Ohjeet

Jos ympyrän säde (R) ja haluttua keskikulmaa (θ) vastaavan kaaren pituus (L) tunnetaan, voidaan se laskea sekä asteina että radiaaneina. Summa määritetään kaavalla 2 * π * R ja se vastaa 360 °:n keskikulmaa tai kahta pi-lukua, jos radiaaneja käytetään asteiden sijasta. Siksi lähdetään suhteesta 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Express siitä keskikulma radiaaneina θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R tai asteina θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π*R) ja laske tuloksena oleva kaava.

Keskikulman (θ) määrääviä pisteitä yhdistävän jänteen pituuden (m) perusteella voidaan laskea myös sen arvo, jos ympyrän säde (R) tunnetaan. Voit tehdä tämän harkitsemaan kolmio muodostuu kahdesta säteestä ja . Tämä on tasakylkinen kolmio, kaikki tunnetaan, mutta sinun on löydettävä kantaa vastapäätä oleva kulma. Sen puolikkaan sini on yhtä suuri kuin pohjan - jänteen - pituuden suhde kaksinkertaiseen sivun pituuteen - säteeseen. Käytä sen vuoksi käänteissinifunktiota laskelmissa - arcsini: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Keskikulma voidaan määrittää kierroksen murto-osina tai kiertokulmasta. Jos esimerkiksi haluat löytää keskikulman, joka vastaa neljännestä täydestä kierroksesta, jaa 360° neljällä: θ = 360°/4 = 90°. Saman arvon radiaaneina tulee olla 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Taitettu kulma on yhtä suuri kuin puoli täyttä kierrosta, joten esimerkiksi sen neljännestä vastaava keskikulma on puolet edellä lasketuista arvoista sekä asteina että radiaaneina.

Sinin käänteisfunktiota kutsutaan trigonometriseksi funktioksi arcsininen. Se voi ottaa arvoja puolen Pi:n sisällä, sekä positiivisia että negatiivisia. negatiivinen puoli radiaaneina mitattuna. Asteina mitattuna nämä arvot ovat vastaavasti -90° ja +90° välillä.

Ohjeet

Joitakin "pyöreitä" arvoja ei tarvitse laskea, ne on helpompi muistaa. Esimerkiksi: - jos funktion argumentti on nolla, niin sen arksini on myös nolla; - 1/2 on yhtä suuri kuin 30° tai 1/6 Pi, jos mitataan; - arsini funktion -1/2 on -30° tai -1/6 luvusta Pi in; - luvun 1 arcsini on yhtä suuri kuin 90° tai 1/2 luvusta Pi radiaaneina; - arsini -1 on yhtä suuri kuin -90° tai -1/2 luku Pi radiaaneina;

Tämän funktion arvojen mittaamiseksi muista argumenteista helpoin tapa on käyttää tavallista Windows-laskinta, jos sinulla on sellainen käsillä. Aloita avaamalla päävalikko "Käynnistä"-painikkeella (tai painamalla WIN-näppäintä), siirtymällä "Kaikki ohjelmat" -osioon ja sitten "Lisävarusteet"-alaosioon ja napsauttamalla "Laskin".

Vaihda laskimen käyttöliittymä käyttötilaan, jossa voit laskea trigonometriset funktiot. Voit tehdä tämän avaamalla sen valikon "Näytä"-osion ja valitsemalla "Engineering" tai "Scientific" (riippuen käyttöjärjestelmä).

Syötä argumentin arvo, josta arctangentti lasketaan. Tämä voidaan tehdä napsauttamalla hiirellä laskimen käyttöliittymän painikkeita tai painamalla näppäimiä tai kopioimalla arvo (CTRL + C) ja liittämällä se (CTRL + V) laskimen syöttökenttään.

Valitse mittayksiköt, joissa haluat saada funktiolaskelman tuloksen. Syöttökentän alapuolella on kolme vaihtoehtoa, joista sinun tulee valita (klikkaamalla sitä hiirellä) yksi - , radiaanit tai rad.

Valitse valintaruutu, joka kääntää laskimen käyttöliittymän painikkeissa näkyvät toiminnot. Sen vieressä on lyhyt merkintä Inv.

Napsauta syntipainiketta. Laskin kääntää siihen liittyvän funktion, suorittaa laskutoimituksen ja näyttää tuloksen määritetyissä yksiköissä.

