Lause.

Alkulukuja on äärettömän monta.

Todiste.

Oletetaan, että ei ole. Eli oletetaan, että alkulukuja on vain n, ja nämä alkuluvut ovat p 1 , p 2 , …, p n . Osoitetaan, että voimme aina löytää ilmoitetuista poikkeavan alkuluvun.

Tarkastellaan lukua p, joka on yhtä suuri kuin p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . On selvää, että tämä luku eroaa kustakin alkuluvusta p 1 , p 2 , …, p n . Jos luku p on alkuluku, niin lause on todistettu. Jos tämä luku on yhdistelmä, niin edellisen lauseen perusteella tällä luvulla on alkujakaja (merkitkäämme sitä p n+1 ). Osoitetaan, että tämä jakaja ei ole sama kuin yhdenkään luvuista p 1 , p 2 , …, p n .

Jos näin ei olisi, niin tulo p 1 ·p 2 ·…·p n olisi jaollinen p n+1 :llä. Mutta luku p on myös jaollinen p n+1:llä, joka on yhtä suuri kuin summa p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Tämä tarkoittaa, että tämän summan toisen termin, joka on yhtä suuri, on oltava jaollinen p n+1:llä, mikä on mahdotonta.

Siten on todistettu, että aina voidaan löytää uusi alkuluku, joka ei sisälly minkään etukäteen annettujen alkulukujen joukkoon. Siksi alkulukuja on äärettömän monta.

Joten koska alkulukuja on äärettömän monta, alkulukutaulukoita koottaessa ne rajoittuvat aina ylhäältä johonkin numeroon, yleensä 100, 1000, 10000 jne.

Eratosthenesin seula

Nyt käsittelemme tapoja laatia alkulukutaulukoita. Oletetaan, että meidän on tehtävä taulukko alkuluvuista 100 asti.

Ilmeisin menetelmä tämän ongelman ratkaisemiseksi on tarkistaa peräkkäin positiiviset kokonaisluvut, alkaen 2:sta ja päättyen 100:aan, onko olemassa positiivinen jakaja, joka on suurempi kuin 1 ja pienempi kuin tarkistettava luku (jaollisuuden ominaisuuksien perusteella tiedä, että jakajan itseisarvo ei ylitä osingon absoluuttista arvoa, joka eroaa nollasta). Jos tällaista jakajaa ei löydy, tarkistettava luku on alkuluku ja se syötetään alkulukutaulukkoon. Jos tällainen jakaja löytyy, niin tarkastettava luku on yhdistelmä, sitä EI syötetä alkulukutaulukkoon. Sen jälkeen siirrytään seuraavaan numeroon, joka samalla tavalla tarkistetaan jakajan olemassaolon varalta.

Kuvataan muutama ensimmäinen vaihe.

Aloitamme numerosta 2. Numerolla 2 ei ole muita positiivisia jakajia kuin 1 ja 2. Siksi se on alkuluku, joten syötämme sen alkulukutaulukkoon. Tässä on sanottava, että 2 on pienin alkuluku. Siirrytään numeroon 3. Sen mahdollinen positiivinen jakaja muu kuin 1 ja 3 on 2 . Mutta 3 ei ole jaollinen kahdella, joten 3 on alkuluku, ja se on myös syötettävä alkulukutaulukkoon. Siirrytään numeroon 4. Sen muut positiiviset jakajat kuin 1 ja 4 voivat olla 2 ja 3 , tarkistetaan ne. Luku 4 on jaollinen kahdella, joten 4 on yhdistelmäluku, eikä sitä tarvitse syöttää alkulukutaulukkoon. Huomaa, että 4 on pienin yhdistelmäluku. Siirrytään numeroon 5. Tarkistamme, onko vähintään yksi luvuista 2 , 3 , 4 sen jakaja. Koska 5 ei ole jaollinen 2:lla, 3:lla tai 4:llä, se on alkuluku, ja se on kirjoitettava alkulukutaulukkoon. Sitten tapahtuu siirtyminen numeroihin 6, 7 ja niin edelleen sataan asti.

Tämä lähestymistapa alkulukutaulukon laatimiseen on kaukana ihanteellisesta. Tavalla tai toisella hänellä on oikeus olla olemassa. Huomaa, että tällä kokonaislukutaulukon muodostamismenetelmällä voit käyttää jakoehtoja, mikä nopeuttaa hieman jakajien löytämistä.

On olemassa kätevämpi tapa koota alkulukutaulukko nimeltä . Nimessä oleva sana "seula" ei ole sattumaa, koska tämän menetelmän toimet auttavat ikään kuin "seulomaan" Eratosthenes-kokonaislukujen, suurten yksiköiden seulan läpi, jotta yksinkertaiset voidaan erottaa yhdistelmäluvuista.

