Aloitamme trigonometrian tutkimisen suorakulmaisella kolmiolla. Määritellään mitä ovat sini ja kosini sekä terävän kulman tangentti ja kotangentti. Nämä ovat trigonometrian perusteet.

Muista tuo oikea kulma on 90 asteen kulma. Toisin sanoen puolet avatusta kulmasta.

Terävä kulma- alle 90 astetta.

Tylppä kulma- yli 90 astetta. Suhteessa sellaiseen kulmaan "tyhppä" ei ole loukkaus, vaan matemaattinen termi :-)

Piirretään suorakulmainen kolmio. Yleensä merkitään suora kulma. Huomaa, että kulman vastakkainen puoli on merkitty samalla kirjaimella, vain pienellä. Siten kulmaa A vastapäätä oleva sivu on merkitty.

Kulma on merkitty vastaavalla kreikkalaisella kirjaimella.

Hypotenuusa Suorakulmainen kolmio on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu.

Jalat- vastakkaiset puolet terävät kulmat.

Kulmaa vastapäätä olevaa jalkaa kutsutaan vastapäätä(suhteessa kulmaan). Toista jalkaa, joka sijaitsee kulman toisella puolella, kutsutaan vieressä.

Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:

Kosini terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde hypotenuusaan:

Tangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - vastakkaisen jalan suhde viereiseen:

Toinen (ekvivalentti) määritelmä: terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:

Kotangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde vastakkaiseen (tai vastaavasti kosinin ja sinin suhde):

Kiinnitä huomiota sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perussuhteisiin, jotka on annettu alla. Niistä on meille hyötyä ongelmien ratkaisemisessa.

Todistakaamme joitain niistä.

Okei, olemme antaneet määritelmät ja kirjoitetut kaavat. Mutta miksi tarvitsemme siniä, kosinia, tangenttia ja kotangenttia?

Tiedämme sen minkä tahansa kolmion kulmien summa on.

Tiedämme välisen suhteen juhlia suorakulmainen kolmio. Tämä on Pythagoraan lause: .

Osoittautuu, että kun tiedät kolmion kaksi kulmaa, voit löytää kolmannen. Kun tiedät suoran kolmion kaksi sivua, voit löytää kolmannen. Joten kulmille - niiden suhde, sivuille - omansa. Mutta mitä tehdä, jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan yksi kulma (lukuun ottamatta suoraa) ja yksi sivu, mutta sinun on löydettävä muut sivut?

Tätä ihmiset kohtasivat menneisyydessä tehdessään karttoja alueesta ja tähtitaivasta. Loppujen lopuksi ei aina ole mahdollista mitata suoraan kolmion kaikkia sivuja.

Sini, kosini ja tangentti - niitä kutsutaan myös kulman trigonometriset funktiot- anna suhde juhlia Ja kulmat kolmio. Kun tiedät kulman, voit löytää kaikki sen trigonometriset funktiot erityisten taulukoiden avulla. Ja kun tiedät kolmion ja sen yhden sivun kulmien sinit, kosinit ja tangentit, voit löytää loput.

Piirrämme myös taulukon sini-, kosini-, tangentti- ja kotangenttiarvoista "hyville" kulmille välillä -.

Huomaa kaksi punaista viivaa taulukossa. Kulmien vastaaville arvoille tangenttia ja kotangenttia ei ole olemassa.

Analysoidaan useita trigonometrian ongelmia FIPI-tehtävien pankista.

1. Kolmiossa kulma on , . Löytö .

Ongelma ratkeaa neljässä sekunnissa.

Koska , .

2. Kolmiossa kulma on , , . Löytö .

Etsitään Pythagoraan lauseella.

Ongelma ratkaistu.

Usein ongelmissa on kolmioita, joissa on kulmat ja tai kulmat ja . Muista niiden perussuhteet ulkoa!

Kolmiolle, jossa on kulmat ja kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

Kolmio, jossa on kulmia ja on tasakylkinen. Siinä hypotenuusa on kertaa suurempi kuin jalka.

Pohdimme tehtäviä suorakulmaisten kolmioiden ratkaisemiseksi - eli tuntemattomien sivujen tai kulmien löytämiseksi. Mutta ei siinä vielä kaikki! SISÄÄN KÄYTÄ vaihtoehtoja matematiikassa on monia ongelmia, joissa esiintyy kolmion ulkokulman sini, kosini, tangentti tai kotangentti. Tästä lisää seuraavassa artikkelissa.

Tässä artikkelissa näytämme kuinka kulman ja luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät trigonometriassa. Täällä puhumme merkinnöistä, annamme esimerkkejä tietueista, annamme graafisia kuvia. Lopuksi vedämme rinnakkaisuuden sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien välille trigonometriassa ja geometriassa.

Sivulla navigointi.

Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmä

Seurataan kuinka käsite sini, kosini, tangentti ja kotangentti muodostuu koulun matematiikan kurssilla. Geometrian tunneilla annetaan suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmä. Ja myöhemmin tutkitaan trigonometriaa, joka viittaa kiertokulman ja luvun siniin, kosiniin, tangenttiin ja kotangenttiin. Annamme kaikki nämä määritelmät, annamme esimerkkejä ja annamme tarvittavat kommentit.

Terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa

Geometrian kurssista tunnetaan suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät. Ne on annettu suorakulmaisen kolmion sivujen suhteena. Esittelemme niiden muotoilut.

Määritelmä.

Terävän kulman sini suorakulmaisessa kolmiossa on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan.

Määritelmä.

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Määritelmä.

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.

Määritelmä.

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen jalan suhde vastakkaiseen jalkaan.

Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin merkintä on myös otettu käyttöön - sin, cos, tg ja ctg, vastaavasti.

Esimerkiksi, jos ABC on suorakulmainen kolmio, jolla on suora kulma C, niin terävän kulman A sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran BC suhde hypotenuusaan AB, eli sin∠A=BC/AB.

Näiden määritelmien avulla voit laskea terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot suorakulmaisen kolmion sivujen tunnetuista pituuksista sekä sinin, kosinin, tangentti, kotangentti ja yhden sivun pituus, selvitä muiden sivujen pituudet. Jos esimerkiksi tietäisimme, että suorakulmaisessa kolmiossa jalka AC on 3 ja hypotenuusa AB on 7 , voisimme laskea terävän kulman A kosinin määritelmän mukaan: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Pyörimiskulma

Trigonometriassa he alkavat tarkastella kulmaa laajemmin - he ottavat käyttöön kiertokulman käsitteen. Pyörimiskulmaa, toisin kuin terävää kulmaa, eivät rajoita kehykset 0 - 90 astetta, kiertokulma asteina (ja radiaaneina) voidaan ilmaista millä tahansa reaaliluvulla välillä −∞ - +∞.