Video aiheesta

Yksi yleisimmistä geometrisista ongelmista on ympyränmuotoisen segmentin pinta-alan laskeminen - ympyrän osa, jota rajoittaa jänne ja vastaava jänne ympyrän kaarella.

Ympyränmuotoisen janan pinta-ala on yhtä suuri kuin erotus vastaavan ympyränmuotoisen sektorin alueen ja segmenttiä vastaavan sektorin säteiden ja segmenttiä rajoittavan jänteen muodostaman kolmion alueen välillä.

Esimerkki 1

Ympyrän alla olevan sointeen pituus on yhtä suuri kuin arvo a. Painetta vastaavan kaaren astemitta on 60°. Etsi ympyränmuotoisen segmentin pinta-ala.

Ratkaisu

Kahden säteen ja jänteen muodostama kolmio on tasakylkinen, joten keskikulman kärjestä jänteen muodostaman kolmion sivulle piirretty korkeus on myös keskikulman puolittaja, joka jakaa sen kahtia, ja mediaani, jakaa sointu puoliksi. Kun tiedämme, että kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan, voimme laskea säteen:

Sin 30° = a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, missä h on korkeus, joka on vedetty keskikulman kärjestä jänteeseen. Pythagoraan lauseen mukaan h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Vastaavasti S▲ = √3/4*a².

Janan pinta-ala, laskettuna Sreg = Sc - S▲, on yhtä suuri:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Korvaamalla a:n arvon numeerisella arvolla voit helposti laskea segmentin alueen numeerisen arvon.

Esimerkki 2

Ympyrän säde on yhtä suuri kuin a. Janaa vastaavan kaaren astemitta on 60°. Etsi ympyränmuotoisen segmentin pinta-ala.

Ratkaisu:

Vastaavan sektorin pinta-ala annettu kulma voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Sektoria vastaavan kolmion pinta-ala lasketaan seuraavasti:

S▲=1/2*ah, missä h on korkeus, joka on vedetty keskikulman kärjestä jänteeseen. Pythagoraan lauseen mukaan h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Vastaavasti S▲ = √3/4*a².

Ja lopuksi segmentin pinta-ala, laskettuna Sreg = Sc - S▲, on yhtä suuri:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Ratkaisut ovat molemmissa tapauksissa lähes identtiset. Siten voimme päätellä, että janan alueen laskemiseksi yksinkertaisimmassa tapauksessa riittää tietää segmentin kaarta vastaavan kulman arvo ja yksi kahdesta parametrista - joko ympyrän säde tai janan muodostavan ympyrän kaaren alle jäävän jänteen pituus.

Lähteet:

• Segmentti - geometria

Tämä on kahden muodostama kulma sointuja, joka on peräisin ympyrän yhdestä pisteestä. Sisäänkirjoitetun kulman sanotaan olevan lepää sen sivujen väliin suljetussa kaaressa.

Kirjattu kulma yhtä suuri kuin puolet kaaresta, jolla se lepää.

Toisin sanoen, merkitty kulma sisältää niin monta kulma-astetta, minuuttia ja sekuntia kuin kaaren asteet, minuutit ja sekunnit sisältyvät puoleen kaaresta, jolla se lepää. Tämän perustelemiseksi analysoikaamme kolme tapausta:

Ensimmäinen tapaus:

Keskus O sijaitsee sivulla merkitty kulma ABC. Piirretään säde AO, saadaan ΔABO, siinä OA = OB (säteenä) ja vastaavasti ∠ABO = ∠BAO. Tähän liittyen kolmio, kulma AOC - ulkoinen. Ja se tarkoittaa häntä yhtä suuri kuin summa kulmat ABO ja BAO tai yhtä suuri kuin kaksoiskulma ABO. Joten ∠ABO on yhtä suuri kuin puolet keskikulma AOC. Mutta tämä kulma mitataan kaarella AC. Toisin sanoen sisäänkirjoitettu kulma ABC mitataan puolella kaaresta AC.

Toinen tapaus:

Keskus O sijaitsee sivujen välissä merkitty kulma ABC Piirrettyään halkaisijan BD jaamme kulman ABC kahteen kulmaan, joista ensimmäisen tapauksen mukaan toinen mitataan puolella kaaria AD, ja toinen puoli kaari-CD:stä. Ja vastaavasti mitataan kulma ABC (AD+DC) /2, ts. 1/2 AC.

