Jotka ovat samassa tasossa ja joko yhtyvät tai eivät leikkaa. Joissakin koulumäärittelyissä yhteneviä viivoja ei pidetä rinnakkain; tällaista määritelmää ei oteta huomioon tässä.

Ominaisuudet

1. Rinnakkaisuus on binäärinen ekvivalenssirelaatio, joten se jakaa koko rivijoukon toistensa kanssa samansuuntaisiin suorien luokkiin.
2. Minkä tahansa pisteen kautta voi olla täsmälleen yksi suora yhdensuuntainen annetun pisteen kanssa. Tämä on euklidisen geometrian erottuva ominaisuus, muissa geometrioissa numero 1 korvataan muilla (Lobatševskin geometriassa on vähintään kaksi tällaista viivaa)
3. 2 yhdensuuntaista suoraa avaruudessa ovat samassa tasossa.
4. Kun kaksi samansuuntaista suoraa leikkaavat, kutsutaan kolmatta suoraa sekantti:
   1. Sekantin on leikattava molemmat suorat.
   2. Ylityksessä muodostuu 8 kulmaa, joista joillakin tunnusomaisilla pareilla on erityiset nimet ja ominaisuudet:
      1. Risti valehtelee kulmat ovat yhtä suuret.
      2. Vastaavasti kulmat ovat yhtä suuret.
      3. Yksipuolinen Kulmat lasketaan yhteen 180°.

Lobatševskin geometriassa

Lobatševskin geometriassa tasossa pisteen läpi Ei voida jäsentää lauseketta (leksinen virhe): Ctämän linjan ulkopuolella $AB$

On ääretön määrä suoria, jotka eivät leikkaa AB. Näistä rinnakkain AB vain kaksi on nimetty.

Suoraan CE kutsutaan tasakylkiseksi (rinnakkaisviivaksi). AB suunnasta alkaen A Vastaanottaja B, Jos:

1. pisteitä B Ja E makaa suoran viivan toisella puolella AC ;
2. suoraan CE ei ylitä rajaa AB, mutta mikä tahansa kulman sisällä kulkeva säde ACE, ylittää säteen AB .

Samoin suora, tasakylkinen AB suunnasta alkaen B Vastaanottaja A .

Kaikki muut suorat, jotka eivät leikkaa annettua, kutsutaan ultra-rinnakkaiset tai poikkeava.

Katso myös

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Ristikot
• Nesterikhin, Juri Efremovich

Katso, mitä "Rinnakkaisviivat" ovat muissa sanakirjoissa:

YHDENSUUNTAISET VIIVAT- RINNAKKAISET JOHDOT, ei-leikkaavat viivat, jotka sijaitsevat samassa tasossa ... Nykyaikainen tietosanakirja

YHDENSUUNTAISET VIIVAT Suuri Ensyklopedinen sanakirja

Yhdensuuntaiset viivat- RINNAKKAISET JOHDOT, ei-leikkaavat viivat, jotka sijaitsevat samassa tasossa. … Kuvitettu tietosanakirja

Yhdensuuntaiset viivat- Euklidisessa geometriassa suorat, jotka ovat samassa tasossa eivätkä leikkaa. Absoluuttisessa geometriassa (katso Absoluuttinen geometria) pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, kulkee ainakin yksi suora, joka ei leikkaa annettua suoraa. SISÄÄN… … Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

yhdensuuntaiset viivat ovat ei-leikkausviivoja, jotka sijaitsevat samassa tasossa. * * * RINNAKKAISET JOHDOT RINNAKKAISET JOHDOT, ei-leikkaavat suorat, jotka sijaitsevat samassa tasossa ... tietosanakirja

YHDENSUUNTAISET VIIVAT- Euklidisessa geometriassa suorat, jotka ovat samassa tasossa eivätkä leikkaa. Absoluuttisessa geometriassa pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, kulkee ainakin yksi suora, joka ei leikkaa annettua suoraa. Euklidisessa geometriassa on vain yksi ... ... Matemaattinen tietosanakirja

