kolmiot

kolmio Figuuria kutsutaan kuvioksi, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole yhdellä suoralla, ja kolmesta segmentistä, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain. Pisteitä kutsutaan huiput kolmio, ja segmentit - sen juhlia.

Kolmioiden tyypit

Kolmiota kutsutaan tasakylkinen jos sen kaksi puolta ovat yhtä suuret. Näitä yhtäläisiä puolia kutsutaan sivut, ja kolmas osapuoli kutsutaan perusta kolmio.

Kutsutaan kolmiota, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret tasasivuinen tai oikea.

Kolmiota kutsutaan suorakulmainen, jos sillä on suora kulma, on 90° kulma. Suorakulmaisen kolmion oikeaa kulmaa vastapäätä sivua kutsutaan hypotenuusa kaksi muuta puolta kutsutaan jalat.

Kolmiota kutsutaan teräväkulmainen jos sen kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90°.

Kolmiota kutsutaan tylppä, jos yksi sen kulmista on tylppä, eli suurempi kuin 90°.

Kolmion päälinjat

Mediaani

Mediaani kolmio on jana, joka yhdistää kolmion kärjen tämän kolmion vastakkaisen sivun keskipisteeseen.

Kolmion mediaaniominaisuudet

Mediaani jakaa kolmion kahteen saman alueen kolmioon.

Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä, joka jakaa ne suhteessa 2:1 ylhäältä laskettuna. Tätä kohtaa kutsutaan Painovoiman keskipiste kolmio.

Koko kolmio on jaettu mediaaneistaan ​​kuuteen yhtä suureen kolmioon.

Bisector

Kulman puolittaja on säde, joka tulee kärjestään, kulkee sen sivujen välistä ja jakaa annetun kulman kahtia. Kolmion puolittaja Kutsutaan kolmion puolittajaa, joka yhdistää kärjen kolmion vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen.

Kolmion puolittajan ominaisuudet

Korkeus

Korkeus kolmiota kutsutaan kohtisuoraksi, joka on vedetty kolmion kärjestä tämän kolmion vastakkaisen sivun sisältävään viivaan.

Kolmion korkeusominaisuudet

SISÄÄN suorakulmainen kolmio suoran kulman kärjestä piirretty korkeus jakaa sen kahdeksi kolmioksi, samanlainen alkuperäinen.

SISÄÄN terävä kolmio sen kaksi korkeutta irti siitä samanlainen kolmiot.

Mediaani kohtisuorassa

Sitä vastaan ​​kohtisuoran janan keskipisteen kautta kulkevaa suoraa kutsutaan kohtisuora puolittaja segmenttiin .

Kolmion kohtisuorien puolittajien ominaisuudet

Jokainen janaan nähden kohtisuoran puolittajan piste on yhtä kaukana tämän janan päistä. Myös käänteinen väite on totta: jokainen piste, joka on yhtä kaukana janan päistä, on siihen nähden kohtisuorassa puolittajassa.

Kohteeseen piirrettyjen kohtisuorien puolittajien leikkauspiste kolmion sivut, on keskus tämän kolmion ympärille rajattu ympyrä.

keskiviiva

Kolmion keskiviiva Janaa, joka yhdistää sen kahden sivun keskipisteet, kutsutaan.

Kolmion keskiviivan ominaisuus

Kolmion keskiviiva on yhdensuuntainen sen toisen sivun kanssa ja yhtä suuri kuin puolet sen sivusta.

Kaavat ja suhteet

Kolmioiden tasa-arvon merkit

Kaksi kolmiota ovat yhteneviä, jos ne ovat vastaavasti yhteneviä:

kaksi sivua ja niiden välinen kulma;

kaksi kulmaa ja niiden vieressä oleva sivu;

kolme puolta.