Kolmas tapaus:

Center O sijaitsee ulkopuolella merkitty kulma ABC. Kun halkaisija BD on piirretty, meillä on: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Mutta kulmat ABD ja CBD mitataan aiemmin perusteltuun puolikkaaseen perustuen kaari AD ja CD. Ja koska ∠ABС mitataan arvolla (AD-CD)/2, eli puolet AC-kaaresta.

Seuraus 1. Kaikki , jotka perustuvat samaan kaariin, ovat samoja, eli ne ovat keskenään samanarvoisia. Koska jokainen niistä mitataan puolella samasta kaaria .

Seuraus 2. Kirjattu kulma halkaisijan perusteella - oikea kulma. Koska jokainen tällainen kulma mitataan puoliympyrällä ja sisältää vastaavasti 90°.

Keskitaso

Ympyrä ja piirretty kulma. Visuaalinen opas (2019)

Perustermit.

Kuinka hyvin muistat kaikki piiriin liittyvät nimet? Varmuuden vuoksi muistutetaan - katso kuvia - päivitä tietosi.

Ensinnäkin - Ympyrän keskipiste on piste, josta etäisyydet kaikista ympyrän pisteistä ovat samat.

Toiseksi - säde - jana, joka yhdistää ympyrän keskustan ja pisteen.

Säteitä on paljon (niin monta kuin ympyrässä on pisteitä), mutta Kaikki säteet ovat yhtä pitkiä.

Joskus lyhyesti säde he kutsuvat sitä täsmälleen segmentin pituus"keskipiste on ympyrän piste", ei itse jana.

Ja tässä on mitä tapahtuu jos yhdistät kaksi pistettä ympyrässä? Myös segmentti?

Joten tätä segmenttiä kutsutaan "sointu".

Aivan kuten säteen tapauksessa, halkaisija on usein janan pituus, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä ja kulkee keskustan läpi. Muuten, miten halkaisija ja säde liittyvät toisiinsa? Katso tarkkaan. Tietysti, säde on yhtä suuri kuin puolet halkaisijasta.

Sointujen lisäksi on myös sekantit.

Muistatko yksinkertaisimman asian?

Keskikulma on kahden säteen välinen kulma.

Ja nyt - merkitty kulma

Sisäänkirjoitettu kulma - kulma kahden jänteen välillä, jotka leikkaavat ympyrän pisteessä.

Tässä tapauksessa he sanovat, että merkitty kulma lepää kaarella (tai jänteellä).

Katso kuvaa:

Kaarien ja kulmien mittaukset.

Ympärysmitta. Kaaret ja kulmat mitataan asteina ja radiaaneina. Ensinnäkin tutkinnoista. Kulmien suhteen ei ole ongelmia - sinun on opittava mittaamaan kaari asteina.

Astemitta (kaaren koko) on vastaavan keskikulman arvo (asteina).

Mitä sana "sopiva" tarkoittaa tässä? Katsotaanpa tarkkaan:

Näetkö kaksi kaarta ja kaksi keskikulmaa? No, suurempi kaari vastaa suurempaa kulmaa (ja se on ok, että se on suurempi), ja pienempi kaari vastaa pienempää kulmaa.

Joten sovimme: kaari sisältää saman määrän asteita kuin vastaava keskikulma.

Ja nyt pelottavasta asiasta - radiaaneista!

Millainen peto tämä "radiaani" on?

Kuvittele tämä: Radiaanit ovat tapa mitata kulmia... säteissä!

Radiaanien kulma on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Sitten herää kysymys - kuinka monta radiaania on suorassa kulmassa?

Toisin sanoen: kuinka monta sädettä "sopii" puoliympyrään? Tai toisella tavalla: kuinka monta kertaa puoliympyrän pituus on suurempi kuin säde?

Tutkijat esittivät tämän kysymyksen muinaisessa Kreikassa.

Ja niin pitkän etsinnän jälkeen he huomasivat, että kehän ja säteen suhdetta ei haluta ilmaista "inhimillisillä" numeroilla, kuten jne.

