Olemme jo oppineet ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. Laajennetaan nyt tutkitut menetelmät rationaalisiin yhtälöihin.

Mikä on rationaalinen ilmaisu? Olemme jo kohdanneet tämän käsitteen. Rationaalisia ilmaisuja kutsutaan lausekkeiksi, jotka koostuvat luvuista, muuttujista, niiden asteista ja matemaattisten operaatioiden etumerkeistä.

Näin ollen rationaaliset yhtälöt ovat yhtälöitä, joiden muoto on: , missä - rationaalisia ilmaisuja.

Aiemmin tarkastelimme vain niitä rationaalisia yhtälöitä, jotka pelkistyvät lineaarisiin. Tarkastellaan nyt niitä rationaalisia yhtälöitä, jotka voidaan pelkistää toisen asteen yhtälöiksi.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Murtoluku on 0 silloin ja vain, jos sen osoittaja on 0 ja sen nimittäjä ei ole 0.

Saamme seuraavan järjestelmän:

Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on toisen asteen yhtälö. Ennen kuin ratkaisemme sen, jaamme kaikki sen kertoimet kolmella. Saamme:

Saamme kaksi juuria: ; .

Koska 2 ei ole koskaan yhtä suuri kuin 0, kahden ehdon on täytyttävä: . Koska mikään yllä saadun yhtälön juurista ei vastaa muuttujan virheellisiä arvoja, jotka saatiin toista epäyhtälöä ratkaistaessa, ne ovat molemmat ratkaisuja tähän yhtälöön.

Vastaus:.

Joten muotoillaan algoritmi rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki termit vasemmalle puolelle niin, että oikealle puolelle saadaan 0.

2. Muunna ja yksinkertaista vasen puoli, tuo kaikki murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

3. Yhdistä tuloksena oleva murtoluku 0:aan seuraavan algoritmin mukaan: .

4. Kirjoita ylös ensimmäisestä yhtälöstä saadut juuret ja tyydytä vastauksena toinen epäyhtälö.

Katsotaanpa toista esimerkkiä.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu

Heti alussa siirrämme kaikki termit vasemmalle puolelle niin, että 0 jää oikealle.

Nyt tuomme yhtälön vasemman puolen yhteiseen nimittäjään:

Tämä yhtälö vastaa järjestelmää:

Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on toisen asteen yhtälö.

Tämän yhtälön kertoimet: . Laskemme diskriminantin:

Saamme kaksi juuria: ; .

Nyt ratkaistaan ​​toinen epäyhtälö: tekijöiden tulo ei ole 0, jos ja vain jos mikään tekijöistä ei ole yhtä suuri kuin 0.

Kahden edellytyksen on täytyttävä: . Saamme, että ensimmäisen yhtälön kahdesta juurista vain yksi on sopiva - 3.

Vastaus:.

Tällä oppitunnilla muistimme, mikä on rationaalinen lauseke, ja opimme myös ratkaisemaan rationaalisia yhtälöitä, jotka on pelkistetty toisen asteen yhtälöiksi.

Seuraavalla oppitunnilla tarkastellaan rationaalisia yhtälöitä todellisten tilanteiden malleina ja myös liikeongelmia.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. luokka. - M.: Enlightenment, 2004.
2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et ai., Algebra, 8. 5. painos. - M.: Koulutus, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. luokka. Oppikirja oppilaitoksille. - M.: Koulutus, 2006.

1. Festivaali pedagogisia ideoita "Julkinen oppitunti" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Kotitehtävät

Tutustutaan rationaalisiin ja murto-rationaalisiin yhtälöihin, annetaan niiden määritelmät, annetaan esimerkkejä ja analysoidaan myös yleisimmät ongelmatyypit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rationaalinen yhtälö: määritelmä ja esimerkit

Rationaalisiin ilmaisuihin tutustuminen alkaa koulun 8. luokalla. Tällä hetkellä algebratunneilla opiskelijat alkavat yhä useammin kohdata tehtäviä, joissa on yhtälöitä, jotka sisältävät rationaalisia lausekkeita muistiinpanoissaan. Virkistetään muistiamme siitä, mitä se on.

Määritelmä 1

rationaalinen yhtälö on yhtälö, jonka molemmat puolet sisältävät rationaalisia lausekkeita.

Useista käsikirjoista löytyy toinen sanamuoto.

Määritelmä 2

rationaalinen yhtälö- tämä on yhtälö, jonka vasemman puolen tietue sisältää rationaalisen lausekkeen ja oikealla on nolla.

Määritelmät, jotka olemme antaneet rationaalisille yhtälöille, ovat samanarvoisia, koska ne tarkoittavat samaa asiaa. Sanojemme oikeellisuuden vahvistaa se tosiasia, että kaikille rationaalisille ilmauksille P Ja K yhtälöt P = Q Ja P − Q = 0 ovat vastaavia ilmaisuja.

Siirrytään nyt esimerkkeihin.

Esimerkki 1

Rationaaliset yhtälöt:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rationaaliset yhtälöt, kuten muun tyyppiset yhtälöt, voivat sisältää minkä tahansa määrän muuttujia yhdestä useaan. Aluksi harkitsemme yksinkertaisia ​​esimerkkejä, jossa yhtälöt sisältävät vain yhden muuttujan. Ja sitten alamme vähitellen monimutkaista tehtävää.

Rationaaliset yhtälöt jaetaan kahteen osaan suuria ryhmiä: kokonainen ja murto-osa. Katsotaanpa, mitkä yhtälöt pätevät kuhunkin ryhmään.

Määritelmä 3

Rationaalinen yhtälö on kokonaisluku, jos sen vasemman ja oikean osan tietue sisältää kokonaisia ​​rationaalisia lausekkeita.

Määritelmä 4

Rationaalinen yhtälö on murtoluku, jos toinen tai molemmat sen osat sisältävät murtoluvun.

Murto-rationaaliset yhtälöt sisään ilman epäonnistumista sisältävät jakamisen muuttujalla, tai muuttuja esiintyy nimittäjässä. Tällaista jakoa ei ole kirjoitettaessa kokonaislukuyhtälöitä.

Esimerkki 2

3 x + 2 = 0 Ja (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0, 5 ovat kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä. Tässä yhtälön molemmat osat esitetään kokonaislukulausekkeina.

1 x - 1 = x 3 ja x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 ovat murto-osaltaan rationaalisia yhtälöitä.

Kaikki rationaaliset yhtälöt sisältävät lineaariset ja toisen asteen yhtälöt.

Kokonaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Tällaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistyy yleensä niiden muuntamiseen vastaaviksi algebrallisiksi yhtälöiksi. Tämä voidaan saavuttaa suorittamalla yhtälöiden vastaavat muunnokset seuraavan algoritmin mukaisesti:

• ensin saamme nollan yhtälön oikealle puolelle, tätä varten on tarpeen siirtää yhtälön oikealla puolella oleva lauseke sen vasemmalle puolelle ja muuttaa etumerkkiä;
• sitten muunnetaan yhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Meidän on saatava algebrallinen yhtälö. Tämä yhtälö on sama kuin alkuperäinen yhtälö. Helppojen tapausten avulla voimme ratkaista ongelman vähentämällä koko yhtälön lineaariseen tai neliölliseen. Yleisessä tapauksessa ratkaisemme algebrallisen asteyhtälön n.

