Tärkeimpien trigonometristen funktioiden - sini, kosini, tangentti ja kotangentti - väliset suhteet on annettu trigonometriset kaavat. Ja koska trigonometristen funktioiden välillä on melko paljon yhteyksiä, tämä selittää myös trigonometristen kaavojen runsauden. Jotkut kaavat yhdistävät saman kulman trigonometriset funktiot, toiset - usean kulman funktiot, toiset - antavat sinun laskea astetta, neljännet - ilmaista kaikki funktiot puolikulman tangentin kautta jne.
Tässä artikkelissa luetellaan kaikki tärkeimmät trigonometriset kaavat, jotka riittävät ratkaisemaan suurimman osan trigonometriaongelmista. Muistamisen ja käytön helpottamiseksi ryhmittelemme ne käyttötarkoituksensa mukaan ja syötämme ne taulukoihin.
Sivulla navigointi.
Trigonometriset perusidentiteetit
Main trigonometriset identiteetit aseta suhde yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välillä. Ne johtuvat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmästä sekä yksikköympyrän käsitteestä. Niiden avulla voit ilmaista yhden trigonometrisen funktion minkä tahansa muun kautta.
Yksityiskohtainen kuvaus näistä trigonometriakaavoista, niiden johtamisesta ja sovellusesimerkeistä on artikkelissa.
Valokaavat
Valokaavat seuraavat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuuksista, eli ne heijastavat trigonometristen funktioiden jaksollisuuden ominaisuutta, symmetriaominaisuutta ja myös ominaisuutta siirtyä tietyllä kulmalla. Näiden trigonometristen kaavojen avulla voit siirtyä mielivaltaisten kulmien käsittelystä kulmien työskentelyyn nollasta 90 asteeseen.
Artikkelissa voidaan tutkia näiden kaavojen perusteluja, muistisääntöä niiden muistamiseksi ja esimerkkejä niiden soveltamisesta.
Lisäyskaavat
Trigonometriset summauskaavat näytä kuinka kahden kulman summan tai eron trigonometriset funktiot ilmaistaan näiden kulmien trigonometrisinä funktioina. Nämä kaavat toimivat perustana seuraavien trigonometristen kaavojen johtamiselle.
Kaavat kaksois-, kolmois- jne. kulma
Kaavat kaksois-, kolmois- jne. kulma (niitä kutsutaan myös useiden kulmien kaavoiksi) osoittavat, kuinka kaksois-, kolmois- jne. trigonometriset funktiot. kulmat () ilmaistaan yhden kulman trigonometrisinä funktioina. Niiden johtaminen perustuu summauskaavoihin.
Tarkempia tietoja kerätään artikkelikaavoissa tupla-, kolmois- jne. kulma.
Puolikulmakaavat
Puolikulmakaavat näytä kuinka puolikulman trigonometriset funktiot ilmaistaan kokonaislukukulman kosinina. Nämä trigonometriset kaavat johtuvat kaksoiskulmakaavoista.
Heidän johtopäätöksensä ja sovellusesimerkit löytyvät artikkelista.
Vähennyskaavat
Trigonometriset kaavat aleneville asteille suunniteltu helpottamaan siirtymistä luonnolliset asteet trigonometriset funktiot sineihin ja kosineihin ensimmäiseen asteeseen, mutta useita kulmia. Toisin sanoen niiden avulla voidaan vähentää trigonometristen funktioiden tehot ensimmäiseksi.
Kaavat trigonometristen funktioiden summalle ja erolle
Päätarkoitus trigonometristen funktioiden summa- ja erotuskaavat koostuu siirtymisestä funktioiden tuloon, mikä on erittäin hyödyllistä yksinkertaistettaessa trigonometrisiä lausekkeita. Näitä kaavoja käytetään laajasti myös trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, koska ne mahdollistavat sinien ja kosinien summan ja eron laskemisen.
Kaavat sinien, kosinien ja sini kerrallaan tulolle
Siirtyminen trigonometristen funktioiden tulosta summaan tai erotukseen suoritetaan sinien, kosinien ja sini kerrallaan tulokaavojen avulla.
Tekijänoikeus älykkäillä opiskelijoilla
Kaikki oikeudet pidätetään.
Tekijänoikeuslain suojaama. Mitään www.sivuston osaa, mukaan lukien sisäiset materiaalit ja ulkoinen suunnittelu, ei saa jäljentää missään muodossa tai käyttää ilman tekijänoikeuksien haltijan etukäteen antamaa kirjallista lupaa.
Jos rakennamme yksikköympyrän, jonka keskipiste on origossa, ja asetamme argumentille mielivaltaisen arvon x0 ja laskea akselilta Härkä kulma x 0, sitten tämä kulma päälle yksikköympyrä vastaa jotain kohtaa A(Kuva 1) ja sen projektio akselille vai niin tulee olemaan pointtia M. Leikkauspituus OM yhtä suuri kuin pisteen abskissan itseisarvo A. annettu argumentin arvo x0 kartoitetun funktion arvo y= cos x 0 pisteen abskissana A. Vastaavasti kohta SISÄÄN(x 0 ;klo 0) kuuluu funktiokaavioon klo= cos X(Kuva 2). Jos kohta A sijaitsee akselin oikealla puolella OU, tokosiini on positiivinen, jos vasemmalla se on negatiivinen. Mutta pointti joka tapauksessa A ei voi poistua piiristä. Siksi kosini vaihtelee -1:stä 1:een:
-1 = cos x = 1.
Lisäkierto mihin tahansa kulmaan, 2:n kerrannainen s, palauttaa pisteen A samaan paikkaan. Siksi toiminto y= cos xs:
cos( x+ 2s) = cos x.
Jos otamme kaksi argumentin arvoa, jotka ovat absoluuttisesti yhtä suuret, mutta vastakkaiset etumerkillä, x Ja - x, löytää vastaavat pisteet ympyrästä A x Ja Kirves. Kuten kuvasta näkyy. 3 niiden projektio akselille vai niin on sama kohta M. Siksi
cos(- x) = cos( x),
nuo. kosini - tasainen toiminto, f(–x) = f(x).
Joten voimme tutkia funktion ominaisuuksia y= cos X segmentillä , ja ottaa sitten huomioon sen pariteetti ja jaksollisuus.
klo X= 0 pistettä A sijaitsee akselilla vai niin, sen abskissa on 1, ja siksi cos 0 = 1. Kasvulla X piste A liikkuu ympyrän ympäri ylös ja vasemmalle, sen projektio tietysti vain vasemmalle ja x = s/2 kosinista tulee 0. Piste A tällä hetkellä se nousee maksimikorkeuteen ja jatkaa sitten liikkumista vasemmalle, mutta jo laskeutuen. Sen abskissa pienenee, kunnes se saavuttaa pienin arvo, yhtä suuri kuin –1 at X= s. Siten segmentillä funktio klo= cos X pienenee monotonisesti arvosta 1 arvoon –1 (kuvat 4, 5).
Kosinin pariteetista seuraa, että välissä [– s, 0], funktio kasvaa monotonisesti arvosta –1 arvoon 1 ja saa nollaarvon x =–s/2. Jos otat useita jaksoja, saat aaltoilevan käyrän (kuva 6).