Ja tätä asennetta ei ole edes mahdollista ilmaista juurien kautta. Eli käy ilmi, että on mahdotonta sanoa, että puoli ympyrää on kertaa tai kertaa suurempi kuin säde! Voitteko kuvitella kuinka hämmästyttävää oli, että ihmiset löysivät tämän ensimmäistä kertaa! Puolen ympyrän pituuden ja säteen suhteelle "normaalit" luvut eivät riittäneet. Minun piti kirjoittaa kirje.

Joten, - tämä on luku, joka ilmaisee puoliympyrän pituuden suhteen säteeseen.

Nyt voimme vastata kysymykseen: kuinka monta radiaania on suorassa kulmassa? Se sisältää radiaaneja. Juuri siksi, että puolet ympyrästä on kertaa suurempi kuin säde.

Muinaiset (ja ei niin muinaiset) ihmiset vuosisatojen ajan (!) yritti laskea tämän salaperäisen luvun tarkemmin, ilmaista sitä paremmin (ainakin suunnilleen) "tavallisten" numeroiden avulla. Ja nyt olemme uskomattoman laiskoja - kaksi merkkiä kiireisen päivän jälkeen riittää meille, olemme tottuneet

Ajattele sitä, tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että ympyrän pituus, jonka säde on yksi, on suunnilleen yhtä suuri, mutta tätä tarkkaa pituutta on yksinkertaisesti mahdotonta kirjoittaa "ihmisen" numerolla - tarvitset kirjaimen. Ja sitten tämä ympärysmitta on yhtä suuri. Ja tietysti säteen ympärysmitta on yhtä suuri.

Palataan radiaaneihin.

Olemme jo havainneet, että suora kulma sisältää radiaaneja.

Mitä meillä on:

Se tarkoittaa, että olen iloinen, eli olen iloinen. Samalla tavalla saadaan levy, jolla on suosituimmat kulmat.

Sisäänkirjoitetun ja keskikulman arvojen välinen suhde.

On hämmästyttävä tosiasia:

Sisäänkirjoitettu kulma on puolet vastaavan keskikulman koosta.

Katso, miltä tämä lausunto näyttää kuvassa. "Vastaava" keskikulma on sellainen, jonka päät osuvat yhteen piirretyn kulman päiden kanssa ja kärki on keskellä. Ja samaan aikaan "vastaavan" keskikulman on "katsottava" samasta jänteestä () kuin merkitty kulma.

Miksi näin on? Katsotaanpa ensin yksinkertaista tapausta. Anna yhden sointeista kulkea keskustan läpi. Joskus käy niin, eikö niin?

Mitä täällä tapahtuu? Harkitsemme. Se on tasakylkinen - loppujen lopuksi ja - säteet. Joten (merkitsi ne).

Katsotaan nyt. Tämä on ulkokulma! Muistamme, että ulkoinen kulma on yhtä suuri kuin kahden sen viereisen sisäisen kulman summa, ja kirjoita:

Tuo on! Odottamaton vaikutus. Mutta kaiverrelle on myös keskuskulma.

Tämä tarkoittaa, että tässä tapauksessa he osoittivat, että keskikulma on kaksi kertaa merkitty kulma. Mutta se sattuu liikaa erikoistapaus: Eikö ole totta, että sointu ei aina mene suoraan keskustan läpi? Mutta ei hätää, nyt tämä tapaus auttaa meitä paljon. Katso: toinen tapaus: anna keskustan olla sisällä.

Tehdään näin: piirrä halkaisija. Ja sitten... näemme kaksi kuvaa, jotka on jo analysoitu ensimmäisessä tapauksessa. Siksi meillä on jo

Joten (piirustuksessa a)

No, tämä jättää viimeisen tapauksen: keskusta on kulman ulkopuolella.

Teemme saman: piirrä halkaisija pisteen läpi. Kaikki on samaa, mutta summan sijaan on ero.

Siinä kaikki!

Muodostetaan nyt kaksi pääasiallista ja erittäin tärkeää johtopäätöstä väittämästä, että sisäänkirjoitettu kulma on puolet keskikulmasta.

Seuraus 1

Kaikki yhteen kaareen perustuvat piirretyt kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

Havainnollistamme:

On olemassa lukemattomia samaan kaareen perustuvia piirrettyjä kulmia (meillä on tämä kaari), ne voivat näyttää täysin erilaisilta, mutta niillä kaikilla on sama keskikulma (), mikä tarkoittaa, että kaikki nämä piirretyt kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

Seuraus 2

Halkaisijan rajoittama kulma on suora kulma.