Tässä valossa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät eivät ole enää terävä kulma, vaan mielivaltaisen suuruinen kulma - kiertokulma. Ne on annettu pisteen A 1 x ja y koordinaattien kautta, johon ns. alkupiste A(1, 0) kulkee kiertyessään kulman α läpi pisteen O ympäri - suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän alku. ja yksikköympyrän keskipiste.

Määritelmä.

Pyörimiskulman siniα on pisteen A 1 ordinaatta, eli sinα=y .

Määritelmä.

kiertokulman kosiniα:ta kutsutaan pisteen A 1 abskissaksi, eli cosα=x .

Määritelmä.

Pyörimiskulman tangenttiα on pisteen A 1 ordinaatin suhde sen abskissaan, eli tgα=y/x .

Määritelmä.

Pyörimiskulman kotangenttiα on pisteen A 1 abskissan suhde sen ordinaataan, eli ctgα=x/y .

Sini ja kosini määritellään mille tahansa kulmille α , koska voimme aina määrittää pisteen abskissan ja ordinaatin, joka saadaan kiertämällä aloituspistettä kulman α läpi. Ja tangenttia ja kotangenttia ei ole määritelty millekään kulmille. Tangenttia ei ole määritelty sellaisille kulmille α, joissa alkupiste menee pisteeseen, jossa on nolla abskissa (0, 1) tai (0, −1) , ja tämä tapahtuu kulmissa 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Todellakin, tällaisissa kiertokulmissa lausekkeessa tgα=y/x ei ole järkeä, koska se sisältää jaon nollalla. Mitä tulee kotangenttiin, sitä ei ole määritelty sellaisille kulmille α, joissa aloituspiste menee pisteeseen, jonka ordinaatit ovat nolla (1, 0) tai (−1, 0) , ja tämä pätee kulmiin 180° k , k ∈Z (π k rad).

Joten sini ja kosini määritellään kaikille kiertokulmille, tangentti on määritelty kaikille kulmille paitsi 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ja kotangentti kaikille kulmille paitsi 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Meille jo tutut merkinnät esiintyvät määritelmissä sin, cos, tg ja ctg, niillä merkitään myös kiertokulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti (joskus merkintä tan ja cot vastaavat tangenttia ja kotangentti). Joten 30 asteen kiertokulman sini voidaan kirjoittaa sin30°:ksi, tietueet tg(−24°17′) ja ctgα vastaavat kiertokulman tangenttia −24 astetta 17 minuuttia ja kiertokulman α kotangenttia. . Muista, että kun kirjoitetaan kulman radiaanimitta, merkintä "rad" jätetään usein pois. Esimerkiksi kolmen pi rad:n kiertokulman kosini merkitään yleensä cos3 π .

Tämän kappaleen lopuksi on syytä huomata, että puhuttaessa kiertokulman sinistä, kosinista, tangentista ja kotangentista ilmaus "kiertokulma" tai sana "kierto" jätetään usein pois. Eli ilmaisun "kiertokulman sini alfa" sijaan käytetään yleensä ilmaisua "alfan kulman sini" tai vielä lyhyempää - "alfan sini". Sama koskee kosinia, tangenttia ja kotangenttia.

Oletetaan myös, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät ovat yhdenmukaisia ​​0-90 kiertokulman sinille, kosinille, tangentille ja kotangentille annettujen määritelmien kanssa. astetta. Perustelemme tämän.

Numerot

Määritelmä.

Luvun sini, kosini, tangentti ja kotangentti t on luku, joka on yhtä suuri kuin kiertokulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti t radiaaneina.

Esimerkiksi luvun 8 π kosini on määritelmän mukaan luku kosini kulma 8 π rad. Ja kulman kosini 8 π rad:ssa on yhtä suuri kuin yksi, joten luvun 8 π kosini on yhtä suuri kuin 1.

On olemassa toinen lähestymistapa luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määrittelyyn. Se koostuu siitä, että jokainen reaaliluku t liittyy pisteeseen yksikköympyrä keskitetty suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän alkupisteeseen, ja sini, kosini, tangentti ja kotangentti määritellään kyseisen pisteen koordinaatteina. Mietitään tätä tarkemmin.

Osoitetaan, kuinka reaalilukujen ja ympyrän pisteiden välinen vastaavuus määritetään:

• aloituspisteelle A(1, 0) annetaan numero 0 ;
• positiivinen luku t liittyy yksikköympyrän pisteeseen, johon pääsemme, jos siirrymme ympyrän ympäri aloituspisteestä vastapäivään ja kuljemme t pituisen polun läpi;
• negatiivinen numero t vastaa yksikköympyrän pistettä, jonka saavutamme, jos siirrymme ympyrän ympäri alkupisteestä myötäpäivään ja kuljemme polun, jonka pituus on |t| .

Siirrytään nyt luvun t sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmiin. Oletetaan, että luku t vastaa ympyrän A 1 (x, y) pistettä (esim. luku &pi/2; vastaa pistettä A 1 (0, 1) ).

Määritelmä.

Luvun sini t on lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaatta, eli sint=y .

Määritelmä.

Luvun kosini t kutsutaan lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen abskissaksi eli kustannus=x .

Määritelmä.

Luvun tangentti t on lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaatan suhde abskissaan, eli tgt=y/x. Toisessa vastaavassa formulaatiossa luvun t tangentti on tämän luvun sinin ja kosinin suhde, eli tgt=sint/kustannus .

Määritelmä.

Luvun kotangentti t on abskissan suhde lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaattoihin, eli ctgt=x/y. Toinen muotoilu on seuraava: luvun t tangentti on luvun t kosinin ja luvun t sinin suhde: ctgt=kustannus/sint .

Tässä huomautetaan, että juuri annetut määritelmät sopivat tämän alakohdan alussa annetun määritelmän kanssa. Todellakin, lukua t vastaavan yksikköympyrän piste osuu yhteen pisteen kanssa, joka saadaan kiertämällä aloituspistettä t radiaanin kulman läpi.

Myös tämä seikka kannattaa selventää. Oletetaan, että meillä on sin3-merkintä. Kuinka ymmärtää, onko kyseessä luvun 3 sini vai 3 radiaanin kiertokulman sini? Tämä on yleensä selvää asiayhteydestä, muuten sillä ei todennäköisesti ole väliä.

