Joihin on jo aika kyllästynyt. Ja minusta tuntuu, että on tullut hetki, jolloin on aika poimia uusia säilykkeitä teorian strategisista varoista. Onko mahdollista laajentaa toimintoa sarjaksi jollain muulla tavalla? Esimerkiksi ilmaisemaan suoran janan sinien ja kosinien avulla? Tuntuu uskomattomalta, mutta tällaiset näennäisesti kaukaiset toiminnot sopivat
"taastapaaminen". Tuttujen teorian ja käytännön tutkintojen lisäksi on olemassa muitakin tapoja laajentaa funktio sarjaksi.

Tällä oppitunnilla tutustumme trigonometriseen Fourier-sarjaan, käsittelemme sen lähentymistä ja summaa ja tietysti analysoimme lukuisia esimerkkejä funktioiden laajentamisesta Fourier-sarjaksi. Halusin vilpittömästi kutsua artikkelia "Fourier-sarja dummiesille", mutta tämä olisi ovelaa, koska ongelmien ratkaiseminen vaatii tietoa muista matemaattisen analyysin osista ja käytännön kokemusta. Siksi johdanto muistuttaa astronautien koulutusta =)

Ensinnäkin sivumateriaalien tutkimista tulee lähestyä erinomaisessa kunnossa. Uninen, levännyt ja raittiina. Ilman vahvoja tunteita hamsterin katkenneesta tassusta ja tunkeilevia ajatuksia elämän vaikeuksista akvaarion kalat. Fourier-sarja ei ole vaikea ymmärtää, mutta käytännön tehtävät vaativat yksinkertaista lisääntynyt keskittyminen huomio - ihannetapauksessa sinun tulisi hylätä ulkoiset ärsykkeet kokonaan. Tilannetta pahentaa se, että ratkaisua ja vastausta ei ole helppoa tarkistaa. Siksi, jos terveytesi on keskimääräistä huonompi, on parempi tehdä jotain yksinkertaisempaa. Onko se totta.

Toiseksi, ennen avaruuteen lentämistä on tarpeen opiskella kojelauta avaruusalus. Aloitetaan niiden toimintojen arvoista, joita tulee napsauttaa koneessa:

Kaikille luonnonarvoille:

1) . Ja itse asiassa sinusoidi "vilkkuu" x-akselia jokaisen "pi":n läpi:
. Argumentin negatiivisten arvojen tapauksessa tulos on tietysti sama: .

2). Mutta kaikki eivät tienneet tätä. Kosini "pi en" vastaa "vilkkuvaa valoa":

Kielteinen argumentti ei muuta tapausta: .

Ehkä tarpeeksi.

Ja kolmanneksi, rakas kosmonauttijoukot, sinun täytyy pystyä ... integroida.
Varsinkin tottakai tuo funktio erotusmerkin alle, integroida osilla ja olla hyvissä väleissä Newton-Leibnizin kaava. Aloitetaan tärkeät lentoa edeltävät harjoitukset. En suosittele sen ohittamista, jotta et myöhemmin litisty nollapainossa:

Esimerkki 1

Laske kiinteät integraalit

missä vie luonnonarvot.

Ratkaisu: integrointi suoritetaan muuttujan "x" yli ja tässä vaiheessa diskreettimuuttujaa "en" pidetään vakiona. Kaikissa integraaleissa tuo funktio differentiaalin merkin alle:

Lyhyt versio ratkaisusta, jota olisi hyvä ampua, näyttää tältä:

Totutteluun:

Neljä jäljellä olevaa pistettä ovat omat. Yritä käsitellä tehtävää tunnollisesti ja järjestää integraalit lyhyellä tavalla. Esimerkkejä ratkaisuista oppitunnin lopussa.

LAATUharjoituksen jälkeen puimme avaruuspuvut päälle
ja valmistaudutaan aloittamaan!

Fourier-sarjan funktion laajennus välissä

Tarkastellaan funktiota, joka päättänyt ainakin aikavälillä (ja mahdollisesti suuremmalla aikavälillä). Jos tämä funktio on integroitavissa segmenttiin , se voidaan laajentaa trigonometriseksi Fourier-sarja:
, missä ovat ns Fourier-kertoimet.

Tässä tapauksessa numeroon soitetaan hajoamisaika, ja numero on puoliintumisajan hajoaminen.

On selvää, että yleisessä tapauksessa Fourier-sarja koostuu sinistä ja kosineista:

Todellakin, kirjoitetaan se yksityiskohtaisesti:

Sarjan nollatermi kirjoitetaan yleensä muodossa .

Fourier-kertoimet lasketaan seuraavilla kaavoilla:

Ymmärrän hyvin, että uudet termit ovat edelleen hämäriä aloittelijoille aiheen tutkimisessa: hajoamisaika, puolijakso, Fourier-kertoimet jne. Älä panikoi, tämä ei ole verrattavissa jännitykseen ennen lähtöä ulkoavaruus. Selvitetään kaikki lähimmästä esimerkistä, jonka suorittamista on loogista kysyä kiireellisiltä käytännön asioita:

Mitä sinun tulee tehdä seuraavissa tehtävissä?

Laajenna funktio Fourier-sarjaksi. Lisäksi usein joudutaan piirtämään funktion kuvaaja, sarjan summan kuvaaja, osittaissumma ja hienostuneiden professorifantasioiden tapauksessa tehdä jotain muuta.

Kuinka laajentaa funktio Fourier-sarjaksi?

Pohjimmiltaan sinun on löydettävä Fourier-kertoimet, eli muodosta ja laske kolme kiinteät integraalit.

Kopioi Fourier-sarjan yleinen muoto ja kolme työkaavaa muistikirjaasi. Olen erittäin iloinen, että joillain sivuston kävijöistä on lapsuuden unelma astronautiksi tulemisesta toteutumassa silmieni edessä =)

Esimerkki 2

Laajenna funktio välin Fourier-sarjaksi. Rakenna kuvaaja, kaavio sarjan summasta ja osasummasta.

Ratkaisu: tehtävän ensimmäinen osa on laajentaa funktio Fourier-sarjaksi.

Alku on vakio, muista kirjoittaa ylös, että:

Tässä ongelmassalaajennusaika , puolijakso .

Laajennamme funktiota Fourier-sarjassa aikavälillä:

Käyttämällä sopivia kaavoja löydämme Fourier-kertoimet. Nyt meidän on laadittava ja laskettava kolme kiinteät integraalit. Mukavuuden vuoksi numeroitan kohdat:

1) Ensimmäinen integraali on yksinkertaisin, mutta se vaatii jo silmän ja silmän:

2) Käytämme toista kaavaa:

Tämä integraali on hyvin tunnettu ja hän ottaa sen palasittain:

Kun löytyi käytettynä menetelmä tuoda funktio differentiaalimerkin alle.

Tarkasteltavana olevassa tehtävässä sitä on kätevämpi käyttää välittömästi kaava osien integroimiseksi määrättyyn integraaliin :

Pari teknistä huomautusta. Ensin kaavan soveltamisen jälkeen koko lauseke on suljettava suuriin hakasulkeisiin, koska alkuperäisen integraalin edessä on vakio. Älkäämme menettäkö sitä! Sulut voidaan avata missä tahansa seuraavassa vaiheessa, tein sen aivan viimeisessä käännöksessä. Ensimmäisessä "kappaleessa" osoitamme äärimmäistä tarkkuutta korvaamisessa, kuten näet, vakio ei toimi ja integroinnin rajat korvataan tuotteeseen. Tämä toiminto on merkitty hakasulkeilla. No, kaavan toisen "palan" integraali tunnet hyvin harjoitustehtävästä ;-)

Ja mikä tärkeintä - äärimmäinen huomion keskittyminen!

3) Etsimme kolmatta Fourier-kerrointa:

Saadaan edellisen integraalin suhteellinen, joka myös on integroitu osilla:

Tämä tapaus on hieman monimutkaisempi, kommentoin jatkovaiheita askel askeleelta:

(1) Koko lauseke on suljettu suuriin hakasulkeisiin.. En halunnut näyttää tylsältä, he menettävät jatkuvasti liian usein.

(2) Tässä tapauksessa laajensin välittömästi nuo suuret sulut. Erityistä huomiota omistaudumme ensimmäiselle "palalle": jatkuva savu polttaa sivussa eikä osallistu integroinnin ( ja ) rajojen korvaamiseen tuotteeseen. Tietueen sotkuisuuden vuoksi on jälleen suositeltavaa korostaa tätä toimintoa hakasulkeissa. Toisella "palalla" kaikki on yksinkertaisempaa: täällä murto-osa ilmestyi suurten hakasulkeiden avaamisen jälkeen ja vakio - tutun integraalin integroinnin seurauksena ;-)

(3) Hakasulkeissa teemme muunnoksia ja oikeassa integraalissa korvaamme integroinnin rajat.