YHDENSUUNTAISET VIIVAT ei-leikkaavat suorat, jotka ovat samassa tasossa... Luonnontiede. tietosanakirja

Rinnakkaismaailmat fantasiassa- Tämä artikkeli saattaa sisältää alkuperäistä tutkimusta. Lisää linkkejä lähteisiin, muuten se voidaan laittaa poistettavaksi. Lisätietoja voi olla keskustelusivulla. Tämä on... Wikipedia

Rinnakkaismaailmat - Rinnakkaismaailma(fiktiossa) todellisuus, joka jollakin tavalla on olemassa samanaikaisesti meidän kanssamme, mutta siitä riippumatta. Tämä itsenäinen todellisuus voi vaihdella pienestä maantieteellisestä alueesta koko universumiin. Rinnakkain... Wikipedia

Rinnakkainen- suorat Suoria viivoja kutsutaan suoriksi, jos ne tai niiden jatkeet eivät leikkaa toisiaan. Uutiset yhdestä näistä suorista viivoista ovat samalla etäisyydellä toisesta. On kuitenkin tapana sanoa, että kaksi suoraa leikkaavat toisiaan äärettömässä. Sellainen…… Brockhausin ja Efronin tietosanakirja

Kirjat

• Pöytien sarja. Matematiikka. 6. luokka. 12 taulukkoa + metodologia, . Taulukot on painettu paksulle polygraafiselle kartongille, jonka mitat ovat 680 x 980 mm. Esite kanssa ohjeita opettajalle. 12 arkin opetusalbumi. Jaettavuus…

Ohje

Ennen kuin aloitat todistuksen, varmista, että viivat ovat samassa tasossa ja että ne voidaan piirtää siihen. Suurin osa yksinkertaisella tavalla todiste on viivaimen mittausmenetelmä. Mittaa tätä varten viivaimen avulla suorien viivojen välinen etäisyys useista kohdista mahdollisimman kaukana toisistaan. Jos etäisyys pysyy samana, annetut suorat ovat yhdensuuntaisia. Mutta tämä menetelmä ei ole tarpeeksi tarkka, joten on parempi käyttää muita menetelmiä.

Piirrä kolmas suora niin, että se leikkaa molemmat yhdensuuntaiset suorat. Se muodostaa niiden kanssa neljä ulko- ja neljä sisäkulmaa. Harkitse sisäkulmia. Niitä, jotka sijaitsevat sekanttiviivan läpi, kutsutaan ristikkäisiksi. Niitä, jotka makaavat yhdellä puolella, kutsutaan yksipuoleiksi. Mittaa kaksi diagonaalista sisäkulmaa astelevyllä. Jos ne ovat yhtä suuret, suorat ovat yhdensuuntaisia. Jos olet epävarma, mittaa yksipuoliset sisäkulmat ja laske yhteen saadut arvot. Viivat ovat yhdensuuntaisia, jos yksipuolisten sisäkulmien summa on 180º.

Jos sinulla ei ole astelevyä, käytä 90 asteen neliötä. Käytä sitä rakentaaksesi kohtisuoraan johonkin suorasta. Jatka sen jälkeen tätä kohtisuoraa siten, että se leikkaa toisen suoran. Tarkista samaa neliötä käyttämällä, missä kulmassa tämä kohtisuora leikkaa sen. Jos tämä kulma on myös 90º, niin viivat ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

Jos suorat on annettu suorakulmaisessa koordinaatistossa, etsi niiden apuviivat tai normaalivektorit. Jos nämä vektorit ovat vastaavasti kollineaarisia keskenään, niin suorat ovat yhdensuuntaisia. Tuo suorien yhtälö yleiseen muotoon ja löydä kunkin suoran normaalivektorin koordinaatit. Sen koordinaatit ovat yhtä suuret kuin kertoimet A ja B. Siinä tapauksessa, että normaalivektorien vastaavien koordinaattien suhde on sama, ne ovat kollineaarisia ja suorat ovat yhdensuuntaisia.

