Smirnova Anastasia Jurievna

Oppitunnin tyyppi: oppitunti uuden materiaalin oppimiseen.

Järjestäytymismuoto oppimistoimintaa : edestä, yksilöllinen.

Oppitunnin tarkoitus: esitellä uudentyyppiset yhtälöt - murto-rationaaliyhtälöt, antaa käsitys murto-osien rationaalisten yhtälöiden ratkaisualgoritmista.

Oppitunnin tavoitteet.

Opetusohjelma:

• murto-rationaalisen yhtälön käsitteen muodostaminen;
• harkita algoritmia murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, mukaan lukien ehto, että murtoluku on nolla;
• opettaa murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisua algoritmin mukaan.

Kehitetään:

• luoda edellytykset taitojen muodostumiselle hankitun tiedon soveltamiseksi;
• edistää opiskelijoiden kognitiivisen kiinnostuksen kehittymistä aihetta kohtaan;
• kehittää opiskelijoiden kykyä analysoida, vertailla ja tehdä johtopäätöksiä;
• keskinäisen hallinnan ja itsehillinnän, huomion, muistin, suullisen ja kirjallisen puheen, itsenäisyyden taitojen kehittäminen.

Hoito:

• kognitiivisen kiinnostuksen koulutus aihetta kohtaan;
• itsenäisyyden kasvattaminen koulutusongelmien ratkaisemisessa;
• tahtoa ja sinnikkyyttä lopputulosten saavuttamiseksi.

Laitteet: oppikirja, liitutaulu, väriliidut.

Oppikirja "Algebra 8". Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, toimittanut S.A.Telyakovsky. Moskovan "Valaistus". 2010

Tälle aiheelle on varattu viisi tuntia. Tämä oppitunti on ensimmäinen. Tärkeintä on tutkia murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisualgoritmia ja työstää tämä algoritmi harjoituksissa.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki.

Hei kaverit! Tänään haluaisin aloittaa oppituntimme neliöllä:
Helpottaakseen kaikkien elämää
Mitä päätettäisiin, mitä voitaisiin,
Hymyile, onnea kaikille
Ihan sama mitä ongelmia
Hymyilivät toisilleen, loivat hyvä tuuli ja aloitti työn.

Yhtälöt on kirjoitettu taululle, katso niitä huolellisesti. Voitko ratkaista kaikki nämä yhtälöt? Mitkä eivät ole ja miksi?

Yhtälöitä, joissa vasen ja oikea puoli ovat murto-rationaalisia lausekkeita, kutsutaan murto-rationaalisiksi yhtälöiksi. Mitä luulet opiskelevan tänään oppitunnilla? Muotoile oppitunnin aihe. Joten avaamme muistikirjoja ja kirjoitamme oppitunnin aiheen "Rationaliaalisten yhtälöiden ratkaisu".

2. Tiedon toteutuminen. Frontaalinen kysely, suullinen työskentely luokan kanssa.

Ja nyt toistamme pääasiallisen teoreettisen materiaalin, jota meidän on opiskeltava uusi aihe. Ole hyvä ja vastaa seuraaviin kysymyksiin:

1. Mikä on yhtälö? ( Tasa-arvo muuttujan tai muuttujien kanssa.)
2. Mikä on yhtälön #1 nimi? ( Lineaarinen.) Menetelmä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. ( Kaikki tuntemattomalla muutolla vasen puoli yhtälöt, kaikki luvut - oikealle. Tuo samanlaiset ehdot. Etsi tuntematon kerroin).
3. Mikä on yhtälön 3 nimi? ( Neliö.) Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. (P kaavoista)
4. Mikä on osuus? ( Kahden suhteen tasa-arvo.) Suhteen pääominaisuus. ( Jos suhde on tosi, niin sen ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo.)
5. Mitä ominaisuuksia käytetään yhtälöiden ratkaisemiseen? ( 1. Jos yhtälössä siirretään termi osasta toiseen muuttamalla sen etumerkkiä, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä. 2. Jos yhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua.)
6. Milloin murto-osa on nolla? ( Murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä on nollasta poikkeava.)

3. Uuden materiaalin selitys.

Ratkaise yhtälö nro 2 vihkoissa ja taululla.

Vastaus: 10.

Mikä murto-rationaalinen yhtälö voitko yrittää ratkaista käyttämällä perussuhdeominaisuutta? (nro 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Ratkaise yhtälö nro 4 vihkoissa ja taululla.

Vastaus: 1,5.

Minkä murto-rationaalisen yhtälön voit yrittää ratkaista kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjällä? (nro 6).

x 2 -7x+12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Vastaus: 3;4.

Tarkastellaan yhtälön nro 7 tyyppisten yhtälöiden ratkaisua seuraavilla oppitunneilla.

Selitä miksi näin tapahtui? Miksi yhdessä tapauksessa on kolme juurta ja toisessa kaksi? Mitkä luvut ovat tämän murto-rationaalisen yhtälön juuret?

Toistaiseksi opiskelijat eivät ole tavanneet vieraan juuren käsitettä, heidän on todella vaikea ymmärtää, miksi näin tapahtui. Jos kukaan luokassa ei pysty antamaan selkeää selitystä tästä tilanteesta, opettaja kysyy johtavia kysymyksiä.

• Miten yhtälöt 2 ja 4 eroavat yhtälöistä 5.6? ( Yhtälöissä nro 2 ja 4 luvun nimittäjässä, nro 5-6 - lausekkeet, joissa on muuttuja.)
• Mikä on yhtälön juuri? ( Sen muuttujan arvo, jolla yhtälöstä tulee todellinen yhtälö.)
• Kuinka selvittää, onko luku yhtälön juuri? ( Tee sekki.)

Testiä tehdessään jotkut opiskelijat huomaavat, että heidän täytyy jakaa nollalla. He päättelevät, että luvut 0 ja 5 eivät ole tämän yhtälön juuria. Herää kysymys: onko olemassa tapaa ratkaista murto-rationaaliyhtälöitä, joka eliminoi tämän virheen? Kyllä, tämä menetelmä perustuu siihen, että murto-osa on nolla.

