Kysymys 1. Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yksi yhteinen sivu ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.
Kuvassa 31 kulmat (a 1 b) ja (a 2 b) ovat vierekkäin. Niillä on yhteinen sivu b, ja sivut a 1 ja a 2 ovat lisäpuoliviivoja.

Kysymys 2. Osoita, että vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Vastaus. Lause 2.1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Todiste. Olkoon kulman (a 1 b) ja kulman (a 2 b) vierekkäiset kulmat (katso kuva 31). Säde b kulkee kehitetyn kulman sivujen a 1 ja a 2 välistä. Siksi kulmien (a 1 b) ja (a 2 b) summa on yhtä suuri kuin kehitetty kulma, eli 180 °. Q.E.D.

Kysymys 3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus.

Lauseen perusteella 2.1 Tästä seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.
Oletetaan, että kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret. Meidän on todistettava, että myös kulmat (a 2 b) ja (c 2 d) ovat yhtä suuret.
Vierekkäisten kulmien summa on 180°. Tästä seuraa, että a 1 b + a 2 b = 180° ja c 1 d + c 2 d = 180°. Näin ollen a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b ja c 2 d = 180 ° - c 1 d. Koska kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret, saamme, että a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Yhtävyysmerkin transitiivisuuden ominaisuudesta seuraa, että a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Kysymys 4. Mitä kulmaa kutsutaan oikeaksi (teräväksi, tylpäksi)?
Vastaus. Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi.
Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.
Kulmaa, joka on suurempi kuin 90° ja pienempi kuin 180°, kutsutaan tylpäksi kulmaksi.

Kysymys 5. Todista, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.
Vastaus. Vierekkäisten kulmien summan lauseesta seuraa, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Kysymys 6. Mitkä ovat pystykulmat?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen komplementaarisia puoliviivoja.

Kysymys 7. Todista se pystysuorat kulmat ovat tasa-arvoisia.
Vastaus. Lause 2.2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Todiste. Olkoon (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) pystykulmat (kuva 34). Kulma (a 1 b 2) on kulman (a 1 b 1) ja kulman (a 2 b 2) vieressä. Tästä vierekkäisten kulmien summaa koskevan lauseen perusteella päätämme, että kukin kulmista (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) täydentää kulmaa (a 1 b 2) 180 °:een asti, ts. kulmat (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) ovat yhtä suuret. Q.E.D.

Kysymys 8. Osoita, että jos kahden suoran leikkauskohdassa yksi kulmista on suora, niin myös muut kolme kulmaa ovat suorat.
Vastaus. Oletetaan, että suorat AB ja CD leikkaavat toisensa pisteessä O. Oletetaan, että kulma AOD on 90°. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180°, saadaan AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. COB-kulma on pystysuorassa AOD-kulmaan nähden, joten ne ovat yhtä suuret. Toisin sanoen kulma COB = 90°. COA on pystysuora BOD:n suhteen, joten ne ovat yhtä suuret. Toisin sanoen kulma BOD = 90°. Siten kaikki kulmat ovat yhtä suuria kuin 90 °, eli ne ovat kaikki oikein. Q.E.D.

Kysymys 9. Mitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi? Mitä merkkiä käytetään osoittamaan viivojen kohtisuoraa?
Vastaus. Kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi, jos ne leikkaavat suorassa kulmassa.
Viivojen kohtisuoraa merkitään \(\perp\). Merkintä \(a\perp b\) kuuluu: "Line a on kohtisuorassa linjaa b vastaan".

Kysymys 10. Todista, että minkä tahansa suoran pisteen kautta voidaan piirtää siihen nähden kohtisuorassa oleva suora, ja vain yksi.
Vastaus. Lause 2.3. Jokaisen viivan kautta voit piirtää siihen nähden kohtisuoran viivan ja vain yhden.
Todiste. Olkoon a annettu suora ja A - annettu piste hänen päällänsä. Merkitään a 1:llä yksi puoliviivoja suoralla a, jonka lähtöpiste on A (kuva 38). Siirrä syrjään puoliviivasta a 1 kulma (a 1 b 1), joka on 90°. Tällöin säteen b 1 sisältävä viiva on kohtisuorassa suoraa a vastaan.