Toiminto siis y= cos x ottaa pisteissä nolla-arvoa X= s/2 + kp, Missä k- mikä tahansa kokonaisluku. Pisteissä saavutetaan maksimiarvo 1 X= 2kp, eli vaiheen 2 kanssa s, ja minimit ovat –1 pisteissä X= s + 2kp.
Funktio y \u003d sin x.
Yksikköympyrässä x 0 vastaa pistettä A(Kuva 7), ja sen projektio akselille OU tulee olemaan pointtia N.W funktion arvo y 0 = synti x0 määritellään pisteen ordinaatiksi A. Piste SISÄÄN(kulma x 0 ,klo 0) kuuluu funktiokaavioon y= synti x(Kuva 8). On selvää, että toiminto y= synti x jaksollinen, sen jakso on 2 s:
synti( x+ 2s) = synti ( x).
Kahdelle argumenttiarvolle X Ja -, vastaavien pisteiden projektiot A x Ja Kirves per akseli OU sijaitsee symmetrisesti pisteen ympärillä NOIN. Siksi
synti(- x) = –sin( x),
nuo. sini on pariton funktio, f(- x) = –f( x) (Kuva 9).
Jos kohta A kiertää pisteen ympäri NOIN nurkassa s/2 vastapäivään (toisin sanoen, jos kulma X kasvaa s/2), niin sen ordinaatta uudessa paikassa on yhtä suuri kuin vanhan abskissa. Joka tarkoittaa
synti( x+ s/2) = cos x.
Muussa tapauksessa sini on kosini, "myöhässä". s/2, koska mikä tahansa kosiniarvo "toistuu" sinissä, kun argumentti kasvaa s/2. Ja sinigraafin rakentamiseen riittää, että kosinigraafia siirretään s/2 oikealle (kuva 10). Erittäin tärkeä omaisuus sini ilmaistaan tasa-arvolla
Tasa-arvon geometrinen merkitys voidaan nähdä kuvasta. 11. Täällä X - tämä on puolet kaaresta AB, ja syntiä X - puolet vastaavasta soinnusta. Ilmeisesti pisteiden lähestyessä A Ja SISÄÄN sointeen pituus on tulossa yhä lähemmäksi kaaren pituutta. Samasta kuviosta on helppo erottaa eriarvoisuus
|synti x| x|, voimassa kaikille X.
Kaavaa (*) kutsuvat matemaatikot ihmeelliseksi rajaksi. Siitä seuraa erityisesti synti X» X pienessä X.
Toiminnot klo=tg x, y=ctg X. Kaksi muuta trigonometristä funktiota - tangentti ja kotangentti on helpoin määritellä meille jo tuntemina sinin ja kosinin suhteina:
Kuten sini ja kosini, tangentti ja kotangentti ovat jaksollisia funktioita, mutta niiden jaksot ovat yhtä suuret s, eli ne ovat puolet sinistä ja kosinista. Syy tähän on selvä: jos sini ja kosini molemmat vaihtavat etumerkkejä, niiden suhde ei muutu.
Koska tangentin nimittäjässä on kosini, tangenttia ei määritellä niissä pisteissä, joissa kosini on 0 - kun X= s/2 +kp. Kaikissa muissa kohdissa se kasvaa monotonisesti. Suoraan X= s/2 + kp tangentille ovat pystysuorat asymptootit. Kohdissa kp tangentti ja kaltevuus ovat 0 ja 1, vastaavasti (kuva 12).
Kotangenttia ei ole määritelty, jos sini on 0 (kun x = kp). Muissa kohdissa se pienenee monotonisesti ja viivat x = kp – hänen vertikaaliset asymptootit. Kohdissa x = p/2 +kp kotangentti muuttuu 0:ksi ja kaltevuus näissä kohdissa on -1 (kuva 13).
Pariteetti ja jaksollisuus.
Funktiota kutsutaan vaikka f(–x) = f(x). Kosini- ja sekanttifunktiot ovat parillisia ja sini-, tangentti-, kotangentti- ja kosekanttifunktiot parittomat:
| sin(-α) = -sinα | tg (–α) = –tg α |
| cos(-α) = cosα | ctg(-a) = -ctga |
| sek(-α) = secα | cosec (–α) = – cosec α |
Pariteettiominaisuudet johtuvat pisteiden symmetriasta P a ja R- a (Kuva 14) akselin ympäri X. Tällaisella symmetrialla pisteen ordinaatin etumerkki muuttuu (( X;klo) menee ( X; -y)). Kaikkien funktioiden - jaksollinen, sini, kosini, sekantti ja kosekantti - jakso on 2 s, ja tangentti ja kotangentti - s:
| synti (α + 2 kπ) = sinα | cos (α + 2 kπ) = cosα |
| rusketus (α + kπ) = tgα | ctg(α + kπ) = ctgα |
| s (α + 2 kπ) = sek | kosek (α + 2 kπ) = cosecα |
Sinin ja kosinin jaksollisuus seuraa siitä, että kaikki pisteet P a + 2 kp, Missä k= 0, ±1, ±2,…, ovat samat, ja tangentin ja kotangentin jaksollisuus johtuu siitä, että pisteet P+ kp putoavat vuorotellen kahteen diametraalisesti vastakkaiseen ympyrän pisteeseen, jolloin saadaan sama piste tangenttien akselilla.
Trigonometristen funktioiden tärkeimmät ominaisuudet voidaan tiivistää taulukkoon:
| Toiminto | Verkkotunnus | Monet arvot | Pariteetti | Monotoniset alueet ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| synti x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | outo | kasvaa kanssa x O((4 k – 1) s /2, (4k + 1) s/2), pienenee as x O((4 k + 1) s /2, (4k + 3) s/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | jopa | Lisääntyy kanssa x O((2 k – 1) s, 2kp), vähenee klo x Voi (2 kp, (2k + 1) s) |
| tg x | x № s/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | outo | kasvaa kanssa x O((2 k – 1) s /2, (2k + 1) s /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | outo | vähenee klo x TIETOJA ( kp, (k + 1) s) |
| sek x | x № s/2 + p k | (–Ґ , –1] JA [+1, +Ґ ) | jopa | Lisääntyy kanssa x Voi (2 kp, (2k + 1) s), vähenee klo x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| syy x | x № p k | (–Ґ , –1] JA [+1, +Ґ ) | outo | kasvaa kanssa x O((4 k + 1) s /2, (4k + 3) s/2), pienenee as x O((4 k – 1) s /2, (4k + 1) s /2) |
Kaavojen valuminen.
Näiden kaavojen mukaan argumentin a trigonometrisen funktion arvo, jossa s/2 a p , voidaan pelkistää argumentin a funktion arvoon, missä 0 a p /2, sekä sama että sen lisäksi.
| Argumentti b |  – a |
+a | s– a | s+a | +a | +a | 2s– a |
| sinb | cos a | cos a | synti a | -sin a | -kos a | -kos a | -sin a |
| cosb | synti a | -sin a | -kos a | -kos a | -sin a | synti a | cos a |
Siksi trigonometristen funktioiden taulukoissa arvot annetaan vain teräville kulmille, ja riittää, että rajoitamme esimerkiksi siniin ja tangenttiin. Taulukko sisältää vain yleisimmin käytetyt sinin ja kosinin kaavat. Niistä on helppo saada kaavat tangentille ja kotangentille. Kun funktio lähetetään muodon argumentista kp/2 ± a , missä k on kokonaisluku, funktioon argumentista a:
1) funktion nimi tallennetaan, jos k jopa ja muuttuu "täydentäväksi" jos k outo;
2) oikealla oleva etumerkki osuu pisteen pelkistettävän funktion etumerkkiin kp/2 ± a, jos kulma a on terävä.