(4) Otamme pois "vilkkuvan valon". hakasulkeet: , jonka jälkeen avaamme sisäkiinnikkeet: .

(5) Perutaan suluissa olevat 1 ja -1, tehdään lopullisia yksinkertaistuksia.

Lopulta löytyi kaikki kolme Fourier-kerrointa:

Korvaa ne kaavaan :

Älä unohda jakaa puoliksi. Päällä viimeinen askel vakio ("miinus kaksi"), "en":stä riippumaton, otetaan pois summasta.

Siten olemme saaneet funktion laajennuksen Fourier-sarjassa välillä :

Tutkitaan kysymystä Fourier-sarjan konvergenssista. Selitän erityisesti teorian Dirichlet-lause, kirjaimellisesti "sormilla", joten jos tarvitset tiukkoja muotoiluja, tutustu laskennan oppikirjaan (esimerkiksi Bohanin 2. osa; tai Fichtenholtzin 3. osa, mutta se on siinä vaikeampaa).

Tehtävän toisessa osassa on piirrettävä graafi, sarjasummagraafi ja osasummagraafi.

Funktion kaavio on tavallinen suora viiva koneessa, joka on piirretty mustalla katkoviivalla:

Käsittelemme sarjan summaa. Kuten tiedät, funktionaaliset sarjat konvergoivat funktioiksi. Meidän tapauksessamme rakennettu Fourier-sarja mille tahansa "x":n arvolle konvergoi punaisella näkyvään funktioon. Tämä toiminto on voimassa 1. tyyppiset tauot pisteissä , mutta myös määritelty niissä (punaiset pisteet piirustuksessa)

Täten: . On helppo nähdä, että se eroaa huomattavasti alkuperäisestä funktiosta, minkä vuoksi merkinnässä aaltoviivaa käytetään yhtäläisyysmerkin sijaan.

Tutkitaan algoritmia, jolla on kätevää muodostaa sarjan summa.

Keskivälillä Fourier-sarja konvergoi itse funktioon (keskimmäinen punainen segmentti osuu lineaarisen funktion mustan katkoviivan kanssa).

Puhutaanpa nyt hieman harkitun trigonometrisen laajennuksen luonteesta. Fourier-sarja sisältää vain jaksolliset funktiot (vakio, sinit ja kosinit), joten sarjan summa on myös jaksollinen funktio.

Mitä tämä tarkoittaa meidän konkreettinen esimerkki? Ja tämä tarkoittaa sarjan summaa –välttämättä määräajoin ja intervallin punainen segmentti on toistettava loputtomasti vasemmalla ja oikealla.

Luulen, että nyt ilmaisun "hajoamisaika" merkitys on vihdoin tullut selväksi. Yksinkertaisesti sanottuna joka kerta tilanne toistaa itseään uudestaan ​​​​ja uudestaan.

Käytännössä yleensä riittää, että kuvataan kolme hajoamisjaksoa, kuten piirustuksessa on tehty. No, ja lisää naapurikausien "kantoja" - jotta olisi selvää, että kaavio jatkuu.

Erityisen kiinnostavia ovat ensimmäisen luokan epäjatkuvuuspisteet. Tällaisissa kohdissa Fourier-sarja konvergoi eristettyihin arvoihin, jotka sijaitsevat täsmälleen epäjatkuvuuden "hypyn" keskellä (kuvassa punaiset pisteet). Kuinka löytää näiden pisteiden ordinaatit? Etsitään ensin "ylemmän kerroksen" ordinaatta: tätä varten lasketaan funktion arvo keskilaajennusjakson oikeanpuoleisimpaan pisteeseen: . "Alemman kerroksen" ordinaatin laskemiseksi helpoin tapa on ottaa saman jakson vasemmanpuoleisin arvo: . Keskiarvon ordinaatti on keskiarvo aritmeettinen summa"Ylä-ja alaosa": . Hienoa on se, että piirustusta tehdessä näkee heti, onko keskikohta laskettu oikein vai väärin.

Muodostetaan sarjan osasumma ja toistetaan samalla termin "konvergenssi" merkitys. Motiivi tunnetaan oppitunnista numerosarjan summa. Kuvataanpa omaisuutemme yksityiskohtaisesti:

Osittaisen summan saamiseksi sinun on kirjoitettava muistiin sarjan nolla + kaksi muuta termiä. Tuo on,

Piirustuksessa on esitetty funktion kaavio vihreässä, ja kuten näet, se "kiertelee" koko summan melko tiukasti. Jos tarkastelemme sarjan viiden ehdon osittaista summaa, tämän funktion kaavio lähentää punaisia ​​viivoja vielä tarkemmin, jos termejä on sata, niin "vihreä käärme" sulautuu itse asiassa täysin punaisten segmenttien kanssa, jne. Siten Fourier-sarja konvergoi summaansa.

On mielenkiintoista huomata, että mikä tahansa osasumma on jatkuva toiminto, mutta sarjan kokonaissumma on edelleen epäjatkuva.

Käytännössä ei ole harvinaista rakentaa osasummagraafi. Kuinka tehdä se? Meidän tapauksessamme on otettava huomioon segmentin funktio, laskettava sen arvot segmentin päissä ja välipisteissä (mitä enemmän pisteitä harkitset, sitä tarkempi kaavio on). Sitten sinun tulee merkitä nämä kohdat piirustukseen ja piirtää varovasti kaavio jaksolle ja sitten "toistaa" se vierekkäisiksi aikaväleiksi. Kuinka muuten? Loppujen lopuksi approksimaatio on myös jaksollinen funktio ... ... sen kaavio muistuttaa minua jotenkin tasaisesta sydämen rytmistä lääketieteellisen laitteen näytössä.

Tietenkään rakentamisen suorittaminen ei ole kovin kätevää, koska sinun on oltava erittäin varovainen, pitäen vähintään puolen millimetrin tarkkuutta. Miellytän kuitenkin lukijoita, jotka ovat ristiriidassa piirtämisen kanssa - "oikeassa" tehtävässä piirtäminen ei ole läheskään aina välttämätöntä, jossain 50% tapauksista on tarpeen laajentaa toiminto Fourier-sarjaksi ja se on se.

Piirustuksen valmistumisen jälkeen suoritamme tehtävän:

Vastaus:

Monissa tehtävissä toiminto kärsii 1. tyyppinen repeämä heti hajoamisjaksolla:

Esimerkki 3

Laajenna Fourier-sarjassa välissä annettu funktio. Piirrä funktio funktiosta ja sarjan kokonaissummasta.

Ehdotettu funktio annetaan paloittain (ja muista, vain segmentissä) ja kestää 1. tyyppinen repeämä kohdassa. Onko mahdollista laskea Fourier-kertoimet? Ei ongelmaa. Sekä funktion vasen että oikea osa ovat integroitavissa intervalleillaan, joten kunkin kolmen kaavan integraalit tulee esittää kahden integraalin summana. Katsotaanpa esimerkiksi, kuinka tämä tehdään nollakertoimelle:

Toinen integraali osoittautui yhtä suureksi kuin nolla, mikä vähensi työtä, mutta näin ei aina ole.

Kaksi muuta Fourier-kerrointa kirjoitetaan samalla tavalla.

Kuinka näyttää sarjan summa? Vasemmalle välille piirrämme suoran janan ja väliin - suoran segmentin (korosta akselin osa lihavoituna). Toisin sanoen laajennusvälillä sarjan summa on sama kuin funktio kaikkialla lukuun ottamatta kolmea "huonoa" pistettä. Funktion epäjatkuvuuspisteessä Fourier-sarja konvergoi eristettyyn arvoon, joka sijaitsee täsmälleen epäjatkuvuuden "hypyn" keskellä. Sitä ei ole vaikea nähdä suullisesti: vasen raja:, oikeanpuoleinen raja: ja ilmeisesti keskipisteen ordinaatta on 0,5.

Summan jaksollisuudesta johtuen kuva on "kerrotettava" vierekkäisiksi jaksoiksi, erityisesti kuvattava sama asia välissä ja . Tässä tapauksessa pisteissä Fourier-sarja konvergoi mediaaniarvoihin.

Itse asiassa tässä ei ole mitään uutta.

Yritä ratkaista tämä ongelma itse. Näyte Näyte viimeistely ja piirtäminen oppitunnin lopussa.

Fourier-sarjan funktion laajennus mielivaltaisella jaksolla

Satunnaiselle laajennusjaksolle, jossa "el" on mikä tahansa positiivinen luku, Fourier-sarjan ja Fourier-kertoimien kaavat eroavat hieman monimutkaisemmasta sini- ja kosini-argumentista:

Jos , niin saamme kaavat aikavälille, jolla aloitimme.

Algoritmi ja periaatteet ongelman ratkaisemiseksi säilyvät täysin, mutta laskelmien tekninen monimutkaisuus kasvaa:

Esimerkki 4

Laajenna funktio Fourier-sarjaksi ja piirrä summa.