Näytetään Eratosthenesin seula toiminnassa, kun laaditaan taulukko alkuluvuista 50 asti.

Ensin kirjoitetaan numerot 2, 3, 4, ..., 50 järjestyksessä.

Ensimmäinen numero 2 on alkuluku. Nyt luvusta 2 siirrytään peräkkäin oikealle kahdella numerolla ja yliviivataan nämä luvut, kunnes pääsemme kootun numerotaulukon loppuun. Joten kaikki luvut, jotka ovat kahden kerrannaisia, yliviivataan.

Ensimmäinen yliviivaamaton luku 2:n jälkeen on 3 . Tämä luku on alkuluku. Nyt, numerosta 3, siirrymme peräkkäin oikealle kolmella numerolla (ottaen huomioon jo yliviivatut numerot) ja ylitämme ne. Joten kaikki luvut, jotka ovat kolmen kerrannaisia, yliviivataan.

Ensimmäinen yliviivaamaton luku 3:n jälkeen on 5 . Tämä luku on alkuluku. Nyt, numerosta 5, siirrymme peräkkäin oikealle 5 numerolla (otamme huomioon myös aiemmin yliviivatut numerot) ja ylitämme ne. Joten kaikki luvut, jotka ovat viiden kerrannaisia, yliviivataan.

Seuraavaksi yliviivataan luvut, jotka ovat 7:n kerrannaisia, sitten 11:n kerrannaisia ​​ja niin edelleen. Prosessi päättyy, kun yliviivattavia numeroita ei ole jäljellä. Alla on täydellinen taulukko alkuarvoista 50:een asti, jotka on saatu Eratosthenes-seulalla. Kaikki yliviivaamattomat luvut ovat alkulukuja ja kaikki yliviivatut luvut ovat yhdistelmälukuja.

Muodostetaan ja todistetaan lause, joka nopeuttaa alkulukutaulukon laatimista Eratosthenesin seulalla.

Lause.

Yhdistelmäluvun a vähiten positiivinen ei-yksi jakaja ei ylitä , jossa on a .

Todiste.

Merkitsemme kirjaimella b yhdysluvun a pienintä jakajaa, joka eroaa yksiköstä (luku b on alkuluku, mikä seuraa edellisen kappaleen alussa todistetusta lauseesta). Sitten on sellainen kokonaisluku q, että a=b q (tässä q on positiivinen kokonaisluku, mikä seuraa kokonaislukujen kertomissäännöistä) ja (kun b>q, ehtoa, että b on a:n pienin jakaja, rikotaan, koska q on myös a:n jakaja yhtälöstä a=q b ). Kertomalla molemmat puolet epätasa-arvo positiivisella ja suurempi kuin yksi kokonaisluku b (saamme tehdä tämän), saamme , Mistä ja .

Mitä todistettu lause antaa meille Eratosthenesin seulasta?

Ensinnäkin alkuluvun b kerrannaisina olevien yhdistelmälukujen poistamisen tulisi alkaa luvulla, joka on yhtä suuri (tämä seuraa epäyhtälöstä ). Esimerkiksi kahden kerrannaisina olevien lukujen yliviivauksen tulisi alkaa numerolla 4, kolmen kerrannaiset - numerolla 9, viiden kerrannaiset - numerolla 25 ja niin edelleen.

Toiseksi alkulukutaulukon laatimista lukuon n asti Eratosthenesin seulaa käyttämällä voidaan pitää valmiina, kun kaikki yhdistelmäluvut, jotka ovat enintään alkulukujen kerrannaisia, on yliviivattu. Esimerkissämme n=50 (koska taulukoimme alkulukuja 50 asti) ja , joten Eratosthenesin seulan on karsittava pois kaikki alkulukujen 2, 3, 5 ja 7 yhdistelmäkerrat, jotka eivät ylitä luvun 50 aritmeettista neliöjuurta . Eli meidän ei enää tarvitse etsiä ja yliviivata lukuja, jotka ovat alkulukujen 11 , 13 , 17 , 19 , 23 kerrannaisia ​​ja niin edelleen aina 47 asti, koska ne on jo yliviivattu pienempien alkulukujen 2 kerrannaisina, 3, 5 ja 7.

Onko tämä luku alkuluku vai yhdistelmä?

Jotkut tehtävät edellyttävät, että selvitetään, onko annettu luku alkuluku vai yhdistelmäluku. Yleisesti ottaen tämä tehtävä on kaukana yksinkertaisesta, varsinkin numeroille, joiden tietue koostuu huomattavasta määrästä merkkejä. Useimmissa tapauksissa sinun on etsittävä jokin tietty tapa ratkaista se. Yritämme kuitenkin antaa suuntaa ajatuksenjuoksulle yksinkertaisissa tapauksissa.