Katso: mikä kulma on keskeinen?

Varmasti,. Mutta hän on tasa-arvoinen! No, siksi (samoin kuin monet muut merkityt kulmat lepäävät) ja on yhtä suuri.

Kahden sointeen ja sekanttien välinen kulma

Mutta entä jos meitä kiinnostava kulma EI ole kirjoitettu eikä keskeinen, vaan esimerkiksi näin:

vai näin?

Voiko sitä jotenkin ilmaista joidenkin keskeisten kulmien kautta? Osoittautuu, että se on mahdollista. Katso, olemme kiinnostuneita.

a) (kuten ulkokulma). Mutta - kaiverrettu, kaaren perusteella - . - kaiverrettu, kaaren perusteella - .

Kauneudesta he sanovat:

Painteiden välinen kulma on yhtä suuri kuin puolet tähän kulmaan sisältyvien kaarien kulma-arvojen summasta.

He kirjoittavat tämän lyhyyden vuoksi, mutta tietysti tätä kaavaa käytettäessä sinun on pidettävä mielessä keskeiset kulmat

b) Ja nyt - "ulkopuolella"! Kuinka olla? Kyllä, melkein sama! Vasta nyt (taas käyttää ulkokulman ominaisuutta). Se on nyt.

Ja se tarkoittaa... Tuodaan kauneutta ja lyhyyttä levyihin ja muotoiluihin:

Sekanttien välinen kulma on yhtä suuri kuin puolet tähän kulmaan sisältyvien kaarien kulma-arvojen erosta.

No, nyt sinulla on kaikki perustiedot ympyrään liittyvistä kulmista. Mene eteenpäin, ota haasteet vastaan!

YMPYRÄ JA SISÄKULMA. KESKITASO

Mikä on ympyrä, tietääkö viisivuotiaskin lapsi? Matemaatikoilla, kuten aina, on tästä aiheesta yksiselitteinen määritelmä, mutta emme anna sitä (katso), vaan muistakaamme, miksi ympyrään liittyviä pisteitä, viivoja ja kulmia kutsutaan.

Tärkeät ehdot

Ensinnäkin:

ympyrän keskusta- piste, josta etäisyydet ympyrän kaikkiin pisteisiin ovat samat.

Toiseksi:

Tässä on toinen hyväksytty ilmaisu: "sointu supistaa kaaren." Tässä, tässä kuvassa, esimerkiksi sointu supistaa kaaren. Ja jos sointu yhtäkkiä kulkee keskustan läpi, sillä on erityinen nimi: "halkaisija".

Muuten, miten halkaisija ja säde liittyvät toisiinsa? Katso tarkkaan. Tietysti,

Ja nyt - kulmien nimet.

Luonnollista, eikö? Kulman sivut tulevat ulos keskeltä, mikä tarkoittaa, että kulma on keskellä.

Tässä kohtaa joskus vaikeuksia. Kiinnittää huomiota - Ympyrän sisään EI ole merkitty MITÄÄN kulmaa, mutta vain sellainen, jonka kärki "istuu" itse ympyrässä.

Katsotaanpa eroa kuvista:

Toinen tapa he sanovat:

Tässä on yksi hankala kohta. Mikä on "vastaava" tai "oma" keskikulma? Vain kulma, jossa kärki on ympyrän keskellä ja päät kaaren päissä? Ei varmasti sillä tavalla. Katso piirustus.

Yksi niistä ei kuitenkaan näytä edes kulmalta - se on suurempi. Mutta kolmiossa ei voi olla enempää kulmia, mutta ympyrä voi hyvin! Joten: pienempi kaari AB vastaa pienempää kulmaa (oranssi) ja suurempi kaari suurempaa. Juuri näin, eikö?

Sisäänkirjoitetun ja keskikulman suuruuden välinen suhde

Muista tämä erittäin tärkeä lausunto:

Oppikirjoissa he haluavat kirjoittaa tämän saman tosiasian näin:

Eikö olekin totta, että muotoilu on yksinkertaisempi keskikulmalla?

Mutta silti, etsitään vastaavuus näiden kahden muotoilun välillä ja samalla opitaan löytämään "vastaava" keskikulma ja kaari, johon merkitty kulma "nojaa" kuviin.

