Kun opiskelija tulee lukioon, matematiikka jaetaan kahteen aineeseen: algebraan ja geometriaan. Käsitteitä on enemmän ja enemmän, tehtävät ovat yhä vaikeampia. Joillakin ihmisillä on vaikeuksia ymmärtää murtolukuja. Ensimmäinen oppitunti tästä aiheesta jäi väliin, ja voila. murto-osat? Kysymys, joka vaivaa koko kouluelämääni.

Algebrallisen murtoluvun käsite

Aloitetaan määritelmästä. Alla algebrallinen murtoluku viittaa lausekkeisiin P/Q, joissa P on osoittaja ja Q on nimittäjä. Numero voi olla piilotettu kirjaimen alla, numeerinen lauseke, numeerinen kirjainlauseke.

Ennen kuin mietit algebrallisten murtolukujen ratkaisemista, sinun on ensin ymmärrettävä, että tällainen lauseke on osa kokonaisuutta.

Pääsääntöisesti kokonaisluku on 1. Nimittäjässä oleva luku näyttää kuinka moneen osaan yksikkö on jaettu. Osoittajaa tarvitaan, jotta saadaan selville, kuinka monta alkiota otetaan. Murtopalkki vastaa jakomerkkiä. Murtoluku on sallittua kirjoittaa matemaattisena operaationa "Jako". Tässä tapauksessa osoittaja on osinko, nimittäjä on jakaja.

Yleisten murtolukujen perussääntö

Kun opiskelijat opiskelevat tätä aihetta koulussa, heille annetaan esimerkkejä vahvistukseksi. Niiden ratkaisemiseksi ja löytämiseksi oikein eri tavoilla alkaen vaikeita tilanteita, sinun on käytettävä murtolukujen perusominaisuutta.

Se menee näin: Jos kerrot sekä osoittajan että nimittäjän samalla luvulla tai lausekkeella (muulla kuin nollalla), arvo murtoluku Ei muutu. Erikoinen tapaus sieltä tästä säännöstä on lausekkeen molempien puolien jako samalla luvulla tai polynomilla. Tällaisia ​​muunnoksia kutsutaan identtisiksi yhtälöiksi.

Alla tarkastellaan kuinka ratkaista algebrallisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku, kertominen, jakaminen ja vähentäminen.

Matemaattiset operaatiot murtoluvuilla

Katsotaan kuinka ratkaista, algebrallisen murtoluvun pääominaisuus ja kuinka sitä sovelletaan käytännössä. Jos sinun täytyy kertoa kaksi murtolukua, lisätä ne, jakaa toisella tai vähentää, sinun on aina noudatettava sääntöjä.

Näin ollen yhteen- ja vähennysoperaatioon on löydettävä lisätekijä, jotta lausekkeet saadaan yhteiseksi nimittäjäksi. Jos murtoluvut annetaan alun perin samoilla lausekkeilla Q, tämä kappale tulee jättää pois. Kun yhteinen nimittäjä on löydetty, kuinka ratkaiset algebralliset murtoluvut? Sinun on lisättävä tai vähennettävä osoittajia. Mutta! On muistettava, että jos murtoluvun edessä on "-" -merkki, kaikki osoittajassa olevat merkit ovat käänteisiä. Joskus sinun ei pitäisi tehdä mitään korvauksia tai matemaattisia operaatioita. Riittää, kun vaihdat merkkiä murtoluvun edessä.

Käsitettä käytetään usein mm vähentäviä fraktioita. Tämä tarkoittaa seuraavaa: jos osoittaja ja nimittäjä jaetaan lausekkeella, joka on eri kuin yksi (sama molemmilla osilla), saadaan uusi murtoluku. Osinko ja jakaja ovat aiempaa pienemmät, mutta murtolukujen perussäännöstä johtuen ne pysyvät samanlaisina kuin alkuperäisessä esimerkissä.

Tämän operaation tarkoituksena on saada uusi redusoitumaton lauseke. Tämä ongelma voidaan ratkaista vähentämällä osoittajaa ja nimittäjää suurimmalla yhteinen jakaja. Toiminta-algoritmi koostuu kahdesta kohdasta:

1. Etsitään gcd murtoluvun molemmille puolille.
2. Jakamalla osoittaja ja nimittäjä löydetyllä lausekkeella ja saamalla edellisen kanssa yhtä suuren redusoitumattoman murtoluvun.

Alla on taulukko, joka näyttää kaavat. Mukavuuden vuoksi voit tulostaa sen ja kuljettaa sitä mukanasi muistikirjassa. Kuitenkin, jotta tulevaisuudessa koetta tai tenttiä ratkaistaessa ei olisi vaikeuksia algebrallisten murtolukujen ratkaisemisessa, nämä kaavat on opittava ulkoa.

Useita esimerkkejä ratkaisuineen

Teoreettisesta näkökulmasta tarkastellaan kysymystä algebrallisten murtolukujen ratkaisemisesta. Artikkelissa annetut esimerkit auttavat sinua ymmärtämään materiaalia paremmin.

1. Muunna murtoluvut ja yhdistä ne yhteiseen nimittäjään.

2. Muunna murtoluvut ja tuo ne yhteiseen nimittäjään.

Teoreettisen osan opiskelun ja harkinnan jälkeen käytännön asioita ei pitäisi olla enempää.

Se perustuu niiden perusominaisuuteen: jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla ei-nollapolynomilla, saadaan yhtä suuri murto-osa.

Voit vain vähentää kertoimia!

Polynomien jäseniä ei voi lyhentää!

Algebrallisen murtoluvun pienentämiseksi osoittajan ja nimittäjän polynomit on ensin otettava kertoimella.

Katsotaanpa esimerkkejä murtolukujen pienentämisestä.

Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät monomialeja. He edustavat tehdä työtä(luvut, muuttujat ja niiden potenssit), kertoimet voimme vähentää.

Vähennämme lukuja niiden suurimmalla yhteisellä jakajalla, eli niiden suurimmalla suurempi määrä, jolla kukin näistä luvuista on jaettu. 24:lle ja 36:lle tämä on 12. Vähennyksen jälkeen 2 jää 24:stä ja 3 36:sta.

Vähennämme asteita sillä asteella, jolla on pienin indeksi. Murtoluvun pienentäminen tarkoittaa osoittajan ja nimittäjän jakamista samalla jakajalla ja eksponentien vähentämistä.

a² ja a⁷ pienennetään arvoiksi a². Tässä tapauksessa a²:n osoittajaan jää yksi (kirjoitamme 1 vain siinä tapauksessa, että pelkistyksen jälkeen ei ole jäljellä muita tekijöitä. 24:stä jää 2, joten emme kirjoita 1:tä jäljellä a²:stä). A7:sta jää jäljelle pelkistyksen jälkeen a5.

b ja b pienennetään b:llä; tuloksena olevia yksiköitä ei kirjoiteta.

c3º ja c5 lyhennetään c5:ksi. Se, mikä jää jäljelle c³º:sta, on c²⁵, c⁵:stä yksi (emme kirjoita sitä). Täten,

Tämän algebrallisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja. Et voi peruuttaa polynomien termejä! (et voi pienentää esim. 8x² ja 2x!). Tämän osuuden pienentämiseksi tarvitset . Osoittajalla on yhteinen kerroin 4x. Otetaan se pois suluista:

Sekä osoittajalla että nimittäjällä on sama kerroin (2x-3). Vähennämme murto-osaa tällä kertoimella. Osoittajassa saimme 4x, nimittäjässä - 1. Algebrallisten murtolukujen 1 ominaisuuden mukaan murtoluku on 4x.

Voit vain vähentää tekijöitä (et voi pienentää tätä murto-osaa 25x²!). Siksi murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä olevat polynomit on kerrottava.

Osoittaja on summan täydellinen neliö, nimittäjä on neliöiden erotus. Lyhennetyillä kertolaskukaavoilla tehdyn hajottamisen jälkeen saamme:

Pienennämme murtolukua (5x+1) (tätä varten yliviivaa osoittajasta kaksi eksponenttia, jolloin jää (5x+1)² (5x+1)):

Osoittajalla on yhteinen kerroin 2, otetaan se pois suluista. Nimittäjä on kuutioiden eron kaava:

Laajennuksen seurauksena osoittaja ja nimittäjä saivat saman kertoimen (9+3a+a²). Vähennämme murto-osaa sillä:

Osoittimen polynomi koostuu 4 termistä. ensimmäinen termi toisella, kolmas neljännellä ja poista yhteinen tekijä x² ensimmäisistä suluista. Jaamme nimittäjän käyttämällä kuutioiden summakaavaa:

Otetaan osoittajassa yhteinen kerroin (x+2) suluista:

Pienennä murtolukua (x+2):

Tavoitteet:

1. Koulutuksellinen- lujittaa hankittuja tietoja ja taitoja algebrallisten murtolukujen pelkistämisestä monimutkaisempia tehtäviä ratkottaessa, käyttämällä polynomin tekijöitä eri tavoilla ja kehittää kykyä pelkistää algebrallisia murtolukuja. Toista lyhennetyt kertolaskukaavat: (a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 =2-2ab+b 2,a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) ryhmittelytapa, yhteisen tekijän sijoittaminen sulkeisiin.

2. Kehittävä – loogisen ajattelun kehittäminen tietoiseen havaintoon koulutusmateriaalia, huomio, oppilaiden aktiivisuus oppitunnilla.

3. Koulutus - kognitiivisen toiminnan koulutus, muodostuminen henkilökohtaiset ominaisuudet: ajatusten sanallisen ilmaisun tarkkuus ja selkeys; keskittyminen ja huomio; sinnikkyyttä ja vastuullisuutta, positiivista opiskelumotivaatiota, tarkkuutta, tunnollisuutta ja vastuuntuntoa.

Tehtävät:

1. Vahvista tutkittua materiaalia muuttamalla tämän aiheen työtyyppejä "Algebrallinen murtoluku. Murtolukujen pienentäminen."

2. Kehitä taitoja ja kykyjä algebrallisten murtolukujen vähentämisessä eri tavoilla osoittajan ja nimittäjän kertoimet, kehittää looginen ajattelu, oikeaa ja osaavaa matemaattista puhetta, itsenäisyyden ja luottamuksen kehittymistä omaan tietoon ja taitoihin suorituksessa eri tyyppejä toimii

3. Kasvata kiinnostusta matematiikkaa kohtaan ottamalla käyttöön erilaisia ​​aineiston yhdistämismuotoja: suullinen työ, työskentely oppikirjan kanssa, työ taulun ääressä, matemaattinen sanelu, koe, itsenäinen työ, peli "Math Tournament"; kannustaa ja kannustaa opiskelijatoimintaa.

Suunnitelma:
minä Ajan järjestäminen.
II . Suullinen työ.
III. Matemaattinen sanelu.
IV.
1.Työskentele oppikirjan mukaan ja taulun ääressä.
2. Työskentele ryhmissä korteilla - peli "Math Tournament".
3. Itsenäinen työ tasojen mukaan (A, B, C).
V. Bottom line.
1. Testi (keskinäinen todentaminen).
VI. Kotitehtävät.

Tuntien aikana:

I. Organisatorinen hetki.

Opettajan ja oppilaiden tunnetunnelma ja valmius oppitunnille. Oppilaat asettavat tälle oppitunnille tavoitteet ja tavoitteet opettajan ohjaavien kysymysten perusteella, määrittävät oppitunnin aiheen.

II. Suullinen työ.

1. Pienennä fraktioita:

2. Etsi algebrallisen murtoluvun arvo:
kun c = 8, c = -13, c = 11.
Vastaus: 6; -1; 3.

3. Vastaa kysymyksiin:

1) Mikä on hyödyllinen järjestys polynomeja laskettaessa?
(Polynomeja laskettaessa kannattaa noudattaa seuraavaa järjestystä: a) laita yhteinen kerroin pois suluista, jos sellainen on; b) yritä kertoa polynomi käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja; c) yritä soveltaa ryhmittelymenetelmää, jos edelliset menetelmät eivät johtaneet tavoitteeseen).

2) Mikä on summan neliö?
(Kahden luvun summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen luvun tulo plus toisen luvun neliö).

3) Mikä on eron neliö?
(Kahden luvun erotuksen neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö miinus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen luvun tulo plus toisen luvun neliö).

4) Mitä eroa on kahden luvun neliöillä?
(Kahden luvun neliöiden välinen ero on yhtä suuri kuin näiden lukujen ja niiden summan välisen eron tulo).

5) Mitä tulee tehdä ryhmittelymenetelmää käytettäessä? (Jotta polynomi kerrotaan ryhmittelymenetelmällä, sinun on: a) yhdistettävä polynomin jäsenet ryhmiksi, joilla on yhteinen tekijä polynomin muodossa; b) poista tämä yhteinen tekijä suluista).
6) Yhteisen tekijän poistamiseksi suluista tarvitset......?
(Etsi tämä yhteinen tekijä; 2. laita se pois suluista).

7) Mitä menetelmiä tiedät polynomin kertomisesta?
(Yleisen kertoimen jättäminen pois suluista, ryhmittelytapa, lyhennetyt kertolaskukaavat).

8) Mitä tarvitaan murto-osan pienentämiseen?
(Voit pienentää murtolukua jakamalla osoittajan ja nimittäjän niiden yhteisellä kertoimella.)

III. Matemaattinen sanelu.

1. Alleviivaa algebralliset murtoluvut:

Vaihtoehto I:

Vaihtoehto II:

1. Onko mahdollista kuvitella ilmaisua

Vaihtoehto I:

Vaihtoehto II:

polynomina? Voitko kuvitella?

3. Mitkä kirjainarvot ovat hyväksyttäviä lausekkeelle:
Vaihtoehto I:

Vaihtoehto II:
(x-5) (x+7).

4. Kirjoita algebrallinen murtoluku osoittajalla
Vaihtoehto I:
3x2.
Vaihtoehto II:
5v.
ja nimittäjä

Vaihtoehto I:
x(x+3).
Vaihtoehto II:
y 2 (y+7).
ja lyhentää sitä.

IV. Aiheen konsolidointi: "Algebrallinen murtoluku. Pienentävät murtoluvut":

1.Työskentele oppikirjan mukaan ja taulun ääressä.

Kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ja vähennetään sitä.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. Työskentele ryhmissä korteilla - peli "Math Tournament".

(Pelin tehtävät - "Liite 1".)
Taitojen vahvistaminen ja testaus tämän aiheen esimerkkien ratkaisemisessa tapahtuu turnauksen muodossa. Luokka on jaettu ryhmiin ja heille jaetaan tehtäviä korteilla (eritasoiset kortit).
Kautta tietty aika, jokaisen opiskelijan tulee kirjoittaa muistiin tiiminsä tehtävien ratkaisu vihkoon ja osata selittää ne.
Neuvottelut joukkueen sisällä ovat sallittuja (kapteenin johdolla).
Sitten turnaus alkaa: jokaisella joukkueella on oikeus haastaa toiset, mutta vain kerran. Esimerkiksi ensimmäisen joukkueen kapteeni kutsuu toisen joukkueen opiskelijat osallistumaan turnaukseen; Toisen joukkueen kapteeni tekee samoin, he menevät laudalle, vaihtavat kortteja ja ratkaisevat ongelmia jne.

3. Itsenäinen työskentely tasoilla (A, B, C)

"Didaktinen materiaali" L.I. Zvavich et al., s. 95, C-52 (kirja on kaikkien opiskelijoiden saatavilla)
A . №1: I vaihtoehto-1) a, b; 2) a, c; 5) a.
II vaihtoehto-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: Vaihtoehto I - a.
Vaihtoehto II - b.
SISÄÄN . №3: Vaihtoehto I - a.
Vaihtoehto II - b.

V. Bottom line.

1. Testi (keskinäinen todentaminen).
(Kokeen tehtävät - "Liite 2".)
(korteilla jokaiselle opiskelijalle, vaihtoehtojen mukaan)

VI. Kotitehtävät.

1) "D.M." sivu 95 nro 1. (3,4,6);
2) nro 447 (parillinen);
3) §24, toista § 19 - §23.

Algebralliset murtoluvut näyttävät ensi silmäyksellä hyvin monimutkaisilta, ja valmistautumaton opiskelija saattaa ajatella, ettei niillä voi tehdä mitään. Muuttujien, numeroiden ja jopa asteiden kerääntyminen herättää pelkoa. Samoja sääntöjä käytetään kuitenkin yhteisten murtolukujen (kuten 15/25) ja algebrallisten murtolukujen pienentämiseen.

Askeleet

Murtolukujen vähentäminen

Tutustu toimintaan kanssa yksinkertaisia ​​murtolukuja. Operaatiot tavallisten ja algebrallisten murtolukujen kanssa ovat samanlaisia. Otetaan esimerkiksi murto-osa 15/35. Tämän murtoluvun yksinkertaistamiseksi sinun pitäisi löytää yhteinen jakaja. Molemmat luvut ovat jaollisia viidellä, joten voimme erottaa 5 osoittajassa ja nimittäjässä:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Nyt voit vähentää yhteisiä tekijöitä, eli yliviivaa 5 osoittajasta ja nimittäjästä. Tuloksena saamme yksinkertaistetun murto-osan 3/7 . SISÄÄN algebrallisia lausekkeita yhteiset tekijät allokoidaan samalla tavalla kuin tavallisissa. Edellisessä esimerkissä pystyimme helposti valitsemaan viisi 15:stä - sama periaate pätee useampaankin monimutkaisia ​​ilmaisuja, kuten 15x – 5. Etsitään yhteinen tekijä. Tässä tapauksessa se on 5, koska molemmat termit (15x ja -5) ovat jaollisia 5:llä. Valitse yhteinen tekijä ja siirrä sitä kuten aiemmin. vasemmalle.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Tarkistaaksesi, onko kaikki oikein, kerro vain suluissa oleva lauseke viidellä - tuloksena on samat numerot kuin alussa. Monimutkaiset jäsenet voidaan eristää samalla tavalla kuin yksinkertaiset. Algebrallisiin murtolukuihin sovelletaan samoja periaatteita kuin tavallisiin murtolukuihin. Tämä on helpoin tapa pienentää murto-osaa. Harkitse seuraavaa murto-osaa:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Huomaa, että sekä osoittaja (ylhäällä) että nimittäjä (alhaalla) sisältävät termin (x+2), joten sitä voidaan pienentää samalla tavalla kuin yhteistä kerrointa 5 murtoluvussa 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Tuloksena saadaan yksinkertaistettu lauseke: (x-3)/(x+10)