Esimerkiksi suorat on annettu yhtälöillä 4x-2y+1=0 ja x/1=(y-4)/2. Ensimmäinen yhtälö on yleisnäkymä, toinen on kanoninen. Tuo toinen yhtälö yleiseen muotoon. Käytä tähän suhteiden muunnossääntöä, niin saat tulokseksi 2x=y-4. Yleiseen muotoon pelkistyksen jälkeen saadaan 2x-y + 4 = 0. Koska minkä tahansa rivin yleinen yhtälö on kirjoitettu Ax + Vy + C = 0, niin ensimmäiselle riville: A = 4, B = 2 ja toiselle riville A = 2, B = 1. Normaalivektorin ensimmäiselle suoralle koordinaatille (4;2) ja toiselle - (2;1). Etsi normaalivektorien vastaavien koordinaattien suhde 4/2=2 ja 2/1=2. Nämä luvut ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että vektorit ovat kollineaarisia. Koska vektorit ovat kollineaarisia, suorat ovat yhdensuuntaisia.

LUKU III.
YHDENSUUNTAISET VIIVAT

§ 35. KAHDEN SUORAN JOHDON RINNAKKAISTAISUUSMERKIT.

Lause, että kaksi suoraa kohtisuoraa ovat yhdensuuntaisia ​​(§ 33), antaa merkin, että kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia. Voit vetää lisää yleiset piirteet kahden suoran samansuuntaisuus.

1. Ensimmäinen rinnakkaisuuden merkki.

Jos kahden suoran ja kolmannen leikkauskohdassa poikki olevat sisäkulmat ovat yhtä suuret, niin nämä suorat ovat yhdensuuntaisia.

Leikkaavat suorat AB ja CD suoran EF ja / 1 = / 2. Ota piste O - sekantin EF segmentin KL keskikohta (kuva 189).

Pudotetaan kohtisuora OM pisteestä O suoralle AB ja jatketaan, kunnes se leikkaa suoran CD, AB_|_MN. Todistakaamme, että CD_|_MN.
Harkitse tätä varten kahta kolmiota: MOE ja NOK. Nämä kolmiot ovat yhtä suuret keskenään. Todellakin: / 1 = / 2 lauseen ehdolla; OK = OL - rakenteen mukaan;
/ MOL = / NOK miten pystysuorat kulmat. Siten yhden kolmion sivu ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa; siten, /\ MOL = /\ NOK, ja siksi
/ LMO = / tiedä mutta / LMO on suora, joten ja / KNO on myös suora. Siten suorat AB ja CD ovat kohtisuorassa samaa suoraa MN vastaan, joten ne ovat yhdensuuntaisia ​​(§ 33), mikä oli todistettava.

Huomautus. Suoran MO ja CD leikkauspiste saadaan aikaan kiertämällä kolmiota MOL pisteen O ympäri 180°.

2. Toinen rinnakkaisuuden merkki.

Katsotaan ovatko suorat AB ja CD yhdensuuntaiset, jos niiden kolmannen suoran EF leikkauskohdassa vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.

Olkoon jotkin vastaavat kulmat esimerkiksi yhtä suuret / 3 = / 2 (kehitys 190);
/ 3 = / 1, koska kulmat ovat pystysuorat; tarkoittaa, / 2 on yhtä suuri / 1. Mutta kulmat 2 ja 1 ovat sisäisiä poikittaiskulmia, ja tiedämme jo, että jos kahden suoran leikkauskohdassa kolmasosa, sisäiset poikittaismakuukulmat ovat yhtä suuret, niin nämä suorat ovat yhdensuuntaisia. Siksi AB || CD.

Jos kolmannen kahden suoran leikkauskohdassa vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia.

