Johdannainen monimutkainen toiminto. Ratkaisuesimerkkejä

Tällä oppitunnilla opimme löytämään kompleksisen funktion derivaatta. Oppitunti on looginen jatko oppitunnille Kuinka löytää johdannainen?, jolla analysoimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin teknisiin menetelmiin derivaattojen löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selkeitä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja viritä vakavaan tunnelmaan - materiaali ei ole helppoa, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukosta sääntöä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Me ymmärrämme. Ensinnäkin tarkastellaan merkintää. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäinen funktioon . Tällaista funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja" ulkoinen toiminto", "sisäinen" -toiminto vain helpottaa materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain "x", vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen välittömästi taulukosta ei toimi. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä on mahdotonta "repiä":

Tässä esimerkissä jo selityksistäni on intuitiivisesti selvää, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen funktio (upotus) ja ulkoinen funktio.

Ensimmäinen askel, joka on suoritettava, kun löydetään kompleksisen funktion derivaatta ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Kun yksinkertaisia ​​esimerkkejä näyttää selvältä, että polynomi on sisäkkäin sinin alle. Mutta entä jos se ei ole ilmeistä? Kuinka määrittää tarkalleen, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan suorittaa henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijaan voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensinnäkin sinun on suoritettava seuraava toiminto: , joten polynomi on sisäinen funktio:

toiseksi sinun on löydettävä, joten sini - on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen YMMÄRTÄÄ Sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa yhdistelmäfunktioiden erottelusääntöä.

Alamme päättää. Oppitunnilta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa derivaatan ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme vedon oikeaan yläkulmaan:

Ensiksi etsi ulkoisen funktion derivaatta (sini), katso derivaattataulukkoa perustoiminnot ja huomaa se. Kaikki taulukkokaavat ovat käyttökelpoisia, vaikka "x" korvattaisiin monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

ota huomioon, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No sehän on aivan ilmeistä

Kaavan soveltamisen lopputulos näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita päätös paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitämme, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä on sisäinen. Tätä varten yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä pitää tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri:, mikä tarkoittaa, että polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten eksponentio suoritetaan, siksi tehotoiminto on ulkoinen toiminto:

Kaavan mukaan ensin on löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme haluttua kaavaa taulukosta:. Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "x:lle" vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Siten kompleksisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos on seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulomman funktion derivaatan, sisäfunktio ei muutu:

Nyt on vielä löydettävä hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja "kampattava" tulos hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Monimutkaisen funktion derivaatan ymmärtämisen vahvistamiseksi annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, syy, missä on ulkoinen ja missä on sisäinen funktio, miksi tehtävät ratkaistaan ​​tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä asteena. Joten tuomme ensin funktion oikeaan muotoon erottamista varten:

Analysoimalla funktiota tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja eksponentio on ulkoinen funktio. Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä:

Aste esitetään jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit myös tuoda lausekkeen yhteiseen nimittäjään suluissa ja kirjoittaa kaikki murto-osaan. Se on tietysti kaunista, mutta kun hankalia pitkiä johdannaisia ​​saadaan, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeeton virhe, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voidaan käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttäisi perversiolta ja hauskalta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:

Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - poistamme derivaatan miinusmerkin ja nostamme kosinin osoittajaan:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme:

Löydämme sisäisen funktion derivaatan, nollaamme kosinin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää, ettei sekaannu merkkeihin. Muuten, yritä ratkaista se säännöllä , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Tähän mennessä olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärrämme tämän toiminnon liitteet. Pyrimme arvioimaan lausekkeen kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä, mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin pesä:

Tämä yksikköarsini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän valtaan:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi sisäkkäistä funktiota, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Alamme päättää

Säännön mukaan sinun on ensin otettava ulkoisen funktion derivaatta. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "X":n sijasta meillä on monimutkainen ilmaisu, mikä ei mitätöi tämän kaavan pätevyyttä. Joten monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos on seuraava:

Kojelaudan alla meillä on taas hankala toiminto! Mutta se on jo helpompaa. On helppo nähdä, että sisäfunktio on arcsini ja ulkofunktio on aste. Monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön mukaan sinun on ensin otettava tutkinnon derivaatta.

Kompleksisen funktion derivaatan kaavan todiste on annettu. Tapauksia, joissa monimutkainen funktio riippuu yhdestä tai kahdesta muuttujasta, tarkastellaan yksityiskohtaisesti. Yleistys tehdään sattumanvaraiseen määrään muuttujia.