Esimerkki 3

On tarpeen löytää koko yhtälön juuret 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Ratkaisu

Muunnetaan alkuperäinen lauseke saadaksemme sitä vastaavan algebrallisen yhtälön. Tätä varten siirrämme yhtälön oikealla puolella olevan lausekkeen vasemmalle puolelle ja muutamme merkin päinvastaiseksi. Tuloksena saamme: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Nyt muunnetaan vasemmalla puolella oleva lauseke vakiomuotoiseksi polynomiksi ja suoritetaan Tarvittavat toimet tällä polynomilla:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Onnistuimme pelkistämään alkuperäisen yhtälön ratkaisun ratkaisuksi toisen asteen yhtälö ystävällinen x 2 − 5 x − 6 = 0. Tämän yhtälön diskriminantti on positiivinen: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tämä tarkoittaa, että todellisia juuria on kaksi. Etsitään ne toisen asteen yhtälön juurten kaavalla:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 tai x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 tai x 2 = - 1

Tarkastetaan ratkaisun aikana löytämämme yhtälön juurien oikeellisuus. Tämän saamamme numeron korvaamme alkuperäisellä yhtälöllä: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 Ja 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Ensimmäisessä tapauksessa 63 = 63 , toisessa 0 = 0 . Juuret x=6 Ja x = − 1 ovat todellakin esimerkkiehdon mukaisen yhtälön juuret.

Vastaus: 6 , − 1 .

Katsotaanpa mitä "koko yhtälön teho" tarkoittaa. Tulemme usein törmäämään tähän termiin niissä tapauksissa, joissa meidän on esitettävä koko yhtälö algebrallisena. Määritellään käsite.

Määritelmä 5

Kokonaislukuyhtälön aste on alkuperäistä kokonaisyhtälöä vastaavan algebrallisen yhtälön aste.

Jos katsot yhtälöitä yllä olevasta esimerkistä, voit määrittää: koko tämän yhtälön aste on toinen.

Jos kurssimme rajoittuisi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen, niin aiheen pohdiskelu voisi olla valmis tähän. Mutta kaikki ei ole niin yksinkertaista. Kolmannen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on täynnä vaikeuksia. Ja neljännen asteen yläpuolella oleville yhtälöille ei ole olemassa yleisiä kaavoja juurille. Tässä suhteessa kokonaisten kolmannen, neljännen ja muiden asteiden yhtälöiden ratkaiseminen edellyttää useiden muiden tekniikoiden ja menetelmien käyttöä.

Yleisimmin käytetty lähestymistapa kokonaisten rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseen perustuu tekijöihin perustuvaan menetelmään. Toimintojen algoritmi tässä tapauksessa on seuraava:

• siirrämme lausekkeen oikealta puolelta vasemmalle niin, että nolla jää tietueen oikealle puolelle;
• edustamme vasemmalla olevaa lauseketta tekijöiden tulona ja siirrymme sitten useiden yksinkertaisempien yhtälöiden joukkoon.

Esimerkki 4

Etsi ratkaisu yhtälölle (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Ratkaisu

Siirrämme lausekkeen tietueen oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Vasemman puolen muuntaminen vakiomuotoiseksi polynomiksi on epäkäytännöllistä, koska tämä antaa meille neljännen asteen algebrallisen yhtälön: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Muuntamisen helppous ei oikeuta kaikkia vaikeuksia sellaisen yhtälön ratkaisemisessa.

On paljon helpompaa mennä toiseen suuntaan: otamme pois yhteisen tekijän x 2 − 10 x + 13 . Siten pääsemme muodon yhtälöön (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Nyt korvaamme tuloksena olevan yhtälön kahden toisen asteen yhtälön joukolla x 2 − 10 x + 13 = 0 Ja x 2 − 2 x − 1 = 0 ja löytää niiden juuret erottimen avulla: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Vastaus: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Samalla tavalla voimme käyttää uuden muuttujan käyttöönoton menetelmää. Tämän menetelmän avulla voimme siirtyä vastaaviin yhtälöihin, joiden tehot ovat pienemmät kuin alkuperäisessä koko yhtälössä.

Esimerkki 5

Onko yhtälöllä juuret? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Ratkaisu

Jos nyt yritämme pelkistää koko rationaalisen yhtälön algebralliseksi, saamme asteen 4 yhtälön, jolla ei ole rationaaliset juuret. Siksi meidän on helpompi mennä toiseen suuntaan: ota käyttöön uusi muuttuja y, joka korvaa yhtälön lausekkeen x 2 + 3 x.

Nyt työskentelemme koko yhtälön kanssa (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). ajoittaa uudelleen oikea puoli yhtälö vasemmalle päinvastaisella merkillä ja suorita tarvittavat muunnokset. Saamme: y 2 + 4 y + 3 = 0. Etsitään toisen asteen yhtälön juuret: y = −1 Ja y = −3.

Tehdään nyt käänteinen korvaus. Saamme kaksi yhtälöä x 2 + 3 x = − 1 Ja x 2 + 3 x = - 3 . Kirjoitetaan ne uudelleen muotoon x 2 + 3 x + 1 = 0 ja x 2 + 3 x + 3 = 0. Käytämme toisen yhtälön juurien kaavaa löytääksemme ensimmäisen saadun yhtälön juuret: - 3 ± 5 2 . Toisen yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Tämä tarkoittaa, että toisella yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Vastaus:- 3 ± 5 2

Koko yhtälöt korkeat asteet törmää tehtäviin melko usein. Niitä ei tarvitse pelätä. Sinun on oltava valmis soveltamaan epätyypillistä menetelmää niiden ratkaisemiseen, mukaan lukien useita keinotekoisia muunnoksia.

Murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu

Aloitamme tämän ala-aiheen tarkastelun algoritmilla, jolla ratkaistaan ​​murto-rationaaliset yhtälöt muotoa p (x) q (x) = 0 , missä p(x) Ja q(x) ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita. Muiden murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu voidaan aina pelkistää esitetyn muodon yhtälöiden ratkaisuksi.

Yleisimmin käytetty menetelmä yhtälöiden p (x) q (x) = 0 ratkaisemiseksi perustuu seuraavaan lauseeseen: murto-osa u v, Missä v on luku, joka eroaa nollasta, on yhtä suuri kuin nolla vain tapauksissa, joissa murtoluvun osoittaja on nolla. Yllä olevan lauseen logiikkaa noudattaen voimme väittää, että yhtälön p (x) q (x) = 0 ratkaisu voidaan pelkistää kahden ehdon täyttymiseen: p(x) = 0 Ja q(x) ≠ 0. Tälle rakennetaan algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden, joiden muoto on p (x) q (x) = 0, ratkaisemiseksi:

• löydämme koko rationaalisen yhtälön ratkaisun p(x) = 0;
• tarkistamme, täyttyykö ehto ratkaisun aikana löydetyille juurille q(x) ≠ 0.

Jos tämä ehto täyttyy, niin löydetty juuri. Jos ei, niin juuri ei ole ratkaisu ongelmaan.

Esimerkki 6

Etsi yhtälön 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 juuret .

Ratkaisu

Kyseessä on murto-rationaalinen yhtälö muotoa p (x) q (x) = 0 , jossa p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Aloitetaan lineaarisen yhtälön ratkaiseminen 3 x - 2 = 0. Tämän yhtälön juuri on x = 2 3.

Tarkastetaan löytynyt juuri, täyttääkö se ehdon 5 x 2 - 2 ≠ 0. Voit tehdä tämän korvaamalla lausekkeen numeerisen arvon. Saamme: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Edellytys täyttyy. Se tarkoittaa sitä x = 2 3 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: 2 3 .

