Tämä artikkeli käsittelee tasojen välistä kulmaa ja sen löytämistä. Ensin annetaan kahden tason välisen kulman määritelmä ja esitetään graafinen kuva. Tämän jälkeen analysoitiin periaate kahden leikkaavan tason välisen kulman löytämisestä koordinaattimenetelmällä ja saatiin kaava, jonka avulla voit laskea risteävien tasojen välisen kulman käyttämällä näiden tasojen normaalivektorien tunnettuja koordinaatteja. Lopuksi esitetään yksityiskohtaiset ratkaisut tyypillisiin ongelmiin.

Sivulla navigointi.

Tasojen välinen kulma - määritelmä.

Esitetään argumentit, joiden avulla voimme vähitellen lähestyä kahden leikkaavan tason välisen kulman määrittämistä.

Olkoon meille annettu kaksi intersecting konetta ja . Nämä tasot leikkaavat suoraa viivaa pitkin, jota merkitsemme kirjaimella c. Muodostetaan taso, joka kulkee suoran c pisteen M kautta ja on kohtisuorassa suoraa c vastaan. Tässä tapauksessa kone leikkaa tasot ja. Merkitään suoraa, jota pitkin tasot leikkaavat, a:lla ja suoraa, jota pitkin tasot leikkaavat, b:llä. Ilmeisesti suorat a ja b leikkaavat pisteessä M.

On helppo osoittaa, että risteävien viivojen a ja b välinen kulma ei riipu pisteen M sijainnista viivalla c, jonka kautta taso kulkee.

Muodostetaan taso, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​ja erilainen kuin taso. Tason leikkaavat tasot ja suoria viivoja pitkin, joita merkitsemme vastaavasti a 1 ja b 1.

Tasojen konstruointimenetelmästä seuraa, että suorat a ja b ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​ja suorat a 1 ja b 1 ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan. Koska suorat a ja a 1 ovat samassa tasossa ja ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan, ne ovat yhdensuuntaisia. Vastaavasti suorat b ja b 1 ovat samassa tasossa ja ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan, joten ne ovat yhdensuuntaisia. Siten on mahdollista suorittaa yhdensuuntainen tason siirto tasoon, jossa suora a 1 osuu yhteen suoran a kanssa ja suora b linjan b 1 kanssa. Siksi kahden leikkaavan suoran a 1 ja b 1 välinen kulma on yhtä suuri kuin risteävien viivojen a ja b välinen kulma.

Tämä osoittaa, että leikkaustasojen a ja b välinen kulma ei riipu pisteen M valinnasta, jonka kautta taso kulkee. Siksi on loogista ottaa tämä kulma kahden leikkaavan tason väliseksi kulmaksi.

Nyt voit määrittää kahden leikkaavan tason välisen kulman ja.

Määritelmä.

Kahden tason välinen kulma, jotka leikkaavat suorassa ja- tämä on kulma kahden leikkaavan suoran a ja b välillä, joita pitkin tasot ja leikkaavat tason, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan.

Kahden tason välisen kulman määritelmä voidaan antaa hieman eri tavalla. Jos suoralle c, jota pitkin tasot ja leikkaavat, merkitään piste M ja vedetään sen läpi suorat a ja b, jotka ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan ​​ja sijaitsevat tasoissa ja vastaavasti, niin suorien välinen kulma a ja b on tasojen ja välinen kulma. Yleensä käytännössä juuri tällaisia ​​rakenteita tehdään tasojen välisen kulman saamiseksi.

Koska leikkaavien viivojen välinen kulma ei ylitä , niin esitetystä määritelmästä seuraa, että kahden leikkaavan tason välisen kulman astemitta ilmaistaan ​​reaaliluvulla väliltä. Tässä tapauksessa kutsutaan leikkaavia tasoja kohtisuorassa, jos niiden välinen kulma on yhdeksänkymmentä astetta. Kulma välissä yhdensuuntaiset tasot joko he eivät määritä sitä ollenkaan tai pitävät sitä yhtä suurena kuin nolla.

Kahden leikkaavan tason välisen kulman löytäminen.

Yleensä kahden leikkaavan tason välistä kulmaa etsittäessä on ensin suoritettava lisärakennuksia, jotta nähdään risteävät suorat, joiden välinen kulma on yhtä suuri kuin haluttu kulma, ja sitten yhdistää tämä kulma alkuperäiseen tietoon tasa-arvotesteillä, samankaltaisuus testit, kosinilause tai kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmät. Geometrian aikana lukio vastaavia ongelmia esiintyy.

