Sinus terävä kulma Suorakulmaisen kolmion α on suhde vastapäätä jalka hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: sin α.
Kosini Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.
Se on merkitty seuraavasti: cos α.
Tangentti terävä kulma α on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun.
Se on merkitty seuraavasti: tg α.
Kotangentti terävä kulma α on viereisen sivun suhde vastakkaiseen sivuun.
Se on merkitty seuraavasti: ctg α.
Kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti riippuvat vain kulman koosta.
Säännöt:
Trigonometriset perusidentiteetit suorakulmaisessa kolmiossa:
(α – terävä kulma jalkaan nähden b ja jalan vieressä a . Sivu Kanssa - hypotenuusa. β – toinen terävä kulma).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sin α |
Terävän kulman kasvaessasin α jatan α nousu jacos α pienenee.
Kaikille terävälle kulmille α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Esimerkki-selitys:
Päästä sisään suorakulmainen kolmio ABC
AB = 6,
BC = 3,
kulma A = 30º.
Selvitetään kulman A sini ja kulman B kosini.
Ratkaisu .
1) Ensin löydetään kulman B arvo. Tässä kaikki on yksinkertaista: koska suorakulmaisessa kolmiossa teräväkulmien summa on 90º, niin kulma B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Lasketaan synti A. Tiedämme, että sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen puolen suhde hypotenuusaan. Kulman A vastakkainen puoli on sivu BC. Niin:
eKr. 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Lasketaan nyt cos B. Tiedämme, että kosini on yhtä suuri kuin viereisen haaran suhde hypotenuusaan. Kulman B viereinen haara on sama sivu BC. Tämä tarkoittaa, että meidän on jälleen jaettava BC AB:llä - eli suoritettava samat toiminnot kuin laskettaessa kulman A siniä:
eKr. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Tulos on:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Tästä seuraa, että suorakulmaisessa kolmiossa yhden terävän kulman sini on yhtä suuri kuin kosini toinen terävä kulma - ja päinvastoin. Tämä on juuri sitä, mitä kaksi kaavaamme tarkoittavat:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Varmistetaan vielä tämä:
1) Olkoon α = 60º. Korvaamalla α:n arvon sinikaavaan saamme:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Olkoon α = 30º. Korvaamalla α:n arvon kosinikaavaan, saamme:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.
(Lisätietoja trigonometriasta on Algebra-osiossa)
Kun pohdittiin suorakulmaisen kolmion ratkaisemiseen liittyviä ongelmia, lupasin esitellä tekniikan sinin ja kosinin määritelmien muistamiseen. Sen avulla muistat aina nopeasti, mikä puoli kuuluu hypotenuusaan (viereinen tai vastapäätä). Päätin olla lykkäämättä sitä pitkäksi aikaa, tarvittava materiaali on alla, lue se 😉
Tosiasia on, että olen toistuvasti havainnut, kuinka 10-11-luokkien oppilailla on vaikeuksia muistaa nämä määritelmät. He muistavat hyvin, että jalka viittaa hypotenuusaan, mutta kumpi- he unohtavat ja hämmentynyt. Virheen hinta, kuten tiedät kokeessa, on menetetty piste.
Tiedolla, jonka esitän suoraan, ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Hän on yhteydessä mielikuvituksellista ajattelua, ja verbaal-loogisen viestinnän menetelmillä. Juuri näin minä sen muistan, kerta kaikkiaanmääritelmätiedot. Jos unohdat ne, voit aina muistaa ne helposti esiteltyjen tekniikoiden avulla.
Muistutan sinua sinin ja kosinin määritelmistä suorakulmaisessa kolmiossa:
Kosini Suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Sinus Suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen sivun suhde hypotenuusaan:
Mitä assosiaatioita sinulla on sanan kosini kanssa?
Luultavasti jokaisella on omansa 😉Muista linkki:
Siten ilmaus ilmestyy välittömästi muistiisi -
«… viereisen jalan suhde hypotenuusaan».
Ongelma kosinin määrittämisessä on ratkaistu.
