Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan: "malli (lat. modulus - mitta) on alkuperäisen objektin objektin korvike, joka tarjoaa alkuperäisen joidenkin ominaisuuksien tutkimisen." (s. 6) "Osen korvaamista toisella saadakseen tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla kutsutaan mallintamiseksi." (s. 6) "Matemaattisessa mallinnuksessa ymmärrämme prosessin, jossa muodostetaan vastaavuus tietylle matemaattiselle objektille, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, joka mahdollistaa tarkasteltavan todellisen kohteen ominaisuuksien saamisen . Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että kohteen tutkimisen tehtävistä sekä tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee ajatuksen».

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista on:

ja niin edelleen. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: keskittyneet yhdessä suhteessa (parametrien suhteen), hajautetut mallit toisessa jne.

Luokittelu objektin esittämistavan mukaan

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla ne edustavat objektia:

Rakenteelliset tai toiminnalliset mallit

Rakennemallit edustaa esinettä järjestelmänä, jolla on oma laite ja toimintamekanismi. toiminnallisia mallejaÄlä käytä tällaisia esityksiä ja heijastaa vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä (toimintaa). Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "mustan laatikon" malleiksi. Myös yhdistetyt mallityypit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "malleiksi" harmaa laatikko».

Sisältö ja muodolliset mallit

Melkein kaikki matemaattisen mallinnuksen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ideaalirakenne, sisältömalli. Täällä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanteellista objektia Havainnemalli , spekulatiivinen malli tai esimalli. Tässä tapauksessa lopullinen matemaattinen konstruktio kutsutaan muodollinen malli tai vain tämän sisältömallin formalisoinnin tuloksena saatu matemaattinen malli (esimalli). Mielekäs malli voidaan rakentaa käyttämällä valmiita idealisaatioita, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneosia mielekkääseen mallinnukseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita (fysiikka, biologia, taloustiede, sosiologia, psykologia ja useimmat muut alat), mielekkäiden mallien luominen on dramaattisesti monimutkaisempaa.

Mielekäs mallien luokittelu

Mitään tieteen hypoteesia ei voida todistaa lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina kyky kumota teoria, mutta huomaa, että emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että esität onnistuneen hypoteesin, lasket mihin se johtaa ja huomaat, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, ettet pystynyt kumoamaan sitä.

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voidaan keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida riittävästi vahvistaa saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin yhtäpitävä esineestä saatavilla olevien teorioiden ja kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin toiseen tyyppiin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uudet tiedot ja teoriat vahvistavat fenomenologisia malleja ja ne nousevat hypoteesin asemaan. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin mallien-hypoteesien kanssa ja siirtyä toiseen. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa se siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat siirtyneet tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls erottaa mallinnuksen kolme tyyppiä yksinkertaistamista.

Tyyppi 3: Lähentäminen (jotain pidetään erittäin suurena tai erittäin pienenä)

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleinen tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö (tyypin 3 mallit). Heidän joukossa lineaariset vastemallit. Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Tavallinen esimerkki on Ohmin laki.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Nämä ovat myös ajatuskokeita. kuvitteellisten entiteettien kanssa, jotka osoittavat sen oletettu ilmiö perusperiaatteiden mukainen ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero tyypin 7 malleista, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista näistä kokeista on Lobatševskin geometria (Lobatševski kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"). Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. muodollisesti kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi. kvanttimekaniikka. Täysin suunnittelemattomalla tavalla siitä tuli lopulta tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Esimerkki

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja jousen vapaaseen päähän kiinnitetystä massakuormasta. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suuntaan (esimerkiksi liike tapahtuu tankoa pitkin). Tehdään tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyydellä kuorman keskipisteestä sen tasapainoasentoon. Kuvataan jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken laki() jonka jälkeen käytämme Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa toista derivaattia ajan suhteen: .

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisprosessissa teimme monia oletuksia (ulkoisten voimien puuttumisesta, kitkan puuttumisesta, poikkeamien pienuudesta jne.), jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuudessa tämä on useimmiten tyypin 4 malli. yksinkertaistaminen("jätämme pois joitain yksityiskohtia selvyyden vuoksi"), koska joitakin olennaisia universaaleja piirteitä (esimerkiksi hajoaminen) jätetään pois. Jossain likiarvossa (esim. kun kuorman poikkeama tasapainosta on pieni, vähäkitkaisena, ei liian pitkäksi ajaksi ja tietyissä muissa olosuhteissa) tällainen malli kuvaa varsin hyvin todellista mekaanista järjestelmää, koska hylätyt tekijät sillä on mitätön vaikutus sen käyttäytymiseen. Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi (joskin jälleen rajoitettu) soveltamisala.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein yksinkertaisempi malli mahdollistaa todellisen järjestelmän tutkimisen paremmin ja syvemmälle kuin monimutkaisempi (ja muodollisesti "oikeampi") malli.

Jos käytämme harmonista oskillaattorimallia objekteihin, jotka ovat kaukana fysiikasta, sen merkityksellinen tila voi olla erilainen. Esimerkiksi kun tätä mallia sovelletaan biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin liittää tyyppiin 6 analogia("Otetaan huomioon vain jotkin ominaisuudet").

Kovia ja pehmeitä malleja

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä - jokin toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venytysasteesta - jokin pieni parametri. Toiminnon selkeä muoto ei kiinnosta meitä tällä hetkellä. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan poikkea kovan mallin käyttäytymisestä (riippumatta häiritsevien tekijöiden eksplisiittisestä muodosta, jos ne ovat riittävän pieniä), ongelma rajoittuu kovan mallin tutkimiseen. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattorin yhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita, eli värähtelyjä, joiden amplitudi on vakio. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee loputtomasti vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon järjestelmä, jossa on mielivaltaisen pieni kitka (joka on aina läsnä todellisessa järjestelmässä), saamme vaimennetut värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut laadullisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienessä häiriössä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta (ei-karkeasta) järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin käyttää prosessien tutkimiseen rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallien yleismaailmallisuus

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä ominaisuus universaalisuus: olennaisesti erilaisia todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori kuvaa jousen kuorman käyttäytymisen lisäksi myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen pinnan vaihteluita muotoillussa astiassa tai virran voimakkuuden muutos värähtelevässä piirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Tämä on matemaattisten mallien eri segmenttien lakien isomorfismi tieteellinen tietämys, Ludwig von Bertalanffyn saavutus "Yleisen järjestelmäteorian" luomisessa.

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallintamiseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnettavan kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu levyjen ja monimutkaisempien runkojen järjestelmäksi erilaisia materiaaleja, jokainen materiaali määritellään sen standardinmukaiseksi mekaaniseksi idealisoinniksi (tiheys, kimmomoduulit, vakiolujuusominaisuudet), minkä jälkeen laaditaan yhtälöt, matkan varrella jotkin yksityiskohdat hylätään merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, jalostetaan mallia, ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora ongelma: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on tutkia mallia hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Mitä staattista kuormitusta silta kestää? Miten se reagoi dynaamiseen kuormaan (esimerkiksi sotilaskomppanian marssiin tai junan kulkuun eri nopeuksilla), kuinka lentokone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen (oikean kysymyksen esittäminen) vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Iso-Britanniassa romahti metallisilta Tey-joen yli, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvamarginaaliksi, mutta unohtivat jatkuvasti puhaltavat tuulet. niitä paikkoja. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa (esimerkiksi yksi oskillaattoriyhtälö) suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: monia mahdollisia malleja tunnetaan, on tarpeen valita tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne tunnetaan ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. lisäinformaatio voi koostua empiirisista lisätiedoista tai objektia koskevista vaatimuksista ( suunnittelutehtävä). Lisätietoa voi tulla päätöksentekoprosessista riippumatta käänteinen ongelma (passiivinen havainto) tai olla ratkaisun aikana erityisesti suunnitellun kokeen tulos ( aktiivinen valvonta).

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien rekonstruoimiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

Toinen esimerkki on matemaattiset tilastot. Tämän tieteen tehtävänä on kehittää menetelmiä havainnointi- ja kokeellisen tiedon tallentamiseksi, kuvaamiseksi ja analysoimiseksi, jotta voidaan rakentaa todennäköisyysmalleja massasatunnaisista ilmiöistä. Nuo. mahdollisten mallien joukkoa rajoittavat todennäköisyysmallit. Tietyissä ongelmissa mallien joukko on rajallisempi.

Tietokonesimulaatiojärjestelmät

Matemaattisen mallintamisen tukemiseksi on kehitetty tietokonematemaattisia järjestelmiä, esimerkiksi Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim jne. Niiden avulla voit luoda muodollisia ja lohkomalleja sekä yksinkertaisista että monimutkaisista prosesseista ja laitteista sekä muuttaa malliparametreja helposti niiden aikana. simulointi. Block mallit on esitetty lohkoilla (useimmiten graafisilla), joiden joukko ja yhteys on määritelty mallikaaviossa.

Muita esimerkkejä

Malthus malli

Kasvuvauhti on verrannollinen nykyiseen väestömäärään. Sitä kuvataan differentiaaliyhtälöllä

jossa on tietty parametri, jonka määrittää syntyvyyden ja kuolleisuuden välinen ero. Tämän yhtälön ratkaisu on eksponentiaalinen funktio. Jos syntyvyys ylittää kuolleisuuden (), väestön koko kasvaa loputtomasti ja hyvin nopeasti. On selvää, että todellisuudessa näin ei voi tapahtua rajallisten resurssien vuoksi. Kun tietty kriittinen populaatiokoko saavutetaan, malli lakkaa olemasta riittävä, koska se ei ota huomioon rajallisia resursseja. Malthus-mallin jalostuksena voi olla logistinen malli, jota kuvaa Verhulstin differentiaaliyhtälö.

missä on "tasapaino" väestön koko, jossa kuolleisuus kompensoi täsmälleen syntyvyyden. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon , ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti vakaata.

peto-saalisjärjestelmä

Oletetaan, että tietyllä alueella elää kahdenlaisia eläimiä: kaneja (syövät kasveja) ja kettuja (syövät kaneja). Olkoon kanien lukumäärä, kettujen määrä. Käyttämällä Malthus-mallia tarvittavin korjauksin, ottaen huomioon kettujen syömät kanit, päädymme seuraavaan järjestelmään, joka on nimetty tarjotinmallit - Volterra:

Tässä järjestelmässä on tasapainotila, jossa kanien ja kettujen määrä on vakio. Tästä tilasta poikkeaminen johtaa kanien ja kettujen lukumäärän vaihteluihin, jotka ovat samanlaisia kuin harmonisen oskillaattorin vaihtelut. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti stabiilia: pieni muutos mallissa (esimerkiksi ottaen huomioon kanien tarvitsemat rajalliset resurssit) voi johtaa laadulliseen käyttäytymisen muutokseen. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja väestönvaihtelut hiipuvat. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu, Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Huomautuksia

"Todellisuuden matemaattinen esitys" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., Kyberneettisen mallinnuksen filosofisista kysymyksistä. M., Knowledge, 1964.
Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Järjestelmämallinnus: Proc. yliopistoille - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matemaattinen mallinnus. Ideoita. menetelmät. Esimerkkejä. - 2. painos, korjattu. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Mallintaminen teknisiä prosesseja: oppikirja / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. - M.: Kevyt- ja elintarviketeollisuus, 1984. - 344 s.
Wikisanakirja: matemaattiset mallit
CliffsNotes.com. Maantieteen sanasto. 20. syyskuuta 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity-sarja, Berliini-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
"Teoriaa pidetään lineaarisena tai epälineaarisena riippuen siitä, mitä - lineaarista tai epälineaarista - matemaattista laitteistoa, mitä - lineaarisia tai epälineaarisia - matemaattisia malleja se käyttää. ... jälkimmäistä kieltämättä. Moderni fyysikko, jos hän satuisi määrittelemään uudelleen niin tärkeän kokonaisuuden kuin epälineaarisuus, toimisi todennäköisesti eri tavalla, ja pitäessään parempana epälineaarisuutta tärkeimpänä ja yhteisenä kahdesta vastakohdasta, määrittelisi lineaarisuuden "epälineaariseksi" lineaarisuus". Danilov Yu.A., Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen esittely. Synergia: menneisyydestä tulevaisuuteen. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
”Dynaamisia järjestelmiä, jotka on mallinnettu rajallisella määrällä tavallisia differentiaaliyhtälöitä, kutsutaan pistejärjestelmiksi. Niitä kuvataan äärellisulotteisen vaiheavaruuden avulla ja niille on ominaista äärellinen määrä vapausasteita. Yhtä ja samaa järjestelmää eri olosuhteissa voidaan pitää joko keskittyneenä tai hajautettuna. Hajautettujen järjestelmien matemaattiset mallit ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, integraaliyhtälöitä tai tavallisia viiveyhtälöitä. Hajautetun järjestelmän vapausasteiden määrä on ääretön, ja se vaaditaan ääretön luku tietoja sen tilan määrittämiseksi. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, nro 11, s. 77-84.
”Riippuen järjestelmän S tutkittujen prosessien luonteesta, kaikki mallintamisen tyypit voidaan jakaa deterministiseen ja stokastiseen, staattiseen ja dynaamiseen, diskreettiin, jatkuvaan ja diskreetti-jatkuvaan. Deterministinen simulaatio näyttää deterministisiä prosesseja, eli prosesseja, joissa oletetaan satunnaisten vaikutusten puuttumista; stokastinen mallinnus näyttää todennäköisyysprosesseja ja tapahtumia. … Staattista mallinnusta käytetään kuvaamaan kohteen käyttäytymistä milloin tahansa, kun taas dynaaminen mallinnus heijastaa objektin käyttäytymistä ajan kuluessa. Diskreetti mallinnus kuvaa prosesseja, jotka oletetaan diskreeteiksi, vastaavasti jatkuvalla mallinnuksella voit heijastaa jatkuvia prosesseja järjestelmissä ja diskreetti-jatkuvaa mallinnusta käytetään tapauksissa, joissa halutaan korostaa sekä diskreettien että jatkuvien prosessien olemassaoloa. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Yleensä matemaattinen malli heijastaa mallinnettavan kohteen rakennetta (sijoittelua), tämän objektin komponenttien tutkimuksen kannalta oleellisia ominaisuuksia ja yhteyksiä; tällaista mallia kutsutaan rakenteelliseksi. Jos malli heijastaa vain sitä, miten kohde toimii - esimerkiksi kuinka se reagoi ulkoisiin vaikutuksiin -, sitä kutsutaan toiminnalliseksi tai kuvaannollisesti mustaksi laatikoksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
”Ilmeinen, mutta tärkein matemaattisen mallin rakentamisen tai valinnan alkuvaihe on saada mahdollisimman selväksi mallinnettava kohde ja jalostaa sen sisältömallia epävirallisten keskustelujen pohjalta. Tässä vaiheessa ei kannata säästää aikaa ja vaivaa, siitä riippuu pitkälti koko tutkimuksen onnistuminen. Useammin kuin kerran tapahtui, että matemaattisen ongelman ratkaisemiseen käytetty huomattava työ osoittautui tehottomaksi tai jopa hukkaan, koska asian tähän puoleen ei kiinnitetty riittävästi huomiota. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
« Järjestelmän käsitteellisen mallin kuvaus. Tässä järjestelmämallin rakentamisen alivaiheessa: a) käsitteellinen malli M kuvataan abstraktein termein ja käsittein; b) mallin kuvaus annetaan käyttäen tyypillisiä matemaattisia kaavioita; c) hypoteesit ja oletukset hyväksytään lopulta; d) todellisten prosessien approksimointimenettelyn valinta mallia rakennettaessa on perusteltu. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Järjestelmämallinnus: Proc. yliopistoille - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Soveltava matematiikka: Aihe, logiikka, lähestymistapojen ominaisuudet. Esimerkkejä mekaniikasta: Opastus. - 3. painos, Rev. ja ylimääräistä - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, luku 2.