Kulma- ja numeerisen argumentin trigonometriset funktiot

Edellisessä kappaleessa annettujen määritelmien mukaan jokainen kiertokulma α vastaa hyvin määriteltyä arvoa sin α sekä arvoa cos α . Lisäksi kaikki muut kuin 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) kiertokulmat vastaavat arvoja tgα ja muut kuin 180° k , k∈Z (π k rad ) ovat ctgα:n arvot. Siksi sinα, cosα, tgα ja ctgα ovat kulman α funktioita. Toisin sanoen nämä ovat kulma-argumentin funktioita.

Vastaavasti voimme puhua numeerisen argumentin funktioista sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Itse asiassa jokainen reaaliluku t vastaa hyvin määriteltyä sintin arvoa sekä kustannusta. Lisäksi kaikki muut luvut kuin π/2+π·k , k∈Z vastaavat arvoja tgt ja luvut π·k , k∈Z vastaavat arvoja ctgt .

Funktioita sini, kosini, tangentti ja kotangentti kutsutaan trigonometriset perusfunktiot.

Kontekstista on yleensä selvää, että kyseessä on kulma- tai numeerisen argumentin trigonometriset funktiot. Muussa tapauksessa voimme pitää riippumatonta muuttujaa sekä kulman mittana (kulma-argumentti) että numeerisena argumenttina.

Koulussa tutkitaan kuitenkin pääasiassa numeerisia funktioita, eli funktioita, joiden argumentit ja niitä vastaavat funktioarvot ovat lukuja. Siksi jos me puhumme erityisesti funktioiden osalta trigonometrisiä funktioita on tarkoituksenmukaista tarkastella numeeristen argumenttien funktioina.

Geometrian ja trigonometrian määritelmien yhdistäminen

Jos otamme huomioon kiertokulman α välillä 0 - 90 astetta, niin kiertokulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmän trigonometrian yhteydessä olevat tiedot ovat täysin yhdenmukaisia ​​sinin, kosinin määritelmien kanssa. , suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti ja kotangentti, jotka on annettu geometrian kurssilla. Perustellaan tämä.

Piirrä yksikköympyrä suorakulmaiseen karteesiseen koordinaattijärjestelmään Oxy. Huomaa aloituspiste A(1, 0) . Kierretään sitä kulmalla α, joka vaihtelee välillä 0 - 90 astetta, saadaan piste A 1 (x, y) . Pudotetaan kohtisuora A 1 H pisteestä A 1 Ox-akselille.

On helppo nähdä, että suorakulmaisessa kolmiossa kulma A 1 OH on yhtä suuri kuin kiertokulma α, tämän kulman vieressä olevan haaran OH pituus on yhtä suuri kuin pisteen A 1 abskissa, eli |OH |=x, kulman A 1 H vastakkaisen haaran pituus on yhtä suuri kuin pisteen A 1 ordinaatt, eli |A 1 H|=y , ja hypotenuusan OA 1 pituus on yksi , koska se on yksikköympyrän säde. Tällöin suorakulmaisen kolmion A 1 OH terävän kulman α sini on geometrian määritelmän mukaan yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan, eli sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Ja trigonometrian määritelmän mukaan kiertokulman α sini on yhtä suuri kuin pisteen A 1 ordinaatta, eli sinα=y. Tämä osoittaa, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin määritelmä vastaa kiertokulman α sinin määritelmää α:lle 0 - 90 astetta.

Vastaavasti voidaan osoittaa, että terävän kulman α kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät ovat yhdenmukaisia ​​kiertokulman α kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien kanssa.

Bibliografia.

1. Geometria. 7-9 luokkaa: opinnot. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ja muut]. - 20. painos M.: Koulutus, 2010. - 384 s.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometria: Proc. 7-9 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. V. Pogorelov. - 2. painos - M.: Enlightenment, 2001. - 224 s.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ja perustoiminnot : Opastus 9. luokan oppilaille lukio/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimittanut fysiikan ja matemaattisten tieteiden tohtori O. N. Golovin - 4. painos. Moskova: Koulutus, 1969.
4. Algebra: Proc. 9 solulle. keskim. koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra ja analyysin alku. Luokka 10. Klo 14 Osa 1: oppikirja oppilaitoksille (profiilitaso) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. painos, lisäys. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 10: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. painos - I .: Koulutus, 2010. - 368 s.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Enlightenment, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.

Jos rakennamme yksikköympyrän, jonka keskipiste on origossa, ja asetamme argumentille mielivaltaisen arvon x0 ja laskea akselilta Härkä kulma x 0, silloin tämä yksikköympyrän kulma vastaa jotakin pistettä A(Kuva 1) ja sen projektio akselille vai niin tulee olemaan pointtia M. Leikkauspituus OM yhtä suuri kuin pisteen abskissan itseisarvo A. annettu argumentin arvo x0 kartoitetun funktion arvo y= cos x 0 pisteen abskissana A. Vastaavasti kohta SISÄÄN(x 0 ;klo 0) kuuluu funktiokaavioon klo= cos X(Kuva 2). Jos kohta A sijaitsee akselin oikealla puolella OU, tokosiini on positiivinen, jos vasemmalla se on negatiivinen. Mutta pointti joka tapauksessa A ei voi poistua piiristä. Siksi kosini vaihtelee -1:stä 1:een:

-1 = cos x = 1.

Lisäkierto mihin tahansa kulmaan, 2:n kerrannainen s, palauttaa pisteen A samaan paikkaan. Siksi toiminto y= cos xs:

cos( x+ 2s) = cos x.

Jos otamme kaksi argumentin arvoa, jotka ovat absoluuttisesti yhtä suuret, mutta vastakkaiset etumerkillä, x Ja - x, löytää vastaavat pisteet ympyrästä A x Ja Kirves. Kuten kuvasta näkyy. 3 niiden projektio akselille vai niin on sama kohta M. Siksi

cos(- x) = cos ( x),

nuo. kosini - tasainen toiminto, f(–x) = f(x).

Joten voimme tutkia funktion ominaisuuksia y= cos X segmentillä , ja ottaa sitten huomioon sen pariteetti ja jaksollisuus.

klo X= 0 pistettä A sijaitsee akselilla vai niin, sen abskissa on 1, ja siksi cos 0 = 1. Kasvulla X piste A liikkuu ympyrän ympäri ylös ja vasemmalle, sen projektio tietysti vain vasemmalle ja x = s/2 kosinista tulee 0. Piste A tällä hetkellä se nousee maksimikorkeuteen ja jatkaa sitten liikkumista vasemmalle, mutta jo laskeutuen. Sen abskissa pienenee, kunnes se saavuttaa pienin arvo, yhtä suuri kuin –1 at X= s. Siten segmentillä funktio klo= cos X pienenee monotonisesti arvosta 1 arvoon –1 (kuvat 4, 5).