Oletetaan, että on olemassa toinen suora, joka myös kulkee pisteen A läpi ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Merkitään c 1:llä tämän suoran puoliviiva, joka on samassa puolitasossa säteen b 1 kanssa.
Kulmat (a 1 b 1) ja (a 1 c 1), jotka ovat kumpikin 90°, on asetettu yhteen puolitasoon puoliviivasta a 1 . Mutta puoliviivasta a 1, vain yksi 90 °:n kulma voidaan asettaa sivuun tässä puolitasossa. Siksi ei voi olla toista suoraa, joka kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Lause on todistettu.

Kysymys 11. Mikä on kohtisuora suoraa vastaan?
Vastaus. Tiettyyn suoraan nähden kohtisuorassa on tiettyyn suoraan nähden kohtisuorassa oleva jana, jonka toinen pää on niiden leikkauspisteessä. Tätä segmentin päätä kutsutaan perusta kohtisuorassa.

Kysymys 12. Selitä, mitä ristiriitainen todistaminen on.
Vastaus. Lauseessa 2.3 käyttämäämme todistusmenetelmää kutsutaan ristiriitaiseksi todisteeksi. Tämä todistustapa koostuu siitä, että teemme ensin oletuksen, joka on päinvastainen kuin lauseessa väitetään. Sitten päättelemällä, tukeutuen aksioomeihin ja todistettuihin lauseisiin, tulemme johtopäätökseen, joka on ristiriidassa joko lauseen ehdon tai jonkin aksiooman tai aiemmin todistetun lauseen kanssa. Tämän perusteella päättelemme, että olettamuksemme oli väärä, mikä tarkoittaa, että lauseen väite on totta.

Kysymys 13. Mikä on kulman puolittaja?
Vastaus. Kulman puolittaja on säde, joka tulee kulman kärjestä, kulkee sen sivujen välillä ja jakaa kulman kahtia.

Kulmat, joissa toinen puoli on yhteinen ja muut sivut ovat samalla suoralla (kuvassa kulmat 1 ja 2 ovat vierekkäin). Riisi. Art. Viereiset kulmat... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

LÄHETTÄVÄT KULMAT- kulmat, joilla on yhteinen kärkipiste ja yksi yhteinen puoli, ja niiden kaksi muuta sivua ovat samalla suoralla linjalla... Suuri ammattikorkeakoulun tietosanakirja

Katso Kulma... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

VIESTIKULMAT, kaksi kulmaa, joiden summa on 180°. Jokainen näistä kulmista täydentää toisiaan täydessä kulmassa... Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja

Katso Kulma. * * * VIESTIN KULMAT VIESTIN KULMAT, katso Kulma (katso KULMA) … tietosanakirja

- (Viereiset kulmat) ne, joilla on yhteinen kärki ja yhteinen puoli. Useimmiten tämä nimi tarkoittaa sellaisia ​​S.-kulmia, joiden kaksi muuta sivua ovat yhden kärjen läpi vedetyn suoran vastakkaisissa suunnissa ... Ensyklopedinen sanakirja F.A. Brockhaus ja I.A. Efron

Katso Kulma... Luonnontiede. tietosanakirja

Nämä kaksi viivaa leikkaavat ja muodostavat parin pystysuoraa kulmaa. Yksi pari koostuu kulmista A ja B, toinen C ja D. Geometriassa kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos ne muodostuvat kahden kulman leikkauspisteestä ... Wikipedia

Täydentävä kulmapari, joka täydentää toisiaan 90 asteeseen saakka Täydentävä kulma on kulmien pari, jotka täydentävät toisiaan 90 asteeseen asti. Jos kaksi täydentävää kulmaa ovat vierekkäin (eli niillä on yhteinen kärkipiste ja ne erotetaan toisistaan ​​vain ... ... Wikipedia

Täydentävät kulmat, jotka täydentävät toisiaan 90 asteeseen saakka Täydentävät kulmat ovat kulmia, jotka täydentävät toisiaan 90 asteeseen asti. Jos kaksi lisäkulmaa ovat c ... Wikipedia

Kirjat

• Tietoja Proof in Geometry, Fetisov A.I. Tämä kirja valmistetaan tilauksesi mukaisesti käyttämällä Print-on-Demand -tekniikkaa. Kerran, aivan kouluvuoden alussa, satuin kuulemaan kahden tytön keskustelun. Vanhin…
• Kattava muistikirja tiedonhallintaan. Geometria. 7. luokka. Federal State Educational Standard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Käsikirja esittelee geometrian ohjaus- ja mittausmateriaaleja (KMI) 7. luokan opiskelijoiden tiedon virran, temaattisen ja lopullisen laadunvalvonnan suorittamiseen. Ohjeen sisältö…

Pääkulman tunnettu arvo α₁ = α₂ = 180°-α.