LUENTOMUISTIINPANOT

Nopeudella

"Koneiden ja kuljetusjärjestelmien matemaattinen mallintaminen"

Kurssilla käsitellään matemaattiseen mallinnukseen liittyviä kysymyksiä, matemaattisten mallien esitystapaa ja -periaatetta. Tarkastellaan numeerisia menetelmiä yksiulotteisten epälineaaristen järjestelmien ratkaisemiseksi. Käsitellään tietokonemallinnuksen ja laskennallisen kokeilun kysymyksiä. Menetelmiä tieteellisten tai teollisten kokeiden tuloksena saatujen tietojen käsittelemiseksi harkitaan; erilaisten prosessien tutkimus, esineiden, prosessien ja järjestelmien käyttäytymismallien tunnistaminen. Tarkastellaan kokeellisten tietojen interpolointi- ja approksimaatiomenetelmiä. Käsitellään tietokonesimulaatioon ja epälineaaristen dynaamisten järjestelmien ratkaisuun liittyviä kysymyksiä. Erityisesti tarkastellaan numeerisen integroinnin menetelmiä ja tavallisten ensimmäisen, toisen ja korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja.

Luento: Matemaattinen mallinnus. Matemaattisten mallien esitysmuoto ja periaatteet

Luento kattoi yleisiä kysymyksiä matemaattinen mallinnus. Matemaattisten mallien luokittelu on annettu.

Tietokoneet ovat tulleet tiukasti elämäämme, eikä käytännössä ole sellaista ihmisen toiminnan aluetta, jossa tietokoneita ei käytettäisi. Tietokoneita käytetään nykyään laajalti uusien koneiden, uusien teknisten prosessien luomisessa ja tutkimisessa sekä niiden optimaalisten vaihtoehtojen etsimisessä; kun ratkaistaan taloudellisia ongelmia, ratkaistaessa tuotannon suunnittelun ja johtamisen ongelmia eri tasoilla. Suurten esineiden luominen rakettialalla, lentokoneiden rakentamisessa, laivanrakennuksessa sekä patojen, siltojen jne. suunnittelussa on yleensä mahdotonta ilman tietokoneiden käyttöä.

Jotta tietokonetta voitaisiin käyttää sovellettujen ongelmien ratkaisemisessa, sovellettu ongelma on ensin "käännettävä" muodolliseksi matemaattiseksi kieleksi, ts. todellista esinettä, prosessia tai järjestelmää varten on rakennettava sen matemaattinen malli.

Sana "malli" tulee latinan sanasta modus (kopio, kuva, ääriviiva). Mallintaminen on jonkin kohteen A korvaamista toisella objektilla B. Korvattua objektia A kutsutaan alkuperäiseksi tai mallinnusobjektiksi ja korvaavaa objektia B malliksi. Toisin sanoen malli on alkuperäisen kohteen korvaava objekti, joka tarjoaa alkuperäisen joidenkin ominaisuuksien tutkimuksen.

Mallintamisen tarkoituksena on hankkia, käsitellä, esittää ja käyttää tietoa objekteista, jotka ovat vuorovaikutuksessa keskenään ja ulkoinen ympäristö; ja malli toimii tässä keinona tietää kohteen ominaisuudet ja käyttäytymismallit.

Mallintamista käytetään laajasti ihmisen toiminnan eri osa-alueilla, erityisesti suunnittelun ja johtamisen aloilla, joissa saadun tiedon perusteella tehok- kaiden päätösten prosessit ovat erityisiä.

Malli rakennetaan aina tiettyä tavoitetta ajatellen, mikä vaikuttaa siihen, mitkä objektiivisen ilmiön ominaisuudet ovat merkittäviä ja mitkä eivät. Malli on ikään kuin objektiivisen todellisuuden projektio tietystä näkökulmasta. Joskus tavoitteista riippuen voit saada useita objektiivisen todellisuuden ennusteita, jotka joutuvat ristiriitaan. Tämä on yleensä tyypillistä monimutkaisille järjestelmille, joissa jokainen projektio erottaa tietyn tarkoituksen kannalta olennaisen joukosta ei-olennaisia.

Mallinnusteoria on tieteenala, joka tutkii tapoja tutkia alkuperäisten esineiden ominaisuuksia korvaamalla ne muilla malliobjekteilla. Samankaltaisuusteoria on mallinnuksen teorian taustalla. Mallinnuksessa absoluuttista samankaltaisuutta ei tapahdu ja pyritään vain varmistamaan, että malli heijastaa riittävän hyvin kohteen toiminnan tutkittua puolta. Absoluuttinen samankaltaisuus voi tapahtua vain, kun yksi esine korvataan toisella, täsmälleen samalla tavalla.

Kaikki mallit voidaan jakaa kahteen luokkaan:

1. todellinen,

2. täydellinen.

Oikeat mallit puolestaan voidaan jakaa:

1. luonnollinen,

2. fyysinen,

3. matemaattinen.

Ihanteelliset mallit voidaan jakaa:

1. visuaalinen,

2. ikoninen,

3. matemaattinen.

Todelliset täysimittaiset mallit ovat todellisia esineitä, prosesseja ja järjestelmiä, joilla suoritetaan tieteellisiä, teknisiä ja teollisia kokeita.

Todelliset fyysiset mallit ovat malleja, nukkeja, lisääntymistä fyysiset ominaisuudet alkuperäiset (kinemaattiset, dynaamiset, hydrauliset, lämpö-, sähkö-, kevyet mallit).

Todellisia matemaattisia ovat analogiset, rakenteelliset, geometriset, graafiset, digitaaliset ja kyberneettiset mallit.

Ihanteellisia visuaalisia malleja ovat kaaviot, kartat, piirustukset, kaaviot, kaaviot, analogit, rakenne- ja geometriset mallit.

Ihanteellisia merkkimalleja ovat symbolit, aakkoset, ohjelmointikielet, järjestetyt merkinnät, topologiset merkinnät, verkkoesitys.

Ihanteellisia matemaattisia malleja ovat analyyttiset, toiminnalliset, simulaatiomallit, yhdistetyt mallit.

Yllä olevassa luokituksessa joillakin malleilla on kaksinkertainen tulkinta (esimerkiksi analoginen). Kaikki mallit, paitsi täysimittaiset mallit, voidaan yhdistää yhdeksi henkisten mallien luokkaan, koska ne ovat tuote abstraktia ajattelua henkilö.

Pysähdytään yhdessä yleisimmistä mallintamistyypeistä - matemaattisesta, joka asettaa simuloidun fyysisen prosessin kanssa vastaamaan matemaattisten suhteiden järjestelmää, jonka ratkaisun avulla voit saada vastauksen kysymykseen esineen käyttäytymisestä ilman fyysisen mallin luominen, joka usein osoittautuu kalliiksi ja tehottomaksi.

Matemaattinen mallintaminen on tapa tutkia todellista esinettä, prosessia tai järjestelmää korvaamalla ne matemaattisella mallilla, joka on kätevämpi kokeelliseen tietokonetutkimukseen.

Matemaattinen malli on likimääräinen esitys todellisista objekteista, prosesseista tai järjestelmistä, ilmaistuna matemaattisesti ja säilyttäen alkuperäisen olennaiset piirteet. Matemaattiset mallit kvantitatiivisessa muodossa loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla kuvaavat kohteen, prosessin tai järjestelmän pääominaisuuksia, sen parametreja, sisäisiä ja ulkoiset suhteet.

Yleensä todellisen objektin, prosessin tai järjestelmän matemaattinen malli esitetään funktionaalisten toimintojen järjestelmänä.

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

missä X on syötemuuttujien vektori, X= t ,

Y - lähtömuuttujien vektori, Y= t ,

Z-vektori ulkoisista vaikutuksista, Z= t ,

t - aikakoordinaatti.

Matemaattisen mallin rakentamisessa määritetään tiettyjen prosessien ja ilmiöiden väliset suhteet, luodaan matemaattinen laite, jonka avulla voidaan kvantitatiivisesti ja laadullisesti ilmaista suhde tiettyjen prosessien ja ilmiöiden, asiantuntijaa kiinnostavien fyysisten määrien ja prosessiin vaikuttavien tekijöiden välillä. lopullinen tulos.

Yleensä niitä on niin paljon, että niiden koko sarjaa ei ole mahdollista esitellä malliin. Matemaattista mallia rakennettaessa tehtävänä on ennen tutkimusta tunnistaa ja jättää huomioimatta tekijät, jotka eivät merkittävästi vaikuta lopputulokseen (matemaattinen malli sisältää yleensä huomattavasti vähemmän tekijöitä kuin todellisuudessa). Kokeellisten tietojen perusteella esitetään hypoteeseja lopputulosta ilmaisevien suureiden ja matemaattiseen malliin lisättyjen tekijöiden välisestä suhteesta. Tällainen yhteys ilmaistaan usein differentiaaliyhtälöjärjestelmillä osittaisissa derivaatoissa (esim. mekaniikan ongelmissa kiinteä runko, neste ja kaasu, suodatusteoria, lämmönjohtavuus, sähköstaattisten ja sähködynaamisten kenttien teoria).

Tämän vaiheen perimmäisenä tavoitteena on matemaattisen ongelman muotoilu, jonka ratkaisu ilmaisee tarvittavalla tarkkuudella asiantuntijaa kiinnostavat tulokset.

Matemaattisen mallin muoto ja esitystavat riippuvat monista tekijöistä.

Rakentamisen periaatteiden mukaan matemaattiset mallit jaetaan:

1. analyyttinen;

2. jäljitelmä.

Analyyttisissä malleissa todellisten objektien, prosessien tai järjestelmien toimintaprosessit kirjoitetaan eksplisiittisten toiminnallisten riippuvuuksien muodossa.

Analyyttinen malli on jaettu tyyppeihin matemaattisen ongelman mukaan:

1. yhtälöt (algebrallinen, transsendentaalinen, differentiaali, integraali),

2. approksimaatioongelmat (interpolointi, ekstrapolointi, numeerinen integrointi ja differentiointi),

3. optimointiongelmat,

4. stokastiset ongelmat.

Kuitenkin, kun mallinnusobjekti muuttuu monimutkaisemmaksi, analyyttisen mallin rakentamisesta tulee ratkaisematon ongelma. Sitten tutkija joutuu käyttämään simulaatiomallinnusta.

Simulaatiomallinnuksessa objektien, prosessien tai järjestelmien toimintaa kuvataan joukko algoritmeja. Algoritmit jäljittelevät todellisia alkeisilmiöitä, jotka muodostavat prosessin tai järjestelmän säilyttäen samalla loogisen rakenteensa ja järjestyksensä ajassa. Simulaatiomallinnuksen avulla on mahdollista saada lähtötiedoista tietoa prosessin tai järjestelmän tiloista tietyllä hetkellä, mutta objektien, prosessien tai järjestelmien käyttäytymistä on vaikea ennustaa. Voidaan sanoa, että simulaatiomallit ovat tietokonepohjaisia laskennallisia kokeita matemaattisilla malleilla, jotka simuloivat todellisten esineiden, prosessien tai järjestelmien käyttäytymistä.

Tutkittavien reaaliprosessien ja järjestelmien luonteesta riippuen matemaattiset mallit voivat olla:

1. deterministinen,

2. stokastinen.

Deterministisissa malleissa oletetaan, että satunnaisia vaikutuksia ei ole, mallin elementit (muuttujat, matemaattiset suhteet) ovat melko vakiintuneet ja järjestelmän käyttäytyminen voidaan määrittää tarkasti. Deterministisiä malleja rakennettaessa käytetään useimmiten algebrallisia yhtälöitä, integraaliyhtälöitä ja matriisialgebraa.

Stokastinen malli ottaa huomioon tutkittavien kohteiden ja järjestelmien prosessien satunnaisuuden, jota kuvataan todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston menetelmin.

Syötetietojen tyypin mukaan mallit jaetaan:

1. jatkuva,

2. diskreetti.

Jos tiedot ja parametrit ovat jatkuvia ja matemaattiset suhteet ovat stabiileja, malli on jatkuva. Ja päinvastoin, jos tiedot ja parametrit ovat diskreettejä ja yhteydet ovat epävakaita, niin matemaattinen malli on myös diskreetti.

Mallien ajallisen käyttäytymisen mukaan ne jaetaan:

1. staattinen,

2. dynaaminen.

Staattiset mallit kuvaavat kohteen, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä milloin tahansa. Dynaamiset mallit heijastavat kohteen, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä ajan kuluessa.

Matemaattisen mallin ja todellisen kohteen, prosessin tai järjestelmän vastaavuusasteen mukaan matemaattiset mallit jaetaan:

1. isomorfinen (muodoltaan samanlainen),

2. homomorfinen (muodoltaan erilainen).

Mallia kutsutaan isomorfiseksi, jos sen ja todellisen objektin, prosessin tai järjestelmän välillä on täydellinen elementtikohtainen vastaavuus. Homomorfinen - jos vastaavuus on vain merkittävimpien välillä osat esine ja malli.