Yritetään muotoilla algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi tällä tavalla. Lapset itse muotoilevat algoritmin.

Algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki vasemmalle.
2. Tuo murtoluvut yhteiseen nimittäjään.
3. Muodosta järjestelmä: murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla.
4. Ratkaise yhtälö.
5. Tarkista epäyhtälö sulkeaksesi pois vieraat juuret.
6. Kirjoita vastaus muistiin.

4. Uuden materiaalin ensisijainen ymmärtäminen.

Työskennellä pareittain. Opiskelijat valitsevat itse, miten yhtälön ratkaistaan ​​yhtälön tyypistä riippuen. Tehtävät oppikirjasta "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: nro 600(b, c); nro 601(a, e). Opettaja ohjaa tehtävän suorittamista, vastaa esiin tulleisiin kysymyksiin ja auttaa huonosti suoriutuneita opiskelijoita. Itsetesti: Vastaukset kirjoitetaan taululle.

b) 2 - vieras juuri. Vastaus: 3.

c) 2 - vieras juuri. Vastaus: 1.5.

a) Vastaus: -12.5.

5. Lausunto kotitehtävistä.

1. Lue oppikirjan kohta 25, analysoi esimerkit 1-3.
2. Opi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisualgoritmi.
3. Ratkaise vihkoissa nro 600 (d, e); nro 601 (g, h).

6. Oppitunnin yhteenveto.

Joten tänään oppitunnilla tutustuimme murto-rationaalisiin yhtälöihin, opimme ratkaisemaan nämä yhtälöt eri tavoilla. Mitä tulee pitää mielessä riippumatta siitä, kuinka murto-rationaaliset yhtälöt ratkaistaan? Mikä on murto-rationaalisten yhtälöiden "oveluus"?

Kiitos kaikille, oppitunti on ohi.

Tässä artikkelissa näytän sinulle algoritmeja seitsemän tyyppisten rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen, jotka pelkistetään neliöiksi muuttujien muutoksen avulla. Useimmissa tapauksissa korvaamiseen johtavat muutokset ovat hyvin epätriviaaleja, ja niitä on melko vaikea arvata itse.

Selitän jokaiselle yhtälötyypille, kuinka muuttujan muutos tehdään, ja näytän sitten yksityiskohtaisen ratkaisun vastaavassa video-opetusohjelmassa.

Sinulla on mahdollisuus jatkaa yhtälöiden ratkaisemista itse ja sitten tarkistaa ratkaisusi video-opetusohjelmasta.

Joten aloitetaan.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x+2) = 40

Huomaa, että neljän hakasulkeen tulo on yhtälön vasemmalla puolella ja numero on oikealla puolella.

1. Ryhmitetään sulut kahdella niin, että vapaiden termien summa on sama.

2. Kerro ne.

3. Otetaan käyttöön muuttujan muutos.

Yhtälössämme ryhmittelemme ensimmäisen hakasulkeen kolmanteen ja toisen neljännen kanssa, koska (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Tässä vaiheessa muuttujan muutos tulee ilmeiseksi:

Saamme yhtälön

Vastaus:

2 .

Tämän tyyppinen yhtälö on samanlainen kuin edellinen yhdellä erolla: yhtälön oikealla puolella on luvun tulo. Ja se ratkaistaan ​​täysin eri tavalla:

1. Ryhmittelemme sulut kahdella siten, että vapaiden termien tulo on sama.

2. Kerromme jokaisen sulkuparin.

3. Jokaisesta tekijästä otetaan x pois suluista.

4. Jaa yhtälön molemmat puolet .

5. Otamme käyttöön muuttujan muutoksen.

Tässä yhtälössä ryhmitämme ensimmäisen hakasulkeen neljänteen ja toisen kolmanteen, koska:

Huomaa, että jokaisessa sulussa kerroin at ja vapaa termi ovat samat. Otetaan kerroin kustakin suluista:

Koska x=0 ei ole alkuperäisen yhtälön juuri, jaamme yhtälön molemmat puolet arvolla . Saamme:

Saamme yhtälön:

Vastaus:

3 .

Huomaa, että molempien murtolukujen nimittäjät ovat neliötrinomeja, joissa johtava kerroin ja vapaa termi ovat samat. Otamme pois, kuten toisen tyypin yhtälössä, x:n suluista. Saamme:

Jaa kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä x:llä:

Nyt voimme tehdä muuttujan muutoksen:

Saamme yhtälön muuttujalle t:

4 .

Huomaa, että yhtälön kertoimet ovat symmetrisiä keskimmäisen suhteen. Tällaista yhtälöä kutsutaan palautettavissa .

Sen ratkaisemiseksi

1. Jaa yhtälön molemmat puolet: (Voimme tehdä tämän, koska x=0 ei ole yhtälön juuri.) Saamme:

2. Ryhmittele termit seuraavasti:

3. Otamme kussakin ryhmässä yhteisen tekijän:

4. Otetaan käyttöön korvaava:

5. Ilmaistaan ​​lauseke t:llä:

Täältä

Saamme t:n yhtälön:

Vastaus:

5. Homogeeniset yhtälöt.

Homogeenisen rakenteen omaavia yhtälöitä voi kohdata ratkaistaessa eksponentiaalista, logaritmista ja trigonometriset yhtälöt, joten se on tunnustettava.

Homogeenisilla yhtälöillä on seuraava rakenne:

Tässä yhtälössä A, B ja C ovat numeroita, ja samat lausekkeet osoitetaan neliöllä ja ympyrällä. Toisin sanoen homogeenisen yhtälön vasemmalla puolella on niiden monomien summa, joilla on sama aste (tässä tapauksessa monomiaalien aste on 2), eikä vapaata termiä ole.