Esimerkiksi heitettäessä ctg (a - s/2) varmista, että - s/2 kohdassa 0 a p /2 on neljännessä neljänneksessä, jossa kotangentti on negatiivinen, ja säännön 1 mukaan muutamme funktion nimeä: ctg (a - s/2) = –tg a .
Lisäyskaavat.
Useita kulmakaavoja.
Nämä kaavat johdetaan suoraan summauskaavoista:
sin 2a \u003d 2 sin a cos a;
cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;
sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;
cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;
François Viet käytti kaavaa cos 3a:lle ratkaiseessaan kuutioyhtälön. Hän löysi ensimmäisenä ilmaisut sanalle cos n a ja synti n a , jotka saatiin myöhemmin yksinkertaisemmalla tavalla De Moivren kaavasta.
Jos korvaat a:n /2:lla kaksoisargumenttikaavoissa, ne voidaan muuntaa puolikulmakaavoiksi:
Universaalit korvauskaavat.
Näitä kaavoja käyttämällä lauseke, joka sisältää eri trigonometrisiä funktioita samasta argumentista, voidaan kirjoittaa uudelleen rationaaliseksi lausekkeeksi yhdestä funktiosta tg (a / 2), tämä on hyödyllistä ratkaistaessa joitain yhtälöitä:
 |
|
 |
 |
Kaavat summien muuntamiseksi tuotteiksi ja tuotteiden summiksi.
Ennen tietokoneiden tuloa näitä kaavoja käytettiin laskelmien yksinkertaistamiseen. Laskelmat tehtiin logaritmisilla taulukoilla ja myöhemmin - diasäännöllä, koska. logaritmit soveltuvat parhaiten lukujen kertomiseen, joten kaikki alkuperäiset lausekkeet pelkistettiin logaritmille sopivaan muotoon, ts. töihin, kuten:
2 syntiä a sin b = cos ( a-b) – cos ( a+b);
2 cos a cos b= cos( a-b) + cos( a+b);
2 syntiä a cos b= synti ( a-b) + synti ( a+b).
Tangentti- ja kotangenttifunktioiden kaavat saadaan yllä olevasta.
Tutkinnonvähennyskaavat.
Usean argumentin kaavoista johdetaan kaavat:
| sin 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2; | cos2a = (1 + cos2a)/2; |
| sin 3 a \u003d (3 sin a - sin 3a) / 4; | cos 3 a = (3 cos a + cos3 a )/4. |
Näillä kaavoilla trigonometriset yhtälöt voidaan pelkistää alempien asteiden yhtälöiksi. Samalla tavalla voidaan johtaa pelkistyskaavoja enemmän korkeat asteet sini ja kosini.
| Trigonometristen funktioiden derivaatat ja integraalit | |
| (synti x)` = cos x; | (cos x)` = -sin x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t syntiä x dx= -cos x + C; | t cos x dx= synti x + C; |
| t tg x dx= –ln |cos x| + C; | t ctg x dx = syntiä x| + C; |
Jokainen trigonometrinen funktio määritelmäalueensa jokaisessa pisteessä on jatkuva ja äärettömästi differentioituva. Lisäksi trigonometristen funktioiden derivaatat ovat trigonometrisiä funktioita, ja integroitaessa saadaan myös trigonometriset funktiot tai niiden logaritmit. Trigonometristen funktioiden rationaalisten yhdistelmien integraalit ovat aina alkeisfunktioita.
Trigonometristen funktioiden esitys potenssisarjojen ja äärettömien tulojen muodossa.
Kaikki trigonometriset funktiot voidaan laajentaa potenssisarjoiksi. Tässä tapauksessa funktiot syntyvät x b cos x näkyvät riveissä. konvergoiva kaikille arvoille x:
Näitä sarjoja voidaan käyttää synnille likimääräisten lausekkeiden saamiseksi x ja cos x pienille arvoille x:
klo | x| p/2;
0x| s
(B n ovat Bernoullin lukuja).
syntifunktiot x ja cos x voidaan esittää äärettöminä tuotteina:
Trigonometrinen järjestelmä 1, cos x, synti x, cos 2 x, synti 2 x, ¼, cos nx, synti nx, ¼, muodostuu väliin [– s, s] ortogonaalinen funktiojärjestelmä, joka mahdollistaa funktioiden esittämisen trigonometristen sarjojen muodossa.
määritellään todellisen argumentin vastaavien trigonometristen funktioiden analyyttisiksi jatkoksi kompleksitasolle. Kyllä, syntiä z ja cos z voidaan määritellä käyttämällä syntisarjaa x ja cos x, jos sen sijaan x laittaa z:
Nämä sarjat yhtyvät koko tasoon, joten syntiä z ja cos z ovat kokonaisia toimintoja.
Tangentti ja kotangentti määritetään kaavoilla:
tg-toiminnot z ja ctg z ovat meromorfisia toimintoja. Puolat tg z ja sek z ovat yksinkertaisia (1. kertaluokka) ja sijaitsevat pisteissä z = p/2 + pn, ctg sauvat z ja cosec z ovat myös yksinkertaisia ja sijaitsevat pisteissä z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Kaikki kaavat, jotka ovat voimassa todellisen argumentin trigonometrisille funktioille, ovat voimassa myös kompleksisille funktioille. Erityisesti,
synti(- z) = -sin z,
cos(- z) = cos z,
tg(- z) = –tg z,
ctg (- z) = -ctg z,
nuo. parillinen ja pariton pariteetti säilyvät. Myös kaavat tallennetaan
synti( z + 2s) = synti z, (z + 2s) = cos z, (z + s) = tg z, (z + s) = ctg z,
nuo. jaksollisuus säilyy myös ja jaksot ovat samat kuin todellisen argumentin funktioilla.
Trigonometriset funktiot voidaan ilmaista puhtaasti kuvitteellisen argumentin eksponentiaalisella funktiolla:
Takaisin, e iz ilmaistuna cos z ja syntiä z kaavan mukaan:
e iz= cos z + i synti z
Näitä kaavoja kutsutaan Eulerin kaavoiksi. Leonhard Euler esitteli ne vuonna 1743.
Trigonometriset funktiot voidaan ilmaista myös hyperbolisina funktioina:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
missä sh, ch ja th ovat hyperbolinen sini, kosini ja tangentti.
Monimutkaisten argumenttien trigonometriset funktiot z = x + iy, Missä x Ja y- reaaliluvut, voidaan ilmaista reaaliargumenttien trigonometrisinä ja hyperbolisina funktioina, esimerkiksi:
synti( x+iy) = synti x ch y + i cos x sh y;
cos( x+iy) = cos x ch y + i synti x sh y.
Kompleksisen argumentin sini ja kosini voivat saada reaaliarvoja, jotka ovat suurempia kuin 1 absoluuttisena arvona. Esimerkiksi:
Jos tuntematon kulma tulee yhtälöön trigonometristen funktioiden argumenttina, yhtälöä kutsutaan trigonometriseksi. Tällaiset yhtälöt ovat niin yleisiä, että niiden menetelmät ratkaisut ovat erittäin yksityiskohtaisia ja huolellisesti suunniteltuja. KANSSA auta erilaisia temppuja ja kaavat, trigonometriset yhtälöt pelkistetään muodon yhtälöiksi f(x)= a, Missä f- mikä tahansa yksinkertaisimmista trigonometrisista funktioista: sini, kosini, tangentti tai kotangentti. Kerro sitten väitteet x tämä toiminto tunnetun arvon kautta A.
Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, sama A arvoalueelta argumentin arvoja on äärettömän monta, eikä yhtälön ratkaisua voi kirjoittaa yksittäiseksi funktioksi A. Siksi kunkin tärkeimmän trigonometrisen funktion määrittelyalueelta valitaan osa, jossa se ottaa kaikki arvonsa, kukin vain kerran, ja löydetään funktio, joka on käänteinen sille tässä osiossa. Tällaiset funktiot merkitään liittämällä etuliitteen kaari (kaari) alkuperäisen funktion nimeen, ja niitä kutsutaan käänteistrigonometrisiksi. funktioita tai vain kaarifunktioita.
Käänteiset trigonometriset funktiot.
Synnin tähden X, cos X, tg X ja ctg X voidaan määritellä käänteisiä funktioita. Ne on merkitty vastaavasti arcsiniksi X(lue "arxine x"), arcos x, arctg x ja arcctg x. Määritelmän mukaan arcsin X on sellainen numero y, Mitä
synti klo = X.
Sama pätee muihin käänteisiin trigonometrisiin funktioihin. Mutta tämä määritelmä kärsii jostain epätarkkuudesta.
Jos heijastamme syntiä X, cos X, tg X ja ctg X suhteessa koordinaattitason ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen puolittajaan, niin funktiot muuttuvat moniselitteisiksi jaksollisuutensa vuoksi: sama sini (kosini, tangentti, kotangentti) vastaa ääretöntä määrää kulmia.
Epäselvyyden poistamiseksi käyrän osa, jonka leveys on s, kun taas on välttämätöntä havaita yksi yhteen vastaavuus argumentin ja funktion arvon välillä. Alueet lähellä alkuperää valitaan. Poskionteloon "yksi yhteen" -jaksona [- s/2, s/2], jossa sini kasvaa monotonisesti arvosta –1 arvoon 1, kosinille - segmentti , tangentille ja kotangentille vastaavasti intervallit (– s/2, s/2) ja (0, s). Jokainen intervallin käyrä heijastuu puolittajalle ja nyt voit määrittää käänteisiä trigonometrisia funktioita. Oletetaan esimerkiksi argumentin arvo x 0, niin, että 0 J x 0 Ј 1. Sitten funktion arvo y 0 = arcsin x 0 tulee olemaan ainoa arvo klo 0 , sellainen että - s/2 J klo 0 Ј s/2 ja x 0 = synti y 0 .
Siten arcsini on arcsinin funktio A, määritetty välille [–1, 1] ja yhtä suuri jokaiselle A sellainen arvo a , – s/2 a p /2 että sin a = A. Se on erittäin kätevää esittää yksikköympyrällä (kuva 15). Milloin | a| 1 ympyrässä on kaksi pistettä, joissa on ordinaatit a, symmetrinen akselin suhteen y. Yksi niistä on kulma a= arcsin A, ja toinen on kulma p - a. KANSSA ottaen huomioon sinin jaksollisuus, yhtälön sin ratkaisu x= A on kirjoitettu seuraavasti:
x =(–1)n kaari synti a + 2p n,
Missä n= 0, ±1, ±2,...
Myös muut yksinkertaiset trigonometriset yhtälöt ratkaistaan:
cos x = a, –1 =a= 1;
x=±arcos a + 2p n,
Missä P= 0, ±1, ±2,... (kuvio 16);
tg X = a;
x= arctg a + s n,
Missä n = 0, ±1, ±2,... (kuvio 17);
ctg X= A;
X= arcctg a + s n,
Missä n = 0, ±1, ±2,... (Kuva 18).
Käänteisten trigonometristen funktioiden pääominaisuudet:
kaari synti X(Kuva 19): määrittelyalue on segmentti [–1, 1]; alue - [- s/2, s/2], monotonisesti kasvava funktio;
arccos X(Kuva 20): määrittelyalue on segmentti [–1, 1]; arvoalue - ; monotonisesti laskeva toiminto;
arctg X(Kuva 21): määritelmäalue - kaikki reaaliluvut; arvoalue – intervalli (– s/2, s/2); monotonisesti kasvava toiminto; suoraan klo= –s/2 ja y \u003d p / 2 - vaaka-asymptootit;
arcctg X(Kuva 22): määritelmäalue - kaikki reaaliluvut; arvoalue - intervalli (0, s); monotonisesti laskeva toiminto; suoraan y= 0 ja y = p ovat horisontaalisia asymptootteja.
Kenelle tahansa z = x+iy, Missä x Ja y ovat reaalilukuja, on epätasa-arvoa
½| e\ey–e-y| ≤|synti z|≤½( e y + e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y + e -y),
minkä y® Ґ asymptoottiset kaavat seuraavat (yhtenäisesti suhteessa x)
|synti z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Trigonometriset funktiot syntyivät ensimmäistä kertaa tähtitieteen ja geometrian tutkimuksen yhteydessä. Kolmion ja ympyrän osien suhteet, jotka ovat olennaisesti trigonometrisiä funktioita, löytyvät jo 3. vuosisadalla. eKr e. antiikin Kreikan matemaatikoiden teoksissa – Euclid, Archimedes, Apollonius Pergalainen ym. nämä suhteet eivät kuitenkaan olleet itsenäinen tutkimuskohde, joten he eivät tutkineet trigonometrisiä toimintoja sellaisenaan. Niitä pidettiin alun perin segmentteinä, ja tässä muodossa käyttivät niitä Aristarchos (4. vuosisadan lopulla - 3. vuosisadan 2. puoliskolla), Hipparkhos (2. vuosisadalla eKr.), Menelaus (1. vuosisadalla eKr.) ja Ptolemaios (2. vuosisadalla jKr.) ratkaisemaan pallomaisia kolmioita. Ptolemaios kokosi ensimmäisen jännetaulukon terävistä kulmista 30":n tarkkuudella 10 -6. Tämä oli ensimmäinen sinitaulukko. Suhteena funktio sin a löytyy jo Ariabhatasta (500-luvun lopulla). Funktiot tg a ja ctg a löytyvät al-Battanista (9. vuosisadan 2. puolisko - 10. vuosisadan alku) ja Abul-Wefasta (10. vuosisata), joka myös käyttää sec a ja cosec a... Aryabhata tiesi jo kaavan ( sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1 sekä puolikulman sin- ja cos-kaavat, joiden avulla hän rakensi sinitaulukoita kulmille 3 ° 45 "; yksinkertaisimpien argumenttien trigonometristen funktioiden tunnettujen arvojen perusteella. Bhaskara (1100-luvulla) antoi menetelmän taulukoiden muodostamiseksi 1:n kautta käyttämällä summauskaavoja. Kaavat eri argumenttien trigonometristen funktioiden summan ja eron muuntamiseksi tuloksi ovat johtaneet Regiomontanus (1400-luku) ja J. Napier viimeksi mainitun logaritmien keksimisen yhteydessä (1614). Regiomontanus antoi taulukon siniarvoista 1":n kautta. Trigonometristen funktioiden laajennuksen potenssisarjoissa sai I. Newton (1669). moderni muoto trigonometristen funktioiden teorian esitteli L. Euler (1700-luku). Hän omistaa niiden määritelmän todellisille ja monimutkaisille argumenteille, nyt hyväksytyn symbolismin, yhteyden luomisen eksponentti funktio ja sini- ja kosinijärjestelmän ortogonaalisuus.
