Aritmeettinen keskiarvo ja geometrinen keskiarvo sisältyvät 6-7 luokkien matematiikan ohjelmaan. Koska kappale on melko helppo ymmärtää, se ohitetaan nopeasti, ja kouluvuoden loppuun mennessä oppilaat ovat unohtaneet sen. Mutta perustilastojen tuntemusta tarvitaan yhtenäisen valtionkokeen läpäiseminen, ja myös varten kansainväliset kokeet SAT. Kyllä ja puolesta Jokapäiväinen elämä kehittynyt analyyttinen ajattelu ei koskaan satuta.

Kuinka laskea numeroiden aritmeettinen keskiarvo ja geometrinen keskiarvo

Oletetaan, että on sarja lukuja: 11, 4 ja 3. Aritmeettinen keskiarvo on kaikkien lukujen summa jaettuna annettujen lukujen määrällä. Eli lukujen 11, 4, 3 tapauksessa vastaus on 6. Miten saat 6?

Ratkaisu: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Nimittäjässä on oltava luku, joka on yhtä suuri kuin lukujen lukumäärä, joiden keskiarvo on löydettävä. Summa on jaollinen kolmella, koska termejä on kolme.

Nyt meidän on selvitettävä geometrinen keskiarvo. Oletetaan, että on sarja numeroita: 4, 2 ja 8.

Lukujen geometrinen keskiarvo on kaikkien annettujen lukujen tulo, jotka sijaitsevat juuren alla potenssilla, joka on yhtä suuri kuin annettujen lukujen määrä. Eli lukujen 4, 2 ja 8 tapauksessa vastaus on 4. Näin kävi ilmi:

Ratkaisu: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Molemmissa vaihtoehdoissa saimme kokonaisia ​​vastauksia, koska esimerkkinä otettiin erikoisnumerot. Näin ei aina tapahdu. Useimmissa tapauksissa vastaus on pyöristettävä tai jätettävä juureen. Esimerkiksi lukujen 11, 7 ja 20 aritmeettinen keskiarvo on ≈ 12,67 ja geometrinen keskiarvo ∛1540. Ja numeroiden 6 ja 5 vastaukset ovat 5,5 ja √30.

Voiko aritmeettinen keskiarvo olla yhtä suuri kuin geometrinen keskiarvo?

Tietysti voi. Mutta vain kahdessa tapauksessa. Jos on lukusarja, joka koostuu vain joko ykkösistä tai nollista. On myös huomionarvoista, että vastaus ei riipu heidän lukumäärästään.

Todistus yksiköillä: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmeettinen keskiarvo).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinen keskiarvo).

Todistus nollalla: (0 + 0) / 2=0 (aritmeettinen keskiarvo).

√(0 × 0) = 0 (geometrinen keskiarvo).

Muuta vaihtoehtoa ei ole eikä voi olla.

keskiarvo- tämä on yleinen indikaattori, joka luonnehtii laadullisesti homogeenista populaatiota tietyn määrällisen ominaisuuden mukaan. Esimerkiksi varkauksista tuomittujen keski-ikä.

Oikeustilastoissa keskiarvoja käytetään kuvaamaan:

Keskimääräinen aika tämän luokan tapausten käsittelyyn;

Vaatimuksen keskimääräinen koko;

Syytettyjen keskimääräinen lukumäärä tapausta kohti;

Keskimääräinen vahinko;

Tuomareiden keskimääräinen työmäärä jne.

Keskiarvo on aina nimetty arvo ja sillä on sama ulottuvuus kuin populaation yksittäisen yksikön ominaisuus. Jokainen keskiarvo luonnehtii tutkittavaa populaatiota minkä tahansa muuttuvan ominaisuuden mukaan, joten jokaisen keskiarvon takana on sarja tämän populaation yksiköiden jakautumista tutkittavan ominaisuuden mukaan. Keskiarvon tyypin valinta määräytyy indikaattorin sisällön ja laskennan lähtötietojen perusteella keskikoko.

Kaikentyyppiset keskiarvot, joita käytetään tilastollinen tutkimus, on jaettu kahteen luokkaan:

1) tehon keskiarvot;

2) rakenteelliset keskiarvot.