Ratkaista homogeeninen yhtälö, jaa molemmat osat arvolla

Huomio! Kun jaat yhtälön oikean ja vasemman puolen lausekkeella, joka sisältää tuntemattoman, voit menettää juuret. Siksi on tarpeen tarkistaa, ovatko lausekkeen juuret, joilla jaamme molemmat yhtälön osat, alkuperäisen yhtälön juuria.

Mennään ensimmäistä tietä. Saamme yhtälön:

Nyt esittelemme muuttujan korvauksen:

Yksinkertaista lauseke ja hanki kaksikvadraattinen yhtälö t:lle:

Vastaus: tai

7 .

Tällä yhtälöllä on seuraava rakenne:

Sen ratkaisemiseksi sinun on valittava yhtälön vasemmalla puolella oleva täysi neliö.

Voit valita täyden neliön lisäämällä tai vähentämällä tuplatulon. Sitten saadaan summan tai erotuksen neliö. Tämä on kriittistä onnistuneen muuttujan korvaamisen kannalta.

Aloitetaan etsimällä kaksinkertainen tuote. Se on avain muuttujan korvaamiseen. Yhtälössämme kaksoistulo on

Nyt selvitetään, mikä on meille kätevämpää - summan neliö vai erotus. Harkitse aluksi lausekkeiden summaa:

Loistava! tämä lauseke on täsmälleen yhtä suuri kuin kaksinkertainen tulo. Sitten, jotta saat summan neliön suluissa, sinun on lisättävä ja vähennettävä kaksoistulo:

§ 1 Kokonais- ja murto-rationaaliyhtälöt

Tällä oppitunnilla analysoimme sellaisia ​​käsitteitä kuin rationaalinen yhtälö, rationaalinen lauseke, kokonaislukulauseke, murtoluku. Harkitse rationaalisten yhtälöiden ratkaisua.

Rationaalinen yhtälö on yhtälö, jossa vasen ja oikea puoli ovat rationaalisia lausekkeita.

Rationaalisia ilmaisuja ovat:

Murtoluku.

Kokonaislukulauseke koostuu luvuista, muuttujista ja kokonaislukupotenssista käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakamisoperaatioita muulla kuin nollalla.

Esimerkiksi:

Murtolukulausekkeissa on jako muuttujalla tai lauseke muuttujalla. Esimerkiksi:

Murtolukulausekkeella ei ole järkeä kaikille siihen sisältyvien muuttujien arvoille. Esimerkiksi ilmaisu

kohdassa x = -9 se ei ole järkevää, koska kohdassa x = -9 nimittäjä menee nollaan.

Tämä tarkoittaa, että rationaalinen yhtälö voi olla kokonaisluku ja murtoluku.

Kokonaislukuinen rationaalinen yhtälö on rationaalinen yhtälö, jonka vasen ja oikea puoli ovat kokonaislukulausekkeita.

Esimerkiksi:

Murto-rationaalinen yhtälö on rationaalinen yhtälö, jossa joko vasen tai oikea puoli ovat murto-osalausekkeita.

Esimerkiksi:

§ 2 Koko rationaalisen yhtälön ratkaisu

Harkitse kokonaisen rationaalisen yhtälön ratkaisua.

Esimerkiksi:

Kerro yhtälön molemmat puolet siihen sisältyvien murtolukujen nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä.

Tätä varten:

1. Etsi nimittäjille 2, 3, 6 yhteinen nimittäjä. Se on 6;

2. Etsi jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin. Tee tämä jakamalla yhteinen nimittäjä 6 kullakin nimittäjällä

murto-osan lisäkerroin

murto-osan lisäkerroin

3. kerro murtolukujen osoittajat niitä vastaavilla lisäkertoimilla. Siten saamme yhtälön

joka vastaa tätä yhtälöä

Avaa vasemmalla olevat kiinnikkeet oikea puoli siirrymme vasemmalle vaihtaen termin merkin siirron aikana päinvastaiseksi.

Annamme polynomin samanlaiset ehdot ja saamme

Näemme, että yhtälö on lineaarinen.

Ratkaisemalla sen huomaamme, että x = 0,5.

§ 3 Murto-rationaalisen yhtälön ratkaisu

Harkitse murto-rationaalisen yhtälön ratkaisua.

Esimerkiksi:

1. Kerro yhtälön molemmat puolet siihen sisältyvien rationaalisten murtolukujen nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä.

Etsi yhteinen nimittäjä nimittäjille x + 7 ja x - 1.

Se on yhtä suuri kuin heidän tulonsa (x + 7) (x - 1).

2. Etsitään jokaiselle rationaaliselle murtoluvulle lisäkerroin.

Tätä varten jaamme yhteisen nimittäjän (x + 7) (x - 1) kullakin nimittäjällä. Murtolukujen lisäkerroin

on yhtä kuin x - 1,

murto-osan lisäkerroin

on yhtä kuin x+7.

3. Kerro murtolukujen osoittajat niitä vastaavilla lisäkertoimilla.

Saamme yhtälön (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), joka vastaa tätä yhtälöä

4. Vasen ja oikea kertovat binomiaalin binomilla ja saat seuraavan yhtälön

5. Siirrämme oikean osan vasemmalle vaihtamalla kunkin termin etumerkkiä siirrettäessä vastakkaiseen:

6. Esitämme polynomin samanlaiset jäsenet:

7. Voit jakaa molemmat osat -1:llä. Saamme toisen asteen yhtälön:

8. Kun se on ratkaistu, löydämme juuret

Koska yhtälössä

vasen ja oikea osa ovat murto-lausekkeita, ja murto-lausekkeissa joillekin muuttujien arvoille nimittäjä voi kadota, sitten on tarkistettava, eikö yhteinen nimittäjä katoa, kun x1 ja x2 löytyy.

Kohdassa x = -27 yhteinen nimittäjä (x + 7)(x - 1) ei katoa, kun x = -1 yhteinen nimittäjä on myös nollasta poikkeava.