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit

Kaksi suorakulmainen kolmio ovat yhtä suuret, jos ne ovat vastaavasti yhtä suuret:

hypotenuusa ja terävä kulma

jalka ja vastakkainen kulma;

jalka ja viereinen kulma;

kaksi jalka;

hypotenuusa Ja jalka.

kolmioiden samankaltaisuus

Kaksi kolmiota ovat samankaltaisia jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy, soita samankaltaisuuden merkkejä:

yhden kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa;

yhden kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kahteen sivuun, ja näiden sivujen muodostamat kulmat ovat yhtä suuret;

yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti verrannollisia toisen kolmion kolmeen sivuun.

Samankaltaisissa kolmioissa vastaavat viivat ( korkeuksia, mediaanit, puolittajia jne.) ovat suhteellisia.

Sinilause

Kolmion sivut ovat verrannollisia vastakkaisten kulmien sineihin ja suhteellisuuskerroin on halkaisija kolmion ympärille rajattu ympyrä:

Kosinilause

Kolmion sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa miinus kaksi kertaa näiden sivujen tulo kertaa niiden välisen kulman kosini:

a 2 = b 2 + c 2 - 2eKr cos

Kolmion pintakaavat

Mielivaltainen kolmio

a, b, c - sivut; - sivujen välinen kulma a Ja b; - puolikehä; R- rajatun ympyrän säde; r- piirretyn ympyrän säde; S- neliö; h a - korkeus sivulle a.

Tehtävät:

1. Esittele oppilaat erilaisia ​​tyyppejä kolmiot kulmien tyypistä riippuen (suorakulmainen, terävä, tylpä). Opi löytämään piirustuksista kolmioita ja niiden tyyppejä. Geometristen peruskäsitteiden ja niiden ominaisuuksien korjaaminen: suora, segmentti, säde, kulma.

2. Ajattelun, mielikuvituksen, matemaattisen puheen kehittäminen.

3. Huomio-, aktiivisuuskasvatus.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

Kuinka paljon me tarvitsemme miehiä?
Taitaville käsillemme?
Piirrä kaksi ruutua
Ja heillä on iso ympyrä.
Ja sitten vielä muutama ympyrä
Kolmion korkki.
Siitä tuli siis erittäin, hyvin
Iloinen Outo.

II. Oppitunnin aiheen ilmoitus.

Tänään oppitunnilla teemme matkan ympäri geometrian kaupunkia ja vierailemme kolmioiden mikroalueella (eli tutustumme erityyppisiin kolmioihin niiden kulmista riippuen, opimme löytämään nämä kolmiot piirustuksista.) suorittaa oppitunnin "kilpailupelin" muodossa komennoilla.

1 joukkue - "Segmentti".

2 joukkuetta - "Ray".

Joukkue 3 - "Kulma".

Ja vieraat edustavat tuomaristoa.

Tuomaristo opastaa meitä matkan varrella

Eikä jätä ilman huomiota. (Arvioi pisteillä 5,4,3,...).

Ja millä matkustamme ympäri geometrian kaupunkia? Muistatko millaisia ​​matkustajaliikennemuotoja kaupungissa on? Meitä on niin paljon, kumman valitsemme? (Bussi).

Bussi. Selvästi, lyhyesti. Laivaan nousu alkaa.

Istutaan mukavasti ja aloitetaan matkamme. Joukkueen kapteenit saavat liput.

Mutta nämä liput eivät ole helppoja, ja liput ovat "tehtäviä".

III. Käsiteltävän materiaalin toisto.

Ensimmäinen pysäkki"Toistaa."

Kysymys kaikille joukkueille.

Etsi piirroksesta suora viiva ja nimeä sen ominaisuudet.

Ilman päätä ja reunaa viiva on suora!
Siihen menee ainakin sata vuotta
Et löydä tien päätä!

• Suoralla ei ole alkua eikä loppua - se on ääretön, joten sitä ei voi mitata.

Aloitetaan kilpailumme.

Suojaa joukkueesi nimiä.