Jos sinun on muistettava sinin määritelmä suorakulmaisessa kolmiossa, muistamalla kosinin määritelmä, voit helposti todeta, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen sivun suhde hypotenuusaan. Loppujen lopuksi on vain kaksi jalkaa; jos viereisen haaran "varaa" kosini, vain vastakkainen jalka jää siniin.
Entä tangentti ja kotangentti? Hämmennys on sama. Opiskelijat tietävät, että tämä on jalkojen suhde, mutta ongelmana on muistaa kumpi viittaa mihinkin - joko päinvastoin kuin viereinen tai päinvastoin.
Määritelmät:
Tangentti Suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun:
Kotangentti Suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen sivun suhde vastakkaiseen:
Kuinka muistaa? On kaksi tapaa. Toinen käyttää myös verbaal-loogista yhteyttä, toinen matemaattista yhteyttä.
MATEMAATTINEN MENETELMÄ
On olemassa tällainen määritelmä - terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:
*Kun olet muistanut kaavan, voit aina määrittää, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun.
Samoin.Terävän kulman kotangentti on kulman kosinin suhde sen siniin:
Niin! Muistamalla nämä kaavat voit aina määrittää, että:
- suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen
— suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen sivun ja vastakkaisen sivun suhde.
SANALOOGINEN MENETELMÄ
Tietoja tangentista. Muista linkki:
Eli jos sinun on muistettava tangentin määritelmä käyttämällä tätä loogista yhteyttä, voit helposti muistaa, mikä se on
"... vastakkaisen puolen suhde viereiseen sivuun"
Jos puhumme kotangentista, muistamalla tangentin määritelmän voit helposti lausua kotangentin määritelmän -
"... viereisen puolen suhde vastakkaiseen sivuun"
Sivustolla on mielenkiintoinen temppu tangentin ja kotangentin muistamiseen " Matemaattinen tandem " , Katso.
YLEISMENETELMÄ
Voit vain muistaa sen.Mutta kuten käytäntö osoittaa, sanallisten ja loogisten yhteyksien ansiosta ihminen muistaa tiedot pitkään, ei vain matemaattisia.
Toivottavasti materiaalista oli sinulle hyötyä.
Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit minulle sivustosta sosiaalisessa mediassa.
Sini on yksi trigonometrisista perusfunktioista, jonka käyttö ei rajoitu pelkästään geometriaan. Trigonometristen funktioiden laskentataulukoita, kuten teknisiä laskimia, ei aina ole käsillä, ja sinin laskeminen on joskus tarpeen erilaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Yleensä sinin laskeminen auttaa vahvistamaan piirustustaitoja ja tietoa trigonometrisista identiteeteistä.
Pelit viivaimella ja kynällä
Yksinkertainen tehtävä: kuinka löytää paperille piirretyn kulman sini? Ratkaisua varten tarvitset tavallisen viivaimen, kolmion (tai kompassin) ja kynän. Yksinkertaisin tapa laskea kulman sini on jakaa suorakulmaisen kolmion kauempi haara pitkällä sivulla - hypotenuusalla. Siksi sinun on ensin täydennettävä terävä kulma suorakulmaisen kolmion muotoon piirtämällä viiva, joka on kohtisuorassa johonkin säteeseen mielivaltaisella etäisyydellä kulman kärjestä. Meidän on säilytettävä täsmälleen 90° kulma, jota varten tarvitsemme toimistokolmion.
Kompassin käyttö on hieman tarkempaa, mutta vie enemmän aikaa. Yhdelle säteelle sinun on merkittävä 2 pistettä tietyllä etäisyydellä, asetettava kompassille säde, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin pisteiden välinen etäisyys, ja piirtää puoliympyrät, joiden keskipisteet ovat näissä kohdissa, kunnes näiden viivojen leikkauspisteet saadaan. Yhdistämällä ympyröidemme leikkauspisteet toisiinsa, saamme tiukan kohtisuoran kulmamme säteeseen nähden; jäljellä on vain jatkaa viivaa, kunnes se leikkaa toisen säteen.