Siksi sekä juuret -27 että -1 ovat yhtälön juuria.

Kun ratkaistaan ​​murto-rationaalinen yhtälö, on parempi ilmoittaa alue välittömästi sallitut arvot. Eliminoi ne arvot, joissa yhteinen nimittäjä menee nollaan.

Harkitse toista esimerkkiä murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemisesta.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi yhtälö

Jaamme yhtälön oikealla puolella olevan murto-osan nimittäjä tekijöiksi

Saamme yhtälön

Etsi yhteinen nimittäjä nimittäjille (x - 5), x, x (x - 5).

Se on lauseke x (x - 5).

Etsitään nyt yhtälön sallittujen arvojen alue

Tätä varten yhdistämme yhteisen nimittäjän nollaan x (x - 5) \u003d 0.

Saamme yhtälön, jonka ratkaisemalla huomaamme, että kohdassa x \u003d 0 tai kohdassa x \u003d 5 yhteinen nimittäjä katoaa.

Joten x = 0 tai x = 5 ei voi olla yhtälömme juuria.

Nyt voit löytää lisää kertoimia.

Lisäkerroin rationaalisille murtoluvuille

murtolukujen lisäkerroin

tulee olemaan (x - 5),

ja murto-osan lisäkerroin

Kerromme osoittajat vastaavilla lisätekijöillä.

Saamme yhtälön x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Avataan sulut vasemmalla ja oikealla, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Siirretään termejä oikealta vasemmalle muuttamalla siirrettävien ehtojen merkkiä:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ja samankaltaisten termien tuomisen jälkeen saamme toisen asteen yhtälön x2 - 3x - 10 \u003d 0. Kun se on ratkaistu, löydämme juuret x1 \u003d -2; x2 = 5.

Mutta olemme jo havainneet, että kohdassa x = 5 yhteinen nimittäjä x(x - 5) katoaa. Siksi yhtälömme juuri

on x = -2.

§ 4 Oppitunnin yhteenveto

Tärkeää muistaa:

Kun ratkaiset murto-rationaaliyhtälöitä, sinun on toimittava seuraavasti:

1. Etsi yhtälöön sisältyvien murtolukujen yhteinen nimittäjä. Lisäksi, jos murto-osien nimittäjät voidaan jakaa tekijöiksi, hajoa ne tekijöiksi ja etsi sitten yhteinen nimittäjä.

2. Kerro yhtälön molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä: etsi lisätekijät, kerro osoittajat lisäkertoimilla.

3. Ratkaise tuloksena oleva kokonaisyhtälö.

4. Jätä sen juurista pois ne, jotka kääntävät yhteisen nimittäjän nollaan.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Toimittajana Telyakovsky S.A. Algebra: oppikirja. 8 solulle. Yleissivistävä koulutus toimielimet. - M.: Koulutus, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. Luokka 8: kahdessa osassa. Osa 1: Proc. yleissivistävää koulutusta varten toimielimet. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Algebran oppituntien kehitys: luokka 8. - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra luokka 8: tuntisuunnitelmat oppikirjan mukaan Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Opettaja, 2005.

Tutustutaan rationaalisiin ja murto-rationaalisiin yhtälöihin, annetaan niiden määritelmät, annetaan esimerkkejä ja analysoidaan myös yleisimmät ongelmatyypit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rationaalinen yhtälö: määritelmä ja esimerkit

Rationaalisiin ilmaisuihin tutustuminen alkaa koulun 8. luokalla. Tällä hetkellä algebratunneilla opiskelijat alkavat yhä useammin kohdata tehtäviä, joissa on yhtälöitä, jotka sisältävät rationaalisia lausekkeita muistiinpanoissaan. Virkistetään muistiamme siitä, mitä se on.

Määritelmä 1

rationaalinen yhtälö on yhtälö, jonka molemmat puolet sisältävät rationaalisia lausekkeita.

Useista käsikirjoista löytyy toinen sanamuoto.

Määritelmä 2

rationaalinen yhtälö- tämä on yhtälö, jonka vasemman puolen tietue sisältää rationaalisen lausekkeen ja oikealla on nolla.

Määritelmät, jotka olemme antaneet rationaalisille yhtälöille, ovat samanarvoisia, koska ne tarkoittavat samaa asiaa. Sanojemme oikeellisuuden vahvistaa se tosiasia, että kaikille rationaalisille ilmauksille P Ja K yhtälöt P = Q Ja P − Q = 0 ovat vastaavia ilmaisuja.

Siirrytään nyt esimerkkeihin.

Esimerkki 1

Rationaaliset yhtälöt:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rationaaliset yhtälöt, kuten muun tyyppiset yhtälöt, voivat sisältää minkä tahansa määrän muuttujia yhdestä useaan. Aluksi harkitsemme yksinkertaisia ​​esimerkkejä, jossa yhtälöt sisältävät vain yhden muuttujan. Ja sitten alamme vähitellen monimutkaista tehtävää.

Rationaaliset yhtälöt jaetaan kahteen osaan suuria ryhmiä: kokonainen ja murto-osa. Katsotaanpa, mitkä yhtälöt pätevät kuhunkin ryhmään.

Määritelmä 3

Rationaalinen yhtälö on kokonaisluku, jos sen vasemman ja oikean osan tietue sisältää kokonaisia ​​rationaalisia lausekkeita.

Määritelmä 4

Rationaalinen yhtälö on murtoluku, jos toinen tai molemmat sen osat sisältävät murtoluvun.

Murto-rationaaliset yhtälöt sisään ilman epäonnistumista sisältävät jakamisen muuttujalla, tai muuttuja esiintyy nimittäjässä. Tällaista jakoa ei ole kirjoitettaessa kokonaislukuyhtälöitä.

Esimerkki 2

3 x + 2 = 0 Ja (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0, 5 ovat kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä. Tässä yhtälön molemmat osat esitetään kokonaislukulausekkeina.

