaisi ne vasta vuonna 1620. Napier hallitsi logaritmin idean noin vuonna 1594. vaikka taulukot julkaistiin 20 vuotta myöhemmin. Aluksi hän kutsui logaritmejaan "keinotekoisiksi luvuiksi" ja vasta sitten ehdotti kutsuvansa näitä "keinotekoisia lukuja" yhdellä sanalla "logaritmi", joka käännettynä kreikasta tarkoittaa "korreloituja lukuja", joista toinen on otettu aritmeettisesta progressiosta ja toinen sitä varten erityisesti valittu geometrinen eteneminen. Ensimmäiset venäjänkieliset taulukot julkaistiin vuonna 1703. upean 1700-luvun opettajan osallistuessa. L. F. Magnitsky. Logaritmien teorian kehittämisessä hyvin tärkeä oli Pietarin akateemikon Leonhard Eulerin teoksia. Hän oli ensimmäinen, joka piti logaritmia potenssiin nostamisen käänteisenä; hän otti käyttöön termit "logaritmikanta" ja "mantissa". Briggs laati logaritmitaulukot, joiden kantaluku on 10. Desimaalitaulukot ovat kätevämpiä käytännön käyttöön, niiden teoria on yksinkertaisempi kuin Napierin logaritmit . Siksi desimaalilogaritmeja kutsutaan joskus Briggsin logaritmeiksi. Briggs otti käyttöön termin "karakterisointi".

Noina kaukaisina aikoina, kun viisaat alkoivat ajatella tasa-arvoja, jotka sisälsivät tuntemattomia määriä, ei luultavasti ollut kolikoita tai lompakkoa. Mutta siellä oli kasoja, samoin kuin ruukkuja ja koreja, jotka sopivat täydellisesti säilytyskätköihin, joihin mahtui tuntematon määrä esineitä. Mesopotamian, Intian, Kiinan ja Kreikan muinaisissa matemaattisissa ongelmissa tuntemattomat määrät ilmaisivat puutarhassa olevien riikinkukkojen lukumäärän, sonnien lukumäärän laumassa ja omaisuuden jakamisessa huomioon otettujen asioiden kokonaisuuden. Kirjanoppineet, virkamiehet ja papit, jotka olivat vihitty salaiseen tietoon, jotka olivat hyvin koulutettuja kirjanpitotieteessä, selviytyivät tällaisista tehtävistä melko menestyksekkäästi.

Meille saapuneet lähteet osoittavat, että muinaisilla tiedemiehillä oli joitain yleisiä tekniikoita tuntemattomien määrien ongelmien ratkaisemiseksi. Yksikään papyrus- tai savitabletti ei kuitenkaan sisällä kuvausta näistä tekniikoista. Kirjoittajat vain satunnaisesti lisäsivät numeerisiin laskelmiinsa niukkoja kommentteja, kuten: "Katso!", "Tee tämä!", "Löysit oikean." Tässä mielessä poikkeus on kreikkalaisen matemaatikon Diophantus Aleksandrialaisen (III vuosisadan) "aritmetiikka" - kokoelma yhtälöiden muodostamiseen liittyviä ongelmia ja niiden ratkaisujen systemaattinen esitys.

Ensimmäinen laajalti tunnetuksi tullut käsikirja ongelmien ratkaisemiseksi oli kuitenkin 800-luvun Bagdadin tiedemiehen työ. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sana "al-jabr" tämän tutkielman arabiankielisestä nimestä - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restauroinnin ja opposition kirja") - muuttui ajan myötä tunnetuksi sanaksi "algebra", ja al- Khwarizmin työ itsessään toimi lähtökohtana yhtälöiden ratkaisemisen tieteen kehityksessä.

Logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt

1. Logaritmiset yhtälöt

Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman logaritmimerkin alla tai sen pohjassa, kutsutaan logaritmiksi yhtälöksi.

Yksinkertaisin logaritminen yhtälö on muodon yhtälö

Hirsi a x = b . (1)

Lausunto 1. Jos a > 0, a≠ 1, yhtälö (1) mille tahansa reaaliarvolle b on ainutlaatuinen ratkaisu x = a b .

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöt:

a) loki 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Ratkaisu. Väitettä 1 käyttämällä saamme a) x= 2 3 tai x= 8; b) x= 3 -1 tai x= 1/3; c)

tai x = 1.

Esitetään logaritmin perusominaisuudet.

P1. Logaritmisen perusidentiteetti:

Missä a > 0, a≠ 1 ja b > 0.

P2. Positiivisten tekijöiden tulon logaritmi yhtä suuri kuin summa näiden tekijöiden logaritmit:

Hirsi a N 1 · N 2 = loki a N 1 + loki a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentti. Jos N 1 · N 2 > 0, niin ominaisuus P2 saa muodon

Hirsi a N 1 · N 2 = loki a |N 1 | + loki a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi yhtä suuri kuin erotus osingon ja jakajan logaritmit

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentti. Jos

, (joka vastaa N 1 N 2 > 0) niin ominaisuus P3 saa muodon (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Positiivisen luvun potenssin logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja tämän luvun logaritmin tulo:

Hirsi a N k = k Hirsi a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Kommentti. Jos k- tasaluku ( k = 2s), Se

Hirsi a N 2s = 2s Hirsi a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Kaava siirtyäksesi toiseen tukikohtaan:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

varsinkin jos N = b, saamme

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Ominaisuuksien P4 ja P5 avulla on helppo saada seuraavat ominaisuudet

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

ja jos kohdassa (5) c- tasaluku ( c = 2n), tapahtuu

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Listataan logaritmisen funktion pääominaisuudet f (x) = loki a x :

1. Logaritmisen funktion määritelmäalue on positiivisten lukujen joukko.

2. Logaritmisen funktion arvoalue on reaalilukujen joukko.

3. Milloin a> 1 logaritminen funktio on tiukasti kasvava (0< x 1 < x 2 log a x 1 < loga x 2) ja 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > loki a x 2).