Tulevaisuudessa käytämme seuraavaa merkintätapaa matemaattisen mallin tyypin määrittelyyn yllä olevassa luokituksessa:

Ensimmäinen kirjain:

D - deterministinen,

C - stokastinen.

Toinen kirjain:

H - jatkuva,

D - diskreetti.

Kolmas kirjain:

A - analyyttinen,

Ja - jäljitelmä.

1. Ei ole olemassa (tarkemmin sanottuna sitä ei oteta huomioon) satunnaisten prosessien vaikutusta, ts. deterministinen malli (D).

2. Tiedot ja parametrit ovat jatkuvia, ts. malli - jatkuva (H),

3. Kampimekanismimallin toiminta on kuvattu epälineaaristen transsendenttisten yhtälöiden muodossa, ts. malli - analyyttinen (A)

2. Luento: Matemaattisten mallien rakentamisen piirteet

Luento kuvaa matemaattisen mallin rakentamisprosessia. Prosessin sanallinen algoritmi on annettu.

Jotta tietokoneita voitaisiin käyttää sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa, sovellettu ongelma on ensin "käännettävä" muodolliseksi matemaattiseksi kieleksi, ts. todellista esinettä, prosessia tai järjestelmää varten on rakennettava sen matemaattinen malli.

Matemaattiset mallit kvantitatiivisessa muodossa, loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla, kuvaavat kohteen, prosessin tai järjestelmän pääominaisuuksia, sen parametreja, sisäisiä ja ulkoisia yhteyksiä.

Matemaattisen mallin rakentamiseksi tarvitset:

1. analysoida huolellisesti todellinen esine tai prosessi;

2. korostaa sen merkittävimpiä ominaisuuksia ja ominaisuuksia;

3. määrittele muuttujat, ts. parametrit, joiden arvot vaikuttavat kohteen pääominaisuuksiin ja ominaisuuksiin;

4. kuvaamaan kohteen, prosessin tai järjestelmän perusominaisuuksien riippuvuutta muuttujien arvosta käyttämällä loogisia ja matemaattisia suhteita (yhtälöt, yhtälöt, epäyhtälöt, loogiset ja matemaattiset konstruktit);

5. Korosta objektin, prosessin tai järjestelmän sisäisiä yhteyksiä rajoitusten, yhtälöiden, yhtälöiden, epäyhtälöiden, loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla;

6. määrittää ulkosuhteet ja kuvata niitä rajoitusten, yhtälöiden, yhtälöiden, epäyhtälöiden, loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla.

Matemaattiseen mallinnukseen kuuluu objektin, prosessin tai järjestelmän tutkimisen ja niiden matemaattisen kuvauksen laatimisen lisäksi myös:

1. Algoritmin rakentaminen, joka mallintaa objektin, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä;

2. mallin ja objektin, prosessin tai järjestelmän riittävyyden todentaminen laskennallisen ja luonnollisen kokeen perusteella;

3. mallin säätö;

4. mallin käyttö.

Tutkittavien prosessien ja järjestelmien matemaattinen kuvaus riippuu:

1. todellisen prosessin tai järjestelmän luonne ja se on koottu fysiikan, kemian, mekaniikan, termodynamiikan, hydrodynamiikan, sähkötekniikan, plastisuusteorian, kimmoisuusteorian jne. perusteella.

2. todellisten prosessien ja järjestelmien tutkimuksen ja tutkimuksen vaadittu luotettavuus ja tarkkuus.

Matemaattisen mallin valintavaiheessa selvitetään: kohteen, prosessin tai järjestelmän lineaarisuus ja epälineaarisuus, dynaamisuus tai staattisuus, stationaarisuus tai ei-stationaarisuus sekä kohteen tai prosessin determinismin aste. opiskella. Matemaattisessa mallintamisessa abstraktoidaan tarkoituksella esineiden, prosessien tai järjestelmien erityisestä fysikaalisesta luonteesta ja keskitytään pääasiassa näitä prosesseja kuvaavien suureiden välisten kvantitatiivisten riippuvuuksien tutkimukseen.

Matemaattinen malli ei ole koskaan täysin identtinen tarkasteltavan objektin, prosessin tai järjestelmän kanssa. Yksinkertaistamiseen, idealisointiin perustuen, se on likimääräinen kuvaus esineestä. Siksi mallin analysoinnissa saadut tulokset ovat likimääräisiä. Niiden tarkkuus määräytyy mallin ja kohteen riittävyyden (vastaavuuden) mukaan.

Matemaattisen mallin rakentaminen alkaa yleensä tarkasteltavan kohteen, prosessin tai järjestelmän yksinkertaisimman, karkeimman matemaattisen mallin rakentamisella ja analysoinnilla. Jatkossa mallia tarkennetaan tarvittaessa, sen vastaavuus kohteeseen tehdään täydellisemmäksi.

Otetaan yksinkertainen esimerkki. Sinun on määritettävä pöydän pinta-ala. Yleensä tätä varten mitataan sen pituus ja leveys, ja sitten saadut luvut kerrotaan. Tällainen alkeismenettely tarkoittaa itse asiassa seuraavaa: todellinen esine (pöydän pinta) korvataan abstraktilla matemaattisella mallilla - suorakulmiolla. Pöydän pinnan pituuden ja leveyden mittaamisen tuloksena saadut mitat lasketaan suorakulmiolle, ja tällaisen suorakulmion pinta-ala otetaan suunnilleen halutuksi pöydän pinta-alaksi.

Pöydän suorakaidemalli on kuitenkin yksinkertaisin ja karkein malli. Kun ongelmaa lähestytään vakavammin, tämä malli on tarkistettava ennen kuin käytät suorakaidemallia taulukon alueen määrittämiseen. Tarkastukset voidaan tehdä seuraavasti: mittaa pöydän vastakkaisten sivujen pituudet sekä sen lävistäjän pituudet ja vertaa niitä toisiinsa. Jos vaaditulla tarkkuudella vastakkaisten sivujen pituudet ja diagonaalien pituudet ovat pareittain yhtä suuret, voidaan taulukon pintaa todellakin pitää suorakulmiona. Muussa tapauksessa suorakaidemalli on hylättävä ja korvattava yleisellä nelikulmamallilla. Suuremmalla tarkkuusvaatimuksella mallia voi olla tarpeen jalostaa edelleen, esimerkiksi pöydän kulmien pyöristymisen huomioon ottamiseksi.

Tämän avulla yksinkertainen esimerkki osoitettiin, että matemaattinen malli ei ole yksiselitteisesti tutkittavan kohteen, prosessin tai järjestelmän määräämä. Samalle taulukolle voidaan hyväksyä joko suorakulmiomalli tai monimutkaisempi yleisen nelikulmion malli tai nelikulmio pyöristetyillä kulmilla. Yhden tai toisen mallin valinta määräytyy tarkkuusvaatimuksen mukaan. Tarkkuuden kasvaessa mallin on oltava monimutkainen ottaen huomioon tutkittavan kohteen, prosessin tai järjestelmän uudet ja uudet ominaisuudet.

Harkitse toista esimerkkiä: kampimekanismin liikkeen tutkimus (kuva 2.1).

Riisi. 2.1.

Tämän mekanismin kinemaattista analyysiä varten on ensinnäkin tarpeen rakentaa sen kinemaattinen malli. Tätä varten:

1. Korvaamme mekanismin sen kinemaattisella kaaviolla, jossa kaikki linkit korvataan jäykillä lenkeillä;

2. Tämän kaavion avulla johdamme mekanismin liikeyhtälön;

3. Erottamalla jälkimmäinen saadaan nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt, jotka ovat 1. ja 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä.

Kirjoitetaan nämä yhtälöt:

jossa C 0 on liukusäätimen C äärimmäinen oikea asento:

r on kammen AB säde;

l on kiertokangen pituus BC;

- kammen kiertokulma;

Tuloksena saadut transsendentaaliset yhtälöt edustavat matemaattista mallia litteän aksiaalisen kampimekanismin liikkeestä, joka perustuu seuraaviin yksinkertaistaviin oletuksiin:

1. Emme olleet kiinnostuneita kappaleiden mekanismiin sisältyvien massojen rakenteellisista muodoista ja järjestelyistä, vaan korvasimme kaikki mekanismin rungot viivasegmenteillä. Itse asiassa kaikilla mekanismin lenkeillä on massa ja melko monimutkainen muoto. Esimerkiksi kiertokangas on monimutkainen esivalmistettu liitos, jonka muoto ja mitat luonnollisesti vaikuttavat mekanismin liikkeeseen;

2. laadittaessa matemaattista mallia tarkasteltavana olevan mekanismin liikkeestä emme myöskään huomioineet mekanismiin kuuluvien kappaleiden joustavuutta, ts. kaikkia linkkejä pidettiin abstrakteina, ehdottoman jäykinä kappaleina. Itse asiassa kaikki mekanismiin sisältyvät elimet - elastiset rungot. Kun mekanismi liikkuu, ne jotenkin vääntyvät, niissä voi jopa esiintyä elastisia tärinöitä. Kaikki tämä tietysti vaikuttaa myös mekanismin liikkeeseen;

3. Emme ole huomioineet linkkien valmistusvirhettä, kinemaattisten parien A, B, C aukkoja jne.

Näin ollen on tärkeää vielä kerran korostaa, että mitä korkeammat vaatimukset ongelman ratkaisun tulosten tarkkuudelle asetetaan, sitä suurempi tarve on ottaa huomioon tutkittavan kohteen, prosessin tai järjestelmän ominaisuudet matemaattista mallia rakennettaessa. Tässä on kuitenkin tärkeää pysähtyä ajoissa, sillä monimutkainen matemaattinen malli voi muuttua vaikeaksi tehtäväksi.

Malli on yksinkertaisimmin rakennettu, kun kohteen, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä ja ominaisuuksia määrittävät lait tunnetaan hyvin ja niiden soveltamisesta on paljon käytännön kokemusta.

Lisää vaikea tilanne syntyy, kun tietomme tutkittavasta kohteesta, prosessista tai järjestelmästä on riittämätön. Tässä tapauksessa matemaattista mallia rakennettaessa joudutaan tekemään lisäoletuksia, jotka ovat luonteeltaan hypoteesia, tällaista mallia kutsutaan hypoteettiseksi. Tällaisen hypoteettisen mallin tutkimuksesta tehdyt johtopäätökset ovat ehdollisia. Johtopäätösten tarkistamiseksi on tarpeen verrata mallin tietokoneella tehdyn tutkimuksen tuloksia täyden mittakaavan kokeen tuloksiin. Näin ollen kysymys tietyn matemaattisen mallin soveltuvuudesta tarkasteltavana olevan kohteen, prosessin tai järjestelmän tutkimukseen ei ole matemaattinen kysymys eikä sitä voida ratkaista matemaattisilla menetelmillä.

Totuuden pääkriteeri on kokeilu, käytäntö sanan laajimmassa merkityksessä.

Matemaattisen mallin rakentaminen sovelletuissa ongelmissa on yksi monimutkaisimmista ja vastuullisimmista työn vaiheista. Kokemus osoittaa, että monissa tapauksissa oikean mallin valinta tarkoittaa ongelman ratkaisemista yli puoleen. Tämän vaiheen vaikeus on, että se vaatii matemaattisen ja erikoistiedon yhdistelmän. Siksi on erittäin tärkeää, että sovellettavia ongelmia ratkaistaessa matemaatikoilla on erityistietoa kohteesta ja heidän kumppaneilla, asiantuntijoilla, on tietty matemaattinen kulttuuri, tutkimuskokemus alalta, tieto tietokoneista ja ohjelmoinnista.

Luento 3. Tietokonemallinnus ja laskennallinen koe. Matemaattisten mallien ratkaiseminen

Tietokonesimulaatio kuten uusi menetelmä tieteellinen tutkimus perustuu:

1. matemaattisten mallien rakentaminen tutkittavien prosessien kuvaamiseksi;

2. käyttää uusimpia tietokoneita suurella nopeudella (miljoonia operaatioita sekunnissa) ja pystyy käymään vuoropuhelua henkilön kanssa.

Tietokonesimuloinnin ydin on seuraava: matemaattisen mallin perusteella suoritetaan sarja laskennallisia kokeita tietokoneen avulla, ts. Objektien tai prosessien ominaisuuksia tutkitaan, niiden optimaaliset parametrit ja toimintatavat löydetään, mallia tarkennetaan. Jos sinulla on esimerkiksi yhtälö, joka kuvaa tietyn prosessin kulkua, voit muuttaa sen kertoimia, alku- ja reunaehtoja ja tutkia, kuinka objekti käyttäytyy tässä tapauksessa. Lisäksi on mahdollista ennustaa kohteen käyttäytymistä erilaisissa olosuhteissa.

Laskennallinen kokeilu mahdollistaa kalliin täysimittaisen kokeilun korvaamisen tietokonelaskelmilla. Sen avulla voidaan lyhyessä ajassa ja ilman merkittäviä materiaalikustannuksia tutkia useita vaihtoehtoja suunnitellulle esineelle tai prosessille sen eri toimintatapoille, mikä vähentää merkittävästi aikaa, joka tarvitaan monimutkaisten järjestelmien kehittämiseen ja niiden käyttöönottoon. tuotantoon.

Tietokonemallinnus ja laskennallinen kokeilu uutena tieteellisen tutkimuksen menetelmänä edellyttää matemaattisten mallien rakentamisessa käytettävän matemaattisen laitteiston parantamista, mahdollistaa matemaattisia menetelmiä käyttäen jalostaa ja monimutkaista matemaattisia malleja. Lupaavin laskennallisen kokeen suorittamiseen on sen käyttö aikamme suurten tieteellisten, teknisten ja sosioekonomisten ongelmien ratkaisemiseen (ydinvoimalaitosten reaktorien suunnittelu, patojen ja vesivoimaloiden suunnittelu, magnetohydrodynaamisten energiamuuntimien suunnittelu sekä taloustieteen alalla - tasapainoisen suunnitelman laatiminen toimialalle, alueelle, maalle jne.).

Joissakin prosesseissa, joissa täysimittainen koe on vaarallinen ihmisten elämälle ja terveydelle, laskennallinen koe on ainoa mahdollinen (lämpöfuusio, avaruustutkimus, kemian- ja muiden teollisuudenalojen suunnittelu ja tutkimus).