Yhdensuuntaisten viivojen rakentaminen viivaimen ja piirustuskolmion avulla perustuu tähän ominaisuuteen. Tämä tehdään seuraavasti.

Kiinnitetään kolmio viivaimeen kuvan 191 mukaisesti. Siirretään kolmiota niin, että sen toinen sivuista liukuu viivainta pitkin ja piirretään useita suoria kolmion toiselle sivulle. Nämä viivat ovat yhdensuuntaisia.

3. Kolmas rinnakkaisuuden merkki.

Tiedämme, että kahden suoran AB ja CD leikkauskohdassa kolmannella suoralla mahdollisten sisäisten yksipuolisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 2 d(tai 180°). Ovatko suorat AB ja CD tässä tapauksessa yhdensuuntaiset (kuva 192).

Antaa / 1 ja / 2 sisäpuolista yksipuolista kulmaa ja lisää 2 d.
Mutta / 3 + / 2 = 2d vierekkäisinä kulmina. Siten, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Täältä / 1 = / 3, ja nämä kulmat ovat sisäpuolella ristikkäin. Siksi AB || CD.

Jos kahden suoran leikkauskohdassa kolmasosa, sisäisten yksipuolisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 2 d, silloin nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia.

Harjoittele.

Todista, että suorat ovat yhdensuuntaiset:
a) jos ulkoiset poikkileikkauskulmat ovat yhtä suuret (kuva 193);
b) jos ulkoisten yksipuolisten kulmien summa on 2 d(paholainen 194).

Kahden suoran yhdensuuntaisuus voidaan todistaa lauseen perusteella, jonka mukaan kaksi yhden suoran suhteen piirrettyä kohtisuoraa ovat yhdensuuntaisia. On olemassa tiettyjä merkkejä yhdensuuntaisista viivoista - niitä on kolme, ja tarkastelemme niitä kaikkia tarkemmin.

Ensimmäinen merkki rinnakkaisuudesta

Suorat ovat yhdensuuntaisia, jos niiden kolmannen suoran leikkauskohdassa poikki olevat muodostuneet sisäkulmat ovat yhtä suuret.

Oletetaan, että suorien AB ja CD leikkauspisteeseen suoran EF kanssa muodostuivat kulmat /1 ja /2. Ne ovat yhtä suuret, koska suora EF kulkee samaa kaltevuutta kahden muun suoran suhteen. Viivojen leikkauspisteeseen laitamme pisteet Ki L - meillä on segmentti sekantista EF. Etsimme sen keskikohdan ja laitamme pisteen O (kuva 189).

Suoralla AB pudotamme kohtisuoran pisteestä O. Kutsutaan sitä OM:ksi. Jatkamme kohtisuoraa, kunnes se leikkaa linjan CD. Seurauksena on, että alkuperäinen suora AB on tiukasti kohtisuorassa MN:ää vastaan, mikä tarkoittaa, että CD _ | _ MN, mutta tämä väite vaatii todisteen. Pystysuoran ja leikkausviivan piirtämisen tuloksena olemme muodostaneet kaksi kolmiota. Yksi niistä on MINUN, toinen NOK. Tarkastellaanpa niitä tarkemmin. yhdensuuntaisten viivojen merkit luokka 7

Nämä kolmiot ovat yhtä suuret, koska lauseen ehtojen mukaisesti /1 = /2 ja kolmioiden konstruktion mukaan sivu OK = sivu OL. Kulma MOL =/NOK, koska nämä ovat pystykulmia. Tästä seuraa, että toisen kolmion sivu ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa. Siten kolmio MOL \u003d kolmio NOK ja siten kulma LMO \u003d kulma KNO, mutta tiedämme, että / LMO on suora, mikä tarkoittaa, että vastaava kulma KNO on myös oikea. Toisin sanoen onnistuimme todistamaan, että sekä suora AB että suora CD ovat kohtisuorassa suoraa MN vastaan. Eli AB ja CD ovat rinnakkain toistensa kanssa. Tämä meidän piti todistaa. Tarkastellaan rinnakkaisten viivojen jäljellä olevia merkkejä (luokka 7), jotka eroavat ensimmäisestä merkistä todisteena.