Ratkaisu: itse asiassa esimerkin nro 3 analogi 1. tyyppinen repeämä kohdassa. Tässä ongelmassalaajennusaika , puolijakso . Funktio määritellään vain puolivälissä, mutta se ei muuta asioita - on tärkeää, että funktion molemmat osat ovat integroitavissa.

Laajennetaan funktio Fourier-sarjaksi:

Koska funktio on epäjatkuva origossa, jokainen Fourier-kerroin tulee luonnollisesti kirjoittaa kahden integraalin summana:

1) Kirjoitan ensimmäisen integraalin mahdollisimman yksityiskohtaisesti:

2) Katso varovasti kuun pintaan:

Toinen integraali ottaa osiin:

Mihin kannattaa kiinnittää erityistä huomiota, kun avaamme ratkaisun jatkon tähdellä?

Ensinnäkin emme menetä ensimmäistä integraalia , jossa suoritamme välittömästi tuomalla eron merkin alle. Toiseksi, älä unohda epäonnista vakiota ennen suuria sulkuja ja älä hämmenny merkeistä kaavaa käytettäessä . Suuret kiinnikkeet on loppujen lopuksi kätevämpää avata heti seuraavassa vaiheessa.

Loppu on tekniikasta, vain riittämätön kokemus integraalien ratkaisemisesta voi aiheuttaa vaikeuksia.

Kyllä, ei turhaan ranskalaisen matemaatikon Fourier'n merkittävät kollegat suuttuneet - kuinka hän uskalsi hajottaa funktiot trigonometrisiin sarjoihin ?! =) Muuten, luultavasti kaikkia kiinnostaa kyseisen tehtävän käytännön merkitys. Fourier itse työskenteli matemaattinen malli lämmönjohtavuus, ja myöhemmin hänen mukaansa nimettyä sarjaa alettiin käyttää monien jaksollisten prosessien tutkimiseen, jotka ovat ilmeisesti näkymättömiä ympäröivässä maailmassa. Nyt muuten huomasin itseni ajattelevan, että ei ollut sattumaa, että vertasin toisen esimerkin kuvaajaa jaksoittaiseen sydämen rytmiin. Halukkaat voivat tutustua käytännön sovellus Fourier-muunnokset kolmansien osapuolien lähteistä. ... Vaikka on parempi olla - se muistetaan ensimmäisenä rakkautena =)

3) Ottaen huomioon toistuvasti mainitut heikot lenkit, käsittelemme kolmatta kerrointa:

Integrointi osilla:

Korvaamme löydetyt Fourier-kertoimet kaavaan , unohtamatta jakaa nollakerroin puoliksi:

Piirretään sarjan summa. Toistakaamme lyhyesti toimenpide: välille rakennamme linjan ja väliin - linjan. Nolla-arvolla "x" laitamme pisteen välin "hypyn" keskelle ja "toistamme" kaavion naapurijaksoille:


Jaksojen "risteyksissä" summa on myös yhtä suuri kuin eron "hypyn" keskipisteet.

Valmis. Muistutan, että itse funktio on ehdollisesti määritelty vain puolivälissä ja ilmeisesti osuu yhteen intervallien sarjan summan kanssa

Vastaus:

Joskus paloittain annettu funktio on myös jatkuva laajennusjaksolla. Yksinkertaisin esimerkki: . Ratkaisu (Katso Bohanin osa 2) on sama kuin kahdessa edellisessä esimerkissä: huolimatta toiminnan jatkuvuus kohdassa , jokainen Fourier-kerroin ilmaistaan ​​kahden integraalin summana.

Erotuksen aikana 1. tyypin epäjatkuvuuspisteet ja/tai kaavion "risteyspisteitä" voi olla enemmän (kaksi, kolme ja yleensä mikä tahansa lopullinen määrä). Jos funktio on integroitavissa jokaiseen osaan, se on myös laajennettavissa Fourier-sarjassa. Mutta käytännön kokemuksen perusteella en muista sellaista tinaa. Siitä huolimatta on vaikeampia tehtäviä kuin vain harkittu, ja artikkelin lopussa on kaikille linkit monimutkaisempiin Fourier-sarjaan.

Sillä välin rentoudutaan nojaten tuoleihimme ja pohdiskelemaan loputtomia tähtien avaruutta:

Esimerkki 5

Laajenna funktio välin Fourier-sarjaksi ja piirrä sarjan summa.

Tässä tehtävässä toiminto jatkuva hajoamisen puolivälissä, mikä yksinkertaistaa ratkaisua. Kaikki on hyvin samanlaista kuin esimerkki 2. Avaruusaluksesta et pääse pakoon - sinun on päätettävä =) Mallisuunnittelu oppitunnin lopussa, aikataulu liitteenä.

Parillisten ja parittomien funktioiden Fourier-sarjan laajennus

parilla ja parittomat toiminnot ongelmanratkaisuprosessi yksinkertaistuu huomattavasti. Ja siksi. Palataan funktion laajentamiseen Fourier-sarjassa jaksolla "kaksi pi" ja mielivaltainen ajanjakso "kaksi alea" .

Oletetaan, että funktiomme on parillinen. Kuten näette, sarjan yleistermi sisältää parilliset kosinit ja parittomat sinit. Ja jos hajotamme parillisen funktion, niin miksi tarvitsemme parittomat sinit?! Nollataan tarpeeton kerroin: .

Täten, parillinen funktio laajenee Fourier-sarjaksi vain kosineissa:

Koska parillisten funktioiden integraalit Nollan suhteen symmetrinen integrointisegmentti voidaan kaksinkertaistaa, niin myös loput Fourier-kertoimet yksinkertaistetaan.

Ajanjaksolle:

Mielivaltaiselle aikavälille:

Oppikirjaesimerkkejä, joita löytyy melkein kaikista matemaattisen analyysin oppikirjoista, ovat laajennukset jopa toimintoja . Lisäksi he ovat toistuvasti tavanneet henkilökohtaisessa käytännössäni:

Esimerkki 6

Annettu funktio. Edellytetään:

1) Laajenna funktio Fourier-sarjaksi jaksolla , jossa on mielivaltainen positiivinen luku;

2) kirjoita muistiin välin laajennus, rakenna funktio ja piirrä sarjan kokonaissumma graafisesti.

Ratkaisu: ensimmäisessä kappaleessa ehdotetaan ongelman ratkaisemista yleisnäkymä ja se on erittäin kätevä! Tarve tulee olemaan - korvaa vain arvosi.

1) Tässä tehtävässä laajennusjakso , puolijakso . Jatkotoimien aikana, erityisesti integraation aikana, "el" pidetään vakiona

Funktio on parillinen, mikä tarkoittaa, että se laajenee Fourier-sarjaksi vain kosineissa: .

Fourier-kertoimia etsitään kaavoilla . Kiinnitä huomiota niiden ehdottomiin etuihin. Ensin integrointi suoritetaan laajennuksen positiivisen segmentin yli, mikä tarkoittaa, että pääsemme turvallisesti eroon moduulista , kun otetaan huomioon vain "x" kahdesta osasta. Ja toiseksi, integrointi yksinkertaistuu huomattavasti.

Kaksi:

Integrointi osilla:

Täten:
, kun taas vakio , joka ei riipu "en:stä", otetaan pois summasta.

Vastaus:

2) Kirjoitamme laajennuksen väliin, tätä varten korvaamme halutun puolijakson arvon yleiseen kaavaan:

Monissa tapauksissa signaalispektrin saamisen (laskemisen) tehtävä on seuraava. On olemassa ADC, joka näytteenottotaajuudella Fd muuntaa sen sisääntuloon ajan T aikana jatkuvan signaalin digitaalisiksi lukemiksi - N kappaletta. Seuraavaksi lukemajoukko syötetään tiettyyn ohjelmaan, joka antaa N/2 joistakin numeerisista arvoista (ohjelmoija, joka netistä poimittu kirjoitti ohjelman, väittää tekevänsä Fourier-muunnoksen).

Tarkistaaksemme, toimiiko ohjelma oikein, muodostamme lukujonon kahden sini(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) siniaallon summana ja liu'utamme sen ohjelmoida. Ohjelma piirsi seuraavaa:

kuva 1 Kaavio signaalin aikafunktiosta

kuva 2 Signaalispektrin kuvaaja

Spektrikaaviossa on kaksi sauvaa (harmoninen) 5 Hz, joiden amplitudi on 0,5 V ja 10 Hz - amplitudilla 1 V, kaikki kuten alkuperäisen signaalin kaavassa. Kaikki hyvin, hyvin tehty ohjelmoija! Ohjelma toimii oikein.

Tämä tarkoittaa, että jos syötämme todellisen signaalin kahden siniaallon seoksesta ADC:n tuloon, saamme samanlaisen spektrin, joka koostuu kahdesta harmonisesta.

Yhteensä, meidän todellinen mitattu signaali, kesto 5 sek, ADC:n digitoima, eli edustaa diskreetti laskee, on diskreetti ei-jaksollinen alue.