Tuloksena olevassa kolmiossa sinun on käytettävä viivainta mittaamaan kulman vastakkainen sivu ja yhden säteen pitkä sivu. Ensimmäisen ulottuvuuden suhde toiseen on terävän kulman sinin haluttu arvo.
Etsi sini kulmassa, joka on suurempi kuin 90°
Tylsällä kulmalla tehtävä ei ole paljon vaikeampi. Sinun on piirrettävä säde kärjestä kohti vastakkaiselle puolelle viivaimen avulla muodostamaan suora viiva yhden meitä kiinnostavan kulman säteistä. Tuloksena olevaa terävää kulmaa tulee käsitellä edellä kuvatulla tavalla, sinit vierekkäiset kulmat, jotka muodostavat yhdessä 180° käänteiskulman, ovat yhtä suuret.
Sinin laskeminen muiden trigonometristen funktioiden avulla
Myös sinin laskeminen on mahdollista, jos kulman muiden trigonometristen funktioiden arvot tai ainakin kolmion sivujen pituudet tunnetaan. Trigonometriset identiteetit auttavat meitä tässä. Katsotaanpa yleisiä esimerkkejä.
Kuinka löytää sini tunnetun kulman kosinin kanssa? Ensimmäinen Pythagoraan lauseeseen perustuva trigonometrinen identiteetti sanoo, että saman kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi.
Kuinka löytää sini tunnetulla kulman tangentilla? Tangentti saadaan jakamalla etäpuoli lähisivulla tai jakamalla sini kosinilla. Siten sini on kosinin ja tangentin tulo, ja sinin neliö on tämän tulon neliö. Korvaamme neliön kosinin yhden ja neliösinin erolla ensimmäisen mukaan trigonometrinen identiteetti ja yksinkertaisten manipulaatioiden avulla vähennämme yhtälön neliösinin laskemiseen tangentin kautta; vastaavasti sinin laskemiseksi sinun on poimittava saadun tuloksen juuri.
Kuinka löytää sini tunnetun kulman kotangentin kanssa? Kotangentin arvo voidaan laskea jakamalla kulmaa lähinnä olevan jalan pituus kauimpana olevan jalan pituudella sekä jakamalla kosini sinillä, eli kotangentti on tangentin suhteelle käänteinen funktio. 1. Laskeaksesi sinin, voit laskea tangentin kaavalla tg α = 1 / ctg α ja käyttää toisessa vaihtoehdossa olevaa kaavaa. Voit myös johtaa suoran kaavan analogisesti tangentin kanssa, joka näyttää tältä.
Kuinka löytää kolmion kolmen sivun sini
On olemassa kaava minkä tahansa kolmion, ei vain suorakulmaisen kolmion, tuntemattoman sivun pituuden löytämiseksi kahdesta tunnetusta sivusta käyttämällä vastakkaisen kulman kosinin trigonometristä funktiota. Hän näyttää tältä.
Mikä on kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti, auttaa sinua ymmärtämään suorakulmaisen kolmion.
Mitä kutsutaan suorakulmaisen kolmion sivuiksi? Aivan oikein, hypotenuusa ja jalat: hypotenuusa on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu (esimerkissämme tämä on sivu \(AC\)); jalat ovat kaksi jäljellä olevaa sivua \(AB\) ja \(BC\) (viereiset oikea kulma), ja jos tarkastellaan jalkoja suhteessa kulmaan \(BC\), niin jalka \(AB\) on viereinen jalka ja jalka \(BC\) on päinvastainen. Joten, nyt vastataan kysymykseen: mitä ovat kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti?
Kulman sini– tämä on vastakkaisen (etäisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Meidän kolmiossa:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kulman kosini– tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Meidän kolmiossa:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Kulman tangentti– tämä on vastakkaisen (etäisen) puolen suhde viereiseen (läheiseen).
Meidän kolmiossa:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kulman kotangentti– tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde vastakkaiseen (kaumaan).