Epäilemättä voidaan yrittää käyttää jaollisuuskriteerejä osoittamaan, että tietty luku on yhdistelmä. Jos esimerkiksi jokin jaollisuuskriteeri osoittaa, että annettu luku on jaollinen jollakin positiivisella kokonaisluvulla, joka on suurempi kuin yksi, niin alkuperäinen luku on yhdistetty.

Esimerkki.

Todista, että luku 898 989 898 989 898 989 on yhdistetty.

Ratkaisu.

Tämän luvun numeroiden summa on 9 8+9 9=9 17 . Koska luku, joka on yhtä suuri kuin 9 17, on jaollinen 9:llä, niin jaollisuuskriteerillä 9 voidaan väittää, että alkuperäinen luku on myös jaollinen 9:llä. Siksi se on komposiitti.

Tämän lähestymistavan merkittävä haittapuoli on, että jaollisuuskriteerit eivät salli luvun yksinkertaisuuden todistamista. Siksi, kun tarkistat, onko luku alkuluku vai yhdistelmä, sinun on toimittava eri tavalla.

Loogisin tapa on luetella tietyn luvun kaikki mahdolliset jakajat. Jos mikään mahdollisista jakajista ei ole tietyn luvun todellinen jakaja, tämä luku on alkuluku; muuten se on yhdistelmä. Edellisessä kappaleessa todistetuista lauseista seuraa, että tietyn luvun a jakajia on etsittävä alkulukujen joukosta, jotka eivät ylitä . Näin ollen annettu luku a voidaan jakaa peräkkäin alkuluvuilla (jotka on kätevä ottaa alkulukutaulukosta) yrittämällä löytää luvun a jakaja. Jos jakaja löytyy, luku a on yhdistelmä. Jos alkulukujen joukossa, jotka eivät ylitä , ei ole luvun a jakajaa, niin luku a on alkuluku.

Esimerkki.

Määrä 11 723 yksinkertainen vai yhdistelmä?

Ratkaisu.

Selvitetään mihin alkulukuon luvun 11 723 jakajat voivat olla. Tätä varten arvioimme .

Se on aivan ilmeistä , vuodesta 200 2 \u003d 40 000 ja 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью numeroiden vertailu). Siten luvun 11 723 mahdolliset alkujakajat ovat pienempiä kuin 200. Tämä yksinkertaistaa jo huomattavasti tehtäväämme. Jos emme tietäisi tätä, meidän täytyisi lajitella kaikki alkuluvut, ei aina 200 asti, vaan numeroon 11 723 asti.

Halutessasi voit arvioida tarkemmin. Alkaen 108 2 \u003d 11 664 ja 109 2 \u003d 11 881, sitten 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Siten mikä tahansa alkuluku, joka on pienempi kuin 109, on mahdollisesti annetun luvun 11 723 alkulukujakaja.

Nyt jaetaan luku 11 723 peräkkäin alkuluvuiksi 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 , 6 , 6 , 6 . 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Jos luku 11 723 jaetaan kokonaan jollakin kirjoitetuista alkuluvuista, se on yhdistetty. Jos se ei ole jaollinen millään kirjoitetuista alkuluvuista, niin alkuperäinen luku on alkuluku.

Emme kuvaile tätä koko yksitoikkoista ja yksitoikkoista jakautumisprosessia. Sanotaan vaikka, että 11 723

Määritelmä 1. alkuluku on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, joka on jaollinen vain itsellään ja luvulla 1.

Toisin sanoen luku on alkuluku, jos sillä on vain kaksi erillistä luonnollista jakajaa.

Määritelmä 2. Kutsutaan mitä tahansa luonnollista lukua, jolla on muita jakajia itsensä ja yhden lisäksi yhdistetty numero.

Toisin sanoen luonnollisia lukuja, jotka eivät ole alkulukuja, kutsutaan yhdistelmäluvuiksi. Määritelmä 1 tarkoittaa, että yhdistelmäluvulla on enemmän kuin kaksi luonnollista jakajaa. Numero 1 ei ole alkuluku eikä yhdistelmä. sillä on vain yksi jakaja 1 ja tämän lisäksi monet alkulukuja koskevat lauseet eivät päde ykseyteen.

Määritelmistä 1 ja 2 seuraa, että jokainen positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1, on joko alkuluku tai yhdistelmäluku.

Alla on ohjelma alkulukujen näyttämiseen aina 5000 asti. Täytä solut, napsauta "Luo"-painiketta ja odota muutama sekunti.