Ensimmäinen keskiarvoluokka sisältää: aritmeettinen keskiarvo, harmoninen keskiarvo, geometrinen keskiarvo Ja juuri tarkoittaa neliötä . Toinen luokka on muoti Ja mediaani. Lisäksi jokaisella luetelluista tehokeskiarvotyypeistä voi olla kaksi muotoa: yksinkertainen Ja painotettu . Yksinkertainen muoto Keskiarvoa käytetään tutkittavan ominaisuuden keskiarvon saamiseksi, kun laskenta suoritetaan ryhmittämättömillä tilastotiedoilla tai kun kukin vaihtoehto aggregaatissa esiintyy vain kerran. Painotetut keskiarvot ovat arvoja, joissa otetaan huomioon, että attribuuttiarvojen muunnelmilla voi olla eri numeroita, ja siksi jokainen variantti on kerrottava vastaavalla taajuudella. Toisin sanoen jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta kutsutaan tilastolliseksi painoksi.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo- yleisin keskiarvotyyppi. Se on yhtä suuri kuin ominaisuuden yksittäisten arvojen summa jaettuna kokonaismäärä nämä arvot:

Missä x 1 ,x 2 , … ,x N ovat vaihtelevan ominaisuuden (muunnelmien) yksittäisiä arvoja ja N on yksiköiden lukumäärä populaatiossa.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo käytetään tapauksissa, joissa tiedot esitetään jakelusarjojen tai ryhmittelyn muodossa. Se lasketaan optioiden tulojen ja niitä vastaavien taajuuksien summana jaettuna kaikkien optioiden taajuuksien summalla:

Missä x i- merkitys i ominaisuuden th muunnelmat; f i-taajuus i vaihtoehtoja.

Siten jokainen varianttiarvo on painotettu sen taajuudella, minkä vuoksi taajuuksia kutsutaan joskus tilastollisiksi painoiksi.

Kommentti. Kun me puhumme noin aritmeettinen keskiarvo ilmoittamatta sen tyyppiä, aritmeettinen keskiarvo on yksinkertainen.

Taulukko 12.

Ratkaisu. Laskemiseen käytämme painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavaa:

Näin ollen rikosasiassa on keskimäärin kaksi syytettyä.

Jos keskiarvon laskenta suoritetaan käyttämällä dataa, joka on ryhmitelty intervallijakaumasarjojen muodossa, sinun on ensin määritettävä kunkin intervallin x"i keskiarvot ja laskettava sitten keskiarvo käyttämällä aritmeettista painotettua keskiarvoa. kaava, jossa x"i on korvattu xi:n sijaan.

Esimerkki. Varkaudesta tuomittujen rikollisten iät on esitetty taulukossa:

Taulukko 13.

Määritä varkauksista tuomittujen rikollisten keski-ikä.

Ratkaisu. Rikollisten keski-iän määrittämiseksi intervallivaihtelusarjan perusteella on ensin löydettävä välien keskiarvot. Koska meille annetaan intervallisarja avaa ensin ja viimeiset intervallit, sitten näiden välien arvot ovat yhtä suuret kuin vierekkäisten suljettujen välien arvot. Meidän tapauksessamme ensimmäisen ja viimeisen intervallin arvot ovat 10.

Nyt löydämme rikollisten keski-iän painotetun aritmeettisen keskiarvon kaavan avulla:

Varkaudesta tuomittujen rikollisten keski-ikä on siis noin 27 vuotta.

Tarkoittaa harmonista yksinkertaista edustaa ominaisuuden käänteisarvojen aritmeettisen keskiarvon käänteistä:

missä 1/ x i ovat vaihtoehtojen käänteisiä arvoja ja N on yksiköiden lukumäärä populaatiossa.

Esimerkki. Käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräisen vuotuisen työmäärän määrittämiseksi rikosasioita käsiteltäessä tehtiin tutkimus tämän tuomioistuimen viiden tuomarin työmäärästä. Keskimääräinen yhden rikosasian käsittelyyn käytetty aika jokaiselle tutkitulle tuomarille osoittautui yhtä suureksi (päivissä): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Selvitä yhden rikosoikeuden keskimääräiset kustannukset. rikosasioita ja tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräistä vuotuista työmäärää rikosasioita käsiteltäessä.

Ratkaisu. Keskimääräisen yhden rikostapauksen käsittelyyn käytetyn ajan määrittämiseksi käytämme harmonista keskiarvokaavaa:

Laskelmien yksinkertaistamiseksi esimerkissä otamme vuoden päivien lukumääräksi 365, mukaan lukien viikonloput (tämä ei vaikuta laskentamenetelmään ja laskettaessa vastaavaa indikaattoria käytännössä, on välttämätöntä korvata työmäärä päivää tietyssä vuodessa 365 päivän sijaan). Tällöin tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräinen vuotuinen työmäärä rikosasioita käsiteltäessä on: 365 (päivää) : 5,56 ≈ 65,6 (asiat).