Trigonometristen funktioiden arvojen taulukko
Huomautus. Tämä trigonometristen funktioiden arvotaulukko käyttää merkkiä √ merkitsemään neliöjuuri. Murto-osan merkitsemiseksi - symboli "/".
Katso myös hyödyllisiä materiaaleja:
varten trigonometrisen funktion arvon määrittäminen, etsi se trigonometrisen funktion osoittavan viivan leikkauspisteestä. Esimerkiksi 30 asteen sini - etsimme saraketta, jonka otsikko on sin (sini) ja löydämme tämän taulukon sarakkeen leikkauspisteen rivillä "30 astetta", niiden leikkauspisteestä luemme tuloksen - yksi toinen. Samoin löydämme kosini 60 astetta, sini 60 astetta (jälleen sini (sini) -sarakkeen ja 60 asteen rivin leikkauspisteestä löydämme arvon sin 60 = √3/2) jne. Samalla tavalla löydetään muiden "suosittujen" kulmien sinien, kosinien ja tangenttien arvot.
Pi:n sini, pi:n kosini, pi:n tangentti ja muut kulmat radiaaneina
Alla oleva kosinien, sinien ja tangenttien taulukko soveltuu myös sellaisten trigonometristen funktioiden arvon löytämiseen, joiden argumentti on radiaaneina annettuna. Käytä tätä varten toista kulma-arvojen saraketta. Tämän ansiosta voit muuntaa suosittujen kulmien arvon asteina radiaaneiksi. Etsitään esimerkiksi 60 asteen kulma ensimmäiseltä riviltä ja luetaan sen arvo radiaaneina sen alta. 60 astetta on yhtä suuri kuin π/3 radiaania.
Luku pi ilmaisee yksiselitteisesti ympyrän kehän riippuvuuden kulman astemittasta. Pi radiaanit on siis 180 astetta.
Mikä tahansa pi (radiaani) ilmaistu luku voidaan helposti muuntaa asteina korvaamalla luku pi (π) luvulla 180.
Esimerkkejä:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
siis pi:n sini on sama kuin 180 asteen sini ja on yhtä suuri kuin nolla.
2. kosini pi.
cos π = cos 180 = -1
näin ollen pi:n kosini on sama kuin 180 asteen kosini ja yhtä suuri kuin miinus yksi.
3. Tangentti pi
tg π = tg 180 = 0
siten pi:n tangentti on sama kuin 180 asteen tangentti ja on yhtä suuri kuin nolla.
Taulukko sini-, kosini- ja tangenttiarvoista kulmille 0 - 360 astetta (yleiset arvot)
|
kulma α (astetta) |
kulma α (pi:n kautta) |
synti (sinus) |
cos (kosini) |
tg (tangentti) |
ctg (kotangentti) |
sek (sekantti) |
syy (kosekantti) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Jos trigonometristen funktioiden arvotaulukossa on funktion arvon sijasta viiva (tangentti (tg) 90 astetta, kotangentti (ctg) 180 astetta), niin tietylle arvolle astemitta kulma, funktiolla ei ole tarkkaa arvoa. Jos viivaa ei ole, solu on tyhjä, joten emme ole vielä syöttäneet haluttua arvoa. Olemme kiinnostuneita siitä, mitä pyyntöjä käyttäjät tulevat meille ja täydennämme taulukkoa uusilla arvoilla huolimatta siitä, että nykyiset tiedot yleisimpien kulma-arvojen kosinien, sinien ja tangenttien arvoista riittävät ratkaisemaan useimmat ongelmia.
Taulukko trigonometristen funktioiden sin, cos, tg arvoista suosituimmille kulmille
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 astetta
(lukuarvot "Bradis-taulukoiden mukaan")
| kulman arvo α (astetta) | kulman α arvo radiaaneina | synti (sini) | cos (kosini) | tg (tangentti) | ctg (kotangentti) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Käsitteet sini (), kosini (), tangentti (), kotangentti () liittyvät erottamattomasti kulman käsitteeseen. Ymmärtääksesi nämä hyvin ensi silmäyksellä, monimutkaisia käsitteitä(jotka aiheuttavat kauhun tilan monissa koululaisissa) ja varmista, että "paholainen ei ole niin pelottava kuin hän on maalattu", aloitetaan alusta ja ymmärretään kulman käsite.
Kulman käsite: radiaani, aste
Katsotaanpa kuvaa. Vektori "kääntyi" suhteessa pisteeseen tietyn verran. Joten tämän kierron mitta suhteessa alkuasentoon on kulma.
Mitä muuta sinun on tiedettävä kulman käsitteestä? No, kulmayksiköt tietysti!
Kulma, sekä geometriassa että trigonometriassa, voidaan mitata asteina ja radiaaneina.
Kulmaa (yksi astetta) kutsutaan keskikulma ympyrässä, joka perustuu ympyrän kaareen, joka on yhtä suuri kuin osa ympyrästä. Siten koko ympyrä koostuu ympyränkaarien "paloista" tai ympyrän kuvaama kulma on yhtä suuri.
Toisin sanoen yllä oleva kuva esittää kulmaa, joka on yhtä suuri, eli tämä kulma perustuu ympyräkaareen, joka on kehän kokoinen.
Radiaaneissa olevaa kulmaa kutsutaan ympyrän keskikulmaksi, joka perustuu ympyränkaareen, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde. No, ymmärsitkö? Jos ei, niin katsotaan kuvaa.
Joten kuvassa on kulma, joka on yhtä suuri kuin radiaani, eli tämä kulma perustuu ympyräkaareen, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde (pituus on yhtä suuri kuin pituus tai säde on yhtä suuri kuin kaaren pituus). Näin ollen kaaren pituus lasketaan kaavalla:
Missä on keskikulma radiaaneina.
No, tietäen tämän, voitko vastata kuinka monta radiaania sisältää ympyrän kuvaaman kulman? Kyllä, tätä varten sinun on muistettava ympyrän kehän kaava. Tässä hän on:
No, nyt korreloidaan nämä kaksi kaavaa ja saadaan, että ympyrän kuvaama kulma on yhtä suuri. Eli korreloimalla arvoa asteina ja radiaaneina, saamme sen. Vastaavasti,. Kuten näette, toisin kuin "asteet", sana "radiaani" jätetään pois, koska mittayksikkö on yleensä selvä asiayhteydestä.
Kuinka monta radiaania on? Oikein!
Sain sen? Kiinnitä sitten eteenpäin:
Onko vaikeuksia? Katso sitten vastauksia:
Suorakulmainen kolmio: kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti
Joten, kun kulman käsite on selvitetty. Mutta mikä on kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti? Selvitetään se. Tässä suorakulmainen kolmio auttaa meitä.
