Edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemista - sinin ja kosinin neliöiden summaa, tangentin ilmaisua sinin ja kosinin kautta ja muita. Niille, jotka ovat unohtaneet ne tai eivät tiedä niitä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Pääasia siis trigonometriset kaavat tiedämme, että on aika panna ne käytäntöön. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen Oikealla lähestymistavalla se on aika jännittävää toimintaa, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Itse nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On olemassa niin sanottuja yksinkertaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä. Tältä ne näyttävät: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Harkitse, kuinka ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt, selvyyden vuoksi käytämme jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx = a

cos x = a

rusketus x = a

pinnasänky x = a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan ​​kahdessa vaiheessa: saamme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoon ja ratkaisemme sen sitten yksinkertaisimpana trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Muuttujan substituutio ja korvausmenetelmä

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Pelkistyskaavojen avulla saamme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Korvataan cos(x + /6) y:llä yksinkertaisuuden vuoksi ja saadaan tavallinen toisen asteen yhtälö:

2v 2 – 3v + 1 + 0

Joiden juuret y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyt mennään taaksepäin

Korvaamme y:n löydetyt arvot ja saamme kaksi vastausta:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tekijöiden jakamisen avulla

Miten ratkaistaan ​​yhtälö sin x + cos x = 1?

Siirretään kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x - 1 = 0

Käytämme yllä olevia identiteettejä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Tehdään faktorointi:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen sinin ja kosinin termit ovat saman kulman asteisia. Homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi toimi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenensä vasen puoli;

b) laita kaikki yleiset tekijät pois suluista;

c) samastaa kaikki tekijät ja sulut nollaan;

d) vastaanotettu suluissa homogeeninen yhtälö vähemmässä määrin se puolestaan ​​​​jaetaan siniksi tai kosiniksi korkeammalla tasolla;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg:lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Käytetään kaavaa sin 2 x + cos 2 x = 1 ja päästään eroon oikeasta avoimesta kahdesta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jaa cosx:lla:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Korvaamme tg x:n y:llä ja saamme toisen asteen yhtälön:

y 2 + 4y +3 = 0 jonka juuret ovat y 1 =1, y 2 = 3

Täältä löydämme kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Yhtälöiden ratkaiseminen puolikulmaan siirtymisen kautta

Ratkaise yhtälö 3sin x - 5cos x = 7

Siirrytään kohtaan x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Kaiken siirtäminen vasemmalle:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jaa cos:lla (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Apukulman esittely

Otetaan pohdittavaksi yhtälö muotoa: a sin x + b cos x \u003d c,

missä a, b, c ovat mielivaltaisia ​​kertoimia ja x on tuntematon.

Jaa yhtälön molemmat puolet:



Nyt yhtälön kertoimilla on trigonometristen kaavojen mukaan sinin ja cos:n ominaisuudet, nimittäin: niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1 ja neliöiden summa = 1. Merkitään ne vastaavasti cos ja sin, jossa on ns. apukulma. Sitten yhtälö saa muodon:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

tai sin(x + ) = C

Ratkaisu tähän yksinkertaiseen trigonometriseen yhtälöön on

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, missä



On huomattava, että nimitykset cos ja sin ovat keskenään vaihdettavissa.

Ratkaise yhtälö sin 3x - cos 3x = 1

Tässä yhtälössä kertoimet ovat:

a \u003d, b \u003d -1, joten jaamme molemmat osat \u003d 2:lla

Oppitunti tiedon monimutkaisesta soveltamisesta.

Oppitunnin tavoitteet.

1. Harkitse erilaisia ​​menetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisuja.
2. Kehitys luovuus opiskelijat ratkaisemalla yhtälöitä.
3. Opiskelijoiden rohkaiseminen itsehillintään, keskinäiseen valvontaan, koulutustoiminnan itseanalyysiin.

Varustus: valkokangas, projektori, referenssimateriaali.

Tuntien aikana

Alkukeskustelu.