Toinen rinnakkaisuuden merkki

Viivojen toisen yhdensuuntaisuuden merkin mukaan meidän on todistettava, että yhdensuuntaisten viivojen AB ja CD leikkausprosessissa suorilla EF saadut kulmat ovat yhtä suuret. Siten kahden suoran, sekä ensimmäisen että toisen, yhdensuuntaisuuden merkit perustuvat kulmien yhtäläisyyteen, kun ne ylitetään kolmannella suoralla. Oletetaan, että /3 = /2 ja kulma 1 = /3, koska se on pystysuora siihen nähden. Siten ja /2 on yhtä suuri kuin kulma 1, mutta on kuitenkin otettava huomioon, että sekä kulma 1 että kulma 2 ovat sisäisiä, ristikkäisiä kulmia. Siksi meidän on sovellettava tietomme, nimittäin se, että kaksi segmenttiä ovat yhdensuuntaisia, jos niiden leikkauskohdassa kolmannen suoran kanssa muodostuvat, ristikkäin sijaitsevat kulmat ovat yhtä suuret. Siten saimme selville, että AB || CD.

Onnistuimme todistamaan, että sillä ehdolla, että kaksi kohtisuoraa ovat yhdensuuntaisia ​​yhden suoran kanssa, vastaavan lauseen mukaan yhdensuuntaisten viivojen merkki on ilmeinen.

Kolmas merkki rinnakkaisuudesta

Yhdensuuntaisuudelle on myös kolmas kriteeri, joka todistetaan yksipuolisten sisäkulmien summalla. Tällainen todistus suorien yhdensuuntaisuuden merkistä antaa meille mahdollisuuden päätellä, että kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos ne leikkaavat kolmannen suoran, saatujen yksipuolisten sisäkulmien summa on yhtä suuri kuin 2d. Katso kuva 192.

Tässä artikkelissa puhumme yhdensuuntaisista viivoista, annamme määritelmiä, määrittelemme rinnakkaisuuden merkit ja ehdot. Teoreettisen materiaalin selkeyden vuoksi käytämme kuvituksia ja tyypillisten esimerkkien ratkaisua.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Määritelmä 1

Yhdensuuntaiset viivat tasossa ovat kaksi suoraa tasossa, joita ei ole yhteisiä kohtia.

Määritelmä 2

Rinnakkaiset viivat 3D-avaruudessa- kaksi suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa, jotka sijaitsevat samassa tasossa ja joilla ei ole yhteisiä pisteitä.

On huomattava, että yhdensuuntaisten viivojen määrittämiseksi avaruudessa selvennys "samassa tasossa" on erittäin tärkeä: kaksi kolmiulotteisessa avaruudessa olevaa suoraa, joilla ei ole yhteisiä pisteitä ja jotka eivät ole samassa tasossa, eivät ole yhdensuuntaisia, mutta leikkaavia.

Yhdensuuntaisten viivojen merkitsemiseen on yleistä käyttää symbolia ∥ . Eli jos annetut suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia, tämä ehto tulee kirjoittaa lyhyesti seuraavasti: a ‖ b . Verbaalisesti viivojen yhdensuuntaisuus ilmaistaan ​​seuraavasti: suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia ​​tai suora a on yhdensuuntainen suoran b kanssa tai suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa.

Muotoilkaamme lausunto, jolla on tärkeä rooli tutkittavassa aiheessa.

Axiom

Pisteen, joka ei kuulu tiettyyn suoraan, kautta on vain yksi suora yhdensuuntainen annetun suoran kanssa. Tätä väitettä ei voida todistaa tunnettujen planimetrian aksioomien perusteella.

