Alkaessaan puhua keskiarvoista, he muistavat useimmiten kuinka he valmistuivat koulusta ja tulivat oppilaitokseen. Sitten laskettiin todistuksen mukaan keskimääräinen pistemäärä: kaikki arvosanat (sekä hyvät että ei kovin hyvät) laskettiin yhteen, saatu summa jaettiin niiden lukumäärällä. Näin lasketaan yksinkertaisin keskiarvotyyppi, jota kutsutaan yksinkertaiseksi aritmeettiseksi keskiarvoksi. Käytännössä käytetään tilastoja erilaisia keskiarvot: aritmeettiset, harmoniset, geometriset, neliölliset, rakenteelliset keskiarvot. Niitä käytetään yhtä tai toista aineiston luonteesta ja tutkimuksen tavoitteista riippuen.

keskiarvo on yleisin tilastollinen indikaattori, jonka avulla annetaan yleistävä ominaisuus samantyyppisten ilmiöiden kokonaisuudelle jonkin vaihtelevan merkin mukaan. Se näyttää määritteen tason väestöyksikköä kohden. Keskiarvojen avulla verrataan erilaisia ​​aggregaatteja erilaisten ominaisuuksien mukaan ja tutkitaan yhteiskunnallisen elämän ilmiöiden ja prosessien kehitysmalleja.

Tilastoissa käytetään kahta keskiarvoluokkaa: teho (analyyttinen) ja rakenteellinen. Jälkimmäisiä käytetään karakterisoimaan variaatiosarjan rakennetta, ja niitä käsitellään tarkemmin luvussa. 8.

Tehovälineiden ryhmään kuuluvat aritmeettiset, harmoniset, geometriset, neliölliset. Yksittäiset kaavat niiden laskemiseksi voidaan pelkistää kaikille tehokeskiarvoille yhteiseen muotoon, nimittäin

missä m on potenssikeskiarvon eksponentti: m = 1 saamme kaavan aritmeettisen keskiarvon laskemiseksi, m = 0 - geometrinen keskiarvo, m = -1 - harmoninen keskiarvo, m = 2 - keskiarvon neliö ;

x i - vaihtoehdot (arvot, jotka attribuutti ottaa);

fi - taajuudet.

Pääehto, jonka vallitessa potenssilakimenetelmiä voidaan käyttää tilastollisessa analyysissä, on populaation homogeenisuus, joka ei saa sisältää kvantitatiivisesti jyrkästi eroavia lähtötietoja (kirjallisuudessa niitä kutsutaan anomaalisiksi havaioksiksi).

Osoittakaamme tämän ehdon tärkeyttä seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 6.1. Laske keskiarvo palkat pienyritysten työntekijöitä.

Taulukko 6.1. Työntekijöiden palkat

Nro p / s	Palkka, hiero.	Nro p / s	Palkka, hiero.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Keskipalkan laskemiseksi on tarpeen laskea yhteen kaikille yrityksen työntekijöille kertyneet palkat (eli löytää palkkarahasto) ja jakaa se työntekijöiden lukumäärällä:

Ja nyt lisätään kokonaisuuteen vain yksi henkilö (tämän yrityksen johtaja), mutta palkalla 50 000 ruplaa. Tässä tapauksessa laskettu keskiarvo on täysin erilainen:

Kuten näette, se ylittää 7000 ruplaa jne. se on suurempi kuin kaikki piirteen arvot yhtä havaintoa lukuun ottamatta.

Jotta tällaisia ​​tapauksia ei käytännössä tapahtuisi ja keskiarvo ei menettäisi merkitystään (esimerkissä 6.1 se ei enää näytä populaation yleistävän ominaisuuden roolia, mikä sen pitäisi olla), keskiarvoa laskettaessa on epänormaali, poikkeavat havainnot tulisi joko jättää pois analyysistä ja sitten tehdä populaatiosta homogeeninen tai jakaa populaatio homogeenisiin ryhmiin ja laskea kunkin ryhmän keskiarvot ja analysoida ei kokonaiskeskiarvoa, vaan ryhmän keskiarvoja.

6.1. Aritmeettinen keskiarvo ja sen ominaisuudet

Aritmeettinen keskiarvo lasketaan joko yksinkertaisena arvona tai painotettuna arvona.

Laskettaessa keskipalkkoja esimerkin 6.1 taulukon mukaisesti laskemme yhteen kaikki määritteen arvot ja jaoimme niiden lukumäärällä. Kirjoitamme laskelmien kulun yksinkertaisen aritmeettisen keskiarvon kaavan muodossa

missä x i - vaihtoehdot (attribuutin yksittäiset arvot);

n on yksiköiden lukumäärä perusjoukossa.

Esimerkki 6.2. Ryhmitetään nyt tietomme esimerkin 6.1 taulukosta jne. muodostetaan diskreetti variaatiosarja työntekijöiden jakautumisesta palkkatason mukaan. Ryhmittelytulokset on esitetty taulukossa.

Kirjoitetaan lauseke keskimääräisen palkkatason laskemiseksi tiiviimmässä muodossa:

Esimerkissä 6.2 käytettiin painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavaa

missä f i - taajuudet, jotka osoittavat kuinka monta kertaa piirteen x i y arvo esiintyy perusjoukon yksiköissä.

Aritmeettisen painotetun keskiarvon laskeminen tapahtuu kätevästi alla olevan taulukon avulla (taulukko 6.3):

Taulukko 6.3. Diskreetin sarjan aritmeettisen keskiarvon laskenta

Alkutiedot	Arvioitu indikaattori
palkka, hiero.	työntekijöiden määrä, ihmiset	palkkarahasto, hiero.
x i	fi	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Kaikki yhteensä	20	132 080

On huomattava, että yksinkertaista aritmeettista keskiarvoa käytetään tapauksissa, joissa tietoja ei ole ryhmitelty tai ryhmitelty, mutta kaikki taajuudet ovat keskenään yhtä suuria.

Usein havainnon tulokset esitetään intervallijakaumasarjoina (ks. taulukko esimerkissä 6.4). Sitten keskiarvoa laskettaessa intervallien keskipisteiksi otetaan x i. Jos ensimmäinen ja viimeinen intervalli ovat avoimia (ei ole yhtä rajoista), ne ovat ehdollisesti "suljettuja" ottamalla viereisen intervallin arvo annetun intervallin arvoiksi jne. ensimmäinen suljetaan toisen arvon perusteella ja viimeinen - toiseksi viimeisen arvon perusteella.

Esimerkki 6.3. Yhden väestöryhmän otantatutkimuksen tulosten perusteella laskemme keskimääräisen kassatulon asukasta kohden.

Yllä olevassa taulukossa ensimmäisen välin keskiarvo on 500. Todellakin, toisen välin arvo on 1000 (2000-1000); silloin ensimmäisen alaraja on 0 (1000-1000) ja sen keskiarvo on 500. Teemme samoin viimeisen välin kanssa. Otamme sen keskiarvoksi 25 000: toiseksi viimeisen välin arvo on 10 000 (20 000-10 000), sitten sen yläraja on 30 000 (20 000 + 10 000) ja vastaavasti keskiarvo on 25 000.

Taulukko 6.4. Aritmeettisen keskiarvon laskenta intervallisarjassa

Keskimääräiset käteistulot asukasta kohti, hiero. kuukaudessa	Väestö yhteensä, % f i	Välin keskipisteet x i	x i f i
Jopa 1000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 ja ylöspäin	10,4	25 000	260 000
Kaikki yhteensä	100,0	-	892 850

Silloin keskimääräinen kuukausitulo asukasta kohden on

Nyt puhutaan kuinka laskea keskiarvo .
Klassisessa muodossaan yleinen tilastoteoria tarjoaa meille yhden version keskiarvon valintasäännöistä.
Ensin sinun on tehtävä oikea looginen kaava keskiarvon (LFS) laskemiseksi. Jokaiselle keskiarvolle on aina vain yksi looginen kaava sen laskemiseen, joten tässä on vaikea tehdä virhettä. Mutta sinun on aina muistettava, että osoittajassa (tämä on murtoluvun päällä) on kaikkien ilmiöiden summa ja nimittäjässä (mikä on murtoluvun alaosassa) kaikki yhteensä elementtejä.