Matemaattisen mallin ja todellisen kohteen, prosessin tai järjestelmän riittävyyden tarkistamiseksi verrataan tietokoneella suoritetun tutkimuksen tuloksia kokeellisella täysimittakaavaisella otoksella tehdyn kokeen tuloksiin. Todentamisen tuloksia käytetään matemaattisen mallin korjaamiseen tai ratkaistaan kysymys rakennetun matemaattisen mallin soveltuvuudesta tiettyjen objektien, prosessien tai järjestelmien suunnitteluun tai tutkimiseen.

Lopuksi korostamme vielä kerran, että tietokonesimulaatio ja laskennallinen kokeilu mahdollistavat "ei-matemaattisen" objektin tutkimuksen pelkistämisen matemaattisen ongelman ratkaisuksi. Tämä avaa mahdollisuuden käyttää hyvin kehittynyttä matemaattista laitteistoa sen tutkimiseen yhdessä tehokkaan tietotekniikan kanssa. Tämä on perusta matematiikan ja tietokoneiden käytölle todellisen maailman lakien tuntemiseen ja niiden käyttöön käytännössä.

Todellisten objektien, prosessien tai järjestelmien käyttäytymisen suunnittelussa tai tutkimisessa matemaattiset mallit ovat pääsääntöisesti epälineaarisia, koska niiden on heijastettava niissä tapahtuvia todellisia fysikaalisia epälineaarisia prosesseja. Samanaikaisesti näiden prosessien parametrit (muuttujat) ovat yhteydessä toisiinsa fysikaalisilla epälineaarisilla laeilla. Siksi todellisten objektien, prosessien tai järjestelmien käyttäytymisen suunnittelun tai tutkimuksen ongelmissa käytetään useimmiten DND-tyyppisiä matemaattisia malleja.

Luennolla 1 annetun luokituksen mukaan:

D - malli on deterministinen, satunnaisten prosessien vaikutusta ei ole (tarkemmin sanottuna sitä ei oteta huomioon).

H - malli on jatkuva, tiedot ja parametrit jatkuvat.

A - analyyttinen malli, mallin toiminta kuvataan yhtälöiden muodossa (lineaariset, epälineaariset, yhtälöjärjestelmät, differentiaali- ja integraaliyhtälöt).

Joten olemme rakentaneet matemaattisen mallin tarkasteltavasta objektista, prosessista tai järjestelmästä, ts. esitti sovelletun ongelman matemaattisena. Sen jälkeen alkaa sovelletun ongelman ratkaisemisen toinen vaihe - menetelmän etsiminen tai kehittäminen muotoillun matemaattisen ongelman ratkaisemiseksi. Menetelmän tulee olla kätevä sen toteuttamiseen tietokoneella, tarjottava ratkaisun tarvittava laatu.

Kaikki menetelmät matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi voidaan jakaa kahteen ryhmään:

1. tarkat menetelmät ongelmien ratkaisemiseksi;

2. numeeriset menetelmät ongelmien ratkaisemiseksi.

Tarkoissa menetelmissä matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi vastaus voidaan saada kaavojen muodossa.

Esimerkiksi juurien laskeminen toisen asteen yhtälö:

tai esimerkiksi johdannaisfunktioiden laskeminen:

tai määrätyn integraalin laskeminen:

Kuitenkin korvaamalla luvut kaavaan äärellisinä desimaalilukuina, saamme silti tuloksen likimääräiset arvot.

Useimmille käytännössä kohdatuille ongelmille tarkat ratkaisutavat ovat joko tuntemattomia tai antavat erittäin hankalia kaavoja. Aina ne eivät kuitenkaan ole tarpeellisia. Sovellettua ongelmaa voidaan pitää käytännössä ratkaistuna, jos pystymme ratkaisemaan sen vaaditulla tarkkuudella.

Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi on kehitetty numeerisia menetelmiä, joissa monimutkaisten matemaattisten ongelmien ratkaisu pelkistetään useiden yksinkertaisten aritmeettisten operaatioiden peräkkäiseen suorittamiseen. Numeeristen menetelmien suora kehittäminen kuuluu laskennalliseen matematiikkaan.

Esimerkki numeerisesta menetelmästä on suorakulmioiden menetelmä likimääräiseen integrointiin, joka ei vaadi integrandin antiderivaatan laskentaa. Integraalin sijasta lasketaan lopullinen kvadratuurisumma:

x 1 =a - integroinnin alaraja;

x n+1 =b – integroinnin yläraja;

n on segmenttien lukumäärä, joihin integrointiväli (a,b) on jaettu;

on perussegmentin pituus;

f(x i) on integraation arvo integraation alkeissegmenttien päissä.

Miten lisää numeroa segmentit n, joihin integrointiväli on jaettu, mitä lähempänä likimääräinen ratkaisu on todellista, ts. sitä tarkempi tulos.

Siten sovelletuissa ongelmissa ja sovelluksessa tarkat menetelmät ratkaisu, ja käytettäessä numeerisia ratkaisumenetelmiä laskelmien tulokset ovat likimääräisiä. On vain tärkeää varmistaa, että virheet ovat vaaditun tarkkuuden sisällä.

Numeeriset menetelmät matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi ovat olleet tunnettuja pitkään, jopa ennen tietokoneiden tuloa, mutta niitä käytettiin harvoin ja vain suhteellisen yksinkertaisissa tapauksissa laskelmien äärimmäisen monimutkaisuuden vuoksi. Numeeristen menetelmien laaja käyttö on tullut mahdolliseksi tietokoneiden ansiosta.

Matemaattinen mallinnus

1. Mitä matemaattinen mallinnus on?

XX vuosisadan puolivälistä lähtien. ihmisen toiminnan eri aloilla matemaattisia menetelmiä ja tietokoneita alettiin käyttää laajalti. On syntynyt uusia tieteenaloja, kuten "matemaattinen taloustiede", "matemaattinen kemia", "matemaattinen kielitiede" jne., jotka tutkivat vastaavien esineiden ja ilmiöiden matemaattisia malleja sekä menetelmiä näiden mallien tutkimiseksi.

Matemaattinen malli on likimääräinen kuvaus matematiikan kielellä mistä tahansa reaalimaailman ilmiöluokista tai esineistä. Mallintamisen päätarkoituksena on tutkia näitä kohteita ja ennustaa tulevien havaintojen tuloksia. Mallinnus on kuitenkin myös ympäröivän maailman kognition menetelmä, joka mahdollistaa sen hallitsemisen.

Matemaattinen mallintaminen ja siihen liittyvä tietokonekoe ovat välttämättömiä tapauksissa, joissa täysimittaisen kokeen suorittaminen on syystä tai toisesta mahdotonta tai vaikeaa. Esimerkiksi historiassa on mahdotonta tehdä täysimittaista koetta tarkistamaan "mitä tapahtuisi, jos..." On mahdotonta tarkistaa tämän tai toisen kosmologisen teorian oikeellisuutta. Periaatteessa on mahdollista, mutta tuskin järkevää, kokeilla jonkin taudin, kuten ruton, leviämistä tai toteuttaa ydinräjähdys sen seurausten tutkimiseksi. Kaikki tämä voidaan kuitenkin tehdä tietokoneella, kun on aiemmin rakennettu matemaattisia malleja tutkittavista ilmiöistä.

2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

1) Mallinrakennus. Tässä vaiheessa määritellään jokin "ei-matemaattinen" kohde - luonnonilmiö, rakentaminen, taloudellinen suunnitelma, tuotantoprosessi jne. Tässä tapauksessa tilanteen selkeä kuvaus on yleensä vaikeaa. Ensin tunnistetaan ilmiön pääpiirteet ja niiden välinen suhde laadullisella tasolla. Sitten löydetyt laadulliset riippuvuudet muotoillaan matematiikan kielellä, eli rakennetaan matemaattinen malli. Tämä on mallintamisen vaikein osa.

2) Matemaattisen ongelman ratkaiseminen, johon malli johtaa. Tässä vaiheessa kiinnitetään paljon huomiota algoritmien ja numeeristen menetelmien kehittämiseen ongelman ratkaisemiseksi tietokoneella, joiden avulla tulos voidaan löytää vaaditulla tarkkuudella ja hyväksyttävässä ajassa.

3) Matemaattisen mallin tulosten tulkinta. Mallin matematiikan kielellä johdetut seuraukset tulkitaan tällä alalla hyväksytyllä kielellä.

4) Mallin riittävyyden tarkistaminen. Tässä vaiheessa selvitetään, ovatko kokeen tulokset yhtenevät mallin teoreettisten seurausten kanssa tietyllä tarkkuudella.

5) Mallin muutos. Tässä vaiheessa mallista tulee joko monimutkaisempi niin, että se vastaa paremmin todellisuutta, tai sitä yksinkertaistetaan käytännössä hyväksyttävän ratkaisun saavuttamiseksi.

3. Mallien luokittelu

Mallit voidaan luokitella eri kriteerien mukaan. Esimerkiksi ratkaistavien ongelmien luonteen mukaan mallit voidaan jakaa toiminnallisiin ja rakenteellisiin. Ensimmäisessä tapauksessa kaikki ilmiötä tai kohdetta kuvaavat suureet ilmaistaan kvantitatiivisesti. Samalla joitain niistä pidetään itsenäisinä muuttujina, kun taas toisia näiden suureiden funktioina. Matemaattinen malli on yleensä erityyppisten yhtälöiden (differentiaali-, algebrallinen jne.) järjestelmä, joka muodostaa kvantitatiivisia suhteita tarkasteltavien suureiden välille. Toisessa tapauksessa malli luonnehtii monimutkaisen kohteen rakennetta, joka koostuu erillisistä osista, joiden välillä on tiettyjä yhteyksiä. Yleensä näitä suhteita ei voida mitata. Tällaisten mallien rakentamiseen on kätevää käyttää graafiteoriaa. Graafi on matemaattinen objekti, joka on joukko pisteitä (pisteitä) tasossa tai avaruudessa, joista osa on yhdistetty viivoilla (reunat).

Lähtötietojen ja ennustetulosten luonteen mukaan mallit voidaan jakaa deterministisiin ja todennäköisyysstatistisiin. Ensimmäisen tyypin mallit antavat selvät, yksiselitteiset ennusteet. Toisen tyypin mallit perustuvat tilastotietoon, ja niiden avulla saadut ennusteet ovat luonteeltaan todennäköisyyspohjaisia.

4. Esimerkkejä matemaattisista malleista

1) Ongelmia ammuksen liikkeessä.

Harkitse seuraavaa mekaniikan ongelmaa.

Ammus laukaistaan maasta alkunopeudella v 0 = 30 m/s kulmassa a = 45° sen pintaan nähden; on löydettävä sen liikerata ja etäisyys S tämän lentoradan alku- ja loppupisteiden välillä.

Sitten, kuten koulun fysiikan kurssista tiedetään, ammuksen liikettä kuvataan kaavoilla:

missä t - aika, g = 10 m / s 2 - vapaan pudotuksen kiihtyvyys. Nämä kaavat antavat tehtävän matemaattisen mallin. Ilmaisemalla t x:llä ensimmäisestä yhtälöstä ja korvaamalla sen toisella, saamme ammuksen liikeradan yhtälön:

Tämä käyrä (paraabeli) leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä: x 1 \u003d 0 (radan alku) ja (paikka, johon ammus putosi). Korvaamalla annetut arvot v0 ja a saatuihin kaavoihin saadaan

vastaus: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Huomaa, että tämän mallin rakentamisessa käytettiin useita oletuksia: esimerkiksi oletetaan, että maa on litteä, eikä ilma ja Maan pyöriminen vaikuta ammuksen liikkeeseen.

2) Pienimmän pinta-alan omaavan säiliön ongelma.

On löydettävä suljetun pyöreän sylinterin muotoisen tinasäiliön, jonka tilavuus on V = 30 m 3, korkeus h 0 ja säde r 0, jossa sen pinta-ala S on minimaalinen (tässä tapauksessa pienin määrä tinaa menee sen valmistukseen).

Kirjoitamme seuraavat kaavat sylinterin tilavuudelle ja pinta-alalle, jonka korkeus on h ja säde r:

V = p r 2 h, S = 2 p r(r + h).

Ilmaisemalla h:n r:llä ja V:llä ensimmäisestä kaavasta ja korvaamalla tuloksena olevan lausekkeen toisella, saamme:

Siten matemaattisesta näkökulmasta katsottuna ongelma rajoittuu r:n arvon määrittämiseen, jolla funktio S(r) saavuttaa miniminsä. Etsitään ne r 0:n arvot, joille derivaatta

menee nollaan: Voit tarkistaa, että funktion S(r) toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussiksi, kun argumentti r kulkee pisteen r 0 kautta. Siksi funktiolla S(r) on minimi pisteessä r0. Vastaava arvo h 0 = 2r 0 . Korvaamalla annettu arvo V lausekkeeseen r 0 ja h 0, saadaan haluttu säde ja korkeus

3) Kuljetustehtävä.

Kaupungissa on kaksi jauhovarastoa ja kaksi leipomoa. Ensimmäisestä varastosta viedään päivittäin 50 tonnia jauhoja ja toisesta tehtaille 70 tonnia, joista ensimmäiseen 40 tonnia ja toiseen 80 tonnia.

Merkitse a ij 1 tonnin jauhojen kuljetuskustannukset i:nnestä varastosta j-kasvi(i, j = 1,2). Antaa

a 11 \u003d 1,2 p., a 12 \u003d 1,6 p., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 p.

Miten kuljetukset tulisi suunnitella niin, että niiden kustannukset ovat mahdollisimman pienet?

Annetaan ongelmalle matemaattinen muotoilu. Merkitsemme x 1:llä ja x 2:lla jauhomäärää, joka on kuljetettava ensimmäisestä varastosta ensimmäiseen ja toiseen tehtaaseen, ja x 3:n ja x 4:n kautta - toisesta varastosta ensimmäiseen ja toiseen tehtaaseen. Sitten:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Kaikkien kuljetusten kokonaiskustannukset määräytyvät kaavan mukaan

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Matemaattiselta kannalta tehtävänä on löytää neljä lukua x 1 , x 2 , x 3 ja x 4, jotka täyttävät kaikki annetut ehdot ja antavat funktion f minimin. Ratkaistaan yhtälöjärjestelmä (1) suhteessa xi:iin (i = 1, 2, 3, 4) tuntemattomien eliminointimenetelmällä. Me ymmärrämme sen

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 = 70 - x 4, (2)

ja x 4:ää ei voida määrittää yksiselitteisesti. Koska x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), yhtälöistä (2) seuraa, että 30J x 4 J 70. Korvaamalla lausekkeen x 1 , x 2 , x 3 f:n kaavaan saadaan

f \u003d 148 - 0,2x4.