Kosinin pariteetista seuraa, että välissä [– s, 0], funktio kasvaa monotonisesti arvosta –1 arvoon 1 ja saa nollaarvon x =–s/2. Jos otat useita jaksoja, saat aaltoilevan käyrän (kuva 6).

Toiminto siis y= cos x ottaa pisteissä nolla-arvoa X= s/2 + kp, Missä k- mikä tahansa kokonaisluku. 1:n suuruiset maksimiarvot saavutetaan pisteissä X= 2kp, eli vaiheen 2 kanssa s, ja minimit ovat –1 pisteissä X= s + 2kp.

Funktio y \u003d sin x.

Yksikköympyrässä x 0 vastaa pistettä A(Kuva 7), ja sen projektio akselille OU tulee olemaan pointtia N.W funktion arvo y 0 = synti x0 määritellään pisteen ordinaatiksi A. Piste SISÄÄN(kulma x 0 ,klo 0) kuuluu funktiokaavioon y= synti x(Kuva 8). On selvää, että toiminto y= synti x jaksollinen, sen jakso on 2 s:

synti( x+ 2s) = synti ( x).

Kahdelle argumenttiarvolle X Ja -, vastaavien pisteiden projektiot A x Ja Kirves per akseli OU sijaitsee symmetrisesti pisteen ympärillä NOIN. Siksi

synti(- x) = –sin ( x),

nuo. sini on pariton funktio, f(- x) = –f( x) (Kuva 9).

Jos kohta A kiertää pisteen ympäri NOIN nurkassa s/2 vastapäivään (toisin sanoen, jos kulma X kasvaa s/2), niin sen ordinaatta uudessa paikassa on yhtä suuri kuin vanhan abskissa. Joka tarkoittaa

synti( x+ s/2) = cos x.

Muussa tapauksessa sini on kosini, "myöhässä". s/2, koska mikä tahansa kosiniarvo "toistuu" sinissä, kun argumentti kasvaa s/2. Ja sinigraafin rakentamiseen riittää, että kosinigraafia siirretään s/2 oikealle (kuva 10). Erittäin tärkeä omaisuus sini ilmaistaan ​​tasa-arvolla

Tasa-arvon geometrinen merkitys voidaan nähdä kuvasta. 11. Täällä X - tämä on puolet kaaresta AB, ja syntiä X - puolet vastaavasta soinnusta. Ilmeisesti pisteiden lähestyessä A Ja SISÄÄN sointeen pituus on tulossa yhä lähemmäksi kaaren pituutta. Samasta kuviosta on helppo erottaa eriarvoisuus

|synti x| x|, voimassa kaikille X.

Kaavaa (*) kutsuvat matemaatikot ihmeelliseksi rajaksi. Siitä seuraa erityisesti synti X» X pienessä X.

Toiminnot klo=tg x, y=ctg X. Kaksi muuta trigonometristä funktiota - tangentti ja kotangentti ovat helpoimmin määritettävissä meille jo tuntemina sinin ja kosinin suhteina:

Kuten sini ja kosini, tangentti ja kotangentti ovat jaksollisia funktioita, mutta niiden jaksot ovat yhtä suuret s, eli ne ovat puolet sinistä ja kosinista. Syy tähän on selvä: jos sini ja kosini molemmat vaihtavat etumerkkejä, niiden suhde ei muutu.

Koska tangentin nimittäjässä on kosini, tangenttia ei määritellä niissä pisteissä, joissa kosini on 0 - kun X= s/2 +kp. Kaikissa muissa kohdissa se kasvaa monotonisesti. Suoraan X= s/2 + kp tangentille ovat pystysuorat asymptootit. Kohdissa kp tangentti ja kaltevuus ovat 0 ja 1, vastaavasti (kuva 12).

Kotangenttia ei ole määritelty, jos sini on 0 (kun x = kp). Muissa kohdissa se pienenee monotonisesti ja viivat x = kp – hänen vertikaaliset asymptootit. Kohdissa x = p/2 +kp kotangentti muuttuu 0:ksi ja kaltevuus näissä kohdissa on -1 (kuva 13).

Pariteetti ja jaksollisuus.

Funktiota kutsutaan vaikka f(–x) = f(x). Kosini- ja sekanttifunktiot ovat parillisia ja sini-, tangentti-, kotangentti- ja kosekanttifunktiot parittomat:

sin(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg α
cos(-α) = cosα	ctg(-a) = -ctga
sek(-α) = secα	cosec (–α) = – cosec α

Pariteettiominaisuudet johtuvat pisteiden symmetriasta P a ja R- a (Kuva 14) akselin ympäri X. Tällaisella symmetrialla pisteen ordinaatin etumerkki muuttuu (( X;klo) menee ( X; -y)). Kaikkien funktioiden - jaksollinen, sini, kosini, sekantti ja kosekantti - jakso on 2 s, ja tangentti ja kotangentti - s:

synti (α + 2 kπ) = sinα	cos (α + 2 kπ) = cosα
rusketus (α + kπ) = tgα	ctg(α + kπ) = ctgα
s (α + 2 kπ) = sek	kosek (α + 2 kπ) = cosecα

Sinin ja kosinin jaksollisuus seuraa siitä, että kaikki pisteet P a + 2 kp, Missä k= 0, ±1, ±2,…, ovat samat, ja tangentin ja kotangentin jaksollisuus johtuu siitä, että pisteet P+ kp putoavat vuorotellen kahteen diametraalisesti vastakkaiseen ympyrän pisteeseen, jolloin saadaan sama piste tangenttien akselilla.