Matemaattisesta näkökulmasta - kuinka monta virhettä tässä lauseessa on?Nyt viranomaiset ovat päättäneet, että päätimme, että 5 sekuntia on liian pitkä, mitataan signaali 0,5 sekunnissa.
kuva 3 Kuvaaja funktiosta sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) 0,5 sekunnin mittausjaksolla

kuva 4 Toimintospektri

Jokin on vialla! 10 Hz:n harmoninen piirretään normaalisti, mutta 5 Hz:n tikun tilalle ilmestyi useita käsittämättömiä harmonisia. Katsomme Internetistä, mitä ja miten...

He sanovat, että näytteen loppuun on lisättävä nollia ja spektri piirretään normaaliksi.

kuva 5 Valmiit nollat ​​5 sekuntiin asti

kuva 6 Saimme spektrin

Ei vieläkään mitä se oli 5 sekunnin kohdalla. Sinun täytyy käsitellä teoriaa. Mennään Wikipedia- tiedon lähde.

2. Jatkuva funktio ja sen esitys Fourier-sarjalla

Matemaattisesti signaalimme, jonka kesto on T sekuntia, on tietty funktio f(x), joka on annettu välillä (0, T) (X tässä tapauksessa aika). Tällainen funktio voidaan aina esittää harmonisten funktioiden (sini tai kosini) summana muodossa:

(1), jossa:

k - trigonometrisen funktion numero (harmonisen komponentin lukumäärä, harmoninen luku) T - segmentti, jossa funktio on määritelty (signaalin kesto) Ak - k:nnen harmonisen komponentin amplitudi, θk - k:nnen harmonisen komponentin alkuvaihe

Mitä tarkoittaa "esittää funktio sarjan summana"? Tämä tarkoittaa, että lisäämällä Fourier-sarjan harmonisten komponenttien arvot jokaiseen pisteeseen, saamme funktiomme arvon tässä vaiheessa.

(Tarkemmin sanottuna sarjan keskihajonta funktiosta f(x) pyrkii olemaan nolla, mutta standardikonvergenssista huolimatta funktion Fourier-sarjan ei yleisesti ottaen tarvitse konvergoida siihen pisteittäin. Katso https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Tämä sarja voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

(2), missä, k-nen kompleksi amplitudi.

Kerrointen (1) ja (3) välinen suhde ilmaistaan ​​seuraavilla kaavoilla:

Huomaa, että kaikki nämä kolme Fourier-sarjan esitystä ovat täysin vastaavia. Joskus Fourier-sarjan kanssa työskennellessä on kätevämpää käyttää imaginaarisen argumentin eksponenteja sinien ja kosinien sijasta, eli käyttää Fourier-muunnosta kompleksisessa muodossa. Mutta meille on kätevää käyttää kaavaa (1), jossa Fourier-sarja esitetään kosiniaaltojen summana vastaavien amplitudien ja vaiheiden kanssa. Joka tapauksessa on väärin väittää, että todellisen signaalin Fourier-muunnoksen tulos olisi harmonisten harmonisten amplitudit. Kuten wikissä oikein sanotaan, "Fourier-muunnos (ℱ) on operaatio, joka kuvaa todellisen muuttujan yhden funktion toiseen funktioon, myös todellisen muuttujan."

Kaikki yhteensä: Matemaattinen perusta spektrianalyysi signaalit on Fourier-muunnos.

Fourier-muunnos antaa meille mahdollisuuden edustaa jatkuva toiminto f(x) (signaali), joka on määritelty segmentissä (0, T) summaksi ääretön luku(ääretön rivi) trigonometriset funktiot(siniaaltoja ja/tai kosiniaaltoja) tietyillä amplitudeilla ja vaiheilla, myös segmentillä (0, T). Tällaista sarjaa kutsutaan Fourier-sarjaksi.

On vielä muutama seikka, jotka on ymmärrettävä, jotta se onnistuu oikea sovellus Fourier-muunnos signaalianalyysiksi. Jos tarkastelemme Fourier-sarjaa (siniaaltojen summaa) koko X-akselilla, niin voimme nähdä, että segmentin (0, T) ulkopuolella Fourier-sarjan edustama funktio toistaa ajoittain funktioamme.

Esimerkiksi kuvion 7 kaaviossa alkuperäinen funktio on määritetty segmentille (-T \ 2, + T \ 2), ja Fourier-sarja edustaa jaksollista funktiota, joka on määritelty koko x-akselilla.

Tämä johtuu siitä, että sinimuodot itse ovat jaksollisia toimintoja, ja niiden summa on jaksollinen funktio.

kuva 7 Ei-jaksollisen alkuperäisen funktion esitys Fourier-sarjalla

Täten:

Alkufunktiomme on jatkuva, ei-jaksollinen, määritelty tietylle segmentille, jonka pituus on T. Tämän funktion spektri on diskreetti, eli se esitetään äärettömänä harmonisten komponenttien sarjana - Fourier-sarjana. Itse asiassa tietyn jaksollisen funktion määrittelee Fourier-sarja, joka on sama kuin meidän segmentillä (0, T), mutta tämä jaksollisuus ei ole meille välttämätön.

Harmonisten komponenttien jaksot ovat sen segmentin (0, T) kerrannaisia, jolle alkuperäinen funktio f(x) on määritelty. Toisin sanoen harmoniset jaksot ovat signaalimittauksen keston kerrannaisia. Esimerkiksi Fourier-sarjan ensimmäisen harmonisen jakso on yhtä suuri kuin väli T, jolle funktio f(x) määritellään. Fourier-sarjan toisen harmonisen jakso on yhtä suuri kuin väli T/2. Ja niin edelleen (katso kuva 8).

kuva 8 Fourier-sarjan harmonisten komponenttien jaksot (taajuudet) (tässä T=2π)

Vastaavasti harmonisten komponenttien taajuudet ovat 1/T:n kerrannaisia. Toisin sanoen harmonisten komponenttien Fk taajuudet ovat yhtä suuria kuin Fk= k\T, missä k on 0 - ∞, esimerkiksi k=0 F0=0; k = 1 F1 = 1\T; k = 2 F2 = 2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nollataajuudella - vakiokomponentti).

Olkoon alkuperäinen funktiomme signaali, joka on tallennettu T=1 sek. Tällöin ensimmäisen harmonisen jakso on yhtä suuri kuin signaalimme kesto T1=T=1 sek ja harmonisen taajuus on 1 Hz. Toisen harmonisen jakso on yhtä suuri kuin signaalin kesto jaettuna 2:lla (T2=T/2=0,5 s) ja taajuus on 2 Hz. Kolmannelle harmoniselle T3=T/3 sek ja taajuus on 3 Hz. Ja niin edelleen.

Yliaaltojen välinen askel on tässä tapauksessa 1 Hz.

Siten signaali, jonka kesto on 1 s, voidaan hajottaa harmonisiksi komponenteiksi (spektrin saamiseksi) 1 Hz:n taajuusresoluutiolla. Tarkkuuden lisäämiseksi 2 kertaa 0,5 Hz:iin on tarpeen pidentää mittauksen kestoa 2 kertaa - jopa 2 sekuntiin. Signaali, jonka kesto on 10 sekuntia, voidaan hajottaa harmonisiksi komponenteiksi (spektrin saamiseksi) 0,1 Hz:n taajuusresoluutiolla. Ei ole muita tapoja lisätä taajuusresoluutiota.

On olemassa tapa lisätä keinotekoisesti signaalin kestoa lisäämällä näytteiden joukkoon nollia. Mutta se ei lisää todellista taajuuden resoluutiota.

3. Diskreetit signaalit ja diskreetti Fourier-muunnos

Digitaalitekniikan kehittyessä myös mittaustietojen (signaalien) tallennustavat ovat muuttuneet. Jos aikaisemmin signaali voitiin nauhoittaa nauhuriin ja tallentaa nauhalle analogisessa muodossa, niin nyt signaalit digitoidaan ja tallennetaan tiedostoihin tietokoneen muistiin numerosarjana (counts).

Tavanomainen menetelmä signaalin mittaamiseksi ja digitoimiseksi on seuraava.

kuva 9 Mittauskanavan kaavio

Mittausmuuntimesta tuleva signaali saapuu ADC:hen ajanjakson T aikana. Aikana T saadut signaalinäytteet (näyte) siirretään tietokoneelle ja tallennetaan muistiin.

kuva 10 Digitoitu signaali - N lukemaa vastaanotettu ajassa T

Mitä vaatimuksia signaalin digitointiparametreille on? Laitetta, joka muuntaa analogisen tulosignaalin erilliseksi koodiksi (digitaalisignaaliksi), kutsutaan analogia-digitaalimuuntimeksi (ADC, englanti Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Yksi ADC:n pääparametreista on maksimitaajuus näytteenotto (tai näytteenottotaajuus, eng. sample rate) - näytteiden ottamisen taajuus ajassa jatkuvasta signaalista sen näytteistyksen aikana. Mitattu hertseinä. ((Wiki))

Kotelnikov-lauseen mukaan, jos jatkuvalla signaalilla on taajuuden Fmax rajoittama spektri, se voidaan palauttaa täysin ja yksiselitteisesti sen diskreeteistä näytteistä, jotka on otettu aikavälein. , eli taajuudella Fd ≥ 2*Fmax, missä Fd - näytteenottotaajuus; Fmax - signaalispektrin maksimitaajuus. Toisin sanoen signaalin näytteenottotaajuuden (ADC-näytteenottotaajuuden) on oltava vähintään 2 kertaa mitattavan signaalin maksimitaajuus.