Tässä esitetään seuraavien kaavojen johtaminen kompleksisen funktion derivaatalle.
Jos sitten
.
Jos sitten
.
Jos sitten
.

Yhden muuttujan kompleksisen funktion derivaatta

Esitetään muuttujan x funktio kompleksifunktiona seuraavassa muodossa:
,
missä ja on joitain toimintoja. Funktio on differentioituva jollekin muuttujan x arvolle. Funktio on differentioituva muuttujan arvolle.
Tällöin kompleksi (komposiitti)funktio on differentioituva pisteessä x ja sen derivaatta määritetään kaavalla:
(1) .

Kaava (1) voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:
;
.

Todiste

Otetaan käyttöön seuraava merkintä.
;
.
Tässä on muuttujien funktio ja , muuttujien funktio ja . Mutta jätämme pois näiden funktioiden argumentit, jotta emme sotkelisi laskelmia.

Koska funktiot ja ovat differentioituvia pisteissä x ja vastaavasti, niin näissä pisteissä on näiden funktioiden derivaatat, jotka ovat seuraavat rajat:
;
.

Harkitse seuraavaa toimintoa:
.
Muuttujan u kiinteälle arvolle on funktio . Se on selvää
.
Sitten
.

Koska funktio on differentioituva funktio pisteessä, se on jatkuva siinä pisteessä. Siksi
.
Sitten
.

Nyt löydämme johdannaisen.

.

Kaava on todistettu.

Seuraus

Jos muuttujan x funktio voidaan esittää kompleksifunktion kompleksifunktiona
,
sitten sen derivaatta määritetään kaavalla
.
Täällä ja on joitain erotettavia toimintoja.

Tämän kaavan todistamiseksi laskemme derivaatan peräkkäin kompleksisen funktion differentiaatiosäännön mukaisesti.
Harkitse monimutkaista funktiota
.
Sen johdannainen
.
Harkitse alkuperäistä toimintoa
.
Sen johdannainen
.

Kahden muuttujan kompleksisen funktion derivaatta

Olkoon monimutkainen funktio nyt riippuvainen useista muuttujista. Harkitse ensin kahden muuttujan kompleksisen funktion tapauksessa.

Esitetään muuttujasta x riippuva funktio kahden muuttujan kompleksifunktiona seuraavassa muodossa:
,
Missä
ja jollekin muuttujan x arvolle on differentioituvia funktioita;
on kahden muuttujan funktio, joka on differentioituva pisteessä , . Sitten kompleksifunktio määritellään jossain pisteen ympäristössä ja sillä on derivaatta, joka määritetään kaavalla:
(2) .

Todiste

Koska funktiot ja ovat differentioituvia pisteessä, ne määritellään jossain tämän pisteen ympäristössä, ovat jatkuvia pisteessä ja niiden derivaatat pisteessä ovat olemassa, jotka ovat seuraavat rajat:
;
.
Tässä
;
.
Näiden toimintojen jatkuvuuden vuoksi meillä on:
;
.

Koska funktio on differentioituva pisteessä, se määritellään jossain tämän pisteen ympäristössä, on jatkuva tässä pisteessä ja sen inkrementti voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:
(3) .
Tässä

- funktion lisäys, kun sen argumentteja kasvatetaan arvoilla ja ;
;

- funktion osittaiset derivaatat suhteessa muuttujiin ja .
Kiinteille arvoille ja , ja on olemassa muuttujien ja funktioita. Niillä on taipumus nollata ja:
;
.
Siitä lähtien ja sitten
;
.

Toiminnan lisäys:

. :
.
Korvaava (3):



.

Kaava on todistettu.

Johdannainen useiden muuttujien kompleksisesta funktiosta

Yllä oleva johtaminen on helposti yleistettävissä tapaukseen, jossa kompleksisen funktion muuttujien lukumäärä on enemmän kuin kaksi.

Esimerkiksi jos f on kolmen muuttujan funktio, Tuo
,
Missä
, ja jollekin muuttujan x arvolle on differentioituvia funktioita;
on differentioituva funktio, kolmessa muuttujassa, pisteessä , , .
Sitten funktion differentiatiivisuuden määritelmästä meillä on:
(4)
.
Koska jatkuvuuden vuoksi
; ; ,
Että
;
;
.

Jakamalla (4) arvolla ja siirtymällä rajaan, saadaan:
.

Ja lopuksi harkitse yleisin tapaus.
Esitetään muuttujan x funktio n muuttujan kompleksifunktiona seuraavassa muodossa:
,
Missä
jollekin muuttujan x arvolle on differentioituvia funktioita;
- n muuttujan differentioituva funktio pisteessä
, , ... , .
Sitten
.