4.loki a 1 = 0 ja log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Jos a> 1, niin logaritminen funktio on negatiivinen, kun x(0;1) ja positiivinen at x(1;+∞), ja jos 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) ja negatiivinen at x (1;+∞).

6. Jos a> 1, niin logaritminen funktio on kupera ylöspäin, ja jos a(0;1) - kupera alaspäin.

Seuraavia lauseita (katso esimerkiksi) käytetään logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Me kaikki tunnemme yhtälöt perusluokat. Siellä opimme ratkaisemaan myös yksinkertaisimpia esimerkkejä, ja on myönnettävä, että ne löytävät sovelluksensa jopa korkeammassa matematiikassa. Kaikki on yksinkertaista yhtälöillä, myös toisen asteen yhtälöillä. Jos sinulla on ongelmia tämän aiheen kanssa, suosittelemme, että tarkistat sen.

Olet varmaan jo käynyt läpi logaritmit. Pidämme kuitenkin tärkeänä kertoa, mitä se on niille, jotka eivät vielä tiedä. Logaritmi rinnastetaan potenssiin, johon kantaa on nostettava, jotta saadaan logaritmimerkin oikealla puolella oleva luku. Annetaan esimerkki, jonka perusteella kaikki tulee sinulle selväksi.

Jos korotat 3:n neljänteen potenssiin, saat 81. Korvaa nyt luvut analogisesti, niin ymmärrät vihdoin kuinka logaritmit ratkaistaan. Nyt jää vain yhdistää nämä kaksi käsitettä. Aluksi tilanne näyttää erittäin monimutkaiselta, mutta tarkemmin tarkasteltuna paino loksahtaa paikalleen. Olemme varmoja, että tämän lyhyen artikkelin jälkeen sinulla ei ole ongelmia yhtenäisen valtionkokeen tässä osassa.

Nykyään on monia tapoja ratkaista tällaisia ​​rakenteita. Kerromme sinulle yksinkertaisimmista, tehokkaimmista ja soveltuvimmista Unified State Examination -tehtävistä. Logaritmien yhtälöiden ratkaiseminen on aloitettava alusta. yksinkertainen esimerkki. Yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt koostuvat funktiosta ja yhdestä muuttujasta siinä.

On tärkeää huomata, että x on argumentin sisällä. A:n ja b:n on oltava numeroita. Tässä tapauksessa voit yksinkertaisesti ilmaista funktion luvulla potenssiin. Se näyttää tältä.

Tietenkin logaritmisen yhtälön ratkaiseminen tällä menetelmällä johtaa oikeaan vastaukseen. Suurin osa opiskelijoista tässä tapauksessa ongelmana on, että he eivät ymmärrä, mitä mistä tulee. Seurauksena on, että joudut sietämään virheitä etkä saa haluttuja pisteitä. Loukkaavin virhe on, jos sekoitat kirjaimet. Yhtälön ratkaisemiseksi tällä tavalla sinun on opittava ulkoa tämä vakiokoulukaava, koska sitä on vaikea ymmärtää.

Helpottaaksesi voit turvautua toiseen menetelmään - kanoniseen muotoon. Idea on äärimmäisen yksinkertainen. Kiinnitä huomiosi takaisin ongelmaan. Muista, että kirjain a on numero, ei funktio tai muuttuja. A ei ole yhtä suuri kuin yksi ja suurempi kuin nolla. b:lle ei ole rajoituksia. Nyt muistakaamme yksi kaikista kaavoista. B voidaan ilmaista seuraavasti.

Tästä seuraa, että kaikki alkuperäiset yhtälöt logaritmeilla voidaan esittää muodossa:

Nyt voimme pudottaa logaritmit. Tuloksena on yksinkertainen muotoilu, jonka olemme jo nähneet aiemmin.

Tämän kaavan mukavuus piilee siinä, että sitä voidaan käyttää useissa eri tapauksissa, eikä vain yksinkertaisimpiin malleihin.

Älä välitä OOF:sta!

Monet kokeneet matemaatikot huomaavat, että emme ole kiinnittäneet huomiota määrittelyalueeseen. Sääntö tiivistyy siihen tosiasiaan, että F(x) on välttämättä suurempi kuin 0. Ei, emme missaneet tätä kohtaa. Nyt puhumme kanonisen muodon toisesta vakavasta edusta.

Täällä ei tule ylimääräisiä juuria. Jos muuttuja näkyy vain yhdessä paikassa, laajuutta ei tarvita. Se tehdään automaattisesti. Varmistaaksesi tämän tuomion, yritä ratkaista useita yksinkertaisia ​​esimerkkejä.

Miten ratkaista logaritmiset yhtälöt eri kantajilla

Nämä ovat jo monimutkaisia ​​logaritmisia yhtälöitä, ja niiden ratkaisemisen on oltava erityinen. Täällä on harvoin mahdollista rajoittua pahamaineiseen kanoniseen muotoon. Aloitetaan yksityiskohtainen tarinamme. Meillä on seuraava rakennelma.

Kiinnitä huomiota murto-osaan. Se sisältää logaritmin. Jos näet tämän tehtävässä, kannattaa muistaa yksi mielenkiintoinen temppu.

Mitä se tarkoittaa? Jokainen logaritmi voidaan esittää kahden logaritmin osamääränä, jolla on kätevä kanta. Ja tämä kaava on erikoistapaus, joka on sovellettavissa tässä esimerkissä (eli jos c=b).

Tämä on juuri se murto-osa, jonka näemme esimerkissämme. Täten.

Pohjimmiltaan käänsimme murtoluvun ympäri ja saimme kätevämmän ilmaisun. Muista tämä algoritmi!

Nyt tarvitaan, että logaritminen yhtälö ei sisältänyt eri syistä. Esitetään kantaluku murtolukuna.

Matematiikassa on sääntö, jonka perusteella voit johtaa tutkinnon kannasta. Seuraavat rakennustulokset.

Vaikuttaa siltä, ​​että mikä estää meitä nyt kääntämästä ilmaisuamme kanoniseen muotoon ja yksinkertaisesti ratkaisemasta sitä? Ei niin yksinkertaista. Ennen logaritmia ei saa olla murtolukuja. Korjataan tämä tilanne! Murtolukuja saa käyttää asteina.

