Kurssi käyttää geometrinen kieli, joka koostuu matematiikan (erityisesti lukion uudessa geometrian kurssissa) otetuista merkinnöistä ja symboleista.
Kaikki merkinnät ja symbolit sekä niiden väliset yhteydet voidaan jakaa kahteen ryhmään:
ryhmä I - geometristen kuvioiden nimitykset ja niiden väliset suhteet;
ryhmän II loogisten operaatioiden nimitykset, jotka muodostavat geometrisen kielen syntaktisen perustan.
Seuraava on täydellinen lista tällä kurssilla käytetyt matemaattiset symbolit. Erityistä huomiota annetaan symboleille, joita käytetään merkitsemään geometristen muotojen projektiota.
Ryhmä I
GEOMETRISIA KUVOJA JA NIIDEN VÄLISIÄ SUHTEET ILMOITTAVAT SYMBOLIT
A. Geometristen kuvioiden merkintä
1. Geometrinen kuvio on merkitty - F.
2. Pisteet on merkitty isoilla kirjaimilla Latinalainen aakkoset tai arabialaisin numeroin:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Projektitasoihin nähden mielivaltaisesti sijoitetut suorat on merkitty pienet kirjaimet Latinalaiset aakkoset:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Tasoviivat on merkitty: h - vaakasuora; f- edessä.
Seuraavia merkintöjä käytetään myös suorille viivoille:
(AB) - pisteiden A ja B kautta kulkeva suora viiva;
[AB) - säde, joka alkaa pisteestä A;
[AB] - pisteiden A ja B rajoittama suora jana.
4. Pinnat on merkitty kreikkalaisten aakkosten pienillä kirjaimilla:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Korostaaksesi tapaa, jolla pinta määritellään, sinun tulee määrittää geometriset elementit, joilla se määritellään, esimerkiksi:
α(a || b) - taso α määritetään yhdensuuntaisilla viivoilla a ja b;
β(d 1 d 2 gα) - pinnan β määrittävät johteet d 1 ja d 2, generatriisi g ja yhdensuuntaisuustaso α.
5. Kulmat on ilmoitettu:
∠ABC - kulma kärjen kanssa pisteessä B sekä ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Kulma: arvo (astemitta) ilmaistaan merkillä, joka on sijoitettu kulman yläpuolelle:
Kulman ABC suuruus;
Kulman φ suuruus.
Suora kulma on merkitty neliöllä, jonka sisällä on piste
7. Geometristen kuvioiden väliset etäisyydet on merkitty kahdella pystysegmentillä - ||.
Esimerkiksi:
|AB| - pisteiden A ja B välinen etäisyys (janan AB pituus);
|Aa| - etäisyys pisteestä A viivaan a;
|Aα| - etäisyydet pisteestä A pintaan α;
|ab| - linjojen a ja b välinen etäisyys;
|αβ| pintojen α ja β välinen etäisyys.
8. Projektitasoille hyväksytään seuraavat nimitykset: π 1 ja π 2, missä π 1 on vaakasuuntainen projektiotaso;
π 2 - frontaaliprojektiotaso.
Kun projektiotasoja vaihdetaan tai uusia tasoja otetaan käyttöön, jälkimmäiset merkitään π 3, π 4 jne.
9. Projektioakselit on merkitty: x, y, z, missä x on abskissa-akseli; y - ordinaattinen akseli; z - soveltamisakseli.
Mongen vakiosuorakaavio on merkitty k:llä.
10. Pisteiden, viivojen, pintojen ja geometristen hahmojen projektiot on merkitty samoilla kirjaimilla (tai numeroilla) kuin alkuperäinen, lisättynä sitä projektiotasoa vastaavalla yläindeksillä, jolla ne on saatu:
A", B", C", D", ... , L", M", N", pisteiden vaakaprojektiot; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... pisteiden frontaaliset projektiot; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - viivojen vaakasuorat projektiot; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... viivojen frontaaliprojektiot; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... pintojen vaakaprojektiot; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... pintojen etuprojektiot.
11. Tasojen (pintojen) jäljet merkitään samoilla kirjaimilla kuin vaaka- tai frontaalit, lisättynä alaindeksiin 0α, mikä korostaa, että nämä viivat ovat projektiotasolla ja kuuluvat tasoon (pintaan) α.
Joten: h 0α - tason (pinnan) α vaakasuora jälki;
f 0α - tason (pinnan) etuviiva α.