Alkunumerotaulukko

lausunto 1. Jos s on alkuluku ja a mikä tahansa kokonaisluku sitten joko a jaettuna s, tai s Ja a suhteellisen alkulukuja.

Todella. Jos s alkuluku, niin se on jaollinen vain itsellään ja luvulla 1, jos a ei jaettavissa s, sitten suurin yhteinen jakaja a Ja s on yhtä suuri kuin 1. Sitten s Ja a suhteellisen alkulukuja.

lausunto 2. Jos useiden lukujen tulo a 1 , a 2 , a 3 , ... on jaollinen alkuluvulla s, sitten vähintään yksi numeroista a 1 , a 2 , a 3 , ... on jaollinen s.

Todella. Jos mikään luvuista ei ole jaollinen s, sitten numerot a 1 , a 2 , a 3 , ... olisivat suhteellisen alkulukuja suhteessa s. Mutta päätelmästä 3 () seuraa, että heidän tuotteensa a 1 , a 2 , a 3 , ... on myös koprime suhteessa s, mikä on ristiriidassa väitteen ehdon kanssa. Siksi ainakin yksi luvuista on jaollinen s.

Lause 1. Mikä tahansa yhdistelmäluku voidaan aina esittää, ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla, äärellisen määrän alkulukuja tulona.

Todiste. Antaa k yhdistetty luku ja anna a 1 on yksi sen jakajista, joka eroaa luvusta 1 ja itsestään. Jos a 1 on yhdistelmä, siinä on lisäksi 1 ja a 1 ja toinen jakaja a 2. Jos a 2 on yhdistelmäluku, niin siinä on 1 ja lisäksi a 2 ja toinen jakaja a 3. Väittelemällä tällä tavalla ja ottaen huomioon, että numerot a 1 , a 2 , a 3 , ... pienenee ja tämä sarja sisältää äärellisen määrän termejä, saavutamme jonkin alkuluvun s 1 . Sitten k voidaan esittää muodossa

Oletetaan, että luvulla on kaksi laajennusta k:

Koska k = p 1 s 2 s 3 ... on jaollinen alkuluvulla q 1, sitten ainakin yksi tekijöistä, esimerkiksi s 1 on jaollinen q 1 . Mutta s 1 on alkuluku ja jaollinen vain luvulla 1 ja itsellään. Siten s 1 =q 1 (koska q 1 ≠1)

Sitten (2) voidaan sulkea pois s 1 ja q 1:

Näin ollen varmistamme, että mikä tahansa alkuluku, joka syöttää ensimmäisen laajennuksen tekijänä yhden tai useamman kerran, tulee toiseen laajennukseen vähintään yhtä monta kertaa ja päinvastoin, mikä tahansa alkuluku, joka syöttää toisen laajennuksen tekijänä yksi tai useampi kertaa tulee myös ensimmäiseen laajennukseen vähintään yhtä monta kertaa. Siksi mikä tahansa alkuluku tulee tekijäksi molemmissa laajennuksissa saman määrän kertoja, ja näin ollen nämä kaksi laajennusta ovat samat.

Yhdistelmäluvun hajonta k voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa

Missä s 1 , s 2 , ... erilliset alkuluvut, α, β, γ ... positiivisia kokonaislukuja.

Dekompositiota (3) kutsutaan kanoninen hajoaminen numeroita.

Luonnollisten lukujen sarjan alkuluvut esiintyvät epätasaisesti. Joissakin osissa sarjaa niitä on enemmän, toisissa - vähemmän. Mitä pidemmälle siirrymme numerosarjaa pitkin, sitä harvinaisempia alkuluvut ovat. Kysymys kuuluu, onko olemassa suurinta alkulukua? Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid osoitti, että alkulukuja on äärettömän monta. Esitämme tämän todisteen alla.

Lause 2. Alkulukujen määrä on ääretön.

Todiste. Oletetaan, että alkulukuja on äärellinen määrä, ja olkoon suurin alkuluku s. Harkitse kaikkia numeroita s. Lausekkeen oletuksen mukaan näiden lukujen on oltava yhdistelmälukuja ja jaollisia vähintään yhdellä alkuluvuista. Valitaan luku, joka on kaikkien näiden alkulukujen plus 1 tulo:

Määrä z lisää s koska 2p jo enemmän s. s ei ole jaollinen millään näistä alkuluvuista, koska jaettuna kullakin niistä, se antaa jäännöksen 1. Siten päädymme ristiriitaan. Siksi alkulukuja on ääretön määrä.