Meidän kolmiossa:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Nämä määritelmät ovat välttämättömiä muistaa! Jotta olisi helpompi muistaa, mikä jalka kannattaa jakaa mihin, sinun on ymmärrettävä se selvästi tangentti Ja kotangentti vain jalat istuvat, ja hypotenuusa ilmestyy vain sisään sinus Ja kosini. Ja sitten voit keksiä assosiaatioketjun. Esimerkiksi tämä:
kosini→kosketus→kosketus→viereinen;
Kotangentti→kosketus→kosketus→viereinen.
Ensinnäkin sinun on muistettava, että sini, kosini, tangentti ja kotangentti kolmion sivujen suhteina eivät riipu näiden sivujen pituuksista (samassa kulmassa). Älä usko? Varmista sitten katsomalla kuvaa:
Otetaan esimerkiksi kulman \(\beta \) kosini. Määritelmän mukaan kolmiosta \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mutta voimme laskea kulman \(\beta \) kosinin kolmiosta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Katsos, sivujen pituudet ovat erilaisia, mutta yhden kulman kosinin arvo on sama. Siten sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot riippuvat yksinomaan kulman suuruudesta.
Jos ymmärrät määritelmät, mene eteenpäin ja vahvista ne!
Alla olevassa kuvassa näkyvälle kolmiolle \(ABC \) löydämme \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
No, saitko sen? Kokeile sitten itse: laske sama kulmalle \(\beta \) .
Vastaukset: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Yksikkö (trigonometrinen) ympyrä
Ymmärtääksemme asteiden ja radiaanien käsitteet tarkastelimme ympyrää, jonka säde on yhtä suuri kuin \(1\) . Sellaista ympyrää kutsutaan yksittäinen. Se on erittäin hyödyllinen tutkittaessa trigonometriaa. Siksi tarkastellaan sitä hieman yksityiskohtaisemmin.
Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on koordinaattien origossa, sädevektorin alkusijainti on kiinteä \(x\)-akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde \(AB\)).
Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: koordinaatti \(x\)-akselilla ja koordinaatti \(y\)-akselilla. Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Tätä varten meidän on muistettava harkittu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Harkitse kolmiota \(ACG\) . Se on suorakaiteen muotoinen, koska \(CG\) on kohtisuorassa \(x\)-akselia vastaan.
Mikä on \(\cos \ \alpha \) kolmiosta \(ACG \)? Oikein \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Lisäksi tiedämme, että \(AC\) on yksikköympyrän säde, mikä tarkoittaa \(AC=1\) . Korvataan tämä arvo kosinin kaavaan. Tässä on mitä tapahtuu:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Mikä on \(\sin \ \alpha \) kolmiosta \(ACG \)? No tottakai, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Korvaa säteen arvo \(AC\) tähän kaavaan ja saa:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Joten voitko kertoa mitkä koordinaatit ympyrään kuuluvalla pisteellä \(C\) on? No ei mitenkään? Mitä jos ymmärrät, että \(\cos \ \alpha \) ja \(\sin \alpha \) ovat vain numeroita? Mitä koordinaattia \(\cos \alpha \) vastaa? No, tietysti koordinaatti \(x\)! Ja mitä koordinaattia \(\sin \alpha \) vastaa? Aivan oikein, koordinoi \(y\)! Eli pointti \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Mitä sitten \(tg \alpha \) ja \(ctg \alpha \) ovat yhtä suuret? Se on oikein, käytetään vastaavia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan se \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Entä jos kulma on suurempi? Esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:
Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännytään jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kulma (kulman \(\beta \) vieressä). Mikä on kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kulma ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kulma ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa edelleen koordinaattia \(y\) ; kulman kosinin arvo - koordinaatti \(x\) ; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet pätevät mihin tahansa sädevektorin kiertoon.
On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on \(x\)-akselin positiivisessa suunnassa. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn arvon kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiiviset kulmat ja myötäpäivään käännettäessä – negatiivinen.
Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on \(360()^\circ \) tai \(2\pi \) . Onko mahdollista kiertää sädevektoria \(390()^\circ \) tai \(-1140()^\circ \)? No tottakai voit! Ensimmäisessä tapauksessa \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), siis sädevektori tekee yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan \(30()^\circ \) tai \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Toisessa tapauksessa \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), eli sädevektori tekee kolme täyttä kierrosta ja pysähtyy kohtaan \(-60()^\circ \) tai \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan \(360()^\circ \cdot m \) tai \(2\pi \cdot m \) (jossa \(m \) on mikä tahansa kokonaisluku ), vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.
Alla olevassa kuvassa näkyy kulma \(\beta =-60()^\circ \) . Sama kuva vastaa nurkkaa \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) jne. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla \(\beta +360()^\circ \cdot m\) tai \(\beta +2\pi \cdot m \) (jossa \(m \) on mikä tahansa kokonaisluku)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Nyt, tietää trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttää yksikköympyrä, yritä vastata, mitkä arvot ovat:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\teksti(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\teksti(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\teksti (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\teksti (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Tässä on yksikköympyrä avuksi:
Onko sinulla vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)
Tästä määritämme tiettyjä kulmamittoja vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma sisään \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) vastaa pistettä, jonka koordinaatit \(\left(0;1 \right) \) , joten:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ei ole olemassa;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat sisäänpäin \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) vastaavat pisteitä, joissa on koordinaatit \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \oikea) \), vastaavasti. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.
Vastaukset:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ei ole olemassa
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ei ole olemassa
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ei ole olemassa
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ei ole olemassa
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:
Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Sinun täytyy muistaa tai pystyä näyttämään se!! \) !}
Mutta kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) alla olevan taulukon mukaisesti, sinun on muistettava:
Älä pelkää, nyt näytämme sinulle yhden esimerkin melko yksinkertaisesta vastaavien arvojen muistamisesta:
Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa siniarvot kaikille kolmelle kulmamitalle ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), sekä kulman tangentin arvo muodossa \(30()^\circ \) . Kun tiedät nämä \(4\) arvot, koko taulukko on melko yksinkertaista palauttaa - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), kun tiedät tämän, voit palauttaa arvot \(\teksti(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Osoittaja "\(1 \)" vastaa \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ja nimittäjä "\(\sqrt(\text(3)) \)" vastaa \(\teksti (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat vain \(4\) arvot taulukosta.
Ympyrän pisteen koordinaatit
Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, kun tiedetään ympyrän keskipisteen koordinaatit, säde ja kiertokulma? No tietysti voit! Johdetaan yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi. Esimerkiksi tässä on ympyrä edessämme:
Se piste meille on annettu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on \(1.5\) . On tarpeen löytää pisteen \(P\) koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä \(O\) \(\delta \) astetta.
Kuten kuvasta näkyy, pisteen \(P\) koordinaatti \(x\) vastaa janan \(TP=UQ=UK+KQ\) pituutta. Janan \(UK\) pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia \(x\), eli se on yhtä suuri kuin \(3\) . Janan \(KQ\) pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Sitten meillä on pisteen \(P\) koordinaatti \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Samaa logiikkaa käyttäen löydämme pisteen \(P\) y-koordinaatin arvon. Täten,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Joten sisään yleisnäkymä Pisteiden koordinaatit määritetään seuraavilla kaavoilla:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Missä
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ympyrän keskipisteen koordinaatit,
\(r\) - ympyrän säde,
\(\delta \) - vektorin säteen kiertokulma.
Kuten näette, tarkastelemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript on poistettu käytöstä selaimessasi.Jotta voit suorittaa laskelmia, sinun on otettava ActiveX-komponentit käyttöön!
Käsitteet sini (), kosini (), tangentti (), kotangentti () liittyvät erottamattomasti kulman käsitteeseen. Ymmärtääksesi nämä hyvin, ensi silmäyksellä, monimutkaisia käsitteitä(jotka aiheuttavat kauhun tilan monissa koululaisissa) ja varmistaaksemme, että "paholainen ei ole niin pelottava kuin hän on maalattu", aloitetaan alusta ja ymmärretään kulman käsite.
