Mikä on keskiarvo? Kuinka laskea keskiarvo

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso keskimääräinen merkitys.

Keskiverto(matematiikassa ja tilastoissa) lukujoukot - kaikkien lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Se on yksi yleisimmistä keskeisen suuntauksen mittareista.

Pythagoralaiset ehdottivat sitä (yhdessä geometrisen keskiarvon ja harmonisen keskiarvon kanssa).

Aritmeettisen keskiarvon erikoistapaukset ovat keskiarvo (yleinen populaatio) ja otoskeskiarvo (otos).

Johdanto

Merkitään tietojoukko X = (x 1 , x 2 , …, x n), näytteen keskiarvo ilmoitetaan yleensä vaakaviivalla muuttujan päällä (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), lausutaan " x viivalla").

Kreikan kirjainta μ käytetään merkitsemään koko väestön aritmeettista keskiarvoa. Satunnaismuuttujalle, jolle on määritetty keskiarvo, μ on todennäköisyyskeskiarvo tai satunnaismuuttujan matemaattinen odotus. Jos setti X on kokoelma satunnaislukuja, joiden todennäköisyyskeskiarvo on μ, sitten mille tahansa näytteelle x i tästä joukosta μ = E( x i) on tämän otoksen matemaattinen odotus.

Käytännössä ero μ:n ja x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) välillä on se, että μ on tyypillinen muuttuja, koska näet otoksen koko populaation sijaan. Siksi, jos otos esitetään satunnaisesti (todennäköisyysteorian kannalta), niin x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (mutta ei μ) voidaan käsitellä satunnaismuuttujana, jolla on todennäköisyysjakauma otoksessa ( keskiarvon todennäköisyysjakauma).

Molemmat määrät lasketaan samalla tavalla:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Jos X on satunnaismuuttuja, sitten matemaattinen odotus X voidaan pitää aritmeettisena keskiarvona suuren toistuvissa mittauksissa X. Tämä on lain ilmentymä suuret numerot. Siksi otoskeskiarvoa käytetään arvioimaan tuntematon odotusarvo.

Alkeisalgebrassa on todistettu, että keskiarvo n+ 1 numeroa keskiarvon yläpuolella n luvut jos ja vain jos uusi luku on suurempi kuin vanha keskiarvo, pienempi jos ja vain jos uusi luku on pienempi kuin keskiarvo, eikä se muutu silloin ja vain jos uusi luku on yhtä suuri kuin keskiarvo. Sitä enemmän n, sitä pienempi ero on uuden ja vanhan keskiarvon välillä.

Huomaa, että saatavilla on useita muita "keskiarvoja", mukaan lukien tehokeskiarvo, Kolmogorovin keskiarvo, harmoninen keskiarvo, aritmeettis-geometrinen keskiarvo ja erilaiset painotetut keskiarvot (esim. painotettu aritmeettinen keskiarvo, painotettu geometrinen keskiarvo, painotettu harmoninen keskiarvo).

Esimerkkejä

Kolmea numeroa varten sinun on lisättävä ne ja jaettava 3:lla:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

Neljälle numerolle sinun on lisättävä ne ja jaettava 4:llä:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Tai yksinkertaisempi 5+5=10, 10:2. Koska lisäsimme 2 numeroa, mikä tarkoittaa, kuinka monta numeroa lisäämme, jaamme niillä monella.

Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvasti jakautuneelle suurelle f (x) (\displaystyle f(x)), aritmeettinen keskiarvo välillä [ a ; b ] (\displaystyle ) määritetään määrätyn integraalin avulla:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Joitakin ongelmia keskiarvon käytössä

Vahvuuden puute

Pääartikkeli: Vahvuus tilastoissa

Vaikka aritmeettisia keskiarvoja käytetään usein keskiarvoina tai keskeisinä suuntauksina, tämä käsite ei ole vankka tilasto, mikä tarkoittaa, että "suuret poikkeamat" vaikuttavat voimakkaasti aritmeettiseen keskiarvoon. On huomionarvoista, että jakaumissa, joilla on suuri vinokerroin, aritmeettinen keskiarvo ei välttämättä vastaa käsitettä "keskiarvo", ja keskiarvon arvot vankista tilastoista (esimerkiksi mediaani) voivat kuvata paremmin keskeistä taipumus.

Klassinen esimerkki on keskitulojen laskeminen. Aritmeettinen keskiarvo voidaan tulkita väärin mediaaniksi, mikä voi johtaa johtopäätökseen, että korkeatuloisia on enemmän kuin todellisuudessa on. "Keskimääräisten" tulojen tulkitaan tarkoittavan, että useimpien ihmisten tulot ovat tämän luvun luokkaa. Tämä "keskimääräinen" (aritmeettisen keskiarvon mielessä) tulot ovat korkeammat kuin useimpien ihmisten tulot, koska korkea tulo ja suuri poikkeama keskiarvosta tekee aritmeettisesta keskiarvosta erittäin vinoa (sitä vastoin keskitulo mediaanilla "vastustaa" tällaista vinoutta). Tämä "keskimääräinen" tulo ei kuitenkaan kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä mediaanituloa (eikä kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä modaalituloa). Jos kuitenkin otat käsitteet "keskiarvo" ja "useimmat ihmiset" kevyesti, voit tehdä virheellisen johtopäätöksen, että useimpien ihmisten tulot ovat korkeammat kuin he todellisuudessa ovat. Esimerkiksi raportti Washingtonin Medinan "keskimääräisistä" nettotuloista, joka lasketaan asukkaiden kaikkien vuosittaisten nettotulojen aritmeettisena keskiarvona, tuottaa yllättäen. iso luku Bill Gatesin takia. Tarkastellaan näytettä (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeettinen keskiarvo on 3,17, mutta viisi kuudesta arvosta on tämän keskiarvon alapuolella.

Korkoa korolle

Pääartikkeli: Sijoitetun pääoman tuotto

Jos numerot moninkertaistaa, mutta ei taita, sinun on käytettävä geometristä keskiarvoa, ei aritmeettista keskiarvoa. Useimmiten tämä tapaus sattuu laskettaessa rahoitussijoituksen tuottoa.

Esimerkiksi, jos osake laski 10 % ensimmäisenä vuonna ja nousi 30 % toisena, on väärin laskea näiden kahden vuoden "keskimääräistä" nousua aritmeettisena keskiarvona (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; Oikean keskiarvon antaa tässä tapauksessa yhdistetyn vuosikasvun nopeus, joka antaa vuosikasvuksi vain noin 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Syynä tähän on se, että prosenteilla on joka kerta uusi lähtökohta: 30 % on 30 % numerosta, joka on pienempi kuin ensimmäisen vuoden alun hinta: jos osake alkoi 30 dollarista ja laski 10%, sen arvo on 27 dollaria toisen vuoden alussa. Jos osake nousi 30%, sen arvo olisi 35,1 dollaria toisen vuoden lopussa. Tämän kasvun aritmeettinen keskiarvo on 10%, mutta koska osake on noussut vain 5,1 dollaria kahdessa vuodessa, keskimääräinen 8,2 prosentin kasvu antaa lopulliseksi tulokseksi 35,1 dollaria:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Jos käytämme samalla tavalla 10 %:n aritmeettista keskiarvoa, emme saa todellista arvoa: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Korkokorko 2 vuoden lopussa: 90 % * 130 % = 117 % eli kokonaiskorko on 17 % ja keskimääräinen vuotuinen korkokorko on 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\noin 108,2\%) eli keskimääräinen vuosikasvu 8,2 %.

Ohjeet

Pääartikkeli: Kohdetilastot

Kun lasketaan jonkin syklisesti muuttuvan muuttujan (kuten vaihe tai kulma) aritmeettista keskiarvoa, on oltava erityisen huolellinen. Esimerkiksi 1°:n ja 359°:n keskiarvo olisi 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Tämä numero on virheellinen kahdesta syystä.

Ensinnäkin kulmamitat määritetään vain alueelle 0° - 360° (tai 0 - 2π radiaaneina mitattuna). Joten sama lukupari voitaisiin kirjoittaa muodossa (1° ja −1°) tai (1° ja 719°). Kunkin parin keskiarvot ovat erilaiset: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ ympyrä )) .
Toiseksi, tässä tapauksessa arvo 0° (vastaa 360°) on geometrisesti parempi keskiarvo, koska luvut poikkeavat vähemmän 0°:sta kuin mistään muusta arvosta (arvolla 0° on pienin varianssi). Vertailla:
- luku 1° poikkeaa 0°:sta vain 1°;
- luku 1° poikkeaa lasketusta 180°:n keskiarvosta 179°.

Yllä olevalla kaavalla lasketun syklisen muuttujan keskiarvoa siirretään keinotekoisesti suhteessa todelliseen keskiarvoon kohti numeerisen alueen keskiarvoa. Tästä johtuen keskiarvo lasketaan eri tavalla, nimittäin luku, jolla on pienin varianssi ( keskipiste). Vähennyksen sijaan käytetään myös modulaarista etäisyyttä (eli kehän etäisyyttä). Esimerkiksi modulaarinen etäisyys 1° ja 359° välillä on 2°, ei 358° (ympyrällä 359° ja 360° välillä ==0° - yksi aste, välillä 0° ja 1° - myös 1°, yhteensä -2 °).

4.3. Keskiarvot. Keskiarvojen olemus ja merkitys

Keskikoko tilastossa on yleinen indikaattori, joka kuvaa ilmiön tyypillistä tasoa tietyissä paikan ja ajan olosuhteissa ja heijastaa vaihtelevan ominaisuuden arvoa laadullisesti homogeenisen populaation yksikköä kohti. Talouskäytännössä käytetään laajaa valikoimaa indikaattoreita, jotka lasketaan keskiarvoina.

Esimerkiksi yleinen indikaattori työntekijöiden tuloista osakeyhtiö(JSC) on yhden työntekijän keskimääräinen tulo, joka määräytyy tarkastelujakson (vuosi, vuosineljännes, kuukausi) palkkarahaston ja sosiaalimaksujen suhteessa JSC:n työntekijöiden määrään.

Keskiarvon laskeminen on yksi yleisimmistä yleistystekniikoista; keskiverto heijastelee sitä, mikä on yhteistä (tyypillistä) kaikille tutkittavan populaation yksiköille, mutta samalla jättää huomioimatta yksittäisten yksiköiden erot. Jokaisessa ilmiössä ja sen kehityksessä on yhdistelmä onnettomuuksia Ja tarpeellista. Keskiarvoja laskettaessa suurten lukujen lain vaikutuksesta satunnaisuus kumoutuu ja tasapainottuu, joten on mahdollista irrota ilmiön merkityksettömistä piirteistä, ominaisuuden kvantitatiivisista arvoista kussakin tapauksessa . Kyky irtautua yksittäisten arvojen satunnaisuudesta, vaihteluista on keskiarvojen tieteellisessä arvossa yleistää populaatioiden ominaisuudet.

Jos yleistämisen tarve ilmenee, tällaisten ominaisuuksien laskeminen johtaa useiden erilaisten attribuutin yksittäisten arvojen korvaamiseen. keskiverto koko ilmiökokonaisuutta kuvaava indikaattori, jonka avulla voidaan tunnistaa massayhteiskunnallisiin ilmiöihin luontaisia malleja, jotka ovat näkymättömiä yksittäisissä ilmiöissä.

Keskiarvo heijastaa tutkittavien ilmiöiden ominaista, tyypillistä, todellista tasoa, luonnehtii näitä tasoja ja niiden muutoksia ajassa ja tilassa.

Keskiarvo on yhteenveto prosessin laeista olosuhteissa, joissa se tapahtuu.

4.4 Keskiarvotyypit ja niiden laskentamenetelmät

Keskiarvon tyypin valinta määräytyy tietyn indikaattorin taloudellisen sisällön ja lähdetietojen perusteella. Kussakin erityistapauksessa käytetään yhtä keskiarvoista: aritmetiikka, garmonikko, geometrinen, neliöllinen, kuutio jne. Listatut keskiarvot kuuluvat luokkaan rauhallinen keskiverto.

Tehokeskiarvojen lisäksi tilastokäytännössä käytetään rakenteellisia keskiarvoja, joita pidetään moodina ja mediaanina.

Tarkastellaanpa tarkemmin tehokeskiarvoja.

Aritmeettinen keskiarvo

Yleisin keskiarvotyyppi on keskiverto aritmeettinen. Sitä käytetään tapauksissa, joissa koko populaation vaihtelevan ominaisuuden tilavuus on sen yksittäisten yksiköiden ominaisuuksien arvojen summa. Yhteiskunnallisille ilmiöille on ominaista vaihtelevan ominaisuuden volyymien additiivisuus (summaarisuus), joka määrittää aritmeettisen keskiarvon soveltamisalan ja selittää sen yleisyyden yleisenä indikaattorina, esimerkiksi: kokonaispalkkarahasto on palkkojen summa. Kaikki työntekijät, bruttosato on koko kylvökaudelta tuotettujen tuotteiden summa.

Aritmeettisen keskiarvon laskemiseksi sinun on jaettava kaikkien ominaisuuden arvojen summa niiden lukumäärällä.