Päämenetelmä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi on niiden yksinkertaisin pelkistys. Tällöin käytetään tavanomaisia ​​menetelmiä, esimerkiksi faktorointia, sekä tekniikoita, joita käytetään vain trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Näitä temppuja on melko paljon, esimerkiksi erilaisia ​​trigonometrisiä substituutioita, kulmamuunnoksia, muunnoksia trigonometriset funktiot. Trigonometristen muunnosten mielivaltainen soveltaminen ei yleensä yksinkertaista yhtälöä, mutta monimutkaistaa sitä tuhoisasti. Harjoittelemaan sisään yleisesti ottaen suunnitelma yhtälön ratkaisemiseksi, hahmottele tapa pienentää yhtälö yksinkertaisimmaksi, sinun on ensin analysoitava kulmat - yhtälöön sisältyvien trigonometristen funktioiden argumentit.

Tänään puhumme menetelmistä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Oikein valittu menetelmä mahdollistaa usein merkittävän ratkaisun yksinkertaistamisen, joten kaikki tutkimamme menetelmät tulisi aina pitää huomiomme alueella, jotta trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista sopivimmalla tavalla.

II. (Käytettäessä projektoria toistamme yhtälöiden ratkaisumenetelmät.)

1. Menetelmä trigonometrisen yhtälön pelkistämiseksi algebralliseksi.

Kaikki trigonometriset funktiot on ilmaistava yhden kautta, samalla argumentilla. Tämä voidaan tehdä käyttämällä trigonometristä perusidentiteettiä ja sen seurauksia. Saamme yhtälön yhdellä trigonometrisellä funktiolla. Kun se otetaan uutena tuntemattomana, saadaan algebrallinen yhtälö. Löydämme sen juuret ja palaamme vanhaan tuntemattomaan ratkaisemaan yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt.

2. Faktorisointimenetelmä.

Kulmien vaihtamiseen ovat usein hyödyllisiä kaavat argumenttien pelkistämistä, summaa ja erotusta varten sekä kaavat trigonometristen funktioiden summan (eron) muuntamiseksi tuloksi ja päinvastoin.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Menetelmä lisäkulman lisäämiseksi.

4. Menetelmä yleisen substituution käyttämiseksi.

Yhtälöt muotoa F(sinx, cosx, tgx) = 0 pelkistetään algebrallisiksi yhtälöiksi käyttämällä universaalia trigonometristä substituutiota

Ilmaisee sinin, kosinin ja tangentin puolikulman tangenttina. Tämä temppu voi johtaa korkeamman kertaluvun yhtälöön. Joka päätös on vaikea.

Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja neliö epäyhtälöt, murto-yhtälöitä ja yhtälöt, jotka pelkistyvät neliöllisiksi. Jokaisen mainitun tehtävän onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: on tarpeen selvittää, mihin tyyppiin ratkaistava ongelma kuuluu, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

Ilmeisesti onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Erilainen tilanne syntyy trigonometriset yhtälöt. Ei ole vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Tekijä: ulkomuoto yhtälöiden tyyppiä on joskus vaikea määrittää. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi meidän on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "samoihin funktioihin";
3. kerroin yhtälön vasen puoli jne.

Harkitse perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaise trigonometrinen funktio tunnetuilla komponenteilla.

Vaihe 2 Etsi funktion argumentti kaavojen avulla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3 Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva korvaus

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2 Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3 Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4 Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5 Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2 ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, nЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella käyttämällä tehonvähennyskaavoja:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

rusketus 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2 Ratkaise saatu yhtälö menetelmillä I ja II.

Esimerkki.

cos2x + cos2x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2 Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tg x:n yhtälö:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Vaihe 3 Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 tai t = -4, joten

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikenlaisia ​​trigonometrisiä kaavoja, tuo tämä yhtälö yhtälöön, joka voidaan ratkaista menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2 Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taidot ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä ovat erittäin hyviä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavia ponnistuksia sekä opiskelijalta että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun liittyy monia stereometrian, fysiikan jne. ongelmia.Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää ikään kuin monia tietoja ja taitoja, joita hankitaan trigonometrian elementtejä opiskellessa.

Trigonometriset yhtälöt miehittää tärkeä paikka matematiikan ja yleensä persoonallisuuden kehittämisen opetusprosessissa.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Käsite trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

• Jos haluat ratkaista trigonometrisen yhtälön, muunna se yhdeksi tai useammaksi trigonometriseksi perusyhtälöksi. Trigonometrisen yhtälön ratkaiseminen päättyy lopulta neljän trigonometrisen perusyhtälön ratkaisemiseen.