Perusominaisuudet trigonometriset funktiot voidaan taulukoida:

Toiminto	Verkkotunnus	Monet arvot	Pariteetti	Monotoniset alueet ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
synti x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	outo	kasvaa kanssa x O((4 k – 1) s /2, (4k + 1) s/2), pienenee as x O((4 k + 1) s /2, (4k + 3) s/2)
cos x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	jopa	Lisääntyy kanssa x O((2 k – 1) s, 2kp), vähenee klo x Voi (2 kp, (2k + 1) s)
tg x	x № s/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	outo	kasvaa kanssa x O((2 k – 1) s /2, (2k + 1) s /2)
ctg x	x № p k	(–Ґ , +Ґ )	outo	vähenee klo x TIETOJA ( kp, (k + 1) s)
sek x	x № s/2 + p k	(–Ґ , –1] JA [+1, +Ґ )	jopa	Lisääntyy kanssa x Voi (2 kp, (2k + 1) s), vähenee klo x O((2 k– 1) p , 2 kp)
syy x	x № p k	(–Ґ , –1] JA [+1, +Ґ )	outo	kasvaa kanssa x O((4 k + 1) s /2, (4k + 3) s/2), pienenee as x O((4 k – 1) s /2, (4k + 1) s /2)

Kaavojen valuminen.

Näiden kaavojen mukaan argumentin a trigonometrisen funktion arvo, jossa s/2 a p , voidaan pelkistää argumentin a funktion arvoon, missä 0 a p /2, sekä sama että sen lisäksi.

Argumentti b	– a	+a	s– a	s+a	+a	+a	2s– a
synti b	cos a	cos a	synti a	-sin a	-kos a	-kos a	-sin a
cosb	synti a	-sin a	-kos a	-kos a	-sin a	synti a	cos a

Siksi trigonometristen funktioiden taulukoissa arvot annetaan vain teräville kulmille, ja riittää, että rajoitamme esimerkiksi siniin ja tangenttiin. Taulukko sisältää vain yleisimmin käytetyt sinin ja kosinin kaavat. Niistä on helppo saada kaavat tangentille ja kotangentille. Kun funktio lähetetään muodon argumentista kp/2 ± a , missä k on kokonaisluku, funktioon argumentista a:

1) funktion nimi tallennetaan, jos k jopa ja muuttuu "täydentäväksi" jos k outo;

2) oikealla oleva etumerkki osuu pisteen pelkistettävän funktion etumerkkiin kp/2 ± a, jos kulma a on terävä.

Esimerkiksi heitettäessä ctg (a - s/2) varmista, että - s/2 kohdassa 0 a p /2 on neljännessä neljänneksessä, jossa kotangentti on negatiivinen, ja säännön 1 mukaan muutamme funktion nimeä: ctg (a - s/2) = –tg a .

Lisäyskaavat.

Useita kulmakaavoja.

Nämä kaavat johdetaan suoraan summauskaavoista:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

François Viet käytti kaavaa cos 3a:lle ratkaiseessaan kuutioyhtälön. Hän löysi ensimmäisenä ilmaisut sanalle cos n a ja synti n a , jotka saatiin myöhemmin yksinkertaisemmalla tavalla De Moivren kaavasta.

Jos korvaat a:n /2:lla kaksoisargumenttikaavoissa, ne voidaan muuntaa puolikulmakaavoiksi:

Universaalit korvauskaavat.

Näitä kaavoja käyttämällä lauseke, joka sisältää eri trigonometrisiä funktioita samasta argumentista, voidaan kirjoittaa uudelleen rationaaliseksi lausekkeeksi yhdestä funktiosta tg (a / 2), tämä on hyödyllistä ratkaistaessa joitain yhtälöitä:

Kaavat summien muuntamiseksi tuotteiksi ja tuotteiden summiksi.

Ennen tietokoneiden tuloa näitä kaavoja käytettiin laskelmien yksinkertaistamiseen. Laskelmat tehtiin logaritmisilla taulukoilla ja myöhemmin - diasäännöllä, koska. logaritmit soveltuvat parhaiten lukujen kertomiseen, joten kaikki alkuperäiset lausekkeet pelkistettiin logaritmille sopivaan muotoon, ts. töihin, kuten:

2 syntiä a sin b = cos ( a-b) – cos( a+b);

2 cos a cos b= cos( a-b) + cos ( a+b);

2 syntiä a cos b= synti ( a-b) + synti ( a+b).

Tangentti- ja kotangenttifunktioiden kaavat saadaan yllä olevasta.

Tutkinnonvähennyskaavat.

Usean argumentin kaavoista johdetaan kaavat:

sin 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos2a = (1 + cos2a)/2;
sin 3 a \u003d (3 sin a - sin 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3 a )/4.

Näiden kaavojen avulla trigonometriset yhtälöt voidaan pelkistää alemman asteen yhtälöiksi. Samalla tavalla voidaan johtaa pelkistyskaavoja enemmän korkeat asteet sini ja kosini.

Trigonometristen funktioiden derivaatat ja integraalit
(synti x)` = cos x;	(cos x)` = -sin x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
t syntiä x dx= -cos x + C;	t cos x dx= synti x + C;
t tg x dx= –ln |cos x| + C;	t ctg x dx = syntiä x| + C;

Jokainen trigonometrinen funktio määritelmäalueensa jokaisessa pisteessä on jatkuva ja äärettömästi differentioituva. Lisäksi trigonometristen funktioiden derivaatat ovat trigonometrisiä funktioita, ja integroitaessa saadaan myös trigonometriset funktiot tai niiden logaritmit. Trigonometristen funktioiden rationaalisten yhdistelmien integraalit ovat aina alkeisfunktioita.

Trigonometristen funktioiden esitys potenssisarjojen ja äärettömien tulojen muodossa.

Kaikki trigonometriset funktiot voidaan laajentaa potenssisarjoiksi. Tässä tapauksessa funktiot syntyvät x b cos x näkyvät riveissä. konvergoiva kaikille arvoille x:

Näitä sarjoja voidaan käyttää synnille likimääräisten lausekkeiden saamiseksi x ja cos x pienille arvoille x:

klo | x| p/2;

0x| s

(B n ovat Bernoullin lukuja).

syntifunktiot x ja cos x voidaan esittää äärettöminä tuotteina:

Trigonometrinen järjestelmä 1, cos x, synti x, cos 2 x, synti 2 x, ¼, cos nx, synti nx, ¼, muodostuu väliin [– s, s] ortogonaalinen funktiojärjestelmä, joka mahdollistaa funktioiden esittämisen trigonometristen sarjojen muodossa.

määritellään todellisen argumentin vastaavien trigonometristen funktioiden analyyttisiksi jatkoksi kompleksitasolle. Kyllä, syntiä z ja cos z voidaan määritellä käyttämällä syntisarjaa x ja cos x, jos sen sijaan x laittaa z:

Nämä sarjat yhtyvät koko tasoon, joten syntiä z ja cos z ovat kokonaisia ​​toimintoja.