Tämä lause on yleisemmän lauseen erikoistapaus:

Lause 3. Olkoon aritmeettinen progressio

Sitten mikä tahansa alkuluku sisään n, tulisi myös sisällyttää m, siis sisään n ei voi sisältää muita ensisijaisia ​​tekijöitä, jotka eivät sisälly m ja lisäksi nämä tärkeimmät tekijät n ei näy useammin kuin sisään m.

Päinvastoin on myös totta. Jos luvun jokainen alkutekijä n esiintyy vähintään yhtä monta kertaa m, Tuo m jaettuna n.

lausunto 3. Antaa a 1 ,a 2 ,a 3,... eri alkulukuja esiintyy sisään m Niin

Missä i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . huomaa, että a i hyväksyy α +1 arvot, β j hyväksyy β +1 arvot, γ k kestää γ +1 arvot, ... .

alkuluku on luonnollinen (positiivinen kokonaisluku), joka on jaollinen ilman jäännöstä vain kahdella luonnollisella luvulla: itsestään ja itsestään. Toisin sanoen alkuluvulla on täsmälleen kaksi luonnollista jakajaa: ja itse luku.

Määritelmän mukaan alkuluvun kaikkien jakajien joukko on kaksialkioinen, ts. on setti.

Kaikkien alkulukujen joukko on merkitty symbolilla . Näin ollen alkulukujoukon määritelmän perusteella voimme kirjoittaa: .

Alkulukujen sarja näyttää tältä:

Aritmetiikan peruslause

Aritmetiikan peruslause väittää, että jokainen yhtä suurempi luonnollinen luku voidaan esittää alkulukujen tulona ja ainutlaatuisella tavalla tekijöiden järjestykseen asti. Alkuluvut ovat siis luonnollisten lukujen joukon alkeis "rakennuspalikoita".

Luonnollisen luvun jaottelu title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanoninen:

missä on alkuluku, ja . Esimerkiksi luonnollisen luvun kanoninen laajennus näyttää tältä: .

Luonnollisen luvun esittämistä alkulukujen tulona kutsutaan myös lukujen kertoimia.

Alkulukujen ominaisuudet

Eratosthenesin seula

Yksi tunnetuimmista algoritmeista alkulukujen etsimiseen ja tunnistamiseen on Eratosthenesin seula. Joten tämä algoritmi nimettiin kreikkalaisen matemaatikon Eratosthenesin mukaan, jota pidetään algoritmin kirjoittajana.

Löytääksesi kaikki tiettyä lukua pienemmät alkuluvut Eratosthenesin menetelmää noudattaen sinun on noudatettava näitä vaiheita:

Vaihe 1. Kirjoita riville kaikki luonnolliset luvut kahdesta luokkaan ts. .
Vaihe 2 Anna muuttujalle arvo, eli arvo, joka on yhtä suuri kuin pienin alkuluku.
Vaihe 3 Poista luettelosta kaikki luvut välillä :n kerrannaisiin, eli luvut: .
Vaihe 4 Etsi luettelosta ensimmäinen ylittämätön luku, joka on suurempi kuin , ja määritä muuttujalle tämän luvun arvo.
Vaihe 5 Toista vaiheita 3 ja 4, kunnes numero on saavutettu.

Algoritmin soveltamisprosessi näyttää tältä:

Kaikki jäljellä olevat yliviivaamattomat luvut luettelossa algoritmin soveltamisprosessin lopussa ovat alkulukujen joukko välillä - .

Goldbachin hypoteesi

Kansi kirjasta "Setä Petros ja Goldbachin arvelu"

Huolimatta siitä, että matemaatikot ovat tutkineet alkulukuja pitkään, monet niihin liittyvät ongelmat ovat nykyään ratkaisematta. Yksi tunnetuimmista ratkaisemattomista ongelmista on Goldbachin oletus, joka on muotoiltu seuraavasti:

• Onko totta, että jokainen parillinen luku, joka on suurempi kuin kaksi, voidaan esittää kahden alkuluvun summana (Goldbachin binäärioletus)?
• Onko totta, että jokainen pariton luku, joka on suurempi kuin 5, voidaan esittää kolmen alkuluvun summana (Goldbachin kolmiosainen oletus)?

On sanottava, että kolmiosainen Goldbach-arvaus on binäärisen Goldbach-oletuksen erikoistapaus, tai, kuten matemaatikot sanovat, kolmiosainen Goldbach-arvaus on heikompi kuin binäärinen Goldbach-arvaus.