Vastaavasti.

Jos kantaluvut ovat samat, voimme poistaa logaritmit ja rinnastaa lausekkeet itse. Näin tilanteesta tulee paljon yksinkertaisempi kuin se oli. Jäljelle jää alkeellinen yhtälö, jonka jokainen meistä tiesi ratkaista jo 8. tai jopa 7. luokalla. Voit tehdä laskelmat itse.

Olemme saaneet tämän logaritmisen yhtälön ainoan oikean juuren. Esimerkit logaritmisen yhtälön ratkaisemisesta ovat melko yksinkertaisia, eikö niin? Nyt pystyt itsenäisesti selviytymään monimutkaisimmistakin tehtävistä valmistautuessasi Unified State -kokeeseen ja läpäisemään sen.

Mikä on tulos?

Minkä tahansa logaritmisen yhtälön tapauksessa aloitamme yhdestä hyvin tärkeä sääntö. On tarpeen toimia siten, että ilmaisu pelkistetään mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Tässä tapauksessa sinulla on paremmat mahdollisuudet paitsi ratkaista tehtävä oikein, myös tehdä se yksinkertaisimmalla ja loogisimmalla tavalla. Juuri näin matemaatikot toimivat aina.

Emme suosittele etsimään vaikeita polkuja, etenkään tässä tapauksessa. Muista muutama yksinkertaiset säännöt, jonka avulla voit muuttaa mitä tahansa lauseketta. Vähennä esimerkiksi kaksi tai kolme logaritmia samaan kantaan tai johda potenssi kannasta ja voita tällä.

On myös syytä muistaa, että logaritmisen yhtälöiden ratkaiseminen vaatii jatkuvaa harjoittelua. Vähitellen siirryt yhä monimutkaisempiin rakenteisiin, ja tämä johtaa sinut ratkaisemaan luottavaisesti kaikki Unified State Exam -ongelmien versiot. Valmistaudu kokeihisi hyvissä ajoin ja onnea!

Tällä videolla aloitan pitkän sarjan oppitunteja logaritmisista yhtälöistä. Nyt sinulla on edessäsi kolme esimerkkiä, joiden perusteella opimme ratkaisemaan eniten yksinkertaisia ​​tehtäviä, joita kutsutaan niin - alkueläimet.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Haluan muistuttaa, että yksinkertaisin logaritminen yhtälö on seuraava:

log a f (x) = b

Tässä tapauksessa on tärkeää, että muuttuja x on vain argumentin sisällä, eli vain funktiossa f (x). Ja luvut a ja b ovat vain numeroita, eivätkä missään tapauksessa ole funktioita, jotka sisältävät muuttujan x.

Perusratkaisumenetelmät

On monia tapoja ratkaista tällaisia ​​rakenteita. Esimerkiksi useimmat koulun opettajat tarjoavat tämän menetelmän: Ilmaise välittömästi funktio f (x) kaavalla f ( x) = a b. Eli kun törmäät yksinkertaisimpaan rakenteeseen, voit siirtyä välittömästi ratkaisuun ilman lisätoimia ja rakenteita.

Kyllä, päätös on tietysti oikea. Tämän kaavan ongelmana on kuitenkin se, että useimmat opiskelijat ei ymmärrä, mistä se tulee ja miksi nostamme a-kirjaimen kirjaimeksi b.

Tämän seurauksena näen usein erittäin ärsyttäviä virheitä, kun esimerkiksi näitä kirjaimia vaihdetaan. Tämä kaava on joko ymmärrettävä tai täytettävä, ja toinen menetelmä johtaa virheisiin sopimattomimmilla ja tärkeimmillä hetkillä: kokeiden, kokeiden jne.

Siksi ehdotan kaikille opiskelijoilleni, että he luopuvat tavallisesta koulukaavasta ja käyttävät toista lähestymistapaa logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen, jota, kuten luultavasti nimestä arvasit, on ns. kanoninen muoto.

Kanonisen muodon idea on yksinkertainen. Katsotaanpa ongelmaamme uudelleen: vasemmalla on log a, ja kirjaimella a tarkoitamme numeroa, ei missään tapauksessa funktiota, joka sisältää muuttujan x. Tästä syystä tämä kirje on kaikkien logaritmin perustalle asetettujen rajoitusten alainen. nimittäin:

1 ≠ a > 0

Toisaalta samasta yhtälöstä näemme, että logaritmin täytyy olla yhtä suuri kuin luku b , eikä tälle kirjeelle aseteta rajoituksia, koska se voi ottaa mitä tahansa arvoa - sekä positiivisia että negatiivisia. Kaikki riippuu siitä, mitä arvoja funktio f(x) ottaa.

Ja tässä muistamme ihmeellisen sääntömme, jonka mukaan mikä tahansa luku b voidaan esittää logaritmina a:n kantaan a potenssiin b:

b = log a a b

Kuinka muistaa tämä kaava? Kyllä, hyvin yksinkertaista. Kirjoitetaan seuraava konstruktio:

b = b 1 = b log a a

Tietenkin tässä tapauksessa kaikki rajoitukset, jotka kirjoitimme alussa, syntyvät. Käytetään nyt logaritmin perusominaisuutta ja esitellään kertoja b a:n potenssina. Saamme:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Tämän seurauksena alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Siinä kaikki. Uusi funktio ei enää sisällä logaritmia ja se voidaan ratkaista tavallisilla algebrallisilla tekniikoilla.

Tietysti joku nyt vastustaa: miksi ylipäänsä piti keksiä jonkinlainen kanoninen kaava, miksi tehdä kaksi ylimääräistä tarpeetonta vaihetta, jos oli mahdollista siirtyä välittömästi alkuperäisestä suunnittelusta lopulliseen kaavaan? Kyllä, jos vain siksi, että useimmat opiskelijat eivät ymmärrä, mistä tämä kaava tulee, ja sen seurauksena tekevät säännöllisesti virheitä soveltaessaan sitä.