Mitä kutsutaan suorakulmaisen kolmion sivuiksi? Aivan oikein, hypotenuusa ja jalat: hypotenuusa on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva puoli (esimerkissämme tämä on sivu); jalat ovat kaksi muuta sivua ja (viereiset oikea kulma), lisäksi, jos tarkastelemme jalkoja suhteessa kulmaan, niin jalka on viereinen jalka ja jalka on vastakkainen. Joten, nyt vastataan kysymykseen: mitkä ovat kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti?
Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.
meidän kolmiossamme.
Kulman kosini- tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
meidän kolmiossamme.
Kulman tangentti- tämä on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde viereiseen (läheiseen).
meidän kolmiossamme.
Kulman kotangentti- tämä on viereisen (läheisen) jalan suhde vastakkaiseen (kaumaan).
meidän kolmiossamme.
Nämä määritelmät ovat välttämättömiä muistaa! Jotta olisi helpompi muistaa, mikä jalka jakaa millä, sinun on ymmärrettävä se selvästi tangentti Ja kotangentti vain jalat istuvat, ja hypotenuusa ilmestyy vain sisään sinus Ja kosini. Ja sitten voit keksiä assosiaatioketjun. Esimerkiksi tämä:
kosini→kosketus→kosketus→viereinen;
Kotangentti→kosketus→kosketus→viereinen.
Ensinnäkin on muistettava, että sini, kosini, tangentti ja kotangentti kolmion sivujen suhteina eivät riipu näiden sivujen pituuksista (yhdessä kulmassa). Älä usko? Varmista sitten katsomalla kuvaa:
Otetaan esimerkiksi kulman kosini. Määritelmän mukaan kolmiosta: , mutta voimme laskea kulman kosinin kolmiosta: . Katsos, sivujen pituudet ovat erilaisia, mutta yhden kulman kosinin arvo on sama. Siten sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot riippuvat yksinomaan kulman suuruudesta.
Jos ymmärrät määritelmät, mene eteenpäin ja korjaa ne!
Alla olevassa kuvassa näkyvälle kolmiolle löydämme.
No, saitko sen? Kokeile sitten itse: laske sama kulmaan.
Yksikkö (trigonometrinen) ympyrä
Ymmärtäessämme asteiden ja radiaanien käsitteet tarkastelimme ympyrää, jonka säde on yhtä suuri. Sellaista ympyrää kutsutaan yksittäinen. Se on erittäin hyödyllinen trigonometrian tutkimuksessa. Siksi käsittelemme sitä hieman yksityiskohtaisemmin.
Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on origossa, sädevektorin alkusijainti on kiinteä akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde).
Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: akselin suuntainen koordinaatti ja akselin suuntainen koordinaatti. Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Muista tätä varten harkittu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Harkitse kolmiota. Se on suorakaiteen muotoinen, koska se on kohtisuorassa akseliin nähden.
Mikä on yhtä suuri kuin kolmiosta? Oikein. Lisäksi tiedämme, että on yksikköympyrän säde, ja siksi . Korvaa tämä arvo kosinikaavaamme. Tässä on mitä tapahtuu:
Ja mikä on yhtä kuin kolmiosta? No tottakai, ! Korvaa säteen arvo tähän kaavaan ja saa:
Joten, voitko kertoa minulle, mitkä ovat ympyrään kuuluvan pisteen koordinaatit? No ei mitenkään? Ja jos ymmärrät sen ja olet vain numeroita? Mitä koordinaattia se vastaa? No, tietysti koordinaatit! Mitä koordinaattia se vastaa? Juuri niin, koordinoi! Eli pointti.
Ja mitkä sitten ovat tasa-arvoisia ja? Se on oikein, käytetään sopivia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan, a.
Entä jos kulma on suurempi? Tässä esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:
Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännymme jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota: kulma (kulman vieressä). Mikä on kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvo? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:
No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa silti koordinaattia; kulman kosinin arvo - koordinaatti; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet ovat sovellettavissa mihin tahansa sädevektorin kiertoon.
On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on akselin positiivista suuntaa pitkin. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn kokoisen kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiiviset kulmat, ja kun käännetään myötäpäivään - negatiivinen.
Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on tai. Onko mahdollista kiertää sädevektoria verran tai verran? No tietysti voit! Siksi ensimmäisessä tapauksessa sädevektori tekee yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan tai.
Toisessa tapauksessa, eli sädevektori tekee kolme täydellistä kierrosta ja pysähtyy kohtaan tai.
Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan tai (jossa on mikä tahansa kokonaisluku), vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.
Alla oleva kuva esittää kulmaa. Sama kuva vastaa nurkkaa ja niin edelleen. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla tai (missä on mikä tahansa kokonaisluku)
Nyt, kun tiedät trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttämällä yksikköympyrää, yritä vastata, mitä arvot ovat yhtä suuria:
Tässä on yksikköympyrä avuksi:
Onko vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:
Täältä määritämme tiettyjä kulman mittaa vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma kohdassa vastaa pistettä, jolla on koordinaatit, joten:
Ei ole olemassa;
Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat vastaavat pisteitä, joilla on vastaavasti koordinaatit. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.
Vastaukset:
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:
Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:
Mutta kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja, alla olevassa taulukossa, täytyy muistaa:
Älä pelkää, nyt näytämme yhden esimerkeistä melko yksinkertainen vastaavien arvojen muistaminen:
Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa sinin arvot kaikille kolmelle kulman mittalle () sekä kulman tangentin arvo. Nämä arvot tiedossa on melko helppoa palauttaa koko taulukko - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:
Kun tiedät tämän, voit palauttaa arvot. Osoittaja " " vastaa ja nimittäjä " " vastaa. Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat koko arvon taulukosta.
Ympyrän pisteen koordinaatit
Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, ympyrän keskipisteen koordinaatit, sen säde ja kiertokulma?
No tottakai voit! Otetaan esiin yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi.
Tässä meillä on esimerkiksi tällainen ympyrä:
Meille on annettu, että piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä asteina.
Kuten kuvasta näkyy, pisteen koordinaatti vastaa janan pituutta. Janan pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia, eli se on yhtä suuri. Janan pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:
Sitten meillä on se pisteelle koordinaatti.
Samalla logiikalla löydämme pisteen y-koordinaatin arvon. Täten,
Sisään siis yleisnäkymä pistekoordinaatit määritetään kaavoilla:
Ympyrän keskipisteen koordinaatit,
ympyrän säde,
Sädevektorin kiertokulma.
Kuten näette, harkitsemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä suuri:
No, kokeillaanpa näitä kaavoja maistiaisena, harjoitellaan pisteiden etsimistä ympyrästä?
1. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kytkemällä piste päälle.
2. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä piste.
3. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, jotka saadaan kytkemällä piste päälle.
4. Piste - ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
5. Piste - ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
Onko sinulla vaikeuksia löytää ympyrän pisteen koordinaatit?
Ratkaise nämä viisi esimerkkiä (tai ymmärrä ratkaisua hyvin), niin opit löytämään ne!
1.
