Esitimme yllä olevan yhtälön §:ssä 7. Muistutetaan ensin, mikä on rationaalinen lauseke. Tämä - algebrallinen lauseke, joka koostuu luvuista ja muuttujasta x käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja eksponentiooperaatioita luonnollisella eksponentilla.

Jos r(x) on rationaalinen lauseke, yhtälöä r(x) = 0 kutsutaan rationaaliseksi yhtälöksi.

Käytännössä on kuitenkin kätevämpää käyttää hieman laajempaa tulkintaa termistä "rationaalinen yhtälö": tämä on yhtälö muotoa h(x) = q(x), missä h(x) ja q(x) ovat rationaalisia ilmaisuja.

Tähän asti emme pystyneet ratkaisemaan yhtään rationaalista yhtälöä, vaan vain sellaisen, joka erilaisten muunnosten ja päättelyjen seurauksena pelkistyi lineaarinen yhtälö. Nyt kykymme ovat paljon suuremmat: pystymme ratkaisemaan rationaalisen yhtälön, joka pelkistyy paitsi lineaariseen
mu, vaan myös toisen asteen yhtälölle.

Muistetaan kuinka ratkaisimme rationaalisia yhtälöitä aiemmin ja yritetään muotoilla ratkaisualgoritmi.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon

Tässä tapauksessa hyödynnämme tavalliseen tapaan sitä tosiasiaa, että yhtälöt A = B ja A - B = 0 ilmaisevat samaa suhdetta A:n ja B:n välillä. Tämä mahdollisti termin siirtämisen vasen puoli yhtälöt vastakkaisella merkillä.

Muunnetaan yhtälön vasen puoli. Meillä on

Muistakaamme tasa-arvon ehdot murto-osia nolla: jos ja vain jos kaksi relaatiota täyttyy samanaikaisesti:

1) murto-osan osoittaja on nolla (a = 0); 2) murto-osan nimittäjä on eri kuin nolla).
Yhdistämällä yhtälön (1) vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja nollaan, saadaan

On vielä tarkistettava, että edellä mainitun toisen ehdon täyttyminen. Relaatio tarkoittaa yhtälölle (1), että . Arvot x 1 = 2 ja x 2 = 0,6 täyttävät esitetyt suhteet ja toimivat siksi yhtälön (1) juurina ja samalla annetun yhtälön juurina.

1) Muunnetaan yhtälö muotoon

2) Muunnetaan tämän yhtälön vasen puoli:

(muutti samanaikaisesti merkkejä osoittajassa ja
murtoluvut).
Siten annettu yhtälö saa muodon

3) Ratkaise yhtälö x 2 - 6x + 8 = 0. Etsi

4) Tarkista löydettyjen arvojen ehdon täyttyminen . Numero 4 täyttää tämän ehdon, mutta numero 2 ei. Tämä tarkoittaa, että 4 on annetun yhtälön juuri ja 2 on ulkopuolinen juuri.
VASTAUS: 4.

2. Ratkaisu rationaaliset yhtälöt ottamalla käyttöön uuden muuttujan

Uuden muuttujan käyttöönottotapa on sinulle tuttu, olemme käyttäneet sitä useammin kuin kerran. Osoitetaan esimerkein, kuinka sitä käytetään rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisessa.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö x 4 + x 2 - 20 = 0.

Ratkaisu. Otetaan käyttöön uusi muuttuja y = x 2 . Koska x 4 = (x 2) 2 = y 2, niin annettu yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

y 2 + y - 20 = 0.

Tämä - toisen asteen yhtälö, jonka juuret löydämme käyttämällä tunnettua kaavat; saamme y 1 = 4, y 2 = - 5.
Mutta y = x 2, mikä tarkoittaa, että ongelma on pelkistetty kahden yhtälön ratkaisemiseen:
x 2 = 4; x 2 = -5.