(Kaikki joukkueet lukevat ensimmäiset kysymykset ja keskustelevat. Joukkueen kapteenit puolestaan ​​lukevat kysymykset, 1 joukkue lukee 1 kysymyksen).

1. Näytä segmentti piirustuksessa. Mitä kutsutaan leikkaukseksi. Nimeä sen ominaisuudet.

• Kahden pisteen rajaamaa suoran osaa kutsutaan janaksi. Janalla on alku ja loppu, joten se voidaan mitata viivaimella.

(Tiimi 2 lukee 1 kysymyksen).

1. Näytä palkki piirustuksessa. Mitä kutsutaan palkkiksi. Nimeä sen ominaisuudet.

• Jos merkitset pisteen ja piirrät siitä osan suoraa, saat kuvan säteestä. Pistettä, josta osa viivasta vedetään, kutsutaan säteen alusta.

Säteellä ei ole päätä, joten sitä ei voi mitata.

(Tiimi 3 lukee 1 kysymyksen).

1. Näytä kulma piirustuksessa. Mitä kutsutaan kulmaksi. Nimeä sen ominaisuudet.

• Piirtämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä saadaan geometrinen kuvio, jota kutsutaan kulmaksi. Kulmalla on kärkipiste, ja itse säteitä kutsutaan kulman sivuiksi. Kulmat mitataan asteina astemittarilla.

Fizkultminutka (musiikin tahtiin).

IV. Valmistautuminen uuden materiaalin opiskeluun.

Toinen pysäkki"Upeaa".

Kävelyllä kynä kohtasi eri kulmia. Halusin tervehtiä heitä, mutta unohdin heidän jokaisen nimen. Kynän täytyy auttaa.

(Tutkimuksen kulmat tarkistetaan suoran kulman mallilla).

Tehtävä ryhmille. Lue kysymys nro 2 ja keskustele.

Ryhmä 1 lukee kysymyksen 2.

2. Etsi oikea kulma, anna määritelmä.

• 90° kulmaa kutsutaan suoraksi kulmaksi.

Ryhmä 2 lukee kysymyksen 2.

2. Etsi terävä kulma, anna määritelmä.

• Suoraa kulmaa pienempää kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.

Ryhmä 3 lukee kysymyksen 2.

2. Etsi tylppä kulma, anna määritelmä.

Suoraa kulmaa suurempaa kulmaa kutsutaan tylpäksi.

Pienseudulla, jossa Pencil piti kävellä, kaikki kulmat erosivat muista asukkaista siinä, että me kolme kävelimme aina, joimme teetä yhdessä, kävimme yhdessä elokuvissa. Ja kynä ei ymmärtänyt, millaisen geometrisen hahmon kolme kulmaa yhdessä muodostavat?

Runo antaa sinulle vihjeen.

Sinä minuun, sinä häneen
Katsokaa meitä kaikkia.
Meillä on kaikki, meillä on kaikki
Meillä on vain kolme!

Mihin muotoon viitataan?

• Tietoja kolmiosta.

Mitä muotoa kutsutaan kolmioksi?

• Kolmio on geometrinen kuvio, jossa on kolme kärkeä, kolme kulmaa ja kolme sivua.

(Oppijat näyttävät piirustuksessa kolmion, nimeävät kärjet, kulmat ja sivut).

Vertices: A, B, C (pisteet)

Kulmat: BAC, ABC, BCA.

Sivut: AB, BC, CA (segmentit).

V. Liikuntakasvatus:

talla jalkaasi 8 kertaa,
Taputa käsiä 9 kertaa
me kyykkymme 10 kertaa,
ja taivuta 6 kertaa
hyppäämme suoraan
niin monta (kolmio näyttö)
Hei, kyllä, laske! Peli ja paljon muuta!

VI. Uuden materiaalin oppiminen.

Pian kulmista tuli ystäviä ja niistä tuli erottamattomia.