Mutta tämä kolmesta vaiheesta koostuva toimintosarja antaa sinun ratkaista alkuperäisen logaritmisen yhtälön, vaikka et ymmärtäisikään, mistä lopullinen kaava tulee. Muuten, tätä merkintää kutsutaan kanoniseksi kaavaksi:

log a f (x) = log a a b

Kanonisen muodon mukavuus piilee myös siinä, että sillä voidaan ratkaista hyvin laaja luokka logaritmisia yhtälöitä, ei vain yksinkertaisimpia, joita tarkastelemme tänään.

Esimerkkejä ratkaisuista

Katsotaanpa nyt todellisia esimerkkejä. Joten, päätetään:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Kirjoitetaan se uudelleen näin:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Monilla opiskelijoilla on kiire ja he yrittävät välittömästi nostaa lukua 0,5 siihen tehoon, joka tuli meille alkuperäisestä ongelmasta. Todellakin, kun olet jo hyvin koulutettu tällaisten ongelmien ratkaisemiseen, voit suorittaa tämän vaiheen välittömästi.

Kuitenkin, jos olet nyt vasta aloittamassa tämän aiheen tutkimista, on parempi olla kiirehtimättä minnekään välttääksesi loukkaavien virheiden tekemisen. Meillä on siis kanoninen muoto. Meillä on:

3x − 1 = 0,5 −3

Tämä ei ole enää logaritminen yhtälö, vaan lineaarinen muuttujan x suhteen. Sen ratkaisemiseksi katsotaan ensin lukua 0,5 potenssilla −3. Huomaa, että 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Kaikki desimaalit muuntaa tavallisiksi, kun ratkaiset logaritmisen yhtälön.

Kirjoitamme uudelleen ja saamme:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Siinä se, saimme vastauksen. Ensimmäinen ongelma on ratkaistu.

Toinen tehtävä

Siirrytään toiseen tehtävään:

Kuten näemme, tämä yhtälö ei ole enää yksinkertaisin. Jos vain siksi, että vasemmalla on ero, eikä yhtään logaritmia yhteen kantaan.

Siksi meidän on jotenkin päästävä eroon tästä erosta. Tässä tapauksessa kaikki on hyvin yksinkertaista. Katsotaanpa perusteita tarkemmin: vasemmalla on juuren alla oleva numero:

Yleinen suositus: kaikissa logaritmisissa yhtälöissä yritä päästä eroon radikaaleista, eli merkinnöistä, joissa on juuria ja siirry tehotoiminnot, yksinkertaisesti siksi, että näiden potenssien eksponentit poistetaan helposti logaritmin etumerkistä ja viime kädessä tällainen merkintä yksinkertaistaa ja nopeuttaa laskelmia merkittävästi. Kirjoitetaan se muistiin näin:

Muistakaamme nyt logaritmin merkittävä ominaisuus: potenssit voidaan johtaa argumentista, samoin kuin kantasta. Perusteiden tapauksessa tapahtuu seuraavaa:

log a k b = 1/k loga b

Toisin sanoen peruspotenssissa ollut luku tuodaan eteenpäin ja samalla käännetään, eli siitä tulee käänteisluku. Meidän tapauksessamme perusaste oli 1/2. Siksi voimme ottaa sen pois 2/1. Saamme:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Huomaa: et missään tapauksessa saa päästä eroon logaritmeista tässä vaiheessa. Muista 4.-5. luokan matematiikka ja toimintojen järjestys: ensin tehdään kertolasku ja vasta sitten yhteen- ja vähennyslasku. Tässä tapauksessa vähennämme yhden samoista elementeistä 10 elementistä:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nyt yhtälömme näyttää siltä kuin sen pitäisi. Tämä on yksinkertaisin rakenne, ja ratkaisemme sen käyttämällä kanonista muotoa:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Siinä kaikki. Toinen ongelma on ratkaistu.

Kolmas esimerkki

Siirrytään kolmanteen tehtävään:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Muistutan teitä seuraavasta kaavasta:

log b = log 10 b

Jos merkintäloki b on jostain syystä hämmentynyt, voit kirjoittaa kaikkia laskutoimituksia tehdessäsi vain lokin 10 b. Voit työskennellä desimaalilogaritmien kanssa samalla tavalla kuin muillakin: ota potenssit, lisää ja edusta mitä tahansa lukuja muodossa lg 10.

Juuri näitä ominaisuuksia käytämme nyt ongelman ratkaisemiseen, koska se ei ole yksinkertaisin, jonka kirjoitimme oppitunnin alussa.

Ensin on huomioitava, että lg 5:n edessä oleva kerroin 2 voidaan lisätä ja siitä tulee kantaluvun 5 potenssi. Lisäksi vapaa termi 3 voidaan esittää myös logaritmina - tämä on erittäin helppo havaita merkinnöstämme.

Arvioi itse: mikä tahansa luku voidaan esittää lokina 10:een:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Kirjoitetaan alkuperäinen ongelma uudelleen ottaen huomioon saadut muutokset:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Meillä on taas edessämme kanoninen muoto, ja saimme sen ilman muunnosvaihetta, eli yksinkertaisin logaritminen yhtälö ei näkynyt missään.

Juuri tästä puhuin aivan oppitunnin alussa. Kanonisen lomakkeen avulla voit ratkaista laajemman luokan ongelmia kuin tavallinen koulun kaava, jonka useimmat koulun opettajat antavat.

Siinä se, päästään eroon merkistä desimaalilogaritmi, ja saamme yksinkertaisen lineaarisen rakenteen:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Kaikki! Ongelma on ratkaistu.

Huomautus laajuudesta

Tässä haluaisin tehdä tärkeän huomautuksen määritelmän laajuudesta. Varmasti nyt tulee olemaan opiskelijoita ja opettajia, jotka sanovat: "Kun ratkaisemme lausekkeita logaritmeilla, meidän on muistettava, että argumentin f (x) on oltava suurempi kuin nolla!" Tältä osin herää looginen kysymys: miksi emme vaatineet tämän epätasa-arvon täyttyvän missään tarkastelussa olevista ongelmista?