Muodossa käytetään aritmeettista keskiarvoa yksinkertainen keskiarvo ja painotettu keskiarvo. Alkuperäinen määrittävä muoto on yksinkertainen keskiarvo.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo yhtä suuri kuin keskiarvoistettavan ominaisuuden yksittäisten arvojen yksinkertainen summa jaettuna näiden arvojen kokonaismäärällä (käytetään tapauksissa, joissa ominaisuuden yksittäisiä arvoja on ryhmitelty):

Missä
- muuttujan yksittäiset arvot (muunnelmat); m - yksiköiden lukumäärä väestössä.

Lisäksi summausrajoja ei ilmoiteta kaavoissa. Esimerkiksi, sinun on löydettävä yhden työntekijän (mekaanikon) keskimääräinen tuotanto, jos tiedät kuinka monta osaa kukin 15 työntekijästä tuotti, ts. on annettu useita ominaisuuden yksittäisiä arvoja, kpl:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo lasketaan kaavalla (4.1), 1 kpl:

Kutsutaan niiden vaihtoehtojen keskiarvoa, jotka toistetaan eri monta kertaa tai, kuten sanotaan, joilla on eri painot painotettu. Painot ovat yksiköiden lukumäärät eri väestöryhmissä (identtiset vaihtoehdot yhdistetään ryhmäksi).

Aritmeettinen painotettu keskiarvo- ryhmiteltyjen arvojen keskiarvo, - lasketaan kaavalla:

, (4.2)

Missä
- paino (identtisten merkkien toistotiheys);

- ominaisuuksien suuruuden ja niiden taajuuksien tulojen summa;

- väestöyksiköiden kokonaismäärä.

Havainnollistamme aritmeettisen painotetun keskiarvon laskentatekniikkaa käyttämällä edellä käsiteltyä esimerkkiä. Tätä varten ryhmittelemme lähdetiedot ja sijoitamme ne taulukkoon. 4.1.

Taulukko 4.1

Työntekijöiden jakelu osien tuotantoon

Kaavan (4.2) mukaan painotettu aritmeettinen keskiarvo on, kpl:

Joissakin tapauksissa painot voidaan esittää ei absoluuttisina arvoina, vaan suhteellisina (prosentteina tai yksikön murto-osina). Sitten aritmeettisen painotetun keskiarvon kaava näyttää tältä:

Missä
- erikoisuus, ts. kunkin taajuuden osuus kaikkien kokonaissummasta

Jos taajuudet lasketaan murto-osina (kertoimina), niin
= 1, ja aritmeettisesti painotetun keskiarvon kaava on muotoa:

Painotetun aritmeettisen keskiarvon laskeminen ryhmän keskiarvoista suoritetaan kaavan mukaan:

Missä f-yksiköiden lukumäärä kussakin ryhmässä.

Ryhmäkeskiarvojen aritmeettisen keskiarvon laskemisen tulokset on esitetty taulukossa. 4.2.

Taulukko 4.2

Työntekijöiden jakautuminen keskimääräisen palvelusajan mukaan

Tässä esimerkissä vaihtoehdot eivät ole yksittäisiä tietoja yksittäisten työntekijöiden palvelusajasta, vaan kunkin korjaamon keskiarvoa. Vaaka f ovat myymälöiden työntekijöiden määrä. Siten työntekijöiden keskimääräinen työkokemus koko yrityksessä on vuosia:

Jakaumasarjan aritmeettisen keskiarvon laskenta

Jos keskiarvoistettavan ominaisuuden arvot on määritelty intervalleina ("alkaen -"), ts. jakauman intervallisarjaa, niin aritmeettista keskiarvoa laskettaessa näiden välien keskipisteet otetaan ryhmien ominaisuuksien arvoiksi, jolloin muodostuu diskreetti sarja. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä (taulukko 4.3).

Siirretään intervallisarjasta diskreettisarjaan korvaamalla intervalliarvot niiden keskiarvoilla/(yksinkertainen keskiarvo

Taulukko 4.3

JSC:n työntekijöiden jakautuminen kuukausipalkkatason mukaan

Työntekijöiden ryhmät	Työntekijöiden määrä	Väliajan puoliväli
palkkaa, hieroa.	ihmiset, f	hieroa., X





900 tai enemmän

avointen intervallien (ensimmäinen ja viimeinen) arvot rinnastetaan ehdollisesti niiden viereisiin intervalleihin (toinen ja toiseksi viimeinen).

Tässä keskiarvon laskennassa sallitaan jonkin verran epätarkkuutta, koska oletetaan ominaisuuden yksiköiden tasaista jakautumista ryhmän sisällä. Kuitenkin mitä kapeampi väli ja mitä enemmän yksiköitä välissä on, sitä pienempi on virhe.

Kun välien keskipisteet on löydetty, lasketaan samalla tavalla kuin diskreetissä sarjassa - vaihtoehdot kerrotaan taajuuksilla (painoilla) ja tulojen summa jaetaan taajuuksien (painojen) summalla. , tuhatta ruplaa:

Niin, keskitaso JSC:n työntekijöiden palkka on 729 ruplaa. kuukaudessa.

Aritmeettisen keskiarvon laskeminen vaatii usein paljon aikaa ja työtä. Useissa tapauksissa keskiarvon laskentamenettelyä voidaan kuitenkin yksinkertaistaa ja helpottaa, jos käytät sen ominaisuuksia. Esitetään (ilman todistetta) joitain aritmeettisen keskiarvon perusominaisuuksia.

Kiinteistö 1. Jos kaikki ominaisuuden yksittäiset arvot (esim. kaikki vaihtoehdot) vähentää tai lisätä ikertaa, sitten keskiarvo uusi ominaisuus pienenee tai kasvaa vastaavasti ikerran.

Kiinteistö 2. Jos kaikki keskiarvoistettavan ominaisuuden variantit pienennetäänompele tai lisää numerolla A, niin aritmeettinen keskiarvo vastaaitse asiassa pienenee tai kasvaa samalla luvulla A.

Kiinteistö 3. Jos kaikkien keskiarvoisten vaihtoehtojen painoja vähennetään tai lisätä Vastaanottaja kertaa, niin aritmeettinen keskiarvo ei muutu.

Keskimääräisinä painoina voit käyttää absoluuttisten indikaattoreiden sijasta tiettyjä painoja kokonaissummassa (osuudet tai prosentit). Tämä yksinkertaistaa keskiarvon laskemista.

Keskiarvon laskennan yksinkertaistamiseksi ne seuraavat vaihtoehtojen ja taajuuksien arvojen pienentämistä. Suurin yksinkertaistus saavutetaan, kun as A yhden keskeisen vaihtoehdon arvo, jolla on korkein taajuus, valitaan / - intervallin arvoksi (sarjoille, joissa on yhtäläiset intervallit). Suurea A kutsutaan referenssipisteeksi, joten tätä keskiarvon laskentatapaa kutsutaan "menetelmäksi laskea ehdollisesta nollasta" tai "hetkien tavalla".

Oletetaan, että kaikki vaihtoehdot X laski ensin samalla luvulla A ja sitten laski i kerran. Saamme uuden variaatiosarjan uusien vaihtoehtojen jakautumisesta .

Sitten uusia vaihtoehtoja ilmaistaan:

ja niiden uusi aritmeettinen keskiarvo , -ensimmäisen tilauksen hetki-kaava:

Se on yhtä suuri kuin alkuperäisten optioiden keskiarvo, ensin vähennettynä A, ja sitten sisään i kerran.

Todellisen keskiarvon saamiseksi tarvitaan ensimmäisen kertaluvun momentti m 1 , Kerro i ja lisää V:

Tämä menetelmä kutsutaan aritmeettisen keskiarvon laskemista vaihtelusarjasta "hetkien tavalla". Tätä menetelmää käytetään riveissä yhtäläisin välein.

Aritmeettisen keskiarvon laskentaa momenttimenetelmällä havainnollistavat taulukon tiedot. 4.4

Taulukko 4.4

Alueen pienyritysten jakautuminen tuotantoomaisuuden (FPF) arvon mukaan vuonna 2000.

Yritysryhmät OPF-arvon mukaan, tuhat ruplaa.	Yritysten lukumäärä f	Intervallien keskipisteet x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Ensimmäisen tilaushetken löytäminen

Sitten ottamalla A = 19 ja tietäen sen i= 2, laske X, tuhatta ruplaa:

Keskiarvojen tyypit ja niiden laskentamenetelmät

Tilastollisen käsittelyn vaiheessa voidaan asettaa erilaisia tutkimusongelmia, joiden ratkaisemiseksi on tarpeen valita sopiva keskiarvo. Tässä tapauksessa on noudatettava seuraavaa sääntöä: keskiarvon osoittajaa ja nimittäjää edustavien suureiden on oltava loogisesti yhteydessä toisiinsa.

tehon keskiarvot;
rakenteelliset keskiarvot.

Otetaan käyttöön seuraavat sopimukset:

määrät, joille keskiarvo lasketaan;

Keskiarvo, jossa yllä oleva palkki osoittaa, että yksittäisten arvojen keskiarvo lasketaan;

Taajuus (yksittäisten ominaisarvojen toistettavuus).

Yleisestä tehon keskiarvokaavasta johdetaan erilaisia keskiarvoja:

(5.1)

kun k = 1 - aritmeettinen keskiarvo; k = -1 - harmoninen keskiarvo; k = 0 - geometrinen keskiarvo; k = -2 - neliökeskiarvo.

Keskiarvot voivat olla yksinkertaisia tai painotettuja. Painotetut keskiarvot Nämä ovat arvoja, joissa otetaan huomioon, että joillakin attribuuttiarvojen muunnelmilla voi olla erilaisia numeroita, ja siksi jokainen vaihtoehto on kerrottava tällä numerolla. Toisin sanoen "asteikot" ovat eri ryhmien aggregaattiyksiköiden lukumäärää, ts. Jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta f kutsutaan tilastollinen paino tai keskipaino.

Aritmeettinen keskiarvo- yleisin keskiarvotyyppi. Sitä käytetään, kun laskenta suoritetaan ryhmittämättömillä tilastotiedoilla, joista sinun on saatava keskimääräinen termi. Aritmeettinen keskiarvo on ominaisuuden keskiarvo, jonka saamisen jälkeen ominaisuuden kokonaistilavuus aggregaatissa pysyy muuttumattomana.

Aritmeettisen keskiarvon kaava ( yksinkertainen) on muotoinen

missä n on väestön koko.

Esimerkiksi yrityksen työntekijöiden keskipalkka lasketaan aritmeettisena keskiarvona:

Tässä ratkaisevia indikaattoreita ovat kunkin työntekijän palkka ja yrityksen työntekijöiden lukumäärä. Keskiarvoa laskettaessa palkkojen kokonaismäärä pysyi samana, mutta jakautui tasaisesti kaikkien työntekijöiden kesken. Sinun on esimerkiksi laskettava keskiarvo palkat 8 henkilöä työllistävän pienen yrityksen työntekijät:

Keskiarvoja laskettaessa keskiarvoistetun ominaisuuden yksittäiset arvot voidaan toistaa, joten keskiarvo lasketaan ryhmitellyillä tiedoilla. Tässä tapauksessa me puhumme käytöstä aritmeettinen keskiarvo painotettu, jolla on muoto

(5.3)

Joten meidän on laskettava osakeyhtiön osakkeiden keskihinta pörssikaupassa. Tiedetään, että kaupat toteutettiin 5 päivän sisällä (5 kauppaa), myyntikurssilla myytyjen osakkeiden määrä jakautui seuraavasti:

1-800 ak. - 1010 hieroa.

2 - 650 ak. - 990 hieroa.

3-700 ak. - 1015 hieroa.

4 - 550 ak. - 900 ruplaa.

5 - 850 ak. - 1150 hieroa.

Alkusuhde osakkeiden keskihinnan määrittämisessä on transaktioiden kokonaismäärän (TVA) suhde myytyjen osakkeiden määrään (KPA).

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso keskimääräinen merkitys.

Keskiverto(matematiikassa ja tilastoissa) lukujoukot - kaikkien lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Se on yksi yleisimmistä keskeisen suuntauksen mittareista.

Pythagoralaiset ehdottivat sitä (yhdessä geometrisen keskiarvon ja harmonisen keskiarvon kanssa).

Aritmeettisen keskiarvon erikoistapaukset ovat keskiarvo (yleinen populaatio) ja otoskeskiarvo (otos).

Johdanto

Merkitään tietojoukko X = (x 1 , x 2 , …, x n), näytteen keskiarvo ilmoitetaan yleensä vaakaviivalla muuttujan päällä (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), lausutaan " x viivalla").

Molemmat määrät lasketaan samalla tavalla:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Jos X on satunnaismuuttuja, sitten matemaattinen odotus X voidaan pitää aritmeettisena keskiarvona suuren toistuvissa mittauksissa X. Tämä on osoitus suurten lukujen laista. Siksi otoskeskiarvoa käytetään arvioimaan tuntematon odotusarvo.