Sen voi nähdä. Ja tiedämme, mikä vastaa aloituspisteen täyttä käännettä. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Tämän tietäen löydämme pisteen halutut koordinaatit:
2. Ympyrä on yksikkö, jonka keskipiste on pisteessä, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi nähdä. Tiedämme, mikä vastaa lähtöpisteen kahta täydellistä kiertoa. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Tämän tietäen löydämme pisteen halutut koordinaatit:
Sini ja kosini ovat taulukkoarvoja. Muistamme heidän arvonsa ja saamme:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
3. Ympyrä on yksikkö, jonka keskipiste on pisteessä, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi nähdä. Kuvataan tarkasteltu esimerkki kuvassa:
Säde muodostaa kulmat akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin ja. Kun tiedämme, että kosinin ja sinin taulukkoarvot ovat yhtä suuret, ja kun olemme päättäneet, että kosini saa negatiivisen arvon ja sini on positiivinen, meillä on:
Vastaavia esimerkkejä analysoidaan tarkemmin tutkittaessa aiheen trigonometristen funktioiden pelkistyskaavoja.
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
4.
Sädevektorin kiertokulma (ehdon mukaan)
Sinin ja kosinin vastaavien etumerkkien määrittämiseksi rakennamme yksikköympyrän ja kulman:
Kuten näette, arvo eli arvo on positiivinen ja arvo eli negatiivinen. Kun tiedämme vastaavien trigonometristen funktioiden taulukkoarvot, saamme, että:
Korvataan saadut arvot kaavaamme ja etsitään koordinaatit:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
5. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavoja yleisessä muodossa, missä
Ympyrän keskipisteen koordinaatit (esimerkissämme
Ympyrän säde (ehdon mukaan)
Sädevektorin kiertokulma (ehdon mukaan).
Korvaa kaikki arvot kaavaan ja saa:
ja - taulukon arvot. Muistamme ja korvaamme ne kaavaan:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVA
Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman kosini on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman tangentti on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde viereiseen (läheiseen).
Kulman kotangentti on viereisen (läheisen) jalan suhde vastakkaiseen (kaukaiseen).
Tässä artikkelissa näytämme kuinka kulman ja luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät trigonometriassa. Täällä puhumme merkinnöistä, annamme esimerkkejä tietueista, annamme graafisia kuvia. Lopuksi vedämme rinnakkaisuuden sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien välille trigonometriassa ja geometriassa.
Sivulla navigointi.
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmä
Seurataan kuinka käsite sini, kosini, tangentti ja kotangentti muodostuu koulun matematiikan kurssilla. Geometrian tunneilla määritellään sini, kosini, tangentti ja kotangentti terävä kulma V suorakulmainen kolmio. Ja myöhemmin tutkitaan trigonometriaa, joka viittaa kiertokulman ja luvun siniin, kosiniin, tangenttiin ja kotangenttiin. Annamme kaikki nämä määritelmät, annamme esimerkkejä ja annamme tarvittavat kommentit.
Terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa
Geometrian kurssista tunnetaan suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät. Ne on annettu suorakulmaisen kolmion sivujen suhteena. Esittelemme niiden muotoilut.
Määritelmä.
Terävän kulman sini suorakulmaisessa kolmiossa on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan.
Määritelmä.
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Määritelmä.
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Määritelmä.
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen jalan suhde vastakkaiseen jalkaan.
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin merkintä on myös otettu käyttöön - sin, cos, tg ja ctg, vastaavasti.
Esimerkiksi, jos ABC on suorakulmainen kolmio, jolla on suora kulma C, niin terävän kulman A sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran BC suhde hypotenuusaan AB, eli sin∠A=BC/AB.
Näiden määritelmien avulla on mahdollista laskea terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot suorakulmaisen kolmion sivujen tunnetuista pituuksista sekä tunnetut arvot sini, kosini, tangentti, kotangentti ja yhden sivun pituus löytääksesi muiden sivujen pituudet. Jos esimerkiksi tietäisimme, että suorakulmaisessa kolmiossa jalka AC on 3 ja hypotenuusa AB on 7 , voisimme laskea terävän kulman A kosinin määritelmän mukaan: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Pyörimiskulma
Trigonometriassa he alkavat tarkastella kulmaa laajemmin - he ottavat käyttöön kiertokulman käsitteen. Pyörimiskulmaa, toisin kuin terävää kulmaa, eivät rajoita kehykset 0 - 90 astetta, kiertokulma asteina (ja radiaaneina) voidaan ilmaista millä tahansa reaaliluvulla välillä −∞ - +∞.
Tässä valossa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät eivät ole enää terävä kulma, vaan mielivaltaisen suuruinen kulma - kiertokulma. Ne on annettu pisteen A 1 x ja y koordinaattien kautta, johon ns. alkupiste A(1, 0) kulkee kiertyessään kulman α läpi pisteen O ympäri - suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän alku. ja yksikköympyrän keskipiste.
Määritelmä.
Pyörimiskulman siniα on pisteen A 1 ordinaatta, eli sinα=y .
Määritelmä.
kiertokulman kosiniα:ta kutsutaan pisteen A 1 abskissaksi, eli cosα=x .
Määritelmä.
Pyörimiskulman tangenttiα on pisteen A 1 ordinaatin suhde sen abskissaan, eli tgα=y/x .
Määritelmä.
Pyörimiskulman kotangenttiα on pisteen A 1 abskissan suhde sen ordinaataan, eli ctgα=x/y .
Sini ja kosini määritellään mille tahansa kulmille α , koska voimme aina määrittää pisteen abskissan ja ordinaatin, joka saadaan kiertämällä aloituspistettä kulman α läpi. Ja tangenttia ja kotangenttia ei ole määritelty millekään kulmille. Tangenttia ei ole määritelty sellaisille kulmille α, joissa alkupiste menee pisteeseen, jossa on nolla abskissa (0, 1) tai (0, −1) , ja tämä tapahtuu kulmissa 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Todellakin, tällaisissa kiertokulmissa lausekkeessa tgα=y/x ei ole järkeä, koska se sisältää jaon nollalla. Mitä tulee kotangenttiin, sitä ei ole määritelty sellaisille kulmille α, joissa aloituspiste menee pisteeseen, jonka ordinaatit ovat nolla (1, 0) tai (−1, 0) , ja tämä pätee kulmiin 180° k , k ∈Z (π k rad).
Joten sini ja kosini määritellään kaikille kiertokulmille, tangentti on määritelty kaikille kulmille paitsi 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ja kotangentti kaikille kulmille paitsi 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Meille jo tutut merkinnät esiintyvät määritelmissä sin, cos, tg ja ctg, niillä merkitään myös kiertokulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti (joskus merkintä tan ja cot vastaavat tangenttia ja kotangentti). Joten 30 asteen kiertokulman sini voidaan kirjoittaa sin30°:ksi, tietueet tg(−24°17′) ja ctgα vastaavat kiertokulman tangenttia −24 astetta 17 minuuttia ja kiertokulman α kotangenttia. . Muista, että kun kirjoitetaan kulman radiaanimitta, merkintä "rad" jätetään usein pois. Esimerkiksi kolmen pi rad:n kiertokulman kosini merkitään yleensä cos3 π .
Tämän kappaleen lopuksi on syytä huomata, että puhuttaessa kiertokulman sinistä, kosinista, tangentista ja kotangentista ilmaus "kiertokulma" tai sana "kierto" jätetään usein pois. Eli ilmaisun "kiertokulman sini alfa" sijaan käytetään yleensä ilmaisua "alfan kulman sini" tai vielä lyhyempää - "alfan sini". Sama koskee kosinia, tangenttia ja kotangenttia.
Oletetaan myös, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät ovat yhdenmukaisia 0-90 kiertokulman sinille, kosinille, tangentille ja kotangentille annettujen määritelmien kanssa. astetta. Perustelemme tämän.