Kun looginen kaava on koottu, voit käyttää sääntöjä (ymmärtämisen helpottamiseksi yksinkertaistamme ja pienennämme niitä):
1. Jos loogisen kaavan nimittäjä esitetään lähtötiedoissa (taajuuden mukaan), niin laskenta suoritetaan painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavan mukaan.
2. Jos lähtötiedoissa on loogisen kaavan osoittaja, niin laskenta suoritetaan harmonisen painotetun keskiarvon kaavan mukaan.
3. Jos tehtävässä on samanaikaisesti sekä loogisen kaavan osoittaja että nimittäjä (tätä tapahtuu harvoin), niin laskenta suoritetaan käyttämällä tätä kaavaa tai käyttämällä yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa.
Tämä on klassinen ajatus oikean kaavan valitsemisesta keskiarvon laskemiseen. Seuraavaksi esittelemme toimintosarjan tehtävien ratkaisemisessa keskiarvon laskemiseksi.

Algoritmi tehtävien ratkaisemiseksi keskiarvon laskemiseksi

A. Määritä menetelmä keskiarvon laskemiseksi - yksinkertainen tai painotettu . Jos tiedot esitetään taulukossa, käytämme painotettua menetelmää, jos tiedot esitetään yksinkertaisella luettelolla, niin käytämme yksinkertaista laskentamenetelmää.

B. Määrittele tai järjestä yleissopimuksia – x - vaihtoehto, f – taajuus . Variantti on ilmiö, jolle haluat löytää keskiarvon. Loput taulukon tiedoista ovat taajuus.

B. Määritämme muodon keskiarvon laskemiseksi - aritmeettinen tai harmoninen . Määrittely suoritetaan taajuussarakkeessa. Aritmeettista muotoa käytetään, jos taajuudet on annettu eksplisiittisellä numerolla (ehdollisesti voit korvata sanan kappaleet, elementtien lukumäärä "kappaleet" niille). Harmonista muotoa käytetään, jos taajuuksia ei anneta eksplisiittisellä luvulla, vaan kompleksisella indikaattorilla (keskiarvon ja taajuuden tulo).

Vaikeinta on arvata, missä ja kuinka paljon annetaan, varsinkin sellaiselle kokemattomalle opiskelijalle. Tällaisessa tilanteessa voit käyttää jotakin seuraavista tavoista. Joihinkin (taloudellisiin) tehtäviin soveltuu vuosien käytännön aikana kehitetty lausunto (lauseke B.1). Muissa tilanteissa sinun on käytettävä kohtaa B.2.

C.1 Jos taajuus on asetettu rahayksiköissä (ruplissa), niin laskennassa käytetään harmonista keskiarvoa, tällainen väite on aina totta, jos havaittu taajuus on asetettu rahassa, muissa tilanteissa tämä sääntö ei päde.

B.2 Käytä edellä tässä artikkelissa mainitun keskiarvon valitsemiseen liittyviä sääntöjä. Jos taajuus on annettu keskiarvon laskemisen loogisen kaavan nimittäjällä, lasketaan aritmeettisen keskiarvon muodon mukaan, jos taajuus annetaan keskiarvon laskemisen loogisen kaavan osoittajalla, lasketaan harmoninen keskimuoto.

Harkitse esimerkkejä tämän algoritmin käytöstä.

V. Koska tiedot esitetään rivissä, käytämme yksinkertaista laskentamenetelmää.

B. V. Meillä on tiedot vain eläkkeiden määrästä, ja niistä tulee meidän versiomme – x. Tiedot esitetään yksinkertaisena lukuna (12 henkilöä), laskennassa käytetään yksinkertaista aritmeettista keskiarvoa.

Eläkkeensaajan keskimääräinen eläke on 9208,3 ruplaa.

B. Koska vaaditaan keskimääräinen maksumäärä lasta kohden, vaihtoehdot ovat ensimmäisessä sarakkeessa, laitamme sinne merkinnän x, toisesta sarakkeesta tulee automaattisesti taajuus f.

C. Taajuus (lasten lukumäärä) annetaan selkeällä numerolla (voit korvata sanan lapsia, venäjän kielen kannalta ilmaus on virheellinen, mutta itse asiassa se on erittäin kätevää check), mikä tarkoittaa, että laskennassa käytetään aritmeettista painotettua keskiarvoa.

On muodikasta ratkaista samaa ongelmaa ei kaavallisesti, vaan taulukkomuodossa, eli syöttää kaikki välilaskutoimien tiedot taulukkoon.

Tämän seurauksena kaikki, mitä nyt tarvitsee tehdä, on erottaa kaksi summaa oikeassa järjestyksessä.

Keskimääräinen maksu lasta kohden kuukaudessa oli 1 910 ruplaa.

V. Koska tiedot on esitetty taulukossa, käytämme laskennassa painotettua muotoa.

B. Taajuus (tuotantokustannus) asetetaan implisiittisellä suurella (taajuus on asetettu ruplaa Algoritmikohta B1), mikä tarkoittaa, että laskennassa käytetään harmonista painotettua keskiarvoa. Yleensä itse asiassa tuotantokustannukset ovat monimutkainen indikaattori, joka saadaan kertomalla tuotteen yksikön hinta tällaisten tuotteiden lukumäärällä, tämä on keskimääräisen harmonisen arvon ydin.

Jotta tämä ongelma voitaisiin ratkaista aritmeettisen keskiarvon kaavalla, on välttämätöntä, että tuotantokustannusten sijasta on määrä tuotteita, joilla on vastaava hinta.

Huomaa, että nimittäjässä laskelmien 410 (120 + 80 + 210) jälkeen saatu summa on valmistettujen tuotteiden kokonaismäärä.

Tuotteen keskimääräinen yksikköhinta oli 314,4 ruplaa.

V. Koska tiedot on esitetty taulukossa, käytämme laskennassa painotettua muotoa.

B. Koska keskimääräinen yksikkökustannus on löydettävä, vaihtoehdot ovat ensimmäisessä sarakkeessa, laitamme siihen merkinnän x, toisesta sarakkeesta tulee automaattisesti taajuus f.

B. Taajuus (aukkojen kokonaismäärä) saadaan implisiittisellä luvulla (se on kahden aukkojen lukumäärän ja sellaisen opiskelijamäärän indikaattorin tulo), mikä tarkoittaa, että harmoninen painotettu keskiarvo on käytetään laskennassa. Käytämme algoritmin B2 pistettä.

Jotta tämä ongelma voidaan ratkaista käyttämällä aritmeettista keskiarvokaavaa, on välttämätöntä, että sen sijaan kokonaismäärä passit olivat opiskelijoiden määrä.

Teemme loogisen kaavan keskimääräisen läpäisymäärän laskemiseksi opiskelijaa kohden.

Taajuus ongelman tilanteen mukaan Kulkujen kokonaismäärä. Loogisessa kaavassa tämä indikaattori on osoittajassa, mikä tarkoittaa, että käytämme harmonisen keskiarvon kaavaa.

Huomaa, että nimittäjässä oleva summa 31 (18+8+5) laskennan jälkeen on opiskelijoiden kokonaismäärä.

Keskimääräinen poissaolojen määrä opiskelijaa kohden on 13,8 päivää.

Aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon aihe sisältyy 6-7 luokkien matematiikan ohjelmaan. Koska kappale on melko helppo ymmärtää, se ohitetaan nopeasti, ja kouluvuoden loppuun mennessä oppilaat unohtavat sen. Mutta tietoa perustilastoista tarvitaan kokeen läpäiseminen, sekä varten kansainväliset kokeet SAT. Kyllä ja puolesta Jokapäiväinen elämä kehittynyt analyyttinen ajattelu ei koskaan satuta.

Kuinka laskea lukujen aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo

Oletetaan, että on sarja lukuja: 11, 4 ja 3. Aritmeettinen keskiarvo on kaikkien lukujen summa jaettuna annettujen lukujen määrällä. Eli lukujen 11, 4, 3 tapauksessa vastaus on 6. Miten 6 saadaan?

Ratkaisu: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Nimittäjässä on oltava luku, joka on yhtä suuri kuin lukujen lukumäärä, joiden keskiarvo on löydettävä. Summa on jaollinen kolmella, koska termejä on kolme.

Nyt meidän on käsiteltävä geometristä keskiarvoa. Oletetaan, että on sarja numeroita: 4, 2 ja 8.

Geometrinen keskiarvo on kaikkien annettujen lukujen tulo, joka on juuren alla, jonka aste on yhtä suuri kuin annettujen lukujen määrä, eli lukujen 4, 2 ja 8 tapauksessa vastaus on 4. Näin se tapahtui :

Ratkaisu: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Molemmissa vaihtoehdoissa saatiin kokonaisia ​​vastauksia, koska esimerkkinä otettiin erikoisnumerot. Näin ei aina ole. Useimmissa tapauksissa vastaus on pyöristettävä tai jätettävä juureen. Esimerkiksi lukujen 11, 7 ja 20 aritmeettinen keskiarvo on ≈ 12,67 ja geometrinen keskiarvo on ∛1540. Ja numeroiden 6 ja 5 vastaukset ovat vastaavasti 5,5 ja √30.

Voiko aritmeettinen keskiarvo olla yhtä suuri kuin geometrinen keskiarvo?

Tietysti voi. Mutta vain kahdessa tapauksessa. Jos on lukusarja, joka koostuu vain joko ykkösistä tai nollista. On myös huomionarvoista, että vastaus ei riipu heidän lukumäärästään.

Todistus yksiköillä: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmeettinen keskiarvo).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinen keskiarvo).

Todistus nollalla: (0 + 0) / 2=0 (aritmeettinen keskiarvo).

√(0 × 0) = 0 (geometrinen keskiarvo).

Muuta vaihtoehtoa ei ole eikä voi olla.

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso keskimääräinen merkitys.

Keskiverto(matematiikassa ja tilastoissa) lukujoukot - kaikkien lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Se on yksi yleisimmistä keskeisen suuntauksen mittareista.

Pythagoralaiset ehdottivat sitä (yhdessä geometrisen keskiarvon ja harmonisen keskiarvon kanssa).

Aritmeettisen keskiarvon erikoistapaukset ovat keskiarvo (yleisen perusjoukon) ja otoskeskiarvo (otosten).

Johdanto

Merkitse tietojoukkoa X = (x 1 , x 2 , …, x n), sitten näytteen keskiarvo merkitään yleensä vaakaviivalla muuttujan päällä (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , lausutaan " x viivalla").

Kreikan kirjainta μ käytetään merkitsemään koko väestön aritmeettista keskiarvoa. Satunnaismuuttujalle, jolle on määritetty keskiarvo, μ on todennäköisyys keskiarvo tai satunnaismuuttujan matemaattinen odotus. Jos setti X on kokoelma satunnaislukuja, joiden todennäköisyyskeskiarvo on μ, sitten mille tahansa näytteelle x i tästä kokoelmasta μ = E( x i) on tämän näytteen odotus.

Käytännössä ero μ:n ja x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) välillä on se, että μ on tyypillinen muuttuja, koska näet otoksen koko populaation sijaan. Siksi, jos otos esitetään satunnaisesti (todennäköisyysteorian kannalta), niin x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (mutta ei μ) voidaan käsitellä satunnaismuuttujana, jolla on todennäköisyysjakauma otoksessa ( keskiarvon todennäköisyysjakauma).

Molemmat määrät lasketaan samalla tavalla:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Jos X on satunnaismuuttuja, sitten matemaattinen odotus X voidaan pitää aritmeettisena keskiarvona suuren toistuvissa mittauksissa X. Tämä on lain ilmentymä suuria lukuja. Siksi otoksen keskiarvoa käytetään arvioimaan tuntematon matemaattinen odotus.

Algebrassa on todistettu, että keskiarvo n+ 1 numeroa keskiarvon yläpuolella n luvut jos ja vain jos uusi luku on suurempi kuin vanha keskiarvo, pienempi jos ja vain jos uusi luku on pienempi kuin keskiarvo, eikä se muutu silloin ja vain jos uusi luku on yhtä suuri kuin keskiarvo. Sitä enemmän n, sitä pienempi ero on uuden ja vanhan keskiarvon välillä.

Huomaa, että saatavilla on useita muita "keskiarvoja", mukaan lukien potenssilain keskiarvo, Kolmogorovin keskiarvo, harmoninen keskiarvo, aritmeettis-geometrinen keskiarvo ja erilaiset painotetut keskiarvot (esim. aritmeettisesti painotettu keskiarvo, geometrisesti painotettu keskiarvo, harmoninen painotettu keskiarvo). .

Esimerkkejä

• Kolmea numeroa varten sinun on lisättävä ne ja jaettava 3:lla:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

• Neljälle numerolle sinun on lisättävä ne ja jaettava 4:llä:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Tai helpompi 5+5=10, 10:2. Koska lisäsimme 2 numeroa, mikä tarkoittaa, että kuinka monta numeroa lisäämme, jaamme sillä.

Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvasti jakautuneelle arvolle f (x) (\displaystyle f(x)) aritmeettinen keskiarvo välillä [ a ; b ] (\displaystyle ) määritellään määrätyn integraalin kautta:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Joitakin ongelmia keskiarvon käytössä

Vahvuuden puute

Pääartikkeli: Vahvuus tilastoissa

Vaikka aritmeettista keskiarvoa käytetään usein keskiarvona tai keskeisenä trendinä, tämä käsite ei päde robusteihin tilastoihin, mikä tarkoittaa, että "suuret poikkeamat" vaikuttavat voimakkaasti aritmeettiseen keskiarvoon. On huomionarvoista, että jakaumissa, joissa on suuri vinouma, aritmeettinen keskiarvo ei välttämättä vastaa käsitettä "keskiarvo", ja keskiarvon arvot vankista tilastoista (esimerkiksi mediaani) voivat kuvata paremmin keskeistä trendiä.

Klassinen esimerkki on keskitulon laskeminen. Aritmeettinen keskiarvo voidaan tulkita väärin mediaaniksi, mikä voi johtaa johtopäätökseen, että enemmän tuloja on enemmän kuin todellisuudessa on. "Keskitulot" tulkitaan siten, että useimpien ihmisten tulot ovat lähellä tätä lukua. Tämä "keskimääräinen" (aritmeettisen keskiarvon merkityksessä) tulot ovat korkeammat kuin useimpien ihmisten tulot, koska korkea tulo ja suuri poikkeama keskiarvosta tekee aritmeettisen keskiarvon vahvasti vinoon (sitä vastoin mediaanitulo "vastustaa") sellainen vino). Tämä "keskimääräinen" tulo ei kuitenkaan kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä mediaanituloa (eikä kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä modaalituloa). Kuitenkin, jos käsitteitä "keskiarvo" ja "enemmistö" otetaan kevyesti, voidaan virheellisesti päätellä, että useimpien ihmisten tulot ovat korkeammat kuin he todellisuudessa ovat. Esimerkiksi raportti Washingtonin Medinan "keskimääräisistä" nettotuloista laskettuna asukkaiden kaikkien vuosittaisten nettotulojen aritmeettisena keskiarvona antaa yllättävän suuren luvun Bill Gatesin takia. Tarkastellaan näytettä (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeettinen keskiarvo on 3,17, mutta viisi kuudesta arvosta on tämän keskiarvon alapuolella.