Ja nyt kutsumme mikropiiriä: Kolmioiden mikropiiri.

Kolmas pysäkki on "Znayka".

Mitkä ovat näiden kolmioiden nimet?

Annetaan heille nimet. Ja yritetään muotoilla määritelmä itse.

2. Etsi erityyppisiä kolmioita

1 joukkue löytää ja näyttää tylpät kolmiot.

2-komento löytää ja näyttää suorakulmaiset kolmiot.

3-komento löytää ja näyttää terävät kolmiot.

VIII. Seuraava pysäkki on ajattelu.

Tehtävä kaikille joukkueille.

Kun olet siirtänyt 6 tikkua, tee 4 yhtäläistä kolmiota lyhdystä.

Millaisia ​​kulmia kolmiot ovat? (teräväkulmainen).

IX. Yhteenveto oppitunnista.

Millä alueella vierailimme?

Millaiset kolmiot ovat sinulle tuttuja?

Yksinkertaisin monikulmio, jota koulussa tutkitaan, on kolmio. Se on opiskelijoille ymmärrettävämpää ja siinä on vähemmän vaikeuksia. Huolimatta siitä, että niitä on erilaisia kolmiot, joilla on erityisiä ominaisuuksia.

Mitä muotoa kutsutaan kolmioksi?

Muodostuu kolmesta pisteestä ja janasta. Ensin mainittuja kutsutaan pisteiksi, jälkimmäisiä sivuiksi. Lisäksi kaikki kolme segmenttiä on yhdistettävä siten, että niiden väliin muodostuu kulmia. Tästä syystä hahmon nimi "kolmio".

Erot nimissä kulmissa

Koska ne voivat olla teräviä, tylpäitä ja suoria, kolmioiden tyypit määräytyvät näiden nimien mukaan. Näin ollen tällaisia ​​lukuja on kolme ryhmää.

• Ensimmäinen. Jos kaikki kolmion kulmat ovat teräviä, sitä kutsutaan teräväksi kolmioksi. Kaikki on loogista.

• Toinen. Yksi kulmista on tylppä, joten kolmio on tylppä. Helpompaa ei missään.

• Kolmas. On olemassa 90 astetta vastaava kulma, jota kutsutaan suoraksi kulmaksi. Kolmiosta tulee suorakaiteen muotoinen.

Nimierot sivuilla

Sivujen ominaisuuksista riippuen erotetaan seuraavat kolmiot:

yleinen tapaus on monipuolinen, jossa kaikilla sivuilla on mielivaltainen pituus;

tasakylkiset, joiden kahdella sivulla on samat numeroarvot;

tasasivuinen, sen kaikkien sivujen pituudet ovat samat.

Jos tehtävää ei ole määritelty erityinen näkemys kolmio, sinun on piirrettävä mielivaltainen kolmio. Jossa kaikki kulmat ovat teräviä ja sivuilla on eri pituudet.

Kaikille kolmioille yhteiset ominaisuudet

1. Jos lasket yhteen kolmion kaikki kulmat, saat luvun, joka on yhtä suuri kuin 180º. Eikä sillä ole väliä minkälainen se on. Tämä sääntö pätee aina.
2. Kolmion minkä tahansa sivun numeerinen arvo on pienempi kuin kaksi muuta yhteenlaskettua. Lisäksi se on suurempi kuin niiden ero.
3. Jokaisella ulkokulmalla on arvo, joka saadaan lisäämällä kaksi sisäkulmaa, jotka eivät ole sen vieressä. Lisäksi se on aina suurempi kuin viereinen sisäinen.
4. Kolmion pienin sivu on aina pienintä kulmaa vastapäätä. Päinvastoin, jos sivu on suuri, kulma on suurin.

Nämä ominaisuudet ovat aina päteviä riippumatta siitä, minkä tyyppisiä kolmioita tehtävissä tarkastellaan. Kaikki loput johtuvat tietyistä ominaisuuksista.