Siinä tapauksessa kun me puhumme avaruudesta lause pitää paikkansa:

Lause 1

Minkä tahansa avaruuden pisteen läpi, joka ei kuulu tiettyyn suoraan, on vain yksi suora yhdensuuntainen annetun kanssa.

Tämä lause on helppo todistaa yllä olevan aksiooman perusteella (geometriaohjelma luokille 10-11).

Yhdensuuntaisuuden merkki on riittävä ehto, jolla yhdensuuntaiset suorat taataan. Toisin sanoen tämän ehdon täyttyminen riittää vahvistamaan rinnakkaisuuden tosiasian.

Erityisesti suorien yhdensuuntaisuudelle tasossa ja avaruudessa on tarpeelliset ja riittävät edellytykset. Selitetään: välttämätön tarkoittaa ehtoa, jonka täyttyminen on välttämätöntä rinnakkaisille viivoille; jos se ei täyty, suorat eivät ole yhdensuuntaisia.

Yhteenvetona voidaan todeta, että suorien yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on sellainen ehto, jonka noudattaminen on välttämätöntä ja riittävää, jotta suorat ovat yhdensuuntaisia ​​keskenään. Toisaalta tämä on merkki rinnakkaisuudesta, toisaalta rinnakkaisille viivoille ominaista ominaisuus.

Ennen kuin annamme tarvittavien ja riittävien ehtojen täsmällisen muotoilun, muistamme vielä muutamia lisäkäsitteitä.

Määritelmä 3

sekanttiviiva on viiva, joka leikkaa kummankin annetusta ei-yhteensopivasta suorasta.

Leikkaa kaksi suoraa, ja sekantti muodostaa kahdeksan ei-laajentunutta kulmaa. Välttämättömän ja riittävän ehdon muotoilemiseksi käytämme sellaisia ​​kulmia kuin ristikkäisiä, vastaavia ja yksipuolisia. Esitetään ne kuvassa:

Lause 2

Jos kaksi tasossa olevaa suoraa leikkaavat leikkauspisteen, niin annettujen suorien yhdensuuntaisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että poikkisuuntaiset makuukulmat ovat yhtä suuret tai vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai yksipuolisten kulmien summa on 180 astetta.

Havainnollistetaan graafisesti tason yhdensuuntaisten viivojen välttämätön ja riittävä ehto:

Todiste näistä ehdoista löytyy luokkien 7-9 geometriaohjelmasta.

Yleensä nämä ehdot pätevät myös kolmiulotteiseen avaruuteen edellyttäen, että kaksi suoraa ja sekantti kuuluvat samaan tasoon.

Osoittakaamme vielä muutamia lauseita, joita käytetään usein osoittamaan, että suorat ovat yhdensuuntaisia.

Lause 3

Tasossa kaksi yhdensuuntaista suoraa kolmannen kanssa ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Tämä piirre on todistettu edellä mainitun rinnakkaisuuden aksiooman perusteella.

Lause 4

Kolmiulotteisessa avaruudessa kaksi yhdensuuntaista suoraa kolmannen kanssa ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

Ominaisuuden todistusta opiskellaan 10. luokan geometriaohjelmassa.

Annamme kuvan näistä teoreemoista:

Osoitetaan vielä yksi lausepari, joka todistaa suorien yhdensuuntaisuuden.

Lause 5

Tasossa kaksi suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmanteen nähden, ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

Muotoilkaamme samanlainen kolmiulotteiselle avaruudelle.

Lause 6

Kolmiulotteisessa avaruudessa kaksi suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmanteen nähden, ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

Havainnollistetaan:

Kaikki edellä mainitut lauseet, merkit ja ehdot mahdollistavat suorien samansuuntaisuuden kätevän todistamisen geometrian menetelmin. Toisin sanoen suorien yhdensuuntaisuuden todistamiseksi voidaan osoittaa, että vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, tai osoittaa, että kaksi annettua suoraa ovat kohtisuorassa kolmanteen nähden ja niin edelleen. Mutta huomaamme, että on usein kätevämpää käyttää koordinaattimenetelmää suorien yhdensuuntaisuuden osoittamiseksi tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa.