1 x - 1 = x 3 ja x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 ovat murto-osaltaan rationaalisia yhtälöitä.

Kaikki rationaaliset yhtälöt sisältävät lineaariset ja toisen asteen yhtälöt.

Kokonaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Tällaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistyy yleensä niiden muuntamiseen vastaaviksi algebrallisiksi yhtälöiksi. Tämä voidaan saavuttaa suorittamalla yhtälöiden vastaavat muunnokset seuraavan algoritmin mukaisesti:

• ensin saamme nollan yhtälön oikealle puolelle, tätä varten on tarpeen siirtää yhtälön oikealla puolella oleva lauseke sen vasemmalle puolelle ja muuttaa etumerkkiä;
• sitten muunnetaan yhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Meidän on saatava algebrallinen yhtälö. Tämä yhtälö on sama kuin alkuperäinen yhtälö. Helppojen tapausten avulla voimme ratkaista ongelman vähentämällä koko yhtälön lineaariseen tai neliölliseen. Yleisessä tapauksessa ratkaisemme algebrallisen asteyhtälön n.

Esimerkki 3

On tarpeen löytää koko yhtälön juuret 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Ratkaisu

Muunnetaan alkuperäinen lauseke saadaksemme sitä vastaavan algebrallisen yhtälön. Tätä varten siirrämme yhtälön oikealla puolella olevan lausekkeen vasemmalle puolelle ja muutamme merkin päinvastaiseksi. Tuloksena saamme: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Nyt muunnetaan vasemmalla puolella oleva lauseke vakiomuotoiseksi polynomiksi ja suoritetaan Tarvittavat toimet tällä polynomilla:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Onnistuimme pelkistämään alkuperäisen yhtälön ratkaisun ratkaisuksi toisen asteen yhtälö kiltti x 2 − 5 x − 6 = 0. Tämän yhtälön diskriminantti on positiivinen: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tämä tarkoittaa, että todellisia juuria on kaksi. Etsitään ne toisen asteen yhtälön juurten kaavalla:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 tai x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 tai x 2 = - 1

Tarkastetaan ratkaisun aikana löytämämme yhtälön juurien oikeellisuus. Tämän saamamme numeron korvaamme alkuperäisellä yhtälöllä: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 Ja 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Ensimmäisessä tapauksessa 63 = 63 , toisessa 0 = 0 . Juuret x=6 Ja x = − 1 ovat todellakin esimerkkiehdon mukaisen yhtälön juuret.

Vastaus: 6 , − 1 .

Katsotaanpa mitä "koko yhtälön teho" tarkoittaa. Tulemme usein törmäämään tähän termiin niissä tapauksissa, joissa meidän on esitettävä koko yhtälö algebrallisena. Määritellään käsite.

Määritelmä 5

Kokonaislukuyhtälön aste on tutkinto algebrallinen yhtälö, joka vastaa alkuperäistä koko yhtälöä.

Jos katsot yhtälöitä yllä olevasta esimerkistä, voit määrittää: koko tämän yhtälön aste on toinen.

Jos kurssimme rajoittuisi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen, niin aiheen pohdiskelu voisi olla valmis tähän. Mutta kaikki ei ole niin yksinkertaista. Kolmannen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on täynnä vaikeuksia. Ja neljännen asteen yläpuolella oleville yhtälöille ei ole olemassa yleisiä kaavoja juurille. Tässä suhteessa kokonaisten kolmannen, neljännen ja muiden asteiden yhtälöiden ratkaiseminen edellyttää useiden muiden tekniikoiden ja menetelmien käyttöä.

Yleisimmin käytetty lähestymistapa kokonaisten rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseen perustuu tekijöihin perustuvaan menetelmään. Toimintojen algoritmi tässä tapauksessa on seuraava:

• siirrämme lausekkeen oikealta puolelta vasemmalle niin, että nolla jää tietueen oikealle puolelle;
• edustamme vasemmalla olevaa lauseketta tekijöiden tulona ja siirrymme sitten useiden yksinkertaisempien yhtälöiden joukkoon.

Esimerkki 4

Etsi ratkaisu yhtälölle (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Ratkaisu

Siirrämme lausekkeen tietueen oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Vasemman puolen muuntaminen vakiomuotoiseksi polynomiksi on epäkäytännöllistä, koska tämä antaa meille neljännen asteen algebrallisen yhtälön: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Muuntamisen helppous ei oikeuta kaikkia vaikeuksia sellaisen yhtälön ratkaisemisessa.

On paljon helpompaa mennä toiseen suuntaan: otamme pois yhteisen tekijän x 2 − 10 x + 13 . Siten pääsemme muodon yhtälöön (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Nyt korvaamme tuloksena olevan yhtälön kahden toisen asteen yhtälön joukolla x 2 − 10 x + 13 = 0 Ja x 2 − 2 x − 1 = 0 ja löytää niiden juuret erottimen avulla: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Vastaus: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Samalla tavalla voimme käyttää uuden muuttujan käyttöönoton menetelmää. Tämän menetelmän avulla voimme siirtyä vastaaviin yhtälöihin, joiden tehot ovat pienemmät kuin alkuperäisessä koko yhtälössä.

Esimerkki 5

Onko yhtälöllä juuret? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Ratkaisu

Jos nyt yritämme pelkistää koko rationaalisen yhtälön algebralliseksi, saamme asteen 4 yhtälön, jolla ei ole rationaaliset juuret. Siksi meidän on helpompi mennä toiseen suuntaan: ota käyttöön uusi muuttuja y, joka korvaa yhtälön lausekkeen x 2 + 3 x.

Nyt työskentelemme koko yhtälön kanssa (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Siirrämme yhtälön oikean puolen vasemmalle puolelle vastakkaisella merkillä ja suoritamme tarvittavat muunnokset. Saamme: y 2 + 4 y + 3 = 0. Etsitään toisen asteen yhtälön juuret: y = −1 Ja y = −3.