On helppo nähdä, että tämän funktion minimi saavutetaan suurimmalla mahdollisella arvolla x 4, eli kohdassa x 4 = 70. Muiden tuntemattomien vastaavat arvot määritetään kaavoilla (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktiivisen hajoamisen ongelma.

Olkoon N(0) radioaktiivisen aineen alkuatomien lukumäärä ja N(t) hajoamattomien atomien lukumäärä hetkellä t. On kokeellisesti osoitettu, että näiden atomien lukumäärän muutosnopeus N "(t) on verrannollinen N (t)":iin, eli N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 on tietyn aineen radioaktiivisuusvakio. Matemaattisen analyysin koulukurssilla osoitetaan, että tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa N(t) = N(0)e –l t . Aikaa T, jonka aikana alkuatomien lukumäärä on puolittunut, kutsutaan puoliintumisajaksi, ja se on tärkeä aineen radioaktiivisuuden ominaisuus. T:n määrittämiseksi on tarpeen laittaa kaava Sitten Esimerkiksi radonille l = 2,084 10–6 ja siten T = 3,15 päivää.

5) Matkamyyjän ongelma.

Kaupungissa A 1 asuvan matkustavan myyjän täytyy käydä kaupungeissa A 2 , A 3 ja A 4, jokaisessa kaupungissa täsmälleen kerran, ja palata sitten takaisin A 1 :een. Tiedetään, että kaikki kaupungit ovat pareittain yhteydessä toisiinsa, ja teiden pituudet b ij kaupunkien A i ja A j välillä (i, j = 1, 2, 3, 4) ovat seuraavat:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

On tarpeen määrittää kaupungeissa vierailujärjestys, jossa vastaavan polun pituus on minimaalinen.

Kuvataan jokainen kaupunki pisteenä tasossa ja merkitään se vastaavalla merkinnällä Ai (i = 1, 2, 3, 4). Yhdistämme nämä pisteet viivasegmenteillä: ne kuvaavat kaupunkien välisiä teitä. Jokaiselle "tielle" ilmoitetaan sen pituus kilometreissä (kuva 2). Tuloksena on graafi - matemaattinen objekti, joka koostuu tietystä joukosta tason pisteitä (kutsutaan kärkipisteiksi) ja tietystä sarjasta näitä pisteitä yhdistäviä viivoja (kutsutaan reunoiksi). Lisäksi tämä graafi on merkitty, koska jotkut tunnisteet on määritetty sen kärkipisteille ja reunoille - numerot (reunat) tai symbolit (vertices). Graafin sykli on sarja pisteitä V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 siten, että kärjet V 1 , ..., V k ovat erilaisia ja mikä tahansa pistepari V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) ja pari V 1 , V k on yhdistetty reunalla. Tarkasteltavana oleva ongelma on siis löytää graafista sellainen sykli, joka kulkee kaikkien neljän kärjen kautta ja jonka kaikkien reunapainojen summa on minimaalinen. Etsitään kaikki eri syklit, jotka kulkevat neljän kärjen läpi ja alkaen A 1:stä:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A1, A3, A4, A2, A1.

Etsitään nyt näiden syklien pituudet (km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Pienimmän pituinen reitti on siis ensimmäinen.

Huomaa, että jos graafissa on n kärkeä ja kaikki pisteet on yhdistetty pareittain reunoilla (tällaista graafia kutsutaan täydelliseksi), niin kaikkien pisteiden läpi kulkevien syklien määrä on yhtä suuri, joten tässä tapauksessa sykliä on tasan kolme .

6) Aineiden rakenteen ja ominaisuuksien välisen yhteyden löytämisen ongelma.

Harkitse useita kemiallisia yhdisteitä, joita kutsutaan normaaleiksi alkaaneiksi. Ne koostuvat n hiiliatomista ja n + 2 vetyatomista (n = 1, 2 ...), jotka on kytketty toisiinsa kuvan 3 mukaisesti, kun n = 3. Olkoon näiden yhdisteiden kiehumispisteiden kokeelliset arvot tiedossa:

y e (3) = -42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Näiden yhdisteiden kiehumispisteen ja luvun n välillä on löydettävä likimääräinen suhde. Oletamme, että tällä riippuvuudella on muoto

y » a n+b

Missä a, b - määritettävät vakiot. Löytämiseen a ja b korvaamme tähän kaavaan peräkkäin n = 3, 4, 5, 6 ja vastaavat kiehumispisteiden arvot. Meillä on:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Parhaan määrittämiseksi a ja b on olemassa monia erilaisia menetelmiä. Käytetään niistä yksinkertaisinta. Ilmaisemme b:llä a näistä yhtälöistä:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28-5 a, b » 69-6 a.

Otetaan halutuksi b näiden arvojen aritmeettinen keskiarvo, eli laitetaan b » 16 - 4,5 a. Korvataan tämä arvo b alkuperäiseen yhtälöjärjestelmään ja lasketaan a, saamme a seuraavat arvot: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a näiden lukujen keskiarvo, eli asetamme a» 34. Halutulla yhtälöllä on siis muoto

v » 34n – 139.

Tarkastetaan mallin tarkkuus neljällä alkuperäisellä yhdisteellä, joille laskemme kiehumispisteet saadun kaavan avulla:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Näin ollen tämän ominaisuuden laskentavirhe näille yhdisteille ei ylitä 5°. Laskemme tuloksena olevan yhtälön avulla kiehumispisteen yhdisteelle, jonka n = 7, joka ei sisälly alkujoukkoon, ja korvaamme tämän yhtälön n = 7:llä: y р (7) = 99°. Tulos osoittautui varsin tarkaksi: tiedetään, että kiehumispisteen kokeellinen arvo y e (7) = 98°.

7) Ongelma sähköpiirin luotettavuuden määrittämisessä.

Tässä tarkastellaan esimerkkiä todennäköisyysmallista. Ensin annetaan tietoa todennäköisyysteoriasta - matemaattisesta tieteenalasta, joka tutkii kokeen toistuvan toiston aikana havaittuja satunnaisten ilmiöiden malleja. Kutsutaan satunnaista tapahtumaa A jonkin kokemuksen mahdolliseksi tulokseksi. Tapahtumat A 1 , ..., A k muodostavat täydellisen ryhmän, jos jokin niistä välttämättä tapahtuu kokeen seurauksena. Tapahtumia kutsutaan yhteensopimattomiksi, jos ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti samassa kokemuksessa. Tapahtukoon tapahtuma A m kertaa kokeen n-kertaisen toiston aikana. Tapahtuman A taajuus on luku W = . On selvää, että W:n arvoa ei voida ennustaa tarkasti ennen kuin on suoritettu n kokeen sarja. Satunnaistapahtumien luonne on kuitenkin sellainen, että käytännössä joskus havaitaan seuraava vaikutus: kokeiden määrän kasvaessa arvo lakkaa käytännössä olemasta satunnainen ja vakiintuu jonkin ei-satunnaisen luvun P(A) ympärille, ns. tapahtuman todennäköisyys A. Mahdottomalle tapahtumalle (joka ei koskaan tapahdu kokeessa) P(A)=0 ja tietylle tapahtumalle (joka esiintyy aina kokeessa) P(A)=1. Jos tapahtumat A 1 , ..., A k muodostavat täydellisen ryhmän yhteensopimattomia tapahtumia, niin P(A 1)+...+P(A k)=1.

Olkoon kokemus esimerkiksi noppaa heittämisestä ja pudonneiden pisteiden X tarkkailusta. Sitten voidaan ottaa käyttöön seuraavat satunnaiset tapahtumat A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Ne muodostavat täydellinen ryhmä yhteensopimattomia yhtä todennäköisiä tapahtumia, joten P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Tapahtumien A ja B summa on tapahtuma A + B, joka koostuu siitä, että ainakin yksi niistä esiintyy kokeessa. Tapahtumien A ja B tulo on tapahtuma AB, joka koostuu näiden tapahtumien samanaikaisesta esiintymisestä. Riippumattomille tapahtumille A ja B kaavat ovat tosia

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Mieti nyt seuraavaa tehtävä. Oletetaan, että kolme elementtiä on kytketty sarjaan sähköpiirissä, jotka toimivat toisistaan riippumatta. 1., 2. ja 3. elementin epäonnistumistodennäköisyydet ovat vastaavasti P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Pidämme piiriä luotettavana, jos todennäköisyys, että piirissä ei ole virtaa, on enintään 0,4. On määritettävä, onko annettu ketju luotettava.

Koska elementit on kytketty sarjaan, piirissä ei ole virtaa (tapahtuma A), jos ainakin yksi elementeistä epäonnistuu. Olkoon A i se tapahtuma, joka i. elementti toimii (i = 1, 2, 3). Sitten P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Ilmeisesti A 1 A 2 A 3 on tapahtuma, jossa kaikki kolme elementtiä toimivat samanaikaisesti, ja

P(A1A2A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,612.

Sitten P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, joten P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Lopuksi toteamme, että yllä olevat esimerkit matemaattisista malleista (joiden joukossa on funktionaalisia ja rakenteellisia, deterministisiä ja todennäköisyyksiä) ovat havainnollistavia eivätkä tietenkään tyhjennä kaikkea luonnon- ja humanististen tieteiden joukossa esiintyviä matemaattisia malleja.

Mallin ja simulaation käsite.

Malli laajassa mielessä- tämä on mikä tahansa kuva, mielikuvan tai vakiintuneen kuvan analogi, kuvaus, kaavio, piirros, kartta jne. mistä tahansa tilavuudesta, prosessista tai ilmiöstä, jota käytetään sen korvikkeena tai edustajana. Itse esinettä, prosessia tai ilmiötä kutsutaan tämän mallin alkuperäiseksi.

Mallintaminen - tämä on minkä tahansa objektin tai esinejärjestelmän tutkimusta rakentamalla ja tutkimalla niiden malleja. Tämä on mallien käyttöä ominaisuuksien määrittämiseen tai tarkentamiseen ja uusien objektien rakentamistapojen järkeistämiseen.

Mikä tahansa tieteellisen tutkimuksen menetelmä perustuu mallintamiseen, samaan aikaan teoreettisissa menetelmissä käytetään erilaisia merkkejä, abstrakteja malleja ja kokeellisissa ainemalleja.

Tutkimuksessa monimutkainen todellinen ilmiö korvataan jollain yksinkertaistetulla kopiolla tai skeemalla, joskus tällainen kopio palvelee vain muistamista ja halutun ilmiön tunnistamista seuraavassa kokouksessa. Joskus rakennettu kaavio heijastaa joitain olennaisia piirteitä, antaa sinun ymmärtää ilmiön mekanismin, mahdollistaa sen muutoksen ennustamisen. Sama ilmiö voi vastata erilaisia malleja.

Tutkijan tehtävänä on ennustaa ilmiön luonne ja prosessin kulku.

Joskus käy niin, että esine on saatavilla, mutta sen kokeilut ovat kalliita tai aiheuttavat vakavia ympäristövaikutuksia. Tietoa tällaisista prosesseista saadaan mallien avulla.

Tärkeä seikka on, että tieteen luonteeseen ei liity yksittäisen ilmiön tutkimista, vaan laajan luokan siihen liittyviä ilmiöitä. Se merkitsee tarvetta muotoilla joitain yleisiä kategorisia lausuntoja, joita kutsutaan laeiksi. Luonnollisesti tällaisella muotoilulla monet yksityiskohdat jätetään huomiotta. Kuvion selvemmin tunnistamiseksi he pyrkivät tietoisesti karkeuttamiseen, idealisointiin, kaavamaisuuteen, eli eivät tutki itse ilmiötä, vaan sen enemmän tai vähemmän tarkkaa kopiota tai mallia. Kaikki lait ovat malleja koskevia lakeja, joten ei ole yllättävää, että ajan myötä jotkin tieteelliset teoriat osoittautuvat käyttökelvottomiksi. Tämä ei johda tieteen romahtamiseen, koska yksi malli on korvattu toisella. modernimpi.

Tieteessä erityinen rooli on matemaattisilla malleilla, näiden mallien rakennusmateriaalilla ja työkaluilla - matemaattisilla käsitteillä. Niitä on kertynyt ja parantunut tuhansien vuosien aikana. Moderni matematiikka tarjoaa poikkeuksellisen tehokkaat ja yleismaailmalliset tutkimuskeinot. Lähes jokainen matematiikan käsite, jokainen matemaattinen objekti, alkaen luvun käsitteestä, on matemaattinen malli. Kun tutkittavasta esineestä tai ilmiöstä laaditaan matemaattinen malli, sen ominaisuuksista, piirteistä ja yksityiskohdista erotetaan ne, jotka toisaalta sisältävät enemmän tai vähemmän täydellistä tietoa kohteesta ja toisaalta mahdollistavat matemaattisen formalisointi. Matemaattinen formalisointi tarkoittaa, että kohteen ominaisuudet ja yksityiskohdat voidaan liittää sopiviin, riittäviin matemaattisiin käsitteisiin: numerot, funktiot, matriisit ja niin edelleen. Sitten tutkittavasta objektista löydetyt ja oletetut yhteydet ja suhteet sen yksittäisten osien ja komponenttien välillä voidaan kirjoittaa matemaattisten suhteiden avulla: yhtäläisyydet, epäyhtälöt, yhtälöt. Tuloksena on matemaattinen kuvaus tutkittavasta prosessista tai ilmiöstä, eli sen matemaattinen malli.

Matemaattisen mallin tutkimiseen liittyy aina joitain toimintasääntöjä tutkittavien kohteiden suhteen. Nämä säännöt kuvastavat syiden ja seurausten välistä suhdetta.

Matemaattisen mallin rakentaminen on keskeinen vaihe minkä tahansa järjestelmän tutkimisessa tai suunnittelussa. Koko myöhempi kohteen analyysi riippuu mallin laadusta. Mallin rakentaminen ei ole muodollinen menettely. Se riippuu vahvasti tutkijasta, hänen kokemuksestaan ja maustaan, luottaa aina tiettyyn kokeelliseen materiaaliin. Mallin tulee olla riittävän tarkka, riittävä ja helppokäyttöinen.

Matemaattinen mallinnus.

Matemaattisten mallien luokittelu.

Matemaattiset mallit voivat ollapäättänyt Ja stokastinen .

Deterministinen malli ja - nämä ovat malleja, joissa objektia tai ilmiötä kuvaavien muuttujien välille muodostetaan yksi-yhteen vastaavuus.