Esimerkkejä

Kolmea numeroa varten sinun on lisättävä ne ja jaettava 3:lla:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

Neljälle numerolle sinun on lisättävä ne ja jaettava 4:llä:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Tai yksinkertaisempi 5+5=10, 10:2. Koska lisäsimme 2 numeroa, mikä tarkoittaa, kuinka monta numeroa lisäämme, jaamme niillä monella.

Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvasti jakautuneelle suurelle f (x) (\displaystyle f(x)), aritmeettinen keskiarvo välillä [ a ; b ] (\displaystyle ) määritetään määrätyn integraalin avulla:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Joitakin ongelmia keskiarvon käytössä

Vahvuuden puute

Pääartikkeli: Vahvuus tilastoissa

Klassinen esimerkki on keskitulojen laskeminen. Aritmeettinen keskiarvo voidaan tulkita väärin mediaaniksi, mikä voi johtaa johtopäätökseen, että korkeatuloisia on enemmän kuin todellisuudessa on. "Keskimääräisten" tulojen tulkitaan tarkoittavan, että useimpien ihmisten tulot ovat tämän luvun luokkaa. Tämä "keskimääräinen" (aritmeettisen keskiarvon mielessä) tulot ovat korkeammat kuin useimpien ihmisten tulot, koska korkea tulo ja suuri poikkeama keskiarvosta tekee aritmeettisesta keskiarvosta erittäin vinoa (sitä vastoin keskitulo mediaanilla "vastustaa" tällaista vinoutta). Tämä "keskimääräinen" tulo ei kuitenkaan kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä mediaanituloa (eikä kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä modaalituloa). Jos kuitenkin otat käsitteet "keskiarvo" ja "useimmat ihmiset" kevyesti, voit tehdä virheellisen johtopäätöksen, että useimpien ihmisten tulot ovat korkeammat kuin he todellisuudessa ovat. Esimerkiksi raportti Washingtonin Medinan "keskimääräisistä" nettotuloista laskettuna asukkaiden kaikkien vuosittaisten nettotulojen aritmeettisena keskiarvona antaisi yllättävän suuren luvun Bill Gatesin ansiosta. Tarkastellaan näytettä (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeettinen keskiarvo on 3,17, mutta viisi kuudesta arvosta on tämän keskiarvon alapuolella.

Korkoa korolle

Pääartikkeli: Sijoitetun pääoman tuotto

Jos numerot moninkertaistaa, mutta ei taita, sinun on käytettävä geometristä keskiarvoa, ei aritmeettista keskiarvoa. Useimmiten tämä tapaus sattuu laskettaessa rahoitussijoituksen tuottoa.

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Jos käytämme samalla tavalla 10 %:n aritmeettista keskiarvoa, emme saa todellista arvoa: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Ohjeet

Pääartikkeli: Kohdetilastot

Ensinnäkin kulmamitat määritetään vain alueelle 0° - 360° (tai 0 - 2π radiaaneina mitattuna). Joten sama lukupari voitaisiin kirjoittaa muodossa (1° ja −1°) tai (1° ja 719°). Kunkin parin keskiarvot ovat erilaiset: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ ympyrä )) .
Toiseksi, tässä tapauksessa arvo 0° (vastaa 360°) on geometrisesti parempi keskiarvo, koska luvut poikkeavat vähemmän 0°:sta kuin mistään muusta arvosta (arvolla 0° on pienin varianssi). Vertailla:
- luku 1° poikkeaa 0°:sta vain 1°;
- luku 1° poikkeaa lasketusta 180°:n keskiarvosta 179°.

Yllä olevalla kaavalla lasketun syklisen muuttujan keskiarvoa siirretään keinotekoisesti suhteessa todelliseen keskiarvoon kohti numeerisen alueen keskiarvoa. Tästä johtuen keskiarvo lasketaan eri tavalla, eli keskiarvoksi valitaan pienimmän varianssin omaava luku (keskipiste). Vähennyksen sijaan käytetään myös modulaarista etäisyyttä (eli kehän etäisyyttä). Esimerkiksi modulaarinen etäisyys 1° ja 359° välillä on 2°, ei 358° (ympyrällä 359° ja 360° välillä ==0° - yksi aste, välillä 0° ja 1° - myös 1°, yhteensä -2 °).

Keskiarvojen tyypit ja niiden laskentamenetelmät

tehon keskiarvot;
rakenteelliset keskiarvot.

Otetaan käyttöön seuraavat sopimukset:

määrät, joille keskiarvo lasketaan;

Keskiarvo, jossa yllä oleva palkki osoittaa, että yksittäisten arvojen keskiarvo lasketaan;

Taajuus (yksittäisten ominaisarvojen toistettavuus).

Yleisestä tehon keskiarvokaavasta johdetaan erilaisia keskiarvoja:

(5.1)

kun k = 1 - aritmeettinen keskiarvo; k = -1 - harmoninen keskiarvo; k = 0 - geometrinen keskiarvo; k = -2 - neliökeskiarvo.

Aritmeettisen keskiarvon kaava ( yksinkertainen) on muotoinen

missä n on väestön koko.

Esimerkiksi yrityksen työntekijöiden keskipalkka lasketaan aritmeettisena keskiarvona:

Tässä ratkaisevia indikaattoreita ovat kunkin työntekijän palkka ja yrityksen työntekijöiden lukumäärä. Keskiarvoa laskettaessa palkkojen kokonaismäärä pysyi samana, mutta jakautui tasaisesti kaikkien työntekijöiden kesken. Sinun on esimerkiksi laskettava työntekijöiden keskipalkka pienessä 8 henkilöä työllistävässä yrityksessä:

Keskiarvoja laskettaessa keskiarvoistetun ominaisuuden yksittäiset arvot voidaan toistaa, joten keskiarvo lasketaan ryhmitellyillä tiedoilla. Tässä tapauksessa puhumme käytöstä aritmeettinen keskiarvo painotettu, jolla on muoto

(5.3)

1-800 ak. - 1010 hieroa.

2 - 650 ak. - 990 hieroa.

3-700 ak. - 1015 hieroa.

4 - 550 ak. - 900 ruplaa.

5 - 850 ak. - 1150 hieroa.

Alkusuhde osakkeiden keskihinnan määrittämiseksi on transaktioiden kokonaismäärän (TVA) suhde myytyjen osakkeiden määrään (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850=3 634 500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

Tässä tapauksessa osakkeen keskihinta oli yhtä suuri

On tarpeen tuntea aritmeettisen keskiarvon ominaisuudet, mikä on erittäin tärkeää sekä sen käytön että laskennan kannalta. Voidaan erottaa kolme pääominaisuutta, jotka eniten määrittelivät aritmeettisen keskiarvon laajaa käyttöä tilastollisissa ja taloudellisissa laskelmissa.

Kiinteistö yksi (nolla): ominaisuuden yksittäisten arvojen positiivisten poikkeamien summa sen keskiarvosta on yhtä suuri kuin negatiivisten poikkeamien summa. Tämä on erittäin tärkeä ominaisuus, koska se osoittaa, että kaikki satunnaisista syistä johtuvat poikkeamat (sekä + että -) kumoutuvat vastavuoroisesti.

Todiste:

Kiinteistö kaksi (minimi): ominaisuuden yksittäisten arvojen neliöpoikkeamien summa aritmeettisesta keskiarvosta on pienempi kuin mistä tahansa muusta luvusta (a), ts. on vähimmäismäärä.

Todiste.

Kootaan muuttujan a neliöityjen poikkeamien summa:

(5.4)

Tämän funktion ääripään löytämiseksi on tarpeen rinnastaa sen derivaatta a:n suhteen nollaan:

Täältä saamme:

(5.5)

Näin ollen neliöpoikkeamien summan ääriarvo saavutetaan kohdassa . Tämä ääriarvo on minimi, koska funktiolla ei voi olla maksimiarvoa.

Kiinteistö kolme: vakioarvon aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin tämä vakio: a = const.

Näiden kolmen lisäksi tärkeimmät ominaisuudet aritmeettinen keskiarvo on ns suunnitteluominaisuudet, jotka ovat vähitellen menettämässä merkitystään elektronisen tietotekniikan käytön vuoksi:

jos kunkin yksikön attribuutin yksittäinen arvo kerrotaan tai jaetaan vakioluvulla, niin aritmeettinen keskiarvo kasvaa tai pienenee samalla määrällä;
aritmeettinen keskiarvo ei muutu, jos kunkin ominaisuuden arvon paino (taajuus) jaetaan vakioluvulla;
jos kunkin yksikön attribuutin yksittäisiä arvoja pienennetään tai lisätään samalla määrällä, aritmeettinen keskiarvo pienenee tai kasvaa samalla määrällä.

Harmoninen keskiarvo. Tätä keskiarvoa kutsutaan käänteiseksi aritmeettiseksi keskiarvoksi, koska tätä arvoa käytetään, kun k = -1.

Yksinkertainen harmoninen keskiarvo käytetään, kun attribuuttiarvojen painot ovat samat. Sen kaava voidaan johtaa peruskaavasta korvaamalla k = -1:

Meidän on esimerkiksi laskettava keskinopeus kaksi autoa, jotka kulkivat saman polun, mutta eri nopeuksilla: ensimmäinen nopeudella 100 km/h, toinen 90 km/h. Harmonisen keskiarvon menetelmällä lasketaan keskinopeus:

Tilastokäytännössä käytetään useammin harmonista painotettua, jonka kaavalla on muoto

Tätä kaavaa käytetään tapauksissa, joissa kunkin ominaisuuden painot (tai ilmiöiden määrät) eivät ole samat. Keskiarvon laskemisen aloitussuhteessa osoittaja tunnetaan, mutta nimittäjä ei tunneta.

Esimerkiksi keskihintaa laskettaessa on käytettävä myyntimäärän suhdetta myytyjen yksiköiden määrään. Emme tiedä myytyjen kappaleiden määrää (puhumme eri tuotteista), mutta tiedämme näiden eri tuotteiden myyntimäärät. Oletetaan, että sinun on selvitettävä myytyjen tavaroiden keskihinta:

Saamme

Geometrinen keskiarvo. Useimmiten geometrinen keskiarvo löytää sovelluksensa keskimääräisten kasvunopeuksien (keskimääräisten kasvukertoimien) määrittämisessä, kun ominaisuuden yksittäiset arvot esitetään suhteellisten arvojen muodossa. Sitä käytetään myös, jos on tarpeen löytää keskiarvo ominaisuuden minimi- ja maksimiarvojen välillä (esimerkiksi välillä 100 - 1000000). On olemassa kaavoja yksinkertaiselle ja painotetulle geometriselle keskiarvolle.

Yksinkertainen geometrinen keskiarvo

Painotetulle geometriselle keskiarvolle

Neliön keskiarvo. Sen pääasiallinen sovellusalue on mitata ominaisuuden vaihtelua aggregaatissa (keskiarvon laskeminen neliöpoikkeama).

Yksinkertainen keskineliön kaava

Painotettu keskineliön kaava

(5.11)

Tämän seurauksena voimme sanoa, että alkaen oikea valinta Keskiarvon tyyppi kussakin tapauksessa riippuu tilastollisten tutkimusongelmien onnistuneesta ratkaisusta. Keskiarvon valitseminen sisältää seuraavan järjestyksen:

a) väestöä koskevan yleisindikaattorin laatiminen;

b) määrien matemaattisen suhteen määrittäminen tietylle yleisindikaattorille;

c) yksittäisten arvojen korvaaminen keskiarvoilla;

d) keskiarvon laskeminen käyttämällä sopivaa yhtälöä.

Keskiarvot ja vaihtelut

keskiarvo- tämä on yleinen indikaattori, joka luonnehtii laadullisesti homogeenista populaatiota tietyn määrällisen ominaisuuden mukaan. Esimerkiksi varkauksista tuomittujen keski-ikä.

Oikeustilastoissa keskiarvoja käytetään kuvaamaan:

Keskimääräinen aika tämän luokan tapausten käsittelyyn;

Vaatimuksen keskimääräinen koko;

Syytettyjen keskimääräinen lukumäärä tapausta kohti;

Keskimääräinen vahinko;

Tuomareiden keskimääräinen työmäärä jne.

Keskiarvo on aina nimetty arvo ja sillä on sama ulottuvuus kuin populaation yksittäisen yksikön ominaisuus. Jokainen keskiarvo luonnehtii tutkittavaa populaatiota minkä tahansa muuttuvan ominaisuuden mukaan, joten jokaisen keskiarvon takana on sarja tämän populaation yksiköiden jakautumista tutkittavan ominaisuuden mukaan. Keskiarvon tyypin valinnan määrää indikaattorin sisältö ja keskiarvon laskemisen lähtötiedot.

Kaikki tilastotutkimuksessa käytetyt keskiarvot on jaettu kahteen luokkaan:

1) tehon keskiarvot;

2) rakenteelliset keskiarvot.