Jos käyttäisimme yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa määrittääksemme keskimääräisen rikosasian käsittelyyn käytetyn ajan, saisimme:

365 (päivää): 5,64 ≈ 64,7 (tapaukset), so. Tuomareiden keskimääräinen työmäärä osoittautui pienemmäksi.

Tarkastellaan tämän lähestymistavan oikeellisuutta. Tätä varten käytämme tietoja kunkin tuomarin yhden rikosasian käsittelyyn käytetystä ajasta ja laskemme kunkin heistä käsiteltävien rikosasioiden lukumäärän vuodessa.

Saamme sen mukaisesti:

365 (päivää): 6 ≈ 61 (tapaukset), 365 (päivää): 5,6 ≈ 65,2 (tapaukset), 365 (päivää): 6,3 ≈ 58 (tapaukset),

365 (päivää): 4,9 ≈ 74,5 (tapaukset), 365 (päivää): 5,4 ≈ 68 (tapaukset).

Lasketaan nyt tietyn käräjäoikeuden tuomareiden keskimääräinen vuotuinen työmäärä rikosasioita käsiteltäessä:

Nuo. keskimääräinen vuosikuorma on sama kuin harmonista keskiarvoa käytettäessä.

Näin ollen aritmeettisen keskiarvon käyttö on tässä tapauksessa laitonta.

Tapauksissa, joissa ominaisuuden muunnelmat ja niiden tilavuusarvot (muunnelmien ja taajuuden tulo) tunnetaan, mutta itse taajuudet eivät ole tiedossa, käytetään painotettua harmonista keskiarvokaavaa:

,

Missä x i ovat attribuuttien arvot, ja w i ovat vaihtoehtojen tilavuusarvot ( w i = x i f i).

Esimerkki. Tiedot rangaistuslaitoksen eri laitosten tuottaman samantyyppisen tuotteen yksikön hinnasta ja sen myynnin määrästä on esitetty taulukossa 14.

Taulukko 14

Etsi tuotteen keskimääräinen myyntihinta.

Ratkaisu. Keskihintaa laskettaessa on käytettävä myyntimäärän suhdetta myytyjen kappaleiden määrään. Emme tiedä myytyjen yksiköiden määrää, mutta tiedämme tavaroiden myynnin määrän. Siksi myytyjen tavaroiden keskihinnan löytämiseksi käytämme painotetun harmonisen keskiarvon kaavaa. Saamme

Jos käytät aritmeettista keskiarvokaavaa tässä, voit saada keskihinnan, joka on epärealistinen:

Geometrinen keskiarvo lasketaan erottamalla N-asteen juuri attribuuttimuunnelmien kaikkien arvojen tulosta:

,

Missä x 1 ,x 2 , … ,x N- vaihtelevan ominaisuuden yksittäiset arvot (muunnelmat) ja

N- yksiköiden lukumäärä väestössä.

Tämän tyyppistä keskiarvoa käytetään aikasarjojen keskimääräisten kasvunopeuksien laskemiseen.

Keskimääräinen neliö käytetään keskiarvon laskemiseen neliöpoikkeama, joka on vaihtelun indikaattori, ja sitä käsitellään jäljempänä.

Väestön rakenteen määrittämiseen käytetään erityisiä keskimääräisiä indikaattoreita, jotka sisältävät mediaani Ja muoti , tai niin sanotut rakenteelliset keskiarvot. Jos aritmeettinen keskiarvo lasketaan kaikkien attribuuttiarvojen muunnelmien käytön perusteella, mediaani ja moodi kuvaavat sen muunnelman arvoa, joka on tietyllä keskimääräisellä sijalla järjestetyssä (järjestetyssä) sarjassa. Tilastollisen perusjoukon yksiköt voidaan järjestää tutkittavan ominaisuuden muunnelmien nousevaan tai laskevaan järjestykseen.

Mediaani (minä)- tämä on arvo, joka vastaa sijoitetun sarjan keskellä olevaa vaihtoehtoa. Mediaani on siis se versio ranking-sarjasta, jonka molemmilla puolilla tässä sarjassa pitäisi olla yhtä suuri määrä väestön yksiköitä.