Trigonometristen perusyhtälöiden ratkaisu.

• Trigonometrisiä perusyhtälöitä on 4 tyyppiä:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Trigonometristen perusyhtälöiden ratkaisuun sisältyy "x":n eri asemien huomioon ottaminen yksikköympyrä, sekä käyttämällä muunnostaulukkoa (tai laskinta).
• Esimerkki 1. sin x = 0,866. Muunnostaulukon (tai laskimen) avulla saat vastauksen: x = π/3. Yksikköympyrä antaa toisen vastauksen: 2π/3. Muista: kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, eli niiden arvot toistuvat. Esimerkiksi sin x:n ja cos x:n jaksollisuus on 2πn ja tg x:n ja ctg x:n jaksollisuus on πn. Eli vastaus on kirjoitettu näin:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Esimerkki 2 cos x = -1/2. Muunnostaulukkoa (tai laskinta) käyttämällä saat vastauksen: x = 2π/3. Yksikköympyrä antaa toisen vastauksen: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Esimerkki 3. tg (x - π/4) = 0.
• Vastaus: x \u003d π / 4 + πn.
• Esimerkki 4. ctg 2x = 1,732.
• Vastaus: x \u003d π / 12 + πn.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisussa käytetyt muunnokset.

• Trigonometristen yhtälöiden muuntamiseen käytetään algebrallisia muunnoksia (faktorointi, pelkistys homogeeniset jäsenet jne.) ja trigonometriset identiteetit.
• Esimerkki 5. Käyttämällä trigonometrisiä identiteettejä yhtälö sin x + sin 2x + sin 3x = 0 muunnetaan yhtälöksi 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Siten seuraavat trigonometriset perusyhtälöt on ratkaistava: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Kulmien etsiminen tunnetut arvot toimintoja.

  • Ennen kuin opit ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, sinun on opittava löytämään kulmia tunnetuista funktioiden arvoista. Tämä voidaan tehdä muunnostaulukon tai laskimen avulla.
  • Esimerkki: cos x = 0,732. Laskin antaa vastauksen x = 42,95 astetta. Yksikköympyrä antaa lisäkulmia, joiden kosini on myös 0,732.

• Aseta liuos sivuun yksikköympyrässä.

  • Voit laittaa trigonometrisen yhtälön ratkaisuja yksikköympyrään. Yksikköympyrän trigonometrisen yhtälön ratkaisut ovat säännöllisen monikulmion kärjet.
  • Esimerkki: Yksikköympyrän ratkaisut x = π/3 + πn/2 ovat neliön kärkipisteitä.
  • Esimerkki: Yksikköympyrän ratkaisut x = π/4 + πn/3 ovat säännöllisen kuusikulmion huippuja.

• Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät.

  • Jos annettu trigonometrinen yhtälö sisältää vain yhden trigonometrisen funktion, ratkaise tämä yhtälö trigonometrisenä perusyhtälönä. Jos annettu yhtälö sisältää kaksi tai useampia trigonometrisiä funktioita, tällaisen yhtälön ratkaisemiseen on kaksi menetelmää (riippuen sen muunnosmahdollisuudesta).
    • Menetelmä 1
  • Muunna tämä yhtälö yhtälöksi, jonka muoto on: f(x)*g(x)*h(x) = 0, missä f(x), g(x), h(x) ovat trigonometriset perusyhtälöt.
  • Esimerkki 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu. Korvaa sin 2x käyttämällä kaksoiskulmakaavaa sin 2x = 2*sin x*cos x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos x = 0 ja (sin x + 1) = 0.
  • Esimerkki 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Muunna tämä yhtälö trigonometristen identiteettien avulla yhtälöksi, jonka muoto on: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos 2x = 0 ja (2cos x + 1) = 0.
  • Esimerkki 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Muunna tämä yhtälö trigonometristen identiteettien avulla yhtälöksi, jonka muoto on: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos 2x = 0 ja (2sin x + 1) = 0.
    • Menetelmä 2
  • Muunna annettu trigonometrinen yhtälö yhtälöksi, joka sisältää vain yhden trigonometrisen funktion. Korvaa sitten tämä trigonometrinen funktio jollakin tuntemattomalla funktiolla, esimerkiksi t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t jne.).
  • Esimerkki 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Ratkaisu. Korvaa tässä yhtälössä (cos^2 x) arvolla (1 - sin^2 x) (identiteetin mukaan). Muunnettu yhtälö näyttää tältä:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Korvaa sin x t:llä. Nyt yhtälö näyttää tältä: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö, jolla on kaksi juuria: t1 = -1 ja t2 = 9/5. Toinen juuri t2 ei täytä funktion aluetta (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Esimerkki 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Ratkaisu. Korvaa tg x t:llä. Kirjoita alkuperäinen yhtälö uudelleen seuraavasti: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Etsi nyt t ja etsi sitten x, kun t = tg x.