Ensimmäinen keskiarvoluokka sisältää: aritmeettinen keskiarvo, harmoninen keskiarvo, geometrinen keskiarvo Ja juuri tarkoittaa neliötä . Toinen luokka on muoti Ja mediaani. Lisäksi jokaisella luetelluista tehokeskiarvotyypeistä voi olla kaksi muotoa: yksinkertainen Ja painotettu . Yksinkertainen muoto Keskiarvoa käytetään tutkittavan ominaisuuden keskiarvon saamiseksi, kun laskenta suoritetaan ryhmittämättömillä tilastotiedoilla tai kun kukin vaihtoehto aggregaatissa esiintyy vain kerran. Painotetut keskiarvot ovat arvoja, joissa otetaan huomioon, että attribuuttiarvojen muunnelmilla voi olla eri numeroita, ja siksi jokainen variantti on kerrottava vastaavalla taajuudella. Toisin sanoen jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta kutsutaan tilastolliseksi painoksi.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo- yleisin keskiarvotyyppi. Se on yhtä kuin attribuutin yksittäisten arvojen summa jaettuna näiden arvojen kokonaismäärällä:

Missä x 1 ,x 2 , … ,x N ovat vaihtelevan ominaisuuden (muunnelmien) yksittäisiä arvoja ja N on yksiköiden lukumäärä populaatiossa.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo käytetään tapauksissa, joissa tiedot esitetään jakelusarjojen tai ryhmittelyn muodossa. Se lasketaan optioiden tulojen ja niitä vastaavien taajuuksien summana jaettuna kaikkien optioiden taajuuksien summalla:

Missä x i- merkitys i- ominaisuuden:nnet muunnelmat; f i– taajuus i-vaihtoehdot.

Siten jokainen varianttiarvo on painotettu sen taajuudella, minkä vuoksi taajuuksia kutsutaan joskus tilastollisiksi painoiksi.

Kommentti. Kun puhumme aritmeettisesta keskiarvosta ilmoittamatta sen tyyppiä, tarkoitamme yksinkertaista aritmeettista keskiarvoa.

Taulukko 12.

Ratkaisu. Laskemiseen käytämme painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavaa:

Näin ollen rikosasiassa on keskimäärin kaksi syytettyä.

Jos keskiarvo lasketaan käyttämällä dataa, joka on ryhmitelty intervallijakaumasarjojen muodossa, sinun on ensin määritettävä kunkin intervallin x"i keskiarvot ja laskettava sitten keskiarvo painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavan mukaan, johon on korvattu x" i x i:n sijaan.

Esimerkki. Varkaudesta tuomittujen rikollisten iät on esitetty taulukossa:

Taulukko 13.

Määritä varkauksista tuomittujen rikollisten keski-ikä.

Ratkaisu. Rikollisten keski-iän määrittämiseksi intervallivaihtelusarjan perusteella on ensin löydettävä välien keskiarvot. Koska meille annetaan intervallisarja avaa ensin ja viimeiset intervallit, sitten näiden välien arvot ovat yhtä suuret kuin vierekkäisten suljettujen välien arvot. Meidän tapauksessamme ensimmäisen ja viimeisen intervallin arvot ovat 10.

Nyt löydämme rikollisten keski-iän painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavan avulla:

Varkaudesta tuomittujen rikollisten keski-ikä on siis noin 27 vuotta.

Tarkoittaa harmonista yksinkertaista edustaa ominaisuuden käänteisarvojen aritmeettisen keskiarvon käänteistä:

missä 1/ x i ovat vaihtoehtojen käänteisiä arvoja ja N on yksiköiden lukumäärä populaatiossa.

Esimerkki. Käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräisen vuotuisen työmäärän määrittämiseksi rikosasioita käsiteltäessä tehtiin tutkimus tämän tuomioistuimen viiden tuomarin työmäärästä. Keskimääräinen yhden rikosasian käsittelyyn käytetty aika jokaiselle tutkitulle tuomarille osoittautui yhtä suureksi (päivissä): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Selvitä yhden rikosoikeuden keskimääräiset kustannukset. rikosasioita ja tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräistä vuotuista työmäärää rikosasioita käsiteltäessä.

Ratkaisu. Keskimääräisen yhden rikostapauksen käsittelyyn käytetyn ajan määrittämiseksi käytämme harmonista keskiarvokaavaa:

Laskelmien yksinkertaistamiseksi esimerkissä otamme vuoden päivien lukumääräksi 365, mukaan lukien viikonloput (tämä ei vaikuta laskentamenetelmään ja laskettaessa vastaavaa indikaattoria käytännössä, on välttämätöntä korvata työmäärä päivää tietyssä vuodessa 365 päivän sijaan). Tällöin tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräinen vuotuinen työmäärä rikosasioita käsiteltäessä on: 365 (päivää) : 5,56 ≈ 65,6 (asiat).

Jos käyttäisimme yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa määrittääksemme keskimääräisen rikosasian käsittelyyn käytetyn ajan, saisimme:

365 (päivää): 5,64 ≈ 64,7 (tapaukset), so. Tuomareiden keskimääräinen työmäärä osoittautui pienemmäksi.

Tarkastellaan tämän lähestymistavan oikeellisuutta. Tätä varten käytämme tietoja kunkin tuomarin yhden rikosasian käsittelyyn käytetystä ajasta ja laskemme kunkin heistä käsiteltävien rikosasioiden lukumäärän vuodessa.

Saamme sen mukaisesti:

365 (päivää): 6 ≈ 61 (tapaukset), 365 (päivää): 5,6 ≈ 65,2 (tapaukset), 365 (päivää): 6,3 ≈ 58 (tapaukset),

365 (päivää): 4,9 ≈ 74,5 (tapaukset), 365 (päivää): 5,4 ≈ 68 (tapaukset).

Lasketaan nyt tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräinen vuotuinen työmäärä rikosasioita käsiteltäessä:

Nuo. keskimääräinen vuosikuorma on sama kuin harmonista keskiarvoa käytettäessä.

Näin ollen aritmeettisen keskiarvon käyttö on tässä tapauksessa laitonta.

Tapauksissa, joissa ominaisuuden muunnelmat ja niiden tilavuusarvot (muunnelmien ja taajuuden tulo) tunnetaan, mutta itse taajuudet eivät ole tiedossa, käytetään painotettua harmonista keskiarvokaavaa:

Missä x i ovat attribuuttien arvot, ja w i ovat vaihtoehtojen tilavuusarvot ( w i = x i f i).

Esimerkki. Tiedot rangaistuslaitoksen eri laitosten tuottaman samantyyppisen tuotteen yksikön hinnasta ja sen myynnin määrästä on esitetty taulukossa 14.

Taulukko 14

Etsi tuotteen keskimääräinen myyntihinta.

Ratkaisu. Keskihintaa laskettaessa on käytettävä myyntimäärän suhdetta myytyjen kappaleiden määrään. Emme tiedä myytyjen yksiköiden määrää, mutta tiedämme tavaroiden myynnin määrän. Siksi myytyjen tavaroiden keskihinnan löytämiseksi käytämme painotetun harmonisen keskiarvon kaavaa. Saamme

Jos käytät aritmeettista keskiarvokaavaa tässä, voit saada keskihinnan, joka on epärealistinen:

Geometrinen keskiarvo lasketaan erottamalla N-asteen juuri attribuuttimuunnelmien kaikkien arvojen tulosta:

Missä x 1 ,x 2 , … ,x N– vaihtelevan ominaisuuden yksittäiset arvot (muunnelmat) ja

N– yksiköiden lukumäärä väestössä.

Tämän tyyppistä keskiarvoa käytetään aikasarjojen keskimääräisten kasvunopeuksien laskemiseen.

Keskimääräinen neliö käytetään laskemaan standardipoikkeama, joka on vaihtelun indikaattori, ja sitä käsitellään jäljempänä.

Väestön rakenteen määrittämiseen käytetään erityisiä keskimääräisiä indikaattoreita, jotka sisältävät mediaani Ja muoti , tai niin sanotut rakenteelliset keskiarvot. Jos aritmeettinen keskiarvo lasketaan kaikkien attribuuttiarvojen muunnelmien käytön perusteella, mediaani ja moodi kuvaavat sen muunnelman arvoa, joka on tietyllä keskimääräisellä sijalla järjestetyssä (järjestetyssä) sarjassa. Tilastollisen perusjoukon yksiköt voidaan järjestää tutkittavan ominaisuuden muunnelmien nousevaan tai laskevaan järjestykseen.

Mediaani (minä)– tämä on arvo, joka vastaa sijoitussarjan keskellä olevaa vaihtoehtoa. Mediaani on siis se versio ranking-sarjasta, jonka molemmilla puolilla tässä sarjassa pitäisi olla yhtä suuri määrä väestön yksiköitä.

Mediaanin löytämiseksi sinun on ensin määritettävä se sarjanumero järjestetyssä sarjassa kaavan mukaan:

missä N on sarjan tilavuus (yksiköiden lukumäärä perusjoukossa).

Jos sarja koostuu parittomasta määrästä termejä, mediaani on yhtä suuri kuin optio, jonka numero on N Me. Jos sarja koostuu parillisesta määrästä termejä, niin mediaani määritellään kahden keskellä olevan vierekkäisen vaihtoehdon aritmeettiseksi keskiarvoksi.

Esimerkki. Annettu rankattu sarja 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Sarjan tilavuus on N = 9, mikä tarkoittaa N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Siksi Me = 6, eli . viides vaihtoehto. Jos riville annetaan 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, ts. sarja, jossa on parillinen määrä termejä (N = 8), sitten N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Tämä tarkoittaa, että mediaani on puolet neljännen ja viidennen vaihtoehdon summasta, ts. Minä = (9 + 11) / 2 = 10.

Diskreetissä variaatiosarjassa mediaani määräytyy kumuloituneiden taajuuksien mukaan. Option taajuudet ensimmäisestä alkaen summataan, kunnes mediaaniluku ylittyy. Viimeisten summattujen optioiden arvo on mediaani.

Esimerkki. Selvitä syytettyjen mediaanimäärä rikostapausta kohti käyttämällä taulukon 12 tietoja.

Ratkaisu. Tässä tapauksessa vaihtelusarjan tilavuus on N = 154, joten N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Kun ensimmäisen ja toisen vaihtoehdon taajuudet on laskettu yhteen, saadaan: 75 + 43 = 118, ts. olemme ylittäneet mediaaniluvun. Joten minä = 2.

Intervallivaihtelusarjassa jakauma osoittaa ensin intervallin, jossa mediaani sijoittuu. Häntä kutsutaan mediaani . Tämä on ensimmäinen intervalli, jonka kertynyt taajuus ylittää puolet intervallivaihtelusarjan tilavuudesta. Sitten numeerinen arvo Mediaani määritetään kaavalla:

Missä x Minä– mediaanivälin alaraja; i – mediaanivälin arvo; S Me-1– mediaania edeltävän aikavälin kumulatiivinen taajuus; f Minä– mediaanivälin taajuus.

Esimerkki. Selvitä varkaudesta tuomittujen rikoksentekijöiden mediaani-ikä taulukon 13 tilastojen perusteella.

Ratkaisu. Tilastotiedot esitetään intervallivaihtelusarjana, mikä tarkoittaa, että määritetään ensin mediaaniväli. Perusjoukon tilavuus on N = 162, joten mediaaniväli on väli 18-28, koska tämä on ensimmäinen intervalli, jonka kumuloitu taajuus (15 + 90 = 105) ylittää puolet intervallivaihtelusarjan tilavuudesta (162: 2 = 81). Nyt määritämme mediaanin numeerisen arvon käyttämällä yllä olevaa kaavaa:

Näin ollen varkaudesta tuomituista puolet on alle 25-vuotiaita.

Muoti (mo) He kutsuvat ominaisuuden arvoa, joka löytyy useimmiten väestön yksiköistä. Muotia käytetään määrittämään yleisimmän ominaisuuden arvo. Erillisissä sarjoissa tila on vaihtoehto, jolla on korkein taajuus. Esimerkiksi taulukossa 3 esitetyille erillisille sarjoille Mo= 1, koska tämä arvo vastaa suurinta taajuutta - 75. Määrittääksesi intervallisarjan tilan, määritä ensin modaalinen intervalli (väli, jolla on korkein taajuus). Sitten tämän aikavälin sisällä löydetään ominaisuuden arvo, joka voi olla tila.

Sen arvo saadaan kaavalla:

Missä x Mo– modaalivälin alaraja; i – modaalivälin arvo; f Mo– modaalivälin taajuus; f Mo-1– modaalia edeltävän aikavälin taajuus; f Mo+1– modaalin jälkeisen intervallin taajuus.

Esimerkki. Selvitä varkaudesta tuomittujen rikollisten ikä, jonka tiedot on esitetty taulukossa 13.

Ratkaisu. Korkein taajuus vastaa väliä 18-28, joten tilan tulisi olla tällä välillä. Sen arvo määritetään yllä olevalla kaavalla:

Näin ollen eniten varkaudesta tuomittuja rikollisia on 24-vuotiaita.