Otetaan esimerkkinä ratkaisu matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta 2012 tehtävään C2 (ehtoa muutettiin tarkoituksella, mutta tämä ei vaikuta ratkaisun periaatteeseen). Siinä sinun piti vain löytää kulma kahden leikkaavan tason välillä.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Ensin tehdään piirustus.

Suoritetaan lisärakennuksia tasojen välisen kulman "näkemiseksi".

Ensin määritellään suora, jota pitkin tasot ABC ja BED 1 leikkaavat. Piste B on yksi heidän yhteisistä kohdistaan. Etsitään näiden tasojen toinen yhteinen piste. Suorat DA ja D 1 E ovat samassa tasossa ADD 1, eivätkä ne ole yhdensuuntaisia ​​ja leikkaavat siten. Toisaalta suora DA on tasossa ABC ja suora D 1 E - tasossa BED 1, joten suorien DA ja D 1 E leikkauspiste on yhteinen kohta koneet ABC ja BED 1. Jatketaan siis viivoja DA ja D 1 E niiden leikkauspisteeseen, mikä merkitsee niiden leikkauspistettä kirjaimella F. Tällöin BF on suora, jota pitkin tasot ABC ja BED 1 leikkaavat.

Jäljelle jää rakentaa kaksi viivaa, jotka sijaitsevat tasoissa ABC ja BED 1, jotka kulkevat yhden pisteen kautta suoralla BF ja ovat kohtisuorassa linjaa BF vastaan ​​- näiden viivojen välinen kulma on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin haluttu kulma koneet ABC ja BED 1. Tehdään se.

Piste A on pisteen E projektio tasolle ABC. Piirretään suora, joka leikkaa suoran BF suorassa kulmassa pisteessä M. Tällöin suora AM on suoran EM projektio tasolle ABC ja kolmen kohtisuoran lauseella.

Siten vaadittu kulma tasojen ABC ja BED 1 välillä on yhtä suuri kuin .

Voimme määrittää tämän kulman (ja siten itse kulman) sinin, kosinin tai tangentin suorakulmainen kolmio AEM, jos tiedämme sen kahden sivun pituudet. Ehdosta on helppo löytää pituus AE: koska piste E jakaa sivun AA 1 suhteessa 4:3 pisteestä A laskettuna ja sivun AA 1 pituus on 7, niin AE = 4. Etsitään pituus AM.

Tarkastellaan tätä varten suorakulmaista kolmiota ABF, jossa on oikea kulma A, jossa AM on korkeus. Ehdolla AB = 2. Löydämme sivun AF pituuden suorakulmaisten kolmioiden DD 1 F ja AEF samankaltaisuudesta:

Pythagoraan lauseen avulla löydämme kolmiosta ABF. Löydämme pituuden AM kolmion ABF alueen läpi: toisella puolella kolmion ABF pinta-ala on yhtä suuri kuin , toisella puolella , missä .

Siten meillä on oikeasta kolmiosta AEM .

Tällöin vaadittu tasojen ABC ja BED 1 välinen kulma on yhtä suuri (huomaa, että ).

Vastaus:

Joissakin tapauksissa kahden leikkaavan tason välisen kulman löytämiseksi on kätevää asettaa Oxyz ja käyttää koordinaattimenetelmää. Pysähdytään tähän.

Asetetaan tehtävä: Etsi kahden leikkaavan tason välinen kulma ja . Merkitään haluttu kulma muodossa .

Oletetaan, että annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz tiedämme leikkaavien tasojen normaalivektorien koordinaatit ja tai meillä on mahdollisuus löytää ne. Antaa on tason normaalivektori, ja on tason normaalivektori. Näytämme kuinka löytää kulma leikkaavien tasojen välillä ja näiden tasojen normaalivektorien koordinaattien kautta.

Merkitään suoraa, jota pitkin tasot ja leikkauspisteet leikkaavat c:llä. Piirretään pisteen M kautta suoralle c taso, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan. Taso leikkaa tasot ja viivoja a ja b pitkin, vastaavasti, suorat a ja b leikkaavat pisteessä M. Määritelmän mukaan leikkaustasojen välinen kulma ja on yhtä suuri kuin leikkaavien viivojen a ja b välinen kulma.