Korkoa korolle

Pääartikkeli: ROI

Jos numeroita moninkertaistaa, mutta ei taita, sinun on käytettävä geometristä keskiarvoa, ei aritmeettista keskiarvoa. Useimmiten tämä tapaus tapahtuu laskettaessa rahoitussijoituksen tuottoa.

Esimerkiksi, jos osakkeet laskivat 10 % ensimmäisenä vuonna ja nousivat 30 % toisena vuonna, on väärin laskea näiden kahden vuoden "keskimääräistä" nousua aritmeettisena keskiarvona (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; oikean keskiarvon antaa tässä tapauksessa yhdistetyssä vuosikasvussa, josta vuosikasvu on vain noin 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Syynä tähän on se, että prosenteilla on joka kerta uusi lähtökohta: 30 % on 30 % numerosta, joka on pienempi kuin ensimmäisen vuoden alun hinta: Jos osake alkoi 30 dollarista ja laski 10%, sen arvo on 27 dollaria toisen vuoden alussa. Jos osake on noussut 30%, sen arvo on 35,1 dollaria toisen vuoden lopussa. Tämän kasvun aritmeettinen keskiarvo on 10 %, mutta koska osake on kasvanut vain 5,1 dollaria kahdessa vuodessa, keskimääräinen 8,2 prosentin nousu antaa lopulliseksi tulokseksi 35,1 dollaria:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Jos käytämme keskiarvoa samalla tavalla aritmeettinen arvo 10%, emme saa todellista arvoa: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Korkokorko vuoden 2 lopussa: 90 % * 130 % = 117 % eli yhteensä 17 % nousua ja keskimääräinen vuotuinen korkokorko on 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \noin 108,2\%) eli keskimääräinen vuosikasvu 8,2 %.

Ohjeet

Pääartikkeli: Kohdetilastot

Laskettaessa jonkin syklisesti muuttuvan muuttujan (esimerkiksi vaiheen tai kulman) aritmeettista keskiarvoa on oltava erityisen varovainen. Esimerkiksi 1°:n ja 359°:n keskiarvo olisi 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Tämä numero on virheellinen kahdesta syystä.

• Ensinnäkin kulmamitat määritetään vain alueelle 0° - 360° (tai 0 - 2π radiaaneina mitattuna). Näin ollen sama lukupari voitaisiin kirjoittaa muodossa (1° ja −1°) tai (1° ja 719°). Kunkin parin keskiarvot ovat erilaiset: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Toiseksi, tässä tapauksessa arvo 0° (vastaa 360°) olisi geometrisesti paras keskiarvo, koska luvut poikkeavat vähemmän 0°:sta kuin mistään muusta arvosta (arvolla 0° on pienin varianssi). Vertailla:
  • luku 1° poikkeaa 0°:sta vain 1°;
  • luku 1° poikkeaa lasketusta 180°:n keskiarvosta 179°.

Yllä olevan kaavan mukaan laskettu syklisen muuttujan keskiarvo siirretään keinotekoisesti suhteessa todelliseen keskiarvoon numeerisen alueen keskelle. Tästä johtuen keskiarvo lasketaan eri tavalla, eli keskiarvoksi valitaan pienimmän varianssin omaava luku ( keskipiste). Vähennyksen sijaan käytetään myös moduloetäisyyttä (eli kehän etäisyyttä). Esimerkiksi modulaarinen etäisyys 1° ja 359° välillä on 2°, ei 358° (ympyrällä 359° ja 360° välillä ==0° - yksi aste, välillä 0° ja 1° - myös 1°, yhteensä -2 °).

4.3. Keskiarvot. Keskiarvojen olemus ja merkitys

Keskiarvo tilastoissa kutsutaan yleistäväksi indikaattoriksi, joka kuvaa ilmiön tyypillistä tasoa tietyissä paikan ja ajan olosuhteissa ja heijastaa vaihtelevan attribuutin suuruutta laadullisesti homogeenisen populaation yksikköä kohti. Talouskäytännössä käytetään laajaa valikoimaa indikaattoreita, jotka lasketaan keskiarvoina.

Esimerkiksi yleistävä indikaattori työntekijöiden tuloista osakeyhtiö(JSC) on yhden työntekijän keskimääräinen tulo, joka määräytyy tarkastelujakson (vuosi, vuosineljännes, kuukausi) palkkarahaston ja sosiaalimaksujen suhteessa JSC:n työntekijöiden määrään.

Keskiarvon laskeminen on yksi yleinen yleistystekniikka; keskimääräinen indikaattori heijastaa yleistä, joka on tyypillistä (tyypillistä) tutkittavan perusjoukon kaikille yksiköille, samalla kun se jättää huomioimatta yksittäisten yksiköiden väliset erot. Jokaisessa ilmiössä ja sen kehityksessä on yhdistelmä mahdollisuus Ja tarve. Keskiarvoja laskettaessa suurten lukujen lain toiminnasta johtuen satunnaisuus kumoaa toisensa, tasapainottaa, joten on mahdollista irrota ilmiön merkityksettömistä piirteistä, attribuutin kvantitatiivisista arvoista jokaisessa erityisessä tapaus. Kykyssä irrottautua yksittäisten arvojen satunnaisuudesta, vaihtelut piilee keskiarvojen tieteellinen arvo. yhteenveto kokonaisominaisuudet.

Jos yleistäminen on tarpeen, tällaisten ominaisuuksien laskeminen johtaa useiden erilaisten attribuutin yksittäisten arvojen korvaamiseen. keskikokoinen ilmiöiden kokonaisuutta kuvaava indikaattori, jonka avulla voidaan tunnistaa massayhteiskunnallisille ilmiöille ominaisia, yksittäisissä ilmiöissä havaitsemattomia malleja.

Keskiarvo heijastaa tutkittujen ilmiöiden ominaista, tyypillistä, todellista tasoa, luonnehtii näitä tasoja ja niiden muutoksia ajassa ja tilassa.

Keskiarvo on yhteenveto prosessin säännönmukaisuuksista olosuhteissa, joissa se etenee.

4.4 Keskiarvotyypit ja niiden laskentamenetelmät

Keskiarvon tyypin valinta määräytyy tietyn indikaattorin taloudellisen sisällön ja lähtötietojen perusteella. Kussakin tapauksessa käytetään yhtä keskiarvoista: aritmetiikka, garmonikko, geometrinen, neliöllinen, kuutio jne. Listatut keskiarvot kuuluvat luokkaan tehoa keskikokoinen.

Tilastokäytännössä käytetään potenssilain keskiarvojen lisäksi rakenteellisia keskiarvoja, joita pidetään moodina ja mediaanina.

Tarkastellaanpa tarkemmin tehokeinoja.

Aritmeettinen keskiarvo

Yleisin keskiarvotyyppi on keskiverto aritmeettinen. Sitä käytetään tapauksissa, joissa muuttujan attribuutin määrä koko populaatiolle on sen yksittäisten yksiköiden attribuuttien arvojen summa. Yhteiskunnallisille ilmiöille on ominaista vaihtelevan ominaisuuden volyymien additiivisuus (summaus), joka määrittää aritmeettisen keskiarvon laajuuden ja selittää sen yleisyyden yleistävänä indikaattorina, esimerkiksi: kokonaispalkkarahasto on kaikkien työntekijöiden palkkojen summa. , bruttosato on koko kylvöalan tuotoksen summa.