Keskiarvo antaa yleisen ominaisuuden tutkittavan ilmiön kokonaisuudesta. Kaksi populaatiota, joilla on samat keskiarvot, voivat kuitenkin poiketa toisistaan merkittävästi tutkittavan ominaisuuden arvon vaihteluasteella (variaatiolla). Esimerkiksi yhdessä tuomioistuimessa tuomittiin seuraavat vankeusrangaistukset: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 vuotta ja toisessa - 5, 5, 6, 6, 7, 7. , 7, 8, 8, 8 vuotta vanha. Molemmissa tapauksissa aritmeettinen keskiarvo on 6,7 vuotta. Nämä populaatiot eroavat kuitenkin merkittävästi toisistaan määrätyn vankeusajan yksittäisten arvojen leviämisen suhteen keskiarvoon.

Ja ensimmäisessä tuomioistuimessa, jossa tämä hajautus on melko suuri, keskimääräinen vankeusaika ei heijasta koko väestöä. Siten, jos ominaisuuden yksittäiset arvot eroavat vähän toisistaan, aritmeettinen keskiarvo on melko suuntaa-antava ominaisuus tietyn populaation ominaisuuksille. Muuten aritmeettinen keskiarvo on tämän populaation epäluotettava ominaisuus ja sen käyttö käytännössä on tehotonta. Siksi on tarpeen ottaa huomioon tutkittavan ominaisuuden arvojen vaihtelu.

Variaatio- Nämä ovat eroja minkä tahansa ominaisuuden arvoissa tietyn populaation eri yksiköiden välillä samalla ajanjaksolla tai ajankohtana. Sana "variaatio" on latinaa - variatio, joka tarkoittaa eroa, muutosta, vaihtelua. Se syntyy siitä, että ominaisuuden yksittäiset arvot muodostuvat eri tekijöiden (olosuhteiden) yhteisvaikutuksen alaisena, jotka yhdistetään eri tavalla kussakin yksittäisessä tapauksessa. Ominaisuuden vaihtelun mittaamiseen käytetään erilaisia absoluuttisia ja suhteellisia indikaattoreita.

Tärkeimmät vaihtelun indikaattorit ovat seuraavat:

1) vaihtelun laajuus;

2) keskimääräinen lineaarinen poikkeama;

3) dispersio;

4) keskihajonta;

5) variaatiokerroin.

Katsotaanpa lyhyesti jokaista niistä.

Vaihtelualue R on laskennan helppouden kannalta helpoin absoluuttinen indikaattori, joka määritellään ominaisuuden suurimman ja pienimmän arvojen välisenä erona tietyn populaation yksiköille:

Vaihteluväli (vaihteluväli) on tärkeä indikaattori piirteen vaihtelevuudesta, mutta sen avulla voidaan nähdä vain äärimmäisiä poikkeamia, mikä rajoittaa sen soveltamisaluetta. Ominaisuuden vaihtelun kuvaamiseksi tarkemmin sen vaihtelevuuden perusteella käytetään muita indikaattoreita.

Keskimääräinen lineaarinen poikkeama edustaa ominaisuuden yksittäisten arvojen keskiarvosta poikkeamien absoluuttisten arvojen aritmeettista keskiarvoa ja se määritetään kaavoilla:

1) varten ryhmittämättömät tiedot

2) varten variaatiosarja

Yleisimmin käytetty vaihtelumittari on kuitenkin dispersio . Se luonnehtii tutkittavan ominaisuuden arvojen hajaantumismittaa suhteessa sen keskiarvoon. Dispersio määritellään poikkeamien keskiarvona neliöitynä.

Yksinkertainen varianssi ryhmittämättömille tiedoille:

Varianssipainotettu variaatiosarjalle:

Kommentti. Käytännössä varianssin laskemiseen on parempi käyttää seuraavia kaavoja:

Yksinkertaiselle varianssille

Painotetulle varianssille

Standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri:

Keskihajonta on keskiarvon luotettavuuden mitta. Mitä pienempi keskihajonta, sitä homogeenisempi perusjoukko ja sitä paremmin aritmeettinen keskiarvo heijastaa koko populaatiota.

Edellä käsitellyt sirontamitat (vaihtelun vaihteluväli, hajonta, keskihajonta) ovat absoluuttisia indikaattoreita, joilla ei aina ole mahdollista arvioida ominaisuuden vaihteluastetta. Joissakin ongelmissa on tarpeen käyttää suhteellisia sirontaindeksejä, joista yksi on variaatiokerroin.

Variaatiokerroin– keskihajonnan suhde aritmeettiseen keskiarvoon ilmaistuna prosentteina:

Variaatiokerrointa ei käytetä vain vertaileva arviointi erilaisten ominaisuuksien vaihtelut tai sama ominaisuus eri populaatioissa, mutta myös populaation homogeenisuuden karakterisoimiseksi. Tilastojoukko katsotaan kvantitatiivisesti homogeeniseksi, jos variaatiokerroin ei ylitä 33 % (lähellä normaalijakaumaa).

Esimerkki. Rangaistuslaitoksen vankeuslaitoksessa tuomioistuimen määräämää rangaistusta suorittamaan toimitettujen 50 tuomitun vankeusehdoista on saatavilla seuraavat tiedot: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Muodosta sarja jakaumia vankeusrangaistusten mukaan.

2. Laske keskiarvo, varianssi ja keskihajonna.

3. Laske variaatiokerroin ja tee johtopäätös tutkittavan populaation homogeenisuudesta tai heterogeenisyydestä.

Ratkaisu. Diskreetin jakaumasarjan muodostamiseksi on tarpeen määrittää vaihtoehdot ja taajuudet. Vaihtoehtona tässä ongelmassa on vankeusrangaistus ja toistuvuus yksittäisten vaihtoehtojen lukumääränä. Kun taajuudet on laskettu, saadaan seuraavat diskreetit jakaumasarjat:

Etsitään keskiarvo ja varianssi. Koska tilastotiedot esitetään diskreetillä variaatiosarjalla, käytämme niiden laskemiseen painotetun aritmeettisen keskiarvon ja dispersion kaavoja. Saamme:

= = 4,1;

= 5,21.

Nyt laskemme keskihajonnan:

Variaatiokertoimen löytäminen:

Näin ollen tilastollinen perusjoukko on kvantitatiivisesti heterogeeninen.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo

Keskiarvot

Keskiarvoja käytetään laajasti tilastoissa.

keskiarvo- tämä on yleinen indikaattori, jossa ilmaistaan tutkittavan ilmiön yleisten olosuhteiden ja kehitysmallien vaikutukset.

Tilastolliset keskiarvot lasketaan asianmukaisesti tilastollisesti organisoidun havainnon (jatkuva ja valikoiva) massatietojen perusteella. Tilastollinen keskiarvo on kuitenkin objektiivinen ja tyypillinen, jos se lasketaan laadullisesti homogeenisen populaation massatiedoista (massailmiöt). Jos esimerkiksi lasketaan osakeyhtiöiden ja valtionyhtiöiden keskipalkka ja laajennetaan tulos koko väestöön, niin keskiarvo on fiktiivinen, koska se lasketaan heterogeeniselle väestölle ja tällainen keskiarvo menettää kaiken merkitys.

Keskiarvon avulla tasoitetaan yksittäisissä havaintoyksiköissä syystä tai toisesta syntyneet ominaisuuden arvon erot.

Esimerkiksi yksittäisen myyjän keskimääräinen tuotos riippuu monista syistä: pätevyydestä, palvelusajasta, iästä, palvelumuodosta, terveydestä jne. Keskimääräinen tuotanto heijastaa Yleiset luonteenpiirteet koko setti.

Keskiarvo mitataan samoissa yksiköissä kuin itse attribuutti.

Jokainen keskiarvo luonnehtii tutkittavaa populaatiota minkä tahansa ominaisuuden mukaan. Täydellisen ja kattavan kuvan saamiseksi tutkittavasta väestöstä useiden olennaisten ominaisuuksien perusteella tarvitaan keskiarvojen järjestelmä, joka pystyy kuvaamaan ilmiötä eri näkökulmista.

Olla olemassa erilaisia keskipitkä:

aritmeettinen keskiarvo;

harmoninen keskiarvo;

geometrinen keskiarvo;

keskimääräinen neliö;

keskimääräinen kuutio.

Kaikkien edellä mainittujen tyyppien keskiarvot puolestaan jaetaan yksinkertaisiin (painottamattomiin) ja painotettuihin.

Katsotaanpa tilastoissa käytettyjen keskiarvojen tyyppejä.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo (painottamaton) on yhtä suuri kuin attribuutin yksittäisten arvojen summa jaettuna näiden arvojen lukumäärällä.

Ominaisuuden yksittäisiä arvoja kutsutaan varianteiksi ja niitä merkitään x i (
); populaatioyksiköiden lukumäärää merkitään n:llä, ominaisuuden keskiarvoa merkitään . Siksi aritmeettinen yksinkertainen keskiarvo on yhtä suuri kuin:

tai

Esimerkki 1. pöytä 1

Tiedot työntekijän tuotannosta tuotteen A työvuoroa kohden

Tässä esimerkissä muuttujan attribuutti on tuotteiden tuotanto vuoroa kohden.

Attribuutin numeerisia arvoja (16, 17 jne.) kutsutaan vaihtoehdoiksi. Määritetään tämän ryhmän työntekijöiden keskimääräinen tuotanto:

PC.

Yksinkertaista aritmeettista keskiarvoa käytetään tapauksissa, joissa ominaisuudella on erilliset arvot, ts. tietoja ei ole ryhmitelty. Jos tiedot esitetään jakaumasarjoina tai ryhmittelyinä, keskiarvo lasketaan eri tavalla.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo

Aritmeettinen painotettu keskiarvo on yhtä kuin attribuutin (muunnelman) kunkin yksittäisen arvon tulojen summa vastaavalla taajuudella jaettuna kaikkien taajuuksien summalla.

Ominaisuuden identtisten arvojen lukumäärää jakautumisriveillä kutsutaan taajuudeksi tai painoksi ja sitä merkitään f i:llä.

Tämän mukaisesti painotettu aritmeettinen keskiarvo näyttää tältä:

tai

Kaavasta käy selvästi ilmi, että keskiarvo ei riipu vain attribuutin arvoista, vaan myös niiden taajuuksista, ts. aggregaatin koostumuksesta, sen rakenteesta.

Esimerkki 2. taulukko 2

Työntekijöiden palkkatiedot

Diskreettien jakaumasarjojen tietojen mukaan on selvää, että samat ominaisarvot (variantit) toistuvat useita kertoja. Näin ollen vaihtoehto x 1 esiintyy yhteensä 2 kertaa ja vaihtoehto x 2 - 6 kertaa jne.

Lasketaan yhden työntekijän keskipalkka:

Kunkin työntekijäryhmän palkkarahasto on yhtä suuri kuin vaihtoehtojen ja taajuuden tulo (
), ja näiden tuotteiden summa antaa kaikkien työntekijöiden kokonaispalkkarahaston (
).

Jos laskenta suoritettaisiin käyttämällä yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa, keskiansiot olisi 3000 ruplaa. (). Verrattaessa saatua tulosta lähtötietoihin on selvää, että keskipalkan tulisi olla huomattavasti korkeampi (yli puolet työntekijöistä saa yli 3 000 ruplaa). Siksi yksinkertaisella aritmeettisella keskiarvolla laskeminen tällaisissa tapauksissa on virheellinen.

Käsittelyn tuloksena tilastollinen aineisto voidaan esittää diskreettien jakaumasarjojen lisäksi myös suljetuilla tai avoimilla intervalleilla varustettuina intervallivaihtelusarjoina.

Harkitsemme tällaisten sarjojen aritmeettisen keskiarvon laskemista.

Keskiarvo on:

Keskiarvo

Keskiarvo - numeerinen ominaisuus numeroiden tai funktioiden joukot; - tietty luku niiden pienimmän ja suurimman arvojen välillä.

1 Perustiedot
2 Matematiikan keskiarvojen hierarkia
3 Todennäköisyysteoriassa ja tilastoissa
4 Katso myös
5 Huomautuksia

Perustiedot

Keskiarvoteorian kehittämisen lähtökohtana oli Pythagoraan koulukunnan mittasuhteiden tutkimus. Samalla ei tehty tiukkaa eroa keskimääräisen koon ja suhteellisuuden käsitteiden välillä. Merkittävän sysäyksen mittasuhteiden teorian kehitykselle aritmeettisesta näkökulmasta antoivat kreikkalaiset matemaatikot - Nikomachus Gerasista (1. vuosisadan loppu - 2. vuosisadan alku) ja Aleksandrian Pappus (3. vuosisadalla jKr.). Ensimmäinen vaihe keskiarvon käsitteen kehityksessä on vaihe, jolloin keskiarvoa alettiin pitää jatkuvan osuuden keskeisenä jäsenenä. Mutta keskiarvon käsite progression keskeisenä arvona ei mahdollista keskiarvon käsitteen johtamista suhteessa n:n termin sarjaan riippumatta siitä, missä järjestyksessä ne seuraavat toisiaan. Tätä tarkoitusta varten on turvauduttava keskiarvojen muodolliseen yleistykseen. Seuraava vaihe on siirtyminen jatkuvista mittasuhteista progressioihin - aritmeettiseen, geometriseen ja harmoniseen.