Mediaanin löytämiseksi sinun on ensin määritettävä se sarjanumero järjestetyssä sarjassa kaavan mukaan:

missä N on sarjan tilavuus (yksiköiden lukumäärä perusjoukossa).

Jos sarja koostuu parittomasta määrästä termejä, mediaani on yhtä suuri kuin optio, jonka numero on N Me. Jos sarja koostuu parillisesta määrästä termejä, niin mediaani määritellään kahden keskellä olevan vierekkäisen vaihtoehdon aritmeettiseksi keskiarvoksi.

Esimerkki. Annettu rankattu sarja 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Sarjan tilavuus on N = 9, mikä tarkoittaa N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Siksi Me = 6, eli . viides vaihtoehto. Jos riville annetaan 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, ts. sarja, jossa on parillinen määrä termejä (N = 8), sitten N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Tämä tarkoittaa, että mediaani on puolet neljännen ja viidennen vaihtoehdon summasta, ts. Minä = (9 + 11) / 2 = 10.

Diskreetissä variaatiosarjassa mediaani määräytyy kumuloituneiden taajuuksien mukaan. Option taajuudet ensimmäisestä alkaen summataan, kunnes mediaaniluku ylittyy. Viimeisten summattujen optioiden arvo on mediaani.

Esimerkki. Selvitä syytettyjen mediaanimäärä rikostapausta kohti käyttämällä taulukon 12 tietoja.

Ratkaisu. Tässä tapauksessa vaihtelusarjan tilavuus on N = 154, joten N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Kun ensimmäisen ja toisen vaihtoehdon taajuudet on laskettu yhteen, saadaan: 75 + 43 = 118, ts. olemme ylittäneet mediaaniluvun. Joten minä = 2.

Intervallivaihtelusarjassa jakauma osoittaa ensin intervallin, jossa mediaani sijoittuu. Häntä kutsutaan mediaani . Tämä on ensimmäinen intervalli, jonka kertynyt taajuus ylittää puolet intervallivaihtelusarjan tilavuudesta. Sitten numeerinen arvo Mediaani määritetään kaavalla:

Missä x Minä- mediaanivälin alaraja; i on mediaanivälin arvo; S Me-1- mediaania edeltävän aikavälin kumuloitunut taajuus; f Minä- mediaanivälin taajuus.

Esimerkki. Selvitä varkaudesta tuomittujen rikoksentekijöiden mediaani-ikä taulukon 13 tilastojen perusteella.

Ratkaisu. Tilastotiedot esitetään intervallivaihtelusarjana, mikä tarkoittaa, että määritetään ensin mediaaniväli. Perusjoukon tilavuus on N = 162, joten mediaaniväli on väli 18-28, koska tämä on ensimmäinen intervalli, jonka kumuloitu taajuus (15 + 90 = 105) ylittää puolet intervallivaihtelusarjan tilavuudesta (162: 2 = 81). Nyt määritämme mediaanin numeerisen arvon käyttämällä yllä olevaa kaavaa:

Näin ollen varkaudesta tuomituista puolet on alle 25-vuotiaita.

Muoti (mo) He kutsuvat ominaisuuden arvoa, joka löytyy useimmiten väestön yksiköistä. Muotia käytetään määrittämään yleisimmän ominaisuuden arvo. Erillisissä sarjoissa tila on vaihtoehto, jolla on korkein taajuus. Esimerkiksi taulukossa 3 esitetyille erillisille sarjoille Mo= 1, koska tämä arvo vastaa suurinta taajuutta - 75. Määrittääksesi intervallisarjan tilan, määritä ensin modaalinen intervalli (väli, jolla on korkein taajuus). Sitten tämän aikavälin sisällä löydetään ominaisuuden arvo, joka voi olla tila.

Sen arvo saadaan kaavalla:

Missä x Mo- modaalivälin alaraja; i on modaalivälin arvo; f Mo- modaalivälin taajuus; f Mo-1- modaalia edeltävän aikavälin taajuus; f Mo+1- modaalin jälkeisen intervallin taajuus.

Esimerkki. Selvitä varkaudesta tuomittujen rikollisten ikä, jonka tiedot on esitetty taulukossa 13.

Ratkaisu. Korkein taajuus vastaa väliä 18-28, joten tilan tulisi olla tällä välillä. Sen arvo määritetään yllä olevalla kaavalla:

Täten, suurin luku varkaudesta tuomitut rikolliset ovat 24-vuotiaita.