Piirretään normaalivektorit ja tasot sekä tason M pisteestä. Tässä tapauksessa vektori on suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan, ja vektori on suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa b vastaan. Siten tasossa vektori on suoran a normaalivektori, on suoran b normaalivektori.

Leikkaavien viivojen välistä kulmaa etsivässä artikkelissa saimme kaavan, jonka avulla voimme laskea leikkausviivojen välisen kulman kosinin käyttämällä normaalivektorien koordinaatteja. Siten viivojen a ja b välisen kulman kosini, ja näin ollen Leikkaavien tasojen välisen kulman kosini ja se löytyy kaavasta, missä Ja ovat tasojen ja vastaavasti normaalivektorit. Sitten se lasketaan muodossa .

Ratkaistaan ​​edellinen esimerkki koordinaattimenetelmällä.

Esimerkki.

Annettu suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, jossa AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ja piste E jakaa sivun AA 1 suhteessa 4:3 pisteestä A laskettuna. Etsi tasojen ABC ja BED 1 välinen kulma.

Ratkaisu.

Koska suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön sivut yhdessä kärjessä ovat kohtisuorassa pareittain, on kätevää ottaa käyttöön suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxyz seuraavasti: kohdista alku kärkipisteen C kanssa ja suuntaa koordinaattiakselit Ox, Oy ja Oz sivuja CD pitkin. , CB ja CC 1, vastaavasti.

ABC- ja BED 1 -tasojen välinen kulma voidaan löytää näiden tasojen normaalivektorien koordinaattien kautta käyttämällä kaavaa , missä ja ovat ABC- ja BED 1 -tasojen normaalivektorit, vastaavasti. Määritetään normaalivektorien koordinaatit.

Koordinaattimenetelmän käyttäminen kulmaa laskettaessa

lentokoneiden välillä

Suurin osa yleinen menetelmä kulman löytäminentasojen välillä - koordinaattimenetelmä (joskus käyttämällä vektoreita). Sitä voidaan käyttää, kun kaikki muut on kokeiltu. Mutta on tilanteita, joissa koordinaattimenetelmää on järkevää soveltaa välittömästi, nimittäin silloin, kun koordinaattijärjestelmä liittyy luonnollisesti tehtävänlausunnossa määritettyyn polyhedriin, ts. Kolme pareittain kohtisuoraa viivaa on selvästi näkyvissä, joille voidaan määrittää koordinaattiakselit. Tällaiset monitahot ovat suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö ja säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Ensimmäisessä tapauksessa koordinaattijärjestelmä voidaan määrittää yhdestä kärjestä ulottuvilla reunoilla (kuva 1), toisessa - pohjan korkeudella ja diagonaaleilla (kuva 2).

Koordinaattimenetelmän käyttö on seuraava.

Esitetään suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä avaruudessa. On suositeltavaa esitellä se "luonnollisella" tavalla - "linkittää" se pareittain kohtisuoraan viivojen kolmioon, joilla on yhteinen piste.

Jokaiselle tasolle, jonka välistä kulmaa etsitään, laaditaan yhtälö. Helpoin tapa luoda tällainen yhtälö on tietää kolmen tason pisteen koordinaatit, jotka eivät ole samalla suoralla.

Tason yhtälö sisään yleisnäkymä näyttää Ax + By + Cz + D = 0.

kertoimet A, B, Tämän yhtälön C:t ovat tason normaalivektorin (tasoon nähden kohtisuorassa olevan vektorin) koordinaatit. Sitten määritetään normaalivektorien pituudet ja skalaaritulo tasoihin, joiden välistä kulmaa etsitään. Jos näiden vektorien koordinaatit(A 1, B 1; C 1) ja (A 2; B 2; C 2 ), sitten haluttu kulmalasketaan kaavalla

Kommentti. On muistettava, että vektorien välinen kulma (toisin kuin tasojen välinen kulma) voi olla tylppä, ja mahdollisen epävarmuuden välttämiseksi kaavan oikealla puolella oleva osoittaja sisältää moduulin.

Ratkaise tämä tehtävä koordinaattimenetelmällä.

Tehtävä 1. Annettu kuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Piste K on reunan AD keskikohta, piste L on reunan CD keskikohta. Miksi yhtä suuri kuin kulma lentokoneiden välillä A 1 KL ja A 1 AD?