Trigonometriset yhtälöt eivät ole helpoin aihe. Ne ovat tuskallisen erilaisia.) Esimerkiksi nämä:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Mutta näillä (ja kaikilla muilla) trigonometrisilla hirviöillä on kaksi yhteistä ja pakollista ominaisuutta. Ensinnäkin - et usko sitä - yhtälöissä on trigonometrisiä funktioita.) Toiseksi: kaikki lausekkeet, joissa on x, ovat näissä samoissa toiminnoissa. Ja vain siellä! Jos x näkyy jossain ulkopuolella, Esimerkiksi, sin2x + 3x = 3, tämä tulee olemaan yhtälö sekoitettu tyyppi. Tällaiset yhtälöt vaativat yksilöllinen lähestymistapa. Tässä emme ota niitä huomioon.

Emme myöskään ratkaise pahoja yhtälöitä tällä oppitunnilla.) Tässä käsitellään yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Miksi? Kyllä, koska päätös minkä tahansa trigonometriset yhtälöt koostuvat kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa paha yhtälö pelkistetään yksinkertaiseksi erilaisilla muunnoksilla. Toisella - tämä yksinkertaisin yhtälö on ratkaistu. Ei toista reittiä.

Joten jos sinulla on ongelmia toisessa vaiheessa, ensimmäisessä vaiheessa ei ole paljon järkeä.)

Miltä alkeistrigonometriset yhtälöt näyttävät?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tässä A tarkoittaa mitä tahansa numeroa. Minkä tahansa.

Muuten, funktion sisällä ei ehkä ole puhdasta x, vaan jonkinlainen lauseke, kuten:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. Tämä vaikeuttaa elämää, mutta ei vaikuta trigonometrisen yhtälön ratkaisumenetelmään.

Kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?

Trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa: käyttämällä logiikkaa ja trigonometristä ympyrää. Tutkimme tätä polkua täällä. Toista tapaa - muistin ja kaavojen käyttöä - tarkastellaan seuraavassa oppitunnissa.

Ensimmäinen tapa on selkeä, luotettava ja vaikea unohtaa.) Se on hyvä ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, epäyhtälöitä ja kaikenlaisia ​​hankalia epätyypillisiä esimerkkejä. Logiikka on vahvempi kuin muisti!

Ratkaisemme yhtälöitä trigonometrisen ympyrän avulla.

Mukana on alkeellista logiikkaa ja kykyä käyttää trigonometristä ympyrää. Etkö voi!? Kuitenkin... Se tulee olemaan sinulle vaikeaa trigonometriassa...) Mutta sillä ei ole väliä. Katso oppitunteja "Trigonometrinen ympyrä ...... Mikä se on?" ja "Kulmien laskeminen trigonometrisellä ympyrällä". Siellä kaikki on yksinkertaista. Toisin kuin oppikirjoissa...)

Ah, tiedätkö!? Ja jopa hallitsi "Käytännön työtä trigonometrisen ympyrän kanssa"!? Hyväksy onnittelut. Tämä aihe on sinulle läheinen ja ymmärrettävä.) Erityisen ilahduttavaa on, että trigonometrinen ympyrä ei välitä minkä yhtälön ratkaiset. Sini, kosini, tangentti, kotangentti - kaikki on hänelle samaa. Ratkaisun periaate on sama.

Otetaan siis mikä tahansa alkeistrigonometrinen yhtälö. Ainakin tämä:

cosx = 0,5

Minun täytyy löytää X. Ihmiskielellä puhuminen tarvitsee etsi kulma (x), jonka kosini on 0,5.