Keskiarvo antaa yleisen ominaisuuden tutkittavan ilmiön kokonaisuudesta. Kaksi populaatiota, joilla on samat keskiarvot, voivat kuitenkin poiketa toisistaan ​​merkittävästi tutkittavan ominaisuuden arvon vaihteluasteella (variaatiolla). Esimerkiksi yhdessä tuomioistuimessa he nimittivät seuraavat päivämäärät vankeus: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 vuotta ja toisessa - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 vuotta. Molemmissa tapauksissa aritmeettinen keskiarvo on 6,7 vuotta. Nämä populaatiot eroavat kuitenkin merkittävästi toisistaan ​​määrätyn vankeusajan yksittäisten arvojen leviämisen suhteen keskiarvoon.

Ja ensimmäisessä tuomioistuimessa, jossa tämä hajautus on melko suuri, keskimääräinen vankeusaika ei heijasta koko väestöä. Siten, jos ominaisuuden yksittäiset arvot eroavat vähän toisistaan, aritmeettinen keskiarvo on melko suuntaa-antava ominaisuus tietyn populaation ominaisuuksille. Muuten aritmeettinen keskiarvo on tämän populaation epäluotettava ominaisuus ja sen käyttö käytännössä on tehotonta. Siksi on tarpeen ottaa huomioon tutkittavan ominaisuuden arvojen vaihtelu.

Variaatio- Nämä ovat eroja minkä tahansa ominaisuuden arvoissa tietyn populaation eri yksiköiden välillä samalla ajanjaksolla tai ajankohtana. Sana "variaatio" on latinaa - variatio, joka tarkoittaa eroa, muutosta, vaihtelua. Se syntyy siitä, että ominaisuuden yksittäiset arvot muodostuvat eri tekijöiden (olosuhteiden) yhteisvaikutuksen alaisena, jotka yhdistetään eri tavalla kussakin yksittäisessä tapauksessa. Erilaisia ​​absoluuttisia ja suhteelliset indikaattorit.

Tärkeimmät vaihtelun indikaattorit ovat seuraavat:

1) vaihtelun laajuus;

2) keskimääräinen lineaarinen poikkeama;

3) dispersio;

4) keskihajonta;

5) variaatiokerroin.

Katsotaanpa lyhyesti jokaista niistä.

Vaihtelualue R on laskennan helppouden kannalta helpoin absoluuttinen indikaattori, joka määritellään ominaisuuden suurimman ja pienimmän arvojen välisenä erona tietyn populaation yksiköille:

Vaihteluväli (vaihteluväli) - tärkeä indikaattori merkin vaihtelevuus, mutta se mahdollistaa vain äärimmäisten poikkeamien näkemisen, mikä rajoittaa sen soveltamisalaa. Ominaisuuden vaihtelun kuvaamiseksi tarkemmin sen vaihtelevuuden perusteella käytetään muita indikaattoreita.

Keskimääräinen lineaarinen poikkeama edustaa aritmeettista keskiarvoa absoluuttiset arvot ominaisuuden yksittäisten arvojen poikkeamat keskiarvosta ja määritetään kaavoilla:

1) varten ryhmittämättömät tiedot

2) varten variaatiosarja

Yleisimmin käytetty vaihtelumittari on kuitenkin dispersio . Se luonnehtii tutkittavan ominaisuuden arvojen hajaantumismittaa suhteessa sen keskiarvoon. Dispersio määritellään poikkeamien keskiarvona neliöitynä.

Yksinkertainen varianssi ryhmittelemättömille tiedoille:

.

Varianssipainotettu variaatiosarjalle:

Kommentti. Käytännössä varianssin laskemiseen on parempi käyttää seuraavia kaavoja:

Yksinkertaiselle varianssille

.

Painotetulle varianssille

Standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri:

Keskihajonta on keskiarvon luotettavuuden mitta. Mitä pienempi keskihajonta, sitä homogeenisempi perusjoukko ja sitä paremmin aritmeettinen keskiarvo heijastaa koko populaatiota.

Edellä käsitellyt hajautusmitat (vaihteluväli, dispersio, standardipoikkeama) ovat absoluuttisesti mitattuna, jonka perusteella ei aina ole mahdollista arvioida ominaisuuden vaihteluastetta. Joissakin ongelmissa on tarpeen käyttää suhteellisia sirontaindeksejä, joista yksi on variaatiokerroin.