Älä huoli. Näissä tapauksissa ylimääräisiä juuria ei näy. Ja tämä on toinen hieno temppu, jonka avulla voit nopeuttaa ratkaisua. Tiedä vain, että jos ongelmassa muuttuja x esiintyy vain yhdessä paikassa (tai pikemminkin yhden logaritmin yhdessä argumentissa), eikä missään muualla tapauksessamme muuttuja x esiinny, niin kirjoita määritelmän alue muistiin. ei tarvetta, koska se suoritetaan automaattisesti.

Päättele itse: ensimmäisessä yhtälössä saimme, että 3x − 1, eli argumentin tulee olla yhtä suuri kuin 8. Tämä tarkoittaa automaattisesti, että 3x − 1 on suurempi kuin nolla.

Samalla menestyksellä voimme kirjoittaa, että toisessa tapauksessa x:n tulisi olla yhtä suuri kuin 5 2, eli se on varmasti suurempi kuin nolla. Ja kolmannessa tapauksessa, jossa x + 3 = 25 000, eli jälleen, selvästi suurempi kuin nolla. Toisin sanoen laajuus täyttyy automaattisesti, mutta vain jos x esiintyy vain yhden logaritmin argumentissa.

Tämä on kaikki mitä sinun tarvitsee tietää ratkaistaksesi yksinkertaisimmat ongelmat. Pelkästään tämä sääntö yhdessä muunnossääntöjen kanssa antaa sinun ratkaista hyvin laajan luokan ongelmia.

Mutta olkaamme rehellisiä: tämän tekniikan vihdoin ymmärtämiseksi ja logaritmisen yhtälön kanonisen muodon soveltamiseksi ei riitä, että katsot vain yhden videotunnin. Siksi lataa juuri nyt tähän videooppituntiin liitetyt itsenäisten ratkaisujen vaihtoehdot ja aloita ainakin yhden näistä kahdesta itsenäisestä työstä ratkaiseminen.

Se vie kirjaimellisesti muutaman minuutin. Mutta tällaisen koulutuksen vaikutus on paljon suurempi kuin jos vain katsoisit tämän videotunnin.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua ymmärtämään logaritmisia yhtälöitä. Käytä kanonista muotoa, yksinkertaista lausekkeita käyttämällä logaritmien työskentelysääntöjä - etkä pelkää ongelmia. Siinä on kaikki mitä minulla on tälle päivälle.

Ottaen huomioon määritelmäalueen

Puhutaan nyt logaritmisen funktion määritelmäalueesta ja kuinka tämä vaikuttaa logaritmisen yhtälöiden ratkaisuun. Harkitse lomakkeen rakennetta

log a f (x) = b

Tällaista lauseketta kutsutaan yksinkertaisimmiksi - se sisältää vain yhden funktion, ja luvut a ja b ovat vain numeroita, eivätkä missään tapauksessa funktiota, joka riippuu muuttujasta x. Se voidaan ratkaista hyvin yksinkertaisesti. Sinun tarvitsee vain käyttää kaavaa:

b = log a a b

Tämä kaava on yksi logaritmin tärkeimmistä ominaisuuksista, ja kun se korvataan alkuperäisellä lausekkeellamme, saamme seuraavan:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Tämä on tuttu kaava koulun oppikirjoista. Monilla opiskelijoilla on todennäköisesti kysymys: koska alkuperäisessä lausekkeessa funktio f (x) on lokimerkin alla, sille on asetettu seuraavat rajoitukset:

f(x) > 0

Tämä rajoitus koskee, koska logaritmi negatiivisia lukuja ei ole olemassa. Joten ehkä tämän rajoituksen seurauksena vastausten tarkistus pitäisi ottaa käyttöön? Ehkä ne pitää lisätä lähteeseen?

Ei, yksinkertaisimmissa logaritmisissa yhtälöissä lisätarkistus on tarpeetonta. Ja siksi. Katso lopullinen kaavamme:

f (x) = a b

Tosiasia on, että luku a on joka tapauksessa suurempi kuin 0 - tämän vaatimuksen määrää myös logaritmi. Numero a on kanta. Tässä tapauksessa numeroa b ei rajoiteta. Mutta tällä ei ole väliä, koska riippumatta siitä, mihin potenssiin nostamme positiivisen luvun, saamme silti positiivisen luvun ulostulossa. Näin ollen vaatimus f (x) > 0 täyttyy automaattisesti.

Se, mikä todella kannattaa tarkistaa, on funktion toimialue lokimerkin alla. Rakenteet voivat olla melko monimutkaisia, ja sinun on ehdottomasti pidettävä niitä silmällä ratkaisuprosessin aikana. Katsotaanpa.

Ensimmäinen tehtävä:

Ensimmäinen vaihe: muunna oikealla oleva murto. Saamme:

Pääsemme eroon logaritmimerkistä ja saamme tavallisen irrationaalisen yhtälön:

Saaduista juurista vain ensimmäinen sopii meille, koska toinen juuri alle nolla. Ainoa vastaus on numero 9. Siinä se, ongelma on ratkaistu. Mitään lisätarkastuksia ei tarvita sen varmistamiseksi, että logaritmimerkin alla oleva lauseke on suurempi kuin 0, koska se ei ole vain suurempi kuin 0, vaan se on yhtälön ehdon mukaan yhtä suuri kuin 2. Siksi vaatimus "suurempi kuin nolla ” täyttyy automaattisesti.

Siirrytään toiseen tehtävään:

Kaikki on sama täällä. Kirjoitamme rakenteen uudelleen korvaamalla kolminkertaisen:

Pääsemme eroon logaritmimerkeistä ja saamme irrationaalisen yhtälön:

Neliöimme molemmat puolet ottaen huomioon rajoitukset ja saamme:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön diskriminantin avulla:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Mutta x = −6 ei sovi meille, koska jos korvaamme tämän luvun epäyhtälössämme, saamme:

−6 + 4 = −2 < 0

Meidän tapauksessamme sen on oltava suurempi kuin 0 tai ääritapauksissa yhtä suuri. Mutta x = −1 sopii meille:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainoa vastaus meidän tapauksessamme on x = −1. Se on ratkaisu. Palataanpa laskelmiemme alkuun.