Ja mitä tapahtuu, jos otamme lukemia pienemmällä taajuudella kuin Kotelnikov-lause vaatii?

Tällöin tapahtuu "aliasing" (aliasing) vaikutus (alias stroboskooppinen efekti, moiré-ilmiö), jossa korkeataajuinen signaali digitalisoinnin jälkeen muuttuu matalataajuiseksi signaaliksi, jota ei todellisuudessa ole olemassa. Kuvassa 11 korkeataajuinen punainen siniaalto on todellinen signaali. Alemman taajuuden sininen siniaalto on valesignaali, joka johtuu siitä, että yli puolet korkeataajuisesta signaalista ehtii kulua näytteenottoajan aikana.

Riisi. 11. Väärän matalataajuisen signaalin ilmaantuminen, kun näytteenottotaajuus ei ole tarpeeksi korkea

Aliasoinnin vaikutuksen välttämiseksi ADC - LPF:n (alipäästösuodatin) eteen on sijoitettu erityinen anti-aliasing-suodatin, joka läpäisee taajuudet, jotka ovat alle puolet ADC-näytteenottotaajuudesta ja katkaisee korkeammat taajuudet.

Signaalin spektrin laskemiseksi sen diskreeteistä näytteistä käytetään diskreettiä Fourier-muunnosta (DFT). Toteamme jälleen kerran, että diskreetin signaalin spektri on "määritelmän mukaan" rajoitettu taajuudella Fmax, joka on alle puolet näytteenottotaajuudesta Fd. Siksi diskreetin signaalin spektri voidaan esittää äärellisen määrän harmonisten summalla, toisin kuin ääretön summa jatkuvan signaalin Fourier-sarjalle, jonka spektri voi olla rajoittamaton. Kotelnikov-lauseen mukaan harmonisen maksimitaajuuden tulee olla sellainen, että se vastaa vähintään kahta näytettä, joten harmonisten lukumäärä on yhtä suuri kuin puolet diskreetin signaalin näytteiden lukumäärästä. Eli jos näytteessä on N näytettä, niin spektrin harmonisten lukumäärä on yhtä suuri kuin N/2.

Harkitse nyt diskreetti Fourier-muunnos (DFT).

Fourier-sarjaan verrattuna

näemme, että ne ovat samat, paitsi että aika DFT:ssä on diskreetti ja harmonisten lukumäärä on rajoitettu N/2:een - puoleen näytteiden lukumäärästä.

DFT-kaavat kirjoitetaan dimensiottomiin kokonaislukumuuttujiin k, s, joissa k ovat signaalinäytteiden lukumäärä, s ovat spektrikomponenttien lukumäärät. S:n arvo osoittaa harmonisen täyden värähtelyn määrän jaksossa T (signaalin mittauksen kesto). Diskreetin Fourier-muunnoksen avulla löydetään harmonisten amplitudit ja vaiheet numeerisesti, ts. "tietokoneella"

Palatakseni alussa saatuihin tuloksiin. Kuten edellä mainittiin, kun ei-jaksollinen funktio (meidän signaalimme) laajennetaan Fourier-sarjaksi, tuloksena oleva Fourier-sarja itse asiassa vastaa jaksollista funktiota, jonka jakso on T. (Kuva 12).

kuva 12 Jaksofunktio f(x) jaksolla Т0, mittausjaksolla Т>T0

Kuten kuvasta 12 voidaan nähdä, funktio f(x) on jaksollinen jaksolla Т0. Kuitenkin, koska mittausnäytteen T kesto ei ole sama kuin funktion T0 jakso, Fourier-sarjana saadussa funktiossa on epäjatkuvuus pisteessä T. Tämän seurauksena tämän funktion spektri muuttuu sisältää suuri määrä korkeataajuiset harmoniset. Jos mittausnäytteen T kesto osuisi yhteen funktion T0 jakson kanssa, niin Fourier-muunnoksen jälkeen saadussa spektrissä olisi vain ensimmäinen harmoninen (siniaalto, jonka jakso on yhtä suuri kuin näytteen kesto), koska funktio f (x) on sinusoidi.

Toisin sanoen DFT-ohjelma "ei tiedä", että signaalimme on "siniaallon pala", mutta yrittää esittää jaksollisen funktion sarjana, jossa on aukko yksittäisten osien epäjohdonmukaisuuden vuoksi. siniaalto.

Tämän seurauksena spektriin ilmestyy harmonisia yliaaltoja, joiden kokonaisuutena pitäisi edustaa funktion muotoa, mukaan lukien tämä epäjatkuvuus.

Siten saadaksesi signaalin "oikean" spektrin, joka on useiden siniaaltojen summa eri ajanjaksoja, on välttämätöntä, että kunkin sinimuodon jaksojen kokonaisluku sopii signaalin mittausjaksoon. Käytännössä tämä ehto voidaan täyttää riittävän pitkän signaalin mittauksen keston ajan.

Kuva 13 Esimerkki vaihteiston kinemaattisen virheen signaalin toiminnasta ja spektristä

Lyhyemmällä kestolla kuva näyttää "pahemmalta":

Kuva 14 Esimerkki roottorin värähtelysignaalin toiminnasta ja spektristä

Käytännössä voi olla vaikeaa ymmärtää, missä ovat "todelliset komponentit" ja missä "artefaktit", jotka johtuvat komponenttien jaksojen moninkertaisuudesta ja signaalinäytteen kestosta tai signaalin "hyppyistä ja katkoksista". aaltomuoto. Sanoja "todelliset komponentit" ja "artefaktit" ei tietenkään turhaan lainata. Monien harmonisten esiintyminen spektrikaaviossa ei tarkoita, että signaalimme todella "koostuu" niistä. Se on kuin ajattelisi, että numero 7 "koostuu" luvuista 3 ja 4. Luku 7 voidaan esittää lukujen 3 ja 4 summana - tämä on oikein.

Samoin on meidän signaalimme ... tai pikemminkin, ei edes "meidän signaalimme", vaan jaksollinen funktio, joka on koottu toistamalla signaaliamme (näytteenotto), voidaan esittää harmonisten (siniaaltojen) summana tietyillä amplitudeilla ja vaiheilla. Mutta monissa käytännön kannalta tärkeissä tapauksissa (katso yllä olevat kuvat) on todellakin mahdollista liittää spektrissä saadut harmoniset todellisiin prosesseihin, jotka ovat luonteeltaan syklisiä ja vaikuttavat merkittävästi signaalin muotoon.

Joitakin tuloksia

1. Todellisella mitatulla signaalilla, kesto T s, joka on digitoitu ADC:llä, eli joka esitetään diskreettien näytteiden sarjana (N kappaletta), on diskreetti ei-jaksollinen spektri, jota edustaa joukko harmonisia (N/2 kappaletta ).

2. Signaalia edustaa joukko todellisia arvoja ja sen spektriä edustaa joukko todellisia arvoja. Harmoniset taajuudet ovat positiivisia. Se, että matemaatikoille on helpompaa esittää spektriä monimutkaisessa muodossa negatiivisia taajuuksia käyttäen, ei tarkoita, että "se on oikein" ja "se pitäisi aina tehdä näin".

3. Aikavälillä T mitattu signaali määräytyy vain aikavälillä T. Mitä tapahtui ennen signaalin mittaamisen aloittamista ja mitä tapahtuu sen jälkeen - tämä on tieteen tuntematon. Ja meidän tapauksessamme - se ei ole mielenkiintoista. Aikarajoitetun signaalin DFT antaa "todellisen" spektrinsä siinä mielessä, että tietyissä olosuhteissa sen avulla voit laskea sen komponenttien amplitudin ja taajuuden.

Käytetyt materiaalit ja muut hyödylliset materiaalit.

FourierScope on ohjelma radiosignaalien rakentamiseen ja niiden spektrianalyysiin. Graph on avoimen lähdekoodin ohjelma matemaattisten kaavioiden luomiseen. Diskreetti Fourier-muunnos – MITEN SE TEKEE Diskreetti Fourier-muunnos (DFT)

Luvussa 10 kuvattiin Fourier-sarjan soveltamista kielen elastisten värähtelyjen tutkimukseen. Tässä luvussa tarkastellaan joitain palkkien elastiseen taivutukseen liittyviä kysymyksiä.