Tehdään nyt käänteinen korvaus. Saamme kaksi yhtälöä x 2 + 3 x = − 1 Ja x 2 + 3 x = - 3 . Kirjoitetaan ne uudelleen muotoon x 2 + 3 x + 1 = 0 ja x 2 + 3 x + 3 = 0. Käytämme toisen yhtälön juurien kaavaa löytääksemme ensimmäisen saadun yhtälön juuret: - 3 ± 5 2 . Toisen yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Tämä tarkoittaa, että toisella yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Vastaus:- 3 ± 5 2

Koko yhtälöt korkeat asteet törmää tehtäviin melko usein. Niitä ei tarvitse pelätä. Sinun on oltava valmis soveltamaan epätyypillistä menetelmää niiden ratkaisemiseen, mukaan lukien useita keinotekoisia muunnoksia.

Murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu

Aloitamme tämän ala-aiheen tarkastelun algoritmilla, jolla ratkaistaan ​​murto-rationaaliset yhtälöt muotoa p (x) q (x) = 0 , missä p(x) Ja q(x) ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita. Muiden murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu voidaan aina pelkistää esitetyn muodon yhtälöiden ratkaisuksi.

Yleisimmin käytetty menetelmä yhtälöiden p (x) q (x) = 0 ratkaisemiseksi perustuu seuraavaan lauseeseen: murto-osa u v, Missä v on luku, joka eroaa nollasta, on yhtä suuri kuin nolla vain tapauksissa, joissa murtoluvun osoittaja on nolla. Yllä olevan lauseen logiikkaa noudattaen voimme väittää, että yhtälön p (x) q (x) = 0 ratkaisu voidaan pelkistää kahden ehdon täyttymiseen: p(x) = 0 Ja q(x) ≠ 0. Tälle rakennetaan algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden, joiden muoto on p (x) q (x) = 0, ratkaisemiseksi:

• löydämme koko rationaalisen yhtälön ratkaisun p(x) = 0;
• tarkistamme, täyttyykö ehto ratkaisun aikana löydetyille juurille q(x) ≠ 0.

Jos tämä ehto täyttyy, niin löydetty juuri. Jos ei, niin juuri ei ole ratkaisu ongelmaan.

Esimerkki 6

Etsi yhtälön 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 juuret .

Ratkaisu

Kyseessä on murto-rationaalinen yhtälö muotoa p (x) q (x) = 0 , jossa p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Aloitetaan lineaarisen yhtälön ratkaiseminen 3 x - 2 = 0. Tämän yhtälön juuri on x = 2 3.

Tarkastetaan löytynyt juuri, täyttääkö se ehdon 5 x 2 - 2 ≠ 0. Voit tehdä tämän korvaamalla lausekkeen numeerisen arvon. Saamme: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Edellytys täyttyy. Se tarkoittaa sitä x = 2 3 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: 2 3 .

On toinenkin vaihtoehto murto-rationaaliyhtälöiden p (x) q (x) = 0 ratkaisemiseksi. Muista, että tämä yhtälö vastaa koko yhtälöä p(x) = 0 alkuperäisen yhtälön muuttujan x sallittujen arvojen alueella. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää seuraavaa algoritmia yhtälöiden p(x) q(x) = 0 ratkaisemisessa:

• ratkaise yhtälö p(x) = 0;
• etsi muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue;
• otamme juuret, jotka sijaitsevat muuttujan x sallittujen arvojen alueella, alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön halutuiksi juuriksi.

Esimerkki 7

Ratkaise yhtälö x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Ratkaisu

Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö x 2 − 2 x − 11 = 0. Sen juurten laskemiseksi käytämme parillisen toisen kertoimen juurikaavaa. Saamme D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 ja x = 1 ± 2 3 .

Nyt voimme löytää alkuperäisen yhtälön x:n ODV:n. Nämä ovat kaikki numeroita x 2 + 3 x ≠ 0. Se on sama kuin x (x + 3) ≠ 0, josta x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Tarkastetaan nyt, ovatko ratkaisun ensimmäisessä vaiheessa saadut juuret x = 1 ± 2 3 muuttujan x hyväksyttävien arvojen alueella. Katsotaan mitä tulee sisään. Tämä tarkoittaa, että alkuperäisellä murto-rationaalisella yhtälöllä on kaksi juuria x = 1 ± 2 3 .

Vastaus: x = 1 ± 2 3

Toinen kuvattu ratkaisutapa on yksinkertaisempi kuin ensimmäinen tapauksissa, joissa muuttujan x sallittujen arvojen alue ja yhtälön juuret löytyvät helposti p(x) = 0 irrationaalinen. Esimerkiksi 7 ± 4 26 9 . Juuret voivat olla rationaalisia, mutta niillä on suuri osoittaja tai nimittäjä. Esimerkiksi, 127 1101 Ja − 31 59 . Tämä säästää aikaa kunnon tarkistamiseen. q(x) ≠ 0: ODZ:n mukaan on paljon helpompi sulkea pois juuret, jotka eivät sovi.

Kun yhtälön juuret p(x) = 0 ovat kokonaislukuja, on tarkoituksenmukaisempaa käyttää ensimmäistä kuvatuista algoritmeista muotoa p (x) q (x) = 0 olevien yhtälöiden ratkaisemiseen. Koko yhtälön juurten löytäminen nopeammin p(x) = 0 ja tarkista sitten, täyttyykö ehto heidän osaltaan q(x) ≠ 0, etkä löydä ODZ:tä ja ratkaise sitten yhtälö p(x) = 0 tällä ODZ:llä. Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa on yleensä helpompi tehdä tarkistus kuin löytää ODZ.

Esimerkki 8

Etsi yhtälön juuret (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Ratkaisu

Aloitamme tarkastelemalla koko yhtälöä (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ja löytää sen juuret. Tätä varten käytämme yhtälöiden ratkaisumenetelmää tekijöiden jakamisen kautta. Osoittautuu, että alkuperäinen yhtälö vastaa neljän yhtälön joukkoa 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, joista kolme on lineaarisia ja yksi on neliö. Löydämme juuret: ensimmäisestä yhtälöstä x = 12, toisesta x=6, kolmannesta - x \u003d 7, x \u003d - 2, neljännestä - x = − 1.