12. Suorien viivojen jäljet (viivat) on merkitty isoilla kirjaimilla, joilla alkavat sanat, jotka määrittelevät sen projektiotason nimen (latinalaisessa transkriptiossa), jonka viiva leikkaa, alaindeksillä, joka ilmaisee liittymisen viivan kanssa.
Esimerkiksi: H a - suoran (viivan) vaakasuora viiva a;
F a - suoran (linjan) etuviiva a.
13. Pisteiden, viivojen järjestys (mikä tahansa kuvio) on merkitty alaindeksillä 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
a1, a2, a3,...,an;
Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n jne.
Pisteen apuprojektio, joka saadaan muunnoksen tuloksena geometrisen kuvan todellisen arvon saamiseksi, on merkitty samalla kirjaimella alaindeksillä 0:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Aksonometriset projektiot
14. Pisteiden, viivojen, pintojen aksonometriset projektiot on merkitty samoilla kirjaimilla kuin luonto lisättynä yläindeksiin 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0, β 0, γ 0, δ 0, ...
15. Toissijaiset projektiot osoitetaan lisäämällä yläindeksi 1:
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0, β 1 0, γ 1 0, δ 1 0, ...
Oppikirjan piirustusten lukemisen helpottamiseksi havainnollistava materiaalia suunniteltaessa käytetään useita värejä, joista jokaisella on tietty semanttinen merkitys: mustat viivat (pisteet) osoittavat alkuperäisen tiedon; vihreä väri käytetään graafisten apurakenteiden linjoihin; punaiset viivat (pisteet) osoittavat rakennusten tuloksia tai niitä geometrisia elementtejä, joihin on kiinnitettävä erityistä huomiota.
| No. by por. | Nimitys | Sisältö | Esimerkki symbolisesta merkinnästä |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Ottelu | (AB)≡(CD) - pisteiden A ja B kautta kulkeva suora, yhtyy pisteiden C ja D kautta kulkevan suoran kanssa |
| 2 | ≅ | Yhdenmukainen | ∠ABC≅∠MNK - kulma ABC on kongruentti kulman MNK kanssa |
| 3 | ∼ | Samanlainen | ΔАВС∼ΔMNK - kolmiot АВС ja MNK ovat samanlaisia |
| 4 | || | Rinnakkainen | α||β - taso α on yhdensuuntainen tason β kanssa |
| 5 | ⊥ | kohtisuorassa | a⊥b - suorat a ja b ovat kohtisuorassa |
| 6 | Risteymä | c d - suorat c ja d leikkaavat | |
| 7 | Tangentit | t l - suora t on suoran l tangentti. βα - pinnan α tangentti taso β |
|
| 8 | → | Näytetään | F 1 → F 2 - kuva F 1 on yhdistetty kuvaan F 2 |
| 9 | S | Projektiokeskus. Jos projektiokeskus on väärä piste, sitten sen sijainti osoitetaan nuolella, osoittaa projektion suunnan | - |
| 10 | s | Projektion suunta | - |
| 11 | P | Rinnakkais projektio | р s α Rinnakkaisprojektio - yhdensuuntainen projektio α-tasolle s-suunnassa |
| No. by por. | Nimitys | Sisältö | Esimerkki symbolisesta merkinnästä | Esimerkki symbolisesta merkinnästä geometriassa |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Sarjat | - | - |
| 2 | A, B, C,... | Sarjan elementit | - | - |
| 3 | { ... } | Sisältää... | Ф(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - kuva Ф koostuu pisteistä A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Tyhjä setti | L - ∅ - joukko L on tyhjä (ei sisällä elementtejä) | - |
| 5 | ∈ | Kuuluu, on elementti | 2∈N (jossa N on luonnollisten lukujen joukko) - numero 2 kuuluu joukkoon N | A ∈ a - piste A kuuluu suoralle a (piste A on viivalla a) |
| 6 | ⊂ | Sisältää, sisältää | N⊂M - joukko N on osa (osajoukko) joukosta M kaikista rationaaliluvuista | a⊂α - suora a kuuluu tasoon α (ymmärretty mielessä: suoran a pisteiden joukko on tason α pisteiden osajoukko) |