Viivojen rinnakkaisuus suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä

Tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä suora määräytyy yhden pisteen tasossa olevan suoran yhtälön avulla. mahdollisia tyyppejä. Samoin suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kolmiulotteisessa avaruudessa annettu suora vastaa joitain avaruuden suoran yhtälöitä.

Kirjoitetaan suorakaiteen muotoiseen koordinaatistoon tarvittavat ja riittävät ehdot suorien yhdensuuntaisuudelle riippuen annettuja suoria kuvaavan yhtälön tyypistä.

Aloitetaan tasossa olevien yhdensuuntaisten viivojen ehdolla. Se perustuu suoran suuntavektorin ja suoran normaalivektorin määritelmiin tasossa.

Lause 7

Jotta kaksi ei-yhtenäistä suoraa olisi yhdensuuntainen tasossa, on välttämätöntä ja riittävää, että annettujen suorien suuntavektorit ovat kollineaarisia tai annettujen suorien normaalivektorit ovat kollineaarisia tai yhden suoran suuntavektori on kohtisuorassa toisen suoran normaalivektori.

Tulee ilmeiseksi, että tasossa olevien yhdensuuntaisten suorien ehto perustuu kollineaaristen vektorien ehtoon tai kahden vektorin kohtisuoraan ehtoon. Eli jos a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y) ovat suorien a ja b suuntavektorit;

ja n b → = (n b x , n b y) ovat suorien a ja b normaalivektoreita, jolloin kirjoitetaan yllä oleva välttämätön ja riittävä ehto seuraavasti: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y tai n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y tai a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , missä t on jokin reaaliluku. Suuntavien tai suorien vektorien koordinaatit määräytyvät annetuilla suorien yhtälöillä. Tarkastellaan tärkeimpiä esimerkkejä.

1. Suorakaidekoordinaattijärjestelmän suora a on määritelty yleinen yhtälö suora: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; viiva b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Tällöin annettujen suorien normaalivektoreilla on vastaavasti koordinaatit (A 1 , B 1) ja (A 2 , B 2). Kirjoitamme rinnakkaisuuden ehdon seuraavasti:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Suoraa a kuvataan yhtälöllä suorasta, jonka kaltevuus on muotoa y = k 1 x + b 1 . Suora b - y \u003d k 2 x + b 2. Tällöin annettujen suorien normaalivektoreilla on vastaavasti koordinaatit (k 1 , - 1) ja (k 2 , - 1), ja kirjoitamme yhdensuuntaisuusehdon seuraavasti:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Siten, jos yhdensuuntaiset suorat suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on annettu kaltevuusyhtälöillä, niin kaltevuustekijät annetut rivit ovat yhtä suuret. Ja käänteinen väite on totta: jos ei-yhteensopivia suoria tasossa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa määritetään yhtälöillä, joilla on samat kaltevuuskertoimet, niin nämä annetut suorat ovat yhdensuuntaisia.

1. Suorakaiteen muotoisen koordinaatiston suorat a ja b saadaan tasossa olevan suoran kanonisilla yhtälöillä: x - x 1 a x = y - y 1 a y ja x - x 2 b x = y - y 2 b y tai parametriyhtälöt tason suorasta: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y ja x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Tällöin annettujen suorien suuntavektorit ovat: a x , a y ja b x , b y, vastaavasti, ja kirjoitamme yhdensuuntaisuusehdon seuraavasti:

a x = t b x a y = t b y

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki 1

Annettu kaksi riviä: 2 x - 3 y + 1 = 0 ja x 1 2 + y 5 = 1 . Sinun on määritettävä, ovatko ne yhdensuuntaiset.