Fourier-sarjan käyttäminen staattisten ongelmien ratkaisemiseen elastiset rungot valmistettu seuraavan kaavion mukaisesti.

Ensinnäkin fysikaalisista näkökohdista johdetaan suhde, joka yhdistää epämuodostuneen kappaleen geometrista tilaa kuvaavan funktion kehoon kohdistuviin kuormituksiin. Tämä suhde sisältää yleisesti ottaen itse tilafunktion lisäksi myös sen derivaatat sekä joitain integraaliominaisuuksia.

Sitten valitaan kappaleen geometristen ääriviivojen ja sen liikettä rajoittavien kinemaattisten olosuhteiden perusteella ortogonaalinen funktiojärjestelmä, jonka mukaan määritetty tilafunktio laajennetaan Fourier-sarjaksi.

Tämän Fourier-sarjan korvaaminen johdettuun suhteeseen johtaa kahden Fourier-sarjan identtiseen yhtäläisyyteen, josta luvun 9 luvun 14 lauseen 2 avulla voidaan siirtyä identtisten funktioiden kertoimien yhtäläisyyteen. Näistä viimeisistä yhtälöistä voidaan laskea Fourier-kertoimien arvot ja siten kuvata epämuodostuneen kappaleen tilaa.

Tämä prosessi, jossa Fourier-sarja korvataan taivutusta kuvaavaan suhteeseen, on suoritettava riittävän varovasti, koska sen aikana on tarpeen erottaa useita kertoja termi kerrallaan Fourier-sarjat, joiden kertoimet lasketaan vasta jälkeenpäin. Varmista tämän erottelun oikeutus, eli (ks. luvun 5 § 10) muodostettujen sarjojen yhtenäinen konvergenssi

differentioituvan sarjan johdannaistermeistä, on a priori melko vaikeaa. Siksi päätämme kutakin erityistä ongelmaa ratkaisemalla suunnilleen seuraavasti.

Ensin oletetaan, että toistaiseksi tuntemattomilla kertoimilla kirjoitettu Fourier-sarja voidaan (5 luvun 10 §:n lauseen mukaisesti) eriyttää termittäin vaaditun määrän kertoja. Kirjoittamalla derivaatat ja ratkaisemalla tuloksena saadut yhtälöt löydämme meitä kiinnostavat Fourier-kertoimet. Tämä tarkoittaa, että jos Fourier-sarja soveltuu termikohtaiseen erotteluun (ja lisäksi niin monta kertaa kuin tarvitaan), niin se on melko selvä, jonka löysimme läheltä. Jos nyt saatujen kertoimien tarkastelun perusteella nähdään, että tämä rakennettu, hyvin määritelty sarja on todellakin termi kerrallaan differentioituva, niin kaikki tälle sarjalle tosiasiallisesti suoritetut operaatiot olivat oikeutettuja ja löydetyt Fourier-kertoimet ovat halutut. Jos käy ilmi, että saadaan erottumaton sarja, tämä tarkoittaa, että sillä aiemmin tehdyt toiminnot olivat matemaattisesti virheellisiä ja niiden perusteella saatu tulos on kohtuuton, vaikka mahdollisesti oikea. Seuraavaksi tarkastellaan esimerkkejä molempien tyyppien tuloksista.

Monissa tapauksissa signaalispektrin saamisen (laskemisen) tehtävä on seuraava. On olemassa ADC, joka näytteenottotaajuudella Fd muuntaa sen sisääntuloon ajan T aikana jatkuvan signaalin digitaalisiksi lukemiksi - N kappaletta. Seuraavaksi lukemajoukko syötetään tiettyyn ohjelmaan, joka antaa N/2 joistakin numeerisista arvoista (ohjelmoija, joka netistä poimittu kirjoitti ohjelman, väittää tekevänsä Fourier-muunnoksen).

Tarkistaaksemme, toimiiko ohjelma oikein, muodostamme lukujonon kahden sini(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) siniaallon summana ja liu'utamme sen ohjelmoida. Ohjelma piirsi seuraavaa:

kuva 1 Kaavio signaalin aikafunktiosta

kuva 2 Signaalispektrin kuvaaja

Spektrikaaviossa on kaksi sauvaa (harmoninen) 5 Hz, joiden amplitudi on 0,5 V ja 10 Hz - amplitudilla 1 V, kaikki kuten alkuperäisen signaalin kaavassa. Kaikki hyvin, hyvin tehty ohjelmoija! Ohjelma toimii oikein.

Tämä tarkoittaa, että jos syötämme todellisen signaalin kahden siniaallon seoksesta ADC:n tuloon, saamme samanlaisen spektrin, joka koostuu kahdesta harmonisesta.

Yhteensä, meidän todellinen mitattu signaali, kesto 5 sek, ADC:n digitoima, eli edustaa diskreetti laskee, on diskreetti ei-jaksollinen alue.

Kuinka monta virhettä tässä lauseessa on matemaattisesta näkökulmasta?

Nyt viranomaiset ovat päättäneet, että päätimme, että 5 sekuntia on liian pitkä aika, mitataan signaali 0,5 sekunnissa.



kuva 3 Kuvaaja funktiosta sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) 0,5 sekunnin mittausjaksolla

kuva 4 Toimintospektri

Jokin on vialla! 10 Hz:n harmoninen piirretään normaalisti, mutta 5 Hz:n tikun tilalle ilmestyi useita käsittämättömiä harmonisia. Katsomme Internetistä, mitä ja miten...

He sanovat, että näytteen loppuun on lisättävä nollia ja spektri piirretään normaaliksi.

kuva 5 Valmiit nollat ​​5 sekuntiin asti

kuva 6 Saimme spektrin

Ei vieläkään mitä se oli 5 sekunnin kohdalla. Sinun täytyy käsitellä teoriaa. Mennään Wikipedia- tiedon lähde.

2. Jatkuva funktio ja sen esitys Fourier-sarjalla

Matemaattisesti signaalimme, jonka kesto on T sekuntia, on tietty funktio f(x), joka on annettu välillä (0, T) (X tässä tapauksessa aika). Tällainen funktio voidaan aina esittää harmonisten funktioiden (sini tai kosini) summana muodossa:

(1), jossa:

K - trigonometrisen funktion numero (harmonisen komponentin lukumäärä, harmoninen luku)
T - segmentti, jossa funktio on määritelty (signaalin kesto)
Ak - k:nnen harmonisen komponentin amplitudi,
θk - k:nnen harmonisen komponentin alkuvaihe

Mitä tarkoittaa "esittää funktio sarjan summana"? Tämä tarkoittaa, että lisäämällä Fourier-sarjan harmonisten komponenttien arvot jokaiseen pisteeseen, saamme funktiomme arvon tässä vaiheessa.

(Tarkemmin sanottuna sarjan keskihajonta funktiosta f(x) pyrkii olemaan nolla, mutta standardikonvergenssista huolimatta funktion Fourier-sarjan ei yleisesti ottaen tarvitse konvergoida siihen pisteittäin. Katso https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Tämä sarja voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

(2),
missä , k:s kompleksinen amplitudi.

Kerrointen (1) ja (3) välinen suhde ilmaistaan ​​seuraavilla kaavoilla:

Huomaa, että kaikki nämä kolme Fourier-sarjan esitystä ovat täysin vastaavia. Joskus Fourier-sarjan kanssa työskennellessä on kätevämpää käyttää imaginaarisen argumentin eksponenteja sinien ja kosinien sijasta, eli käyttää Fourier-muunnosta kompleksisessa muodossa. Mutta meille on kätevää käyttää kaavaa (1), jossa Fourier-sarja esitetään kosiniaaltojen summana vastaavien amplitudien ja vaiheiden kanssa. Joka tapauksessa on väärin väittää, että todellisen signaalin Fourier-muunnoksen tulos olisi harmonisten harmonisten amplitudit. Kuten wikissä oikein sanotaan, "Fourier-muunnos (ℱ) on operaatio, joka kuvaa todellisen muuttujan yhden funktion toiseen funktioon, myös todellisen muuttujan."

Kaikki yhteensä:
Signaalien spektrianalyysin matemaattinen perusta on Fourier-muunnos.

Fourier-muunnos antaa meille mahdollisuuden esittää jatkuvaa funktiota f(x) (signaali), joka on määritelty segmentillä (0, T) tietyillä amplitudeilla olevien trigonometristen funktioiden (sini ja/tai kosini) äärettömän määrän (ääretön sarja) summana. ja vaiheet, myös segmentissä (0, T). Tällaista sarjaa kutsutaan Fourier-sarjaksi.

Huomioimme vielä joitain kohtia, joiden ymmärtäminen vaaditaan Fourier-muunnoksen oikeaan soveltamiseen signaalianalyysiin. Jos tarkastelemme Fourier-sarjaa (siniaaltojen summaa) koko X-akselilla, niin voimme nähdä, että segmentin (0, T) ulkopuolella Fourier-sarjan edustama funktio toistaa ajoittain funktioamme.