Goldbachin arvelu tuli laajalti tunnetuksi matemaattisen yhteisön ulkopuolella vuonna 2000 Bloomsbury USA (USA) ja Faber and Faber (UK) kustantamoyhtiöiden mainosmarkkinointitempun ansiosta. Nämä kustantajat, julkaisseet kirjan "Petros-setä ja Goldbachin arvelu", lupasivat maksaa 1 miljoonan Yhdysvaltain dollarin palkinnon kahden vuoden kuluessa kirjan julkaisupäivästä sille, joka todistaa Goldbachin olettamuksen. Joskus mainittu kustantajien palkinto sekoitetaan Millennium Prize -ongelmien ratkaisemisen palkintoihin. Älä erehdy, Goldbach-hypoteesia ei ole listattu Millennium Challengeksi Clay Instituten toimesta, vaikka se liittyy läheisesti Riemmannin hypoteesi yksi vuosituhannen haasteista.

Kirja "Yksinkertaiset numerot. Pitkä tie äärettömyyteen

Kirjan "Matematiikan maailma. Yksinkertaiset numerot. Pitkä tie äärettömyyteen

Lisäksi suosittelen lukemaan kiehtovan populaaritieteellisen kirjan, jonka annotaatiossa sanotaan: ”Alkulukujen etsiminen on yksi matematiikan paradoksaalisimmista ongelmista. Tiedemiehet ovat yrittäneet ratkaista sitä useiden vuosituhansien ajan, mutta uusia versioita ja hypoteeseja hankkiessaan tämä mysteeri on edelleen ratkaisematta. Alkulukujen esiintyminen ei ole minkään järjestelmän alainen: ne syntyvät spontaanisti luonnollisten lukujen sarjassa jättäen huomiotta kaikki matemaatikoiden yritykset tunnistaa kaavoja niiden sekvenssissä. Tämän kirjan avulla lukija voi jäljittää tieteellisten ajatusten kehitystä muinaisista ajoista nykypäivään ja esitellä mielenkiintoisimmat teoriat alkulukujen etsimisestä.

Lisäksi lainaan tämän kirjan toisen luvun alkua: "Alkuluvut ovat yksi tärkeimmistä aiheista, jotka palauttavat meidät matematiikan alkuun ja sitten johdattavat meidät yhä monimutkaisemman polun varrelle. modernin tieteen reunalla. Näin ollen olisi erittäin hyödyllistä jäljittää alkulukuteorian kiehtova ja monimutkainen historia: kuinka se tarkalleen kehittyi, kuinka tarkalleen kerättiin tosiasiat ja totuudet, joita nykyään pidetään yleisesti hyväksyttyinä. Tässä luvussa näemme, kuinka matemaatikoiden sukupolvet ovat tutkineet huolellisesti luonnollisia lukuja etsiessään sääntöä, joka ennustaa alkulukujen ilmaantumista, sääntöä, josta haun aikana tuli yhä vaikeampi. Tarkastellaan myös historiallista kontekstia: millaisissa olosuhteissa matemaatikot työskentelivät ja missä määrin heidän työhönsä sisältyi mystisiä ja puoliuskonnollisia käytäntöjä, jotka eivät lainkaan muistuta aikamme tieteellisiä menetelmiä. Siitä huolimatta, hitaasti ja vaivoin, maa valmistettiin uusille näkemyksille, jotka inspiroivat Fermatia ja Euleria 1600- ja 1700-luvuilla.

• Käännös

Alkulukujen ominaisuuksia tutkivat ensin antiikin Kreikan matemaatikot. Pythagoraan koulukunnan matemaatikot (500 - 300 eKr.) olivat ensisijaisesti kiinnostuneita alkulukujen mystisista ja numerologisista ominaisuuksista. He olivat ensimmäiset, jotka keksivät ideoita täydellisistä ja ystävällisistä numeroista.

Täydellisellä luvulla on omat jakajansa, jotka ovat yhtä suuret kuin itse. Esimerkiksi luvun 6 oikeat jakajat ovat: 1, 2 ja 3. 1 + 2 + 3 = 6. Numeron 28 jakajat ovat 1, 2, 4, 7 ja 14. Lisäksi 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Lukuja kutsutaan ystävällisiksi, jos yhden luvun oikeiden jakajien summa on yhtä suuri kuin toisen luvun ja päinvastoin - esimerkiksi 220 ja 284. Voidaan sanoa, että täydellinen luku on ystävällinen itselleen.

Eukleideen "alkujen" ilmestymiseen mennessä vuonna 300 eaa. Useita tärkeitä faktoja alkuluvuista on jo todistettu. Kirjassa IX Elements Euclid osoitti, että alkulukuja on ääretön määrä. Muuten, tämä on yksi ensimmäisistä esimerkeistä ristiriitaisen todisteen käytöstä. Hän myös todistaa aritmeettisen peruslauseen - jokainen kokonaisluku voidaan esittää ainutlaatuisella tavalla alkulukujen tulona.