Algebrallisten murtolukujen vähentäminen

Etsi yhteinen tekijä osoittajasta, toisin sanoen murtoluvun yläosasta. Algebrallista murtolukua pienennettäessä ensimmäinen askel on yksinkertaistaa molempia puolia. Aloita osoittajalla ja yritä ottaa se huomioon mahdollisimman monessa tekijässä. Harkitse tässä osiossa seuraavaa murtolukua:

9x-3 15x+6

Aloitetaan osoittajalla: 9x – 3. 9x:lle ja -3:lle yhteinen tekijä on luku 3. Otetaan 3 suluista, kuten tavallisilla luvuilla tehdään: 3 * (3x-1). Tämän muunnoksen tulos on seuraava murto-osa:

3 (3x-1) 15x+6

Etsi osoittajasta yhteinen tekijä. Jatketaan yllä olevalla esimerkillä ja kirjoitetaan nimittäjä: 15x+6. Kuten ennenkin, selvitetään millä luvulla molemmat osat ovat jaollisia. Ja tässä tapauksessa yhteinen tekijä on 3, joten voimme kirjoittaa: 3 * (5x +2). Kirjoitetaan murto uudelleen seuraavassa muodossa:

3 (3x-1) 3(5x+2)

Lyhennä samoja termejä. Tässä vaiheessa voit yksinkertaistaa murto-osaa. Peruuta samat termit osoittajassa ja nimittäjässä. Esimerkissämme tämä luku on 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Määritä, että murtoluvulla on yksinkertaisin muoto. Murtoluku yksinkertaistuu täysin, kun osoittajassa ja nimittäjässä ei ole enää yhteisiä tekijöitä. Huomaa, että et voi peruuttaa termejä, jotka näkyvät suluissa - yllä olevassa esimerkissä ei voi eristää x:ää luvuista 3x ja 5x, koska täydelliset termit ovat (3x -1) ja (5x + 2). Näin ollen murto-osaa ei voida yksinkertaistaa enempää, ja lopullinen vastaus on seuraava:

(3x-1)(5x+2)

Harjoittele murtolukujen pienentämistä itse. Paras tapa Menetelmän hallitseminen on ongelmien itsenäistä ratkaisemista. Oikeat vastaukset on annettu esimerkkien alla.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Vastaus:(x=13)

2x 2-x 5x

Vastaus:(2x-1)/5

Erikoisliikkeet

Aseta negatiivinen merkki murtoluvun ulkopuolelle. Oletetaan, että sinulle annetaan seuraava murtoluku:

3(x-4) 5 (4-x)

Huomaa, että (x-4) ja (4-x) ovat "melkein" identtisiä, mutta niitä ei voi pienentää heti, koska ne ovat "käänteisiä". Kuitenkin (x - 4) voidaan kirjoittaa muodossa -1 * (4 - x), aivan kuten (4 + 2x) voidaan kirjoittaa muodossa 2 * (2 + x). Tätä kutsutaan "merkin käänteiseksi".

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Nyt voit pienentää identtisiä termejä (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Joten, saamme lopullisen vastauksen: -3/5 . Opi tunnistamaan neliöiden välinen ero. Neliöiden ero on, kun yhden luvun neliö vähennetään toisen luvun neliöstä, kuten lausekkeessa (a 2 - b 2). Täydellisten neliöiden ero voidaan aina jakaa kahteen osaan - summaan ja vastaavan erotukseen neliöjuuret. Sitten lauseke saa seuraavan muodon:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Tämä tekniikka on erittäin hyödyllinen, kun etsitään yleisiä termejä algebrallisista murtoluvuista.

• Tarkista, oletko laskenut tämän tai toisen lausekkeen oikein. Voit tehdä tämän kertomalla tekijät - tuloksen tulisi olla sama lauseke.
• Yksinkertaistaaksesi murto-osan kokonaan, eristä aina suurimmat tekijät.