Variaatiokerroin- keskihajonnan suhde aritmeettiseen keskiarvoon ilmaistuna prosentteina:

Variaatiokerrointa ei käytetä vain vertaileva arviointi erilaisten ominaisuuksien vaihtelut tai sama ominaisuus eri populaatioissa, mutta myös populaation homogeenisuuden karakterisoimiseksi. Tilastojoukko katsotaan kvantitatiivisesti homogeeniseksi, jos variaatiokerroin ei ylitä 33 % (lähellä normaalijakaumaa).

Esimerkki. Rangaistuslaitoksen vankeuslaitoksessa tuomioistuimen määräämää rangaistusta suorittamaan toimitettujen 50 tuomitun vankeusehdoista on saatavilla seuraavat tiedot: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Muodosta sarja jakaumia vankeusrangaistusten mukaan.

2. Laske keskiarvo, varianssi ja keskihajonna.

3. Laske variaatiokerroin ja tee johtopäätös tutkittavan populaation homogeenisuudesta tai heterogeenisyydestä.

Ratkaisu. Diskreetin jakaumasarjan muodostamiseksi on tarpeen määrittää vaihtoehdot ja taajuudet. Vaihtoehtona tässä ongelmassa on vankeusrangaistus ja toistuvuus yksittäisten vaihtoehtojen lukumääränä. Kun taajuudet on laskettu, saadaan seuraavat diskreetit jakaumasarjat:

Etsitään keskiarvo ja varianssi. Koska tilastotiedot esitetään diskreetillä variaatiosarjalla, käytämme niiden laskemiseen painotetun aritmeettisen keskiarvon ja dispersion kaavoja. Saamme:

= = 4,1;

= 5,21.

Nyt laskemme keskihajonnan:

Variaatiokertoimen löytäminen:

Näin ollen tilastollinen perusjoukko on kvantitatiivisesti heterogeeninen.

Matematiikan keskitaso aritmeettinen arvo luvut (tai yksinkertaisesti keskiarvo) on kaikkien tietyn joukon lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Tämä on yleisin ja yleisin keskiarvon käsite. Kuten jo ymmärsit, löytääksesi sinun on laskettava yhteen kaikki sinulle annetut luvut ja jaettava tuloksena saatu tulos termien lukumäärällä.

Mikä on aritmeettinen keskiarvo?

Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 1. Annetut luvut: 6, 7, 11. Sinun on löydettävä niiden keskiarvo.

Ratkaisu.

Ensin löydetään kaikkien näiden lukujen summa.

Jaa nyt saatu summa termien lukumäärällä. Koska meillä on kolme termiä, jaamme kolmella.

Siksi lukujen 6, 7 ja 11 keskiarvo on 8. Miksi 8? Kyllä, koska 6, 7 ja 11 summa on sama kuin kolme kahdeksaa. Tämä näkyy selvästi kuvasta.

Keskiarvo on vähän kuin "tasaistaisi" numerosarjan. Kuten näette, kynäpinoista on tullut sama taso.

Katsotaanpa toista esimerkkiä saadun tiedon vahvistamiseksi.

Esimerkki 2. Annetut luvut: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Sinun on löydettävä niiden aritmeettinen keskiarvo.

Ratkaisu.

Etsi summa.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Jaa termien lukumäärällä (tässä tapauksessa 15).

Siksi tämän numerosarjan keskiarvo on 22.

Mietitään nyt negatiivisia lukuja. Muistetaan, kuinka ne tiivistetään. Sinulla on esimerkiksi kaksi numeroa 1 ja -4. Etsitään heidän summansa.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Kun tiedät tämän, katsotaanpa toista esimerkkiä.

Esimerkki 3. Etsi lukusarjan keskiarvo: 3, -7, 5, 13, -2.

Ratkaisu.

Etsi lukujen summa.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Koska termejä on 5, jaa saatu summa 5:llä.

Siksi lukujen 3, -7, 5, 13, -2 aritmeettinen keskiarvo on 2,4.

Teknologisen kehityksen aikana on paljon kätevämpää käyttää keskiarvon löytämiseen tietokoneohjelmat. Microsoft Office Excel on yksi niistä. Keskiarvon löytäminen Excelissä on nopeaa ja helppoa. Lisäksi tämä ohjelma sisältyy Microsoft Office -ohjelmistopakettiin. Katsotaanpa lyhyt ohje, tämän ohjelman käytön arvo.