Miten käytimme ympyrää aiemmin? Piirsimme siihen kulman. Asteina tai radiaaneina. Ja heti nähty tämän kulman trigonometriset funktiot. Tehdään nyt päinvastoin. Piirrä ympyrään kosini, joka on 0,5 ja heti katsotaan kulma. Jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.) Kyllä, kyllä!

Piirrämme ympyrän ja merkitsemme kosinin, joka on yhtä suuri kuin 0,5. Tietysti kosiniakselilla. Kuten tämä:

Piirretään nyt kulma, jonka tämä kosini antaa meille. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletilla) ja katso tähän samaan nurkkaan X.

Minkä kulman kosini on 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Jotkut murisevat skeptisesti, kyllä... He sanovat, kannattiko aitaa ympyrää, kun kaikki on muutenkin selvää... Voit tietysti muristaa...) Mutta tosiasia on, että tämä on virheellinen vastaus. Tai pikemminkin riittämätön. Ympyrän asiantuntijat ymmärtävät, että vielä on olemassa joukko kulmia, jotka antavat myös kosinin, joka on yhtä suuri kuin 0,5.

Jos käännät liikkuvan puolen OA täydelle kierrokselle, piste A palaa alkuperäiseen asentoonsa. Samalla kosinilla, joka on 0,5. Nuo. kulma muuttuu 360° tai 2π radiaania ja kosini ei ole. Uusi kulma 60° + 360° = 420° on myös ratkaisu yhtälöimme, koska

Tällaisia ​​täysiä kierroksia on ääretön määrä... Ja kaikki nämä uudet kulmat ovat ratkaisuja trigonometriseen yhtälöimme. Ja ne kaikki pitää jotenkin kirjoittaa ylös. Kaikki. Muuten päätöstä ei oteta huomioon, kyllä...)

Matematiikka voi tehdä tämän yksinkertaisesti ja tyylikkäästi. Kirjoita yhteen lyhyeen vastaukseen ääretön joukko ratkaisuja. Tältä se näyttää yhtälössämme:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

minä tulkitsen. Kirjoita silti mielekkäästi mukavampaa kuin tyhmästi piirtää salaperäisiä kirjaimia, eikö?)

π /3 on sama kulma kuin me näin ympyrässä ja päättänyt kosinitaulukon mukaan.

2π on yksi täysi kierros radiaaneina.

n - tämä on valmiiden, ts. koko vallankumoukset. On selvää että n voi olla 0, ±1, ±2, ±3.... ja niin edelleen. Kuten lyhyt kirjoitus osoittaa:

n ∈ Z

n kuuluu ( ∈ ) kokonaislukujen joukkoon ( Z ). Muuten, kirjeen sijaan n kirjaimia voidaan käyttää k, m, t jne.

Tämä merkintä tarkoittaa, että voit ottaa minkä tahansa kokonaisluvun n . Vähintään -3, vähintään 0, vähintään +55. Mitä haluat. Jos liität tämän luvun vastaukseesi, saat tietyn kulman, joka on varmasti ratkaisu ankaraan yhtälöimme.)

Tai toisin sanoen x \u003d π / 3 on äärettömän joukon ainoa juuri. Kaikkien muiden juurien saamiseksi riittää, että lisätään mikä tahansa määrä täysiä kierroksia arvoon π / 3 ( n ) radiaaneina. Nuo. 2πn radiaani.

Kaikki? Ei. Venytän erityisesti iloa. Muistaakseni paremmin.) Saimme vain osan yhtälömme vastauksista. Kirjoitan tämän ratkaisun ensimmäisen osan seuraavasti:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ei yhtä juuria, se on koko sarja juuria, jotka on kirjoitettu lyhyessä muodossa.

Mutta on myös muita kulmia, jotka antavat myös kosinin, joka on 0,5!

Palataan kuvaamme, jonka mukaan kirjoitimme vastauksen. Tässä hän on:

Siirrä hiiren osoitin kuvan päälle ja katso toinen kulma tuo antaa myös kosinin 0,5. Mitä se mielestäsi vastaa? Kolmiot ovat samat... Kyllä! Hän yhtä suuri kuin kulma X , piirretty vain negatiiviseen suuntaan. Tämä on kulma -X. Mutta olemme jo laskeneet x. π /3 tai 60°. Siksi voimme turvallisesti kirjoittaa:

x 2 \u003d - π / 3

Ja tietysti lisäämme kaikki kulmat, jotka saadaan täydellä kierroksella:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki.) Trigonometrisessa ympyrässä me näin(joka tietysti ymmärtää)) Kaikki kulmat, jotka antavat kosinin 0,5. Ja he kirjoittivat muistiin nämä kulmat lyhyessä matemaattisessa muodossa. Vastaus on kaksi ääretöntä juurisarjaa:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on oikea vastaus.