Kulman käsite: radiaani, aste
Katsotaanpa kuvaa. Vektori on "kääntynyt" suhteessa pisteeseen tietyn verran. Joten tämän kierron mitta suhteessa alkuasentoon on kulma.
Mitä muuta sinun on tiedettävä kulman käsitteestä? No, tietysti kulmayksiköt!
Kulma, sekä geometriassa että trigonometriassa, voidaan mitata asteina ja radiaaneina.
Kulmaa (yksi astetta) kutsutaan keskikulma ympyrässä, joka perustuu ympyrän kaareen, joka on yhtä suuri kuin osa ympyrästä. Siten koko ympyrä koostuu ympyränkaarien "kappaleista" tai ympyrän kuvaama kulma on yhtä suuri.
Toisin sanoen yllä oleva kuva esittää kulmaa, joka on yhtä suuri, eli tämä kulma lepää ympyrän kaarella, joka on kehän kokoinen.
Kulma radiaaneina on ympyrän keskikulma, jota rajoittaa ympyrän kaari, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde. No, keksitkö sen? Jos ei, niin selvitetään se piirroksesta.
Joten kuvassa on kulma, joka on yhtä suuri kuin radiaani, eli tämä kulma lepää ympyrän kaarella, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde (pituus on yhtä suuri kuin pituus tai säde on yhtä suuri kuin ympyrän säde kaaren pituus). Näin ollen kaaren pituus lasketaan kaavalla:
Missä on keskikulma radiaaneina.
No, tietäen tämän, voitko vastata kuinka monta radiaania sisältyy ympyrän kuvaamaan kulmaan? Kyllä, tätä varten sinun on muistettava ympärysmitan kaava. Tässä hän on:
No, nyt korreloidaan nämä kaksi kaavaa ja todetaan, että ympyrän kuvaama kulma on yhtä suuri. Eli korreloimalla arvot asteina ja radiaaneina, saamme sen. Vastaavasti,. Kuten näette, toisin kuin "asteet", sana "radiaani" jätetään pois, koska mittayksikkö on yleensä selvä asiayhteydestä.
Kuinka monta radiaania on? Oikein!
Sain sen? Mene sitten eteenpäin ja korjaa se:
Onko sinulla vaikeuksia? Katso sitten vastauksia:
Suorakulmainen kolmio: sini, kosini, tangentti, kulman kotangentti
Joten selvitimme kulman käsitteen. Mutta mikä on kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti? Selvitetään se. Tässä suorakulmainen kolmio auttaa meitä.
Mitä kutsutaan suorakulmaisen kolmion sivuiksi? Aivan oikein, hypotenuusa ja jalat: hypotenuusa on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu (esimerkissämme tämä on sivu); jalat ovat kaksi jäljellä olevaa sivua ja (oikean kulman vieressä), ja jos tarkastelemme jalkoja suhteessa kulmaan, niin jalka on viereinen jalka ja jalka on päinvastainen. Joten, nyt vastataan kysymykseen: mitä ovat kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti?
Kulman sini- tämä on vastakkaisen (etäisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Meidän kolmiossa.
Kulman kosini- tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Meidän kolmiossa.
Kulman tangentti- tämä on vastakkaisen (etäisen) puolen suhde viereiseen (läheiseen).
Meidän kolmiossa.
Kulman kotangentti- tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde vastakkaiseen (kaumaan).
Meidän kolmiossa.
Nämä määritelmät ovat välttämättömiä muistaa! Jotta olisi helpompi muistaa, mikä jalka kannattaa jakaa mihin, sinun on ymmärrettävä se selvästi tangentti Ja kotangentti vain jalat istuvat, ja hypotenuusa ilmestyy vain sisään sinus Ja kosini. Ja sitten voit keksiä assosiaatioketjun. Esimerkiksi tämä:
kosini→kosketus→kosketus→viereinen;
Kotangentti→kosketus→kosketus→viereinen.