Aritmeettisen keskiarvon laskemiseksi sinun on jaettava kaikkien ominaisuuden arvojen summa niiden lukumäärällä.

Aritmeettista keskiarvoa käytetään muodossa yksinkertainen keskiarvo ja painotettu keskiarvo. Yksinkertainen keskiarvo toimii alustavana määrittävänä muotona.

yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin keskiarvotetun ominaisuuden yksittäisten arvojen yksinkertainen summa jaettuna näiden arvojen kokonaismäärällä (käytetään tapauksissa, joissa ominaisuuden yksittäisiä arvoja on ryhmitelty):

Missä
- muuttujan yksittäiset arvot (vaihtoehdot); m - väestöyksiköiden lukumäärä.

Muita summausrajoja kaavoissa ei ilmoiteta. Esimerkiksi on löydettävä yhden työntekijän (lukkosepän) keskimääräinen tuotos, jos tiedetään kuinka monta osaa kukin 15 työntekijästä valmisti, ts. annettuna useita ominaisuuden yksittäisiä arvoja, kpl:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo lasketaan kaavalla (4.1), 1 kpl:

Optioiden keskiarvoa, jotka toistetaan eri monta kertaa tai joiden sanotaan olevan eri painoisia, kutsutaan painotettu. Painot ovat yksiköiden lukumäärää eri ryhmiä aggregaatit (samat vaihtoehdot yhdistetään ryhmään).

Aritmeettinen painotettu keskiarvo- keskimääräiset ryhmitetyt arvot, - lasketaan kaavalla:

, (4.2)

Missä
- painot (samojen piirteiden toistotiheys);

- ominaisuuksien suuruuden tulojen summa niiden taajuuksilla;

- väestöyksiköiden kokonaismäärä.

Havainnollistetaan aritmeettisen painotetun keskiarvon laskentatekniikkaa käyttämällä edellä käsiteltyä esimerkkiä. Tätä varten ryhmittelemme alkutiedot ja sijoitamme ne taulukkoon. 4.1.

Taulukko 4.1

Työntekijöiden jakelu osien kehittämiseen

Kaavan (4.2) mukaan aritmeettinen painotettu keskiarvo on yhtä suuri, kappaletta:

Joissakin tapauksissa painot voidaan esittää ei absoluuttisina arvoina, vaan suhteellisina (prosentteina tai yksikön murto-osina). Sitten aritmeettisen painotetun keskiarvon kaava näyttää tältä:

Missä
- erityisesti, ts. kunkin taajuuden osuus kaikkien kokonaissummasta

Jos taajuudet lasketaan murto-osina (kertoimina), niin
= 1, ja aritmeettisesti painotetun keskiarvon kaava on:

Aritmeettisen painotetun keskiarvon laskeminen ryhmien keskiarvoista suoritetaan kaavan mukaan:

,

Missä f-yksiköiden lukumäärä kussakin ryhmässä.

Ryhmäkeskiarvojen aritmeettisen keskiarvon laskemisen tulokset on esitetty taulukossa. 4.2.

Taulukko 4.2

Työntekijöiden jakautuminen keskimääräisen palvelusajan mukaan

Tässä esimerkissä vaihtoehdot eivät ole yksittäisiä tietoja yksittäisten työntekijöiden palvelusajasta, vaan kunkin korjaamon keskiarvoja. vaa'at f ovat myymälöiden työntekijöiden määrä. Siten työntekijöiden keskimääräinen työkokemus koko yrityksessä on vuosia:

.

Jakaumasarjan aritmeettisen keskiarvon laskeminen

Jos keskimääräisen attribuutin arvot annetaan intervalleina ("alkaen - to"), ts. intervallijakaumasarjaa, niin aritmeettista keskiarvoa laskettaessa näiden välien keskipisteet otetaan ryhmien piirteiden arvoiksi, minkä seurauksena muodostuu diskreetti sarja. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä (taulukko 4.3).

Siirrytään intervallisarjasta diskreettiin korvaamalla intervalliarvot niiden keskiarvoilla / (yksinkertainen keskiarvo

Taulukko 4.3

AO:n työntekijöiden jakautuminen kuukausipalkkojen mukaan

Työntekijöiden ryhmät	Työntekijöiden määrä	Väliajan puoliväli
palkkaa, hieroa.	henkilö, f	hieroa., X
900 ja enemmän

avoimien välien arvot (ensimmäinen ja viimeinen) rinnastetaan ehdollisesti niitä viereisiin intervalleihin (toinen ja toiseksi viimeinen).

Tällaisessa keskiarvon laskennassa sallitaan jonkin verran epätarkkuutta, koska oletetaan, että määritteen yksiköt jakautuvat tasaisesti ryhmän sisällä. Virhe on kuitenkin mitä pienempi, sitä kapeampi väli ja sitä enemmän yksiköitä välissä.

Kun välien keskipisteet on löydetty, lasketaan samalla tavalla kuin diskreetissä sarjassa - vaihtoehdot kerrotaan taajuuksilla (painoilla) ja tulojen summa jaetaan taajuuksien (painojen) summalla. , tuhatta ruplaa:

.

Niin, keskitaso osakeyhtiön työntekijöiden palkka on 729 ruplaa. kuukaudessa.

Aritmeettisen keskiarvon laskemiseen liittyy usein suuria ajan- ja työpanostuksia. Joissakin tapauksissa keskiarvon laskentamenettelyä voidaan kuitenkin yksinkertaistaa ja helpottaa käyttämällä sen ominaisuuksia. Esitetään (ilman todistetta) joitain aritmeettisen keskiarvon perusominaisuuksia.

Kiinteistö 1. Jos kaikki yksittäiset ominaisarvot (esim. kaikki vaihtoehdot) pienennä tai lisää ikertaa, sitten keskiarvo uuden ominaisuuden määrä vähenee tai kasvaa vastaavasti ikerran.

Kiinteistö 2. Jos kaikkia keskiarvotetun ominaisuuden muunnelmia vähennetäänompele tai lisää numerolla A, sitten aritmeettisella keskiarvollapienentää tai kasvaa merkittävästi samalla numerolla A.

Kiinteistö 3. Jos kaikkien keskiarvoisten vaihtoehtojen painoja vähennetään tai lisää Vastaanottaja kertaa, aritmeettinen keskiarvo ei muutu.

Keskimääräisinä painoina voit käyttää absoluuttisten indikaattoreiden sijasta tiettyjä painoja kokonaissummassa (osuudet tai prosentit). Tämä yksinkertaistaa keskiarvon laskemista.

Keskiarvon laskennan yksinkertaistamiseksi ne seuraavat optioiden ja taajuuksien arvojen pienentämistä. Suurin yksinkertaistus saavutetaan, kun A yhden suurimman taajuuden omaavan keskeisen vaihtoehdon arvoksi valitaan / - välin arvo (riveille, joilla on samat välit). L:n arvoa kutsutaan origoksi, joten tätä keskiarvon laskentamenetelmää kutsutaan "menetelmäksi laskea ehdollisesta nollasta" tai "hetkien menetelmä".

Oletetaan, että kaikki vaihtoehdot X vähennetty ensin samalla numerolla A ja sitten pienennetty i kerran. Saamme uuden variaatiojakelun sarjan uusia variantteja .

Sitten uusia vaihtoehtoja ilmaistaan:

,

ja niiden uusi aritmeettinen keskiarvo , -ensimmäisen tilauksen hetki- kaava:

.

Se on yhtä suuri kuin alkuperäisten optioiden keskiarvo, ensin vähennettynä A, ja sitten sisään i kerran.

Saadaksesi todellisen keskiarvon, tarvitset hetken ensimmäisestä tilauksesta m 1 , Kerro i ja lisää V:

.