Tärkein ote tästä oppitunnista on, että sinun ei tarvitse tarkistaa funktion rajoituksia yksinkertaisissa logaritmisissa yhtälöissä. Koska ratkaisuprosessin aikana kaikki rajoitukset täyttyvät automaattisesti.

Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että voit unohtaa tarkastamisen kokonaan. Työskennellessään logaritmisen yhtälön parissa se voi hyvinkin muuttua irrationaaliseksi, jolla on omat rajoituksensa ja vaatimukset oikealle puolelle, jotka olemme nähneet tänään kahdessa eri esimerkissä.

Voit vapaasti ratkaista tällaiset ongelmat ja olla erityisen varovainen, jos väitteessä on juuret.

Logaritmiset yhtälöt eri kantajilla

Jatkamme logaritmien yhtälöiden tutkimista ja tarkastelemme kahta muuta varsin mielenkiintoista tekniikkaa, joilla on muodikasta ratkaista enemmän monimutkaiset mallit. Mutta ensin muistetaan, kuinka yksinkertaisimmat ongelmat ratkaistaan:

log a f (x) = b

Tässä merkinnässä a ja b ovat numeroita ja funktiossa f (x) muuttujan x on oltava läsnä, ja vain siellä, eli x:n saa olla vain argumentissa. Muunnamme tällaiset logaritmiset yhtälöt käyttämällä kanonista muotoa. Ota tämä huomioon

b = log a a b

Lisäksi a b on juuri argumentti. Kirjoitetaan tämä lauseke uudelleen seuraavasti:

log a f (x) = log a a b

Tämä on juuri se, mitä yritämme saavuttaa, jotta on logaritmi perustaa a sekä vasemmalle että oikealle. Tässä tapauksessa voimme kuvainnollisesti yliviivata lokimerkit, ja matemaattisesta näkökulmasta voidaan sanoa, että yksinkertaisesti rinnastamme argumentit:

f (x) = a b

Tuloksena saamme uuden lausekkeen, joka on paljon helpompi ratkaista. Sovelletaan tätä sääntöä tämän päivän ongelmiimme.

Eli ensimmäinen malli:

Ensinnäkin huomautan, että oikealla on murtoluku, jonka nimittäjä on log. Kun näet tällaisen lausekkeen, on hyvä muistaa yksi hieno logaritmien ominaisuus:

Käännettynä venäjäksi tämä tarkoittaa, että mikä tahansa logaritmi voidaan esittää kahden logaritmin osamääränä millä tahansa kantaluvulla c. Tietysti 0< с ≠ 1.

Joten: tällä kaavalla on yksi ihana erikoistapaus, jolloin muuttuja c on yhtä suuri kuin muuttuja b. Tässä tapauksessa saamme seuraavanlaisen rakenteen:

Tämä on juuri se rakenne, jonka näemme yhtälössämme oikealla olevasta merkistä. Korvataan tämä konstruktio log a b:llä, saadaan:

Toisin sanoen verrattuna alkuperäinen tehtävä, vaihdoimme argumentin ja logaritmin kantaosan. Sen sijaan meidän piti kääntää murto-osa.

Muista, että mikä tahansa tutkinto voidaan johtaa perustasta seuraavan säännön mukaisesti:

Toisin sanoen kerroin k, joka on kannan potenssi, ilmaistaan ​​käänteisenä murtolukuna. Tehdään se käänteisenä murtolukuna:

Murtolukua ei voi jättää eteen, koska tässä tapauksessa emme voi esittää tätä merkintää kanonisena muotona (kanonisessa muodossa ei loppujen lopuksi ole lisätekijää ennen toista logaritmia). Lisätään siis murto-osa 1/4 argumenttiin potenssiksi:

Nyt rinnastamme argumentit, joiden perusteet ovat samat (ja perusteemme ovat todella samat), ja kirjoitamme:

x + 5 = 1

x = −4

Siinä kaikki. Saimme vastauksen ensimmäiseen logaritmiseen yhtälöön. Huomaa: alkuperäisessä tehtävässä muuttuja x esiintyy vain yhdessä lokissa, ja se esiintyy sen argumentissa. Siksi verkkotunnusta ei tarvitse tarkistaa, ja lukumme x = −4 on todellakin vastaus.

Siirrytään nyt toiseen lausekkeeseen:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Tässä meidän on tavallisten logaritmien lisäksi työskenneltävä log f (x) kanssa. Kuinka ratkaista tällainen yhtälö? Valmistautumattomalle opiskelijalle saattaa tuntua, että tämä on jonkinlainen kova tehtävä, mutta itse asiassa kaikki voidaan ratkaista alkeellisella tavalla.

Tarkastellaan tarkasti termiä lg 2 log 2 7. Mitä voimme sanoa siitä? Log:n ja lg:n perusteet ja argumentit ovat samat, ja tämän pitäisi antaa ajatuksia. Muistetaan vielä kerran, kuinka potenssit otetaan pois logaritmin merkin alta:

log a b n = nlog a b

Toisin sanoen se, mikä oli argumentissa b:n potenssi, muuttuu tekijäksi itse login edessä. Sovelletaan tätä kaavaa lausekkeeseen lg 2 log 2 7. Älä pelkää lg 2:ta - tämä on yleisin lauseke. Voit kirjoittaa sen uudelleen seuraavasti:

Kaikki säännöt, jotka koskevat mitä tahansa muuta logaritmia, ovat voimassa sille. Etenkin edessä oleva tekijä voidaan lisätä argumentin asteeseen. Kirjoitetaan se ylös:

Hyvin usein opiskelijat eivät näe tätä toimintoa suoraan, koska ei ole hyvä syöttää tukkia toisen merkin alle. Itse asiassa tässä ei ole mitään rikollista. Lisäksi saamme kaavan, joka on helppo laskea, jos muistat tärkeän säännön:

Tätä kaavaa voidaan pitää sekä määritelmänä että yhtenä sen ominaisuutena. Joka tapauksessa, jos muunnat logaritmisen yhtälön, sinun pitäisi tietää tämä kaava aivan kuten minkä tahansa luvun log-esitys.