Tasakylkisen kolmion ominaisuudet

• Pohjan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.
• Pohjaan piirretty korkeus on myös mediaani ja puolittaja.
• Kolmion sivuille rakennetut korkeudet, mediaanit ja puolittajat ovat vastaavasti yhtä suuret.

Tasasivuisen kolmion ominaisuudet

Jos tällainen luku on, niin kaikki hieman yllä kuvatut ominaisuudet pitävät paikkansa. Koska tasakylkinen tulee aina olemaan tasakylkinen. Mutta ei päinvastoin, tasakylkinen kolmio ei välttämättä ole tasasivuinen.

• Kaikki sen kulmat ovat keskenään yhtä suuret ja niiden arvo on 60º.
• Mikä tahansa tasasivuisen kolmion mediaani on sen korkeus ja puolittaja. Ja he ovat kaikki tasa-arvoisia keskenään. Niiden arvojen määrittämiseksi on kaava, joka koostuu sivun ja 3:n neliöjuuren tulosta jaettuna kahdella.

Suorakulmaisen kolmion ominaisuudet

• Kaksi terävää kulmaa laskevat yhteen 90º.
• Hypotenuusan pituus on aina suurempi kuin minkään jalan pituus.
• Hypotenuusaan vedetyn mediaanin numeerinen arvo on yhtä suuri kuin puolet siitä.
• Jalka on sama arvo, jos se on 30º kulman vastapäätä.
• Korkeudella, joka on vedetty ylhäältä arvolla 90º, on tietty matemaattinen riippuvuus jaloista: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / in 2. Tässä: a, c - jalat, n - korkeus.

Ongelmia erityyppisten kolmioiden kanssa

Nro 1. Annettu tasakylkinen kolmio. Sen ympärysmitta on tiedossa ja se on 90 cm. Sen sivut on tunnettava. Lisäehtona: sivupuoli on 1,2 kertaa pienempi kuin pohja.

Kehyksen arvo riippuu suoraan määristä, jotka on löydettävä. Kaikkien kolmen sivun summa antaa 90 cm. Nyt sinun tulee muistaa kolmion merkki, jonka mukaan se on tasakylkinen. Eli molemmat puolet ovat tasa-arvoisia. Voit tehdä yhtälön kahdella tuntemattomalla: 2a + b \u003d 90. Tässä a on sivu, b on kanta.

On lisäehdon aika. Sen jälkeen saadaan toinen yhtälö: b \u003d 1.2a. Voit korvata tämän lausekkeen ensimmäisellä. Osoittautuu: 2a + 1,2a \u003d 90. Muutosten jälkeen: 3,2a \u003d 90. Tästä syystä a \u003d 28,125 (cm). Nyt on helppo selvittää syy. On parasta tehdä tämä toisesta ehdosta: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Voit tarkistaa lisäämällä kolme arvoa: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Selvä.

Vastaus: kolmion sivut ovat 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nro 2. Tasasivuisen kolmion sivu on 12 cm. Sinun on laskettava sen korkeus.

Ratkaisu. Vastauksen etsimiseksi riittää palata hetkeen, jossa kolmion ominaisuudet kuvattiin. Tämä on kaava tasasivuisen kolmion korkeuden, mediaanin ja puolittajan löytämiseksi.

n \u003d a * √3 / 2, missä n on korkeus, a on sivu.

Korvaus ja laskeminen antavat seuraavan tuloksen: n = 6 √3 (cm).

Tätä kaavaa ei tarvitse opetella ulkoa. Riittää, kun muistaa, että korkeus jakaa kolmion kahdeksi suorakaiteen muotoiseksi. Lisäksi se osoittautuu jalaksi, ja siinä oleva hypotenuusa on alkuperäisen sivu, toinen jalka on puolet tunnetusta sivusta. Nyt sinun on kirjoitettava Pythagoraan lause ja johdettava kaava korkeudelle.

Vastaus: korkeus on 6√3 cm.

Nro 3. MKR on annettu - kolmio, 90 astetta, jossa muodostaa kulman K. Sivut MP ja KR ovat tiedossa, ne ovat vastaavasti 30 ja 15 cm. Sinun on selvitettävä kulman P arvo.

Ratkaisu. Jos piirrät, käy selväksi, että MP on hypotenuusa. Lisäksi se on kaksi kertaa suurempi kuin CD-levyn jalka. Jälleen sinun on käännyttävä ominaisuuksiin. Yksi niistä liittyy vain kulmiin. Siitä on selvää, että KMR:n kulma on 30º. Haluttu kulma P on siis 60º. Tämä seuraa toisesta ominaisuudesta, joka sanoo, että kahden summa terävät kulmat pitäisi olla 90 astetta.

Vastaus: kulma R on 60º.

Nro 4. Sinun on löydettävä tasakylkisen kolmion kaikki kulmat. Hänestä tiedetään, että ulkoinen kulma kulmasta pohjassa on 110º.

Ratkaisu. Koska vain ulkokulma on annettu, sitä tulee käyttää. Se muodostuu sisäisellä kulmalla. Joten ne lisäävät 180º. Eli kolmion pohjan kulma on 70º. Koska se on tasakylkinen, toisella kulmalla on sama arvo. On vielä laskettava kolmas kulma. Kaikille kolmioille yhteisen ominaisuuden mukaan kulmien summa on 180º. Joten kolmas määritellään 180º - 70º - 70º = 40º.

Vastaus: kulmat ovat 70º, 70º, 40º.

Nro 5. Tiedetään, että tasakylkisessä kolmiossa kantaa vastapäätä oleva kulma on 90º. Pohjaan on merkitty piste. Jana, joka yhdistää sen suoralla kulmalla, jakaa sen suhteessa 1:4. Sinun on tiedettävä pienemmän kolmion kaikki kulmat.

Ratkaisu. Yksi kulmista voidaan määrittää välittömästi. Koska kolmio on suorakulmainen ja tasakylkinen, sen pohjalla olevat ovat 45º, eli 90º / 2.

Toinen niistä auttaa löytämään ehdossa tunnetun suhteen. Koska se on yhtä kuin 1-4, niin osat, joihin se on jaettu, ovat vain 5. Joten saadaksesi selville kolmion pienemmän kulman, tarvitset 90º / 5 = 18º. Vielä on selvitettävä kolmas. Tätä varten sinun on vähennettävä 180º (kolmion kaikkien kulmien summa) 45º ja 18º. Laskelmat ovat yksinkertaisia, ja se osoittautuu: 117º.

Yleensä kahta kolmiota pidetään samanlaisina, jos niillä on sama muoto, vaikka ne olisivat erikokoisia, kierrettyjä tai jopa ylösalaisin.

Kuvassa esitetty kahden samanlaisen kolmion A 1 B 1 C 1 ja A 2 B 2 C 2 matemaattinen esitys kirjoitetaan seuraavasti:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Kaksi kolmiota ovat samanlaisia, jos:

1. Kolmion jokainen kulma on yhtä suuri kuin toisen kolmion vastaava kulma:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2 Ja ∠C1 = ∠C2

2. Yhden kolmion sivujen suhteet toisen kolmion vastaaviin sivuihin ovat keskenään yhtä suuret:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Suhteet kaksi puolta yhden kolmion sivut toisen kolmion vastaaviin sivuihin ovat keskenään yhtä suuret ja samaan aikaan
näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ja $\angle A_1 = \angle A_2$
tai
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ja $\angle B_1 = \angle B_2$
tai
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ja $\angle C_1 = \angle C_2$

Samanlaisia ​​kolmioita ei pidä sekoittaa samanlaisiin kolmioihin. Samansuuntaisilla kolmioilla on vastaavat sivujen pituudet. Eli yhtä suuret kolmiot:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Tästä seuraa, että kaikki yhtä suuret kolmiot ovat samankaltaisia. Kaikki samanlaiset kolmiot eivät kuitenkaan ole samanarvoisia.