Ensinnäkin sinun on muistettava, että sini, kosini, tangentti ja kotangentti kolmion sivujen suhteina eivät riipu näiden sivujen pituuksista (samassa kulmassa). Älä usko? Varmista sitten katsomalla kuvaa:
Otetaan esimerkiksi kulman kosini. Määritelmän mukaan kolmiosta: , mutta voimme laskea kulman kosinin kolmiosta: . Katsos, sivujen pituudet ovat erilaisia, mutta yhden kulman kosinin arvo on sama. Siten sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot riippuvat yksinomaan kulman suuruudesta.
Jos ymmärrät määritelmät, mene eteenpäin ja vahvista ne!
Alla olevassa kuvassa näkyvälle kolmiolle löydämme.
No, saitko sen? Kokeile sitten itse: laske sama kulmalle.
Yksikkö (trigonometrinen) ympyrä
Ymmärtäessämme asteiden ja radiaanien käsitteet katsoimme ympyrää, jonka säde on yhtä suuri. Sellaista ympyrää kutsutaan yksittäinen. Se on erittäin hyödyllinen tutkittaessa trigonometriaa. Siksi tarkastellaan sitä hieman yksityiskohtaisemmin.
Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on koordinaattien alkupisteessä, sädevektorin alkusijainti on kiinteä akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde).
Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: akselikoordinaattia ja akselikoordinaattia. Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Tätä varten meidän on muistettava harkittu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Harkitse kolmiota. Se on suorakaiteen muotoinen, koska se on kohtisuorassa akseliin nähden.
Mitä kolmio on yhtä suuri? Oikein. Lisäksi tiedämme, että se on yksikköympyrän säde, mikä tarkoittaa . Korvataan tämä arvo kosinin kaavaan. Tässä on mitä tapahtuu:
Mitä kolmio on yhtä suuri? No tottakai, ! Korvaa säteen arvo tähän kaavaan ja saa:
Joten voitko kertoa mitkä koordinaatit ympyrään kuuluvalla pisteellä on? No ei mitenkään? Mitä jos ymmärrät sen ja olet vain numeroita? Mitä koordinaattia se vastaa? No, tietysti koordinaatit! Ja mitä koordinaattia se vastaa? Juuri niin, koordinaatit! Eli piste.
Mitkä sitten ovat ja ovat yhtä suuria? Se on oikein, käytetään vastaavia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan, että a.
Entä jos kulma on suurempi? Esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:
Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännytään jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota: kulma (kulman vieressä). Mitkä ovat kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:
No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa silti koordinaattia; kulman kosinin arvo - koordinaatti; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet pätevät mihin tahansa sädevektorin kiertoon.
On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on akselin positiivista suuntaa pitkin. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn arvon kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiiviset kulmat, ja kun käännetään myötäpäivään - negatiivinen.
Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on tai. Onko mahdollista kiertää sädevektoria suuntaan tai suuntaan? No tietysti voit! Ensimmäisessä tapauksessa sädevektori tekee siis yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan tai.
Toisessa tapauksessa, eli sädevektori tekee kolme täyttä kierrosta ja pysähtyy kohtaan tai.
Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan tai (jossa on mikä tahansa kokonaisluku), vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.
Alla oleva kuva esittää kulmaa. Sama kuva vastaa nurkkaa jne. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla tai (missä on mikä tahansa kokonaisluku)
Nyt, kun tiedät trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttämällä yksikköympyrää, yritä vastata, mitkä arvot ovat:
Tässä on yksikköympyrä avuksi:
Onko sinulla vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:
Tästä määritämme tiettyjä kulmamittoja vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma kohdassa vastaa pistettä, jolla on koordinaatit, joten:
Ei ole olemassa;
Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat vastaavat pisteitä, joilla on vastaavasti koordinaatit. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.