Tästä on olemassa. Jos kaksi kulmaa ovat vierekkäin ja yhtä suuret samanaikaisesti, ne ovat suoria kulmia. Jos toinen viereisistä kulmista on oikea, eli se on 90 astetta, niin toinen kulma on myös oikea. Jos toinen vierekkäisistä kulmista on terävä, toinen on tylpä. Vastaavasti, jos yksi kulmista on tylppä, niin toinen on vastaavasti terävä.

Terävä kulma on sellainen, jonka mitta on pienempi kuin 90 astetta mutta suurempi kuin 0. Tylppä kulman mitta on suurempi kuin 90 astetta mutta pienempi kuin 180.

Toinen vierekkäisten kulmien ominaisuus muotoillaan seuraavasti: jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret. Tämä tarkoittaa sitä, että jos on kaksi kulmaa, joiden astemitta on sama (esimerkiksi se on 50 astetta) ja samalla yhdellä niistä on viereinen kulma, niin näiden vierekkäisten kulmien arvot ovat myös samat (esimerkissä niiden astemitta on 130 astetta).

Lähteet:

• Big Encyclopedic Dictionary - Vierekkäiset kulmat
• 180 asteen kulmassa

Sanalla "" on erilaisia ​​tulkintoja. Geometriassa kulma on osa tasosta, jota rajoittaa kaksi yhdestä pisteestä - kärjestä - lähtevää sädettä. Kun me puhumme suorista, terävistä, kehittyneistä kulmista, silloin tarkoitetaan geometrisia kulmia.

Kuten mitä tahansa muotoa geometriassa, kulmia voidaan verrata. Kulmien tasa-arvo määräytyy liikkeen perusteella. Kulma on helppo jakaa kahteen yhtä suureen osaan. Kolmeen osaan jakaminen on hieman vaikeampaa, mutta se voidaan silti tehdä viivaimella ja kompassilla. Muuten, tämä tehtävä vaikutti melko vaikealta. Geometrisesti on helppo kuvata, että yksi kulma on suurempi tai pienempi kuin toinen.

Kulmien mittayksikkönä käytetään 1/180 kehittyneestä kulmasta. Kulman arvo on luku, joka osoittaa kuinka monta kertaa mittayksiköksi valittu kulma mahtuu kyseessä olevaan kuvaan.

Jokaisen kulman astemitta on suurempi kuin nolla. Suorakulma on 180 astetta. Kulman astemitan katsotaan olevan yhtä suuri kuin niiden kulmien astemittojen summa, joihin se on jaettu millä tahansa säteellä sen sivujen rajaamalla tasolla.

Mistä tahansa säteestä annettu lentokone voit asettaa sivuun kulman, jonka astemitta on enintään 180. Lisäksi on vain yksi tällainen kulma. Tasaisen kulman mitta, joka on osa puolitasoa, on kulman astemitta, jolla on samanlaiset sivut. Puolitason sisältävän kulman tason mitta on arvo 360– α, missä α on täydentävän tasaisen kulman astemitta.

Kulman astemitta mahdollistaa siirtymisen niiden geometrisesta kuvauksesta numeeriseen kuvaukseen. Joten suora kulma on kulma, joka on yhtä suuri kuin 90 astetta, tylppä kulma on kulma, joka on pienempi kuin 180 astetta, mutta suurempi kuin 90, terävä kulma ei ylitä 90 astetta.

Asteiden lisäksi kulmassa on radiaanimitta. Planimetriassa pituus on kuin L, säde on r ja vastaava keskikulma– a. Lisäksi nämä parametrit liittyvät toisiinsa suhteella α = L/r. Tämä on kulmien radiaanimitan perusta. Jos L=r, niin kulma α on yhtä suuri kuin yksi radiaani. Joten kulman radiaanimitta on mielivaltaisella säteellä piirretyn ja tämän kulman sivujen väliin suljetun kaaren pituuden suhde kaaren säteeseen. Täydellinen kierto asteina (360 astetta) vastaa 2π radiaaneina. Yksi on 57,2958 astetta.

Liittyvät videot

Lähteet:

• kulmien astemittakaava

Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin koululaiset eivät aina pidä siitä monimutkaisuuden ja lukuisten lauseiden ja aksioomien vuoksi. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksensä yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Vierekkäiset ja pystykulmat ovat olennainen osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.