On toinenkin vaihtoehto murto-rationaaliyhtälöiden p (x) q (x) = 0 ratkaisemiseksi. Muista, että tämä yhtälö vastaa koko yhtälöä p(x) = 0 alueella sallitut arvot alkuperäisen yhtälön muuttuja x. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää seuraavaa algoritmia yhtälöiden p(x) q(x) = 0 ratkaisemisessa:

• ratkaise yhtälö p(x) = 0;
• etsi muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue;
• otamme juuret, jotka sijaitsevat muuttujan x sallittujen arvojen alueella, alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön halutuiksi juuriksi.

Esimerkki 7

Ratkaise yhtälö x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Ratkaisu

Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö x 2 − 2 x − 11 = 0. Sen juurten laskemiseksi käytämme parillisen toisen kertoimen juurikaavaa. Saamme D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 ja x = 1 ± 2 3 .

Nyt voimme löytää alkuperäisen yhtälön x:n ODV:n. Nämä ovat kaikki numeroita x 2 + 3 x ≠ 0. Se on sama kuin x (x + 3) ≠ 0, josta x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Tarkastetaan nyt, ovatko ratkaisun ensimmäisessä vaiheessa saadut juuret x = 1 ± 2 3 muuttujan x hyväksyttävien arvojen alueella. Katsotaan mitä tulee sisään. Tämä tarkoittaa, että alkuperäisellä murto-rationaalisella yhtälöllä on kaksi juuria x = 1 ± 2 3 .

Vastaus: x = 1 ± 2 3

Toinen kuvattu ratkaisutapa on yksinkertaisempi kuin ensimmäinen tapauksissa, joissa muuttujan x sallittujen arvojen alue ja yhtälön juuret löytyvät helposti p(x) = 0 irrationaalinen. Esimerkiksi 7 ± 4 26 9 . Juuret voivat olla rationaalisia, mutta niillä on suuri osoittaja tai nimittäjä. Esimerkiksi, 127 1101 Ja − 31 59 . Tämä säästää aikaa kunnon tarkistamiseen. q(x) ≠ 0: ODZ:n mukaan on paljon helpompi sulkea pois juuret, jotka eivät sovi.

Kun yhtälön juuret p(x) = 0 ovat kokonaislukuja, on tarkoituksenmukaisempaa käyttää ensimmäistä kuvatuista algoritmeista muotoa p (x) q (x) = 0 olevien yhtälöiden ratkaisemiseen. Koko yhtälön juurten löytäminen nopeammin p(x) = 0 ja tarkista sitten, täyttyykö ehto heidän osaltaan q(x) ≠ 0, etkä löydä ODZ:tä ja ratkaise sitten yhtälö p(x) = 0 tällä ODZ:llä. Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa on yleensä helpompi tehdä tarkistus kuin löytää ODZ.

Esimerkki 8

Etsi yhtälön juuret (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Ratkaisu

Aloitamme tarkastelemalla koko yhtälöä (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ja löytää sen juuret. Tätä varten käytämme yhtälöiden ratkaisumenetelmää tekijöiden jakamisen kautta. Osoittautuu, että alkuperäinen yhtälö vastaa neljän yhtälön joukkoa 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, joista kolme on lineaarisia ja yksi on neliö. Löydämme juuret: ensimmäisestä yhtälöstä x = 12, toisesta x=6, kolmannesta - x \u003d 7, x \u003d - 2, neljännestä - x = − 1.

Tarkastetaan saadut juuret. Meidän on vaikea määrittää ODZ:tä tässä tapauksessa, koska tätä varten meidän on ratkaistava viidennen asteen algebrallinen yhtälö. On helpompi tarkistaa ehto, jonka mukaan yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan nimittäjä ei saa kadota.

Korvaa vuorostaan ​​juuret muuttujan x tilalle lausekkeessa x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 ja laske sen arvo:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Suoritetun tarkastuksen avulla voimme todeta, että alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön juuret ovat 1 2 , 6 ja − 2 .

Vastaus: 1 2 , 6 , - 2

Esimerkki 9

Etsi murto-rationaalisen yhtälön 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 juuret.

Ratkaisu

Aloitetaan yhtälöstä (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Etsitään sen juuret. Meidän on helpompi esittää tämä yhtälö neliö- ja lineaaristen yhtälöiden yhdistelmänä 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 Ja x − 2 = 0.

Käytämme toisen asteen yhtälön juurten kaavaa juurten löytämiseen. Saamme kaksi juuria x = 7 ± 69 10 ensimmäisestä yhtälöstä ja toisesta x=2.

Juurien arvon korvaaminen alkuperäiseen yhtälöön olosuhteiden tarkistamiseksi on meille melko vaikeaa. On helpompi määrittää muuttujan x LPV. Tässä tapauksessa muuttujan x DPV on kaikki luvut, paitsi ne, joiden ehto täyttyy x 2 + 5 x − 14 = 0. Saamme: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Tarkastetaan nyt, kuuluvatko löytämämme juuret x-muuttujan hyväksyttävien arvojen alueelle.

Juuret x = 7 ± 69 10 - kuuluvat, joten ne ovat alkuperäisen yhtälön juuria, ja x=2- ei kuulu, joten se on ulkopuolinen juuri.

Vastaus: x = 7 ± 69 10 .

Tarkastellaan erikseen tapauksia, joissa muotoa p (x) q (x) = 0 olevan murto-rationaaliyhtälön osoittaja sisältää luvun. Tällaisissa tapauksissa, jos osoittaja sisältää muun luvun kuin nolla, yhtälöllä ei ole juuria. Jos tämä luku on nolla, yhtälön juuri on mikä tahansa luku ODZ:stä.

Esimerkki 10

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Ratkaisu

Tällä yhtälöllä ei ole juuria, koska yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja sisältää nollasta poikkeavan luvun. Tämä tarkoittaa, että millekään x:n arvolle ongelman ehdossa annetun murto-osan arvo ei ole nolla.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 11

Ratkaise yhtälö 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Ratkaisu

Koska murto-osan osoittaja on nolla, yhtälön ratkaisu on mikä tahansa x:n arvo ODZ-muuttujasta x.

Nyt määritellään ODZ. Se sisältää kaikki x-arvot, joille x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Yhtälöratkaisut x 4 + 5 x 3 = 0 ovat 0 Ja − 5 , koska tämä yhtälö vastaa yhtälöä x 3 (x + 5) = 0, ja se puolestaan ​​vastaa kahden yhtälön joukkoa x 3 = 0 ja x + 5 = 0 missä nämä juuret näkyvät. Tulemme siihen tulokseen, että haluttu hyväksyttävien arvojen alue on mikä tahansa x , paitsi x=0 Ja x = -5.

Osoittautuu, että murto-rationaaliyhtälöllä 0 x 4 + 5 x 3 = 0 on ääretön määrä ratkaisuja, jotka ovat mitä tahansa lukuja paitsi nolla ja -5.

Vastaus: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Puhutaanpa nyt mielivaltaisen muodon murto-rationaaliyhtälöistä ja menetelmistä niiden ratkaisemiseksi. Ne voidaan kirjoittaa nimellä r(x) = s(x), Missä r(x) Ja s(x) ovat rationaalisia lausekkeita, ja ainakin yksi niistä on murtoluku. Tällaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistetään muotoa p (x) q (x) = 0 olevien yhtälöiden ratkaisuksi.

Tiedämme jo, että voimme saada ekvivalentin yhtälön siirtämällä lausekkeen yhtälön oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä. Tämä tarkoittaa, että yhtälö r(x) = s(x) vastaa yhtälöä r (x) − s (x) = 0. Olemme myös jo keskustelleet siitä, kuinka rationaalinen lauseke muunnetaan rationaaliseksi murtoluvuksi. Tämän ansiosta voimme helposti muuttaa yhtälön r (x) − s (x) = 0 sen identtiseksi rationaaliseksi murto-osaksi muotoa p (x) q (x) .