Tämä menetelmä kutsutaan aritmeettisen keskiarvon laskemista vaihtelusarjasta "hetkien menetelmä". Tätä menetelmää käytetään riveissä yhtäläisin välein.

Aritmeettisen keskiarvon laskentaa momenttimenetelmällä havainnollistavat taulukon tiedot. 4.4

Taulukko 4.4

Alueen pienyritysten jakautuminen tuotantoomaisuuden (OPF) arvon mukaan vuonna 2000

Yritysryhmät OPF:n kustannusten mukaan, tuhat ruplaa	Yritysten lukumäärä f	keskivälit, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Ensimmäisen tilauksen hetken löytäminen

.

Sitten olettaen A = 19 ja tietäen sen i= 2, laske X, tuhatta ruplaa:

Keskiarvojen tyypit ja niiden laskentamenetelmät

Lavalla tilastollinen käsittely Voidaan asettaa erilaisia ​​tutkimusongelmia, joiden ratkaisuun on valittava sopiva keskiarvo. Tässä tapauksessa on noudatettava seuraavaa sääntöä: arvojen, jotka edustavat keskiarvon osoittajaa ja nimittäjää, on oltava loogisesti yhteydessä toisiinsa.

• tehon keskiarvot;
• rakenteelliset keskiarvot.

Otetaan käyttöön seuraava merkintä:

Arvot, joiden keskiarvo lasketaan;

Keskiarvo, jossa yllä oleva rivi osoittaa, että yksittäisten arvojen keskiarvo lasketaan;

Frequency (yksittäisten piirteiden arvojen toistettavuus).

Yleisestä tehokeskiarvokaavasta johdetaan erilaisia ​​keinoja:

(5.1)

kun k = 1 - aritmeettinen keskiarvo; k = -1 - harmoninen keskiarvo; k = 0 - geometrinen keskiarvo; k = -2 - neliökeskiarvo.

Keskiarvot ovat joko yksinkertaisia ​​tai painotettuja. painotetut keskiarvot Niitä kutsutaan suureiksi, jotka ottavat huomioon, että joillakin attribuutin arvojen muunnelmilla voi olla eri numerot, ja siksi jokainen variantti on kerrottava tällä numerolla. Toisin sanoen "painot" ovat eri ryhmien väestöyksiköiden lukumäärää, ts. jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta f kutsutaan tilastollinen paino tai painon keskiarvo.

Aritmeettinen keskiarvo- yleisin mediatyyppi. Sitä käytetään, kun laskenta suoritetaan ryhmittämättömälle tilastotiedolle, josta halutaan saada keskimääräinen summa. Aritmeettinen keskiarvo on sellainen piirteen keskiarvo, jonka vastaanottamisen jälkeen piirteen kokonaisvolyymi perusjoukossa pysyy ennallaan.

Aritmeettisen keskiarvon kaava ( yksinkertainen) on muotoinen

missä n on väestön koko.

Esimerkiksi yrityksen työntekijöiden keskipalkka lasketaan aritmeettisena keskiarvona:

Tässä ratkaisevia indikaattoreita ovat kunkin työntekijän palkat ja yrityksen työntekijöiden lukumäärä. Keskiarvoa laskettaessa palkkojen kokonaismäärä pysyi samana, mutta jakautui ikään kuin tasaisesti kaikkien työntekijöiden kesken. Esimerkiksi pienen yrityksen, jossa työskentelee 8 henkilöä, työntekijöiden keskipalkka on laskettava:

Keskiarvoja laskettaessa voidaan keskiarvon määrittämän attribuutin yksittäiset arvot toistaa, joten keskiarvo lasketaan ryhmitellyillä tiedoilla. Tässä tapauksessa me puhumme käytöstä aritmeettinen keskiarvo painotettu, joka näyttää

(5.3)

Joten meidän on laskettava osakeyhtiön keskimääräinen osakekurssi pörssissä. Tiedetään, että kaupat toteutettiin 5 päivän sisällä (5 kauppaa), myyntikurssilla myytyjen osakkeiden määrä jakautui seuraavasti:

1 - 800 ac. - 1010 ruplaa

2 - 650 ac. - 990 hieroa.

3-700 ak. - 1015 ruplaa.

4 - 550 ac. - 900 ruplaa.

5 - 850 ak. - 1150 ruplaa.

Osakkeen keskihinnan määrittämisen aloitussuhde on transaktioiden kokonaismäärän (OSS) suhde myytyjen osakkeiden määrään (KPA).

5.1. Keskiarvon käsite

Keskiarvo - tämä on yleistävä indikaattori, joka kuvaa ilmiön tyypillistä tasoa. Se ilmaisee attribuutin arvon suhteessa perusjoukon yksikköön.

Keskiarvo yleistää aina piirteen kvantitatiivisen vaihtelun, ts. keskiarvoissa satunnaisista olosuhteista johtuvat yksilölliset erot populaation yksiköissä kumoutuvat. Toisin kuin keskiarvo, populaation yksittäisen yksikön ominaisuuden tasoa kuvaava absoluuttinen arvo ei salli ominaisuuden arvojen vertaamista eri populaatioihin kuuluville yksiköille. Joten jos sinun on verrattava kahden yrityksen työntekijöiden palkkatasoja, et voi verrata keskenään annettu ominaisuus kaksi työntekijää eri yhtiöistä. Vertailuun valittujen työntekijöiden palkat eivät välttämättä ole näille yrityksille tyypillisiä. Jos verrataan kyseisten yritysten palkkarahastojen kokoa, niin työntekijöiden määrää ei oteta huomioon, ja siksi on mahdotonta määrittää, missä palkkataso on korkeampi. Viime kädessä voidaan verrata vain keskiarvoja, ts. Kuinka paljon yksi työntekijä ansaitsee keskimäärin kussakin yrityksessä? Siten on olemassa tarve laskea keskiarvo väestön yleistävänä ominaisuutena.

Keskiarvon laskeminen on yksi yleinen yleistystekniikka; keskiarvoindikaattori kieltää yleisen, joka on tyypillistä (tyypillistä) kaikille tutkitun perusjoukon yksiköille, samalla kun se jättää huomioimatta yksittäisten yksiköiden väliset erot. Jokaisessa ilmiössä ja sen kehityksessä on sattuman ja välttämättömyyden yhdistelmä. Keskiarvoja laskettaessa suurten lukujen lain toiminnasta johtuen satunnaisuus kumoaa toisensa, tasapainottaa, joten on mahdollista irrota ilmiön merkityksettömistä piirteistä, attribuutin kvantitatiivisista arvoista jokaisessa erityisessä tapaus. Kyvyssä abstrahoida yksittäisten arvojen satunnaisuudesta, vaihteluista, piilee keskiarvojen tieteellinen arvo aggregaattien yleistävinä ominaisuuksina.

Jotta keskiarvo olisi todella tyypillinen, se on laskettava ottaen huomioon tietyt periaatteet.

Pysähdytäänpä muutamiin yleiset periaatteet keskiarvojen käyttöä.
1. Keskiarvo olisi määritettävä populaatioille, jotka koostuvat laadullisesti homogeenisista yksiköistä.
2. Keskiarvo tulee laskea populaatiolle, joka koostuu tarpeeksi suuri numero yksiköitä.
3. Keskiarvo lasketaan väestölle, jonka yksiköt ovat normaalissa, luonnollisessa tilassa.
4. Keskiarvo on laskettava ottaen huomioon tutkittavan indikaattorin taloudellinen sisältö.

5.2. Keskiarvotyypit ja niiden laskentamenetelmät

Tarkastellaan nyt keskiarvojen tyyppejä, niiden laskennan ominaisuuksia ja käyttöalueita. Keskiarvot on jaettu kahteen suureen luokkaan: tehokeskiarvot, rakenteelliset keskiarvot.