Ensimmäisestä yhtälöstä huomaamme, että toisella yhtälöllä ei ole juuria.
Vastaus:.
Yhtälöä, jonka muoto on ax 4 + bx 2 + c = 0, kutsutaan bikvadraattiseksi yhtälöksi ("bi" on kaksi, eli eräänlainen "kaksoisneliöyhtälö". Juuri ratkaistu yhtälö oli täsmälleen kaksikvadraattinen. Mikä tahansa kaksikvadraattinen yhtälö ratkaistaan ​​samalla tavalla kuin esimerkin 3 yhtälö: otetaan käyttöön uusi muuttuja y = x 2, ratkaistaan ​​tuloksena oleva toisen asteen yhtälö muuttujan y suhteen ja palataan sitten muuttujaan x.

Esimerkki 4. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Huomaa, että sama lauseke x 2 + 3x esiintyy tässä kahdesti. Tämä tarkoittaa, että on järkevää ottaa käyttöön uusi muuttuja y = x 2 + 3x. Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa yhtälö uudelleen yksinkertaisempaan ja miellyttävämpään muotoon (mikä itse asiassa on tarkoitus ottaa käyttöön uusi muuttuja- ja yksinkertaistaa tallennusta
tulee selvemmäksi ja yhtälön rakenne selkeytyy):

Käytetään nyt algoritmia rationaalisen yhtälön ratkaisemiseen.

1) Siirretään kaikki yhtälön ehdot yhteen osaan:

= 0
2) Muunna yhtälön vasen puoli

Joten, olemme muuntaneet annetun yhtälön muotoon

3) Yhtälöstä - 7y 2 + 29y -4 = 0 löydämme (sinä ja minä olemme jo ratkaisseet melko paljon toisen asteen yhtälöitä, joten ei välttämättä aina kannata antaa yksityiskohtaisia ​​laskelmia oppikirjassa).

4) Tarkistetaan löydetyt juuret ehdolla 5 (y - 3) (y + 1). Molemmat juuret täyttävät tämän ehdon.
Joten, uuden muuttujan y toisen asteen yhtälö on ratkaistu:
Koska y = x 2 + 3x ja y, kuten olemme todenneet, saa kaksi arvoa: 4 ja , meidän on vielä ratkaistava kaksi yhtälöä: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Ensimmäisen yhtälön juuret ovat luvut 1 ja -4, toisen yhtälön juuret ovat numerot

Tarkastetuissa esimerkeissä tapa ottaa uusi muuttuja käyttöön oli, kuten matemaatikot haluavat sanoa, tilanteeseen sopiva, eli se vastasi sitä hyvin. Miksi? Kyllä, koska sama lauseke esiintyi yhtälössä selvästi useita kertoja ja oli syytä nimetä tämä lauseke uudella kirjaimella. Mutta näin ei aina tapahdu; joskus uusi muuttuja "näkyy" vasta muunnosprosessin aikana. Juuri näin tapahtuu seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Ratkaisu. Meillä on
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.

Tämä tarkoittaa, että annettu yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Nyt uusi muuttuja on "ilmennyt": y = x 2 - 3x.

Sen avulla yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon y (y + 2) = 24 ja sitten y 2 + 2y - 24 = 0. Tämän yhtälön juuret ovat luvut 4 ja -6.

Palaamalla alkuperäiseen muuttujaan x saadaan kaksi yhtälöä x 2 - 3x = 4 ja x 2 - 3x = - 6. Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x 1 = 4, x 2 = - 1; toisella yhtälöllä ei ole juuria.

VASTAUS: 4, - 1.

Oppitunnin sisältö oppituntimuistiinpanot tukevat kehystunnin esityksen kiihdytysmenetelmiä interaktiivisia tekniikoita Harjoitella tehtävät ja harjoitukset itsetestaus työpajat, koulutukset, tapaukset, tehtävät kotitehtävät keskustelukysymykset retoriset kysymykset opiskelijoilta Kuvituksia ääni, videoleikkeet ja multimedia valokuvat, kuvat, grafiikat, taulukot, kaaviot, huumori, anekdootit, vitsit, sarjakuvat, vertaukset, sanonnat, ristisanatehtävät, lainaukset Lisäosat abstrakteja artikkelit temppuja uteliaille pinnasängyt oppikirjat perus- ja lisäsanakirja muut Oppikirjojen ja oppituntien parantaminenkorjata oppikirjan virheet fragmentin päivittäminen oppikirjaan, innovaatioelementit oppitunnilla, vanhentuneen tiedon korvaaminen uudella Vain opettajille täydellisiä oppitunteja kalenterisuunnitelma vuoden ohjeita keskusteluohjelmia Integroidut oppitunnit