Esimerkiksi kuvion 7 kaaviossa alkuperäinen funktio on määritetty segmentille (-T \ 2, + T \ 2), ja Fourier-sarja edustaa jaksollista funktiota, joka on määritelty koko x-akselilla.

Tämä johtuu siitä, että sinimuodot itse ovat jaksollisia toimintoja, ja niiden summa on jaksollinen funktio.

kuva 7 Ei-jaksollisen alkuperäisen funktion esitys Fourier-sarjalla

Täten:

Alkuperäinen funktiomme on jatkuva, ei-jaksollinen, määritelty jollekin pituudeltaan T.
Tämän funktion spektri on diskreetti, eli se esitetään äärettömänä harmonisten komponenttien sarjana - Fourier-sarjana.
Itse asiassa tietyn jaksollisen funktion määrittelee Fourier-sarja, joka on sama kuin meidän segmentillä (0, T), mutta tämä jaksollisuus ei ole meille välttämätön.

Harmonisten komponenttien jaksot ovat sen segmentin (0, T) kerrannaisia, jolle alkuperäinen funktio f(x) on määritelty. Toisin sanoen harmoniset jaksot ovat signaalimittauksen keston kerrannaisia. Esimerkiksi Fourier-sarjan ensimmäisen harmonisen jakso on yhtä suuri kuin väli T, jolle funktio f(x) määritellään. Fourier-sarjan toisen harmonisen jakso on yhtä suuri kuin väli T/2. Ja niin edelleen (katso kuva 8).

kuva 8 Fourier-sarjan harmonisten komponenttien jaksot (taajuudet) (tässä T=2π)

Vastaavasti harmonisten komponenttien taajuudet ovat 1/T:n kerrannaisia. Toisin sanoen harmonisten komponenttien Fk taajuudet ovat yhtä suuria kuin Fk= k\T, missä k on 0 - ∞, esimerkiksi k=0 F0=0; k = 1 F1 = 1\T; k = 2 F2 = 2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nollataajuudella - vakiokomponentti).

Olkoon alkuperäinen funktiomme signaali, joka on tallennettu T=1 sek. Tällöin ensimmäisen harmonisen jakso on yhtä suuri kuin signaalimme kesto T1=T=1 sek ja harmonisen taajuus on 1 Hz. Toisen harmonisen jakso on yhtä suuri kuin signaalin kesto jaettuna 2:lla (T2=T/2=0,5 s) ja taajuus on 2 Hz. Kolmannelle harmoniselle T3=T/3 sek ja taajuus on 3 Hz. Ja niin edelleen.

Yliaaltojen välinen askel on tässä tapauksessa 1 Hz.

Siten signaali, jonka kesto on 1 s, voidaan hajottaa harmonisiksi komponenteiksi (spektrin saamiseksi) 1 Hz:n taajuusresoluutiolla.
Tarkkuuden lisäämiseksi 2 kertaa 0,5 Hz:iin on tarpeen pidentää mittauksen kestoa 2 kertaa - jopa 2 sekuntiin. Signaali, jonka kesto on 10 sekuntia, voidaan hajottaa harmonisiksi komponenteiksi (spektrin saamiseksi) 0,1 Hz:n taajuusresoluutiolla. Ei ole muita tapoja lisätä taajuusresoluutiota.

On olemassa tapa lisätä keinotekoisesti signaalin kestoa lisäämällä näytteiden joukkoon nollia. Mutta se ei lisää todellista taajuuden resoluutiota.

3. Diskreetit signaalit ja diskreetti Fourier-muunnos

Digitaalitekniikan kehittyessä myös mittaustietojen (signaalien) tallennustavat ovat muuttuneet. Jos aikaisemmin signaali voitiin nauhoittaa nauhuriin ja tallentaa nauhalle analogisessa muodossa, niin nyt signaalit digitoidaan ja tallennetaan tiedostoihin tietokoneen muistiin numerosarjana (counts).

Tavanomainen menetelmä signaalin mittaamiseksi ja digitoimiseksi on seuraava.

kuva 9 Mittauskanavan kaavio

Mittausmuuntimesta tuleva signaali saapuu ADC:hen ajanjakson T aikana. Aikana T saadut signaalinäytteet (näyte) siirretään tietokoneelle ja tallennetaan muistiin.

kuva 10 Digitoitu signaali - N lukemaa vastaanotettu ajassa T

Mitä vaatimuksia signaalin digitointiparametreille on? Laitetta, joka muuntaa analogisen tulosignaalin erilliseksi koodiksi (digitaalisignaaliksi), kutsutaan analogia-digitaalimuuntimeksi (ADC, englanti Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Yksi ADC:n pääparametreista on suurin näytteenottotaajuus (tai näytteenottotaajuus, englanniksi sample rate) - signaalin näytteiden ottamisen taajuus, joka jatkuu ajassa sen näytteenoton aikana. Mitattu hertseinä. ((Wiki))

Kotelnikov-lauseen mukaan, jos jatkuvalla signaalilla on taajuuden Fmax rajoittama spektri, se voidaan palauttaa täysin ja yksiselitteisesti sen diskreeteistä näytteistä, jotka on otettu aikavälein. , eli taajuudella Fd ≥ 2*Fmax, missä Fd - näytteenottotaajuus; Fmax - signaalispektrin maksimitaajuus. Toisin sanoen signaalin näytteenottotaajuuden (ADC-näytteenottotaajuuden) on oltava vähintään 2 kertaa mitattavan signaalin maksimitaajuus.

Ja mitä tapahtuu, jos otamme lukemia pienemmällä taajuudella kuin Kotelnikov-lause vaatii?

Tällöin tapahtuu "aliasing" (aliasing) vaikutus (alias stroboskooppinen efekti, moiré-ilmiö), jossa korkeataajuinen signaali digitalisoinnin jälkeen muuttuu matalataajuiseksi signaaliksi, jota ei todellisuudessa ole olemassa. Kuvassa 11 korkeataajuinen punainen siniaalto on todellinen signaali. Alemman taajuuden sininen siniaalto on valesignaali, joka johtuu siitä, että yli puolet korkeataajuisesta signaalista ehtii kulua näytteenottoajan aikana.

Riisi. 11. Väärän matalataajuisen signaalin ilmaantuminen, kun näytteenottotaajuus ei ole tarpeeksi korkea

Aliasoinnin vaikutuksen välttämiseksi ADC - LPF:n (alipäästösuodatin) eteen on sijoitettu erityinen anti-aliasing-suodatin, joka läpäisee taajuudet, jotka ovat alle puolet ADC-näytteenottotaajuudesta ja katkaisee korkeammat taajuudet.

Signaalin spektrin laskemiseksi sen diskreeteistä näytteistä käytetään diskreettiä Fourier-muunnosta (DFT). Toteamme jälleen kerran, että diskreetin signaalin spektri on "määritelmän mukaan" rajoitettu taajuudella Fmax, joka on alle puolet näytteenottotaajuudesta Fd. Siksi diskreetin signaalin spektri voidaan esittää äärellisen määrän harmonisten summalla, toisin kuin jatkuvan signaalin Fourier-sarjan ääretön summa, jonka spektri voi olla rajoittamaton. Kotelnikov-lauseen mukaan harmonisen maksimitaajuuden tulee olla sellainen, että se vastaa vähintään kahta näytettä, joten harmonisten lukumäärä on yhtä suuri kuin puolet diskreetin signaalin näytteiden lukumäärästä. Eli jos näytteessä on N näytettä, niin spektrin harmonisten lukumäärä on yhtä suuri kuin N/2.

Harkitse nyt diskreetti Fourier-muunnos (DFT).

Fourier-sarjaan verrattuna

Näemme, että ne ovat samat, paitsi että aika DFT:ssä on diskreetti ja harmonisten lukumäärä on rajoitettu N/2:een - puoleen näytteiden lukumäärästä.

DFT-kaavat kirjoitetaan dimensiottomiin kokonaislukumuuttujiin k, s, joissa k ovat signaalinäytteiden lukumäärä, s ovat spektrikomponenttien lukumäärät.
S:n arvo osoittaa harmonisen täyden värähtelyn määrän jaksossa T (signaalin mittauksen kesto). Diskreetin Fourier-muunnoksen avulla löydetään harmonisten amplitudit ja vaiheet numeerisesti, ts. "tietokoneella"

Palatakseni alussa saatuihin tuloksiin. Kuten edellä mainittiin, kun ei-jaksollinen funktio (meidän signaalimme) laajennetaan Fourier-sarjaksi, tuloksena oleva Fourier-sarja itse asiassa vastaa jaksollista funktiota, jonka jakso on T. (Kuva 12).

kuva 12 Jaksofunktio f(x) jaksolla Т0, mittausjaksolla Т>T0

Kuten kuvasta 12 voidaan nähdä, funktio f(x) on jaksollinen jaksolla Т0. Kuitenkin, koska mittausnäytteen T kesto ei ole sama kuin funktion T0 jakso, Fourier-sarjana saadussa funktiossa on epäjatkuvuus pisteessä T. Tämän seurauksena tämän funktion spektri muuttuu sisältävät suuren määrän suurtaajuisia harmonisia. Jos mittausnäytteen T kesto osuisi yhteen funktion T0 jakson kanssa, niin Fourier-muunnoksen jälkeen saadussa spektrissä olisi vain ensimmäinen harmoninen (siniaalto, jonka jakso on yhtä suuri kuin näytteen kesto), koska funktio f (x) on sinusoidi.