Katso: tässä on ympyrä ja piirretty kulma:

Missä on sen "vastaava" keskikulma?

Katsotaanpa uudestaan:

Mikä on sääntö?

Mutta! Tässä tapauksessa on tärkeää, että piirretyt ja keskikulmat "näyttävät" kaaren samalta puolelta. Esimerkiksi:

Kummallista kyllä, sininen! Koska kaari on pitkä, pidempi kuin puolet ympyrästä! Joten älä koskaan mene sekaisin!

Mikä seuraus voidaan päätellä sisäänkirjoitetun kulman "puolikkuudesta"?

Mutta esimerkiksi:

Halkaisijan rajoittama kulma

Olet jo huomannut, että matemaatikot rakastavat puhua samoista asioista. eri sanoin? Miksi he tarvitsevat tätä? Katsos, matematiikan kieli, vaikka se onkin muodollinen, on elävää, ja siksi, kuten tavallisessa kielessä, joka kerta, kun haluat sanoa sen mukavammalla tavalla. No, olemme jo nähneet, mitä "kulma lepää kaarella" tarkoittaa. Ja kuvittele, että samaa kuvaa kutsutaan "kulma lepää soinnolla". millä? Kyllä, tietysti sille, joka kiristää tätä kaaria!

Milloin on kätevämpää luottaa sointuun kuin kaariin?

No, varsinkin kun tämä jänne on halkaisijaltaan.

Tällaiseen tilanteeseen on yllättävän yksinkertainen, kaunis ja hyödyllinen lausunto!

Katso: tässä on ympyrä, halkaisija ja kulma, joka lepää sen päällä.

YMPYRÄ JA SISÄKULMA. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

1. Peruskäsitteet.

3. Kaarien ja kulmien mittaukset.

Radiaanien kulma on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Tämä on luku, joka ilmaisee puoliympyrän pituuden suhteen sen säteeseen.

Säteen ympärysmitta on yhtä suuri kuin.

4. Sisäänkirjoitetun ja keskikulman arvojen välinen suhde.

Kirjattu kulma, ongelman teoria. Ystävät! Tässä artikkelissa puhumme tehtävistä, joita varten sinun on tiedettävä sisäänkirjoitetun kulman ominaisuudet. Tämä on koko joukko tehtäviä, ne sisältyvät yhtenäiseen valtionkokeeseen. Useimmat niistä voidaan ratkaista hyvin yksinkertaisesti, yhdellä toimella.

On vaikeampiakin ongelmia, mutta ne eivät tuota sinulle paljon vaikeuksia; sinun on tiedettävä sisäänkirjoitetun kulman ominaisuudet. Analysoimme vähitellen kaikkia tehtävien prototyyppejä, kutsun sinut blogiin!

Nyt tarvittava teoria. Muistakaamme, mikä on keski- ja sisäänkirjoitettu kulma, jänne, kaari, johon nämä kulmat lepäävät:

Ympyrän keskikulma on tasokulmahuippu sen keskellä.

Ympyrän osa, joka sijaitsee tasokulman sisälläkutsutaan ympyrän kaareksi.

Ympyrän kaaren astemitta kutsutaan astemittaksivastaava keskikulma.

Kulman sanotaan piirretyksi ympyrään, jos kulman kärki sijaitseeympyrällä, ja kulman sivut leikkaavat tämän ympyrän.

Janaa, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä, kutsutaansointu. Suurin sointu kulkee ympyrän keskipisteen läpi ja sitä kutsutaanhalkaisija.

Ympyrään piirrettyjä kulmia koskevien ongelmien ratkaisemiseksi,sinun on tiedettävä seuraavat ominaisuudet:

1. Kirjattu kulma on yhtä suuri kuin puolet keskikulmasta, perustuen samaan kaareen.

2. Kaikki saman kaaren sisäänkirjoitetut kulmat ovat yhtä suuret.

3. Kaikki samaan jänteeseen perustuvat sisäänkirjoitetut kulmat, joiden kärjet ovat tämän jänteen samalla puolella, ovat yhtä suuret.

4. Mikä tahansa samaan jänteeseen perustuva kulmapari, jonka kärjet ovat jänteen vastakkaisilla puolilla, laskevat yhteen 180°.