Lukusarjan keskiarvon laskemiseksi sinun on käytettävä AVERAGE-funktiota. Tämän funktion syntaksi on:
= Keskiarvo(argumentti1, argumentti2, ... argumentti255)
jossa argumentti1, argumentti2, ... argumentti255 ovat joko numeroita tai soluviittauksia (solut viittaavat alueisiin ja taulukoihin).

Selvittääksemme asian, kokeillaan saamiamme tietoja.

1. Syötä numerot 11, 12, 13, 14, 15, 16 soluihin C1 - C6.
2. Valitse solu C7 napsauttamalla sitä. Tässä solussa näytämme keskiarvon.
3. Napsauta Kaavat-välilehteä.
4. Avaa valitsemalla Lisää toimintoja > Tilastollinen
5. Valitse AVERAGE. Tämän jälkeen valintaikkunan pitäisi avautua.
6. Valitse ja vedä solut C1-C6 sinne asettaaksesi alueen valintaikkunassa.
7. Vahvista toimintasi "OK"-painikkeella.
8. Jos teit kaiken oikein, sinulla pitäisi olla vastaus solussa C7 - 13.7. Kun napsautat solua C7, funktio (=Keskiarvo(C1:C6)) ilmestyy kaavapalkkiin.

Tämä ominaisuus on erittäin hyödyllinen kirjanpidossa, laskuissa tai kun sinun on vain löydettävä erittäin pitkän numerosarjan keskiarvo. Siksi sitä käytetään usein toimistoissa ja suurissa yrityksissä. Näin voit pitää kirjanpitosi kunnossa ja mahdollistaa nopean laskennan (esimerkiksi keskimääräiset kuukausitulot). Myös kanssa käyttämällä Exceliä löydät funktion keskiarvon.

Yleisin keskiarvon tyyppi on aritmeettinen keskiarvo.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo on keskimääräinen termi, jonka määrittämisessä kokonaistilavuus tästä ominaisuudesta tiedoissa jakautuu tasaisesti kaikkien tiettyyn populaatioon sisältyvien yksiköiden kesken. Keskimääräinen vuosituotanto työntekijää kohti on siis tuotannon määrä, jonka jokainen työntekijä tuottaisi, jos koko tuotantomäärä jakautuisi tasaisesti kaikkien organisaation työntekijöiden kesken. Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo lasketaan kaavalla:

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo— yhtä suuri kuin ominaisuuden yksittäisten arvojen summan suhde aggregaatissa olevien ominaisuuksien lukumäärään

Esimerkki 1 . 6 työntekijän ryhmä saa 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tuhatta ruplaa kuukaudessa.

Etsi keskipalkka
Ratkaisu: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tuhatta ruplaa.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo

Jos tietojoukon tilavuus on suuri ja edustaa jakaumasarjaa, lasketaan painotettu aritmeettinen keskiarvo. Näin määritetään painotettu keskihinta tuotantoyksikköä kohden: tuotannon kokonaiskustannukset (sen määrän tuotteiden summa tuotantoyksikön hinnalla) jaetaan tuotannon kokonaismäärällä.

Kuvitellaan tämä seuraavan kaavan muodossa:

Painotettu aritmeettinen keskiarvo— yhtä suuri kuin suhde (piirteen arvon tulojen summa tämän piirteen toistotiheyteen) ja (kaikkien piirteiden frekvenssien summa). Sitä käytetään, kun tutkittavasta populaatiosta esiintyy muunnelmia. epätasaisen määrän kertoja.

Esimerkki 2 . Selvitä työpajatyöntekijöiden keskipalkka kuukaudessa

Keskipalkka saadaan jakamalla kokonaispalkat työntekijöiden kokonaismäärällä:

Vastaus: 3,35 tuhatta ruplaa.

Intervallisarjan aritmeettinen keskiarvo

Kun lasket aritmeettista keskiarvoa intervallivaihtelusarjalle, määritä ensin kunkin intervallin keskiarvo ylä- ja alarajan puolisummana ja sitten koko sarjan keskiarvo. Avointen intervallien tapauksessa alemman tai ylemmän intervallin arvo määräytyy niiden vieressä olevien intervallien koon mukaan.

Intervallisarjoista lasketut keskiarvot ovat likimääräisiä.

Esimerkki 3. Määritä iltaopiskelijoiden keski-ikä.