Vastaukset:
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:
Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:
Mutta kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja, alla olevassa taulukossa, täytyy muistaa:
Älä pelkää, nyt näytämme sinulle yhden esimerkin melko helppo muistaa vastaavat arvot:
Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa sinin arvot kaikille kolmelle kulmamitalle () sekä kulman tangentin arvo. Kun tiedät nämä arvot, on melko yksinkertaista palauttaa koko taulukko - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:
Kun tiedät tämän, voit palauttaa arvot. Osoittaja " " vastaa ja nimittäjä " " vastaa. Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat kaikki arvot taulukosta.
Ympyrän pisteen koordinaatit
Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, ympyrän keskipisteen koordinaatit, sen säde ja kiertokulma?
No tietysti voit! Otetaan se ulos yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi.
Esimerkiksi tässä on ympyrä edessämme:
Meille on annettu, että piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä asteina.
Kuten kuvasta näkyy, pisteen koordinaatti vastaa janan pituutta. Janan pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia, eli se on yhtä suuri. Janan pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:
Sitten meillä on se pistekoordinaatiksi.
Samaa logiikkaa käyttäen löydämme pisteen y-koordinaattiarvon. Täten,
Joten yleensä pisteiden koordinaatit määritetään kaavoilla:
Ympyrän keskipisteen koordinaatit,
Ympyrän säde,
Vektorin säteen kiertokulma.
Kuten näette, tarkastelemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä:
No, kokeillaanko näitä kaavoja harjoittelemalla pisteiden etsimistä ympyrästä?
1. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
2. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
3. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
4. Piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
5. Piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
Onko sinulla vaikeuksia löytää ympyrän pisteen koordinaatit?
Ratkaise nämä viisi esimerkkiä (tai opi ratkaisemaan ne), niin opit löytämään ne!
1.
Sen voi huomata. Mutta me tiedämme, mikä vastaa lähtökohdan täyttä käännettä. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Kun tiedämme tämän, löydämme pisteen tarvittavat koordinaatit:
2. Yksikköympyrä on keskitetty pisteeseen, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi huomata. Tiedämme, mikä vastaa lähtöpisteen kahta täyttä kierrosta. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Kun tiedämme tämän, löydämme pisteen tarvittavat koordinaatit:
Sini ja kosini ovat taulukon arvoja. Muistamme niiden merkitykset ja saamme:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
3. Yksikköympyrä on keskitetty pisteeseen, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi huomata. Kuvataan kyseistä esimerkkiä kuvassa:
Säde muodostaa kulmat, jotka ovat yhtä suuria kuin akseli ja sen kanssa. Kun tiedämme, että kosinin ja sinin taulukon arvot ovat yhtä suuret ja olemme päättäneet, että kosini saa tässä negatiivisen arvon ja sini positiivisen arvon, meillä on:
Tällaisia esimerkkejä käsitellään tarkemmin tutkittaessa aiheen trigonometristen funktioiden pelkistyskaavoja.
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
4.
Vektorin säteen kiertokulma (ehdon mukaan)
Sinin ja kosinin vastaavien etumerkkien määrittämiseksi rakennamme yksikköympyrän ja kulman:
Kuten näette, arvo eli arvo on positiivinen ja arvo eli negatiivinen. Kun tiedämme vastaavien trigonometristen funktioiden taulukkoarvot, saamme, että:
Korvataan saadut arvot kaavaamme ja etsitään koordinaatit:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
5. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavoja yleisessä muodossa, missä
Ympyrän keskipisteen koordinaatit (esimerkissämme
Ympyrän säde (ehdon mukaan)
Vektorin säteen kiertokulma (ehdon mukaan).
Korvataan kaikki arvot kaavaan ja saadaan:
ja - taulukon arvot. Muistetaan ja korvataan ne kaavalla:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVAT
Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman kosini on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman tangentti on vastakkaisen (kaukaisen) puolen suhde viereiseen (läheiseen) sivuun.
Kulman kotangentti on viereisen (läheisen) puolen ja vastakkaisen (kaukaisen) puolen suhde.