Seuraus: ympyrään piirretyn nelikulmion vastakkaiset kulmat laskevat yhteen 180 astetta.

5. Kaikki sisäänkirjoitetut kulmat halkaisijalla ovat suoria kulmia.

Yleensä tämä ominaisuus on seuraus ominaisuudesta (1), tämä on sen erikoistapaus. Katso - keskikulma on yhtä suuri kuin 180 astetta (ja tämä taittamaton kulma ei ole muuta kuin halkaisija), mikä tarkoittaa, että ensimmäisen ominaisuuden mukaan merkitty kulma C on puolet siitä, eli 90 astetta.

Tämän ominaisuuden tunteminen auttaa ratkaisemaan monia ongelmia ja usein auttaa välttämään tarpeettomia laskelmia. Kun hallitset sen hyvin, pystyt ratkaisemaan yli puolet tämän tyyppisistä ongelmista suullisesti. Kaksi johtopäätöstä voidaan tehdä:

Seuraus 1: jos kolmio on piirretty ympyrään ja yksi sen sivuista osuu yhteen tämän ympyrän halkaisijan kanssa, niin kolmio on suorakulmainen (vertex oikea kulma makaa ympyrän päällä).

Seuraus 2: kuvatun noin keskipiste suorakulmainen kolmio ympyrä osuu sen hypotenuusan keskikohtaan.

Myös monet stereometristen ongelmien prototyypit ratkaistaan ​​käyttämällä tätä ominaisuutta ja näitä seurauksia. Muista itse tosiasia: jos ympyrän halkaisija on piirretyn kolmion sivu, tämä kolmio on suorakulmainen (halkaisijaa vastapäätä oleva kulma on 90 astetta). Kaikki muut johtopäätökset ja johtopäätökset voit tehdä itse, sinun ei tarvitse opettaa niitä.

Yleensä puolet piirretyn kulman tehtävistä annetaan luonnoksella, mutta ilman symboleja. Päättelyprosessin ymmärtämiseksi tehtäviä ratkaistaessa (alla artikkelissa) otetaan käyttöön kärkipisteiden (kulmien) merkinnät. Sinun ei tarvitse tehdä tätä Unified State -kokeessa.Harkitse tehtäviä:

Mikä on ympyrän säteen suuruisen jänteen rajoittaman terävän kulman arvo? Kerro vastauksesi asteina.

Muodostetaan keskikulma annetulle sisäänkirjoitetulle kulmille ja osoitetaan kärjet:

Ympyrään piirretyn kulman ominaisuuden mukaan:

Kulma AOB on yhtä suuri kuin 60 0, koska kolmio AOB on tasasivuinen ja tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat 60 0. Kolmion sivut ovat yhtä suuret, koska ehto sanoo, että jänne on yhtä suuri kuin säde.

Siten sisäänkirjoitettu kulma ACB on yhtä suuri kuin 30 0.

Vastaus: 30

Etsi jänne, jota tukee säde 3 ympyrään kirjoitettu kulma 30 0.

Tämä on pohjimmiltaan käänteinen ongelma(Edellinen). Muodostetaan keskikulma.

Se on kaksi kertaa niin suuri kuin piirretty, eli kulma AOB on yhtä suuri kuin 60 0. Tästä voimme päätellä, että kolmio AOB on tasasivuinen. Siten jänne on yhtä suuri kuin säde, eli kolme.

Vastaus: 3

Ympyrän säde on 1. Laske tylpän kulman arvo kahden juuria vastaavan jänteen perusteella. Kerro vastauksesi asteina.

Muodostetaan keskikulma:

Kun tiedämme säteen ja jänteen, voimme löytää keskikulman ASV. Tämä voidaan tehdä käyttämällä kosinilausetta. Kun tiedämme keskikulman, voimme helposti löytää sisäänkirjoitetun kulman ACB.

Kosinilause: kolmion minkä tahansa sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa ilman näiden sivujen tuloa niiden välisen kulman kosinilla.

Siksi toinen keskikulma on 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Kulma ACB on sisäänkirjoitetun kulman ominaisuuden mukaan yhtä suuri kuin puolet siitä, eli 135 astetta.

Vastaus: 135

Etsi jänne, jota rajoittaa 120 asteen kulma ympyrään, jonka sädejuuri on kolme.