Toisin sanoen DFT-ohjelma "ei tiedä", että signaalimme on "siniaallon pala", mutta yrittää esittää jaksollisen funktion sarjana, jossa on aukko yksittäisten osien epäjohdonmukaisuuden vuoksi. siniaalto.

Tämän seurauksena spektriin ilmestyy harmonisia yliaaltoja, joiden kokonaisuutena pitäisi edustaa funktion muotoa, mukaan lukien tämä epäjatkuvuus.

Siten signaalin "oikean" spektrin saamiseksi, joka on useiden eri jaksojen omaavien siniaaltojen summa, on välttämätöntä, että kunkin sinimuodon jaksojen kokonaisluku sopii signaalin mittausjaksoon. Käytännössä tämä ehto voidaan täyttää riittävän pitkän signaalin mittauksen keston ajan.

Kuva 13 Esimerkki vaihteiston kinemaattisen virheen signaalin toiminnasta ja spektristä

Lyhyemmällä kestolla kuva näyttää "pahemmalta":

Kuva 14 Esimerkki roottorin värähtelysignaalin toiminnasta ja spektristä

Käytännössä voi olla vaikeaa ymmärtää, missä ovat "todelliset komponentit" ja missä "artefaktit", jotka johtuvat komponenttien jaksojen moninkertaisuudesta ja signaalinäytteen kestosta tai signaalin "hyppyistä ja katkoksista". aaltomuoto. Sanoja "todelliset komponentit" ja "artefaktit" ei tietenkään turhaan lainata. Monien harmonisten esiintyminen spektrikaaviossa ei tarkoita, että signaalimme todella "koostuu" niistä. Se on kuin ajattelisi, että numero 7 "koostuu" luvuista 3 ja 4. Luku 7 voidaan esittää lukujen 3 ja 4 summana - tämä on oikein.

Samoin on meidän signaalimme ... tai pikemminkin, ei edes "meidän signaalimme", vaan jaksollinen funktio, joka on koottu toistamalla signaaliamme (näytteenotto), voidaan esittää harmonisten (siniaaltojen) summana tietyillä amplitudeilla ja vaiheilla. Mutta monissa käytännön kannalta tärkeissä tapauksissa (katso yllä olevat kuvat) on todellakin mahdollista liittää spektrissä saadut harmoniset todellisiin prosesseihin, jotka ovat luonteeltaan syklisiä ja vaikuttavat merkittävästi signaalin muotoon.

Joitakin tuloksia

1. Todellisella mitatulla signaalilla, kesto T s, joka on digitoitu ADC:llä, eli joka esitetään diskreettien näytteiden sarjana (N kappaletta), on diskreetti ei-jaksollinen spektri, jota edustaa joukko harmonisia (N/2 kappaletta ).

2. Signaalia edustaa joukko todellisia arvoja ja sen spektriä edustaa joukko todellisia arvoja. Harmoniset taajuudet ovat positiivisia. Se, että matemaatikoille on helpompaa esittää spektriä monimutkaisessa muodossa negatiivisia taajuuksia käyttäen, ei tarkoita, että "se on oikein" ja "se pitäisi aina tehdä näin".

3. Aikavälillä T mitattu signaali määräytyy vain aikavälillä T. Mitä tapahtui ennen signaalin mittaamisen aloittamista ja mitä tapahtuu sen jälkeen - tämä on tieteen tuntematon. Ja meidän tapauksessamme - se ei ole mielenkiintoista. Aikarajoitetun signaalin DFT antaa "todellisen" spektrinsä siinä mielessä, että tietyissä olosuhteissa sen avulla voit laskea sen komponenttien amplitudin ja taajuuden.

Käytetyt materiaalit ja muut hyödylliset materiaalit.

Fourier-sarja on kirjoitettu seuraavasti:

, jossa k on harmoninen luku.

Tämän sarjan Fourier-kertoimet löytyvät kaavoista:

Jaksollisia signaaleja edustaa Fourier-sarja muodossa:

, missä on perustaajuus;

Tässä kertoimet lasketaan kaavoilla:

Usein käytetään toista Fourier-sarjan muotoa:

, Missä:

– amplitudi k th harmoninen; - alkuvaihe

Laskelmien helpottamiseksi Fourier-sarja on kirjoitettu monimutkaisessa muodossa:

Graafinen ajan ja taajuuden näyttö

Jaksottaisen signaalin spektri

väliaikainen kuva

(f)

ASF-taajuuskuva

Samanlainen kuin FChS, vain sillä perusteella, että vaiheet voivat olla negatiivisia.

Tällaista spektriä kutsutaan diskreetiksi tai viivaiseksi, se on ominaista jaksolliselle signaalille.

Suorakulmaisten pulssien sarjan spektri

Harkitse pulssien symmetristä järjestelyä

, missä on käyttömäärä.

Etsi sinin nollapisteet:

Ensimmäinen nollapiste on tärkein neliöaaltojunaspektri.

Suorakulmaisten pulssien sarjan ASF:

ω 1 ω 2 2π/t u 4π/t u

Pääosa energiasta kulkee nollasta ensimmäiseen nollapisteeseen (noin 90 % energiasta) sijaitsevien harmonisten avulla. Tätä taajuusaluetta, jossa 90 % signaalienergiasta on keskittynyt, kutsutaan signaalin spektrin (taajuuden) leveydeksi.

Suorakaiteen muotoisen pulssin spektrin leveys on .

Mikä tahansa digitaalinen signaalin siirto vaatii enemmän spektriä kuin yksinkertainen analoginen lähetys.

Suorakulmaisten pulssien sarjan FFS:

jos aurinko(x)>0 niin Ψ k = 0

jos synti(x)<0, то Ψ k = π

Pulssin keston ja jakson vaikutus spektrin muotoon

Jos kesto pienenee, perustaajuus ei muutu, nollapisteet siirtyvät oikealle. Enemmän komponentteja putoaa ensimmäiseen nollapisteeseen, jossa pääenergia keskittyy. Huomaa teknisesti, että spektri laajenee.

Jos pulssin kesto kasvaa, spektri kapenee.

Jos toistojakso kasvaa, perustaajuus pienenee. Jos toistojakso pienenee, perustaajuus kasvaa.

Pulssin sijainnin tai origon muuttaminen

Tämä ei vaikuta ASF:ään, vain vaihespektri muuttuu. Tämä voidaan heijastaa viivelauseen perusteella:

Siirretyn signaalin vaihespektri klo N = 4:

Periodisten signaalien piirien laskennan käsite

Laskentamenetelmä:

1. Määritetään jaksollisen signaalin kompleksispektri;

2. Spektri evaluoidaan, merkittävimmät harmoniset jätetään (ensimmäinen kriteeri: kaikki, jotka ovat alle 0,1 maksimaalisesta harmonisesta amplitudista, leikataan pois);

Kunkin komponentin virrat ja jännitteet lasketaan erikseen. Voit käyttää monimutkaista laskentamenetelmää.

I 0 = 0

Epäharmoninen funktio voidaan arvioida efektiivisen arvon, ts. rms ajanjaksolle:

Ei-jaksollisen signaalin spektrin käsite

Ei-jaksolliset signaalit ovat tärkeimpiä, koska ne kuljettavat tietoa. Jaksottaiset signaalit ovat tiedonsiirtopalveluita, eikä uutta tietoa kuljeteta. Siksi herää kysymys ei-jaksollisten signaalien spektristä. Voit yrittää saada ne rajasiirtymällä jaksollisista signaaleista ohjaamalla jakson äärettömyyteen (). Jäljellä on vain yksi signaali. Etsitään yksittäisen signaalin spektrin kompleksinen amplitudi: klo .

,

Ei-jaksollinen signaali voidaan jakaa äärettömäksi summaksi harmonisia komponentteja, joilla on äärettömän pienet amplitudit ja jotka eroavat taajuudesta äärettömän pienillä arvoilla - Tätä kutsutaan ei-jaksollisen signaalin jatkuvaksi spektriksi, ei diskreetiksi. Laskennassa käytetään ei-kompleksisten amplitudien käsitettä, ja amplitudien kompleksinen spektritiheys on amplitudin suuruus taajuusyksikköä kohti.

Tämä on suora Fourier-muunnos (kaksipuolinen).