Numerot
Määritelmä.
Luvun sini, kosini, tangentti ja kotangentti t on luku, joka on yhtä suuri kuin kiertokulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti t radiaaneina.
Esimerkiksi 8 π:n kosini on määritelmän mukaan luku, joka on yhtä suuri kuin kulman 8 π rad kosini. Ja kulman kosini 8 π rad:ssa on yhtä suuri kuin yksi, joten luvun 8 π kosini on yhtä suuri kuin 1.
On olemassa toinen lähestymistapa luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määrittelyyn. Se koostuu siitä, että jokaiselle reaaliluvulle t on osoitettu yksikköympyrän piste, jonka keskipiste on suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän alkupisteessä, ja sini, kosini, tangentti ja kotangentti määritetään tämän pisteen koordinaattien perusteella. Mietitään tätä tarkemmin.
Osoitetaan, kuinka reaalilukujen ja ympyrän pisteiden välinen vastaavuus määritetään:
- aloituspisteelle A(1, 0) annetaan numero 0 ;
- positiivinen luku t liittyy yksikköympyrän pisteeseen, johon pääsemme, jos siirrymme ympyrän ympäri aloituspisteestä vastapäivään ja kuljemme t pituisen polun läpi;
- negatiivinen numero t vastaa yksikköympyrän pistettä, jonka saavutamme, jos siirrymme ympyrän ympäri alkupisteestä myötäpäivään ja kuljemme polun, jonka pituus on |t| .
Siirrytään nyt luvun t sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmiin. Oletetaan, että luku t vastaa ympyrän A 1 (x, y) pistettä (esim. luku &pi/2; vastaa pistettä A 1 (0, 1) ).
Määritelmä.
Luvun sini t on lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaatta, eli sint=y .
Määritelmä.
Luvun kosini t kutsutaan lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen abskissaksi eli kustannus=x .
Määritelmä.
Luvun tangentti t on lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaatan suhde abskissaan, eli tgt=y/x. Toisessa vastaavassa formulaatiossa luvun t tangentti on tämän luvun sinin ja kosinin suhde, eli tgt=sint/kustannus .
Määritelmä.
Luvun kotangentti t on abskissan suhde lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaattiin, eli ctgt=x/y. Toinen muotoilu on seuraava: luvun t tangentti on luvun t kosinin ja luvun t sinin suhde: ctgt=kustannus/sint .
Tässä huomautetaan, että juuri annetut määritelmät sopivat tämän alakohdan alussa annetun määritelmän kanssa. Todellakin, lukua t vastaavan yksikköympyrän piste osuu yhteen pisteen kanssa, joka saadaan kiertämällä aloituspistettä t radiaanin kulman läpi.
Myös tämä seikka kannattaa selventää. Oletetaan, että meillä on sin3-merkintä. Kuinka ymmärtää, onko kyseessä luvun 3 sini vai 3 radiaanin kiertokulman sini? Tämä on yleensä selvää asiayhteydestä, muuten sillä ei todennäköisesti ole väliä.
Kulma- ja numeerisen argumentin trigonometriset funktiot
Edellisessä kappaleessa annettujen määritelmien mukaan jokainen kiertokulma α vastaa hyvin määriteltyä arvoa sin α sekä arvoa cos α . Lisäksi kaikki muut kuin 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) kiertokulmat vastaavat arvoja tgα ja muut kuin 180° k , k∈Z (π k rad ) ovat ctgα:n arvot. Siksi sinα, cosα, tgα ja ctgα ovat kulman α funktioita. Toisin sanoen nämä ovat kulma-argumentin funktioita.
Vastaavasti voimme puhua numeerisen argumentin funktioista sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Itse asiassa jokainen reaaliluku t vastaa hyvin määriteltyä sintin arvoa sekä kustannusta. Lisäksi kaikki muut luvut kuin π/2+π·k , k∈Z vastaavat arvoja tgt ja luvut π·k , k∈Z vastaavat arvoja ctgt .
Funktioita sini, kosini, tangentti ja kotangentti kutsutaan trigonometriset perusfunktiot.
Kontekstista on yleensä selvää, että kyseessä on kulma- tai numeerisen argumentin trigonometriset funktiot. Muussa tapauksessa voimme pitää riippumatonta muuttujaa sekä kulman mittana (kulma-argumentti) että numeerisena argumenttina.
Koulussa tutkitaan kuitenkin pääasiassa numeerisia funktioita, eli funktioita, joiden argumentit ja niitä vastaavat funktioarvot ovat lukuja. Siksi jos me puhumme erityisesti funktioiden osalta trigonometrisiä funktioita on tarkoituksenmukaista tarkastella numeeristen argumenttien funktioina.
Geometrian ja trigonometrian määritelmien yhdistäminen
Jos otamme huomioon kiertokulman α välillä 0 - 90 astetta, niin kiertokulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmän trigonometrian yhteydessä olevat tiedot ovat täysin yhdenmukaisia sinin, kosinin määritelmien kanssa. , suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti ja kotangentti, jotka on annettu geometrian kurssilla. Perustellaan tämä.
Piirrä yksikköympyrä suorakulmaiseen karteesiseen koordinaattijärjestelmään Oxy. Huomaa aloituspiste A(1, 0) . Kierretään sitä kulmalla α, joka vaihtelee välillä 0 - 90 astetta, saadaan piste A 1 (x, y) . Pudotetaan kohtisuora A 1 H pisteestä A 1 Ox-akselille.
On helppo nähdä, että suorakulmaisessa kolmiossa kulma A 1 OH yhtä suuri kuin kulma käännös α , tämän kulman vieressä olevan haaran OH pituus on yhtä suuri kuin pisteen A 1 abskissa, eli |OH|=x , kulman A 1 H vastapäätä olevan haaran pituus on yhtä suuri kuin ordinaatta pisteen A 1 eli |A 1 H|=y , ja hypotenuusan OA 1 pituus on yksi, koska se on yksikköympyrän säde. Tällöin suorakulmaisen kolmion A 1 OH terävän kulman α sini on geometrian määritelmän mukaan yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan, eli sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Ja trigonometrian määritelmän mukaan kiertokulman α sini on yhtä suuri kuin pisteen A 1 ordinaatta, eli sinα=y. Tämä osoittaa, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin määritelmä vastaa kiertokulman α sinin määritelmää α:lle 0 - 90 astetta.
Vastaavasti voidaan osoittaa, että terävän kulman α kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät ovat yhdenmukaisia kiertokulman α kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien kanssa.
Bibliografia.
- Geometria. 7-9 luokkaa: opinnot. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ja muut]. - 20. painos M.: Koulutus, 2010. - 384 s.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometria: Proc. 7-9 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. V. Pogorelov. - 2. painos - M.: Enlightenment, 2001. - 224 s.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra ja perustoiminnot : Opetusohjelma 9. luokan oppilaille lukio/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimittanut fysiikan ja matemaattisten tieteiden tohtori O. N. Golovin - 4. painos. Moskova: Koulutus, 1969.
- Algebra: Proc. 9 solulle. keskim. koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A.G. Algebra ja analyysin alku. Luokka 10. Klo 14 Osa 1: oppikirja oppilaitoksille (profiilitaso) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. painos, lisäys. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 10: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. painos - I .: Koulutus, 2010. - 368 s.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Enlightenment, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.