Joten siirrymme alkuperäisestä murto-rationaalisesta yhtälöstä r(x) = s(x) yhtälölle muotoa p (x) q (x) = 0 , jonka olemme jo oppineet ratkaisemaan.

On huomattava, että tehdessäsi siirtymiä r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) = 0 ja sitten arvoon p(x) = 0 emme välttämättä ota huomioon muuttujan x kelvollisten arvojen alueen laajenemista.

On varsin realistista, että alkuperäinen yhtälö r(x) = s(x) ja yhtälö p(x) = 0 muutosten seurauksena ne lakkaavat olemasta vastaavia. Sitten yhtälön ratkaisu p(x) = 0 voi antaa meille vieraita juuria r(x) = s(x). Tältä osin jokaisessa tapauksessa on tarpeen suorittaa tarkastus jollakin edellä kuvatuista menetelmistä.

Aiheen tutkimisen helpottamiseksi olemme yleistäneet kaikki tiedot algoritmiksi muodon murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi r(x) = s(x):

• siirrämme lausekkeen oikealta puolelta vastakkaisella merkillä ja saamme nollan oikealle;
• muunnamme alkuperäisen lausekkeen rationaaliseksi murtoluvuksi p (x) q (x) suorittamalla peräkkäin toimintoja murtoluvuilla ja polynomeilla;
• ratkaise yhtälö p(x) = 0;
• paljastamme vieraat juuret tarkistamalla niiden kuuluvuuden ODZ:hen tai korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön.

Visuaalisesti toimintaketju näyttää tältä:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → keskeyttäneiden r o n d e r o o n s

Esimerkki 12

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö x x + 1 = 1 x + 1 .

Ratkaisu

Siirrytään yhtälöön x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Muunnetaan yhtälön vasemmalla puolella oleva murto-rationaalinen lauseke muotoon p (x) q (x) .

Tätä varten meidän on vähennettävä rationaaliset murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja yksinkertaistettava lauseke:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Löytääksemme yhtälön juuret - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, meidän on ratkaistava yhtälö − 2 x − 1 = 0. Saamme yhden juuren x = - 1 2.

Meidän tehtävämme on suorittaa tarkistus millä tahansa menetelmällä. Tarkastellaanpa niitä molempia.

Korvaa tuloksena oleva arvo alkuperäiseen yhtälöön. Saamme -1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Olemme tulleet oikeaan numeeriseen yhtäläisyyteen − 1 = − 1 . Se tarkoittaa sitä x = − 1 2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Nyt tarkistamme ODZ:n kautta. Määritellään muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue. Tämä on koko lukujoukko, paitsi −1 ja 0 (kun x = −1 ja x = 0, murto-osien nimittäjät häviävät). Juuri, jonka saimme x = − 1 2 kuuluu ODZ:lle. Tämä tarkoittaa, että se on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: − 1 2 .

Esimerkki 13

Etsi yhtälön x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x juuret.

Ratkaisu

Käsittelemme murto-rationaalista yhtälöä. Siksi toimimme algoritmin mukaan.

Siirretään lauseke oikealta puolelta vasemmalle päinvastaisella merkillä: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Suoritetaan tarvittavat muunnokset: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Tulemme yhtälöön x=0. Tämän yhtälön juuri on nolla.

Tarkistetaan, onko tämä juuri vieras alkuperäiselle yhtälölle. Korvaa alkuperäisen yhtälön arvo: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kuten näet, tuloksena oleva yhtälö ei ole järkevä. Tämä tarkoittaa, että 0 on ulkopuolinen juuri ja alkuperäisellä murto-rationaaliyhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

Jos emme ole sisällyttäneet algoritmiin muita vastaavia muunnoksia, tämä ei tarkoita ollenkaan, etteikö niitä voisi käyttää. Algoritmi on universaali, mutta se on suunniteltu auttamaan, ei rajoittamaan.

Esimerkki 14

Ratkaise yhtälö 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Ratkaisu

Helpoin tapa on ratkaista annettu murto-rationaalinen yhtälö algoritmin mukaan. Mutta on toinenkin tapa. Mietitäänpä sitä.

Vähennä oikeasta ja vasemmasta osasta 7, saamme: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Tästä voidaan päätellä, että lausekkeen vasemman puolen nimittäjässä tulee olla yhtä suuri kuin oikean puolen luvun käänteisluku, eli 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Vähennä molemmista osista 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analogisesti 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, josta 1 5 - x 2 \u003d 1 3 ja edelleen 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Tarkastetaan, ovatko löydetyt juuret alkuperäisen yhtälön juuria.

Vastaus: x = ± 2

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Esitys ja oppitunti aiheesta: "Rationaaliset yhtälöt. Algoritmi ja esimerkkejä rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 8
Käsikirja oppikirjalle Makarychev Yu.N. Käsikirja oppikirjaan Mordkovich A.G.

Johdatus irrationaalisiin yhtälöihin

Kaverit, opimme ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. Mutta matematiikka ei rajoitu niihin. Tänään opimme ratkaisemaan rationaalisia yhtälöitä. Rationaaliyhtälöiden käsite on monella tapaa samanlainen kuin rationaalilukujen käsite. Vain numeroiden lisäksi olemme nyt ottaneet käyttöön muuttujan $x$. Ja näin saadaan lauseke, jossa on yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja korotusoperaatioita kokonaislukupotenssiin.

Olkoon $r(x)$ rationaalinen ilmaisu. Tällainen lauseke voi olla yksinkertainen polynomi muuttujassa $x$ tai polynomien suhde (jakotoiminto otetaan käyttöön, kuten rationaaliluvuilla).
Kutsutaan yhtälöä $r(x)=0$ rationaalinen yhtälö.
Mikä tahansa yhtälö, jonka muoto on $p(x)=q(x)$, jossa $p(x)$ ja $q(x)$ ovat rationaalisia lausekkeita, on myös rationaalinen yhtälö.

Harkitse esimerkkejä rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta.

Esimerkki 1
Ratkaise yhtälö: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Ratkaisu.
Siirretään kaikki lausekkeet vasemmalle: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jos tavallisia lukuja esitettäisiin yhtälön vasemmalla puolella, niin tuottaisimme kaksi murto-osaa yhteiseen nimittäjään.
Tehdään näin: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Saimme yhtälön: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Murtoluku on nolla silloin ja vain, jos murto-osan osoittaja on nolla ja nimittäjä on nollasta poikkeava. Yhdistä sitten osoittaja erikseen nollaan ja etsi osoittajan juuret.
$3(x^2+2x-3)=0$ tai $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Tarkastetaan nyt murtoluvun nimittäjä: $(x-3)*x≠0$.
Kahden luvun tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi näistä luvuista on nolla. Sitten: $x≠0$ tai $x-3≠0$.
$x≠0$ tai $x≠3$.
Osoittajassa ja nimittäjässä saadut juuret eivät täsmää. Joten vastauksena kirjoitamme ylös osoittajan molemmat juuret.
Vastaus: $x=1$ tai $x=-3$.

Jos yhtäkkiä yksi osoittajan juurista osui yhteen nimittäjän juuren kanssa, se tulisi sulkea pois. Tällaisia ​​juuria kutsutaan vieraiksi!

Algoritmi rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki yhtälön sisältämät lausekkeet yhtäläisyysmerkin vasemmalle puolelle.
2. Muunna tämä yhtälön osa muotoon algebrallinen murtoluku: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Yhdistä saatu osoittaja nollaan, eli ratkaise yhtälö $p(x)=0$.
4. Yhdistä nimittäjä nollaan ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö. Jos nimittäjän juuret osuivat yhteen osoittajan juurien kanssa, ne tulee jättää vastauksen ulkopuolelle.

Esimerkki 2
Ratkaise yhtälö: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Ratkaisu.
Ratkaisemme algoritmin pisteiden mukaan.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ murto(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Yhdistä osoittaja nollaan: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Yhdistä nimittäjä nollaan:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ja $x=-1$.
Yksi juurista $x=1$ osui yhteen osoittajan juuren kanssa, joten emme kirjoita sitä ylös vastauksena.
Vastaus: $x=-1$.

Rationaalisia yhtälöitä on kätevää ratkaista muuttujien muutosmenetelmällä. Osoitetaan se.

Esimerkki 3
Ratkaise yhtälö: $x^4+12x^2-64=0$.

Ratkaisu.
Esittelemme korvaavan: $t=x^2$.
Sitten yhtälömme saa muodon:
$t^2+12t-64=0$ on tavallinen toisen asteen yhtälö.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dollaria.
Otetaan käyttöön käänteinen korvaus: $x^2=4$ tai $x^2=-16$.
Ensimmäisen yhtälön juuret ovat lukupari $x=±2$. Toisella ei ole juuria.
Vastaus: $x=±2$.

Esimerkki 4
Ratkaise yhtälö: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Ratkaisu.
Otetaan käyttöön uusi muuttuja: $t=x^2+x+1$.
Tällöin yhtälö saa muotoa: $t=\frac(15)(t+2)$.
Seuraavaksi toimimme algoritmin mukaan.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dollaria.
4. $t≠-2$ - juuret eivät täsmää.
Otamme käyttöön käänteisen korvaamisen.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Ratkaistaan ​​jokainen yhtälö erikseen:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ei juuret.
Ja toinen yhtälö: $x^2+x-2=0$.
Tämän yhtälön juuret ovat luvut $x=-2$ ja $x=1$.
Vastaus: $x=-2$ ja $x=1$.

Esimerkki 5
Ratkaise yhtälö: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Ratkaisu.
Otamme käyttöön korvaavan: $t=x+\frac(1)(x)$.
Sitten:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ tai $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Saimme yhtälön: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Tämän yhtälön juuret ovat pari:
$t=-3$ ja $t=2$.
Otetaan käyttöön käänteinen korvaus:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Päätetään erikseen.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Ratkaistaan ​​toinen yhtälö:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Tämän yhtälön juuri on luku $x=1$.
Vastaus: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Ratkaise yhtälöt:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Jatkamme keskustelua yhtälöiden ratkaisu. Tässä artikkelissa keskitymme rationaaliset yhtälöt ja periaatteet rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla. Ensin selvitetään, millaisia ​​yhtälöitä kutsutaan rationaalisiksi, määritetään kokonaislukuiset rationaaliset ja murto-rationaaliset yhtälöt ja annamme esimerkkejä. Lisäksi hankimme algoritmeja rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen ja tietysti harkitsemme tyypillisten esimerkkien ratkaisuja kaikkine tarvittavin selityksin.

Sivulla navigointi.

Äänitettyjen määritelmien perusteella annamme useita esimerkkejä rationaalisista yhtälöistä. Esimerkiksi x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , ovat kaikki rationaalisia yhtälöitä.

Esitetyistä esimerkeistä voidaan nähdä, että rationaaliset yhtälöt, kuten myös muun tyyppiset yhtälöt, voivat olla joko yhdellä muuttujalla tai kahdella, kolmella jne. muuttujia. Seuraavissa kappaleissa puhumme rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta yhdessä muuttujassa. Yhtälöiden ratkaiseminen kahdella muuttujalla ja heidät suuri numero ansaitsevat erityistä huomiota.

Sen lisäksi, että rationaaliset yhtälöt jaetaan tuntemattomien muuttujien lukumäärällä, ne jaetaan myös kokonaislukuihin ja murtolukuihin. Annetaan vastaavat määritelmät.

Määritelmä.

Rationaalista yhtälöä kutsutaan koko, jos sen vasen ja oikea osa ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita.

Määritelmä.

Jos ainakin yksi rationaalisen yhtälön osista on murtoluku, niin yhtälöä kutsutaan murto-osa rationaalista(tai murto-rationaalinen).

On selvää, että kokonaislukuyhtälöt eivät sisällä jakoa muuttujalla, päinvastoin murto-rationaaliset yhtälöt sisältävät välttämättä jakamisen muuttujalla (tai muuttujalla nimittäjässä). Joten 3 x+2=0 ja (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 ovat kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä, joiden molemmat osat ovat kokonaislukulausekkeita. A ja x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ovat esimerkkejä murto-rationaalisista yhtälöistä.

Tämän kappaleen päätteeksi kiinnittäkäämme huomiota siihen, että tällä hetkellä tunnetut lineaariyhtälöt ja toisen asteen yhtälöt ovat kokonaisia ​​rationaaliyhtälöitä.

Kokonaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Yksi tärkeimmistä lähestymistavoista kokonaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on niiden pelkistäminen ekvivalentiksi algebralliset yhtälöt. Tämä voidaan aina tehdä suorittamalla seuraavat yhtälön vastaavat muunnokset:

• ensin alkuperäisen kokonaislukuyhtälön oikealta puolelta oleva lauseke siirretään vasemmalle puolelle päinvastaisella merkillä, jotta oikealle puolelle saadaan nolla;
• sen jälkeen yhtälön vasemmalla puolella tuloksena oleva vakiomuoto.

Tuloksena on algebrallinen yhtälö, joka vastaa alkuperäistä koko yhtälöä. Joten yksinkertaisimmissa tapauksissa kokonaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistetään lineaaristen tai toisen asteen yhtälöiden ratkaisuksi ja yleisessä tapauksessa - asteen n algebrallisen yhtälön ratkaisuksi. Selvyyden vuoksi analysoidaan esimerkin ratkaisua.

Esimerkki.

Etsi koko yhtälön juuret 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Ratkaisu.

Pelkistetään tämän yhtälön ratkaisu vastaavan algebrallisen yhtälön ratkaisuksi. Tätä varten siirrämme ensin lausekkeen oikealta puolelta vasemmalle, minkä seurauksena saavutamme yhtälön 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Ja toiseksi, muunnamme vasemmalle puolelle muodostetun lausekkeen vakiomuodon polynomiksi tekemällä tarvittavat: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x −9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Näin ollen alkuperäisen kokonaislukuyhtälön ratkaisu pelkistetään toisen asteen yhtälön x 2 −5·x−6=0 ratkaisuksi.

Laske sen diskriminantti D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, se on positiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi todellista juurta, jotka löydämme toisen asteen yhtälön juurien kaavasta:

Ollaksemme täysin varmoja, tehdään tarkistaa yhtälön löydetyt juuret. Tarkistamme ensin juuren 6, korvaamme sen muuttujan x sijaan alkuperäisessä kokonaislukuyhtälössä: 3 (6+1) (6-3)=6 (2 6-1)-3, joka on sama, 63=63 . Tämä on kelvollinen numeerinen yhtälö, joten x=6 on todellakin yhtälön juuri. Nyt tarkistamme juuren −1 , meillä on 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, mistä, 0 = 0 . Kun x=−1, alkuperäinen yhtälö muuttui myös todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi, joten x=−1 on myös yhtälön juuri.