Hän osoitti myös, että jos luku 2 n -1 on alkuluku, niin luku 2 n-1 * (2 n -1) on täydellinen. Toinen matemaatikko, Euler, pystyi vuonna 1747 osoittamaan, että kaikki jopa täydelliset luvut voidaan kirjoittaa tähän muotoon. Tähän päivään mennessä ei tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.

Vuonna 200 eaa. Kreikkalainen Eratosthenes keksi Eratosthenesin seulaksi kutsutun algoritmin alkulukujen löytämiseksi.

Ja sitten tapahtui suuri tauko keskiaikaan liittyvien alkulukujen tutkimuksen historiassa.

Seuraavat löydöt teki matemaatikko Fermat jo 1600-luvun alussa. Hän todisti Albert Girardin oletuksen, että mikä tahansa alkuluku muotoa 4n+1 voidaan kirjoittaa yksiselitteisesti kahden neliön summana, ja myös muotoili lauseen, jonka mukaan mikä tahansa luku voidaan esittää neljän neliön summana.

Hän kehitti uuden faktorointimenetelmän suurille luvuille ja osoitti sen luvulla 2027651281 = 44021 × 46061. Hän todisti myös Fermatin pienen lauseen: jos p on alkuluku, niin a p = modulo p on totta mille tahansa kokonaisluvulle a.

Tämä väite todistaa puolet "kiinalaiseksi hypoteesiksi" kutsutusta hypoteesista ja juontaa juurensa 2000 vuotta aikaisemmin: kokonaisluku n on alkuluku silloin ja vain jos 2n-2 on jaollinen n:llä. Hypoteesin toinen osa osoittautui vääräksi - esimerkiksi 2341 - 2 on jaollinen luvulla 341, vaikka luku 341 on yhdistelmä: 341 = 31 × 11.

Fermat'n pieni lause oli perusta monille muille lukuteorian tuloksille ja lukujen alkulukujen testausmenetelmille, joista monet ovat edelleen käytössä.

Fermat kävi laajasti kirjeenvaihtoa aikalaistensa kanssa, erityisesti Marin Mersennen munkin kanssa. Yhdessä kirjeessään hän arveli, että luvut, jotka ovat muotoa 2 n + 1, ovat aina alkulukuja, jos n on kahden potenssi. Hän testasi tätä arvoille n = 1, 2, 4, 8 ja 16 ja oli varma, että kun n ei ole kahden potenssi, luku ei välttämättä ollut alkuluku. Näitä lukuja kutsutaan Fermat-luvuiksi, ja vasta 100 vuotta myöhemmin Euler osoitti, että seuraava luku, 232 + 1 = 4294967297, on jaollinen luvulla 641, joten se ei ole alkuluku.

Myös muotoa 2 n - 1 olevat luvut ovat olleet tutkimuksen kohteena, koska on helppo osoittaa, että jos n on yhdistelmä, niin luku itse on myös yhdistelmä. Näitä numeroita kutsutaan Mersennen numeroiksi, koska hän tutki niitä aktiivisesti.

Mutta kaikki luvut muotoa 2 n - 1, jossa n on alkuluku, eivät ole alkulukuja. Esimerkiksi 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Tämä löydettiin ensimmäisen kerran vuonna 1536.

Useiden vuosien ajan tällaiset luvut antoivat matemaatikoille suurimmat tunnetut alkuluvut. Cataldi todisti luvun M 19 vuonna 1588, ja se oli 200 vuoden ajan suurin tunnettu alkuluku, kunnes Euler osoitti, että M 31 on myös alkuluku. Tämä ennätys säilyi vielä sata vuotta, ja sitten Lucas osoitti, että M 127 on prime (ja tämä on jo 39 numeroa), ja sen jälkeen tutkimus jatkui tietokoneiden myötä.

Vuonna 1952 todistettiin lukujen M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 ja M 2281 ensisijaisuus.

Vuoteen 2005 mennessä oli löydetty 42 Mersennen alkulukua. Suurin niistä, M 25964951 , koostuu 7816230 numerosta.

Eulerin työllä oli valtava vaikutus lukuteoriaan, mukaan lukien alkuluvut. Hän laajensi Fermat'n pientä lausetta ja esitteli φ-funktion. Kertoi 5. Fermat-luvun 2 32 +1, löysi 60 paria ystävällisiä lukuja ja muotoili (mutta ei pystynyt todistamaan) vastavuoroisuuden toisen lain.