TO tehon keskiarvo sisältävät tunnetuimmat ja yleisimmin käytetyt tyypit kuten geometrinen keskiarvo, aritmeettinen keskiarvo ja keskineliö.

Kuten rakenteelliset keskiarvot tila ja mediaani otetaan huomioon.

Pysähdytään tehokeskiarvoihin. Tehon keskiarvot voivat lähtötietojen esittämisestä riippuen olla yksinkertaisia ​​ja painotettuja. yksinkertainen keskiarvo on laskettu ryhmittämättömistä tiedoista ja sillä on seuraava yleinen muoto:

jossa Xi on keskiarvoistetun ominaisuuden variantti (arvo);

n on vaihtoehtojen lukumäärä.

Painotettu keskiarvo lasketaan ryhmitellyillä tiedoilla ja sillä on yleinen muoto

,

jossa X i on keskiarvotetun ominaisuuden variantti (arvo) tai sen välin keskiarvo, jossa muunnelma mitataan;
m on keskiarvon eksponentti;
f i - taajuus, joka näyttää kuinka monta kertaa se esiintyy i:s arvo keskimääräinen merkki.

Otetaan esimerkkinä opiskelijoiden keski-iän laskeminen 20 hengen ryhmässä:

Laskemme keski-iän käyttämällä yksinkertaista keskiarvokaavaa:

Ryhmitetään lähdetiedot. Saamme seuraavan jakelusarjan:

Ryhmittelyn tuloksena saamme uuden indikaattorin - taajuuden, joka ilmaisee X-vuotiaiden opiskelijoiden lukumäärän. Siksi ryhmän opiskelijoiden keski-ikä lasketaan painotetun keskiarvon kaavalla:

Yleisillä kaavoilla eksponenttikeskiarvojen laskemiseksi on eksponentti (m). Riippuen siitä, minkä arvon se ottaa, erotetaan seuraavan tyyppiset tehon keskiarvot:
harmoninen keskiarvo, jos m = -1;
geometrinen keskiarvo, jos m –> 0;
aritmeettinen keskiarvo, jos m = 1;
neliökeskiarvo, jos m = 2;
keskimääräinen kuutio, jos m = 3.

Tehon keskiarvokaavat on annettu taulukossa. 4.4

Jos laskemme kaiken tyyppiset keskiarvot samoille lähtötiedoille, niiden arvot eivät ole samat. Tässä pätee keskiarvojen majoranssisääntö: eksponentin m kasvaessa myös vastaava keskiarvo kasvaa:

Tilastokäytännössä käytetään muita painotettuja keskiarvoja useammin aritmeettisia ja harmonisia painotettuja keskiarvoja.

Taulukko 5.1

Voimakeinojen tyypit

Tehon tyyppi keskellä	Indeksi astetta (m)	Laskentakaava
		Yksinkertainen	painotettu
harmoninen	-1
Geometrinen	0
Aritmeettinen	1
neliöllinen	2
kuutio	3

Harmonisella keskiarvolla on enemmän monimutkainen rakenne kuin aritmeettinen keskiarvo. Harmonista keskiarvoa käytetään laskelmissa, kun painot eivät ole populaation yksiköitä - piirteen kantajia, vaan näiden yksiköiden ja ominaisuuden arvojen tuloja (eli m = Xf). Keskimääräistä harmonista seisonta-aikaa tulisi käyttää määritettäessä esimerkiksi keskimääräisiä työvoiman, ajan, materiaalien kustannuksia tuotantoyksikköä kohden, osaa kohden kahdelle (kolmelle, neljälle jne.) yritykselle, koneen valmistukseen osallistuville työntekijöille. samantyyppinen tuote, sama osa, tuote.

Keskiarvon laskentakaavan päävaatimus on, että laskennan kaikilla vaiheilla on todellinen ja järkevä perustelu; tuloksena olevan keskiarvon tulisi korvata kunkin kohteen attribuutin yksittäiset arvot rikkomatta yksittäisten ja yhteenvetoindikaattoreiden välistä yhteyttä. Toisin sanoen keskiarvo tulee laskea siten, että kun keskiarvoisen indikaattorin jokainen yksittäinen arvo korvataan sen keskiarvolla, jokin lopullinen yhteenvetoindikaattori, joka on tavalla tai toisella yhteydessä keskiarvoon, pysyy ennallaan. Tätä tulosta kutsutaan määrittävä koska sen suhteen luonne yksittäisiin arvoihin määrittää erityisen kaavan keskiarvon laskemiseksi. Esitetään tämä sääntö geometrisen keskiarvon esimerkissä.

Geometrisen keskiarvon kaava

käytetään useimmiten laskettaessa dynamiikan yksittäisten suhteellisten arvojen keskiarvoa.

Geometristä keskiarvoa käytetään, jos on annettu dynamiikan ketjun suhteellisten arvojen sarja, joka osoittaa esimerkiksi tuotannon kasvua edellisen vuoden tasoon verrattuna: i 1 , i 2 , i 3 ,..., sisään . On selvää, että tuotannon määrä viime vuonna määräytyy sen alkutason (q 0) ja myöhemmän kasvun perusteella vuosien aikana:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×... × i n .

Ottamalla q n määrittävänä indikaattorina ja korvaamalla dynamiikkaindikaattoreiden yksittäiset arvot keskiarvoilla, päädymme suhteeseen

Täältä

5.3. Rakenteelliset keskiarvot

Tutkinnassa käytetään erityistä keskiarvotyyppiä - rakenteellisia keskiarvoja sisäinen rakenne tunnusarvojen jakaumasarja sekä keskiarvon (potenssilakityyppi) arvioimiseen, jos sen laskentaa ei käytettävissä olevien tilastotietojen mukaan voida suorittaa (esim. jos tarkasteltavassa esimerkissä ei ollut tietoa molemmista tuotannon määrä ja kustannusten määrä yritysryhmittäin) .

Indikaattoreita käytetään useimmiten rakenteellisina keskiarvoina. muoti - useimmin toistuva ominaisuuden arvo - ja mediaani - ominaisuuden arvo, joka jakaa järjestetyn arvojensa sekvenssin kahteen yhtä suureen osaan. Tämän seurauksena puolessa väestöyksiköistä attribuutin arvo ei ylitä mediaanitasoa, ja toisessa puolella se ei ole sitä pienempi.

Jos tutkittavalla ominaisuudella on diskreetit arvot, moodin ja mediaanin laskemisessa ei ole erityisiä vaikeuksia. Jos tiedot attribuutin X arvoista esitetään järjestetyinä sen muutosväleinä (intervallisarja), moodin ja mediaanin laskeminen muuttuu jonkin verran monimutkaisemmaksi. Koska mediaaniarvo jakaa koko populaation kahteen yhtä suureen osaan, se päätyy johonkin piirteen X intervalleista. Interpoloimalla mediaaniarvo löytyy tältä mediaaniväliltä:

,

missä X Me on mediaanivälin alaraja;
h Minä on sen arvo;
(Summa m) / 2 - puolet havaintojen kokonaismäärästä tai puolet indikaattorin tilavuudesta, jota käytetään painotuksena keskiarvon laskentakaavoissa (absoluuttisesti tai suhteellisesti);
S Me-1 on havaintojen (tai painotusominaisuuden tilavuus) summa, joka on kertynyt ennen mediaanivälin alkua;
m Me on havaintojen lukumäärä tai painotusominaisuuden tilavuus mediaanivälissä (myös absoluuttisesti tai suhteellisesti).