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen:

• murto-rationaalisten yhtälöiden käsitteen muodostaminen;
• pohtia erilaisia ​​tapoja ratkaista murto-rationaaliyhtälöitä;
• harkita algoritmia murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, mukaan lukien ehto, että murtoluku on nolla;
• opettaa ratkaisemaan murto-rationaaliyhtälöitä algoritmin avulla;
• Aiheen hallinnan tason tarkistaminen kokeella.

Kehittävä:

• kehittää kykyä toimia oikein hankitulla tiedolla ja ajatella loogisesti;
• älyllisten taitojen ja henkisten toimintojen kehittäminen - analyysi, synteesi, vertailu ja yleistäminen;
• aloitekyvyn kehittäminen, kyky tehdä päätöksiä, eikä pysähdy siihen;
• kriittisen ajattelun kehittäminen;
• tutkimustaitojen kehittäminen.

Koulutus:

• kognitiivisen kiinnostuksen edistäminen aihetta kohtaan;
• itsenäisyyden edistäminen koulutusongelmien ratkaisemisessa;
• kasvattaa tahtoa ja sinnikkyyttä lopputulosten saavuttamiseksi.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti - uuden materiaalin selitys.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki.

Hei kaverit! Taululle on kirjoitettu yhtälöitä, katso niitä huolellisesti. Voitko ratkaista kaikki nämä yhtälöt? Mitkä eivät ole ja miksi?

Yhtälöitä, joissa vasen ja oikea puoli ovat murto-rationaalisia lausekkeita, kutsutaan murto-rationaalisiksi yhtälöiksi. Mitä luulet meidän opiskelevan luokassa tänään? Muotoile oppitunnin aihe. Avaa siis muistikirjasi ja kirjoita muistiin oppitunnin aihe "Rationaalisten murtoyhtälöiden ratkaiseminen".

2. Tietojen päivittäminen. Frontaalinen kysely, suullinen työskentely luokan kanssa.

Ja nyt toistamme pääasiallisen teoreettisen materiaalin, jota meidän on opiskeltava uusi aihe. Ole hyvä ja vastaa seuraaviin kysymyksiin:

1. Mikä on yhtälö? ( Tasa-arvo muuttujan tai muuttujien kanssa.)
2. Mikä on yhtälön numero 1 nimi? ( Lineaarinen.) Ratkaisu lineaariset yhtälöt. (Siirrä kaikki tuntematon yhtälön vasemmalle puolelle, kaikki luvut oikealle. Anna samanlaiset termit. Etsi tuntematon tekijä).
3. Mikä on yhtälön numero 3 nimi? ( Neliö.) Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. ( Täydellisen neliön eristäminen kaavoilla käyttäen Vietan lausetta ja sen seurauksia.)
4. Mikä on suhteellinen? ( Kahden suhteen yhtäläisyys.) Suhteen pääominaisuus. ( Jos suhde on oikea, niin sen ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo.)
5. Mitä ominaisuuksia käytetään yhtälöiden ratkaisemisessa? ( 1. Jos siirrät yhtälön termiä osasta toiseen vaihtaen sen etumerkkiä, saat yhtälön, joka vastaa annettua yhtälöä. 2. Jos yhtälön molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan samalla ei-nollalla, saat yhtälön, joka vastaa annettua.)
6. Milloin murto-osa on nolla? ( Murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla..)

3. Uuden materiaalin selitys.

Ratkaise yhtälö nro 2 muistikirjoissasi ja taululla.

Vastaus: 10.

Mitä rationaalista murtoyhtälöä voit yrittää ratkaista suhteuden perusominaisuuden avulla? (nro 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Ratkaise yhtälö nro 4 muistikirjoissasi ja taululla.

Vastaus: 1,5.

Minkä murto-rationaalisen yhtälön voit yrittää ratkaista kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjällä? (nro 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Vastaus: 3;4.

Yritä nyt ratkaista yhtälö numero 7 jollakin seuraavista tavoista.

(x 2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5 = x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5 = 0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Vastaus: 0;5;-2.			Vastaus: 5;-2.

Selitä miksi näin tapahtui? Miksi yhdessä tapauksessa on kolme juurta ja toisessa kaksi? Mitkä luvut ovat tämän murto-rationaalisen yhtälön juuret?

Toistaiseksi opiskelijat eivät ole kohdanneet ulkopuolisen juuren käsitettä, heidän on todellakin vaikea ymmärtää, miksi näin tapahtui. Jos kukaan luokassa ei pysty antamaan selkeää selitystä tästä tilanteesta, opettaja kysyy johtavia kysymyksiä.

• Miten yhtälöt 2 ja 4 eroavat yhtälöistä 5,6,7? ( Yhtälöissä 2 ja 4 nimittäjässä on numeroita, numerot 5-7 ovat lausekkeita, joissa on muuttuja.)
• Mikä on yhtälön juuri? ( Muuttujan arvo, jolla yhtälöstä tulee tosi.)
• Kuinka selvittää, onko luku yhtälön juuri? ( Tee sekki.)

Testattaessa jotkut opiskelijat huomaavat, että heidän on jaettava nollalla. He päättelevät, että luvut 0 ja 5 eivät ole tämän yhtälön juuria. Herää kysymys: onko olemassa tapaa ratkaista murto-rationaalisia yhtälöitä, jonka avulla voimme poistaa tämän virheen? Kyllä, tämä menetelmä perustuu siihen, että murto-osa on nolla.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Jos x=5, niin x(x-5)=0, mikä tarkoittaa, että 5 on ulkopuolinen juuri.

Jos x=-2, niin x(x-5)≠0.

Vastaus: -2.

Yritetään muotoilla algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi tällä tavalla. Lapset muotoilevat algoritmin itse.

Algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki vasemmalle puolelle.
2. Pienennä murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi.
3. Luo järjestelmä: murto-osa on yhtä suuri kuin nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla.
4. Ratkaise yhtälö.
5. Tarkista epäyhtälö sulkeaksesi pois vieraat juuret.
6. Kirjoita vastaus muistiin.

Keskustelu: miten ratkaisu formalisoidaan, jos käytetään perusominaisuutta suhteellisuus ja yhtälön molempien puolten kertominen yhteisellä nimittäjällä. (Lisää ratkaisuun: sulje pois sen juurista ne, jotka saavat yhteisen nimittäjän katoamaan).

4. Uuden materiaalin alkuymmärtäminen.

Työskennellä pareittain. Opiskelijat valitsevat itse, miten yhtälön ratkaistaan ​​yhtälön tyypistä riippuen. Tehtävät oppikirjasta “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nro 600(b,c,i); nro 601(a,e,g). Opettaja seuraa tehtävän valmistumista, vastaa mahdollisiin kysymyksiin ja auttaa heikosti suoriutuvia opiskelijoita. Itsetesti: vastaukset kirjoitetaan taululle.

b) 2 – vieras juuri. Vastaus: 3.

c) 2 – vieras juuri. Vastaus: 1.5.

a) Vastaus: -12.5.

g) Vastaus: 1;1.5.

5. Kotitehtävien asettaminen.

1. Lue oppikirjan kohta 25, analysoi esimerkit 1-3.
2. Opi algoritmi murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen.
3. Ratkaise vihkoissa nro 600 (a, d, e); 601(g,h).
4. Yritä ratkaista nro 696(a) (valinnainen).

6. Kontrollitehtävän suorittaminen tutkitusta aiheesta.

Työ tehdään paperille.

Esimerkkitehtävä:

A) Mitkä yhtälöistä ovat murto-rationaalisia?

B) Murtoluku on nolla, kun osoittaja on ______________________ ja nimittäjä _______________________.

K) Onko luku -3 yhtälön numero 6 juuri?

D) Ratkaise yhtälö nro 7.