Tämä lähestymistapa perustuu tietoon esineiden toimintamekanismista. Mallitettava kohde on usein monimutkainen ja sen mekanismin purkaminen voi olla hyvin työlästä ja aikaa vievää. Tässä tapauksessa ne etenevät seuraavasti: kokeita suoritetaan alkuperäisellä, tulokset käsitellään ja, syventymättä mallinnetun kohteen mekanismiin ja teoriaan, matemaattisten tilastojen ja todennäköisyysteorian menetelmiä käyttäen luodaan suhteita objektia kuvaavat muuttujat. Tässä tapauksessa hankistokastinen malli . SISÄÄN stokastinen Mallissa muuttujien välinen suhde on satunnainen, joskus se tapahtuu perustavanlaatuisesti. Valtavan määrän tekijöiden vaikutus, niiden yhdistelmä johtaa sattumanvaraiseen joukkoon muuttujia, jotka kuvaavat objektia tai ilmiötä. Moodin luonteen mukaan malli ontilastollinen Ja dynaaminen.

Tilastollinenmallisisältää kuvauksen simuloidun kohteen päämuuttujien välisistä suhteista vakaassa tilassa ottamatta huomioon parametrien muutosta ajan myötä.

SISÄÄN dynaaminenmallitkuvaa simuloidun kohteen päämuuttujien välistä suhdetta siirtyessä tilasta toiseen.

Mallit ovat diskreetti Ja jatkuva, ja sekoitettu tyyppi. SISÄÄN jatkuva muuttujat ottavat arvot tietystä intervallista, indiskreettimuuttujat ottavat yksittäisiä arvoja.

Lineaariset mallit- kaikki mallia kuvaavat funktiot ja relaatiot ovat lineaarisesti riippuvaisia muuttujista jaei lineaarinenmuuten.

Matemaattinen mallinnus.

Vaatimukset , esitetty malleihin.

1. Monipuolisuus- luonnehtii näytön täydellisyyttä todellisen kohteen tutkittujen ominaisuuksien mallilla.

Riittävyys - kyky heijastaa objektin haluttuja ominaisuuksia virheellä, joka ei ole suurempi kuin määritetty.
Tarkkuus - arvioidaan todellisen kohteen ominaisuuksien arvojen ja näiden mallien avulla saatujen ominaisuuksien arvojen yhteensopivuusasteen perusteella.
taloutta - määräytyy tietokoneen muistiresurssien kustannuksista ja sen toteuttamiseen ja käyttöön käytetystä ajasta.

Matemaattinen mallinnus.

Mallintamisen päävaiheet.

1. Ongelman kuvaus.

Selvitetään analyysin tarkoitus ja keinot sen saavuttamiseksi sekä kehitetään yhteinen lähestymistapa tutkittavaan ongelmaan. Tässä vaiheessa vaaditaan syvällistä ymmärrystä tehtävän olemuksesta. Joskus tehtävän oikea asettaminen ei ole yhtä vaikeaa kuin sen ratkaiseminen. Lavastus ei ole muodollinen prosessi, yleiset säännöt Ei.

2. Teoreettisten perusteiden tutkiminen ja tiedon kerääminen alkuperäisen esineestä.

Tässä vaiheessa valitaan tai kehitetään sopiva teoria. Jos sitä ei ole, objektia kuvaavien muuttujien välille muodostetaan syy-yhteys. Syöttö- ja lähtötiedot määritetään, tehdään yksinkertaistavia oletuksia.

3. Formalisointi.

Se koostuu symbolijärjestelmän valitsemisesta ja niiden käyttämisestä objektin komponenttien välisen suhteen kirjoittamiseen matemaattisten lausekkeiden muodossa. Perustetaan tehtäväluokka, johon tuloksena oleva objektin matemaattinen malli voidaan liittää. Joidenkin parametrien arvoja ei ehkä ole vielä määritetty tässä vaiheessa.

4. Ratkaisumenetelmän valinta.

Tässä vaiheessa mallien lopulliset parametrit asetetaan ottaen huomioon kohteen toiminnan ehdot. Saatulle matemaattiselle ongelmalle valitaan ratkaisumenetelmä tai kehitetään erityinen menetelmä. Menetelmää valittaessa otetaan huomioon käyttäjän tiedot, hänen mieltymyksensä sekä kehittäjän mieltymykset.

5. Mallin toteutus.

Algoritmin kehittelyn jälkeen kirjoitetaan ohjelma, josta tehdään virheenkorjaus, testataan ja löydetään ratkaisu haluttuun ongelmaan.

6. Saadun tiedon analyysi.

Vastaanotettua ja odotettua ratkaisua verrataan, mallinnusvirhettä kontrolloidaan.

7. Todellisen kohteen riittävyyden tarkistaminen.

Mallilla saatuja tuloksia verrataanjoko kohteesta saatavilla olevilla tiedoilla tai suoritetaan koe ja sen tuloksia verrataan laskettuihin.

Mallinnusprosessi on iteratiivinen. Jos vaiheiden tulokset eivät ole tyydyttäviä 6. tai 7. suoritetaan paluu johonkin alkuvaiheeseen, joka voi johtaa epäonnistuneen mallin kehittämiseen. Tätä vaihetta ja kaikkia myöhempiä vaiheita jalostetaan, ja tällainen mallin jalostus tapahtuu, kunnes saadaan hyväksyttäviä tuloksia.

1.1.2 2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

1) Mallinrakennus. Tässä vaiheessa määritellään jokin "ei-matemaattinen" kohde - luonnonilmiö, rakentaminen, taloudellinen suunnitelma, tuotantoprosessi jne. Tässä tapauksessa tilanteen selkeä kuvaus on yleensä vaikeaa. Ensin tunnistetaan ilmiön pääpiirteet ja niiden välinen suhde laadullisella tasolla. Sitten löydetyt laadulliset riippuvuudet muotoillaan matematiikan kielellä, eli rakennetaan matemaattinen malli. Tämä on mallintamisen vaikein osa.

2) Matemaattisen ongelman ratkaiseminen, johon malli johtaa. Tässä vaiheessa kiinnitetään paljon huomiota algoritmien ja numeeristen menetelmien kehittämiseen ongelman ratkaisemiseksi tietokoneella, joiden avulla tulos voidaan löytää vaaditulla tarkkuudella ja hyväksyttävässä ajassa.

3) Matemaattisen mallin tulosten tulkinta.Mallin matematiikan kielellä johdetut seuraukset tulkitaan tällä alalla hyväksytyllä kielellä.

4) Mallin riittävyyden tarkistaminen.Tässä vaiheessa selvitetään, ovatko kokeen tulokset yhtenevät mallin teoreettisten seurausten kanssa tietyllä tarkkuudella.

5) Mallin muutos.Tässä vaiheessa mallista tulee joko monimutkaisempi niin, että se vastaa paremmin todellisuutta, tai sitä yksinkertaistetaan käytännössä hyväksyttävän ratkaisun saavuttamiseksi.

1.1.3 3. Mallin luokitus

MATEMAATTINEN MALLINNUS JA YLEISET ATKETOIMENPITEET TAI SIMULATION MALLIT

Nyt, kun maassa tapahtuu lähes yleismaailmallista tietokoneistamista, voidaan kuulla eri ammattien asiantuntijoiden lausuntoja: "Otetaan tietokone käyttöön maassamme, niin kaikki tehtävät ratkaistaan välittömästi." Tämä näkökulma on täysin väärä, tietokoneet itse eivät voi tehdä mitään ilman tiettyjen prosessien matemaattisia malleja, ja universaalista tietokoneistamisesta voi vain haaveilla.

Edellä olevan tueksi yritämme perustella mallinnuksen, mukaan lukien matemaattisen mallinnuksen, tarpeen, paljastaa sen edut ulkomaailman tuntemisessa ja muuttamisessa henkilön toimesta, tunnistaa olemassa olevat puutteet ja siirtyä ... simulaatiomallinnukseen, ts. mallinnus tietokoneiden avulla. Mutta kaikki on kunnossa.

Ensinnäkin vastataan kysymykseen: mikä on malli?

Malli on materiaalinen tai henkisesti esitetty esine, joka kognitioprosessissa (tutkimuksessa) korvaa alkuperäisen, säilyttäen joitain tyypillisiä tämän tutkimuksen kannalta tärkeitä ominaisuuksia.

Hyvin rakennettu malli on tutkimukseen paremmin saatavilla kuin todellinen esine. Esimerkiksi maan talouden kokeiluja koulutustarkoituksiin ei voida hyväksyä, ilman mallia ei voi tulla toimeen.

Yhteenvetona sanotusta voimme vastata kysymykseen: mitä varten mallit ovat? Jotta

ymmärtää, miten esine toimii (sen rakenne, ominaisuudet, kehityslait, vuorovaikutus ulkomaailman kanssa).
oppia hallitsemaan kohdetta (prosessia) ja määrittämään parhaita strategioita
ennustaa esineeseen kohdistuvan iskun seuraukset.

Mitä positiivista missä tahansa mallissa on? Sen avulla voit saada uutta tietoa kohteesta, mutta valitettavasti se ei ole täydellistä jossain määrin.

Mallimatematiikan kielellä matemaattisilla menetelmillä muotoiltua kutsutaan matemaattiseksi malliksi.

Sen rakentamisen lähtökohtana on yleensä jokin tehtävä, esimerkiksi taloudellinen. Laajalle levinnyt, sekä kuvaava että optimoiva matemaattinen, luonnehtiva erilaisia taloudellisia prosesseja ja tapahtumia, kuten:

resurssien kohdentaminen
järkevä leikkaus
kuljetus
yritysten konsolidointi
verkon suunnittelu.

Miten matemaattinen malli rakennetaan?

Ensin määritellään tutkimuksen tarkoitus ja aihe.
Toiseksi korostetaan tätä tavoitetta vastaavia tärkeimpiä ominaisuuksia.
Kolmanneksi mallin elementtien väliset suhteet kuvataan sanallisesti.
Lisäksi suhde virallistetaan.
Ja laskenta suoritetaan matemaattisen mallin ja saadun ratkaisun analyysin mukaan.

Käyttämällä tämä algoritmi on mahdollista ratkaista mikä tahansa optimointiongelma, myös monitavoite, ts. sellainen, jossa ei pyritä yhteen, vaan useisiin tavoitteisiin, myös ristiriitaisiin.

Otetaan esimerkki. Jonoteoria - jonotuksen ongelma. Sinun on tasapainotettava kaksi tekijää - palvelulaitteiden ylläpitokustannukset ja jonossa pysymisen kustannukset. Mallin muodollisen kuvauksen rakentamisen jälkeen laskelmat tehdään analyyttisin ja laskennallisin menetelmin. Jos malli on hyvä, niin sen avulla löydetyt vastaukset sopivat mallinnusjärjestelmään, jos se on huono, sitä on parannettava ja korvattava. Riittävyyskriteeri on käytäntö.

Optimointimalleilla, myös monikriteerisillä malleilla, on yhteinen ominaisuus - tiedetään tavoite (tai useita tavoitteita) saavutettavaksi, jonka saavuttamiseksi on usein käsiteltävä monimutkaisia järjestelmiä, joissa ei ole niinkään kyse optimointiongelmien ratkaisemisesta, vaan tilojen tutkimisesta ja ennustamisesta. valituista ohjausstrategioista riippuen. Ja tässä kohtaamme vaikeuksia edellisen suunnitelman toteuttamisessa. Ne ovat seuraavat:

monimutkainen järjestelmä sisältää monia yhteyksiä elementtien välillä
todelliseen järjestelmään vaikuttavat satunnaiset tekijät, niitä on mahdotonta ottaa analyyttisesti huomioon
mahdollisuus verrata alkuperäistä malliin on olemassa vain matemaattisen laitteen käytön alussa ja sen jälkeen, koska välituloksilla ei välttämättä ole analogeja todellisessa järjestelmässä.

Listattujen monimutkaisten järjestelmien tutkimisessa ilmenevien vaikeuksien yhteydessä käytäntö vaati joustavampaa menetelmää, ja se ilmestyi - simulaatiomallinnus "Simulaatiomallinnus".

Yleensä simulaatiomallilla tarkoitetaan tietokoneohjelmia, jotka kuvaavat yksittäisten järjestelmälohkojen toimintaa ja niiden välisen vuorovaikutuksen sääntöjä. Satunnaismuuttujien käyttö edellyttää toistuvien kokeiden suorittamista simulaatiojärjestelmällä (tietokoneella) ja sen jälkeen saatujen tulosten tilastollista analysointia. Hyvin yleinen esimerkki simulaatiomallien käytöstä on jonotusongelman ratkaisu MONTE CARLO -menetelmällä.

Työ simulaatiojärjestelmän kanssa on siis tietokoneella suoritettua koetta. Mitä hyötyä siitä on?

– Suurempi läheisyys todelliseen järjestelmään kuin matemaattiset mallit;

– Lohkoperiaatteen avulla on mahdollista tarkistaa jokainen lohko ennen kuin se sisällytetään kokonaisjärjestelmään;

– Monimutkaisempien riippuvuuksien käyttö, joita ei kuvata yksinkertaisilla matemaattisilla suhteilla.

Luetellut edut määrittelevät haitat

– Simulaatiomallin rakentaminen on pidempää, vaikeampaa ja kalliimpaa;

– Simulaatiojärjestelmän kanssa työskentelyyn tarvitaan luokkaan sopiva tietokone;

– käyttäjän ja simulointimallin (rajapinnan) välinen vuorovaikutus ei saa olla liian monimutkaista, kätevää ja hyvin tunnettua;

- Simulaatiomallin rakentaminen edellyttää todellisen prosessin syvempää tutkimista kuin matemaattinen mallinnus.

Herää kysymys: voiko simulaatiomallinnus korvata optimointimenetelmät? Ei, mutta se täydentää niitä kätevästi. Simulaatiomalli on ohjelma, joka toteuttaa jonkin algoritmin, jonka ohjauksen optimoimiseksi ensin ratkaistaan optimointitehtävä.

Joten ei tietokone, matemaattinen malli tai algoritmi sen tutkimiseksi erikseen pysty ratkaisemaan melko monimutkaista ongelmaa. Mutta yhdessä he edustavat voimaa, jonka avulla voit tuntea ympäröivän maailman, hallita sitä ihmisen etujen mukaisesti.