Kulmien muodostuminen

Mikä tahansa kulma muodostuu kahden suoran leikkauspisteestä tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin kulman rakennuspisteitä.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. On siis olemassa suora kulma, terävä, tylppä ja levitetty. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.

Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen mitta on 90.

Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan levitetyksi.

Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauskohta muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Tällaisten kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voit aina laskea kulman astemitan, jolla on toisen kulman arvo tai sen mukaan vähintään, heidän välinen suhde.

Pystykulmat

Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajike voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.

Ne muodostuvat, kun viivat leikkaavat. Yhdessä niiden kanssa vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla sekä vierekkäinen toiselle että pystysuora toiselle.

Kun ylitetään mielivaltainen viiva, otetaan huomioon myös useita muita kulmia. Tällaista viivaa kutsutaan sekantiksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pysty- ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.

Siten kulmien aihe näyttää melko yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Tehtävien ratkaiseminen ei ole vaikeaa, kunhan kulmat vastaavat numeerista arvoa. Jo edelleen, kun synnin ja cosin tutkiminen alkaa, sinun on opittava ulkoa paljon monimutkaisia ​​kaavoja, niiden johtopäätökset ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.

Geometrian kurssin opiskeluprosessissa käsitteet "kulma", "pystykulmat", "viereiset kulmat" kohdataan melko usein. Kunkin termin ymmärtäminen auttaa ymmärtämään tehtävän ja ratkaisemaan sen oikein. Mitä ovat vierekkäiset kulmat ja miten ne määritetään?

Viereiset kulmat - käsitteen määritelmä

Termi "viereiset kulmat" luonnehtii kahta kulmaa, jotka muodostavat yhteinen säde ja kaksi ylimääräistä puoliviivaa, jotka sijaitsevat samalla viivalla. Kaikki kolme sädettä tulevat samasta pisteestä. Yhteinen puoliviiva on samanaikaisesti sekä yhden että toisen kulman puoli.

Viereiset kulmat - perusominaisuudet

1. Vierekkäisten kulmien muotoilun perusteella on helppo nähdä, että tällaisten kulmien summa muodostaa aina suoran kulman, jonka astemitta on 180°:

• Jos μ ja η ovat vierekkäisiä kulmia, niin μ + η = 180°.
• Tietäen yhden viereisen kulman arvon (esim. μ), voidaan helposti laskea toisen kulman astemitta (η) lausekkeella η = 180° - μ.

2. Tämän kulmien ominaisuuden avulla voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: kulma, joka on vierekkäinen oikea kulma, tulee myös suoraksi.

3. Ottaen huomioon trigonometriset funktiot(sin, cos, tg, ctg) vierekkäisten kulmien μ ja η pelkistyskaavojen perusteella seuraava on totta:

• sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° - μ) = -ctgμ.

Viereiset kulmat - esimerkkejä

Esimerkki 1

Annettu kolmio, jonka kärjet M, P, Q – ΔMPQ. Etsi kulmien ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM vieressä olevat kulmat.

• Jatketaan kolmion kumpaakin sivua suoraksi viivaksi.
• Kun tiedämme, että vierekkäiset kulmat täydentävät toisiaan suoraksi kulmaksi, huomaamme, että:

kulman ∠QMP vieressä on ∠LMP,

kulman ∠MPQ vieressä on ∠SPQ,

viereinen kulma ∠PQM:lle on ∠HQP.

Esimerkki 2

Yhden viereisen kulman arvo on 35°. Mikä on toisen viereisen kulman astemitta?

• Kahden vierekkäisen kulman summa on 180°.
• Jos ∠μ = 35°, niin viereinen ∠η = 180° – 35° = 145°.

Esimerkki 3

Määritä vierekkäisten kulmien arvot, jos tiedetään, että yhden pohjan astemitta on kolme kertaa suurempi kuin toisen kulman astemitta.

• Merkitään yhden (pienemmän) kulman arvoa kautta – ∠μ = λ.
• Tällöin toisen kulman arvo on tehtävän ehdon mukaan yhtä suuri kuin ∠η = 3λ.
• Vierekkäisten kulmien perusominaisuuden perusteella seuraa μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Ensimmäinen kulma on siis ∠μ = λ = 45° ja toinen kulma ∠η = 3λ = 135°.

Kyky vedota terminologiaan sekä vierekkäisten kulmien perusominaisuuksien tuntemus auttavat selviytymään monien geometristen ongelmien ratkaisusta.