Intervallisarjoista lasketut keskiarvot ovat likimääräisiä. Niiden approksimaatioaste riippuu siitä, missä määrin populaatioyksiköiden todellinen jakautuminen intervallin sisällä lähestyy tasaista jakautumista.

Keskiarvoja laskettaessa painoina voidaan käyttää paitsi absoluuttisia myös suhteellisia arvoja (taajuutta):

Aritmeettisella keskiarvolla on useita ominaisuuksia, jotka paljastavat täydellisemmin sen olemuksen ja yksinkertaistavat laskelmia:

1. Keskiarvon tulo taajuuksien summalla on aina yhtä suuri kuin muunnelman taajuuksien tulojen summa, ts.

2. Keskikokoinen aritmeettinen summa vaihtelevat suureet ovat yhtä suuria kuin näiden määrien aritmeettisten keskiarvojen summa:

3. Ominaisuuden yksittäisten arvojen poikkeamien algebrallinen summa keskiarvosta on nolla:

4. Optioiden keskiarvon neliöpoikkeamien summa on pienempi kuin minkä tahansa muun mielivaltaisen arvon neliöityjen poikkeamien summa, ts.

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo on keskimääräinen termi, jolla määritetään tietyn ominaisuuden kokonaistilavuus kokonaisuus tiedot jakautuvat tasaisesti kaikkien tähän populaatioon sisältyvien yksiköiden kesken. Keskimääräinen vuosituotanto työntekijää kohti on siis tuotannon määrä, joka kohdistuisi jokaiseen työntekijään, jos koko tuotannon volyymi jakautuisi tasaisesti kaikkien organisaation työntekijöiden kesken. Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo lasketaan kaavalla:

Yksinkertainen aritmeettinen keskiarvo- Sama kuin ominaisuuden yksittäisten arvojen summan suhde aggregaatissa olevien ominaisuuksien lukumäärään

Esimerkki 1. 6 työntekijän ryhmä saa 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tuhatta ruplaa kuukaudessa.

Etsi keskipalkka Ratkaisu: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tuhatta ruplaa.

Aritmeettinen painotettu keskiarvo

Jos tietojoukon tilavuus on suuri ja edustaa jakaumasarjaa, lasketaan painotettu aritmeettinen keskiarvo. Näin määritetään painotettu keskihinta tuotantoyksikköä kohden: tuotannon kokonaiskustannukset (sen määrän tuotteiden summa tuotantoyksikön hinnalla) jaetaan tuotannon kokonaismäärällä.

Kuvitellaan tämä seuraavan kaavan muodossa:

Painotettu aritmeettinen keskiarvo- on yhtä suuri kuin suhde (piirteen arvon tulojen summa tämän piirteen toistotiheyteen) ja (kaikkien piirteiden taajuuksien summa). Sitä käytetään, kun tutkittavan populaation muunnelmia esiintyy epätasaisen määrän kertoja.

Esimerkki 2. Selvitä työpajatyöntekijöiden keskipalkka kuukaudessa

Yhden työntekijän palkka tuhat ruplaa; X	Työntekijöiden määrä F

Keskipalkka saadaan jakamalla kokonaispalkat työntekijöiden kokonaismäärällä:

Vastaus: 3,35 tuhatta ruplaa.

Intervallisarjan aritmeettinen keskiarvo

Kun lasket aritmeettista keskiarvoa intervallivaihtelusarjalle, määritä ensin kunkin intervallin keskiarvo ylä- ja alarajan puolisummana ja sitten koko sarjan keskiarvo. Avointen intervallien tapauksessa alemman tai ylemmän intervallin arvo määräytyy niiden vieressä olevien intervallien koon mukaan.

Intervallisarjoista lasketut keskiarvot ovat likimääräisiä.

Esimerkki 3. Määritä iltaopiskelijoiden keski-ikä.

Ikä vuosina!!x??	Opiskelijoiden määrä	Intervallin keskiarvo	Välin (iän) keskipisteen ja opiskelijoiden lukumäärän tulo
		(18 + 20) / 2 =19 18 tässä tapauksessa alemman välin raja. Laskettu 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 tai enemmän		(30 + 34) / 2 = 32

Intervallisarjoista lasketut keskiarvot ovat likimääräisiä. Niiden approksimaatioaste riippuu siitä, missä määrin populaatioyksiköiden todellinen jakautuminen intervallin sisällä lähestyy tasaista jakautumista.

Keskiarvoja laskettaessa painoina voidaan käyttää paitsi absoluuttisia myös suhteellisia arvoja (taajuutta).