Ensimmäistä kertaa tilastohistoriassa keskiarvojen laaja käyttö yhdistetään englantilaisen tiedemiehen W. Pettyn nimeen. W. Petty oli yksi ensimmäisistä, joka yritti antaa keskiarvon tilastollinen merkitys yhdistämällä sen taloudellisiin luokkiin. Mutta Petty ei kuvaillut keskimääräisen koon käsitettä tai eristänyt sitä. A. Quetelet pidetään keskiarvojen teorian perustajana. Hän oli yksi ensimmäisistä, joka kehitti johdonmukaisesti keskiarvojen teoriaa yrittäen tarjota sille matemaattisen perustan. A. Quetelet erotti kaksi keskiarvotyyppiä - todelliset keskiarvot ja aritmeettiset keskiarvot. Itse asiassa keskiarvo edustaa asiaa, numeroa, joka todella on olemassa. Itse asiassa keskiarvot tai tilastolliset keskiarvot pitäisi johtaa samanlaatuisista ilmiöistä, jotka ovat identtisiä niiden sisäisessä merkityksessä. Aritmeettiset keskiarvot ovat lukuja, jotka antavat lähimmän mahdollisen käsityksen monista luvuista, jotka ovat erilaisia, vaikkakin homogeenisia.

Jokainen keskiarvotyyppi voi esiintyä joko yksinkertaisen tai painotetun keskiarvon muodossa. Keskimuodon oikea valinta seuraa tutkimuskohteen aineellisuudesta. Yksinkertaisia keskiarvokaavoja käytetään, jos keskiarvoistettavan ominaisuuden yksittäisiä arvoja ei toisteta. Kun käytännön tutkimuksessa tutkittavan ominaisuuden yksittäiset arvot esiintyvät useita kertoja tutkittavan populaation yksiköissä, niin ominaisuuden yksittäisten arvojen toistotiheys on läsnä tehokeskiarvojen laskentakaavoissa. Tässä tapauksessa niitä kutsutaan painotetun keskiarvon kaavoiksi.

Wikimedia Foundation. 2010.

Aihe 5. Keskiarvot tilastollisina indikaattoreina

Keskiarvon käsite. Keskiarvojen laajuus tilastotutkimuksessa

Keskiarvoja käytetään saatujen perustilastotietojen käsittely- ja yhteenvetovaiheessa. Keskiarvojen määrittämisen tarve johtuu siitä, että pääsääntöisesti saman ominaisuuden yksittäiset arvot tutkittavien populaatioiden eri yksiköille eivät ole samoja.

Keskikoko kutsutaan indikaattoriksi, joka luonnehtii jonkin ominaisuuden tai ominaisuusryhmän yleistä arvoa tutkittavassa populaatiossa.

Jos tutkitaan populaatiota, jolla on laadullisesti homogeeniset ominaisuudet, niin keskiarvo toimii tässä tyypillinen keskiarvo. Esimerkiksi tietyn toimialan työntekijäryhmille, joilla on kiinteä tulotaso, määritetään tyypilliset perustarpeiden keskimääräiset menot, ts. tyypillinen keskiarvo yleistää määritteen laadullisesti homogeeniset arvot tietyssä populaatiossa, mikä on osuus tämän ryhmän työntekijöiden keskuudessa välttämättömistä tavaroista.

Laadullisesti heterogeenisten ominaisuuksien populaatiota tutkittaessa keskimääräisten indikaattoreiden epätyypillisyys voi nousta esiin. Nämä ovat esimerkiksi tuotetun kansantulon keskimääräisiä indikaattoreita asukasta kohti (erilaisia ikäryhmät), keskimääräiset viljasadot kaikkialla Venäjällä (eri ilmastovyöhykkeiden alueet ja erilaiset viljakasvit), maan kaikkien alueiden keskimääräinen syntyvyys, tietyn ajanjakson keskilämpötilat jne. Tässä keskiarvot yleistävät ominaisuuksien tai systeemisten spatiaalisten aggregaattien (kansainvälinen yhteisö, maanosa, osavaltio, alue, alue jne.) tai dynaamisten aggregaattien kvalitatiivisesti heterogeeniset arvot ajan myötä (vuosisata, vuosikymmen, vuosi, kausi jne.). ) . Tällaisia keskiarvoja kutsutaan järjestelmän keskiarvot.

Keskiarvojen merkitys on siis niiden yleistävässä funktiossa. Keskiarvo korvaa suuren joukon attribuutin yksittäisiä arvoja paljastaen yhteisiä ominaisuuksia, jotka ovat luontaisia kaikille väestöyksiköille. Tämä puolestaan antaa meille mahdollisuuden välttää satunnaisia syitä ja tunnistaa yleisistä syistä johtuvia yleisiä malleja.

Keskiarvojen tyypit ja niiden laskentamenetelmät

tehon keskiarvot;

rakenteelliset keskiarvot.

Otetaan käyttöön seuraavat sopimukset:

määrät, joille keskiarvo lasketaan;

Keskiarvo, jossa yllä oleva palkki osoittaa, että yksittäisten arvojen keskiarvo lasketaan;

Taajuus (yksittäisten ominaisarvojen toistettavuus).

Yleisestä tehon keskiarvokaavasta johdetaan erilaisia keskiarvoja:

(5.1)

kun k = 1 - aritmeettinen keskiarvo; k = -1 - harmoninen keskiarvo; k = 0 - geometrinen keskiarvo; k = -2 - neliökeskiarvo.

Keskiarvot voivat olla yksinkertaisia tai painotettuja. Painotetut keskiarvot Nämä ovat arvoja, joissa otetaan huomioon, että joillakin attribuuttiarvojen muunnelmilla voi olla erilaisia numeroita, ja siksi jokainen vaihtoehto on kerrottava tällä numerolla. Toisin sanoen "asteikot" ovat eri ryhmien aggregaattiyksiköiden lukumäärää, ts. Jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta f kutsutaan tilastollinen paino tai keskipaino.

Aritmeettinen keskiarvo- yleisin keskiarvotyyppi. Sitä käytetään, kun laskenta suoritetaan ryhmittämättömillä tilastotiedoilla, joista sinun on saatava keskimääräinen termi. Aritmeettinen keskiarvo on ominaisuuden keskiarvo, jonka saamisen jälkeen ominaisuuden kokonaistilavuus aggregaatissa pysyy muuttumattomana.

Aritmeettisen keskiarvon kaavalla (yksinkertainen) on muoto

missä n on väestön koko.

Esimerkiksi yrityksen työntekijöiden keskipalkka lasketaan aritmeettisena keskiarvona:

Tässä ratkaisevia indikaattoreita ovat kunkin työntekijän palkka ja yrityksen työntekijöiden lukumäärä. Keskiarvoa laskettaessa palkkojen kokonaismäärä pysyi samana, mutta jakautui tasaisesti kaikkien työntekijöiden kesken. Sinun on esimerkiksi laskettava työntekijöiden keskipalkka pienessä 8 henkilöä työllistävässä yrityksessä:

(5.3)

1-800 ak. - 1010 hieroa.

2 - 650 ak. - 990 hieroa.

3-700 ak. - 1015 hieroa.

4 - 550 ak. - 900 ruplaa.

5 - 850 ak. - 1150 hieroa.

Alkusuhde osakkeiden keskihinnan määrittämiseksi on transaktioiden kokonaismäärän (TVA) suhde myytyjen osakkeiden määrään (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850=3 634 500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

Tässä tapauksessa osakkeen keskihinta oli yhtä suuri

Ominaisuus yksi (nolla): ominaisuuden yksittäisten arvojen positiivisten poikkeamien summa sen keskiarvosta on yhtä suuri kuin negatiivisten poikkeamien summa. Tämä on erittäin tärkeä ominaisuus, koska se osoittaa, että kaikki satunnaisista syistä johtuvat poikkeamat (sekä + että -) kumoutuvat vastavuoroisesti.

Todiste:

Ominaisuus kaksi (minimi): ominaisuuden yksittäisten arvojen neliöpoikkeamien summa aritmeettisesta keskiarvosta on pienempi kuin mistään muusta luvusta (a), ts. on vähimmäismäärä.

Todiste.

Kootaan muuttujan a neliöityjen poikkeamien summa:

(5.4)

Tämän funktion ääripään löytämiseksi on tarpeen rinnastaa sen derivaatta a:n suhteen nollaan:

Täältä saamme:

(5.5)

Näin ollen neliöpoikkeamien summan ääriarvo saavutetaan kohdassa . Tämä ääriarvo on minimi, koska funktiolla ei voi olla maksimiarvoa.

Ominaisuus kolme: vakioarvon aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin tämä vakio: a = const.

Näiden kolmen aritmeettisen keskiarvon tärkeimmän ominaisuuden lisäksi on olemassa ns suunnitteluominaisuudet, jotka ovat vähitellen menettämässä merkitystään elektronisen tietotekniikan käytön vuoksi:

jos kunkin yksikön attribuutin yksittäinen arvo kerrotaan tai jaetaan vakioluvulla, niin aritmeettinen keskiarvo kasvaa tai pienenee samalla määrällä;

aritmeettinen keskiarvo ei muutu, jos kunkin ominaisuuden arvon paino (taajuus) jaetaan vakioluvulla;

jos kunkin yksikön attribuutin yksittäisiä arvoja pienennetään tai lisätään samalla määrällä, aritmeettinen keskiarvo pienenee tai kasvaa samalla määrällä.

Harmoninen keskiarvo. Tätä keskiarvoa kutsutaan käänteiseksi aritmeettiseksi keskiarvoksi, koska tätä arvoa käytetään, kun k = -1.

Yksinkertainen harmoninen keskiarvo käytetään, kun attribuuttiarvojen painot ovat samat. Sen kaava voidaan johtaa peruskaavasta korvaamalla k = -1:

Meidän on esimerkiksi laskettava kahden auton keskinopeus, jotka kulkivat saman polun, mutta eri nopeuksilla: ensimmäinen nopeudella 100 km/h, toinen 90 km/h. Harmonisen keskiarvon menetelmällä lasketaan keskinopeus:

Tilastokäytännössä käytetään useammin harmonista painotettua, jonka kaavalla on muoto

Jokainen nykymaailman ihminen, joka suunnittelee lainan ottamista tai vihannesten varastointia talveksi, kohtaa ajoittain käsitteen "keskiarvo". Selvitetään: mikä se on, mitä tyyppejä ja luokkia on olemassa ja miksi sitä käytetään tilastoissa ja muilla tieteenaloilla.

Keskiarvo - mikä se on?

Samankaltainen nimi (SV) on homogeenisten ilmiöiden joukon yleinen ominaisuus, jonka määrittää mikä tahansa yksi kvantitatiivisen muuttujan ominaisuus.

Kuitenkin ihmiset, jotka ovat kaukana tällaisista järjettömistä määritelmistä, ymmärtävät tämän käsitteen keskimääräisenä summana jotain. Esimerkiksi ennen lainan ottamista pankin työntekijä ehdottomasti pyytää potentiaaliselta asiakkaalta tietoja vuoden keskituloista, eli henkilön ansaitseman kokonaissumman. Se lasketaan summaamalla koko vuoden ansiot ja jakamalla kuukausien määrällä. Näin pankki voi määrittää, pystyykö sen asiakas maksamaan velan ajallaan.

Miksi sitä käytetään?

Yleensä keskiarvoja käytetään laajalti antamaan yhteenveto tietyistä massaluonteisista sosiaalisista ilmiöistä. Niitä voidaan käyttää myös pienemmän mittakaavan laskelmiin, kuten yllä olevassa esimerkissä lainan tapauksessa.

Useimmiten keskiarvoja käytetään kuitenkin edelleen globaaleihin tarkoituksiin. Esimerkkinä niistä on kansalaisten yhden kalenterikuukauden aikana kuluttaman sähkön määrän laskeminen. Saatujen tietojen perusteella vahvistetaan myöhemmin enimmäisstandardit valtion etuja saaville väestöryhmille.

Keskiarvojen avulla kehitetään myös tiettyjen kodinkoneiden, autojen, rakennusten jne. takuun kestoa.. Tällä tavalla kerätyn tiedon perusteella ne on aikoinaan kehitetty. nykyaikaiset standardit työtä ja lepoa.

Käytännössä mikä tahansa ilmiö moderni elämä, joka on luonteeltaan massa, liittyy tavalla tai toisella väistämättä tarkasteltavana olevaan käsitteeseen.

Käyttöalueet

Tätä ilmiötä käytetään laajalti lähes kaikissa eksakteissa tieteissä, erityisesti kokeellisissa tieteissä.

Keskiarvon löytäminen on erittäin tärkeää lääketieteessä, tekniikassa, ruoanlaitossa, taloudessa, politiikassa jne.

Tällaisista yleistyksistä saatujen tietojen perusteella ne kehittyvät lääkevalmisteet, oppimisohjelmia, asettaa vähimmäispalkkoja ja -palkkoja, rakentaa koulutusaikatauluja, valmistaa huonekaluja, vaatteita ja kenkiä, hygieniatuotteita ja paljon muuta.