Tangentti ja kotangentti määritetään kaavoilla:

tg-toiminnot z ja ctg z ovat meromorfisia toimintoja. Puolat tg z ja sek z ovat yksinkertaisia ​​(1. kertaluokka) ja sijaitsevat pisteissä z = p/2 + pn, ctg sauvat z ja cosec z ovat myös yksinkertaisia ​​ja sijaitsevat pisteissä z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Kaikki kaavat, jotka ovat voimassa todellisen argumentin trigonometrisille funktioille, ovat voimassa myös kompleksisille funktioille. Erityisesti,

synti(- z) = -sin z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

nuo. parillinen ja pariton pariteetti säilyvät. Myös kaavat tallennetaan

synti( z + 2s) = synti z, (z + 2s) = cos z, (z + s) = tg z, (z + s) = ctg z,

nuo. jaksollisuus säilyy myös ja jaksot ovat samat kuin todellisen argumentin funktioilla.

Trigonometriset funktiot voidaan ilmaista puhtaasti imaginaarisen argumentin eksponentiaalisella funktiolla:

Takaisin, e iz ilmaistuna cos z ja syntiä z kaavan mukaan:

e iz= cos z + i synti z

Näitä kaavoja kutsutaan Eulerin kaavoiksi. Leonhard Euler esitteli ne vuonna 1743.

Trigonometriset funktiot voidaan ilmaista myös hyperbolisina funktioina:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

missä sh, ch ja th ovat hyperbolinen sini, kosini ja tangentti.

Monimutkaisten argumenttien trigonometriset funktiot z = x + iy, Missä x Ja y- reaaliluvut, voidaan ilmaista reaaliargumenttien trigonometrisinä ja hyperbolisina funktioina, esimerkiksi:

synti( x+iy) = synti x ch y + i cos x sh y;

cos( x+iy) = cos x ch y + i synti x sh y.

Kompleksisen argumentin sini ja kosini voivat saada reaaliarvoja, jotka ovat suurempia kuin 1 absoluuttisena arvona. Esimerkiksi:

Jos tuntematon kulma tulee yhtälöön trigonometristen funktioiden argumenttina, yhtälöä kutsutaan trigonometriseksi. Tällaiset yhtälöt ovat niin yleisiä, että niiden menetelmät ratkaisut ovat erittäin yksityiskohtaisia ​​ja huolellisesti suunniteltuja. KANSSA auta erilaisia ​​temppuja ja kaavat, trigonometriset yhtälöt pelkistetään muodon yhtälöiksi f(x)= a, Missä f- mikä tahansa yksinkertaisimmista trigonometrisista funktioista: sini, kosini, tangentti tai kotangentti. Kerro sitten väitteet x tämä toiminto tunnetun arvon kautta A.

Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, sama A arvoalueelta argumentin arvoja on äärettömän monta, eikä yhtälön ratkaisua voi kirjoittaa yksittäiseksi funktioksi A. Siksi kunkin tärkeimmän trigonometrisen funktion määrittelyalueelta valitaan osa, jossa se ottaa kaikki arvonsa, kukin vain kerran, ja löydetään funktio, joka on käänteinen sille tässä osiossa. Tällaiset funktiot merkitään liittämällä etuliitteen kaari (kaari) alkuperäisen funktion nimeen, ja niitä kutsutaan käänteistrigonometrisiksi. funktioita tai vain kaarifunktioita.

Käänteiset trigonometriset funktiot.

Synnin tähden X, cos X, tg X ja ctg X voidaan määritellä käänteiset funktiot. Ne on merkitty vastaavasti arcsiniksi X(lue "arxine x"), arcos x, arctg x ja arcctg x. Määritelmän mukaan arcsin X on sellainen numero y, Mitä

synti klo = X.

Sama pätee muihin käänteisiin trigonometrisiin funktioihin. Mutta tämä määritelmä kärsii jostain epätarkkuudesta.

Jos heijastamme syntiä X, cos X, tg X ja ctg X suhteessa koordinaattitason ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen puolittajaan, niin funktiot muuttuvat moniselitteisiksi jaksollisuutensa vuoksi: sama sini (kosini, tangentti, kotangentti) vastaa ääretöntä määrää kulmia.

Epäselvyyden poistamiseksi käyrän osa, jonka leveys on s, kun taas on välttämätöntä havaita yksi yhteen vastaavuus argumentin ja funktion arvon välillä. Alueet lähellä alkuperää valitaan. Poskionteloon "yksi yhteen" -jaksona [- s/2, s/2], jossa sini kasvaa monotonisesti arvosta –1 arvoon 1, kosinille - segmentti , tangentille ja kotangentille vastaavasti intervallit (– s/2, s/2) ja (0, s). Jokainen intervallin käyrä heijastuu puolittajalle ja nyt voit määrittää käänteisiä trigonometrisia funktioita. Oletetaan esimerkiksi argumentin arvo x 0, niin, että 0 J x 0 Ј 1. Sitten funktion arvo y 0 = arcsin x 0 tulee olemaan ainoa arvo klo 0 , sellainen että - s/2 J klo 0 Ј s/2 ja x 0 = synti y 0 .

Siten arcsini on arcsinin funktio A, määritetty välille [–1, 1] ja yhtä suuri jokaiselle A sellainen arvo a , – s/2 a p /2 että sin a = A. Se on erittäin kätevää esittää yksikköympyrällä (kuva 15). Milloin | a| 1 ympyrässä on kaksi pistettä, joissa on ordinaatit a, symmetrinen akselin suhteen y. Yksi niistä on kulma a= arcsin A, ja toinen on kulma p - a. KANSSA ottaen huomioon sinin jaksollisuus, yhtälön sin ratkaisu x= A on kirjoitettu seuraavasti:

x =(–1)n kaari synti a + 2p n,

Missä n= 0, ±1, ±2,...

Myös muut yksinkertaiset trigonometriset yhtälöt ratkaistaan:

cos x = a, –1 =a= 1;

x=±arcos a + 2p n,

Missä P= 0, ±1, ±2,... (kuvio 16);

tg X = a;

x= arctg a + s n,

Missä n = 0, ±1, ±2,... (kuvio 17);

ctg X= A;

X= arcctg a + s n,

Missä n = 0, ±1, ±2,... (Kuva 18).