Toivoa, yleinen periaate trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ympyrän avulla on ymmärrettävää. Merkitään kosini (sini, tangentti, kotangentti) annetusta yhtälöstä ympyrään, piirretään vastaavat kulmat ja kirjoitetaan vastaus muistiin. Tietenkin sinun täytyy selvittää, millaisia ​​kulmia olemme näin ympyrän päällä. Joskus se ei ole niin ilmeistä. No, kuten sanoin, tässä tarvitaan logiikkaa.)

Analysoidaan esimerkiksi toinen trigonometrinen yhtälö:

Huomaa, että numero 0,5 ei ole ainoa mahdollinen luku yhtälöissä!) Minulle on vain mukavampaa kirjoittaa se kuin juuria ja murtolukuja.

Työskentelemme yleisen periaatteen mukaan. Piirrämme ympyrän, merkitsemme (siniakselille tietysti!) 0,5. Piirrämme kerralla kaikki tätä siniä vastaavat kulmat. Saamme tämän kuvan:

Käsitellään ensin kulmaa. X ensimmäisellä neljänneksellä. Muistamme sinitaulukon ja määritämme tämän kulman arvon. Asia on yksinkertainen:

x \u003d π / 6

Muistamme täydet käännökset ja kirjoitamme puhtaalla omallatunnolla muistiin ensimmäiset vastaussarjat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puolet työstä on tehty. Nyt meidän on määriteltävä toinen kulma... Tämä on hankalampaa kuin kosinukset, kyllä... Mutta logiikka pelastaa meidät! Kuinka määrittää toinen kulma x:n kautta? Kyllä helppoa! Kuvan kolmiot ovat samat ja punainen kulma X yhtä suuri kuin kulma X . Vain se lasketaan kulmasta π negatiiviseen suuntaan. Siksi se on punainen.) Ja vastausta varten tarvitsemme kulman, joka on mitattu oikein positiivisesta puoliakselista OX, ts. 0 asteen kulmasta.

Vie kursori kuvan päälle ja näet kaiken. Poistin ensimmäisen kulman, jotta en vaikeuttaisi kuvaa. Meitä kiinnostava kulma (piirretty vihreällä) on yhtä suuri:

π - x

x tiedämme sen π /6 . Toinen kulma on siis:

π - π /6 = 5π /6

Muistamme jälleen täyden kierroksen lisäämisen ja kirjoitamme toisen vastaussarjan:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki. Täydellinen vastaus koostuu kahdesta juurisarjasta:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangentin ja kotangentin yhtälöt voidaan ratkaista helposti käyttämällä samaa yleisperiaatetta trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Ellei tietysti osaa piirtää tangenttia ja kotangenttia trigonometriseen ympyrään.

Yllä olevissa esimerkeissä käytin sinin ja kosinin taulukkoarvoa: 0,5. Nuo. yksi niistä merkityksistä, jotka opiskelija tietää on pakko. Laajennamme nyt kykyjämme kaikki muut arvot. Päätä, niin päätä!)

Oletetaan siis, että meidän on ratkaistava seuraava trigonometrinen yhtälö:

Tämä kosiniarvo sisään yhteenvetotaulukot Ei. Jätämme kylmästi huomioimatta tämän kauhean tosiasian. Piirrämme ympyrän, merkitsemme 2/3 kosiniakselille ja piirrämme vastaavat kulmat. Saamme tämän kuvan.

Ensinnäkin ymmärrämme ensimmäisen neljänneksen kulman. Tietääkseen, mikä x on yhtä suuri, he kirjoittaisivat vastauksen heti ylös! Emme tiedä... Epäonnistuminen!? Rauhoittaa! Matematiikka ei jätä omaansa vaikeuksiin! Hän keksi kaarikosinukset tätä tapausta varten. En tiedä? Turhaan. Ota selvää, se on paljon helpompaa kuin uskotkaan. Tämän linkin mukaan "käänteistrigonometrisistä funktioista" ei ole olemassa ainuttakaan hankalaa loitsua... Se on tarpeeton tässä aiheessa.