Yhdistämme pisteet A ja B ympyrän keskipisteeseen. Kutsutaan sitä O:

Tiedämme säteen ja sisäänkirjoitetun kulman ASV. Voimme löytää keskikulman AOB (suurempi kuin 180 astetta), sitten löytää kulman AOB kolmiosta AOB. Ja sitten kosinilauseen avulla laske AB.

Sisäänkirjoitetun kulman ominaisuuden mukaan keskikulma AOB (joka on suurempi kuin 180 astetta) on yhtä suuri kuin kaksinkertainen sisäänkirjoitettu kulma, eli 240 astetta. Tämä tarkoittaa, että kulma AOB kolmiossa AOB on 360 0 – 240 0 = 120 0.

Kosinusten lain mukaan:

Vastaus: 3

Etsi piirretty kulma kaarella, joka on 20 % ympyrästä. Kerro vastauksesi asteina.

Sisäänkirjoitetun kulman ominaisuuden mukaan se on puolet samaan kaareen perustuvan keskikulman koosta, tässä tapauksessa puhutaan kaaresta AB.

Sanotaan, että kaari AB on 20 prosenttia kehästä. Tämä tarkoittaa, että keskikulma AOB on myös 20 prosenttia 360 0:sta.*Ympyrä on 360 asteen kulma. tarkoittaa,

Siten sisäänkirjoitettu kulma ACB on 36 astetta.

Vastaus: 36

ympyrän kaari A.C., joka ei sisällä pisteitä B, on 200 astetta. Ja ympyrän BC kaari, joka ei sisällä pistettä A, on 80 astetta. Etsi sisäänkirjoitettu kulma ACB. Kerro vastauksesi asteina.

Merkitään selvyyden vuoksi kaaria, joiden kulmamitat on annettu. 200 astetta vastaava kaari - Sininen väri, 80 astetta vastaava kaari on punainen, ympyrän loppuosa on keltainen.

Siten kaaren AB astemitta (keltainen) ja siten keskikulma AOB on: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Sisäänkirjoitettu kulma ACB on puolet keskikulman AOB koosta, eli 40 astetta.

Vastaus: 40

Mikä on piirretty kulma ympyrän halkaisijalla? Kerro vastauksesi asteina.

keskikulma- on kahden säteen muodostama kulma ympyrät. Esimerkki keskikulmasta on kulma AOB, BOC, COE ja niin edelleen.

NOIN keskikulma Ja kaari osapuolten välillä tehtyjen sopimusten sanotaan olevan vastaavat toisiaan.

1. jos keskikulmat kaaria ovat tasa-arvoisia.

2. jos keskikulmat eivät ole yhtä suuret, niin suurempi niistä vastaa suurempaa kaari.

Olkoon AOB ja COD kaksi keskikulmat, tasa- tai epätasa-arvoinen. Kierretään sektoria AOB keskustan ympäri nuolen osoittamaan suuntaan niin, että säde OA osuu yhteen OC:n kanssa, jolloin, jos keskikulmat ovat yhtä suuret, säde OA osuu yhteen OD:n kanssa ja kaari AB kaaren CD kanssa .

Tämä tarkoittaa, että nämä kaaret ovat yhtä suuret.

Jos keskikulmat eivät ole yhtä suuret, säde OB ei kulje OD:tä pitkin, vaan johonkin muuhun suuntaan, esimerkiksi pitkin OE tai OF. Molemmissa tapauksissa suurempi kulma vastaa ilmeisesti suurempaa kaarta.

Lause, jonka todistimme yhdelle ympyrälle, pitää paikkansa yhtäläiset ympyrät, koska tällaiset ympyrät eivät eroa toisistaan ​​millään muulla kuin asemallaan.

Käänteiset tarjoukset tulee myös olemaan totta . Yhdessä ympyrässä tai yhtäläisissä piireissä:

1. jos kaaria ovat yhtä suuret, sitten niitä vastaavat keskikulmat ovat tasa-arvoisia.

2. jos kaaria eivät ole yhtä suuret, niin suurempi niistä vastaa suurempaa keskikulma.

Yhdessä ympyrässä tai yhtäläisissä ympyröissä keskikulmat liittyvät toisiinsa vastaavina kaareina. Tai parafraseerisesti saamme sen keskikulman suhteellinen sen vastaava kaari.