Matematiikassa tätä termiä kutsutaan "keskiarvoksi" ja sitä käytetään ratkaisemaan erilaisia esimerkkejä ja ongelmia. Yksinkertaisimmat ovat yhteen- ja vähennyslasku tavallisilla murtoluvuilla. Loppujen lopuksi, kuten tiedät, tällaisten esimerkkien ratkaisemiseksi on tarpeen tuoda molemmat murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

Myös eksaktien tieteiden kuningattaressa käytetään usein termiä "satunnaismuuttujan keskiarvo", joka on merkitykseltään samanlainen. Se on useimmille tutumpi "matemaattisena odotuksena", jota useammin pidetään todennäköisyysteoriassa. On syytä huomata, että samanlainen ilmiö pätee myös tilastolaskelmia suoritettaessa.

Keskimääräinen arvo tilastoissa

Tutkittavaa käsitettä käytetään kuitenkin useimmiten tilastoissa. Kuten tiedetään, tämä tiede itse on erikoistunut joukkoyhteiskunnallisten ilmiöiden kvantitatiivisten ominaisuuksien laskemiseen ja analysointiin. Siksi tilastojen keskiarvoa käytetään erikoistuneena menetelmänä sen päätavoitteiden - tiedon keräämisen ja analysoinnin - saavuttamiseksi.

Tämän tilastollisen menetelmän ydin on korvata tarkasteltavan ominaisuuden yksittäiset ainutlaatuiset arvot tietyllä tasapainotetulla keskiarvolla.

Esimerkki on kuuluisa ruokavitsi. Joten tietyllä tehtaalla tiistaisin lounaaksi sen pomot syövät yleensä lihavuokaa ja tavalliset työntekijät syövät haudutettua kaalia. Näiden tietojen perusteella voimme päätellä, että tehtaan henkilökunta ruokailee keskimäärin tiistaisin kaalikääreillä.

Vaikka tämä esimerkki on hieman liioiteltu, se havainnollistaa keskiarvon etsintämenetelmän pääasiallista haittaa - esineiden tai persoonallisuuksien yksilöllisten ominaisuuksien tasoittamista.

Keskiarvoissa niitä ei käytetä pelkästään kerätyn tiedon analysointiin, vaan myös jatkotoimenpiteiden suunnitteluun ja ennakointiin.

Sitä käytetään myös saavutettujen tulosten arvioimiseen (esimerkiksi kevät-kesäkauden vehnän viljely- ja sadonkorjuusuunnitelman toteuttaminen).

Kuinka laskea oikein

Vaikka SV:n tyypistä riippuen sen laskemiseen on erilaisia kaavoja, yleisessä tilastoteoriassa käytetään yleensä vain yhtä menetelmää ominaisuuden keskiarvon laskemiseksi. Tätä varten sinun on ensin laskettava yhteen kaikkien ilmiöiden arvot ja jaettava sitten saatu summa niiden lukumäärällä.

Tällaisia laskelmia tehdessä on syytä muistaa, että keskiarvolla on aina sama ulottuvuus (tai yksiköt) kuin populaation yksittäisellä yksiköllä.

Oikean laskennan edellytykset

Yllä käsitelty kaava on hyvin yksinkertainen ja universaali, joten sen kanssa on lähes mahdotonta tehdä virhettä. Aina kannattaa kuitenkin ottaa huomioon kaksi näkökohtaa, muuten saadut tiedot eivät kuvasta todellista tilannetta.

SV luokat

Kun olet löytänyt vastaukset peruskysymyksiin: "Mikä on keskiarvo?", "Missä sitä käytetään?" ja "Kuinka voit laskea sen?", kannattaa selvittää, mitä luokkia ja tyyppejä SV: t on olemassa.

Ensinnäkin tämä ilmiö on jaettu 2 luokkaan. Nämä ovat rakenteellisia ja tehokeskiarvoja.

Teho-SV-tyypit

Jokainen yllä olevista luokista puolestaan jaetaan tyyppeihin. Rauhoittavassa luokassa on neljä.

Aritmeettinen keskiarvo on yleisin SV-tyyppi. Se on keskimääräinen termi, jonka määrittämisessä tarkasteltavan ominaisuuden kokonaismäärä tietojoukossa jakautuu tasaisesti tämän joukon kaikkien yksiköiden kesken.
Tämä tyyppi on jaettu alatyyppeihin: yksinkertainen ja painotettu aritmeettinen SV.
Harmoninen keskiarvo on indikaattori, joka on yksinkertaisen aritmeettisen keskiarvon käänteisarvo, joka lasketaan tarkasteltavan ominaisuuden käänteisarvoista.
Sitä käytetään tapauksissa, joissa attribuutin ja tuotteen yksittäiset arvot ovat tiedossa, mutta taajuustiedot eivät.
Geometristä keskiarvoa käytetään useimmiten taloudellisten ilmiöiden kasvuvauhtia analysoitaessa. Sen avulla voidaan säilyttää muuttumattomana tietyn määrän yksittäisten arvojen tulo, ei summa.
Se voi olla myös yksinkertainen ja tasapainoinen.
Keskineliöarvoa käytetään laskettaessa yksittäisiä indikaattoreita, kuten variaatiokerrointa, luonnehdittaessa tuotetuotannon rytmiä jne.
Sitä käytetään myös putkien, pyörien, neliön keskimääräisten sivujen ja vastaavien lukujen laskemiseen.
Kuten kaikki muutkin keskiarvot, neliökeskiarvo voi olla yksinkertainen ja painotettu.

Rakenteellisten suureiden tyypit

Keskimääräisten SV:iden lisäksi tilastoissa käytetään usein rakennetyyppejä. Ne sopivat paremmin vaihtelevan ominaisuuden ja arvojen suhteellisten ominaisuuksien laskemiseen sisäinen rakenne jakelurivit.

Tällaisia tyyppejä on kaksi.

Yhteenvedon ja ryhmittelyn tulosten analysointia ja tilastollisten johtopäätösten tekemistä varten lasketaan yleistävät indikaattorit - keskiarvot ja suhteelliset arvot.

Keskiarvojen ongelma – karakterisoi kaikki tilastollisen perusjoukon yksiköt yhdellä ominaisarvolla.

Keskiarvot kuvaavat laatuindikaattoreita yritystoimintaa: jakelukustannukset, voitto, kannattavuus jne.

keskiarvo- tämä on populaation yksiköiden yleistävä ominaisuus jonkin vaihtelevan ominaisuuden mukaan.

Keskiarvojen avulla voit verrata saman ominaisuuden tasoja eri populaatioissa ja löytää syyt näihin eroihin.

Tutkittavien ilmiöiden analysoinnissa keskiarvojen rooli on valtava. Englantilainen taloustieteilijä W. Petty (1623-1687) käytti laajasti keskiarvoja. V. Petty halusi käyttää keskiarvoja yhden työntekijän keskimääräisen päivittäisen ruoan kulukustannusten mittana. Keskiarvon stabiilisuus heijastaa tutkittavien prosessien säännöllisyyttä. Hän uskoi, että tietoa voidaan muuttaa, vaikka alkuperäistä tietoa ei olisi tarpeeksi.

Englantilainen tiedemies G. King (1648-1712) käytti keskimääräisiä ja suhteellisia arvoja analysoidessaan tietoja Englannin väestöstä.

Belgialaisen tilastotieteilijän A. Quetelet'n (1796-1874) teoreettinen kehitys perustuu yhteiskunnallisten ilmiöiden ristiriitaisuuteen - massat ovat erittäin vakaita, mutta puhtaasti yksilöllisiä.

A. Quetelet'n mukaan pysyviä syitä vaikuttaa jokaiseen tutkittavaan ilmiöön tasavertaisesti ja tehdä näistä ilmiöistä samankaltaisia luoden niille kaikille yhteisiä malleja.

Seurauksena A. Queteletin opetuksista oli keskiarvojen tunnistaminen tilastollisen analyysin päätekniikaksi. Hän sanoi, että tilastolliset keskiarvot eivät edusta objektiivisen todellisuuden luokkaa.

A. Quetelet ilmaisi näkemyksensä keskiarvosta keskimääräisen ihmisen teoriassaan. Keskivertoihminen on henkilö, jolla on kaikki keskikokoiset ominaisuudet (keskimääräinen kuolleisuus tai syntyvyys, keskipituus ja -paino, keskimääräinen juoksunopeus, keskimääräinen taipumus avioliittoon ja itsemurhaan, hyviin tekoihin jne.). A. Queteletille tavallinen ihminen on ihanteellinen henkilö. A. Queteletin keskimääräisen ihmisen teorian epäjohdonmukaisuus todistettiin venäläisessä tilastokirjallisuudessa 1800- ja 1900-luvun lopulla.

Kuuluisa venäläinen tilastotieteilijä Yu. E. Yanson (1835-1893) kirjoitti, että A. Quetelet olettaa keskivertoihmisten olemassaolon luonnossa joksikin annetuksi, josta elämä on poikennut tietyn yhteiskunnan ja tietyn ajan keskimääräiset ihmiset. , ja tämä johtaa hänet täysin mekaaniseen näkemykseen ja liikelakeihin sosiaalinen elämä: liike on ihmisen keskimääräisten ominaisuuksien asteittaista kasvua, tyypin asteittaista palautumista; näin ollen sellainen sosiaalisen kehon elämän kaikkien ilmentymien tasoittuminen, jonka jälkeen kaikki eteenpäin suuntautuvat liikkeet lakkaavat.

Tämän teorian olemus kehittyi edelleen useiden tilastoteoreetikkojen töissä todellisten määrien teoriana. A. Queteletillä oli seuraajia - saksalainen taloustieteilijä ja tilastotieteilijä V. Lexis (1837-1914), joka siirsi todellisten arvojen teorian taloudellisiin ilmiöihin julkinen elämä. Hänen teoriansa tunnetaan vakausteoriana. Toinen versio idealistisesta keskiarvoteoriasta perustuu filosofiaan

Sen perustaja on englantilainen tilastotieteilijä A. Bowley (1869–1957) - yksi viime aikojen merkittävimmistä teoreetikoista keskiarvojen teorian alalla. Hänen käsityksensä keskiarvoista on hahmoteltu hänen kirjassaan Elements of Statistics.

A. Boley ottaa keskiarvot huomioon vain määrälliseltä puolelta ja erottaa siten määrän laadusta. Määrittäessään keskiarvojen (tai "niiden funktion") merkityksen A. Boley esittää machilaisen ajattelun periaatteen. A. Boley kirjoitti, että keskiarvojen funktion tulisi ilmaista monimutkainen ryhmä

muutaman avulla alkuluvut. Tilastotietoja tulee yksinkertaistaa, ryhmitellä ja pelkistää keskiarvoiksi Nämä näkemykset: R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892) jne.

30-luvulla XX vuosisadalla ja sitä seuraavina vuosina keskiarvoa pidetään sosiaalisena merkittävä ominaisuus, jonka tietosisältö riippuu tietojen homogeenisuudesta.

Italian koulukunnan huomattavimmat edustajat R. Benini (1862-1956) ja C. Gini (1884-1965), jotka pitivät tilastoa logiikan haarana, laajensivat tilastollisen induktion soveltamisalaa, mutta yhdistivät kognitiivisen logiikan ja tilaston periaatteet tutkittavien ilmiöiden luonteen kanssa tilaston sosiologisen tulkinnan perinteitä noudattaen.

K. Marxin ja V. I. Leninin teoksissa keskiarvoille annetaan erityinen rooli.

K. Marx väitti, että keskiarvossa yksittäiset poikkeamat yleisestä tasosta sammuvat ja keskitasosta tulee massailmiön yleinen ominaisuus.Keskiarvosta tulee sellainen massailmiön ominaisuus vain, jos otetaan huomattava määrä yksiköitä ja nämä yksiköt ovat laadullisesti homogeenisia. Marx kirjoitti, että löydetyn keskiarvon pitäisi olla "monen samanlaisen yksittäisen arvon keskiarvo".

Keskiarvo saa erityisen merkityksen olosuhteissa markkinatalous. Se auttaa määrittämään kuvion tarpeellisen ja yleisen taipumuksen taloudellinen kehitys suoraan yksikön ja satunnaisen kautta.

Keskiarvot ovat yleistäviä indikaattoreita, joissa ilmaistaan yleisten olosuhteiden toiminta ja tutkittavan ilmiön malli.

Tilastolliset keskiarvot lasketaan tilastollisesti oikein järjestetyn massahavainnon massatietojen perusteella. Jos tilastollinen keskiarvo lasketaan massatiedoista laadullisesti homogeeniselle populaatiolle (massailmiöille), se on objektiivinen.

Keskiarvo on abstrakti, koska se kuvaa abstraktin yksikön arvoa.

Keskiarvo on otettu yksittäisten esineiden ominaisuuden monimuotoisuudesta. Abstraktio on askel tieteellinen tutkimus. Keskiarvossa toteutuu yksilön ja yleisen dialektinen yhtenäisyys.

Keskiarvoja tulee soveltaa yksilön ja yleisen, yksilön ja massan luokkien dialektisen ymmärtämisen perusteella.