Palataan tehtäväämme. Kirjoitamme sen uudelleen ottaen huomioon, että ensimmäinen yhtäläisyysmerkin oikealla puolella oleva termi on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin lg 7. Meillä on:

lg 56 = lg 7 – 3 lg (x + 4)

Siirretään lg 7 vasemmalle, saamme:

lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)

Vähennämme vasemmalla olevat lausekkeet, koska niillä on sama kanta:

lg (56/7) = −3 lg (x + 4)

Katsotaanpa nyt lähemmin saatua yhtälöä. Se on käytännössä kanoninen muoto, mutta oikealla on tekijä −3. Lisätään se oikeaan lg-argumenttiin:

log 8 = log (x + 4) −3

Edessämme on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten lyhennämme lg-merkit ja rinnastamme argumentit:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Siinä kaikki! Ratkaisimme toisen logaritmisen yhtälön. Tässä tapauksessa lisätarkistuksia ei tarvita, koska alkuperäisessä tehtävässä x esiintyi vain yhdessä argumentissa.

Listaan ​​sen uudelleen avainkohdat tämä oppitunti.

Pääkaava, jota opetetaan kaikilla tämän sivun logaritmien yhtälöiden ratkaisemiseen omistetuilla tunneilla, on kanoninen muoto. Älä myöskään pelkää sitä tosiasiaa, että useimmat koulukirjat opettavat sinua ratkaisemaan tällaiset ongelmat eri tavalla. Tämä työkalu toimii erittäin tehokkaasti ja antaa sinun ratkaista paljon laajemman luokan ongelmia kuin yksinkertaisimmat, joita opimme oppitunnin alussa.

Lisäksi logaritmien yhtälöiden ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää perusominaisuudet. Nimittäin:

1. Yhteen kantaan siirtymisen kaava ja erikoistapaus, kun kirjaamme käänteisen lokin (tämä oli meille erittäin hyödyllinen ensimmäisessä tehtävässä);
2. Kaava potenssien lisäämiseksi ja vähentämiseksi logaritmimerkistä. Täällä monet opiskelijat juuttuvat eivätkä näe, että otettu ja esitelty tutkinto voi itsessään sisältää log f (x). Ei siinä mitään vikaa. Voimme esitellä yhden tukin toisen etumerkin mukaan ja samalla yksinkertaistaa merkittävästi ongelman ratkaisua, mitä havaitsemme toisessa tapauksessa.

Lopuksi haluan lisätä, että ei ole tarpeen tarkistaa määritelmän aluetta kaikissa näissä tapauksissa, koska muuttuja x on kaikkialla vain yhdessä log-merkissä ja on samalla sen argumentissa. Tämän seurauksena kaikki soveltamisalan vaatimukset täyttyvät automaattisesti.

Ongelmia muuttuvan pohjan kanssa

Tänään tarkastelemme logaritmisia yhtälöitä, jotka näyttävät monille opiskelijoille epätyypillisiltä, ​​elleivät täysin ratkaisemattomilta. Se on noin lausekkeista, jotka eivät perustu lukuihin, vaan muuttujiin ja parillisiin funktioihin. Ratkaisemme tällaiset rakenteet standarditekniikallamme, nimittäin kanonisen muodon avulla.

Ensin muistellaan, kuinka yksinkertaisimmat ongelmat ratkaistaan ​​tavallisten lukujen perusteella. Joten yksinkertaisinta rakennetta kutsutaan

log a f (x) = b

Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi voimme käyttää seuraavaa kaavaa:

b = log a a b

Kirjoitamme alkuperäisen lausekkeen uudelleen ja saamme:

log a f (x) = log a a b

Sitten rinnastamme argumentit, eli kirjoitamme:

f (x) = a b

Näin pääsemme eroon lokimerkistä ja ratkaisemme tavallisen ongelman. Tässä tapauksessa ratkaisusta saadut juuret ovat alkuperäisen logaritmisen yhtälön juuria. Lisäksi tietuetta, jossa sekä vasen että oikea ovat samassa logaritmissa ja samalla kantalla, kutsutaan tarkasti kanoniseksi muodoksi. Pyrimme vähentämään nykyisten mallien määrää niin paljon. Mennään siis.

Ensimmäinen tehtävä:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Korvaa 1 logilla x − 2 (x − 2) 1 . Argumentissa havaitsemamme aste on itse asiassa luku b, joka oli yhtäläisyysmerkin oikealla puolella. Kirjoitetaan siis ilmaisumme uudelleen. Saamme:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Mitä me näemme? Edessämme on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten voimme turvallisesti rinnastaa argumentit. Saamme:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Mutta ratkaisu ei lopu tähän, koska tämä yhtälö ei vastaa alkuperäistä yhtälöä. Loppujen lopuksi tuloksena oleva konstruktio koostuu funktioista, jotka on määritelty koko lukuviivalla, eikä alkuperäisiä logaritmejamme ole määritelty kaikkialla eikä aina.

Siksi meidän on kirjoitettava määritelmäalue erikseen. Älä halkaise hiuksia ja kirjoita ensin kaikki vaatimukset:

Ensinnäkin jokaisen logaritmin argumentin on oltava suurempi kuin 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Toiseksi perusarvon ei saa olla vain suurempi kuin 0, vaan myös eri kuin 1:

x − 2 ≠ 1

Tuloksena saamme järjestelmän:

Mutta älä huolestu: logaritmisia yhtälöitä käsiteltäessä tällaista järjestelmää voidaan yksinkertaistaa merkittävästi.

Päättele itse: toisaalta vaaditaan, että toisen asteen funktio on suurempi kuin nolla, ja toisaalta tämä neliöfunktio rinnastetaan tiettyyn lineaariseen lausekkeeseen, joka myös edellyttää, että se on suurempi kuin nolla.