| 7 | ∪ | Yhdistys | C = A U B - joukko C on joukkojen liitto A ja B; (1, 2. 3, 4.5) = (1,2,3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [ВС] ∪ - katkoviiva, ABCD on yhdistämällä segmentit [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Monen risteys | M=K∩L - joukko M on joukkojen K ja L leikkauspiste (sisältää sekä joukkoon K että joukkoon L kuuluvia elementtejä). M ∩ N = ∅ - joukkojen M ja N leikkauspiste on tyhjä joukko (joukoilla M ja N ei ole yhteisiä alkioita) | a = α ∩ β - suora a on leikkauspiste tasot α ja β a ∩ b = ∅ - suorat a ja b eivät leikkaa (Ei ole yhteisiä kohtia) |
| No. by por. | Nimitys | Sisältö | Esimerkki symbolisesta merkinnästä |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Lauseiden konjunktio; vastaa konjunktiota "ja". Lause (p∧q) on tosi, jos ja vain jos p ja q ovat molemmat tosi | α∩β = (К:K∈α∧K∈β) Pintojen α ja β leikkauspiste on joukko pisteitä (viiva), joka koostuu kaikista niistä ja vain niistä pisteistä K, jotka kuuluvat sekä pintaan α että pintaan β |
| 2 | ∨ | Lauseiden disjunktio; vastaa konjunktiota "tai". Lause (p∨q) tosi, kun ainakin yksi lauseista p tai q on tosi (eli joko p tai q tai molemmat). | - |
| 3 | ⇒ | Implikaatio on looginen seuraus. Lause p⇒q tarkoittaa: "jos p, niin q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia kolmannen kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa |
| 4 | ⇔ | Lause (p⇔q) ymmärretään merkityksessä: "jos p, niin myös q; jos q, niin myös p" | А∈α⇔А∈l⊂α. Piste kuuluu tasoon, jos se kuuluu johonkin tähän tasoon kuuluvaan suoraan. Myös käänteinen väite on totta: jos piste kuuluu tietylle suoralle, kuuluu tasoon, niin se kuuluu itse tasoon |
| 5 | ∀ | Yleinen kvantori kuuluu: kaikille, kaikille, kenelle tahansa. Lauseke ∀(x)P(x) tarkoittaa: "jokaiselle x:lle: ominaisuus P(x) pätee" | ∀(ΔАВС)( = 180°) Minkä tahansa (mikä tahansa) kolmion kulmien arvojen summa kärjessä on 180° |
| 6 | ∃ | Eksistentiaalinen kvantori lukee: olemassa. Lauseke ∃(x)P(x) tarkoittaa: "on x, jolla on ominaisuus P(x)" | (∀α)(∃a).Millä tahansa tasolla α on suora a, joka ei kuulu tasoon α ja yhdensuuntainen tason α kanssa |
| 7 | ∃1 | Olemassaolon ainutlaatuisuuden kvantifioija kuuluu: olemassa on vain yksi (-i, -th)... Lauseke ∃1(x)(Рх) tarkoittaa: "on vain yksi (vain yksi) x, jolla on ominaisuus Px" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Jokaiselle kahdelle eri pisteelle A ja B on ainutlaatuinen suora a, kulkee näiden pisteiden läpi. |
| 8 | (Px) | Lausekkeen P(x) kielto | ab(∃α)(α⊃a, b). Jos suorat a ja b leikkaavat, ei ole olemassa tasoa a, joka sisältää ne. |
| 9 | \ | Merkin kieltäminen | ≠ -segmentti [AB] ei ole sama kuin jana .a?b - suora a ei ole yhdensuuntainen suoran b kanssa |
ääretön.J. Wallis (1655).
Löytyi ensimmäisen kerran englantilaisen matemaatikon John Valisin tutkielmasta "On Conic Sections".
Luonnollisten logaritmien kanta. L. Euler (1736).
Matemaattinen vakio, transsendentaalinen luku. Tätä numeroa kutsutaan joskus höyhenetön skottilaisten kunniaksi tiedemies Napier, teoksen "Description of the Amazing Table of Logathms" (1614) kirjoittaja. Vakio esiintyy ensin hiljaisesti Napierin edellä mainitun vuonna 1618 julkaistun teoksen englanninkielisen käännöksen liitteessä. Itse vakion laski ensin sveitsiläinen matemaatikko Jacob Bernoulli ratkaistessaan korkotulon raja-arvon ongelman.
2,71828182845904523...
Ensimmäinen tunnettu tämän vakion käyttö, jossa se merkittiin kirjaimella b, joka löytyy Leibnizin kirjeistä Huygensille, 1690-1691. Kirje e Euler aloitti sen käytön vuonna 1727, ja ensimmäinen julkaisu tällä kirjeellä oli hänen työnsä "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically" vuonna 1736. Vastaavasti, e yleensä kutsutaan Eulerin numero. Miksi kirje valittiin? e, täsmälleen tuntematon. Ehkä tämä johtuu siitä, että sana alkaa sillä eksponentiaalinen("indikatiivinen", "eksponentiaalinen"). Toinen oletus on, että kirjaimet a, b, c Ja d on jo käytetty melko laajalti muihin tarkoituksiin, ja e oli ensimmäinen "ilmainen" kirje.