Jos olet perillä, sano vain itsellesi: "X on kulma, jonka kosini on 2/3." Ja heti, puhtaasti arkosiinin määritelmän mukaan, voimme kirjoittaa:

Muistamme lisäkierrokset ja kirjoitamme rauhallisesti muistiin trigonometrisen yhtälömme juuret:

x 1 = kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Toinen juurisarja kirjoitetaan myös lähes automaattisesti, toista kulmaa varten. Kaikki on sama, vain x (arccos 2/3) on miinuksella:

x 2 = - kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja kaikki asiat! Tämä on oikea vastaus. Jopa helpompaa kuin taulukkoarvoilla. Sinun ei tarvitse muistaa mitään.) Muuten tarkkaavaisin huomaa, että tämä kuva ratkaisulla kaarikosinin läpi ei pohjimmiltaan eroa kuvasta yhtälölle cosx = 0,5.

Tarkalleen! Yleinen käytäntö siksi se on yleistä! Piirsin erityisesti kaksi lähes identtistä kuvaa. Ympyrä näyttää meille kulman X kosinuksensa mukaan. Se on taulukkokosini tai ei - ympyrä ei tiedä. Millainen kulma tämä on, π / 3 tai millainen kaarikosini on meidän päätettävissämme.

Sinillä sama laulu. Esimerkiksi:

Piirrämme jälleen ympyrän, merkitsemme sini yhtä suureksi kuin 1/3, piirrämme kulmat. Tästä kuvasta selviää:

Ja taas kuva on melkein sama kuin yhtälössä sinx = 0,5. Aloitamme jälleen kulmasta ensimmäisellä neljänneksellä. Mikä on x, jos sen sini on 1/3? Ei ongelmaa!

Joten ensimmäinen paketti juuria on valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Katsotaanpa toista kulmaa. Esimerkissä, jossa taulukon arvo oli 0,5, se oli yhtä suuri:

π - x

Joten tässä tulee olemaan täsmälleen sama! Vain x on erilainen, arcsin 1/3. Mitä sitten!? Voit turvallisesti kirjoittaa toisen juuripaketin:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on täysin oikea vastaus. Vaikka se ei näytä kovin tutulta. Mutta se on ymmärrettävää, toivottavasti.)

Näin trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​ympyrän avulla. Tämä tie on selkeä ja ymmärrettävä. Hän säästää trigonometrisissa yhtälöissä juurien valinnalla tietyllä aikavälillä, trigonometrisissa epäyhtälöissä - ne ratkaistaan ​​yleensä melkein aina ympyrässä. Lyhyesti sanottuna kaikissa tehtävissä, jotka ovat hieman monimutkaisempia kuin tavalliset.

Tietoa käytäntöön?

Ratkaise trigonometriset yhtälöt:

Aluksi se on yksinkertaisempaa, suoraan tässä oppitunnissa.

Nyt se on vaikeampaa.

Vihje: tässä sinun täytyy ajatella ympyrää. Henkilökohtaisesti.)

Ja nyt ulkoisesti vaatimattomia ... Niitä kutsutaan myös erityistapauksiksi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: tässä sinun täytyy selvittää ympyrässä, missä on kaksi vastaussarjaa ja missä on yksi ... Ja kuinka kirjoittaa yksi kahden vastaussarjan sijaan. Kyllä, jotta yhtäkään juurta ei menetetä äärettömästä luvusta!)

No, aika yksinkertaista):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: tässä sinun on tiedettävä, mikä on arcsini, arkosiini? Mikä on arctangentti, arctangentti? Yksinkertaisimmat määritelmät. Mutta sinun ei tarvitse muistaa taulukkoarvoja!)

Vastaukset ovat tietysti sekaisin):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Lue oppitunti uudelleen. Vain harkiten(sellaista on vanhentunut sana...) Ja seuraa linkkejä. Päälinkit koskevat ympyrää. Ilman sitä trigonometriassa - kuinka ylittää tie sidottuina. Joskus se toimii.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.