Tässä tapauksessa, jos edellytetään, että x − 2 > 0, niin vaatimus 2x 2 − 13x + 18 > 0 täyttyy automaattisesti, joten voidaan turvallisesti yliviivata epäyhtälö, joka sisältää neliöfunktio. Siten järjestelmämme sisältämien lausekkeiden määrä vähenee kolmeen.

Voisimme tietysti yhtä hyvin yliviivata lineaarinen epätasa-arvo, eli yliviivataan x − 2 > 0 ja vaaditaan, että 2x 2 − 13x + 18 > 0. Mutta sinun täytyy olla samaa mieltä siitä, että yksinkertaisimman lineaarisen epäyhtälön ratkaiseminen on paljon nopeampaa ja helpompaa kuin neliöllinen, vaikka tuloksena olisikin koko epäyhtälö. tästä järjestelmästä saamme samat juuret.

Yleensä yritä optimoida laskelmat aina kun mahdollista. Ja logaritmisten yhtälöiden tapauksessa vaikeimmat epäyhtälöt on yliviivattu.

Kirjoitetaan järjestelmämme uudelleen:

Tässä on kolmen ilmaisun järjestelmä, joista kaksi olemme itse asiassa jo käsitelleet. Kirjoitetaan toisen asteen yhtälö erikseen ja ratkaistaan ​​se:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Edessämme on pelkistetty toisen asteen trinomi, ja siksi voimme käyttää Vietan kaavoja. Saamme:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Nyt palaamme järjestelmäämme ja huomaamme, että x = 2 ei sovi meille, koska meiltä vaaditaan, että x on ehdottomasti suurempi kuin 2.

Mutta x = 5 sopii meille täydellisesti: luku 5 on suurempi kuin 2, ja samaan aikaan 5 ei ole yhtä kuin 3. Siksi tämän järjestelmän ainoa ratkaisu on x = 5.

Siinä se, ongelma on ratkaistu, mukaan lukien ODZ huomioon ottaminen. Siirrytään toiseen yhtälöön. Lisää mielenkiintoisia ja informatiivisia laskelmia odottaa täällä:

Ensimmäinen askel: kuten viime kerralla, tuomme koko asian kanoniseen muotoon. Tätä varten voimme kirjoittaa numeron 9 seuraavasti:

Sinun ei tarvitse koskettaa kantaa juurella, mutta on parempi muuttaa argumentti. Siirrytään juuresta potenssiin rationaalisen eksponentin avulla. kirjoitetaan:

En kirjoita uudelleen koko suurta logaritmista yhtälöämme, vaan yhdyn välittömästi argumentit:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Edessämme on äskettäin pelkistetty neliöllinen trinomi, käytetään Vietan kaavoja ja kirjoitetaan:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Joten, saimme juuret, mutta kukaan ei takaanut meille, että ne sopivat alkuperäiseen logaritmiseen yhtälöön. Loppujen lopuksi lokimerkit asettavat lisärajoituksia (tässä meidän olisi pitänyt kirjoittaa järjestelmä muistiin, mutta koko rakenteen hankaluuden vuoksi päätin laskea määritelmäalueen erikseen).

Ensinnäkin, muista, että argumenttien on oltava suurempia kuin 0, nimittäin:

Nämä ovat määritelmän soveltamisalan asettamat vaatimukset.

Huomaa heti, että koska rinnastamme järjestelmän kaksi ensimmäistä lauseketta toisiinsa, voimme ylittää minkä tahansa niistä. Yliviivataan ensimmäinen, koska se näyttää uhkaavammalta kuin toinen.

Huomaa lisäksi, että toisen ja kolmannen epäyhtälön ratkaisu on samat joukot (jonkin luvun kuutio on suurempi kuin nolla, jos tämä luku itse on suurempi kuin nolla; samoin kolmannen asteen juurella - nämä epäyhtälöt ovat täysin analogisia, joten voimme yliviivata sen).

Mutta kolmannella epätasa-arvolla tämä ei toimi. Päätetään eroon vasemmalla olevasta radikaalista merkistä nostamalla molemmat osat kuutioksi. Saamme:

Joten saamme seuraavat vaatimukset:

− 2 ≠ x > −3

Mikä juuristamme: x 1 = −3 vai x 2 = −1 täyttää nämä vaatimukset? Ilmeisesti vain x = −1, koska x = −3 ei täytä ensimmäistä epäyhtälöä (koska epäyhtälömme on tiukka). Joten palataksemme ongelmaamme, saamme yhden juuren: x = −1. Siinä se, ongelma ratkaistu.

Jälleen kerran tämän tehtävän pääkohdat:

1. Voit vapaasti soveltaa ja ratkaista logaritmisia yhtälöitä käyttämällä kanonista muotoa. Opiskelijat, jotka tekevät tällaisen merkinnän sen sijaan, että siirtyisivät suoraan alkuperäisestä ongelmasta rakenteeseen, kuten log a f (x) = b, tekevät paljon vähemmän virheitä kuin ne, jotka kiirehtivät jonnekin ohittaen laskennan välivaiheet;
2. Heti kun muuttujakanta ilmestyy logaritmiin, ongelma lakkaa olemasta yksinkertaisin. Siksi sitä ratkaistaessa on otettava huomioon määritelmäalue: argumenttien on oltava suurempia kuin nolla, ja kannat eivät saa olla vain suurempia kuin 0, vaan ne eivät myöskään saa olla yhtä suuria kuin 1.

Lopullisia vaatimuksia voidaan soveltaa lopullisiin vastauksiin eri tavoin. Voit esimerkiksi ratkaista kokonaisen järjestelmän, joka sisältää kaikki määritelmäalueen vaatimukset. Toisaalta voit ensin ratkaista itse ongelman ja sitten muistaa määritelmäalueen, työstää sen erikseen järjestelmän muodossa ja soveltaa sitä saatuihin juuriin.

Mikä menetelmä valita tietyn logaritmisen yhtälön ratkaisemiseksi, on sinun. Joka tapauksessa vastaus on sama.