Vastaus:

6 , −1 .

Tässä on myös huomattava, että termi "koko yhtälön teho" liittyy kokonaisen yhtälön esittämiseen algebrallisen yhtälön muodossa. Annamme vastaavan määritelmän:

Määritelmä.

Koko yhtälön aste kutsua sitä vastaavan algebrallisen yhtälön astetta.

Tämän määritelmän mukaan koko edellisen esimerkin yhtälöllä on toinen aste.

Tähän voitaisiin päättää kokonaisten rationaalisten yhtälöiden ratkaisu, jos ei yksi, mutta .... Kuten tiedetään, toista korkeamman asteen algebrallisten yhtälöiden ratkaisuun liittyy merkittäviä vaikeuksia, ja neljännen asteen yhtälöille ei ole olemassa yleisiä kaavoja juurille. Siksi kokonaisten kolmannen, neljännen ja korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi on usein turvauduttava muihin ratkaisumenetelmiin.

Tällaisissa tapauksissa joskus lähestymistapa ratkaista kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä perustuu faktorointimenetelmä. Samalla noudatetaan seuraavaa algoritmia:

• Ensin he pyrkivät saamaan nollan yhtälön oikealle puolelle, tätä varten he siirtävät lausekkeen koko yhtälön oikealta puolelta vasemmalle;
• sitten tuloksena oleva vasemmalla puolella oleva lauseke esitetään useiden tekijöiden tulona, ​​jolloin voit siirtyä useiden yksinkertaisempien yhtälöiden joukkoon.

Yllä oleva algoritmi koko yhtälön ratkaisemiseksi tekijöiden jakamisen kautta vaatii yksityiskohtaisen selityksen esimerkin avulla.

Esimerkki.

Ratkaise koko yhtälö (x 2 -1) (x 2 -10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Ratkaisu.

Ensin, kuten tavallista, siirrämme lausekkeen yhtälön oikealta puolelta vasemmalle, unohtamatta muuttaa etumerkkiä, saamme (x 2 -1) (x 2 -10 x+13) - 2 x (x 2 -10 x+13) = 0 . Tässä on aivan ilmeistä, että tuloksena olevan yhtälön vasenta puolta ei kannata muuttaa vakiomuotoiseksi polynomiksi, koska se antaa muodon neljännen asteen algebrallisen yhtälön. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, jonka ratkaisu on vaikea.

Toisaalta on selvää, että x 2 −10·x+13 löytyy tuloksena olevan yhtälön vasemmalta puolelta ja edustaa sitä tulona. Meillä on (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x -1) = 0. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä koko yhtälöä ja se voidaan puolestaan ​​korvata kahdella toisen asteen yhtälön joukolla x 2 −10·x+13=0 ja x 2 −2·x−1=0 . Niiden juurien löytäminen tunnetuilla juurikaavoilla diskriminantin kautta ei ole vaikeaa, juuret ovat samanarvoisia. Ne ovat alkuperäisen yhtälön haluttuja juuria.

Vastaus:

Se on hyödyllinen myös kokonaisten rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi. Joissakin tapauksissa se sallii siirtymisen yhtälöihin, joiden aste on pienempi kuin alkuperäisen kokonaislukuyhtälön aste.

Esimerkki.

Etsi rationaalisen yhtälön todelliset juuret (x 2 +3 x+1) 2 +10 = -2 (x 2 +3 x -4).

Ratkaisu.

Koko tämän rationaalisen yhtälön pelkistäminen algebralliseksi yhtälöksi ei ole lievästi sanottuna kovin hyvä idea, koska tässä tapauksessa tulemme tarpeeseen ratkaista neljännen asteen yhtälö, jolla ei ole rationaalisia juuria. Siksi sinun on etsittävä toinen ratkaisu.

Tästä on helppo nähdä, että voit ottaa käyttöön uuden muuttujan y ja korvata sillä lausekkeen x 2 +3 x. Tällainen korvaaminen johtaa meidät koko yhtälöön (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , joka siirrettyään lausekkeen −2 (y−4) vasemmalle ja sen jälkeen muunnettu siellä muodostettu lauseke , pelkistyy yhtälöksi y 2 +4 y+3=0 . Tämän yhtälön y=−1 ja y=−3 juuret on helppo löytää, ne voidaan löytää esimerkiksi Vietan lauseen käänteislauseen perusteella.

Siirrytään nyt uuden muuttujan käyttöönoton menetelmän toiseen osaan, eli käänteisen korvauksen tekemiseen. Käänteisen substituution suorittamisen jälkeen saadaan kaksi yhtälöä x 2 +3 x=−1 ja x 2 +3 x=−3 , jotka voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon x 2 +3 x+1=0 ja x 2 +3 x+3 =0. Toisen yhtälön juurten kaavan mukaan löydämme ensimmäisen yhtälön juuret. Ja toisella toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, koska sen diskriminantti on negatiivinen (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Vastaus:

Yleisesti ottaen, kun olemme tekemisissä kokonaisten korkea-asteisten yhtälöiden kanssa, meidän on aina oltava valmiita etsimään epästandardia menetelmää tai keinotekoista tekniikkaa niiden ratkaisemiseksi.

Murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu

Ensinnäkin on hyödyllistä ymmärtää kuinka ratkaista murto-rationaaliset yhtälöt muotoa , jossa p(x) ja q(x) ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita. Ja sitten näytämme kuinka pelkistää jäljellä olevien murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu esitetyn muodon yhtälöiden ratkaisuksi.

Yksi yhtälön ratkaisumenetelmistä perustuu seuraavaan lauseeseen: numeerinen murtoluku u/v, jossa v on nollasta poikkeava luku (muuten kohtaamme , jota ei ole määritelty), on yhtä suuri kuin nolla silloin ja vain, jos sen osoittaja on nolla, niin on, jos ja vain jos u=0 . Tämän väitteen nojalla yhtälön ratkaisu pelkistetään kahden ehdon p(x)=0 ja q(x)≠0 täyttymiseen.

Tämä johtopäätös on yhdenmukainen seuraavan kanssa algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi. Ratkaise muodon murto-rationaalinen yhtälö

• ratkaise koko rationaalinen yhtälö p(x)=0 ;
• ja tarkista täyttyykö ehto q(x)≠0 jokaiselle löydetylle juurelle, while
• jos tosi, tämä juuri on alkuperäisen yhtälön juuri;
• jos ei, niin tämä juuri on ulkopuolinen, eli se ei ole alkuperäisen yhtälön juuri.

Analysoidaan esimerkkiä soinnillisen algoritmin käytöstä rationaalisen murtoyhtälön ratkaisemisessa.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Ratkaisu.

Tämä on murto-rationaalinen yhtälö muotoa , jossa p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0 .

Tällaisten murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisualgoritmin mukaan meidän on ensin ratkaistava yhtälö 3·x−2=0 . Tämä lineaarinen yhtälö, jonka juuri on x=2/3 .

Jäljelle jää tarkistaa tämä juuri, eli tarkistaa, täyttääkö se ehdon 5·x 2 −2≠0 . Korvaamme lausekkeen 5 x 2 −2 luvun 2/3 x:n sijaan, saamme . Ehto täyttyy, joten x=2/3 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus:

2/3 .

Murto-rationaalisen yhtälön ratkaisua voidaan lähestyä hieman eri kohdasta. Tämä yhtälö vastaa alkuperäisen yhtälön muuttujan x koko yhtälöä p(x)=0. Eli voit seurata tätä algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi :

• ratkaise yhtälö p(x)=0 ;
• etsi ODZ-muuttuja x ;
• ota juuret, jotka kuuluvat sallittujen arvojen alueelle - ne ovat alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön halutut juuret.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi murto-rationaalinen yhtälö tällä algoritmilla.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu.

Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö x 2 −2·x−11=0 . Sen juuret voidaan laskea parillisen toisen kertoimen juurikaavalla D 1 =(−1) 2 −1 (−11) = 12, Ja.

Toiseksi, löydämme alkuperäisen yhtälön muuttujan x ODZ:n. Se koostuu kaikista luvuista, joille x 2 +3 x≠0 , mikä on sama x (x+3)≠0 , josta x≠0 , x≠−3 .

On vielä tarkistettava, sisällytetäänkö ensimmäisessä vaiheessa löydetyt juuret ODZ:hen. Ilmeisesti kyllä. Siksi alkuperäisellä murto-rationaalisella yhtälöllä on kaksi juuria.

Vastaus:

Huomaa, että tämä lähestymistapa on kannattavampi kuin ensimmäinen, jos ODZ on helposti löydettävissä, ja se on erityisen hyödyllistä, jos yhtälön p(x)=0 juuret ovat irrationaalisia, esimerkiksi , tai rationaalisia, mutta melko suurella osoittaja ja/tai nimittäjä, esimerkiksi 127/1101 ja -31/59 . Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa ehdon q(x)≠0 tarkistaminen vaatii huomattavia laskentaponnisteluja, ja on helpompi sulkea pois ODZ:stä ulkopuoliset juuret.

Muissa tapauksissa yhtälöä ratkaistaessa, varsinkin kun yhtälön p(x)=0 juuret ovat kokonaislukuja, on edullisempaa käyttää ensimmäistä yllä olevista algoritmeista. Eli on suositeltavaa etsiä välittömästi koko yhtälön p(x)=0 juuret ja sitten tarkistaa, täyttyykö ehto q(x)≠0 niille, eikä etsiä ODZ:tä ja ratkaista sitten yhtälö. p(x)=0 tällä ODZ:llä. Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa on yleensä helpompi tehdä tarkistus kuin löytää ODZ.

Harkitse kahden esimerkin ratkaisua havainnollistamaan määrättyjä vivahteita.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Ratkaisu.

Ensin löydämme koko yhtälön juuret (2 x-1) (x-6) (x 2 -5 x+14) (x+1) = 0, käännetty käyttämällä murtoluvun osoittajaa. Vasen puoli tämän yhtälön tulo on ja oikea on nolla, joten yhtälöiden tekijöiden jakamisen avulla ratkaistavan menetelmän mukaan tämä yhtälö vastaa neljän yhtälön joukkoa 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0, x+1=0 . Kolme näistä yhtälöistä on lineaarisia ja yksi on neliö, voimme ratkaista ne. Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme x=1/2, toisesta - x=6, kolmannesta - x=7, x=−2, neljännestä - x=−1.

Löydetyistä juurista on melko helppo tarkistaa, ettei alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan nimittäjä katoa, eikä ODZ:n määrittäminen ole niin helppoa, koska se on ratkaistava viidennen asteen algebrallinen yhtälö. Siksi kieltäydymme löytämään ODZ: tä juurien tarkistamisen puolesta. Tätä varten korvaamme ne vuorotellen lausekkeen muuttujan x sijasta x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, saatu vaihdon jälkeen, ja vertaa niitä nollaan: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2) + 112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (-2)+112=-720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Siten 1/2, 6 ja −2 ovat alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön haluttuja juuria ja 7 ja −1 ovat ulkopuolisia juuria.

Vastaus:

1/2 , 6 , −2 .

Esimerkki.

Etsi murto-rationaalisen yhtälön juuret.

Ratkaisu.

Ensin löydämme yhtälön juuret (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Tämä yhtälö vastaa kahden yhtälön joukkoa: neliö 5·x 2 −7·x−1=0 ja lineaarinen x−2=0 . Toisen yhtälön juurten kaavan mukaan löydämme kaksi juuria, ja toisesta yhtälöstä saamme x=2.

On melko epämiellyttävää tarkistaa, eikö nimittäjä katoa löydetyillä x:n arvoilla. Ja muuttujan x hyväksyttävien arvojen alueen määrittäminen alkuperäisessä yhtälössä on melko yksinkertaista. Siksi toimimme ODZ:n kautta.

Tässä tapauksessa alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön muuttujan x ODZ koostuu kaikista luvuista, paitsi niistä, joiden ehto x 2 +5·x−14=0 täyttyy. Tämän toisen asteen yhtälön juuret ovat x=−7 ja x=2, josta päättelemme ODZ:stä: se koostuu kaikista x:istä siten, että .

On vielä tarkistettava, kuuluvatko löydetyt juuret ja x=2 sallittujen arvojen alueelle. Juuret - kuuluvat, joten ne ovat alkuperäisen yhtälön juuria, ja x=2 ei kuulu, joten se on ulkopuolinen juuri.

Vastaus:

On myös hyödyllistä tarkastella erikseen tapauksia, joissa muodon murto-rationaalinen yhtälö sisältää luvun osoittajassa, eli kun p (x) esitetään jollakin luvulla. Jossa

• jos tämä luku on eri kuin nolla, yhtälöllä ei ole juuria, koska murto-osa on nolla silloin ja vain, jos sen osoittaja on nolla;
• jos tämä luku on nolla, yhtälön juuri on mikä tahansa luku ODZ:stä.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Koska yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittajassa on nollasta poikkeava luku, ei x:lle tämän murtoluvun arvo voi olla nolla. Siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus:

ei juuria.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu.

Tämän rationaalisen murto-yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja on nolla, joten tämän murtoluvun arvo on nolla mille tahansa x:lle, jolle se on järkevää. Toisin sanoen tämän yhtälön ratkaisu on mikä tahansa x:n arvo tämän muuttujan DPV:stä.

On vielä määritettävä tämä hyväksyttävien arvojen alue. Se sisältää kaikki sellaiset arvot x, joille x 4 +5 x 3 ≠0. Yhtälön x 4 +5 x 3 \u003d 0 ratkaisut ovat 0 ja -5, koska tämä yhtälö vastaa yhtälöä x 3 (x + 5) \u003d 0, ja se puolestaan ​​vastaa yhdistelmää kahdesta yhtälöstä x 3 \u003d 0 ja x +5=0 , josta nämä juuret ovat näkyvissä. Siksi haluttu hyväksyttävien arvojen alue on mikä tahansa x, paitsi x=0 ja x=−5.

Näin ollen murto-rationaalisella yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, jotka ovat mitä tahansa lukuja paitsi nolla ja miinus viisi.

Vastaus:

Lopuksi on aika puhua mielivaltaisten murto-osien rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Ne voidaan kirjoittaa muodossa r(x)=s(x) , missä r(x) ja s(x) ovat rationaalisia lausekkeita ja ainakin yksi niistä on murtoluku. Tulevaisuudessa sanomme, että heidän ratkaisunsa rajoittuu meille jo tutun muotoisten yhtälöiden ratkaisemiseen.

Tiedetään, että termin siirto yhtälön yhdestä osasta toiseen päinvastaisella merkillä johtaa ekvivalenttiin yhtälöön, joten yhtälö r(x)=s(x) on yhtälö r(x)−s. (x) = 0.

Tiedämme myös, että mikä tahansa voi olla identtinen tämän lausekkeen kanssa. Siten voimme aina muuntaa yhtälön r(x)−s(x)=0 vasemmalla puolella olevan rationaalisen lausekkeen muodon identtiseksi yhtä suureksi rationaaliseksi murto-osaksi.