Ympäryksen suhde halkaisijaan. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Matemaattinen vakio, irrationaalinen luku. Numero "pi", vanha nimi on Ludolphin numero. Kuten mikä tahansa irrationaalinen luku, π esitetään äärettömänä ei-jaksollisena desimaalilukuna:
π =3,141592653589793...
Ensimmäistä kertaa tämän luvun nimeämistä kreikkalaisella kirjaimella π käytti brittiläinen matemaatikko William Jones kirjassaan "Uusi johdanto matematiikkaan", ja se hyväksyttiin yleisesti Leonhard Eulerin työn jälkeen. Tämä nimitys tulee kreikkalaisten sanojen alkukirjaimesta περιφερεια - ympyrä, reuna ja περιμετρος - ympyrä. Johann Heinrich Lambert todisti π:n irrationaalisuuden vuonna 1761 ja Adrienne Marie Legendre osoitti π 2:n irrationaalisuuden vuonna 1774. Legendre ja Euler olettivat, että π voisi olla transsendenttinen, ts. ei voi tyydyttää ketään algebrallinen yhtälö kokonaislukukertoimilla, jonka lopulta vuonna 1882 Ferdinand von Lindemann todisti.
Kuvitteellinen yksikkö. L. Euler (1777, painettu - 1794).
Tiedetään, että yhtälö x 2 = 1 sillä on kaksi juurta: 1 Ja -1 . Kuvitteellinen yksikkö on toinen yhtälön kahdesta juuresta x 2 = -1, merkitty Latinalainen kirjain i, toinen juuri: -i. Tätä nimitystä ehdotti Leonhard Euler, joka otti latinan sanan ensimmäisen kirjaimen tähän tarkoitukseen kuvitteellinen(kuvitteellinen). Hän myös laajensi kaikki standarditoiminnot monimutkaiseen verkkotunnukseen, ts. joukko numeroita, jotka voidaan esittää muodossa a+ib, Missä a Ja b ovat todellisia lukuja. Saksalainen matemaatikko Carl Gauss otti termin "kompleksiluku" laajaan käyttöön vuonna 1831, vaikka ranskalainen matemaatikko Lazare Carnot käytti termiä aiemmin samassa merkityksessä vuonna 1803.
Yksikkövektorit. W. Hamilton (1853).
Yksikkövektorit liitetään usein koordinaattijärjestelmän koordinaattiakseleihin (erityisesti karteesisen koordinaattijärjestelmän akseleihin). Yksikkövektori suunnattu pitkin akselia X, merkitty i, yksikkövektori suunnattu pitkin akselia Y, merkitty j, ja yksikkövektori suunnattu pitkin akselia Z, merkitty k. Vektorit i, j, k kutsutaan yksikkövektoreiksi, niissä on yksikkömoduuleja. Termin "ort" otti käyttöön englantilainen matemaatikko ja insinööri Oliver Heaviside (1892), ja merkintätapa i, j, k Irlantilainen matemaatikko William Hamilton.
Luvun kokonaislukuosa, antie. K. Gauss (1808).
Luvun x luvun [x] kokonaisluku on suurin kokonaisluku, joka ei ole suurempi kuin x. Joten =5, [-3,6]=-4. Funktiota [x] kutsutaan myös "x:n antieriksi". Carl Gauss otti käyttöön kokonaislukuosan funktiosymbolin vuonna 1808. Jotkut matemaatikot käyttävät mieluummin merkintää E(x), jonka Legendre ehdotti vuonna 1798.
Yhdensuuntaisuuden kulma. N.I. Lobatševski (1835).
Lobachevsky-tasolla - viivan välinen kulmabkulkee pisteen läpiNOINyhdensuuntainen linjan kanssaa, joka ei sisällä pistettäNOIN, ja kohtisuorassa alkaenNOIN päällä a. α - tämän kohtisuoran pituus. Kun kohta siirtyy poisNOIN suoralta linjalta ayhdensuuntaisuuskulma pienenee 90°:sta 0°:seen. Lobatševski antoi kaavan yhdensuuntaisuuskulmalleP( α )=2arctg e - α /q , Missä q- jokin vakio, joka liittyy Lobatševskin avaruuden kaareutumiseen.