Esimerkissämme voidaan saada jopa kolme mediaaniarvoa - yritysten lukumäärän, tuotannon määrän ja tuotantokustannusten kokonaismäärän merkkien perusteella:

Siten puolella yrityksistä tuotantoyksikön kustannukset ylittävät 125,19 tuhatta ruplaa, puolet tuotannon kokonaismäärästä tuotetaan kustannustasolla tuotetta kohti yli 124,79 tuhatta ruplaa. ja 50% kokonaiskustannuksista muodostuu yhden tuotteen kustannusten tasolla, joka on yli 125,07 tuhatta ruplaa. Huomaa myös, että kustannuksissa on tietty noususuuntaus, koska Me 2 = 124,79 tuhatta ruplaa ja keskimääräinen taso on 123,15 tuhatta ruplaa.

Kun lasketaan ominaisuuden modaaliarvoa intervallisarjan tietojen perusteella, on syytä kiinnittää huomiota siihen, että intervallit ovat samat, koska ominaisarvojen tiheyden osoitin X riippuu tästä. intervallisarja yhtäläisin väliajoin, moodin arvo määritetään seuraavasti

missä X Mo on modaalivälin alempi arvo;
m Mo on havaintojen lukumäärä tai painotusominaisuuden tilavuus modaalivälissä (absoluuttisesti tai suhteellisesti);
m Mo -1 - sama modaalia edeltävälle aikavälille;
m Mo+1 - sama modaalin jälkeiselle aikavälille;
h on piirteen muutosvälin arvo ryhmissä.

Esimerkissämme voidaan laskea kolme modaaliarvoa yritysten lukumäärän, tuotannon määrän ja kustannusten suuruuden merkkien perusteella. Kaikissa kolmessa tapauksessa modaaliväli on sama, koska samalla aikavälillä sekä yritysten lukumäärä, tuotannon määrä että tuotantokustannusten kokonaismäärä osoittautuvat suurimmiksi:

Näin ollen useimmiten kohdataan yrityksiä, joiden kustannustaso on 126,75 tuhatta ruplaa, useimmiten tuotetaan tuotteita, joiden kustannustaso on 126,69 tuhatta ruplaa, ja useimmiten tuotantokustannukset selittyvät 123,73 tuhannen ruplan kustannustasolla.

5.4. Vaihtelun indikaattorit

Erityiset olosuhteet, joissa jokainen tutkittu kohde sijaitsee, sekä niiden oman kehityksen piirteet (sosiaalinen, taloudellinen jne.) ilmaistaan ​​vastaavilla tilastollisten indikaattoreiden numeerisilla tasoilla. Täten, vaihtelu, nuo. saman indikaattorin tasojen välinen ero eri kohteissa on objektiivista ja auttaa ymmärtämään tutkittavan ilmiön olemusta.

Tilastojen vaihtelua voidaan mitata useilla tavoilla.

Yksinkertaisin on indikaattorin laskeminen jännevälin vaihtelu H ominaisuuden havaittujen maksimi- (X max) ja vähimmäisarvojen (X min) erotuksena:

H=X max - X min.

Vaihteluväli näyttää kuitenkin vain piirteen ääriarvot. Väliarvojen toistettavuutta ei tässä oteta huomioon.

Tiukemmat ominaisuudet ovat osoittimia vaihtelusta suhteessa attribuutin keskimääräiseen tasoon. Tämän tyypin yksinkertaisin indikaattori on keskimääräinen lineaarinen poikkeama L ominaisuuden absoluuttisten poikkeamien aritmeettisena keskiarvona sen keskiarvosta:

Kun X:n yksittäisiä arvoja toistetaan, käytetään painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavaa:

(Muista tuo algebrallinen summa poikkeama keskiarvosta on nolla.)

Keskimääräisen lineaarisen poikkeaman indikaattori on löytänyt laajan käytön käytännössä. Sen avulla analysoidaan esimerkiksi työntekijöiden kokoonpanoa, tuotannon rytmiä, materiaalien tarjonnan yhtenäisyyttä ja kehitetään aineellisia kannustinjärjestelmiä. Mutta valitettavasti tämä indikaattori vaikeuttaa todennäköisyystyyppisiä laskelmia, vaikeuttaa matemaattisten tilastojen menetelmien soveltamista. Siksi tilastollisesti tieteellinen tutkimus Yleisimmin käytetty variaatiomitta on dispersio.

Ominaisuuden varianssi (s 2) määritetään neliöllisen tehokeskiarvon perusteella:

.

Eksponenttia s kutsutaan keskikokoinen keskihajonta.

Yleisessä tilastoteoriassa hajontaindikaattori on estimaatti samannimisestä todennäköisyysteorian indikaattorista ja (poikkeamien neliöityjen summana) estimaatti matemaattisen tilaston hajoamisesta, mikä mahdollistaa näiden teoreettisten tieteenalojen säännösten käytön analysoida sosioekonomisia prosesseja.

Jos vaihtelu arvioidaan pienestä määrästä havaintoja, jotka on otettu rajoittamattomasta yleisjoukosta, niin ominaisuuden keskiarvo määritetään jollain virheellä. Dispersion laskettu arvo näyttää siirtyneen alaspäin. Puolueettoman arvion saamiseksi edellä olevista kaavoista saatu otosvarianssi on kerrottava n / (n - 1). Tämän seurauksena pienellä määrällä havaintoja (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Yleensä jo n > (15÷20) kohdalla puolueettoman ja puolueettoman estimaatin välinen ero tulee merkityksettömäksi. Samasta syystä harhaa ei yleensä oteta huomioon varianssien lisäyskaavassa.

Jos yleisjoukosta otetaan useita näytteitä ja joka kerta määritetään attribuutin keskiarvo, syntyy keskiarvojen vaihtelun estimointiongelma. Arvioi varianssi keskiarvo voi myös perustua vain yhteen näytehavaintoon kaavan mukaan

,

missä n on näytteen koko; s 2 on näytetiedoista laskettu ominaisuuden varianssi.

Arvo kutsutaan tarkoittaa näytteenottovirhettä ja se on ominaisuuden X näytekeskiarvon poikkeama sen todellisesta keskiarvosta. Otoshavainnoinnin tulosten luotettavuuden arvioinnissa käytetään keskivirheindikaattoria.

Suhteelliset hajontaindikaattorit. Tutkittavan ominaisuuden vaihtelumitan karakterisoimiseksi vaihteluindikaattorit lasketaan suhteellisesti. Niiden avulla voit verrata hajonnan luonnetta eri jakaumissa (saman ominaisuuden eri havaintoyksiköt kahdessa populaatiossa, erilaisia ​​arvoja keskiarvot, kun vertaillaan heterogeenisia populaatioita). Suhteellisen hajontamitan tunnuslukujen laskenta suoritetaan suhdelukuna absoluuttinen indikaattori dispersio aritmeettiseen keskiarvoon kerrottuna 100 %:lla.

1. Värähtelykerroin kuvastaa ominaisuuden ääriarvojen suhteellista vaihtelua keskiarvon ympärillä

.

2. Suhteellinen lineaarinen sammutus kuvaa absoluuttisten poikkeamien etumerkin keskiarvon osuutta keskiarvosta

.

3. Variaatiokerroin:

on yleisin varianssimitta, jota käytetään arvioimaan keskiarvojen tyypillisyyttä.

Tilastoissa populaatiot, joiden variaatiokerroin on suurempi kuin 30–35 %, katsotaan heterogeenisiksi.

Tällä variaation estimointimenetelmällä on myös merkittävä haittapuoli. Olkoon todellakin esimerkiksi työntekijöiden alkuperäinen väestö, joiden keskimääräinen palvelusaika on 15 vuotta, keskihajonnalla s = 10 vuotta, "ikääntyneinä" vielä 15 vuotta. Nyt = 30 vuotta, ja keskihajonta on edelleen 10. Aikaisemmin heterogeeninen populaatio (10/15 × 100 = 66,7%), joten se osoittautuu ajan myötä melko homogeeniseksi (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Tilastojen teoreettinen tutkimus: la. Tieteellinen Proceedings - M .: Tilastot, 1974. s. 19–57.

Edellinen