1.2 Mallin luokitus

1.2.1
Luokittelu ottaen huomioon aikatekijä ja käyttöalue (Makarova N.A.)

Staattinen malli - se on kuin kertaluonteinen siivu tietoa kohteesta (yhden tutkimuksen tulos)
Dynaaminen malli sallii nähdä kohteen muutokset ajan myötä (kortti klinikalla)
Mallit voidaan luokitella sen mukaan mille tietoalueelle he kuuluvat(biologinen, historiallinen, ekologinen jne.)
Palaa alkuun

1.2.2 Luokittelu käyttöalueen mukaan (Makarova N.A.)

Koulutus- visuaalinen apuvälineet, valmentajat , voi lyöminen ohjelmia
Kokenut malleja alennettu kopiot (auto tuulitunnelissa)
Tieteellinen ja tekninen synkrofasotroni, teline elektronisten laitteiden testaamiseen
Peli- taloudellinen, urheilu, yrityspelit
simulointi- Ei ne yksinkertaisesti heijastavat todellisuutta, mutta jäljittelevät sitä (lääkkeitä testataan hiirillä, kokeita tehdään kouluissa jne. Tämä mallinnusmenetelmä on ns. yritys ja erehdys
Palaa alkuun

1.2.3 Luokittelu esitystavan mukaan Makarova N.A.)

materiaalia mallit- muuten voidaan kutsua aiheeksi. He havaitsevat alkuperäisen geometriset ja fysikaaliset ominaisuudet ja niillä on aina todellinen suoritusmuoto.
Tiedollinen mallit - ei sallittu kosketa tai katso. Ne perustuvat tietoon. .Tiedot malli on tietojoukko, joka kuvaa kohteen, prosessin, ilmiön ominaisuuksia ja tiloja sekä suhdetta ulkomaailmaan.
Sanallinen malli - tietomalli mentaalisessa tai keskustelullisessa muodossa.
Ikoninen mallitietoa merkkejä ilmaistava malli , eli. millä tahansa virallisella kielellä.
Tietokoneen malli - m Ohjelmistoympäristön avulla toteutettu malli.

1.2.4 Mallien luokittelu kirjassa "Informatiikan maa" (Gein A.G.))

"...tässä on näennäisen yksinkertainen tehtävä: kuinka kauan kestää ylittää Karakumin autiomaa? Vastaa tietysti riippuu matkustusmuodosta. Jos matkustaa eteenpäin kamelit, silloin vaaditaan yksi termi, toinen, jos menet autolla, kolmas, jos lennät lentokoneella. Ja mikä tärkeintä, matkan suunnitteluun tarvitaan erilaisia malleja. Ensimmäisessä tapauksessa tarvittava malli löytyy kuuluisien autiomaamatkailijoiden muistelmista: loppujen lopuksi ei voi tulla ilman tietoa keitaista ja kamelipoluista. Toisessa tapauksessa korvaamaton tieto, joka sisältyy teiden atlasiin. Kolmannessa - voit käyttää lentoaikataulua.
Nämä kolme mallia eroavat toisistaan - muistelmat, kartasto ja aikataulu sekä tiedon esittämisen luonne. Ensimmäisessä tapauksessa mallia edustaa tiedon sanallinen kuvaus (kuvaava malli), toisessa - kuin valokuva luonnosta (luonnollinen malli), kolmannessa - taulukko, joka sisältää symbolit: lähtö- ja saapumisaika, viikonpäivä, lipun hinta (ns. merkkimalli) Tämä jako on kuitenkin hyvin ehdollinen - karttoja ja kaavioita (täysimittaisen mallin elementtejä) löytyy muistelmista, kartoissa on symboleja (merkkimallin elementtejä), symbolien dekoodaus (kuvausmallin elementtejä). ) on ilmoitettu aikataulussa. Joten tämä mallien luokittelu ... mielestämme on tuottamaton"
Mielestäni tämä katkelma osoittaa kuvaavaa (ihana kieli ja esitystyyli), joka on yhteinen kaikille Geinin kirjoille ja ikään kuin sokraattinen opetustyyli (kaikki ajattelevat, että näin on. Olen täysin samaa mieltä kanssasi, mutta jos katsot tarkasti, niin ...). Tällaisissa kirjoissa on melko vaikea löytää selkeää määritelmäjärjestelmää (se ei ole kirjoittajan tarkoittanut). Oppikirjassa, jota on toimittanut N.A. Makarova esittelee erilaista lähestymistapaa - käsitteiden määritelmät ovat selvästi erottuvia ja hieman staattisia.

1.2.5 A.I. Bochkinin käsikirjassa annettu mallien luokitus

Luokittelutapoja on monia .Esitämme vain muutamia tunnetuimmista säätiöistä ja merkit: diskreetti Ja jatkuvuus, matriisi ja skalaarimallit, staattiset ja dynaamiset mallit, analyyttiset ja informaatiomallit, aihe- ja figuratiiviset merkkimallit, suuret ja ei-mittakaavaiset...
Jokainen merkki antaa tietyn tietoa sekä mallin että mallinnetun todellisuuden ominaisuuksista. Merkki voi toimia vihjeenä siitä, miten simulaatio on suoritettu tai aiotaan tehdä.
Diskreetti ja jatkuvuus diskreetti - tietokonemallien ominaisuus .Kuitenkin tietokone voi olla finaalissa, vaikkakin hyvin suurissa määrissä valtioita. Siksi, vaikka kohde olisi jatkuva (aika), mallissa se muuttuu hyppyissä. Sitä voisi harkita jatkuvuus merkki ei-tietokonemalleista.
Satunnaisuus ja determinismi . Epävarmuus, onnettomuus alun perin vastustanut tietokonemaailmaa: uudelleen käynnistetyn algoritmin on toistettava itseään ja annettava samat tulokset. Mutta satunnaisprosessien simuloimiseen käytetään pseudosatunnaislukuantureita. Satunnaisuuden tuominen deterministisiin ongelmiin johtaa tehokkaisiin ja mielenkiintoisiin malleihin (Random Tossing Area Calculation).
Matriisi - skalaari. Parametrien saatavuus matriisi malli osoittaa sen suurempaa monimutkaisuutta ja mahdollisesti tarkkuutta verrattuna skalaari. Esimerkiksi, jos emme erittele maan väestöstä kaikkia ikäryhmiä, niin sen muutos kokonaisuutena tarkasteltuna saadaan skalaarimalli (esim. Malthus-malli), jos erotellaan, matriisi (sukupuoli ja ikä) malli. Juuri matriisimallilla oli mahdollista selittää sodan jälkeiset syntyvyyden vaihtelut.
staattista dynamiikkaa. Nämä mallin ominaisuudet määräytyvät yleensä todellisen kohteen ominaisuuksien perusteella. Tässä ei ole valinnanvapautta. Vain staattinen malli voi olla askel kohti dynaaminen, tai joitain mallimuuttujia voidaan pitää toistaiseksi muuttumattomina. Esimerkiksi satelliitti liikkuu Maan ympäri, sen liikkeeseen vaikuttaa Kuu. Jos katsomme Kuun olevan paikallaan satelliitin vallankumouksen aikana, saadaan yksinkertaisempi malli.
Analyyttiset mallit. Prosessien kuvaus analyyttisesti, kaavat ja yhtälöt. Mutta kun yrität rakentaa kuvaajaa, on kätevämpää käyttää funktioarvojen ja argumenttien taulukoita.
simulaatiomalleja. simulointi mallit ilmestyivät kauan sitten suurten kopioiden muodossa laivoista, silloista jne. ilmestyivät kauan sitten, mutta tietokoneiden yhteydessä niitä harkitaan viime aikoina. Tietäen kuinka kytketty mallielementtejä analyyttisesti ja loogisesti on helpompi olla ratkaisematta tiettyjen suhteiden ja yhtälöiden järjestelmää, vaan kartoittaa todellinen järjestelmä tietokoneen muistiin muistielementtien väliset linkit huomioon ottaen.
Tietomallit. Tiedollinen On tapana vastustaa malleja matemaattisille, tarkemmin sanottuna algoritmisille. Data/algoritmi-suhde on tärkeä tässä. Jos dataa on enemmän tai ne ovat tärkeämpiä, meillä on tietomalli, muuten - matemaattinen.
Aihemallit. Tämä on ensisijaisesti lasten malli - lelu.
Kuvannomainen merkki mallit. Se on ensisijaisesti malli ihmismielessä: kuvaannollinen, jos graafiset kuvat ovat vallitsevia, ja ikoninen, jos on enemmän kuin sanoja ja/tai numeroita. Kuvaavien merkkien mallit rakennetaan tietokoneelle.
mittakaavassa malleja. TO laajamittaista mallit ovat kohteen tai kuviollisia malleja, jotka toistavat kohteen (kartan) muodon.

Matemaattinen malli b on todellisuuden matemaattinen esitys.

Matemaattinen mallinnus- matemaattisten mallien rakentamis- ja tutkimisprosessi.

Kaikki luonnon- ja yhteiskuntatieteet, jotka käyttävät matemaattista laitteistoa, harjoittavat itse asiassa matemaattista mallintamista: ne korvaavat todellisen kohteen sen matemaattisella mallilla ja tutkivat sitten jälkimmäistä.

Määritelmät.

Mikään määritelmä ei voi täysin kattaa matemaattisen mallinnuksen tosielämän toimintaa. Tästä huolimatta määritelmät ovat hyödyllisiä, koska ne pyrkivät tuomaan esiin tärkeimmät piirteet.

Mallin määritelmä A. A. Lyapunovin mukaan: Mallintaminen on kohteen epäsuora käytännöllinen tai teoreettinen tutkimus, jossa ei tutkita suoraan meitä kiinnostavaa kohdetta, vaan jotain apukeinotekoista tai luonnollista järjestelmää:

sijaitsee jossain objektiivisessa vastaavuudessa tunnistettavissa olevan kohteen kanssa;

voi korvata hänet tietyissä suhteissa;

joka tutkimuksensa aikana lopulta antaa tietoa mallinnettavasta kohteesta.

Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan "malli on alkuperäisen esineen objektin korvike, joka tarjoaa alkuperäisen joidenkin ominaisuuksien tutkimuksen." "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." "Matemaattisessa mallinnuksessa ymmärrämme prosessin, jossa muodostetaan vastaavuus tietylle matemaattiselle objektille, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, joka mahdollistaa tarkasteltavan todellisen kohteen ominaisuuksien saamisen. Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että objektin tutkimisen tehtävistä sekä tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Samarskin ja Mikhailovin mukaan matemaattinen malli on esineen "ekvivalentti", joka heijastaa matemaattisessa muodossa sen tärkeimpiä ominaisuuksia: lakeja, joita se noudattaa, sen osien luontaisia yhteyksiä jne. Se on olemassa kolmiossa " malli-algoritmi-ohjelma”. Luotuaan "malli-algoritmi-ohjelma"-kolmikon tutkija saa universaalin, joustavan ja edullisen työkalun, joka ensin debuggoidaan ja testataan koelaskentakokeissa. Kun kolmikon soveltuvuus alkuperäiseen kohteeseen on todettu, mallilla suoritetaan erilaisia ja yksityiskohtaisia "kokeita", jotka antavat kaikki objektin vaadittavat laadulliset ja määrälliset ominaisuudet ja ominaisuudet.

Myshkisin monografian mukaan: "Siirrytään yleiseen määritelmään. Aiomme tutkia todellisen kohteen a ominaisuuksien joukkoa S

matematiikan avulla. Tätä varten valitsemme "matemaattisen objektin" a" - yhtälöjärjestelmän tai aritmeettiset suhteet tai geometriset kuviot tai molempien yhdistelmä jne. - jota tutkimalla matematiikan avulla pitäisi vastata esitettyihin kysymyksiin S:n ominaisuudet. Näissä olosuhteissa a" kutsutaan kohteen a matemaattiseksi malliksi sen ominaisuuksien kokonaismäärän S suhteen".

A. G. Sevostyanovin mukaan: "Matemaattinen malli on joukko matemaattisia suhteita, yhtälöitä, epäyhtälöitä jne., jotka kuvaavat tutkittavan prosessin, objektin tai järjestelmän päämalleja."

Jonkin verran vähemmän yleinen määritelmä matemaattinen malli, joka perustuu idealisointiin "tulo - lähtö - tila", lainattu automaattiteoriasta, antaa Wikisanakirjalle: "Abstrakti matemaattinen esitys prosessista, laitteesta tai teoreettisesta ideasta; se käyttää joukkoa muuttujia kuvaamaan syötteitä, lähtöjä ja sisäisiä tiloja sekä yhtälö- ja epäyhtälösarjoja kuvaamaan niiden vuorovaikutusta."

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee idean."

Mallien muodollinen luokittelu.

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista on:

Lineaariset tai epälineaariset mallit; Keskitetyt tai hajautetut järjestelmät; Deterministinen tai stokastinen; Staattinen tai dynaaminen; diskreetti tai jatkuva.

Luokittelu kohteen esitystavan mukaan.

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla ne edustavat objektia:

Rakennemallit edustavat kohdetta järjestelmänä, jolla on oma laite ja toimintamekanismi. Funktionaaliset mallit eivät käytä tällaisia esityksiä ja heijastavat vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä. Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "harmaiksi laatikoiksi".

Melkein kaikki matemaattisen mallintamisen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ideaalinen konstruktio, mielekäs malli. Tässä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanneobjektia käsitteelliseksi malliksi, spekulatiiviseksi malliksi tai esimalliksi. Tässä tapauksessa lopullista matemaattista konstruktiota kutsutaan muodolliseksi malliksi tai yksinkertaisesti matemaattiseksi malliksi, joka saadaan tämän sisältömallin formalisoinnin tuloksena. Mielekäs malli voidaan rakentaa käyttämällä valmiita idealisaatioita, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneosia mielekkääseen mallinnukseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita, mielekkäiden mallien luominen tulee paljon monimutkaisempaa.

R. Peierlsin työ antaa luokituksen fysiikassa ja laajemmin luonnontieteissä käytetyistä matemaattisista malleista. A. N. Gorbanin ja R. G. Khleboprosin kirjassa tätä luokitusta analysoidaan ja laajennetaan. Tämä luokittelu keskittyy ensisijaisesti mielekkään mallin rakentamisvaiheeseen.

Nämä mallit "edustavat ilmiön koekuvausta, ja kirjoittaja joko uskoo sen mahdollisuuteen tai jopa pitää sitä todeksi". R. Peierlsin mukaan tämä on esimerkiksi malli aurinkokunta Ptolemaioksen ja Kopernikaanisen mallin, Rutherfordin atomin mallin ja alkuräjähdyksen mallin mukaan.