Vaikka yllä oleva merkintä osoittaa, että saadaksemme selville, ovatko kaksi kolmiota samankaltaisia ​​vai eivät, meidän on tiedettävä kunkin kolmion kolmen kulman arvot tai kolmen sivun pituudet, jotta voimme ratkaista samankaltaisia ​​kolmioita koskevat ongelmat. riittää, kun tiedät kolme arvoa yllä olevista kullekin kolmiolle. Nämä arvot voivat olla eri yhdistelmissä:

1) kunkin kolmion kolme kulmaa (kolmioiden sivujen pituuksia ei tarvitse tietää).

Tai vähintään yhden kolmion 2 kulman on oltava yhtä suuri kuin toisen kolmion 2 kulmaa.
Koska jos 2 kulmaa ovat yhtä suuret, myös kolmas kulma on yhtä suuri. (Kolmannen kulman arvo on 180 - kulma1 - kulma2)

2) kunkin kolmion sivujen pituudet (kulmia ei tarvitse tietää);

3) molempien sivujen pituudet ja niiden välinen kulma.

Seuraavaksi tarkastellaan joidenkin ongelmien ratkaisua samanlaisilla kolmioilla. Ensin tarkastellaan ongelmia, jotka voidaan ratkaista suoraan käyttämällä yllä olevia sääntöjä, ja sitten keskustelemme joistakin käytännön tehtäviä, jotka ratkaistaan ​​samanlaisten kolmioiden menetelmällä.

Käytännön ongelmia vastaavien kolmioiden kanssa

Esimerkki 1: Osoita, että alla olevan kuvan kaksi kolmiota ovat samanlaisia.

Ratkaisu:
Koska molempien kolmioiden sivujen pituudet tunnetaan, voidaan tässä soveltaa toista sääntöä:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Esimerkki 2: Osoita, että kaksi annettua kolmiota ovat samanlaisia ​​ja laske sivujen pituudet PQ Ja PR.

Ratkaisu:
∠A = ∠P Ja ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(koska ∠C = 180 - ∠A - ∠B ja ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Tästä seuraa, että kolmiot ∆ABC ja ∆PQR ovat samanlaisia. Siten:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ ja
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dollaria

Esimerkki #3: Määritä pituus AB tässä kolmiossa.

Ratkaisu:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ja ∠A yhteiset => kolmiot ΔABC Ja ΔADE ovat samankaltaisia.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \oikea nuoli 2\ kertaa AB = AB + 4 \oikea nuoli AB = 4 $

Esimerkki #4: Määritä pituus AD(x) geometrinen kuvio kuvassa.

Kolmiot ∆ABC ja ∆CDE ovat samanlaisia, koska AB || DE ja niillä on yhteinen yläkulma C.
Näemme, että yksi kolmio on skaalattu versio toisesta. Meidän on kuitenkin todistettava se matemaattisesti.

AB || DE, CD || AC ja BC || EU
∠BAC = ∠EDC ja ∠ABC = ∠DEC

Perustuu edellä olevaan ja ottaen huomioon yhteisen kulman olemassaolo C, voimme todeta, että kolmiot ∆ABC ja ∆CDE ovat samanlaisia.

Siten:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \ kertaa 11)(7 ) = 23,57 dollaria
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Käytännön esimerkkejä

Esimerkki #5: Tehdas käyttää kaltevaa kuljetinhihnaa tuotteiden kuljettamiseen tasolta 1 tasolle 2, joka on 3 metriä tason 1 yläpuolella, kuten kuvassa näkyy. Kalteva kuljetin huolletaan toisesta päästä tasolle 1 ja toisesta päästä työpisteeseen, joka sijaitsee 8 metrin etäisyydellä tason 1 toimintapisteestä.