Keskimmäinen näyttää jotain yhteistä, joka sisältyy tiettyyn yksittäiseen objektiin.

Keskiarvolla on suuri merkitys massayhteiskunnallisten prosessien kuvioiden tunnistamiseksi.

Yksilön poikkeaminen yleisestä on ilmentymä kehitysprosessista.

Keskiarvo kuvastaa tutkittavien ilmiöiden ominaista, tyypillistä, todellista tasoa. Keskiarvojen tehtävänä on karakterisoida näitä tasoja ja niiden muutoksia ajassa ja tilassa.

Keskiarvo on yleinen arvo, koska se muodostuu normaalissa, luonnollisessa, yleiset ehdot tietyn massailmiön olemassaolo kokonaisuutena tarkasteltuna.

Tilastollisen prosessin tai ilmiön objektiivinen ominaisuus heijastuu keskiarvona.

Tutkittavan tilastollisen attribuutin yksittäiset arvot ovat erilaisia jokaiselle populaatioyksikölle. Yhden tyypin yksittäisten arvojen keskiarvo on välttämättömyyden tulos, joka on seurausta kaikkien väestöyksiköiden yhteistoiminnasta, joka ilmenee toistuvien onnettomuuksien massana.

Joillakin yksittäisillä ilmiöillä on ominaisuuksia, joita esiintyy kaikissa ilmiöissä, mutta eri määrinä - tämä on henkilön pituus tai ikä. Yksittäisen ilmiön muut merkit ovat eri ilmiöissä laadullisesti erilaisia, toisin sanoen niitä esiintyy joissakin ja toisissa ei havaita (miehestä ei tule naista). Keskiarvo lasketaan laadullisesti homogeenisille ja vain kvantitatiivisesti erilaisille ominaisuuksille, jotka ovat ominaisia kaikille tietyn joukon ilmiöille.

Keskiarvo heijastaa tutkittavan ominaisuuden arvoja ja mitataan samassa ulottuvuudessa kuin tämä ominaisuus.

Dialektisen materialismin teoria opettaa, että kaikki maailmassa muuttuu ja kehittyy. Ja myös ominaisuudet, joille on ominaista keskiarvot, muuttuvat ja vastaavasti itse keskiarvot.

Elämässä on jatkuva prosessi uuden luomiseksi. Uuden laadun kantajia ovat yksittäiset esineet, sitten näiden kohteiden määrä kasvaa ja uudesta tulee tyypillistä massaa.

Keskiarvo luonnehtii tutkittavaa populaatiota vain yhden ominaisuuden perusteella. Tutkittavan väestön täydellisen ja kattavan esityksen saamiseksi useiden erityispiirteiden mukaan on oltava keskiarvojen järjestelmä, joka voi kuvata ilmiötä eri näkökulmista.

2. Keskiarvojen tyypit

SISÄÄN tilastollinen käsittely materiaalista, on olemassa erilaisia ongelmia, jotka on ratkaistava, ja siksi tilastokäytännössä käytetään erilaisia keskiarvoja. Matemaattisissa tilastoissa käytetään erilaisia keskiarvoja, kuten: aritmeettinen keskiarvo; geometrinen keskiarvo; harmoninen keskiarvo; keskimääräinen neliö.

Yhden edellä mainitun keskiarvon soveltamiseksi on tarpeen analysoida tutkittava populaatio, määrittää tutkittavan ilmiön aineellinen sisältö, kaikki tämä tehdään tulosten mielekkyyden periaatteesta tehtyjen johtopäätösten perusteella, kun punnitsemalla tai summaamalla.

Keskiarvojen tutkimuksessa käytetään seuraavia indikaattoreita ja merkintöjä.

Merkkiä, jolla keskiarvo löydetään, kutsutaan keskiarvoinen ominaisuus ja on merkitty x:llä; kutsutaan keskiarvoistetun ominaisuuden arvoa mille tahansa tilastollisen perusjoukon yksikölle sen yksilöllinen merkitys, tai vaihtoehtoja, ja merkitty nimellä x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; taajuus on kirjaimella merkittyjen ominaisuuden yksittäisten arvojen toistettavuus f.

Aritmeettinen keskiarvo

Yksi yleisimmistä mediatyypeistä on aritmeettinen keskiarvo, joka lasketaan, kun keskimääräisen ominaisuuden tilavuus muodostuu sen arvojen summana tutkittavan tilastollisen perusjoukon yksittäisinä yksiköinä.

Aritmeettisen keskiarvon laskemiseksi attribuutin kaikkien tasojen summa jaetaan niiden lukumäärällä.

Jos jotkin vaihtoehdot esiintyvät useita kertoja, niin attribuutin tasojen summa saadaan kertomalla kukin taso vastaavalla perusjoukon yksikkömäärällä ja lisäämällä sitten tuloksena saadut tulot; tällä tavalla laskettua aritmeettista keskiarvoa kutsutaan painotetuksi. aritmeettinen keskiarvo.

Painotetun aritmeettisen keskiarvon kaava on seuraava:

missä olen vaihtoehtoja,

f i – taajuudet tai painot.

Painotettua keskiarvoa tulee käyttää kaikissa tapauksissa, joissa optioilla on eri numerot.

Aritmeettinen keskiarvo ikään kuin jakaa tasaisesti yksittäisten objektien kesken attribuutin kokonaisarvon, joka todellisuudessa vaihtelee kunkin kohteen välillä.

Keskiarvojen laskenta suoritetaan käyttämällä välijakaumasarjojen muodossa ryhmiteltyjä tietoja, kun ominaisuuden muunnelmat, joista keskiarvo lasketaan, esitetään intervalleina (alkaen - ja).

Aritmeettiset ominaisuudet tarkoittavat:

1) vaihtelevien arvojen summan aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin aritmeettisten keskiarvojen summa: Jos x i = y i +z i, niin

Tämä ominaisuus näyttää, missä tapauksissa on mahdollista laskea yhteen keskiarvot.

2) algebrallinen summa vaihtelevan ominaisuuden yksittäisten arvojen poikkeamat keskiarvosta ovat nolla, koska yhden suunnan poikkeamien summa kompensoidaan toisessa suunnassa olevien poikkeamien summalla:

Tämä sääntö osoittaa, että keskiarvo on resultantti.

3) jos kaikki sarjan optiot kasvatetaan tai vähennetään samalla numerolla?, kasvaako tai laskeeko keskiarvo samalla numerolla?:

4) jos sarjan kaikkia muunnelmia suurennetaan tai vähennetään A-kertaisesti, niin myös keskiarvo kasvaa tai pienenee A-kertaisesti:

5) keskiarvon viides ominaisuus osoittaa, että se ei riipu asteikkojen koosta, vaan riippuu niiden välisestä suhteesta. Ei vain suhteellisia, vaan myös absoluuttisia arvoja voidaan ottaa asteikoina.

Jos sarjan kaikki taajuudet jaetaan tai kerrotaan samalla luvulla d, keskiarvo ei muutu.

Harmoninen keskiarvo. Aritmeettisen keskiarvon määrittämiseksi tarvitaan useita vaihtoehtoja ja taajuuksia, eli arvoja X Ja f.

Oletetaan, että ominaisuuden yksittäiset arvot tunnetaan X ja toimii X/, ja taajuudet f ovat tuntemattomia, niin keskiarvon laskemiseksi merkitsemme tuotetta = X/; missä:

Keskiarvoa tässä muodossa kutsutaan harmoniseksi painotetuksi keskiarvoksi ja sitä merkitään x haittaa. ylös

Näin ollen harmoninen keskiarvo on identtinen aritmeettisen keskiarvon kanssa. Sitä sovelletaan, kun todellisia painoja ei tiedetä f, ja työ on tiedossa fx = z

Kun toimii fx identtiset tai yhtä suuret yksiköt (m = 1), käytetään harmonista yksinkertaista keskiarvoa, joka lasketaan kaavalla:

Missä X– erilliset vaihtoehdot;

n- numero.

Geometrinen keskiarvo

Jos kasvukertoimia on n, niin keskimääräisen kertoimen kaava on:

Tämä on geometrisen keskiarvon kaava.

Geometrinen keskiarvo on yhtä suuri kuin tehon juuri n kunkin seuraavan jakson arvon ja edellisen arvon suhdetta luonnehtivien kasvukertoimien tulosta.

Jos neliöfunktioina ilmaistut arvot lasketaan keskiarvoon, käytetään keskineliötä. Esimerkiksi neliön keskiarvon avulla voit määrittää putkien, pyörien jne. halkaisijat.

Neliön keskiarvo määritetään uuttamalla neliöjuuri attribuutin yksittäisten arvojen neliösumman jakamisesta niiden lukumäärällä.

Painotettu keskineliö on yhtä suuri kuin:

3. Rakenteelliset keskiarvot. Mode ja mediaani

Tilastojoukon rakenteen karakterisoimiseksi käytetään indikaattoreita, joita kutsutaan ns rakenteelliset keskiarvot. Näitä ovat tila ja mediaani.

Muoti (M O ) - yleisin vaihtoehto. Muoti on attribuutin arvo, joka vastaa teoreettisen jakautumiskäyrän maksimipistettä.

Muoti edustaa useimmin esiintyvää tai tyypillisintä merkitystä.

Muotia käytetään kaupallisessa käytännössä kuluttajakysynnän ja hintojen ennätysten tutkimiseen.

Diskreetissä sarjassa tila on vaihtoehto, jolla on korkein taajuus. Intervallivaihtelusarjassa moodin katsotaan olevan intervallin keskeinen muunnelma, jolla on korkein taajuus (erityisyys).

Väliltä sinun on löydettävä sen attribuutin arvo, joka on tila.

Missä X O– modaalivälin alaraja;

h– modaalivälin arvo;

f m– modaalivälin taajuus;

f t-1 – modaalia edeltävän intervallin taajuus;

f m+1 – modaalin jälkeisen intervallin taajuus.

Tila riippuu ryhmien koosta ja ryhmien rajojen tarkasta sijainnista.

Muoti– luku, joka todella esiintyy useimmin (on varma arvo), jolla on käytännössä laajin käyttökohde (yleisin ostajatyyppi).

Mediaani (M e on suure, joka jakaa järjestetyn variaatiosarjan lukumäärän kahteen yhtä suureen osaan: toisessa osassa on vaihtelevan ominaisuuden arvot, jotka ovat pienempiä kuin keskimääräinen muunnelma, ja toisessa suurempia arvoja.

Mediaani on elementti, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin ja samalla pienempi tai yhtä suuri kuin puolet jakaumasarjan muista alkioista.

Mediaanin ominaisuus on, että attribuuttiarvojen absoluuttisten poikkeamien summa mediaanista on pienempi kuin mistään muusta arvosta.

Mediaania käyttämällä voit saada tarkempia tuloksia kuin käyttämällä muita keskiarvoja.

Mediaanin löytämisjärjestys intervallivaihtelusarjassa on seuraava: järjestämme ominaisuuden yksittäiset arvot järjestyksen mukaan; määritämme kertyneet taajuudet tietylle paremmuusjärjestetylle sarjalle; Kertyneen taajuusdatan avulla löydämme mediaanivälin:

Missä x minä– mediaanivälin alaraja;

i Minä– mediaanivälin arvo;

f/2– sarjan taajuuksien puolisumma;

S Minä-1 – mediaaniväliä edeltävien kumuloituneiden taajuuksien summa;

f Minä– mediaanivälin taajuus.

Mediaani jakaa sarjan luvun puoliksi, joten siinä kertynyt taajuus on puolet tai enemmän kuin puolet taajuuksien kokonaissummasta ja edellinen (kertynyt) taajuus on alle puolet populaation lukumäärästä.

Mikä on keskiarvo? Kuinka laskea keskiarvo

Johdanto

Esimerkkejä

Jatkuva satunnaismuuttuja

Joitakin ongelmia keskiarvon käytössä

Vahvuuden puute

Korkoa korolle

Ohjeet

4.3. Keskiarvot. Keskiarvojen olemus ja merkitys

4.4 Keskiarvotyypit ja niiden laskentamenetelmät

Aritmeettinen keskiarvo

Keskiarvojen tyypit ja niiden laskentamenetelmät

Johdanto

Esimerkkejä

Jatkuva satunnaismuuttuja

Joitakin ongelmia keskiarvon käytössä

Vahvuuden puute

Korkoa korolle

Ohjeet

Keskiarvojen tyypit ja niiden laskentamenetelmät

Keskiarvot ja vaihtelut

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo

Työntekijöiden palkkatiedot

Keskiarvo on:

Perustiedot

Keskiarvo - mikä se on?

Miksi sitä käytetään?

Käyttöalueet

Keskimääräinen arvo tilastoissa

Kuinka laskea oikein

Oikean laskennan edellytykset

SV luokat

Teho-SV-tyypit

Rakenteellisten suureiden tyypit

Kirjoittamisen alkuperä ja kehitys - abstrakti

Säveltäjä Raymond Pauls: elämäkerta, henkilökohtainen elämä, luovuus Raymond Pauls - elämäkerta