Tehtävän arviointikriteerit:

• ”5” annetaan, jos opiskelija suoritti yli 90 % tehtävästä oikein.
• "4" - 75–89 %
• "3" - 50–74 %
• "2" annetaan opiskelijalle, joka on suorittanut alle 50 % tehtävästä.
• Arvosanaa 2 ei anneta päiväkirjassa, 3 on valinnainen.

7. Heijastus.

Kirjoita itsenäisille työsivuille:

• 1 – jos oppitunti oli mielenkiintoinen ja ymmärrettävä sinulle;
• 2 – mielenkiintoinen, mutta epäselvä;
• 3 – ei kiinnostavaa, mutta ymmärrettävää;
• 4 – ei kiinnostavaa, ei selkeää.

8. Oppitunnin yhteenveto.

Joten tänään oppitunnilla tutustuimme murto-rationaalisiin yhtälöihin, opimme ratkaisemaan nämä yhtälöt eri tavoilla, testasivat tietonsa koulutuksen avulla itsenäinen työ. Opit itsenäisen työsi tulokset seuraavalla oppitunnilla, ja kotona sinulla on mahdollisuus lujittaa tietojasi.

Mikä menetelmä murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on mielestäsi helpompaa, helpompaa ja rationaalisempaa? Mitä sinun tulisi muistaa riippumatta menetelmästä murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi? Mikä on murto-rationaalisten yhtälöiden "oveluus"?

Kiitos kaikille, oppitunti on ohi.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudenkäyntimenettelyn, oikeudenkäynnin ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyynnön perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Ratkaisu murto-osaiset rationaaliset yhtälöt

Viiteopas

Rationaaliset yhtälöt ovat yhtälöitä, joissa sekä vasen että oikea puoli ovat rationaalisia lausekkeita.

(Muista: rationaaliset lausekkeet ovat kokonaisluku- ja murtolukulausekkeita, joissa ei ole radikaaleja, mukaan lukien yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolaskuoperaatiot - esimerkiksi: 6x; (m – n)2; x/3y jne.)

Murto-rationaaliset yhtälöt pelkistetään yleensä muotoon:

Missä P(x) Ja K(x) ovat polynomeja.

Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi kerro yhtälön molemmat puolet Q(x:llä), mikä voi johtaa vieraiden juurien ilmestymiseen. Siksi murto-rationaaliyhtälöitä ratkaistaessa on tarpeen tarkistaa löydetyt juuret.

Rationaalista yhtälöä kutsutaan kokonaiseksi eli algebraksi, jos se ei jaa muuttujan sisältävällä lausekkeella.

Esimerkkejä koko rationaalisesta yhtälöstä:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Jos rationaalisessa yhtälössä on jako lausekkeella, joka sisältää muuttujan (x), yhtälöä kutsutaan murto-rationaaliseksi.

Esimerkki murto-rationaalisesta yhtälöstä:

15
x + - = 5x - 17
x

Murto-rationaaliset yhtälöt ratkaistaan ​​yleensä seuraavasti:

1) etsi murto-osien yhteinen nimittäjä ja kerro yhtälön molemmat puolet sillä;

2) ratkaise tuloksena oleva kokonaisyhtälö;

3) jättää juuristaan ​​pois ne, jotka pienentävät murtolukujen yhteisen nimittäjän nollaan.

Esimerkkejä kokonaisluku- ja murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta.

Esimerkki 1. Ratkaistaan ​​koko yhtälö

x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Ratkaisu:

Pienimmän yhteisen nimittäjän löytäminen. Tämä on 6. Jaa 6 nimittäjällä ja kerro tuloksena saatu tulos kunkin murtoluvun osoittajalla. Saamme tätä vastaavan yhtälön:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Koska vasemmalla ja oikealla puolella on sama nimittäjä, se voidaan jättää pois. Sitten saadaan yksinkertaisempi yhtälö:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Ratkaisemme sen avaamalla sulut ja yhdistämällä samankaltaisia ​​termejä:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Esimerkki on ratkaistu.

Esimerkki 2. Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Yhteisen nimittäjän löytäminen. Tämä on x(x – 5). Niin:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Nyt päästään taas eroon nimittäjästä, koska se on sama kaikille lausekkeille. Vähennämme samanlaisia ​​termejä, rinnastamme yhtälön nollaan ja saamme toisen asteen yhtälön:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Ratkaistuamme toisen asteen yhtälön, löydämme sen juuret: –2 ja 5.