Tehdas haluaa päivittää kuljettimen päästäkseen uudelle tasolle, joka on 9 metriä tason 1 yläpuolella, samalla kun kuljetinkulma säilyy.

Määritä etäisyys, jolle sinun on perustettava uusi työasema, jotta kuljetin voi toimia uudessa päässään tasolla 2. Laske myös lisämatka, jonka tuote kulkee siirtyessään uudelle tasolle.

Ratkaisu:

Merkitään ensin jokainen risteyspiste tietyllä kirjaimella, kuten kuvassa näkyy.

Edellä aiemmissa esimerkeissä esitetyn päättelyn perusteella voimme päätellä, että kolmiot ∆ABC ja ∆ADE ovat samanlaisia. Siten,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \kertaa 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Uusi piste on siis asennettava 16 metrin etäisyydelle olemassa olevasta pisteestä.

Ja koska rakenne koostuu suorakulmaisista kolmioista, voimme laskea tuotteen matkan etäisyyden seuraavasti:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Vastaavasti $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
mikä on matka, jonka tuote kulkee sillä hetkellä, kun se saavuttaa olemassa olevan tason.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Tämä on ylimääräinen matka, joka tuotteen on kuljettava saavuttaakseen uuden tason.

Esimerkki #6: Steve haluaa käydä ystävänsä luona, joka muutti äskettäin uusi talo. Kuvassa on reittikartta Steven ja hänen ystävänsä taloon pääsemiseksi sekä Steven tuntemat etäisyydet. Auta Steveä pääsemään ystävänsä taloon lyhimmällä tavalla.

Ratkaisu:

Tiekartta voidaan esittää geometrisesti seuraavassa muodossa, kuten kuvassa näkyy.

Näemme, että kolmiot ∆ABC ja ∆CDE ovat samanlaisia, joten:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Tehtäväselosteessa sanotaan, että:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ja DE = 5 km

Näiden tietojen avulla voimme laskea seuraavat etäisyydet:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \kertaa CD)(BC) = \frac(13,13 \kertaa 4,41) (13,23) = 4,38 km$

Steve pääsee ystävänsä kotiin seuraavia reittejä pitkin:

A -> B -> C -> E -> G, kokonaismatka on 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, kokonaismatka on 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, kokonaismatka on 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, kokonaismatka on 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Siksi reitti #3 on lyhin ja voidaan tarjota Stevelle.

Esimerkki 7:
Trisha haluaa mitata talon korkeuden, mutta hänellä ei ole oikeita työkaluja. Hän huomasi, että talon edessä oli kasvanut puu, ja päätti käyttää koulussa saamaansa kekseliäisyyttä ja geometriatietoa rakennuksen korkeuden määrittämiseen. Hän mittasi etäisyyden puusta taloon, tulos oli 30 m. Sitten hän seisoi puun edessä ja alkoi perääntyä, kunnes yläreuna rakennukset tulivat näkyviin puun latvan yläpuolelle. Trisha merkitsi paikan ja mittasi etäisyyden siitä puuhun. Tämä etäisyys oli 5 m.

Puun korkeus on 2,8 m ja Trishan silmien korkeus 1,6 m. Auta Trishaa määrittämään rakennuksen korkeus.

Ratkaisu:

Ongelman geometrinen esitys on esitetty kuvassa.

Ensin käytämme kolmioiden ∆ABC ja ∆ADE samankaltaisuutta.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Oikeanuoli 2.8 \kertaa AC = 1.6 \kertaa (5) + AC) = 8 + 1,6 \ kertaa AC$

$(2,8 - 1,6) \ kertaa AC = 8 \Oikea nuoli AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $

Voidaan sitten käyttää kolmioiden ∆ACB ja ∆AFG tai ∆ADE ja ∆AFG samankaltaisuutta. Valitaan ensimmäinen vaihtoehto.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \nuoli oikealle H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$