Tässä artikkelissa puhumme niin tärkeästä matemaattisesta käsitteestä kuin monimutkainen funktio ja opimme löytämään monimutkaisen funktion derivaatan.

Ennen kuin opimme löytämään monimutkaisen funktion derivaatan, ymmärrämme kompleksisen funktion käsitteen, mitä se on, "millä sitä syödään" ja "miten keitetään se oikein".

Harkitse mielivaltaista funktiota, kuten tämä:

Huomaa, että argumentti funktioyhtälön oikealla ja vasemmalla puolella on sama luku tai lauseke.

Muuttujan sijasta voimme laittaa esimerkiksi seuraavan lausekkeen: . Ja sitten saamme funktion

Kutsutaan lauseketta väliargumentiksi ja funktiota ulkoiseksi funktioksi. Nämä eivät ole tiukkoja matemaattisia käsitteitä, mutta ne auttavat selventämään monimutkaisen funktion käsitteen merkitystä.

Monimutkaisen funktion käsitteen tiukka määritelmä on seuraava:

Olkoon funktio määritetty joukolle ja tämän funktion arvojen joukko. Olkoon joukko (tai sen osajoukko) funktion toimialue. Määritetään jokainen numero . Siten toiminto asetetaan laitteeseen. Sitä kutsutaan funktion koostumukseksi tai kompleksiseksi funktioksi.

Tässä määritelmässä, jos käytämme terminologiamme, - ulkoinen funktio, - väliargumentti.

Kompleksisen funktion derivaatta löydetään seuraavan säännön mukaan:

Selvyyden vuoksi haluan kirjoittaa tämän säännön tällaisen järjestelmän muodossa:

Tässä lausekkeessa kanssa tarkoittaa välitoimintoa.

Niin. Monimutkaisen funktion derivaatan löytämiseksi tarvitset

1. Selvitä mikä funktio on ulkoinen ja etsi vastaava derivaatta derivaattataulukosta.

2. Määrittele väliargumentti.

Tässä menettelyssä ulkoisen funktion löytäminen aiheuttaa suurimman vaikeuden. Tätä varten käytetään yksinkertaista algoritmia:

A. Kirjoita muistiin funktion yhtälö.

b. Kuvittele, että sinun on laskettava funktion arvo jollekin x:n arvolle. Voit tehdä tämän korvaamalla tämän x:n arvon funktion yhtälöön ja suorittamalla aritmeettisen. Viimeinen toiminto on ulkoinen toiminto.

Esimerkiksi funktiossa

Viimeinen toimenpide on eksponentio.

Etsitään tämän funktion derivaatta. Tätä varten kirjoitamme väliargumentin

On täysin mahdotonta ratkaista matematiikan fyysisiä ongelmia tai esimerkkejä ilman tietoa derivaatista ja sen laskentamenetelmistä. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perustavanlaatuiselle aiheelle. Mikä on johdannainen, mikä on sen fyysinen ja geometrinen merkitys miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?

Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys

Olkoon toiminto f(x) , annetaan tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muutos - sen arvojen ero x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannainen määritelmä:

Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Muuten se voidaan kirjoittaa näin:

Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Mutta kumpi:

funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.

fyysinen merkitys johdannainen: reitin aikaderivaata on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.

Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki tietävät, että nopeus on yksityinen tie. x=f(t) ja aikaa t . keskinopeus joksikin aikaa:

Selvittääksesi liikkeen nopeuden kerrallaan t0 sinun on laskettava raja:

Sääntö yksi: ota vakio pois

Vakio voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Lisäksi se on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa ilmaisua, muista yksinkertaistaa .

Esimerkki. Lasketaan derivaatta:

Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta

Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.

Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.

Etsi funktion derivaatta:

Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta

Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

Esimerkki: etsi funktion derivaatta:

Ratkaisu:

Tässä on tärkeää sanoa monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:

Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Laskeaksemme tällaisen lausekkeen derivaatan tarkastelemme ensin ulkoisen funktion derivaatta väliargumentin suhteen ja kerromme sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Neljäs sääntö: Kahden funktion osamäärän johdannainen

Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:

Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä näyttää, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.

Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Takana Lyhytaikainen autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman testin ja selviytymään tehtävistä, vaikka et olisi koskaan aiemmin käsitellyt johdannaisten laskemista.

Siitä lähtien kun tulit tänne, olet todennäköisesti jo onnistunut näkemään tämän kaavan oppikirjassa

ja tee tällaiset kasvot:

Ystävä, älä huoli! Itse asiassa kaikki on yksinkertaista häpeällistä. Ymmärrät varmasti kaiken. Vain yksi pyyntö - lue artikkeli hitaasti yritä ymmärtää jokainen askel. Kirjoitin mahdollisimman yksinkertaisesti ja selkeästi, mutta sinun täytyy silti syventää ajatusta. Ja muista ratkaista artikkelin tehtävät.

Mikä on monimutkainen funktio?

Kuvittele, että muutat toiseen asuntoon ja siksi pakkaat tavaroita isoihin laatikoihin. Olkoon tarpeen kerätä pieniä esineitä, esimerkiksi koulun paperitavarat. Jos heität ne vain valtavaan laatikkoon, ne katoavat muun muassa. Tämän välttämiseksi laita ne ensin esimerkiksi pussiin, jonka sitten laitat isoon laatikkoon, jonka jälkeen suljet sen. Tämä "vaikein" prosessi on esitetty alla olevassa kaaviossa:

Näyttäisi siltä, ​​missä matematiikka? Ja lisäksi monimutkainen funktio muodostuu TÄYSIN SAMALLA tavalla! Vain me "pakkaamme" ei muistikirjoja ja kyniä, vaan \ (x \), kun taas erilaiset "paketit" ja "laatikot" palvelevat.

Otetaan esimerkiksi x ja "pakataan" se funktioon:

Lopputuloksena saamme tietysti \(\cos⁡x\). Tämä on meidän "laukkumme tavaraa". Ja nyt laitamme sen "laatikkoon" - pakkaamme sen esimerkiksi kuutiofunktioon.

Mitä lopulta tapahtuu? Kyllä, aivan oikein, tulee "paketti, jossa tavarat laatikossa", eli "kosini x kuutio".

Tuloksena oleva rakenne on monimutkainen toiminto. Se eroaa yksinkertaisesta siinä USEITA ”vaikutuksia” (paketteja) sovelletaan yhteen X:ään peräkkäin ja osoittautuu ikään kuin "funktio funktiosta" - "paketti paketissa".

Koulukurssilla näitä samoja "paketteja" on hyvin vähän, vain neljä:

"Pakkaa" x ensin sisään eksponentti funktio kantaluvulla 7 ja sitten trigonometriseksi funktioksi. Saamme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Ja nyt "pakkaa" x kahdesti trigonometriset funktiot, ensin sisään ja sitten sisään:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Yksinkertaista, eikö?

Kirjoita nyt itse funktiot, missä x:
- ensin se "pakattu" kosiniksi ja sitten eksponentiaaliseksi funktioksi, jonka kantaluku on \(3\);
- ensin viidenteen potenssiin ja sitten tangenttiin;
- ensin kantalogaritmiin \(4\) , sitten potenssiin \(-2\).

Katso vastaukset tähän kysymykseen artikkelin lopusta.

Mutta voimmeko "pakkata" x ei kaksi, vaan kolme kertaa? Ei ongelmaa! Ja neljä, ja viisi ja kaksikymmentäviisi kertaa. Tässä on esimerkiksi funktio, jossa x on "pakattu" \(4\) kertaa:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Mutta tällaisia ​​kaavoja ei löydy koulun käytännössä (oppilaat ovat onnekkaampia - ne voivat olla vaikeampia☺).

Monimutkaisen toiminnon "purkaminen".

Katso edellinen toiminto uudelleen. Voitko selvittää "pakkausjärjestyksen"? Mihin X työnnettiin ensin, mihin sitten ja niin edelleen loppuun asti. Eli mikä funktio on sisäkkäin mihin? Ota paperi ja kirjoita mielipiteesi. Voit tehdä tämän nuoliketjulla, kuten yllä kirjoitimme, tai millä tahansa muulla tavalla.

Nyt oikea vastaus on: ensin "pakattu" x \(4\):teen potenssiin, sitten tulos pakattiin siniin, se puolestaan ​​sijoitettiin logaritmin kantaan \(2\) ja lopussa koko rakennustyöntö työnnettiin tehoviisikoihin.

Eli on tarpeen purkaa sekvenssi KÄÄNTEISESSÄ JÄRJESTYSSÄ. Ja tässä on vihje kuinka tehdä se helpommin: katso vain X:tä - sinun täytyy tanssia siitä. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkiksi tässä on funktio: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Katsomme X:tä – mitä hänelle tapahtuu ensin? Häneltä otettu. Ja sitten? Tuloksen tangentti otetaan. Ja järjestys on sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Toinen esimerkki: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analysoimme - ensin x kuutioitiin ja sitten kosini otettiin tuloksesta. Joten sekvenssi on: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Kiinnitä huomiota, toiminto näyttää olevan samanlainen kuin aivan ensimmäinen (missä kuvilla). Mutta tämä on täysin eri funktio: täällä kuutiossa x (eli \(\cos⁡((x x x)))\) ja siellä kuutiossa kosini \(x\) (eli \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tämä ero johtuu erilaisista "pakkaus"-sekvensseistä.

Viimeinen esimerkki (kanssa tärkeää tietoa siinä): \(y=\sin⁡((2x+5))\). On selvää, että tässä teimme ensin aritmeettisia operaatioita x:llä, sitten tuloksesta otettiin sini: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ja tämä tärkeä pointti: huolimatta siitä, että aritmeettiset operaatiot eivät ole funktioita sinänsä, ne toimivat tässä myös tapana "pakkata". Sukellaanpa hieman syvemmälle tähän hienovaraisuuteen.

Kuten edellä sanoin, yksinkertaisissa funktioissa x "pakattu" kerran ja monimutkaisissa funktioissa - kaksi tai useampi. Lisäksi mikä tahansa yksinkertaisten funktioiden yhdistelmä (eli niiden summa, erotus, kertolasku tai jako) on myös yksinkertainen toiminto. Esimerkiksi \(x^7\) on yksinkertainen funktio, ja niin on myös \(ctg x\). Siksi kaikki niiden yhdistelmät ovat yksinkertaisia ​​toimintoja:

\(x^7+ ctg x\) - yksinkertainen,
\(x^7 ctg x\) on yksinkertainen,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) on yksinkertainen ja niin edelleen.

Kuitenkin, jos tällaiseen yhdistelmään käytetään vielä yhtä funktiota, se on jo monimutkainen funktio, koska "paketteja" on kaksi. Katso kaavio:

Okei, jatketaan nyt. Kirjoita "käärintä"-funktioiden järjestys:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Vastaukset ovat jälleen artikkelin lopussa.

Sisäiset ja ulkoiset toiminnot

Miksi meidän on ymmärrettävä funktioiden sisäkkäisyys? Mitä tämä antaa meille? Asia on siinä, että ilman tällaista analyysiä emme pysty luotettavasti löytämään edellä käsiteltyjen funktioiden johdannaisia.

Ja jotta voimme jatkaa, tarvitsemme vielä kaksi käsitettä: sisäiset ja ulkoiset toiminnot. Tämä on hyvin yksinkertainen asia, lisäksi itse asiassa olemme jo analysoineet niitä edellä: jos muistamme analogiamme heti alussa, niin sisäinen toiminto on "paketti" ja ulompi on "laatikko". Nuo. se, mihin X on "kääritty" ensin, on sisäinen toiminto, ja se, mihin sisäinen "kääritään", on jo ulkoista. No, on ymmärrettävää miksi - se on ulkopuolella, se tarkoittaa ulkoista.

Tässä esimerkissä: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funktio \(\log_2⁡x\) on sisäinen ja
-ulkoinen.

Ja tässä: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) on sisäinen ja
-ulkoinen.

Suorita viimeinen harjoitus monimutkaisten funktioiden analysoinnille ja siirrytään lopuksi siihen pisteeseen, jota varten kaikki aloitettiin - löydämme monimutkaisten funktioiden johdannaisia:

Täytä taulukon aukot:

Yhdistelmäfunktion johdannainen

Bravo meille, pääsimme silti tämän aiheen "pomoon" - itse asiassa monimutkaisen funktion johdannaiseen ja nimenomaan siihen erittäin kauheaan kaavaan artikkelin alusta.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tämä kaava kuuluu näin:

Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin ulkoisen funktion derivaatan tulo vakion sisäisen funktion suhteen ja sisäisen funktion derivaatan tulo.

Ja katso heti jäsennysjärjestelmää sanojen mukaan ymmärtääksesi, mihin liittyy:

Toivon, että termit "johdannainen" ja "tuote" eivät aiheuta vaikeuksia. "Monimutkainen toiminto" - olemme jo purkaneet. Saalis on "ulkoisen funktion johdannainen suhteessa vakioon sisäiseen toimintoon". Mikä se on?

Vastaus: tämä on tavallinen ulomman funktion derivaatta, jossa vain ulompi funktio muuttuu, kun taas sisempi pysyy samana. Vieläkö epäselvä? Okei, otetaan esimerkki.

Oletetaan, että meillä on funktio \(y=\sin⁡(x^3)\). On selvää, että sisäinen funktio tässä on \(x^3\) ja ulompi
. Etsitään nyt ulomman derivaatta vakion sisäisen suhteen.