Hän esitteli ensimmäisenä matemaattisen analyysin menetelmät ja kehitti analyyttisen lukuteorian. Hän osoitti, että ei vain harmoninen sarja ∑ (1/n), vaan myös sarja muotoa

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Alkulukujen käänteissummalla saatu, myös hajoaa. Harmonisen sarjan n ehdon summa kasvaa suunnilleen kuten log(n), kun taas toinen sarja hajoaa hitaammin, kuten log[ log(n) ]. Tämä tarkoittaa, että esimerkiksi kaikkien tähän päivään mennessä löydettyjen alkulukujen käänteislukujen summa antaa vain 4, vaikka sarjat silti poikkeavat toisistaan.

Ensi silmäyksellä näyttää siltä, ​​että alkuluvut jakautuvat kokonaislukujen kesken melko satunnaisesti. Esimerkiksi 100 luvun joukossa välittömästi ennen 10000000 on 9 alkulukua, ja 100 luvun joukossa välittömästi tämän arvon jälkeen on vain 2. Mutta suurilla segmenteillä alkuluvut jakautuvat melko tasaisesti. Legendre ja Gauss käsittelivät niiden jakelua. Gauss kertoi kerran ystävälleen, että hän laskee aina seuraavien 1000 luvun alkulukujen määrän missä tahansa vapaassa 15 minuutissa. Elämänsä loppuun mennessä hän oli laskenut kaikki alkuluvut kolmeen miljoonaan. Legendre ja Gauss laskivat yhtä lailla, että suurella n:llä alkulukujen tiheys on 1/log(n). Legendre arvioi alkulukujen lukumäärän välillä 1 ja n as

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Ja Gauss - logaritmisena integraalina

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Integrointivälillä 2 - n.

Väite alkulukujen 1/log(n) tiheydestä tunnetaan alkulukulauseena. He yrittivät todistaa sen koko 1800-luvun, ja Chebyshev ja Riemann edistyivät. He yhdistivät sen Riemannin hypoteesiin, tähän asti todistamattomaan olettamukseen Riemannin zeta-funktion nollien jakautumisesta. Alkulukujen tiheyden osoittivat samanaikaisesti Hadamard ja de la Vallée-Poussin vuonna 1896.

Alkulukuteoriassa on vielä monia ratkaisemattomia kysymyksiä, joista osa on useita satoja vuosia vanhoja:

• kaksoisalkuhypoteesi - äärettömästä määrästä alkulukupareja, jotka eroavat toisistaan ​​2
• Goldbachin arvelu: mikä tahansa parillinen luku, joka alkaa neljästä, voidaan esittää kahden alkuluvun summana
• Onko olemassa ääretön määrä alkulukuja muotoa n 2 + 1 ?
• onko aina mahdollista löytää alkuluku välillä n 2 ja (n + 1) 2 ? (sen tosiasian, että n:n ja 2n:n välillä on aina alkuluku, todisti Chebyshev)
• Onko Fermatin alkulukuja ääretön määrä? onko Fermat-alkulukuja 4:n jälkeen?
• onko olemassa peräkkäisten alkulukujen aritmeettista etenemistä mille tahansa pituudelle? esimerkiksi pituudelle 4: 251, 257, 263, 269. Suurin löydetty pituus on 26 .
• Onko aritmeettisessa progressiossa ääretön määrä kolmen peräkkäisen alkuluvun joukkoja?
• n 2 - n + 41 on alkuluku arvolle 0 ≤ n ≤ 40. Onko sellaisia ​​alkulukuja olemassa ääretön määrä? Sama kysymys kaavalle n 2 - 79 n + 1601. Nämä luvut ovat alkulukuja 0 ≤ n ≤ 79.
• Onko olemassa ääretön määrä alkulukuja muotoa n# + 1? (n# on tulos kertomalla kaikki n:ää pienemmät alkuluvut)
• Onko olemassa ääretön määrä alkulukuja muotoa n# -1?
• Onko n-muodon alkulukuja ääretön määrä! +1?
• Onko n-muodon alkulukuja ääretön määrä! - 1?
• jos p on alkuluku, eikö 2 p -1 aina sisälly neliöityjen alkulukujen tekijöihin
• Sisältääkö Fibonacci-sekvenssi äärettömän määrän alkulukuja?

Suurimmat kaksoisalkuluvut ovat 2003663613 × 2 195000 ± 1. Ne koostuvat 58711 numerosta ja löydettiin vuonna 2007.

Suurin faktoriaalinen alkuluku (muotoa n! ± 1) on 147855! - 1. Se koostuu 142891 numerosta ja löydettiin vuonna 2002.

Suurin alkuluku (muotoa n# ± 1) on 1098133# + 1.

Tunnisteet: Lisää tunnisteita