Käänteisten trigonometristen funktioiden pääominaisuudet:

kaari synti X(Kuva 19): määrittelyalue on segmentti [–1, 1]; alue - [- s/2, s/2], monotonisesti kasvava funktio;

arccos X(Kuva 20): määrittelyalue on segmentti [–1, 1]; arvoalue - ; monotonisesti laskeva toiminto;

arctg X(Kuva 21): määritelmäalue - kaikki reaaliluvut; arvoalue – intervalli (– s/2, s/2); monotonisesti kasvava toiminto; suoraan klo= –s/2 ja y \u003d p / 2 - vaaka-asymptootit;

arcctg X(Kuva 22): määritelmäalue - kaikki reaaliluvut; arvoalue - intervalli (0, s); monotonisesti laskeva toiminto; suoraan y= 0 ja y = p ovat horisontaalisia asymptootteja.

,

Kenelle tahansa z = x+iy, Missä x Ja y ovat reaalilukuja, on epätasa-arvoa

½| e\ey–e-y| ≤|synti z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y + e -y),

minkä y® Ґ asymptoottiset kaavat seuraavat (yhtenäisesti suhteessa x)

|synti z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Trigonometriset funktiot syntyivät ensimmäistä kertaa tähtitieteen ja geometrian tutkimuksen yhteydessä. Kolmion ja ympyrän osien suhteet, jotka ovat olennaisesti trigonometrisiä funktioita, löytyvät jo 3. vuosisadalla. eKr e. antiikin Kreikan matemaatikoiden teoksissa – Euclid, Archimedes, Apollonius Pergalainen ym. nämä suhteet eivät kuitenkaan olleet itsenäinen tutkimuskohde, joten he eivät tutkineet trigonometrisiä toimintoja sellaisenaan. Niitä pidettiin alun perin osina, ja tässä muodossa niitä käyttivät Aristarchos (4. vuosisadan loppu - 3. vuosisadan 2. puolisko), Hipparkhos (2. vuosisadalla eKr.), Menelaus (1. vuosisadalla jKr.) ja Ptolemaios (2. vuosisadalla jKr.). ) ratkaistaessa pallomaisia ​​kolmioita. Ptolemaios kokosi ensimmäisen jännetaulukon terävistä kulmista 30":n tarkkuudella 10 -6. Tämä oli ensimmäinen sinitaulukko. Suhteena funktio sin a löytyy jo Ariabhatasta (500-luvun lopulla). Funktiot tg a ja ctg a löytyvät al-Battanista (9. vuosisadan 2. puolisko - 10. vuosisadan alku) ja Abul-Wefasta (10. vuosisata), joka myös käyttää sec a ja cosec a... Aryabhata tiesi jo kaavan ( sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1 sekä puolikulman sin- ja cos-kaavat, joiden avulla hän rakensi sinitaulukoita kulmille 3 ° 45 "; perustuu tunnetut arvot trigonometriset funktiot yksinkertaisimpia argumentteja varten. Bhaskara (1100-luvulla) antoi menetelmän taulukoiden muodostamiseksi 1:n kautta käyttämällä summauskaavoja. Kaavat eri argumenttien trigonometristen funktioiden summan ja eron muuntamiseksi tuloksi ovat johtaneet Regiomontanus (1400-luku) ja J. Napier viimeksi mainitun logaritmien keksimisen yhteydessä (1614). Regiomontanus antoi taulukon siniarvoista ​1":n kautta. Trigonometristen funktioiden laajennuksen potenssisarjoissa sai I. Newton (1669). moderni muoto trigonometristen funktioiden teorian esitteli L. Euler (1700-luku). Hän omistaa niiden määritelmän todellisille ja monimutkaisille argumenteille, nyt hyväksytyn symbolismin, yhteyden luomisen eksponentti funktio ja sini- ja kosinijärjestelmän ortogonaalisuus.

Yksinkertaisin ratkaisu trigonometriset yhtälöt.

Minkä tahansa monimutkaisuuden trigonometristen yhtälöiden ratkaisu tulee lopulta ratkaisemaan yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Ja tässä trigonometrinen ympyrä osoittautuu jälleen parhaaksi auttajaksi.

Muista kosinin ja sinin määritelmät.

Kulman kosini on yksikköympyrän pisteen abskissa (eli koordinaatti akselilla), joka vastaa kiertoa tietyllä kulmalla.

Kulman sini on yksikköympyrän pisteen ordinaatti (eli koordinaatti akselilla), joka vastaa kiertoa tietyllä kulmalla.

Positiivisena liikkeen suuntana trigonometristä ympyrää pitkin katsotaan liike vastapäivään. Kierto 0 astetta (tai 0 radiaania) vastaa pistettä, jonka koordinaatit (1; 0)

Käytämme näitä määritelmiä yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Ratkaise yhtälö

Tämän yhtälön täyttävät kaikki sellaiset kiertokulman arvot, jotka vastaavat ympyrän pisteitä, joiden ordinaatta on yhtä suuri kuin .

Merkitään y-akselille piste, jossa on ordinaatit:

Piirrä x-akselin suuntainen vaakasuora viiva, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on ordinaatta. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja:

Jos jätämme pisteen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti, kiertämme täyden ympyrän, niin pääsemme pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti ja jolla on sama ordinaatta. Toisin sanoen tämä kiertokulma täyttää myös yhtälömme. Voimme tehdä niin monta "tyhjäkäyntiä" kuin haluamme palataen samaan pisteeseen, ja kaikki nämä kulma-arvot täyttävät yhtälömme. "Tyhjäkäyntien" kierrosten lukumäärä on merkitty kirjaimella (tai). Koska voimme tehdä nämä kierrokset sekä positiiviseen että negatiiviseen suuntaan, (tai ) voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun arvot.

Eli alkuperäisen yhtälön ensimmäisen ratkaisusarjan muoto on:

, , - joukko kokonaislukuja (1)

Vastaavasti toisella ratkaisusarjalla on muoto:

, Missä , . (2)

Kuten arvasit, tämä ratkaisusarja perustuu ympyrän pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa .

Nämä kaksi ratkaisusarjaa voidaan yhdistää yhdeksi kohteeksi:

Jos otamme tämän merkinnän (eli parillisen), saamme ensimmäisen sarjan ratkaisuja.

Jos otamme tämän merkinnän (eli parittoman), saamme toisen sarjan ratkaisuja.

2. Ratkaistaan ​​nyt yhtälö

Koska kulman läpi kiertämällä saatu yksikköympyrän pisteen abskissa, merkitsemme akselille pisteen abskissalla:

Piirrä pystysuora viiva, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on abskissa. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja. Muista, että kun liikutaan myötäpäivään, saadaan negatiivinen kiertokulma:

Kirjoitamme kaksi ratkaisusarjaa:

,

,

(Oikeaan pisteeseen pääsemme ohittamalla päätäydeltä ympyrältä, eli.

Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi postaukseksi:

3. Ratkaise yhtälö

Tangenttien viiva kulkee yksikköympyrän pisteen, jonka koordinaatit (1,0) on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa

Merkitse siihen piste, jonka ordinaatit ovat yhtä suuret kuin 1 (etsiimme tangenttia, jonka kulmat on 1):

Yhdistä tämä piste origoon suoralla ja merkitse suoran leikkauspisteet yksikköympyrän kanssa. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet vastaavat pyörimiskulmia ja:

Koska yhtälömme täyttäviä kiertokulmia vastaavat pisteet sijaitsevat radiaanien päässä toisistaan, voimme kirjoittaa ratkaisun seuraavasti:

4. Ratkaise yhtälö

Kotangenttien viiva kulkee pisteen läpi, jonka yksikköympyrän koordinaatit ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa.

Merkitsemme pisteen abskissalla -1 kotangenttien riville:

Yhdistä tämä piste suoran alkupisteeseen ja jatka sitä, kunnes se leikkaa ympyrän. Tämä viiva leikkaa ympyrän pisteissä, jotka vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja:

Koska nämä pisteet ovat erotettu toisistaan ​​etäisyydellä, joka on yhtä suuri, sitten yhteinen päätös Voimme kirjoittaa tämän yhtälön seuraavasti:

Annetuissa esimerkeissä, jotka havainnollistavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisua, käytettiin trigonometristen funktioiden taulukkoarvoja.

Jos yhtälön oikealla puolella on kuitenkin ei-taulukkoarvo, korvaamme arvon yhtälön yleisessä ratkaisussa:

ERIKOISRATKAISUT:

Merkitse pisteet ympyrään, jonka ordinaatit ovat 0:

Merkitse ympyrään yksi piste, jonka ordinaatit ovat yhtä kuin 1:

Merkitse ympyrään yksi piste, jonka ordinaatin arvo on -1:

Koska on tapana ilmoittaa lähimpänä nollaa olevat arvot, kirjoitamme ratkaisun seuraavasti:

Merkitse pisteet ympyrään, jonka abskissa on 0:

5.
Merkitään yksi piste ympyrään, jonka abskissa on 1:

Merkitään yksi piste ympyrään, jonka abskissa on -1:

Ja muutama monimutkaisempi esimerkki:

1.

Sini on yksi, jos argumentti on

Sinin argumentti on , joten saamme:

Jaa yhtälön molemmat puolet kolmella:

Vastaus:

2.

Kosini on nolla, jos kosini-argumentti on

Kosiniemme argumentti on , joten saamme:

Ilmaisemme , tätä varten siirrymme ensin oikealle päinvastaisella merkillä:

Yksinkertaista oikea puoli:

Jaa molemmat osat -2:lla:

Huomaa, että termiä edeltävä etumerkki ei muutu, koska k voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun.

Vastaus:

Ja lopuksi, katso video-opetusohjelma "Juurien valinta trigonometrisessa yhtälössä trigonometrisen ympyrän avulla"

Tämä päättää keskustelun yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta. Ensi kerralla puhumme siitä, kuinka ratkaista.

Yksi matematiikan haaroista, joiden kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavoilla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään numeroa pi laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia ​​loogisia ketjuja.

Trigonometrian alkuperä

Tutustuminen tähän tieteeseen tulisi aloittaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria yleensä tekee.

Historiallisesti tämän osion tärkein tutkimuskohde matemaattinen tiede olivat suorakulmaisia ​​kolmioita. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa suorittamisen erilaisia ​​operaatioita, jonka avulla voidaan määrittää tarkasteltavana olevan kuvan kaikkien parametrien arvot kahdella sivulla ja yhdellä kulmalla tai kahdella kulmalla ja yhdellä sivulla. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän kuvion ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.

Ensimmäinen taso

Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkissä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat käytön rajojen laajentamisen Jokapäiväinen elämä tämä matematiikan ala.

Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen opiskelijoiden käytössä on fysiikka ja abstraktien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, joiden parissa työ alkaa lukiossa.

Pallomainen trigonometria

Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät muut säännöt, ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osaa ei opeteta koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi maanpinta, ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pinnan merkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmiulotteisessa avaruudessa.

Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Juuri tällaisilla muodoilla käsittelee pallogeometriaa, jota käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.

Suorakulmainen kolmio

Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.

Ensinnäkin on ymmärrettävä asiaan liittyvät käsitteet suorakulmainen kolmio. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.

Esimerkiksi jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.

Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.

Määritelmä

Lopuksi, kun ymmärrämme geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.

Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin, riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.

Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.

Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.

Joten olemme pohtineet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme käsitellä kaavoja.

Yksinkertaisimmat kaavat

Trigonometriassa ei voi tulla ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Ja juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.

Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos haluat tietää kulman arvon, ei sivun.

Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio toimii trigonometrinen kaava täysin tunnistamaton. Muista: kun tiedät, mikä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaava, voit milloin tahansa itse johtaa tarvittavat lisätiedot monimutkaisia ​​kaavoja paperille.

Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen

Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät kulmien summan ja eron sinin ja kosinin arvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmat kertaa, ja toisessa lisätään sinin ja kosinin paritulo.

Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu edellisistä - käytännössä yritä saada ne itse ottamalla alfa-kulma yhtä suuri kuin kulma beeta.

Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa alentamaan sinin, kosinin ja tangentin alfa-astetta.

Lauseet

Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti, ja siten kuvion pinta-ala ja kummankin sivun koko jne.

Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla, saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin kaksi rajatun ympyrän sädettä, toisin sanoen ympyrää, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.

Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että vähennä kahden sivun neliöiden summasta niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.

Virheitä huolimattomuudesta

Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi tutustutaan suosituimpiin niistä.

Ensinnäkin, sinun ei pitäisi muuntaa tavallisia murtolukuja desimaaleiksi ennen kuin lopputulos on saatu - voit jättää vastauksen muotoon murtoluku ellei ehto toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että ongelman jokaisessa vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.

Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisena kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärryksen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.

Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.

Sovellus

Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opiskelu, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.

Lopulta

Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.

Trigonometrian koko olemus tiivistyy siihen tosiasiaan, että tuntemattomat parametrit on laskettava kolmion tunnetuista parametreista. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Koko ero tehtävien välillä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.

Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometrisen ongelman päätavoitteena on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja täällä sinua auttaa tavallinen koulumatematiikka.