Ratkaisu . Olkoon koordinaattijärjestelmän origo pisteessä A, ja koordinaattiakselit kulkevat säteitä pitkin AD, AB, AA 1 (Kuva 3). Otetaan kuution reunaksi 2 (se on kätevä jakaa puoliksi). Sitten pisteiden koordinaatit A1, K, L ovat seuraavat: A1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Riisi. 3

Kirjoitetaan tason yhtälö A 1 K L yleisesti. Sitten korvaamme siihen tämän tason valittujen pisteiden koordinaatit. Saamme kolmen yhtälön järjestelmän neljällä tuntemattomalla:

Ilmaistaan ​​kertoimet A, B, C - D ja päästään yhtälöön

Jakamalla molemmat osat D (miksi D = 0?) ja sitten kertomalla -2:lla, saadaan tason yhtälö A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Tällöin tämän tason normaalivektorilla on koordinaatit (2: -2; 1). Tasoyhtälö 1 AD on: y=0, ja sen normaalivektorin koordinaatit, esimerkiksi (0; 2: 0). Yllä olevan tasojen välisen kulman kosinin kaavan mukaan saamme:

Harkitse kahta tasoa R 1 ja R 2 normaalivektoreilla n 1 ja n 2. Tasojen välinen kulma φ R 1 ja R 2 ilmaistaan ​​kulman ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) kautta seuraavasti: jos ψ < 90°, silloin φ = ψ (kuva 202, a); jos ψ > 90°, niin ψ = 180° - ψ (Kuva 202.6).

On selvää, että tasa-arvo on joka tapauksessa totta

cos φ = |cos ψ|

Koska nollasta poikkeavien vektoreiden välisen kulman kosini on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaaritulo jaettuna niiden pituuksien tulolla, meillä on

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

ja siten tasojen välisen kulman φ kosini R 1 ja R 2 voidaan laskea kaavalla

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Jos tasot on annettu yleisillä yhtälöillä

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ja A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0,

sitten niiden normaalivektorit voidaan ottaa vektorit n 1 = (A1; B1; C1) ja n 2 = (A 2; B 2; C 2).

Kirjoitettuaan oikea puoli kaavan (1) koordinaattien kautta saamme

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Tehtävä 1. Laske tasojen välinen kulma

X - √2 y + z- 2 = 0 ja x+ √2 y - z + 13 = 0.

Tässä tapauksessa A 1 = 1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 = 1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Kaavasta (2) saamme

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Siksi näiden tasojen välinen kulma on 60°.

Tasot normaalivektoreilla n 1 ja n 2:

a) ovat samansuuntaisia ​​silloin ja vain, jos vektorit n 1 ja n 2 ovat kollineaarisia;

b) kohtisuorassa jos ja vain jos vektorit n 1 ja n 2 ovat kohtisuorassa, eli milloin n 1 n 2 = 0.

Tästä saamme tarvittavat ja riittävät ehdot kahden yleisen yhtälön antaman tason yhdensuuntaisuudelle ja kohtisuoralle.

Lentokoneeseen

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ja A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

olivat rinnakkaisia, se on välttämätöntä ja riittävää tasa-arvojen voimassaololle

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3) $$

Jos jokin kertoimista A 2 , B 2 , C 2 on nolla, oletetaan, että vastaava kerroin A 1 , B 1 , C 1 on myös nolla

Vähintään yhden näistä kahdesta yhtälöstä epäonnistuminen tarkoittaa, että tasot eivät ole yhdensuuntaisia, eli ne leikkaavat.

Tasojen kohtisuoraan

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ja A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

se on välttämätöntä ja riittävää tasa-arvon säilymiselle

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

Tehtävä 2. Seuraavien lentokoneparien joukossa:

2X + 5klo + 7z- 1 = 0 ja 3 X - 4klo + 2z = 0,

klo - 3z+ 1 = 0 ja 2 klo - 6z + 5 = 0,

4X + 2klo - 4z+ 1 = 0 ja 2 X + klo + 2z + 3 = 0

osoittavat yhdensuuntaista tai kohtisuoraa. Ensimmäiselle koneparille

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

eli kohtisuoraisuusehto täyttyy. Tasot ovat kohtisuorassa.

Toiselle koneparille

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), koska \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

ja kertoimet A1 ja A2 ovat nolla. Siksi toisen parin tasot ovat yhdensuuntaiset. Kolmannelle parille

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), koska \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

ja A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, eli kolmannen parin tasot eivät ole yhdensuuntaiset eivätkä kohtisuorat.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudenkäyntimenettelyn, oikeudenkäynnin ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyynnön perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.