Joten siirrymme alkuperäisestä murto-rationaalisesta yhtälöstä r(x)=s(x) yhtälöön , ja sen ratkaisu, kuten yllä selvisimme, pelkistyy yhtälön p(x)=0 ratkaisemiseksi.

Mutta tässä on otettava huomioon se tosiasia, että kun r(x)−s(x)=0 korvataan arvolla , ja sitten p(x)=0, muuttujan x sallittujen arvojen alue voi laajentua. .

Siksi alkuperäinen yhtälö r(x)=s(x) ja yhtälö p(x)=0, johon päädyimme, eivät välttämättä ole ekvivalentteja, ja ratkaisemalla yhtälön p(x)=0 saadaan juuria jotka ovat alkuperäisen yhtälön ulkopuolisia juuria r(x)=s(x) . Vieraat juuret voidaan tunnistaa ja olla sisällyttämättä vastaukseen joko tarkistamalla tai tarkistamalla niiden kuuluvuus alkuperäisen yhtälön ODZ:hen.

Teemme yhteenvedon näistä tiedoista algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi r(x)=s(x). Murto-rationaalisen yhtälön r(x)=s(x) ratkaisemiseksi täytyy

• Saada nolla oikealle siirtämällä lauseketta oikealta puolelta vastakkaisella merkillä.
• Suorita toimenpiteitä yhtälön vasemmalla puolella olevilla murtoluvuilla ja polynomeilla, jolloin se muunnetaan muodon rationaaliseksi murto-osaksi.
• Ratkaise yhtälö p(x)=0 .
• Tunnista ja sulje pois vieraat juuret, mikä tehdään korvaamalla ne alkuperäiseen yhtälöön tai tarkistamalla niiden kuuluvuus alkuperäisen yhtälön ODZ:hen.

Selvyyden vuoksi näytämme koko murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisuketjun:
.

Käydään läpi useiden esimerkkien ratkaisut ratkaisun yksityiskohtaisen selityksen kanssa selventääksemme annettua tietolohkoa.

Esimerkki.

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö.

Ratkaisu.

Toimimme juuri saadun ratkaisualgoritmin mukaisesti. Ja ensin siirrämme termit yhtälön oikealta puolelta vasemmalle puolelle, minkä seurauksena siirrymme yhtälöön .

Toisessa vaiheessa meidän on muutettava tuloksena olevan yhtälön vasemmalla puolella oleva murto-rationaalinen lauseke murto-osan muotoon. Tätä varten suoritamme heiton rationaaliset murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja yksinkertaistaa tuloksena olevaa lauseketta: . Joten tulemme yhtälöön.

Seuraavassa vaiheessa meidän on ratkaistava yhtälö −2·x−1=0 . Etsi x=−1/2 .

On vielä tarkistettava, onko löydetty luku −1/2 alkuperäisen yhtälön ulkopuolinen juuri. Voit tehdä tämän tarkistamalla tai etsimällä alkuperäisen yhtälön ODZ-muuttujan x. Esitellään molemmat lähestymistavat.

Aloitetaan tarkistuksella. Korvaamme luvun −1/2 muuttujan x sijaan alkuperäiseen yhtälöön, saamme , joka on sama, −1=−1. Korvaus antaa oikean numeerisen yhtälön, joten x=−1/2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Nyt näytämme kuinka algoritmin viimeinen vaihe suoritetaan ODZ:n kautta. Alkuperäisen yhtälön sallittujen arvojen alue on kaikkien lukujen joukko paitsi −1 ja 0 (kun x=-1 ja x=0, murto-osien nimittäjät häviävät). Edellisessä vaiheessa löydetty juuri x=−1/2 kuuluu ODZ:hen, joten x=−1/2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus:

−1/2 .

Tarkastellaanpa toista esimerkkiä.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Ratkaisu.

Meidän on ratkaistava murto-rationaalinen yhtälö, käydään läpi kaikki algoritmin vaiheet.

Ensin siirrämme termin oikealta puolelta vasemmalle, saamme .

Toiseksi muutetaan vasemmalle puolelle muodostettu lauseke: . Tuloksena saamme yhtälön x=0 .

Sen juuri on ilmeinen - se on nolla.

Neljännessä vaiheessa on vielä selvitettävä, eikö löydetty juuri ole alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön ulkopuolinen. Kun se korvataan alkuperäisellä yhtälöllä, lauseke saadaan. Ilmeisesti siinä ei ole järkeä, koska se sisältää jaon nollalla. Mistä päättelemme, että 0 on ulkopuolinen juuri. Siksi alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.

7, joka johtaa yhtälöön. Tästä voimme päätellä, että lausekkeen vasemman puolen nimittäjässä on oltava yhtä suuri kuin oikealta puolelta, eli . Nyt vähennetään kolmion molemmista osista: . Analogisesti mistä ja edelleen.

Tarkistus osoittaa, että molemmat löydetyt juuret ovat alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön juuria.

Vastaus:

Bibliografia.

• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. luokka: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.

"Rationaaliset yhtälöt polynomeilla" on yksi yleisimmin kohdatuista aiheista testitehtävät KÄYTÄ matematiikassa. Tästä syystä niiden toisto on annettava Erityistä huomiota. Monet opiskelijat kohtaavat ongelman löytää erottaja, siirtää indikaattoreita oikealta puolelta vasemmalle ja tuoda yhtälö yhteiselle nimittäjälle, mikä vaikeuttaa tällaisten tehtävien suorittamista. Rationaalisten yhtälöiden ratkaiseminen kokeeseen valmistautuessa verkkosivustollamme auttaa sinua selviytymään nopeasti kaiken monimutkaisista tehtävistä ja läpäisemään testin täydellisesti.

Valitse koulutusportaali "Shkolkovo" valmistautuaksesi onnistuneesti yhtenäiseen matematiikan kokeeseen!

Jos haluat tietää tuntemattomien laskentasäännöt ja saada oikeat tulokset helposti, käytä verkkopalveluamme. Portaali "Shkolkovo" on ainutlaatuinen alusta missä sitä tarvitaan KÄYTÄ materiaaleja. Opettajamme systematisoivat ja esittivät ymmärrettävässä muodossa kaikki matemaattiset säännöt. Lisäksi kutsumme koululaisia ​​kokeilemaan käsiään tyypillisten rationaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, joiden kantaa päivitetään ja täydennetään jatkuvasti.

Testaukseen valmistautumisen tehostamiseksi suosittelemme, että noudatat erikoismenetelmäämme ja aloitat toistamalla säännöt ja ratkaisemalla yksinkertaisia ​​tehtäviä, siirrytään vähitellen monimutkaisempiin. Siten valmistunut pystyy korostamaan itselleen vaikeimmat aiheet ja keskittymään opiskeluun.

Aloita valmistautuminen viimeiseen testaukseen Shkolkovon kanssa tänään, ja tulos ei jätä sinua odottamaan! Valitse helpoin esimerkki annetuista. Jos hallitset ilmaisun nopeasti, siirry vaikeampaan tehtävään. Voit siis parantaa osaamistasi matematiikan USE-tehtävien ratkaisemiseen profiilitasolla.

Koulutus on saatavilla paitsi Moskovasta valmistuneille, myös koululaisille muista kaupungeista. Vietä pari tuntia päivässä esimerkiksi portaalissamme opiskelemaan, ja pian pystyt selviytymään minkä tahansa monimutkaisista yhtälöistä!