Tarkastetaan saadut juuret. Meidän on vaikea määrittää ODZ:tä tässä tapauksessa, koska tätä varten meidän on ratkaistava viidennen asteen algebrallinen yhtälö. On helpompi tarkistaa ehto, jonka mukaan yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan nimittäjä ei saa kadota.

Korvaa vuorostaan ​​juuret muuttujan x tilalle lausekkeessa x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 ja laske sen arvo:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Suoritetun tarkastuksen avulla voimme todeta, että alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön juuret ovat 1 2 , 6 ja − 2 .

Vastaus: 1 2 , 6 , - 2

Esimerkki 9

Etsi murto-rationaalisen yhtälön 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 juuret.

Ratkaisu

Aloitetaan yhtälöstä (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Etsitään sen juuret. Meidän on helpompi esittää tämä yhtälö neliön ja yhdistelmänä lineaariset yhtälöt 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 Ja x − 2 = 0.

Käytämme toisen asteen yhtälön juurten kaavaa juurten löytämiseen. Saamme kaksi juuria x = 7 ± 69 10 ensimmäisestä yhtälöstä ja toisesta x=2.

Juurien arvon korvaaminen alkuperäiseen yhtälöön olosuhteiden tarkistamiseksi on meille melko vaikeaa. On helpompi määrittää muuttujan x LPV. Tässä tapauksessa muuttujan x DPV on kaikki luvut, paitsi ne, joiden ehto täyttyy x 2 + 5 x − 14 = 0. Saamme: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Tarkastetaan nyt, kuuluvatko löytämämme juuret x-muuttujan hyväksyttävien arvojen alueelle.

Juuret x = 7 ± 69 10 - kuuluvat, joten ne ovat alkuperäisen yhtälön juuria, ja x=2- ei kuulu, joten se on ulkopuolinen juuri.

Vastaus: x = 7 ± 69 10 .

Tarkastellaan erikseen tapauksia, joissa muotoa p (x) q (x) = 0 olevan murto-rationaaliyhtälön osoittaja sisältää luvun. Tällaisissa tapauksissa, jos osoittaja sisältää muun luvun kuin nolla, yhtälöllä ei ole juuria. Jos tämä luku on nolla, yhtälön juuri on mikä tahansa luku ODZ:stä.

Esimerkki 10

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Ratkaisu

Tällä yhtälöllä ei ole juuria, koska yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja sisältää nollasta poikkeavan luvun. Tämä tarkoittaa, että millekään x:n arvolle ongelman ehdossa annetun murto-osan arvo ei ole nolla.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 11

Ratkaise yhtälö 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Ratkaisu

Koska murto-osan osoittaja on nolla, yhtälön ratkaisu on mikä tahansa x:n arvo ODZ-muuttujasta x.

Nyt määritellään ODZ. Se sisältää kaikki x-arvot, joille x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Yhtälöratkaisut x 4 + 5 x 3 = 0 ovat 0 Ja − 5 , koska tämä yhtälö vastaa yhtälöä x 3 (x + 5) = 0, ja se puolestaan ​​vastaa kahden yhtälön joukkoa x 3 = 0 ja x + 5 = 0 missä nämä juuret näkyvät. Tulemme siihen tulokseen, että haluttu hyväksyttävien arvojen alue on mikä tahansa x , paitsi x=0 Ja x = -5.

Osoittautuu, että murto-rationaaliyhtälöllä 0 x 4 + 5 x 3 = 0 on ääretön määrä ratkaisuja, jotka ovat mitä tahansa lukuja paitsi nolla ja -5.

Vastaus: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Puhutaanpa nyt mielivaltaisen muodon murto-rationaaliyhtälöistä ja menetelmistä niiden ratkaisemiseksi. Ne voidaan kirjoittaa nimellä r(x) = s(x), Missä r(x) Ja s(x) ovat rationaalisia lausekkeita, ja ainakin yksi niistä on murtoluku. Tällaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistetään muotoa p (x) q (x) = 0 olevien yhtälöiden ratkaisuksi.

Tiedämme jo, että voimme saada ekvivalentin yhtälön siirtämällä lausekkeen yhtälön oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä. Tämä tarkoittaa, että yhtälö r(x) = s(x) vastaa yhtälöä r (x) − s (x) = 0. Olemme myös jo keskustelleet siitä, kuinka rationaalinen lauseke muunnetaan rationaaliseksi murtoluvuksi. Tämän ansiosta voimme helposti muuttaa yhtälön r (x) − s (x) = 0 sen identtiseksi rationaaliseksi murto-osaksi muotoa p (x) q (x) .

Joten siirrymme alkuperäisestä murto-rationaalisesta yhtälöstä r(x) = s(x) yhtälölle muotoa p (x) q (x) = 0 , jonka olemme jo oppineet ratkaisemaan.

On huomattava, että tehdessäsi siirtymiä r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) = 0 ja sitten arvoon p(x) = 0 emme välttämättä ota huomioon muuttujan x kelvollisten arvojen alueen laajenemista.

On varsin realistista, että alkuperäinen yhtälö r(x) = s(x) ja yhtälö p(x) = 0 muutosten seurauksena ne lakkaavat olemasta vastaavia. Sitten yhtälön ratkaisu p(x) = 0 voi antaa meille vieraita juuria r(x) = s(x). Tältä osin jokaisessa tapauksessa on tarpeen suorittaa tarkastus jollakin edellä kuvatuista menetelmistä.

Aiheen tutkimisen helpottamiseksi olemme yleistäneet kaikki tiedot algoritmiksi muodon murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi r(x) = s(x):

• siirrämme lausekkeen oikealta puolelta vastakkaisella merkillä ja saamme nollan oikealle;
• muunnamme alkuperäisen lausekkeen rationaaliseksi murtoluvuksi p (x) q (x) suorittamalla peräkkäin toimintoja murtoluvuilla ja polynomeilla;
• ratkaise yhtälö p(x) = 0;
• paljastamme vieraat juuret tarkistamalla niiden kuuluvuuden ODZ:hen tai korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön.

Visuaalisesti toimintaketju näyttää tältä:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → keskeyttäneiden r o n d e r o o n s

Esimerkki 12

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö x x + 1 = 1 x + 1 .

Ratkaisu

Siirrytään yhtälöön x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Muunnetaan yhtälön vasemmalla puolella oleva murto-rationaalinen lauseke muotoon p (x) q (x) .

Tätä varten meidän on tuotava rationaaliset murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja yksinkertaistaa lauseketta:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Löytääksemme yhtälön juuret - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, meidän on ratkaistava yhtälö − 2 x − 1 = 0. Saamme yhden juuren x = - 1 2.

Meidän tehtävämme on suorittaa tarkistus millä tahansa menetelmällä. Tarkastellaanpa niitä molempia.

Korvaa tuloksena oleva arvo alkuperäiseen yhtälöön. Saamme -1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Olemme tulleet oikeaan numeeriseen yhtäläisyyteen − 1 = − 1 . Se tarkoittaa sitä x = − 1 2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Nyt tarkistamme ODZ:n kautta. Määritetään muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue. Tämä on koko lukujoukko, paitsi -1 ja 0 (jos x = - 1 ja x = 0, murto-osien nimittäjät häviävät). Juuri, jonka saimme x = − 1 2 kuuluu ODZ:lle. Tämä tarkoittaa, että se on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: − 1 2 .

Esimerkki 13

Etsi yhtälön x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x juuret.

Ratkaisu

Käsittelemme murto-rationaalista yhtälöä. Siksi toimimme algoritmin mukaan.

Siirretään lauseke oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Suoritetaan tarvittavat muunnokset: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Tulemme yhtälöön x=0. Tämän yhtälön juuri on nolla.

Tarkistetaan, onko tämä juuri vieras alkuperäiselle yhtälölle. Korvaa alkuperäisen yhtälön arvo: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kuten näet, tuloksena oleva yhtälö ei ole järkevä. Tämä tarkoittaa, että 0 on ulkopuolinen juuri ja alkuperäisellä murto-rationaaliyhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

Jos emme ole sisällyttäneet algoritmiin muita vastaavia muunnoksia, tämä ei tarkoita ollenkaan, etteikö niitä voisi käyttää. Algoritmi on universaali, mutta se on suunniteltu auttamaan, ei rajoittamaan.

Esimerkki 14

Ratkaise yhtälö 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Ratkaisu

Helpoin tapa on ratkaista annettu murto-rationaalinen yhtälö algoritmin mukaan. Mutta on toinenkin tapa. Mietitäänpä sitä.

Vähennä oikeasta ja vasemmasta osasta 7, saamme: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Tästä voidaan päätellä, että lausekkeen vasemman puolen nimittäjässä tulee olla yhtä suuri kuin oikean puolen luvun käänteisluku, eli 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Vähennä molemmista osista 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analogisesti 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, josta 1 5 - x 2 \u003d 1 3 ja edelleen 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Tarkastetaan, ovatko löydetyt juuret alkuperäisen yhtälön juuria.

Vastaus: x = ± 2

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

"Rationaaliset yhtälöt polynomeilla" on yksi yleisimmin kohdatuista aiheista testitehtävät KÄYTÄ matematiikassa. Tästä syystä niiden toisto on annettava Erityistä huomiota. Monet opiskelijat kohtaavat ongelman löytää erottaja, siirtää indikaattoreita oikealta puolelta vasemmalle ja tuoda yhtälö yhteiselle nimittäjälle, mikä vaikeuttaa tällaisten tehtävien suorittamista. Rationaalisten yhtälöiden ratkaiseminen kokeeseen valmistautuessa verkkosivustollamme auttaa sinua selviytymään nopeasti kaiken monimutkaisista tehtävistä ja läpäisemään testin täydellisesti.

Valitse koulutusportaali "Shkolkovo" valmistautuaksesi onnistuneesti yhtenäiseen matematiikan kokeeseen!

Jos haluat tietää tuntemattomien laskentasäännöt ja saada oikeat tulokset helposti, käytä verkkopalveluamme. Portaali "Shkolkovo" on ainutlaatuinen alusta missä sitä tarvitaan KÄYTÄ materiaaleja. Opettajamme systematisoivat ja esittivät ymmärrettävässä muodossa kaikki matemaattiset säännöt. Lisäksi kutsumme koululaisia ​​kokeilemaan käsiään tyypillisten rationaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, joiden kantaa päivitetään ja täydennetään jatkuvasti.

Testaukseen valmistautumisen tehostamiseksi suosittelemme, että noudatat erikoismenetelmäämme ja aloitat toistamalla säännöt ja ratkaisemalla yksinkertaisia ​​tehtäviä, siirrytään vähitellen monimutkaisempiin. Siten valmistunut pystyy korostamaan itselleen vaikeimmat aiheet ja keskittymään opiskeluun.

Aloita valmistautuminen viimeiseen testaukseen Shkolkovon kanssa tänään, ja tulos ei jätä sinua odottamaan! Valitse helpoin esimerkki annetuista. Jos hallitset ilmaisun nopeasti, siirry vaikeampaan tehtävään. Voit siis parantaa osaamistasi matematiikan USE-tehtävien ratkaisemiseen profiilitasolla.

Koulutus on saatavilla paitsi Moskovasta valmistuneille, myös koululaisille muista kaupungeista. Vietä pari tuntia päivässä esimerkiksi portaalissamme opiskelemaan, ja pian pystyt selviytymään monimutkaisista yhtälöistä!