Mitään tieteen hypoteesia ei voida todistaa lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina kyky kumota teoria, mutta huomaa, että emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että esität onnistuneen hypoteesin, lasket mihin se johtaa ja huomaat, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, ettet pystynyt kumoamaan sitä.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uusi data ja teoriat vahvistavat fenomenologiset mallit ja niitä päivitetään

hypoteesin tila. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin mallien-hypoteesien kanssa ja siirtyä toiseen. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa se siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat siirtyneet tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls erottaa mallinnuksen kolme tyyppiä yksinkertaistamista.

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleinen tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö. Niiden joukossa on lineaarisia vastemalleja. Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Tavallinen esimerkki on Ohmin laki.

Jos käytämme mallia ihanteellinen kaasu kuvaamaan riittävän harvinaisia kaasuja, tämä on tyypin 3 malli. Lisätietoja korkeat tiheydet kaasua, on myös hyödyllistä kuvitella yksinkertaisempi tilanne, jossa ihanteellinen kaasu laadulliseen ymmärtämiseen ja arviointiin, mutta silloin tämä on jo tyyppi 4.

Tyypin 4 mallissa hylätään yksityiskohdat, jotka voivat vaikuttaa tulokseen huomattavasti, eivätkä aina hallittavasti. Samat yhtälöt voivat toimia tyypin 3 tai tyypin 4 mallina riippuen ilmiöstä, jota mallia käytetään tutkimaan. Joten jos lineaarisia vastemalleja käytetään monimutkaisempien mallien puuttuessa, niin nämä ovat jo fenomenologisia lineaarisia malleja ja kuuluvat seuraavaan tyyppiin 4.

Esimerkkejä: ihanteellisen kaasumallin soveltaminen ei-ideaaliseen malliin, van der Waalsin tilayhtälö, useimmat kiinteän olomuodon, nesteen ja ydinfysiikan mallit. Polku mikrokuvauksesta suuresta määrästä hiukkasista koostuvien kappaleiden ominaisuuksiin on hyvin pitkä. Monet yksityiskohdat on jätettävä pois. Tämä johtaa neljännen tyypin malleihin.

Heuristinen malli säilyttää vain laadullisen samankaltaisuuden todellisuuden kanssa ja tekee ennusteita vain "suuruusjärjestyksessä". Tyypillinen esimerkki on keskimääräinen vapaan polun approksimaatio kineettisessä teoriassa. Se antaa yksinkertaisia kaavoja viskositeetin, diffuusion ja lämmönjohtavuuden kertoimille, jotka ovat suuruusjärjestyksessä todellisuuden mukaisia.

Mutta kun rakennetaan uutta fysiikkaa, ei välttämättä saada heti mallia, joka antaa ainakin laadullisen kuvauksen kohteesta - viidennen tyypin malli. Tässä tapauksessa mallia käytetään usein analogisesti, heijastaen todellisuutta ainakin jollain tavalla.

R. Peierls lainaa analogioiden käytön historiaa W. Heisenbergin ensimmäisessä artikkelissa ydinvoimien luonteesta. "Tämä tapahtui neutronin löytämisen jälkeen, ja vaikka W. Heisenberg itse ymmärsi, että ytimiä voidaan kuvata neutroneista ja protoneista koostuvana, hän ei kuitenkaan päässyt eroon ajatuksesta, että neutronin tulisi lopulta koostua protonista ja elektronista . Tässä tapauksessa syntyi analogia neutroni-protonijärjestelmän vuorovaikutuksen ja vetyatomin ja protonin vuorovaikutuksen välillä. Juuri tämä analogia johti hänet siihen johtopäätökseen, että neutronin ja protonin välillä täytyy olla vuorovaikutuksen vaihtovoimia, jotka ovat analogisia H - H -järjestelmän vaihtovoimien kanssa, koska elektroni siirtyy kahden protonin välillä. ... Myöhemmin neutronin ja protonin välisten vuorovaikutusvoimien olemassaolo kuitenkin todistettiin, vaikka ne eivät olleetkaan täysin loppuneet

kahden hiukkasen välinen vuorovaikutus... Mutta samaa analogiaa seuraten W. Heisenberg päätyi siihen johtopäätökseen, että kahden protonin välillä ei ole ydinvoimia ja kahden neutronin välistä hylkimistä. Molemmat viimeksi mainitut havainnot ovat ristiriidassa myöhempien tutkimusten tulosten kanssa.

A. Einstein oli yksi ajatuskokeilun suurista mestareista. Tässä on yksi hänen kokeiluistaan. Se syntyi nuoruudessa ja johti lopulta rakentamiseen erityinen teoria suhteellisuusteoria. Oletetaan, että klassisessa fysiikassa seuraamme valoaaltoa valonnopeudella. Tarkkailemme sähkömagneettista kenttää, joka muuttuu ajoittain avaruudessa ja muuttuu ajassa vakiona. Maxwellin yhtälöiden mukaan näin ei voi olla. Tästä nuori Einstein päätteli: joko luonnonlait muuttuvat, kun vertailukehys muuttuu, tai valon nopeus ei riipu viitekehyksestä. Hän valitsi toisen - kauniimman vaihtoehdon. Toinen kuuluisa Einsteinin ajatuskoe on Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Nämä ovat myös ajatuskokeita kuvitteellisilla kokonaisuuksilla, jotka osoittavat, että väitetty ilmiö on perusperiaatteiden mukainen ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero tyypin 7 malleista, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista tällaisista kokeista on Lobachevskyn geometria. Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. muodollisesti kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi osoittamaan kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuutta. Täysin suunnittelemattomalla tavalla siitä tuli lopulta tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja m-massasta, joka on kiinnitetty jousen vapaaseen päähän. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suunnassa. Tehdään tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyydellä x kuorman keskipisteestä sen tasapainoasentoon. Kuvaamme jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken lakia, minkä jälkeen käytämme Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa x:n toista derivaatta ajan suhteen.

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisen aikana teimme monia oletuksia, jotka eivät ehkä pidä paikkaansa todellisuudessa.

Todellisuuden suhteen tämä on useimmiten tyypin 4 malli, yksinkertaistus, koska joitakin olennaisia universaaleja piirteitä on jätetty pois. Joissakin likimäärissä tällainen malli kuvaa todellista mekaanista järjestelmää melko hyvin, koska

hylätyillä tekijöillä on vähäinen vaikutus sen käyttäytymiseen. Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi soveltamisala.

Kovia ja pehmeitä malleja.

Tässä - jokin toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyden riippuvuuden sen venytysasteesta, ε - jokin pieni parametri. F-funktion eksplisiittinen muoto ei kiinnosta meitä tällä hetkellä. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan eroa kovan mallin käyttäytymisestä, ongelma rajoittuu kovan mallin tutkimiseen. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattorin yhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita

Eli värähtelyjä, joilla on vakioamplitudi. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee loputtomasti vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon systeemi, jossa on mielivaltaisen pieni kitka, saamme vaimentuneet värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut laadullisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienessä häiriössä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin käyttää prosessien tutkimiseen rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallin monipuolisuus.

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä universaalisuuden ominaisuus: olennaisesti erilaisia todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori kuvaa jousen kuorman käyttäytymisen lisäksi myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen pinnan vaihteluita U-muotoisessa astiassa tai virran voimakkuuden muutos värähtelevässä piirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Juuri tämä matemaattisten mallien ilmaisemien lakien isomorfismi tieteellisen tiedon eri segmenteissä johti Ludwig von Bertalanffyn luomaan yleisen järjestelmäteorian.

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

kappaleita eri materiaaleista, jokainen materiaali määritellään sen vakiomekaaniseksi idealisoinniksi, jonka jälkeen laaditaan yhtälöt, matkan varrella hylätään joitakin yksityiskohtia merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, jalostetaan mallia ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora tehtävä: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on tutkia mallia hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Mitä staattista kuormitusta silta kestää? Miten se reagoi dynaamiseen kuormaan, miten kone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta ongelmasta. Oikean suoran ongelman muotoilu vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Isossa-Britanniassa romahti metallisilta Tey-joen yli, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvamarginaaliksi, mutta unohtivat niissä jatkuvasti puhaltavat tuulet. paikoissa. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

SISÄÄN Yksinkertaisimmassa tapauksessa suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: joukko mahdollisia malleja tunnetaan, on tarpeen valita tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne tunnetaan ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat sisältää empiirisiä lisätietoja tai kohteen vaatimuksia. Lisätietoa voi tulla käänteisongelman ratkaisuprosessista riippumatta tai ratkaisun yhteydessä erityisesti suunnitellun kokeen tulosta.

SISÄÄN Toinen esimerkki on matemaattiset tilastot. Tämän tieteen tehtävänä on kehittää menetelmiä havainnointi- ja kokeellisen tiedon tallentamiseksi, kuvaamiseksi ja analysoimiseksi, jotta voidaan rakentaa todennäköisyysmalleja massasatunnaisista ilmiöistä. Nuo. mahdollisten mallien joukkoa rajoittavat todennäköisyysmallit. Tietyissä ongelmissa mallien joukko on rajallisempi.

Mallintamisen tietokonejärjestelmät.

Matemaattisen mallintamisen tukemiseksi on kehitetty tietokonematemaattisia järjestelmiä, esimerkiksi Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim jne. Niiden avulla voit luoda muodollisia ja lohkomalleja sekä yksinkertaisista että monimutkaisista prosesseista ja laitteista sekä muuttaa malliparametreja helposti niiden aikana. simulointi. Lohkomalleja edustavat lohkot, joiden sarja ja kytkentä määritellään mallikaaviossa.

Muita esimerkkejä.

Kasvuvauhti on verrannollinen nykyiseen väestömäärään. Sitä kuvataan differentiaaliyhtälöllä

jossa α on jokin hedelmällisyyden ja kuolleisuuden välisen eron määräämä parametri. Tämän yhtälön ratkaisu on eksponentiaalinen funktio x = x0 e. Jos syntyvyys ylittää kuolleisuuden, väestön koko kasvaa loputtomasti ja erittäin nopeasti. On selvää, että todellisuudessa näin ei voi tapahtua rajallisuuden vuoksi

resursseja. Kun tietty kriittinen populaatiokoko saavutetaan, malli lakkaa olemasta riittävä, koska se ei ota huomioon rajallisia resursseja. Malthus-mallin jalostus voi olla logistinen malli, jota kuvaa Verhulstin differentiaaliyhtälö

missä xs on "tasapainon" populaation koko, jossa kuolleisuus kompensoi täsmälleen syntyvyyden. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon xs , ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti stabiilia.

Oletetaan, että tietyllä alueella elää kahdenlaisia eläimiä: kaneja ja kettuja. Olkoon kanien lukumäärä x, kettujen lukumäärä y. Käyttämällä Malthus-mallia tarvittavin korjauksin, ottaen huomioon kettujen syömän kanin, päädymme seuraavaan järjestelmään, joka kantaa Lotka-Volterra-mallin nimeä:

Tällä järjestelmällä on tasapainotila, kun kanien ja kettujen lukumäärä on vakio. Tästä tilasta poikkeaminen johtaa kanien ja kettujen lukumäärän vaihteluihin, jotka ovat samanlaisia kuin harmonisen oskillaattorin vaihtelut. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti vakaata: pieni muutos mallissa voi johtaa laadulliseen muutokseen käyttäytymisessä. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja väestönvaihtelut hiipuvat. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu, Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Matemaattisten mallien tyypit. Erilaisia tapoja rakentaa matemaattinen malli

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Luokittelu objektin esittämistavan mukaan

Sisältö ja muodolliset mallit

Mielekäs mallien luokittelu

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Tyyppi 3: Lähentäminen (jotain pidetään erittäin suurena tai erittäin pienenä)

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Esimerkki

Kovia ja pehmeitä malleja

Mallien yleismaailmallisuus

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Tietokonesimulaatiojärjestelmät

Muita esimerkkejä

Malthus malli

peto-saalisjärjestelmä

Huomautuksia

Matemaattinen mallinnus

1. Mitä matemaattinen mallinnus on?

2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

3. Mallien luokittelu

4. Esimerkkejä matemaattisista malleista

1.1.2 2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

1.1.3 3. Mallin luokitus

1.2 Mallin luokitus

1.2.1
Luokittelu ottaen huomioon aikatekijä ja käyttöalue (Makarova N.A.)

1.2.2 Luokittelu käyttöalueen mukaan (Makarova N.A.)

1.2.3 Luokittelu esitystavan mukaan Makarova N.A.)

1.2.4 Mallien luokittelu kirjassa "Informatiikan maa" (Gein A.G.))

1.2.5 A.I. Bochkinin käsikirjassa annettu mallien luokitus

Kirjoittamisen alkuperä ja kehitys - abstrakti

Säveltäjä Raimonds Pauls: elämäkerta, henkilökohtainen elämä, luovuus Raimonds Pauls - elämäkerta

Matemaattisten mallien tyypit. Erilaisia ​​tapoja rakentaa matemaattinen malli

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Luokittelu objektin esittämistavan mukaan

Sisältö ja muodolliset mallit

Mielekäs mallien luokittelu

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Tyyppi 3: Lähentäminen (jotain pidetään erittäin suurena tai erittäin pienenä)

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Esimerkki

Kovia ja pehmeitä malleja

Mallien yleismaailmallisuus

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Tietokonesimulaatiojärjestelmät

Muita esimerkkejä

Malthus malli

peto-saalisjärjestelmä

Huomautuksia

Matemaattinen mallinnus

1. Mitä matemaattinen mallinnus on?

2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

3. Mallien luokittelu

4. Esimerkkejä matemaattisista malleista

1.1.2 2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

1.1.3 3. Mallin luokitus

1.2 Mallin luokitus

1.2.1 Luokittelu ottaen huomioon aikatekijä ja käyttöalue (Makarova N.A.)

1.2.2 Luokittelu käyttöalueen mukaan (Makarova N.A.)

1.2.3 Luokittelu esitystavan mukaan Makarova N.A.)

1.2.4 Mallien luokittelu kirjassa "Informatiikan maa" (Gein A.G.))

1.2.5 A.I. Bochkinin käsikirjassa annettu mallien luokitus

Kirjoittamisen alkuperä ja kehitys - abstrakti

Säveltäjä Raimonds Pauls: elämäkerta, henkilökohtainen elämä, luovuus Raimonds Pauls - elämäkerta

Matemaattisten mallien tyypit. Erilaisia tapoja rakentaa matemaattinen malli

1.2.1
Luokittelu ottaen huomioon aikatekijä ja käyttöalue (Makarova N.A.)