Ratkaisu

Kirjoitamme suoran yhtälön segmentteihin yleisen yhtälön muodossa:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Näemme, että n a → = (2 , - 3) on suoran 2 x - 3 y + 1 = 0 normaalivektori ja n b → = 2, 1 5 on suoran x 1 2 + y 5 normaalivektori = 1.

Tuloksena olevat vektorit eivät ole kollineaarisia, koska ei ole sellaista t:n arvoa, jolle yhtälö olisi totta:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Siten välttämätön ja riittävä ehto tasossa olevien suorien yhdensuuntaisuudesta ei täyty, mikä tarkoittaa, että annetut suorat eivät ole yhdensuuntaisia.

Vastaus: annetut suorat eivät ole yhdensuuntaisia.

Esimerkki 2

Annetut suorat y = 2 x + 1 ja x 1 = y - 4 2 . Ovatko ne samansuuntaisia?

Ratkaisu

Muunnetaan suoran x 1 \u003d y - 4 2 kanoninen yhtälö kulmakertoimella varustetun suoran yhtälöksi:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Näemme, että suorien y = 2 x + 1 ja y = 2 x + 4 yhtälöt eivät ole samat (jos olisi toisin, suorat olisivat samat) ja suorien kulmakertoimet ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että annetut suorat ovat yhdensuuntaisia.

Yritetään ratkaista ongelma toisin. Ensin tarkistetaan, osuvatko annetut rivit yhteen. Käytämme mitä tahansa suoran y \u003d 2 x + 1 pistettä, esimerkiksi (0, 1) , tämän pisteen koordinaatit eivät vastaa yhtälöä x 1 \u003d y - 4 2, mikä tarkoittaa, että rivit eivät täsmää.

Seuraava askel on määrittää yhdensuuntaisuusehdon täyttyminen annetuille suorille.

Suoran y = 2 x + 1 normaalivektori on vektori n a → = (2 , - 1) , ja toisen annetun suoran suuntavektori on b → = (1 , 2) . Näiden vektorien skalaaritulo on nolla:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Siten vektorit ovat kohtisuorassa: tämä osoittaa meille välttämättömän ja riittävän ehdon täyttymisen, jotta alkuperäiset suorat ovat yhdensuuntaisia. Nuo. annetut suorat ovat yhdensuuntaisia.

Vastaus: nämä viivat ovat yhdensuuntaisia.

Kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisen koordinaatiston suorien yhdensuuntaisuuden osoittamiseksi käytetään seuraavaa tarpeellista ja riittävää ehtoa.

Lause 8

Jotta kaksi ei-yhdenmukaista suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa olisivat yhdensuuntaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että näiden viivojen suuntavektorit ovat kollineaarisia.

Nuo. annetuille suorayhtälöille kolmiulotteisessa avaruudessa vastaus kysymykseen: ovatko ne yhdensuuntaiset vai eivät, löytyy määrittämällä annettujen viivojen suuntavektorien koordinaatit sekä tarkistamalla niiden kollineaarisuuden ehto. Toisin sanoen, jos a → = (a x, a y, a z) ja b → = (b x, b y, b z) ovat suorien a ja b suuntavektorit, niin, jotta ne olisivat samansuuntaisia, olemassaolo tällaisen reaaliluvun t on välttämätön, jotta yhtäläisyys pätee:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Esimerkki 3

Annetut rivit x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ja x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . On tarpeen todistaa näiden viivojen samansuuntaisuus.

Ratkaisu

Tehtävän ehdot ovat yhden avaruuden suoran kanoniset yhtälöt ja toisen avaruudessa olevan suoran parametriset yhtälöt. Suuntavektorit a → ja b → annetuilla viivoilla on koordinaatit: (1 , 0 , - 3) ja (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , sitten a → = 1 2 b → .

Siten välttämätön ja riittävä ehto avaruuden yhdensuuntaisille viivoille täyttyy.

Vastaus: annettujen suorien yhdensuuntaisuus on todistettu.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter