Maxwellin yhtälöt ovat eniten yleiset yhtälöt sähkö- ja magneettikentille levossa olevissa väliaineissa. Maxwellin yhtälöistä seuraa, että vaihtuva magneettikenttä liittyy aina sen synnyttämään sähkökenttään ja vaihtuva sähkökenttä aina sen tuottamaan magneettikenttään, ts. sähkö- ja magneettikentät liittyvät erottamattomasti toisiinsa - ne muodostavat yhden sähkömagneettisen kentän.

Maxwellin ensimmäinen yhtälö määrittää sähkökentän lähteet. Sähkövaraukset luovat ympärilleen sähkökenttiä. Tämän yhtälön fyysinen merkitys koostuu siitä, että sähkökenttä tietyllä avaruuden alueella liittyy sähkövaraukseen tämän pinnan sisällä.

Tämän yhtälön lähtökohta on Gaussin yhtälö, joka sanoo, että vektorin virtaus suljetun pinnan läpi S yhtä suuri kuin maksu q tämän pinnan sisällä:

Missä ρ on bulkkivaraustiheys.

Differentiaalimuodon saamiseksi käytämme Gauss-Ostrogradsky-lausetta, joka muodostaa yhteyden tilavuus- ja pintaintegraalien välille:

Vektorikentän divergenssi (divergenssi) on kenttälähteen tehon arvo.

Divergenssi on skalaarisuure:

Maxwellin toinen yhtälö määrittää kaikille magneettikentille vapaiden magneettisten varausten puuttumisen ja sen tosiasian, että magneettiset voimalinjat ovat aina suljettuja. SISÄÄN yhtenäinen muoto tämä tosiasia on kirjoitettu yhtälöksi:

Magneettisen induktiovektorin virta suljetun pinnan läpi on nolla, koska luonnosta ei ole löydetty samanmerkkisiä magneettivarauksia.

Gauss-Ostrogradsky-lausetta soveltaen:

Maxwellin kolmas yhtälö on Faradayn induktiolain yleistys dielektriselle väliaineelle vapaassa tilassa

Missä F- magneettisen induktion vuo, joka tunkeutuu johtavaan piiriin ja luo siihen EMF:n.

EMF ei synny vain johtavassa piirissä, vaan myös jossain dielektrisessä piirissä sähköisen siirtovirran muodossa.

Maxwellin toisen yhtälön fysikaalinen merkitys on, että sähkökenttä jossain avaruuden alueella liittyy muutokseen magneettikenttä ajoissa tällä alueella. Nuo. vaihtuva magneettikenttä synnyttää pyörteisen sähkökentän.

Käytämme Stokes-yhtälöä, joka muuttaa ääriviivaintegraalin pintaintegraaliksi:

Tämä yhtäläisyys on voimassa, jos integrandit ovat yhtä suuret:

Maxwellin neljäs yhtälö on yleistys Amperen ja Biot-Savarren laista siirtymävirroille: magneettikentän voimakkuusvektorin kierto suljetussa piirissä on yhtä suuri kuin tämän piirin läpäisevä kokonaisvirta.

Maxwellin ensimmäisen yhtälön fysikaalinen merkitys koostuu siitä, että magneettikenttä tietyllä avaruuden alueella ei liity pelkästään tällä alueella virtaaviin johtavuusvirtoihin, vaan myös sähkökentän muutokseen ajan myötä tällä alueella (siirtymävirrat).

Vektorikierto ääriviivaa pitkin L on yhtä suuri kuin johtavuus- ja siirtymävirtojen summa.

Saamme Maxwellin yhtälön differentiaalimuodon. Tätä varten käytämme Stokes-yhtälöä, joka muuntaa ääriviivaintegraalin pintaintegraaliksi:

Tämä yhtäläisyys on voimassa, jos integrandit ovat yhtä suuret:

Maxwellin yhtälöihin sisältyvät suureet eivät ole riippumattomia, ja niiden välillä on seuraava suhde (isotrooppinen ei-ferrosähköinen ja ei-ferromagneettinen media):

missä ja ovat sähkö- ja magneettivakiot, vastaavasti,

ε ja μ ovat vastaavasti dielektrinen ja magneettinen permeabiliteetti,

on aineen ominaisjohtavuus.

Tasosähkömagneettisen aallon (EMW) yhtälö. EMW:n poikittaisluonne. Amplitudi- ja vaihesuhteet. Sähkömagneettisten aaltojen etenemisnopeus väliaineissa. Sähkömagneettisen aallon energia. Osoittava vektori.

Sähkömagneettisten värähtelyjen etenemisprosessia avaruudessa kutsutaan sähkömagneettinen aalto. Sähkömagneettisella aallolla intensiteettivektorit värähtelevät toisiaan kohtisuorassa tasossa yhdessä vaiheessa - ne samanaikaisesti katoavat ja saavuttavat samanaikaisesti maksimiarvot.

On taso-, pallo-, sylinterimäisiä ja muita aaltoja. Yksinkertaisimmat näistä ovat tasoaallot. tasainen kutsutaan aalloksi, jossa pinnat ovat yhtä suuret - yhdensuuntaiset tasot. Jos saman amplitudin pinnat ovat yhtäpitäviä saman faasien pintojen kanssa, niin tällaista aaltoa kutsutaan ns. homogeeninen.

Homogeenisessa aallossa vektorit muuttuvat avaruudessa vain yhdessä suunnassa, kohtisuorassa tämän aallon vaiherintamaa vastaan ​​ja samaan aikaan sen etenemissuunnan kanssa.

EMV on poikittainen aallot, ts. vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja sijaitsevat tasossa, joka on kohtisuorassa aallon etenemissuuntaa vastaan.

Tutkitaan tasaista EMW:tä, joka etenee homogeenisessa neutraalissa ei-johtavassa väliaineessa, jolla on vakiot läpäisevyydet .

Maxwellin syrjäytysvirran käsitteen käyttöönotto johti hänen luomaansa sähkömagneettisen kentän makroskooppisen teorian valmistumiseen, mikä mahdollistaa yhtenäisen näkökulman selittää sähköisten ja magneettisten ilmiöiden lisäksi myös uusia, jonka olemassaolo myöhemmin vahvistettiin.

Maxwellin teoria perustuu neljään yhtälöön:

1. Sähkökenttä voi olla sekä potentiaalia että pyörrettä, joten tuloksena olevan kentän voimakkuus on:

Tämä yhtälö näyttää että magneettikenttiä voidaan virittää joko liikkuvilla varauksilla (sähkövirroilla) tai vaihtuvilla sähkökentillä.

3. Gaussin lause kenttään:

Saamme

Joten täydellinen Maxwellin yhtälöjärjestelmä integraalimuodossa:

	1),
	2),

Maxwellin yhtälöiden suureet eivät ole itsenäisiä ja niiden välillä on yhteys.

Isotrooppisille, ei-ferrosähköisille ja ei-ferromagneettisille välineille kirjoitamme kytkentäkaavat:

	b) ,
	V) ,

missä on sähkövakio, on magneettivakio,

Väliaineen dielektrinen permittiivisyys, m - väliaineen magneettinen permeabiliteetti,

r - spesifinen sähkövastus, - sähkönjohtavuus.

Maxwellin yhtälöistä seuraa, että Mitä:

Sähkökentän lähde voi olla joko sähkövarauksia tai ajallisesti muuttuvia magneettikenttiä, joita voidaan virittää joko liikkuvilla sähkövarauksilla (virroilla) tai vaihtuvilla sähkökentillä.

Maxwellin yhtälöt eivät ole symmetrisiä sähkö- ja magneettikenttien suhteen. Tämä johtuu siitä, että luonnossa ei ole magneettisia varauksia.

If ja (stationaariset kentät), silloin Maxwellin yhtälöt ovat seuraavassa muodossa:

Kiinteän sähkökentän lähteet ovat vain sähkövarauksia, kiinteän magneettikentän lähteet vain johtavuusvirtoja .

Sähkö- ja magneettikentät ovat tässä tapauksessa toisistaan ​​riippumattomia, mikä mahdollistaa vakioiden sähkö- ja magneettikenttien erillisen tutkimisen.

Maxwellin yhtälöiden differentiaalinen kirjoitusmuoto:

	3) ,

Maxwellin yhtälöiden integraalimuoto on yleisempi, jos on epäjatkuvuuspintoja. Maxwellin yhtälön kirjoittamisen differentiaalinen muoto olettaa, että kaikki suureet avaruudessa ja ajassa muuttuvat jatkuvasti.

Maxwellin yhtälöt ovat yleisimmät yhtälöt levossa olevien väliaineiden sähkö- ja magneettikentille. Niillä on sama tärkeä rooli sähkömagnetismin teoriassa kuin Newtonin lait mekaniikassa. Maxwellin yhtälöistä seuraa, että vaihtuva magneettikenttä liittyy aina vaihtuvaan sähkökenttään ja vaihtuva sähkökenttä aina sen tuottamaan magneettikenttään, ts. sähkö- ja magneettikentät liittyvät erottamattomasti toisiinsa - ne muodostavat yhden sähkömagneettisen kentän.

Maxwellin yhtälöiden ominaisuudet

Maxwellin yhtälöt ovat lineaarisia. Ne sisältävät vain kenttien E ja B ensimmäiset derivaatat aika- ja paikkakoordinaattien suhteen sekä sähkövarausten ja virtojen j tiheyden ensimmäiset asteet. Maxwellin yhtälöiden lineaarisuuden ominaisuus liittyy superpositioperiaatteeseen, jos mikä tahansa kaksi kenttää täyttää Maxwellin yhtälön, niin tämä pätee myös näiden kenttien summaan.

Maxwellin yhtälöt sisältävät jatkuvuusyhtälöitä, jotka ilmaisevat säilymislakia sähkövaraus. Jatkuvuusyhtälön saamiseksi on tarpeen ottaa ero ensimmäisen Maxwellin yhtälön molemmista osista differentiaalimuodossa:

Maxwellin yhtälöt pätevät kaikissa inertiaviittauksissa. Ne ovat relativistisesti muuttumattomia. Tämä on seurausta suhteellisuusperiaatteesta, jonka mukaan kaikki inertiaaliset viitekehykset ovat fyysisesti ekvivalentteja toisilleen. Maxwellin yhtälöiden muoto ei muutu siirryttäessä inertiaalisesta viitekehyksestä toiseen, mutta niihin sisältyvät suureet muuttuvat tietyt säännöt. Nuo. Maxwellin yhtälöt ovat oikeita relativistisia yhtälöitä, toisin kuin esimerkiksi Newtonin mekaniikkayhtälöt.

Maxwellin yhtälöt ovat epäsymmetrisiä sähkö- ja magneettikenttien suhteen. Tämä johtuu siitä, että luonnossa sähkövarauksia on, mutta magneettisia varauksia ei ole.

Maxwellin yhtälöistä seuraa tärkeä johtopäätös pohjimmiltaan uuden ilmiön olemassaolosta: sähkömagneettinen kenttä voi olla olemassa itsenäisesti - ilman sähkövarauksia ja virtoja. Samalla sen muutoksella on välttämättä aaltoluonteinen. Tällaisia ​​kenttiä kutsutaan sähkömagneettisiksi aalloksi. Tyhjiössä ne etenevät aina nopeudella sama nopeus Sveta. Maxwellin teoria ennusti sähkömagneettisten aaltojen olemassaolon ja mahdollisti niiden kaikkien perusominaisuuksien määrittämisen.

Maxwellin yhtälöjärjestelmä on yleistys sähköisten ja sähkömagneettisten ilmiöiden peruslaeista. Hän kuvailee kaikki sähkömagneettisia ilmiöitä. Sähkömagneettisen kentän teorian perustana tämä yhtälöjärjestelmä mahdollistaa ongelmien ratkaisemisen, jotka liittyvät sähkö- ja magneettikenttien löytämiseen tietyn sähkövarausten ja virtojen jakauman avulla. olivat lähtökohta Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian luomiselle. Maxwellin teoria paljastaa valon sähkömagneettisen luonteen. Yhtälöt muotoili J. Maxwell 1800-luvun 60-luvulla empiiristen lakien yleistyksen ja ennen häntä sähkömagneettisia ilmiöitä tutkineiden tiedemiesten ideoiden kehityksen perusteella (Coulombin, Biot-Savartin, Ampèren ja , erityisesti Faradayn tutkimukset). Maxwell itse kirjoitti muistiin 20 yhtälöä 20 tuntemattomaan differentiaalimuodossa, jotka myöhemmin muunnettiin. Moderni muoto Maxwellin antoivat saksalainen fyysikko G. Hertz ja englantilainen fyysikko O. Heaviside. Kirjoitamme yhtälöt Gaussin yksikköjärjestelmän avulla.

Maxwellin yhtälöjärjestelmä

Maxwellin yhtälöjärjestelmä sisältää neljä yhtälöä.

Ensimmäinen yhtälö:

Tämä on Faradayn laki (sähkömagneettisen induktion laki).

missä on sähkökentän voimakkuus, on magneettinen induktiovektori, c on valon nopeus tyhjiössä.

Tämä yhtälö sanoo, että sähkökentän voimakkuuden roottori on yhtä suuri kuin tämän piirin läpi kulkevan magneettisen induktiovektorin vuo (eli ajan muutosnopeus).

Yhtälö (1.1) on ensimmäinen Maxwellin yhtälö differentiaalimuodossa.

Sama yhtälö voidaan kirjoittaa integraalimuodossa, niin se saa seuraavan muodon:

missä on magneettisen induktiovektorin alueen dS projektio normaaliin,

- magneettinen virtaus.

Sähkökentän voimakkuusvektorin kierto suljettua silmukkaa L (induktiivinen emf) pitkin määräytyy tämän silmukan rajaaman pinnan läpi kulkevan magneettisen induktiovektorin vuon muutosnopeudella. Miinusmerkki Lenzin säännön mukaan tarkoittaa induktiovirran suuntaa.

Maxwellin mukaan sähkömagneettisen induktion laki (ja tämä on juuri se) pätee mille tahansa suljetulle piirille, joka on mielivaltaisesti valittu vaihtuvassa magneettikentässä.

Tämän yhtälön merkitys: Muuttuva magneettikenttä missä tahansa avaruuden kohdassa luo pyörresähkökentän.

Maxwellin toinen yhtälö:

missä on magneettisen intensiteetin vektori, on sähkövirran tiheys, on sähkösiirtymän vektori.

Tämä Maxwell-yhtälö on yleistys Biot-Savartin empiirisesta laista, jonka mukaan sähkövirrat herättävät magneettikenttiä. Toisen yhtälön tarkoitus on, että pyörremagneettikentän lähde on myös vaihtuva sähkökenttä, jonka magneettiselle vaikutukselle on tunnusomaista syrjäytysvirta. (-siirtymävirran tiheys).

Integraalimuodossa Maxwellin toinen yhtälö (magneettikentän kiertolause) esitetään seuraavasti:

Magneettikentän voimakkuusvektorin kierto mielivaltaista ääriviivaa pitkin on yhtä suuri kuin algebrallinen summa piiriin kytketyt johtavuusvirrat ja siirtymävirta.

Kun Maxwell esitteli yhtälöt (yli sata vuotta sitten!), sähkömagneettisen kentän luonne ei ollut selvä. Tällä hetkellä alan luonne on selkiytynyt ja on tullut selväksi se, mitä voidaan kutsua "ajankohtaiseksi" vain muodollisesti. Useista laskentasyistä tällainen nimi, antamatta sille suoraa fyysistä merkitystä, on tarkoituksenmukaista säilyttää, mikä tehdään sähkötekniikassa. Samasta syystä siirtymävirran lausekkeeseen sisältyvää vektoria D kutsutaan sähkösiirtymävektoriksi.

Kahden ensimmäisen yhtälön lisäksi Maxwell-yhtälöjärjestelmä sisältää Gauss-Ostrogradsky-lauseen sähkö- ja magneettikentille:

missä on sähkövaraus.

Mikä yhtenäisessä muodossa on seuraava:

missä on sähkösiirtymän vuo on magneettisen induktion vuo suljetun pinnan läpi, joka sulkee sisäänsä vapaan varauksen q.

Yhtälön 3.2 merkitys. Sähkövaraus on sähköisen induktion lähde.

Yhtälö 4.2 ilmaisee sen tosiasian, että vapaita magneettivarauksia ei ole.

Täydellinen Maxwellin yhtälöjärjestelmä sisään differentiaalinen muoto(kuvaa kenttää kussakin avaruuden pisteessä):

Täydellinen Maxwell-yhtälöjärjestelmä integraalimuodossa

Täydellinen Maxwellin yhtälöjärjestelmä integraalimuodossa (yhtälöiden kirjoittamisen integraalinen muoto helpottaa niiden fyysistä tulkintaa, koska se tekee niistä visuaalisesti lähempänä tunnettuja empiirisiä lakeja):

Maxwellin yhtälöjärjestelmää on täydennetty "materiaaliyhtälöillä", jotka yhdistävät vektorit sähköä kuvaavilla määrillä magneettiset ominaisuudet ympäristöön.

missä on suhteellinen permittiivisyys, on suhteellinen magneettinen permeabiliteetti, on sähkönjohtavuus, on sähköinen vakio ja on magneettinen vakio. Väliaineen oletetaan olevan isotrooppinen, ei-ferromagneettinen, ei-ferrosähköinen.

Kahden median välisessä rajapinnassa seuraavat rajaehdot täyttyvät:

missä on vapaiden varausten pintatiheys, n on rajapinnan normaalin yksikkövektori, joka on vedetty 2-1-väliaineesta, rajapinnan tangentti yksikkövektori on pintajohtavuusvirtojen tiheysvektorin projektio yksikkövektoriin .

Nämä yhtälöt ilmaisevat magneettisen induktiovektorin normaalikomponenttien jatkuvuuden ja siirtymävektorin normaalikomponenttien hypyn. Sähkökentän voimakkuusvektorin tangenttikomponenttien jatkuvuus rajapinnassa ja näiden komponenttien hyppy magneettikentän voimakkuudelle.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

ESIMERKKI 1

Harjoittele	Hanki Maxwellin yhtälöjärjestelmästä yhtälöt virtojen jatkuvuudelle ja varauksen säilymisen laille.
Ratkaisu	Käytämme yhtälöä: Suoritetaan sille divergenttioperaatio ( tai ). Saamme: Maxwellin yhtälöjärjestelmästä tiedämme, että , (c) Korvaamalla (c) kappaleeseen (b), saadaan: tämä tarkoittaa tai kiinteässä muodossa: Vastaavasti suljetuille eristetyille alueille saamme: Tämä on virran jatkuvuusyhtälö, joka sisältää varauksen säilymisen lain - yhden perusperiaatteista, joka on vahvistettu kokeella.

ESIMERKKI 2

Harjoittele	Osoita, että silmukkaan kytkettyjen johtavuus- ja siirtymävirtojen summa on todella jatkuva, ja siksi mihin tahansa silmukkaan kytketty kokonaisvirta ei riipu tämän silmukan kattaman pinnan valinnasta.
Todiste	Oletetaan, että mielivaltaisessa magneettikentässä on kaksi mielivaltaista pintaa ja ne ulottuvat jonkin ääriviivan kautta. (Kuva 3)

Yksityiskohdat Luokka: Sähkö ja magnetismi Lähetetty 6.5.2015 20:46 Katselukerrat: 12184

Muuttuvat sähkö- ja magneettikentät voivat tietyissä olosuhteissa aiheuttaa toisiaan. Ne muodostavat sähkömagneettisen kentän, joka ei ole niiden kokonaisuus. Tämä on yksi kokonaisuus, jossa nämä kaksi kenttää eivät voi olla olemassa ilman toisiaan.

Historiasta

Tanskalaisen tiedemiehen Hans Christian Oerstedin vuonna 1821 tekemä koe osoitti, että sähkövirta synnyttää magneettikentän. Vaihtuva magneettikenttä puolestaan ​​pystyy tuottamaan sähkövirran. Tämän todisti englantilainen fyysikko Michael Faraday, joka löysi sähkömagneettisen induktion ilmiön vuonna 1831. Hän on myös termin "sähkömagneettinen kenttä" kirjoittaja.

Noihin aikoihin Newtonin käsitys pitkän kantaman toiminnasta hyväksyttiin fysiikassa. Uskottiin, että kaikki ruumiit vaikuttavat toisiinsa tyhjyyden läpi äärettömän suurella nopeudella (melkein välittömästi) ja millä tahansa etäisyydellä. Oletettiin, että sähkövaraukset vuorovaikuttavat samalla tavalla. Faraday puolestaan ​​uskoi, että tyhjyyttä ei ole luonnossa, ja vuorovaikutus tapahtuu rajallisella nopeudella tietyn aineellisen väliaineen kautta. Tämä sähkövarausten väliaine on elektromagneettinen kenttä. Ja se etenee nopeudella, joka on yhtä suuri kuin valon nopeus.

Maxwellin teoria

Yhdistämällä aikaisempien tutkimusten tulokset, Englantilainen fyysikko James Clerk Maxwell perustettiin vuonna 1864 sähkömagneettisen kentän teoria. Sen mukaan muuttuva magneettikenttä synnyttää muuttuvan sähkökentän ja vaihtuva sähkökenttä vaihtuvan magneettikentän. Tietenkin aluksi yksi kentistä syntyy varausten tai virtojen lähteestä. Mutta tulevaisuudessa nämä kentät voivat jo olla olemassa tällaisista lähteistä riippumatta, mikä aiheuttaa toistensa ilmentymistä. Tuo on, sähkö- ja magneettikentät ovat yhden sähkömagneettisen kentän komponentteja. Ja jokainen muutos yhdessä aiheuttaa toisen ilmentymisen. Tämä hypoteesi muodostaa perustan Maxwellin teorialle. Magneettikentän tuottama sähkökenttä on pyörre. Hänen voimalinjansa ovat kiinni.

Tämä teoria on fenomenologinen. Tämä tarkoittaa, että se perustuu oletuksiin ja havaintoihin, eikä ota huomioon syytä, joka aiheuttaa sähkö- ja magneettikenttien esiintymisen.

Sähkömagneettisen kentän ominaisuudet

Sähkömagneettinen kenttä on yhdistelmä sähkö- ja magneettikenttiä, joten sen jokaisessa pisteessä sen avaruudessa kuvataan kahdella pääsuureella: sähkökentän voimakkuus E ja magneettikentän induktio SISÄÄN .

Koska sähkömagneettinen kenttä on prosessi, jossa sähkökenttä muunnetaan magneettikentäksi ja sitten magneettikenttä sähköiseksi, sen tila muuttuu jatkuvasti. Avaruudessa ja ajassa leviäessään se muodostaa sähkömagneettisia aaltoja. Taajuudesta ja pituudesta riippuen nämä aallot jaetaan radioaallot, terahertsisäteily, infrapunasäteily, näkyvä valo, ultraviolettisäteily, röntgensäteet ja gammasäteily.

Sähkömagneettisen kentän intensiteetti- ja induktiovektorit ovat keskenään kohtisuorassa, ja taso, jossa ne sijaitsevat, on kohtisuorassa aallon etenemissuuntaan nähden.

Pitkän kantaman toiminnan teoriassa sähkömagneettisten aaltojen etenemisnopeutta pidettiin äärettömän suurena. Maxwell kuitenkin osoitti, että näin ei ollut. Aineessa sähkömagneettiset aallot etenevät äärellisellä nopeudella, joka riippuu aineen dielektrisestä ja magneettisesta läpäisevyydestä. Siksi Maxwellin teoriaa kutsutaan lyhyen kantaman teoriaksi.

Saksalainen fyysikko Heinrich Rudolf Hertz vahvisti Maxwellin teorian kokeellisesti vuonna 1888. Hän todisti, että sähkömagneettisia aaltoja on olemassa. Lisäksi hän mittasi sähkömagneettisten aaltojen etenemisnopeuden tyhjiössä, joka osoittautui yhtä suureksi kuin valon nopeus.

Integroidussa muodossa tämä laki näyttää tältä:

Gaussin laki magneettikentästä

Magneettisen induktion vuo suljetun pinnan läpi on nolla.

Tämän lain fyysinen merkitys on, että luonnossa ei ole magneettisia varauksia. Magneetin napoja ei voi erottaa toisistaan. Magneettikentän voimalinjat ovat suljettuja.

Faradayn induktiolaki

Magneettisen induktion muutos aiheuttaa pyörteen sähkökentän ilmaantumisen.

,

Magneettikentän kiertolause

Tämä lause kuvaa magneettikentän lähteitä sekä itse niiden luomia kenttiä.

Sähkövirta ja sähköinduktion muutos synnyttävät pyörremagneettikentän.

,

,

E on sähkökentän voimakkuus;

H on magneettikentän voimakkuus;

SISÄÄN- magneettinen induktio. Tämä on vektorisuure, joka osoittaa, kuinka vahvasti magneettikenttä vaikuttaa nopeudella v liikkuvaan q:n varaukseen;

D- sähköinen induktio tai sähköinen siirtymä. on vektorisuure, yhtä suuri kuin summa jännitysvektori ja polarisaatiovektori. Polarisaatio johtuu sähkövarausten siirtymisestä ulkoisen sähkökentän vaikutuksesta suhteessa niiden sijaintiin, kun tällaista kenttää ei ole.

Δ on Nabla-operaattori. Tämän operaattorin toimintaa tietyssä kentässä kutsutaan tämän kentän roottoriksi.

Δ x E = rot E

ρ - ulkoisen sähkövarauksen tiheys;

j- virrantiheys - arvo, joka osoittaa yksikköpinta-alan läpi kulkevan virran voimakkuuden;

Kanssa on valon nopeus tyhjiössä.

Tiede, joka tutkii sähkömagneettista kenttää, on ns sähködynamiikka. Hän harkitsee sen vuorovaikutusta kappaleiden kanssa, joissa on sähkövaraus. Tällaista vuorovaikutusta kutsutaan sähkömagneettinen. Klassinen sähködynamiikka kuvaa vain sähkömagneettisen kentän jatkuvia ominaisuuksia Maxwellin yhtälöiden avulla. Nykyaikainen kvanttielektrodynamiikka katsoo, että sähkömagneettisella kentällä on myös diskreettejä (epäjatkuvia) ominaisuuksia. Ja tällainen sähkömagneettinen vuorovaikutus tapahtuu jakamattomien hiukkasten-kvanttien avulla, joilla ei ole massaa ja varausta. Sähkömagneettisen kentän kvanttia kutsutaan fotoni .

Sähkömagneettinen kenttä ympärillämme

Sähkömagneettinen kenttä muodostuu minkä tahansa vaihtovirtajohtimen ympärille. Sähkömagneettisten kenttien lähteitä ovat voimalinjat, sähkömoottorit, muuntajat, kaupunkien sähköliikenne, rautatieliikenne, sähköiset ja elektroniset kodinkoneet - televisiot, tietokoneet, jääkaapit, silitysraudat, pölynimurit, langattomat puhelimet, Kännykät, sähköparranajokoneet - sanalla sanoen kaikki, mikä liittyy sähkön kulutukseen tai siirtoon. Voimakkaita sähkömagneettisten kenttien lähteitä ovat televisiolähettimet, matkapuhelinasemien antennit, tutka-asemat, mikroaaltouunit jne. Ja koska tällaisia ​​laitteita on ympärillämme melko paljon, sähkömagneettiset kentät ympäröivät meitä kaikkialla. Nämä kentät vaikuttavat ympäristöön ja henkilö. Ei voida sanoa, että tämä vaikutus olisi aina negatiivinen. Sähkö- ja magneettikentät ovat olleet ihmisen ympärillä jo pitkään, mutta niiden säteilyn teho muutama vuosikymmen sitten oli satoja kertoja pienempi kuin nykyään.

Tietylle tasolle asti sähkömagneettinen säteily voi olla turvallista ihmisille. Joten lääketieteessä matalan intensiteetin sähkömagneettisen säteilyn avulla kudokset paranevat, poistavat tulehdusprosessit ja niillä on kipua lievittävä vaikutus. UHF-laitteet lievittävät suoliston ja vatsan sileiden lihasten kouristuksia, parantavat aineenvaihduntaprosesseja kehon soluissa, alentavat kapillaarien sävyä ja alentavat verenpainetta.

Mutta vahvat sähkömagneettiset kentät aiheuttavat toimintahäiriöitä sydän- ja verisuonijärjestelmässä, immuunijärjestelmässä, endokriinisissä ja hermostoa henkilö voi aiheuttaa unettomuutta, päänsärkyä, stressiä. Vaarana on, että niiden vaikutus on ihmisille lähes huomaamaton, ja rikkomukset tapahtuvat vähitellen.

Kuinka voimme suojautua ympärillämme olevalta sähkömagneettiselta säteilyltä? Tätä on mahdotonta tehdä kokonaan, joten sinun on yritettävä minimoida sen vaikutus. Ensinnäkin sinun on järjestettävä kodinkoneet siten, että ne ovat poissa paikoista, joissa olemme useimmiten. Älä esimerkiksi istu liian lähellä televisiota. Loppujen lopuksi, mitä kauempana on etäisyys sähkömagneettisen kentän lähteestä, sitä heikommaksi se tulee. Hyvin usein jätämme laitteen kytkettynä. Mutta sähkömagneettinen kenttä katoaa vain, kun laite irrotetaan verkkovirrasta.

Ihmisten terveyteen vaikuttavat myös luonnolliset sähkömagneettiset kentät - kosminen säteily, maapallon magneettikenttä.

Maxwellin yhtälöt— differentiaaliyhtälöjärjestelmä, joka kuvaa sähkömagneettista kenttää ja sen yhteyttä sähkövarauksiin ja virtoihin tyhjiössä ja jatkuvassa väliaineessa. Yhdessä Lorentzin voiman lausekkeen kanssa ne muodostavat täydellisen klassisen yhtälöjärjestelmän sähködynamiikka. James Clerk Maxwellin 1800-luvun puoliväliin mennessä kertyneiden kokeellisten tulosten perusteella laatimilla yhtälöillä oli keskeinen rooli teoreettisen fysiikan käsitteiden kehityksessä ja niillä oli vahva, usein ratkaiseva vaikutus paitsi kaikilla suoraan liittyvään fysiikkaan sähkömagnetismi, mutta myös monista myöhemmin syntyneistä perustavanlaatuisista teorioista, joiden aihe ei rajoittunut sähkömagnetismiin (yksi kirkkaimpia esimerkkejä Tässä tulee esiin erityinen suhteellisuusteoria.

Sisältö[poista] 1. Historia 2. Maxwellin yhtälöiden ja yksikköjärjestelmien kirjoittaminen 3. Differentiaalimuoto 4. Integraalimuoto 5. Lorentz-voima 6. Maxwellin yhtälöiden ulottuvuusvakiot 7. Maxwellin yhtälöt väliaineessa 7.1 Sidotut varaukset ja virrat 7.2 Materiaalit 7.3 Yhtälöt isotrooppisissa ja homogeenisissa väliaineissa ilman dispersiota o 7.4 Rajaehdot 8. Säilyvyyslait 8.1 Jatkuvuusyhtälö o 8.2 Energian säilymislaki 9. Potentiaalit 9.1 Skalaari- ja vektoripotentiaalit 9.2 Hertsivektorit 9.3 Debye-S-vektorit. o 10.1 Neljä -ulotteiset vektorit 10.2 Sähkömagneettisen kentän tensori o 10.3 Lagrangian 10.4 Differentiaalimuotojen merkintä 10.5 Komponenttien yleinen kovarianttimerkintä 11. Spektriesitys 12. Yhtälöt ilman vapaita varauksia ja virtoja 12.1 Aaltoyhtälöt 12.13.12. liikkuva piste varaus 13.2 Tasosähkömagneettiset aallot 14 Yhteys muihin teorioihin 15. Aksiomaattinen lähestymistapa 16. Maxwellin yhtälöiden ratkaisujen ainutlaatuisuus 17. Maxwellin yhtälöiden numeerinen ratkaisu 18. Lähteet 19. Muistiinpanot 20. Katso myös 21. Kirjallisuus 21. 21.1.1 kehityshistoriallinen julkaisu 21.21. Yleiset kurssit fysiikka 21.4 Teoreettisen fysiikan kurssit 21.5 Maxwellin yhtälöiden ratkaisut 22. Linkkejä

Tarina

James Clerk Maxwellin muotoilemat yhtälöt syntyivät useista tärkeistä kokeellisista löydöistä, jotka tehtiin 1800-luvun alussa. Vuonna 1820 Hans Christian Oersted havaitsi, että johdon läpi kulkeva galvaaninen virta saa kompassin magneettisen neulan poikkeamaan. Tämä löytö herätti laajan huomion tuon ajan tutkijoissa. Samana vuonna 1820 Biot ja Savart löysivät kokeellisesti ilmaisun virran synnyttämälle magneettiselle induktiolle ( Bio-Savartin laki), ja André Marie Ampere havaitsi, että vuorovaikutusta etäisyyden päässä tapahtuu myös kahden johtimen välillä, joiden läpi virta kulkee. Ampere esitteli termin "elektrodynaaminen" ja esitti hypoteesin, että luonnollinen magnetismi liittyy ympyrävirtojen olemassaoloon magneetissa.

Oerstedin löytämä virran vaikutus magneetiin johti Michael Faradayn ajatukseen, että magneetilla täytyy olla käänteinen vaikutus virtoihin. Pitkien kokeiden jälkeen vuonna 1831 Faraday havaitsi, että johtimen lähellä liikkuva magneetti synnyttää johtimeen sähkövirran. Tätä ilmiötä on kutsuttu elektromagneettinen induktio. Faraday esitteli "voimien kentän" käsitteen - tietyn väliaineen, joka sijaitsee varausten ja virtojen välissä. Hänen väitteensä olivat laadullisia, mutta niillä oli valtava vaikutus Maxwellin tutkimukseen.

Faradayn löytöjen jälkeen kävi selväksi, että vanhat sähkömagnetismin mallit (Ampère, Poisson jne.) olivat epätäydellisiä. Pian Weberin pitkän kantaman toimintaan perustuva teoria ilmestyi. Kuitenkin siihen mennessä kaikki fysiikka, paitsi gravitaatioteoria, käsitteli vain lyhyen kantaman voimia (optiikka, termodynamiikka, jatkumomekaniikka jne.). Gauss, Riemann ja monet muut tutkijat arvelivat, että valolla on sähkömagneettista luonnetta, joten sähkömagneettisten ilmiöiden teorian on myös oltava lyhyen kantaman. Tästä periaatteesta tuli Maxwellin teorian olennainen piirre.

Maxwell kirjoitti kuuluisassa traktaatissaan sähköstä ja magnetismista (1873):

"Aloitessani tutkia Faradayn työtä, huomasin, että hänen menetelmänsä ymmärtää ilmiöitä oli myös matemaattinen, vaikkakaan ei esitetty tavallisessa muodossa. matemaattiset symbolit. Huomasin myös, että tämä menetelmä voidaan ilmaista tavanomaisessa matemaattisessa muodossa ja siten verrata ammattimatemaatikoiden menetelmiin.

Korvaamalla Faradayn termin "voimien kenttä" käsitteellä "kenttävoimakkuus", Maxwell teki siitä teoriansa keskeisen kohteen:

Jos hyväksymme tämän ympäristön hypoteesiksi, uskon, että sen tulisi olla tutkimuksessamme näkyvällä paikalla ja että meidän pitäisi yrittää rakentaa rationaalinen käsitys kaikista sen toiminnan yksityiskohdista, mikä on ollut jatkuva tavoitteeni tässä. tutkielma.

Tällainen sähködynaaminen väliaine oli täysin uusi käsite Newtonin fysiikassa. Jälkimmäinen tutki aineellisten kappaleiden välistä vuorovaikutusta. Maxwell puolestaan ​​kirjoitti muistiin yhtälöt, joita väliaineen on toteltava ja jotka määräävät varausten ja virtojen vuorovaikutuksen ja ovat olemassa myös niiden puuttuessa.

Sähkövirta saa aikaan magneettisen induktion ( Ampèren laki)

Analysoimalla tunnettuja kokeita Maxwell sai yhtälöjärjestelmän sähkö- ja magneettikentille. Vuonna 1855, aivan ensimmäisessä artikkelissaan "Faraday's Lines of Force", hän kirjoitti ensimmäisen kerran sähködynamiikan yhtälöjärjestelmän differentiaalimuodossa, mutta ottamatta käyttöön siirtymävirtaa. Tällainen yhtälöjärjestelmä kuvasi kaikki siihen mennessä tunnetut kokeelliset tiedot, mutta ei antanut varauksia ja virtoja toisiinsa eikä ennustaa sähkömagneettisia aaltoja. Maxwell esitteli siirtymävirran ensimmäisen kerran vuonna 1861-1862 julkaistussa neliosaisessa artikkelissa On Physical Lines of Force.

Yleistäen Ampèren lain, Maxwell ottaa käyttöön siirtymävirran, joka luultavasti yhdistää virrat ja varaukset jatkuvuusyhtälöön, joka oli jo muiden tiedossa fyysisiä määriä. Näin ollen tässä artikkelissa täydellisen sähködynamiikan yhtälöjärjestelmän muotoilu saatiin päätökseen. Vuonna 1864 julkaistussa artikkelissa "Sähkömagneettisen kentän dynaaminen teoria" käsiteltiin aiemmin muotoiltua yhtälöjärjestelmää, jossa oli 20 skalaariyhtälöä 20 skalaarista tuntematonta varten. Tässä artikkelissa Maxwell muotoili ensin käsitteen sähkömagneettisesta kentästä fysikaaliseksi todellisuudeksi, jolla on oma energia ja rajallinen etenemisaika, joka määrittää sähkömagneettisen vuorovaikutuksen viivästyneen luonteen.

Magneettikentän muuttuva vuo luo sähkökentän ( Faradayn laki)

Kävi ilmi, että ei vain virta, vaan myös ajan myötä muuttuva sähkökenttä (siirtymävirta) synnyttää magneettikentän. Faradayn lain mukaan vuorostaan ​​muuttuva magneettikenttä synnyttää jälleen sähköisen. Tämän seurauksena sähkömagneettinen aalto voi levitä tyhjässä tilassa. Maxwellin yhtälöistä seurasi, että sen nopeus on yhtä suuri kuin valon nopeus, joten Maxwell päätteli valon sähkömagneettisesta luonteesta.

Jotkut fyysikot vastustivat Maxwellin teoriaa (erityisesti siirtymävirran käsite aiheutti paljon vastalauseita). Helmholtz ehdotti teoriaansa, kompromissia suhteessa malleihin Weber ja Maxwell, ja käski oppilaansa Heinrich Hertziä suorittamaan kokeellisen tarkastuksen. Hertzin kokeet vahvistivat kuitenkin yksiselitteisesti Maxwellin oikeellisuuden.

Maxwell ei käyttänyt vektorimerkintää ja kirjoitti yhtälönsä melko hankalaan komponenttimuotoon. Tutkimuksessaan hän käytti myös osittain kvaternion-formulaatiota. Maxwellin yhtälöiden moderni muoto ilmestyi noin 1884 Heavisiden, Hertzin ja Gibbsin työn jälkeen. He eivät vain kirjoittaneet Maxwellin järjestelmää vektorimuodossa, vaan myös symmetrisoivat sen, muotoillen sen uudelleen kentän suhteen, päästäen eroon sähköisistä ja magneettisista potentiaaleista, joilla oli merkittävä rooli Maxwellin teoriassa, koska he uskoivat näiden funktioiden olevan vain tarpeettomia aputoimintoja. matemaattiset abstraktiot. Mielenkiintoista on, että moderni fysiikka tukee Maxwellia, mutta ei jaa hänen varhaisten seuraajiensa negatiivista asennetta potentiaaliin.Sähkömagneettinen potentiaali on tärkeässä roolissa kvanttifysiikassa ja esiintyy fyysisesti mitattavissa olevana suurena joissakin kokeissa, esimerkiksi Aharonov-Bohmin kokeessa. vaikutus.

Hertzin ja Heavisiden muotoilussa olevaa yhtälöjärjestelmää kutsuttiin jonkin aikaa Hertz-Heaviside-yhtälöiksi. Klassisessa artikkelissaan "Liikkuvien kappaleiden sähködynamiikasta" Einstein kutsui niitä Maxwell-Hertz-yhtälöiksi. Joskus kirjallisuudessa on myös Maxwell-Heaviside-yhtälön nimi.

Maxwellin yhtälöillä oli tärkeä rooli erikoisen syntymisessä suhteellisuusteoria(SATA). Joseph Larmor (1900) ja itsenäisesti Henrik Lorenz (1904) löysivät koordinaattien, ajan ja sähkömagneettisten kenttien muunnoksia, jotka jättävät Maxwellin yhtälöt muuttumattomiksi siirryttäessä inertiaalisesta viitekehyksestä toiseen. Nämä muunnokset erosivat klassisen mekaniikan Galilean muunnoksista ja Henri Poincarén jälkeen niistä tuli tunnetuksi Lorentzin muunnoksina. Niistä tuli perusta erityinen teoria suhteellisuusteoria.

Sähkömagneettisten aaltojen eteneminen valonnopeudella tulkittiin alun perin jonkin väliaineen, niin sanotun eetterin, häiriöiksi. On tehty lukuisia yrityksiä (katso historiallinen katsaus) havaita Maan liikettä suhteessa eetteriin, mutta ne ovat aina antaneet negatiivisen tuloksen. Siksi Henri Poincare esitti hypoteesin tällaisen liikkeen havaitsemisen perustavanlaatuisesta mahdottomuudesta (suhteellisuusperiaate). Hän omistaa myös postulaatin valon nopeuden riippumattomuudesta sen lähteen nopeudesta ja näin muotoillun suhteellisuusperiaatteeseen perustuvan johtopäätöksen (yhdessä Lorentzin kanssa) Lorentzin muunnosten tarkan tyypin (ryhmän ominaisuudet). nämä muunnokset esitettiin myös).

Nämä kaksi hypoteesia (postulaattia) muodostivat artikkelin perustan Albert Einstein(1905). Heidän avullaan hän johti myös Lorentzin muunnokset ja hyväksyi ne yleisesti. fyysinen merkitys, jotka korostavat niiden soveltamismahdollisuutta siirtymiseen mistä tahansa inertiaalisesta viitekehyksestä mihin tahansa muuhun inertiaan. Tämä teos itse asiassa merkitsi erityisen suhteellisuusteorian rakentamista. SRT:ssä Lorentzin muunnokset heijastavat tilan ja ajan yleisiä ominaisuuksia, ja eetterimalli osoittautuu tarpeettomaksi. Sähkömagneettiset kentät ovat itsenäisiä esineitä, jotka ovat samanarvoisia materiaalihiukkasten kanssa.

Maxwellin yhtälöihin perustuva klassinen sähködynamiikka on useiden sovellusten taustalla sähkö- ja radiotekniikassa, mikroaaltouunissa ja optiikassa. Toistaiseksi ei ole löydetty vaikutusta, joka vaatisi yhtälöiden muuttamista. Ne osoittautuvat käyttökelpoisiksi myös kvanttimekaniikassa, kun tarkastellaan esimerkiksi varautuneiden hiukkasten liikettä ulkoisissa sähkömagneettisissa kentissä. Siksi Maxwellin yhtälöt ovat perusta aineen sähkömagneettisten ominaisuuksien mikroskooppiselle kuvaukselle.

Maxwellin yhtälöillä on kysyntää myös astrofysiikassa ja kosmologiassa, koska monilla planeetoilla ja tähdillä on magneettikenttä. Magneettikenttä määrää erityisesti sellaisten kohteiden, kuten pulsareiden ja kvasaarien, ominaisuudet.

Nykyisellä ymmärrystasolla kaikki perushiukkaset ovat eri kenttien kvanttiviritystä ("kvantteja"). Esimerkiksi fotoni on sähkömagneettisen kentän kvantti ja elektroni on spinorikentän kvantti. Siksi Faradayn ehdottama ja Maxwellin merkittävästi kehittämä kenttälähestymistapa on nykyaikaisen perushiukkasfysiikan perusta, mukaan lukien sen standardimalli.

Historiallisesti, hieman aikaisemmin, hänellä oli tärkeä rooli kvanttimekaniikan syntymisessä muotoilussa Schrödinger ja yleinen avaus kvanttiyhtälöt kuvaavat hiukkasten liikettä, mukaan lukien relativistiset (Klein-Gordon-yhtälö, Dirac-yhtälö), vaikka alun perin analogia Maxwell-yhtälöiden kanssa nähtiin tässä pikemminkin vain yleisnäkemyksenä, mutta myöhemmin kävi ilmi, että se voidaan ymmärtää tarkempi ja yksityiskohtaisempi (kuten edellä on kuvattu).

Myös kenttälähestymistapa, joka juontaa juurensa yleensä Faradaysta ja Maxwellista, on tullut keskeiseksi painovoimateoriassa (mukaan lukien yleinen suhteellisuusteoria).

Maxwellin yhtälöiden ja yksikköjärjestelmän kirjoittaminen

Useimpien fysiikan yhtälöiden kirjoittaminen ei riipu yksikköjärjestelmän valinnasta. Näin ei kuitenkaan ole sähködynamiikassa. Yksikköjärjestelmän valinnasta riippuen Maxwellin yhtälöissä esiintyy erilaisia ​​kertoimia (vakioita). Kansainvälinen yksikköjärjestelmä SI on tekniikan ja opetuksen standardi, mutta fyysikkojen kiistat sen eduista ja haitoista kilpailevaan symmetriseen Gaussin yksikköjärjestelmään (CGS) verrattuna eivät väisty. CGS-järjestelmän etuna sähködynamiikassa on, että kaikilla sen kentillä on sama ulottuvuus, ja yhtälöt on monien tutkijoiden mukaan kirjoitettu yksinkertaisemmin ja luonnollisemmin.

Siksi GHS on edelleen voimassa tieteellisiä julkaisuja sähködynamiikassa ja teoreettisen fysiikan opetuksessa, esimerkiksi teoreettisen fysiikan kurssilla Landau Ja Lifshitz. Kuitenkin varten käytännön sovelluksia GHS:ään lisätyt mittayksiköt, joista monet ovat nimeämättömiä ja moniselitteisiä, ovat usein hankalia. SI-järjestelmä on standardoitu ja paremmin itsestään johdonmukainen; kaikki nykyaikainen metrologia on rakennettu tälle järjestelmälle. Lisäksi SI-järjestelmää käytetään yleisesti yleisen fysiikan kursseilla. Tältä osin kaikki suhteet, jos ne on kirjoitettu eri tavalla SI- ja CGS-järjestelmissä, esitetään edelleen kahdessa versiossa.

Differentiaalinen muoto

Maxwellin yhtälöt ovat neljän yhtälön järjestelmä vektorimerkinnässä, joka pienentää komponenttien esittämisessä kahdeksaan (kaksi vektoriyhtälöä sisältää kolme komponenttia sekä kaksi skalaaria) ensimmäisen kertaluvun lineaariseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön neljän vektorifunktion 12 komponentille ():

Nimi	GHS	SI	Likimääräinen sanallinen ilmaisu
Gaussin laki			Sähkövaraus on sähköisen induktion lähde.
Gaussin laki magneettikentästä			Magneettisia varauksia ei ole. [~1]
Faradayn induktiolaki			Magneettisen induktion muutos synnyttää pyörteen sähkökentän. [~1]
Magneettikentän kiertolause			Sähkövirta ja sähköinduktion muutos synnyttävät pyörremagneettikentän

Lihavointi tarkoittaa seuraavassa vektorisuureita, kursivoitu skalaarilukuja.

Esitellyt nimitykset:

- kolmannen osapuolen sähkövarauksen tiheys (SI-yksiköissä - C / m³);

- sähkövirran tiheys (johtamisvirran tiheys) (SI-yksiköissä - A / m²); yksinkertaisimmassa tapauksessa - yhden tyyppisten varauskantajien tuottaman virran tapauksessa se ilmaistaan ​​yksinkertaisesti muodossa ; Yleensä tämän lausekkeen keskiarvo on laskettava erilaisia ​​tyyppejä kantajat;

on valon nopeus tyhjiössä (299 792 458 m/s);

- sähkökentän voimakkuus (SI-yksiköissä - V / m);

— magneettikentän voimakkuus (SI-yksiköissä — A/m);

- sähköinen induktio (SI-yksiköissä - C / m²);

- magneettinen induktio (SI-yksiköissä - Tl \u003d Wb / m² \u003d kg.s -2.A -1);

on nabla-differentiaalioperaattori, kun taas:

Tarkoittaa vektoriroottoria,

Tarkoittaa vektorien eroa.

Yllä esitetyt Maxwell-yhtälöt eivät vielä muodosta täydellistä sähkömagneettisen kentän yhtälöjärjestelmää, koska ne eivät sisällä sen väliaineen ominaisuuksia, jossa sähkömagneettinen kenttä virittyy. Suhteita, jotka yhdistävät suureet , , , ja välineen yksittäiset ominaisuudet huomioon ottaen, kutsutaan konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

yhtenäinen muoto

Maxwellin yhtälöitä ratkaistaessa varausten ja virtojen jakaumat pidetään usein annettuina. Ottaen huomioon reunaehdot ja materiaaliyhtälöt, tämä mahdollistaa sähkökentän voimakkuuden ja magneettisen induktion määrittämisen, jotka puolestaan ​​määräävät voiman, joka vaikuttaa nopeudella liikkuvaan testivaraukseen.

Tätä voimaa kutsutaan Lorentzin voima:

GHS	SI

Voiman sähkökomponentti on suunnattu sähkökenttää (if) pitkin ja magneettikomponentti on kohtisuorassa varausnopeuteen ja magneettiseen induktioon nähden. Ensimmäisen lausekkeen voimalle, joka vaikuttaa magneettikentän varaukseen (sähkökomponentti tunnettiin), sai Heaviside vuonna 1889, kolme vuotta ennen Hendrik Lorentzia, joka johti tämän voiman lausekkeen vuonna 1892.

Enemmässä vaikeita tilanteita Klassisessa ja kvanttifysiikassa siinä tapauksessa, että sähkömagneettisten kenttien vaikutuksesta vapaat varaukset liikkuvat ja muuttavat kenttien arvoja, on tarpeen ratkaista itsestään johdonmukainen Maxwellin yhtälö- ja liikeyhtälöjärjestelmä, mukaan lukien Lorentzin joukot. Tällaisen täydellisen järjestelmän tarkan analyyttisen ratkaisun saamiseen liittyy yleensä suuria vaikeuksia.

Dimensiovakiot Maxwellin yhtälöissä

Gaussin CGS-yksiköiden järjestelmässä kaikilla kentillä on sama ulottuvuus, ja Maxwellin yhtälöissä on yksi perusvakio, jolla on nopeusmitta, jota nyt kutsutaan valonnopeudeksi (se oli tämän vakion vakion yhtäläisyys). valon etenemisnopeus, joka antoi Maxwellille perusteet hypoteesille valon sähkömagneettisesta luonteesta).

SI-yksikköjärjestelmässä sähköisen induktion ja sähkökentän voimakkuuden suhteuttamiseen tyhjiö, otetaan käyttöön sähkövakio ε 0 (). Magneettivakio on sama suhteellisuuskerroin magneettikentälle in tyhjiö(). Otsikot sähköinen vakio Ja magneettinen vakio nyt standardoitu. Aikaisemmin näitä suureita käytettiin myös vastaavasti tyhjön permittiivisyyden ja magneettisen permeabiliteetin nimillä.

Sähkömagneettisen säteilyn nopeus tyhjiössä (valon nopeus) SI:ssä näkyy, kun aaltoyhtälö johdetaan:

SI-yksikköjärjestelmässä as tarkka mittavakiot määräävät valon nopeuden tyhjiössä ja magneettivakion. Niiden kautta ilmaistaan ​​sähkövakio ε 0.

Valonnopeuden, sähköisten ja magneettisten vakioiden hyväksytyt arvot on annettu taulukossa:

Joskus lisätään määrä, jota kutsutaan tyhjiön "aaltokestävyydeksi" tai "impedanssiksi":

Ohm.

lähentää arvo for saadaan, jos otetaan valonnopeudeksi arvo m/s. GHS-järjestelmässä. Tällä arvolla tarkoitetaan tasaisen sähkömagneettisen aallon sähkö- ja magneettikenttien amplitudien suhdetta tyhjiössä.

Maxwellin yhtälöt väliaineessa

Täydellisen sähködynamiikan yhtälöjärjestelmän saamiseksi on tarpeen lisätä Maxwellin yhtälöjärjestelmään konstitutiiviset yhtälöt, jotka liittyvät suureisiin , , , , , joissa väliaineen yksittäiset ominaisuudet otetaan huomioon. Tapa materiaaliyhtälöiden saamiseksi annetaan väliaineen polarisaation, magnetisoinnin ja sähkönjohtavuuden molekyyliteorioiden avulla käyttäen väliaineen idealisoituja malleja. Soveltamalla niihin klassisen tai kvanttimekaniikan yhtälöitä sekä tilastollisen fysiikan menetelmiä, on mahdollista muodostaa yhteys toisaalta vektorien , ja toisaalta välillä.

Asiaan liittyvät kulut ja virrat

Vasen: Väliaineessa olevat mikroskooppiset dipolit muodostavat yhden makroskooppisen dipolimomentin ja vastaavat kahta levyä, jotka on varattu vastakkaisilla merkillä rajalla. Tässä tapauksessa välineen sisällä kaikki varaukset kompensoidaan;

Oikealla: Väliaineessa olevien mikroskooppisten ympyrävirtojen joukko vastaa rajaa pitkin kiertävää makroskooppista virtaa. Tässä tapauksessa kaikki väliaineen sisällä olevat virrat kompensoidaan.

Kun sähkökenttä kohdistetaan dielektriseen materiaaliin, jokainen sen molekyyli muuttuu mikroskooppiseksi dipoliksi. Tässä tapauksessa atomien positiiviset ytimet siirtyvät hieman kentän suuntaan ja elektronikuoret vastakkaiseen suuntaan. Lisäksi joidenkin aineiden molekyyleillä on aluksi dipolimomentti. Dipolimolekyylit pyrkivät orientoitumaan kentän suuntaan. Tätä vaikutusta kutsutaan dielektriseksi polarisaatioksi. Tällainen molekyylien sitoutuneiden varausten siirtyminen tilavuudessa vastaa jonkinlaisen varausjakauman ilmaantumista pinnalle, vaikka kaikki polarisaatioprosessiin osallistuvat molekyylit pysyvät neutraaleina (katso kuva).

Samoin magneettista polarisaatiota (magnetisaatiota) tapahtuu materiaaleissa, joissa niiden ainesosissa olevilla atomeilla ja molekyyleillä on magneettimomentteja, jotka liittyvät ytimien ja elektronien spin- ja kiertomomenttiin. Atomien kulmamomentit voidaan esittää ympyrävirroina. Materiaalin rajalla tällaisten mikroskooppisten virtojen kokonaisuus vastaa pintaa pitkin kiertäviä makroskooppisia virtoja huolimatta siitä, että varausten liike yksittäisissä magneettisissa dipoleissa tapahtuu vain mikromittakaavassa (sidotut virrat).

Tarkasteltavat mallit osoittavat, että vaikka ulkoinen sähkömagneettinen kenttä vaikuttaa yksittäisiin atomeihin ja molekyyleihin, sen käyttäytymistä voidaan monissa tapauksissa tarkastella yksinkertaistetusti makroskooppisessa mittakaavassa, mikroskooppisen kuvan yksityiskohdat huomioimatta.

Väliaineessa ulkoiset sähkö- ja magneettikentät aiheuttavat aineen polarisaatiota ja magnetisoitumista, joita makroskooppisesti kuvaavat vastaavasti aineen polarisaatiovektori ja magnetointivektori, ja jotka aiheutuvat sitoutuneiden varausten ja virtojen ilmaantumisesta. Tämän seurauksena väliaineessa oleva kenttä osoittautuu ulkoisten kenttien ja sidottujen varausten ja virtojen aiheuttamien kenttien summaksi.

Siksi, ilmaisemalla vektorit ja kautta , , ja , voimme saada matemaattisesti ekvivalentin Maxwellin yhtälöjärjestelmän:

GHS	SI

Tässä oleva indeksi ilmaisee ilmaisia ​​maksuja ja virtoja. Maxwellin yhtälöt tässä muodossa ovat perustavanlaatuisia siinä mielessä, että ne eivät riipu aineen sähkömagneettisen laitteen mallista. Varausten ja virtojen erottaminen vapaiksi ja sidotuiksi sallii sinun "piiloutua" väliaineessa olevan sähkömagneettisen kentän monimutkaiseen mikroskooppiseen luonteeseen.

Materiaaliyhtälöt

Materiaaliyhtälöt muodostavat yhteyden ja välillä. Tässä tapauksessa ympäristön yksilölliset ominaisuudet otetaan huomioon. Käytännössä konstitutiivisissa yhtälöissä käytetään yleensä kokeellisesti määritettyjä kertoimia (jotka yleensä riippuvat sähkömagneettisen kentän taajuudesta), jotka kerätään erilaisiin fysikaalisten suureiden viitekirjoihin.

Heikoissa sähkömagneettisissa kentissä, jotka muuttuvat suhteellisen hitaasti avaruudessa ja ajassa, isotrooppisten, ei-ferromagneettisten ja ei-ferrosähköisten välineiden tapauksessa pätee approksimaatio, jossa polarisoituvuus ja magnetoituvuus riippuvat lineaarisesti käytetyistä kentistä:

GHS	SI

johon lisätään dielektrinen suskeptibiliteetti ja aineen magneettinen suskeptibiliteetti (SI-yksikköjärjestelmässä nämä vakiot ovat useita kertoja suurempia kuin Gaussin CGS-järjestelmässä). Sen mukaisesti sähköisten ja magneettisten induktioiden konstitutiiviset yhtälöt kirjoitetaan seuraavassa muodossa:

GHS	SI

missä on suhteellinen permittiivisyys, on suhteellinen magneettinen permeabiliteetti. SI-järjestelmässä syntyviä mittasuureita ε 0 ε (SI-yksiköissä - F/m) ja μ 0 μ (SI-yksiköissä - Gn/m) kutsutaan vastaavasti absoluuttiseksi permittiivisyydeksi ja absoluuttiseksi magneettiseksi permeabiliteetiksi.

Johtimissa virrantiheyden ja sähkökentän voimakkuuden välillä on suhde Ohmin lain mukaan:

missä on väliaineen ominaisjohtavuus (SI-yksiköissä — Ohm −1 .m −1).

Anisotrooppisessa väliaineessa ε ja ovat tensorit , ja . Pääakseleiden koordinaattijärjestelmässä ne voidaan kuvata diagonaalimatriiseilla. Tässä tapauksessa kenttävoimakkuuksien ja induktioiden välisellä suhteella on eri kertoimet kullekin koordinaatille.

Esimerkiksi SI-järjestelmässä:

Vaikka laajalle aineluokalle suoritetaan lineaarinen approksimaatio heikkoille kentille hyvällä tarkkuudella, yleisessä tapauksessa ja välinen suhde voi olla epälineaarinen. Tässä tapauksessa väliaineen permeabiliteetit eivät ole vakioita, vaan riippuvat kentän suuruudesta tietyssä pisteessä. Lisäksi enemmän monimutkainen yhteys välillä ja havaitaan väliaineissa, joissa on spatiaalisia tai ajallisia dispersioita. Avaruusdispersion tapauksessa virrat ja varaukset tietyssä avaruuden pisteessä riippuvat kentän suuruudesta, ei vain samassa pisteessä, vaan myös naapuripisteissä. Aikadispersion tapauksessa väliaineen polarisaatio ja magnetoituminen eivät määräydy vain kentän suuruuden perusteella tietyllä ajanhetkellä, vaan riippuvat myös kenttien suuruudesta aikaisemmilla ajanhetkillä. Yleisimmissä epälineaaristen ja epähomogeenisten väliaineiden, joissa on dispersio, tapauksessa konstitutiiviset yhtälöt SI-järjestelmässä ovat integraalimuodossa:

Samanlaiset yhtälöt saadaan Gaussin CGS-järjestelmässä (jos muodollisesti asetetaan ε 0 = 1).

Yhtälöt isotrooppisissa ja homogeenisissa väliaineissa ilman dispersiota

Isotrooppisissa ja homogeenisissa väliaineissa, joissa ei ole dispersiota, Maxwellin yhtälöt saavat seuraavan muodon:

GHS	SI

Optisella taajuusalueella käytetään permittiivisyyden ε sijaan taitekerrointa (joka riippuu aallonpituudesta), joka osoittaa eron monokromaattisen valoaallon etenemisnopeuden välillä väliaineessa ja valon nopeuden välillä tyhjiössä. Tässä tapauksessa optisella alueella permittiivisyys on yleensä huomattavasti pienempi kuin matalilla taajuuksilla, ja useimpien optisten välineiden magneettinen permeabiliteetti on käytännössä yhtä suuri kuin yksikkö. Useimpien läpinäkyvien materiaalien taitekerroin on välillä 1-2 ja saavuttaa 5:n joidenkin puolijohteiden kohdalla. Tyhjiössä sekä permittiivisyys että permeabiliteetti ovat yhtä kuin yksikkö: ε = μ = 1.

Koska Maxwellin yhtälöt lineaarisessa väliaineessa ovat lineaarisia kenttien ja vapaiden varausten ja virtojen suhteen, superpositioperiaate pätee:

Jos varausten ja virtojen jakaumat luovat sähkömagneettisen kentän komponenteilla ja muut jakaumat vastaavasti kentän , niin lähteiden luoma kokonaiskenttä on yhtä suuri kuin .

Kun sähkömagneettiset kentät etenevät lineaarisessa väliaineessa ilman varauksia ja virtoja, yhtälöiden yksittäisten ratkaisujen summa täyttää myös Maxwellin yhtälöt.

Rajaolosuhteet

Monissa tapauksissa epähomogeeninen väliaine voidaan esittää kokoelmana paloittain jatkuvia homogeenisia alueita, joita erottavat äärettömän ohuet rajat. Tässä tapauksessa on mahdollista ratkaista Maxwellin yhtälöt kullakin alueella "liittämällä" tuloksena olevat ratkaisut rajoilla. Erityisesti harkittaessa ratkaisua äärellisessä tilavuudessa on tarpeen ottaa huomioon tilavuuden rajojen olosuhteet ympäröivän äärettömän avaruuden kanssa. Rajaehdot saadaan Maxwellin yhtälöistä siirtymällä rajaan. Helpoin tapa tehdä tämä on käyttää Maxwellin yhtälöitä integraalimuodossa.

Valitsemalla toisessa yhtälöparissa integrointikäyrä suorakaiteen muotoisena, äärettömän pienen korkeuden ja kahden väliaineen rajapinnan ylittävän kehyksen muodossa, voimme saada seuraavan suhteen kenttäkomponenttien välille kahdella rajan viereisellä alueella:

GHS	SI
, ,	, ,

missä on pinnan normaalivektori, joka on suunnattu väliaineesta 1 väliaineeseen 2 ja jonka mitta on käänteinen pituuteen nähden, on pinnan tiheys vapaa virtaukset rajaa pitkin (eli ei sisällä kytketyt virrat magnetisaatio, joka muodostuu väliaineen rajalla mikroskooppisista molekyylivirroista). Ensimmäinen rajaehto voidaan tulkita jatkuvuudeksi sähkökenttävoimakkuuksien tangentiaalikomponenttien alueiden rajalla (toisesta seuraa, että magneettikentän voimakkuuden tangentiaaliset komponentit ovat jatkuvia vain ilman pintavirtoja raja).