Tarkastetaan, ovatko nämä luvut alkuperäisen yhtälön juuria.

Kun x = –2, yhteinen nimittäjä x(x – 5) ei katoa. Tämä tarkoittaa, että –2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Kun x = 5, yhteinen nimittäjä menee nollaan, ja kaksi kolmesta lausekkeesta muuttuu merkityksettömäksi. Tämä tarkoittaa, että luku 5 ei ole alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: x = –2

Lisää esimerkkejä

Esimerkki 1.

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Vastaus: -2,2;6.

Esimerkki 2.

§ 1 Kokonaisluku- ja murto-rationaaliyhtälöt

Tällä oppitunnilla tarkastelemme sellaisia ​​käsitteitä kuin rationaalinen yhtälö, rationaalinen lauseke, kokonaislauseke, murto-osalauseke. Harkitse rationaalisten yhtälöiden ratkaisemista.

Rationaalinen yhtälö on yhtälö, jossa vasen ja oikea puoli ovat rationaalisia lausekkeita.

Rationaalisia ilmaisuja ovat:

Murtoluku.

Kokonaislukulauseke koostuu luvuista, muuttujista ja kokonaislukupotenssista käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakamisoperaatioita muulla kuin nollalla.

Esimerkiksi:

Murtolukulausekkeet sisältävät jakamisen muuttujalla tai lausekkeen muuttujan kanssa. Esimerkiksi:

Murtolukulausekkeella ei ole järkeä kaikille siihen sisältyvien muuttujien arvoille. Esimerkiksi ilmaisu

kohdassa x = -9 se ei ole järkevää, koska kohdassa x = -9 nimittäjä menee nollaan.

Tämä tarkoittaa, että rationaalinen yhtälö voi olla kokonaisluku tai murtoluku.

Kokonainen rationaalinen yhtälö on rationaalinen yhtälö, jossa vasen ja oikea puoli ovat kokonaisia ​​lausekkeita.

Esimerkiksi:

Murto-rationaalinen yhtälö on rationaalinen yhtälö, jossa joko vasen tai oikea puoli ovat murto-osalausekkeita.

Esimerkiksi:

§ 2 Koko rationaalisen yhtälön ratkaisu

Tarkastellaan kokonaisen rationaalisen yhtälön ratkaisua.

Esimerkiksi:

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet siihen sisältyvien murtolukujen nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä.

Tätä varten:

1. etsi yhteinen nimittäjä nimittäjille 2, 3, 6. Se on yhtä suuri kuin 6;

2. Etsi jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin. Tee tämä jakamalla yhteinen nimittäjä 6 kullakin nimittäjällä

murto-osan lisäkerroin

murto-osan lisäkerroin

3. kerro murtolukujen osoittajat niitä vastaavilla lisäkertoimilla. Siten saamme yhtälön

joka vastaa annettua yhtälöä

Vasemmalla avaamme sulut, oikea puoli Siirretään sitä vasemmalle muuttamalla termin etumerkkiä siirrettäessä sitä vastakkaiseen.

Otetaan samanlaiset polynomin ehdot ja saadaan

Näemme, että yhtälö on lineaarinen.

Kun se on ratkaistu, huomaamme, että x = 0,5.

§ 3 Murto-rationaalisen yhtälön ratkaisu

Harkitsemme murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemista.

Esimerkiksi:

1.Kerro yhtälön molemmat puolet siihen sisältyvien rationaalisten murtolukujen nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä.

Etsitään yhteinen nimittäjä nimittäjille x + 7 ja x - 1.

Se on yhtä suuri kuin heidän tulonsa (x + 7)(x - 1).

2. Etsitään jokaiselle rationaaliselle murtoluvulle lisäkerroin.

Tee tämä jakamalla yhteinen nimittäjä (x + 7)(x - 1) kullakin nimittäjällä. Murtolukujen lisäkerroin

yhtä suuri kuin x - 1,

murto-osan lisäkerroin

on yhtä kuin x+7.

3.Kerro murto-osien osoittajat niitä vastaavilla lisäkertoimilla.

Saamme yhtälön (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), joka vastaa tätä yhtälöä

4. Kerro binomi vasemmalla ja oikealla olevalla binomiaalilla ja hanki seuraava yhtälö

5. Siirrämme oikeaa puolta vasemmalle vaihtamalla kunkin termin etumerkkiä siirryttäessä vastakkaiseen:

6. Esitetään polynomin samanlaiset termit:

7. Molemmat puolet voidaan jakaa -1:llä. Saamme toisen asteen yhtälön:

8. Kun se on ratkaistu, löydämme juuret

Koska Eq.

vasen ja oikea puoli ovat murto-lausekkeita, ja murto-lausekkeissa joidenkin muuttujien arvojen nimittäjä voi olla nolla, sitten on tarkistettava, eikö yhteinen nimittäjä mene nollaan, kun x1 ja x2 löytyy .

Kun x = -27, yhteinen nimittäjä (x + 7)(x - 1) ei katoa, kun x = -1, yhteinen nimittäjä ei myöskään ole nolla.

Siksi sekä juuret -27 että -1 ovat yhtälön juuria.

Kun ratkaistaan ​​murto-rationaalinen yhtälö, on parempi ilmoittaa alue välittömästi hyväksyttäviä arvoja. Eliminoi ne arvot, joissa yhteinen nimittäjä menee nollaan.

Tarkastellaan toista esimerkkiä murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemisesta.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi yhtälö

Otetaan huomioon yhtälön oikealla puolella olevan murto-osan nimittäjä

Saamme yhtälön

Etsitään yhteinen nimittäjä nimittäjille (x - 5), x, x(x - 5).

Se on lauseke x(x - 5).

Etsitään nyt yhtälön hyväksyttävien arvojen alue

Tätä varten yhteiseksi nimittäjäksi lasketaan nolla x(x - 5) = 0.

Saamme yhtälön, jonka ratkaiseessa huomaamme, että kun x = 0 tai x = 5, yhteinen nimittäjä menee nollaan.

Tämä tarkoittaa, että x = 0 tai x = 5 ei voi olla yhtälömme juuria.

Lisää kertoimia löytyy nyt.

Lisäkerroin rationaalisille murtoluvuille

murto-osan lisäkerroin

tulee olemaan (x - 5),

ja murto-osan lisäkerroin

Kerromme osoittajat vastaavilla lisätekijöillä.

Saamme yhtälön x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Avataan sulut vasemmalla ja oikealla, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Siirretään ehtoja oikealta vasemmalle vaihtaen siirrettyjen ehtojen etumerkkiä:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ja samanlaisten termien tuomisen jälkeen saamme toisen asteen yhtälön x2 - 3x - 10 = 0. Ratkaistuamme sen, löydämme juuret x1 = -2; x2 = 5.

Mutta olemme jo havainneet, että kohdassa x = 5 yhteinen nimittäjä x(x - 5) menee nollaan. Siksi yhtälömme juuri

on x = -2.

§ 4 Lyhyt yhteenveto oppitunnista

Tärkeää muistaa:

Kun ratkaiset murto-rationaaliyhtälöitä, toimi seuraavasti:

1. Etsi yhtälöön sisältyvien murtolukujen yhteinen nimittäjä. Lisäksi, jos murtolukujen nimittäjät voidaan kertoa, kerro ne ja etsi sitten yhteinen nimittäjä.

2.Kerro yhtälön molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä: etsi lisätekijät, kerro osoittajat lisäkertoimilla.

3.Ratkaise tuloksena oleva koko yhtälö.

4. Poista sen juurilta ne, jotka saavat yhteisen nimittäjän katoamaan.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Toimittanut Telyakovsky S.A. Algebra: oppikirja. 8 luokalle. Yleissivistävä koulutus toimielimiin. - M.: Koulutus, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka: kahdessa osassa. Osa 1: Oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten toimielimiin. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Algebran oppituntien kehitys: 8. luokka - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra 8. luokka: tuntisuunnitelmat Yu.N:n oppikirjan perusteella. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Opettaja, 2005.