Tuntemattomat tai muuttuvat määrät. R. Descartes (1637).
Matematiikassa muuttuja on suure, jolle se voi ottaa arvoja. Tässä tapauksessa se voidaan tarkoittaa todellisena fyysinen määrä, jota tarkastellaan tilapäisesti erillään sen fyysisestä kontekstista, ja jokin abstrakti määrä, jolla ei ole analogeja todellisessa maailmassa. Muuttujan käsite syntyi 1600-luvulla. alun perin luonnontieteen vaatimusten vaikutuksesta, jotka nostivat etualalle liikkeen, prosessien, ei vain tilojen tutkimuksen. Tämä käsite vaati uusia muotoja ilmaisulleen. Tällaisia uusia muotoja olivat Rene Descartesin kirjainalgebra ja analyyttinen geometria. Ensimmäistä kertaa suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän ja merkinnän x, y esitteli Rene Descartes teoksessaan "Discourse on Method" vuonna 1637. Pierre Fermat osallistui myös koordinaattimenetelmän kehittämiseen, mutta hänen teoksensa julkaistiin ensimmäisen kerran hänen kuolemansa jälkeen. Descartes ja Fermat käyttivät koordinaattimenetelmää vain tasossa. Koordinaattimenetelmä kolmiulotteiseen avaruuteen käytti ensimmäisen kerran Leonhard Euler jo 1700-luvulla.
Vektori. O. Cauchy (1853).
Alusta alkaen vektori ymmärretään objektiksi, jolla on suuruus, suunta ja (valinnaisesti) sovelluskohta. Vektorilaskennan alkua esiintyi yhdessä kompleksilukujen geometrisen mallin kanssa Gaussissa (1831). Hamilton julkaisi kehitettyjä operaatioita vektoreilla osana kvaternionilaskentaansa (vektori muodostui kvaternionin kuvitteellisista komponenteista). Hamilton ehdotti termiä vektori(latinan sanasta vektori, harjoittaja) ja kuvaili joitain vektorianalyysin toimintoja. Maxwell käytti tätä formalismia sähkömagnetismia koskevissa töissään kiinnittäen siten tutkijoiden huomion uuteen laskentaan. Pian ilmestyi Gibbsin Elements of Vector Analysis (1880-luku), ja sitten Heaviside (1903) antoi vektorianalyysille nykyaikaisen ilmeen. Itse vektorimerkin otti käyttöön ranskalainen matemaatikko Augustin Louis Cauchy vuonna 1853.
Yhteen- ja vähennyslasku. J. Widman (1489).
Plus- ja miinusmerkit ilmeisesti keksittiin saksalaisessa "kossistien" (eli algebraistien) matemaattisessa koulukunnassa. Niitä käytetään Jan (Johannes) Widmannin vuonna 1489 julkaistussa oppikirjassa Nopea ja miellyttävä tili kaikille kauppiaille. Aiemmin lisäystä merkittiin kirjaimella s(latinasta plus"enemmän") tai latinalainen sana et(konjunktio "ja") ja vähennyslasku - kirjain m(latinasta miinus"vähemmän, vähemmän") Widmannille plussymboli ei korvaa vain yhteenlaskua, vaan myös konjunktiota "ja". Näiden symbolien alkuperä on epäselvä, mutta todennäköisesti niitä käytettiin aiemmin kaupankäynnissä voiton ja tappion indikaattoreina. Molemmat symbolit yleistyivät pian Euroopassa - lukuun ottamatta Italiaa, joka jatkoi vanhojen nimitysten käyttöä noin vuosisadan ajan.
Kertominen. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Englantilainen William Oughtred otti käyttöön vinon ristin muodossa olevan kertomerkin vuonna 1631. Ennen häntä kirjettä käytettiin useimmiten M, vaikka ehdotettiin myös muita merkintöjä: suorakulmion symboli (ranskalainen matemaatikko Erigon, 1634), tähti (sveitsiläinen matemaatikko Johann Rahn, 1659). Myöhemmin Gottfried Wilhelm Leibniz korvasi ristin pisteellä (1600-luvun lopulla), jotta sitä ei sekoitettaisi kirjaimeen x; Ennen häntä tällaista symboliikkaa löydettiin saksalaiselta tähtitieteilijältä ja matemaatikolta Regiomontanukselta (1400-luku) ja englantilaiselta tiedemieheltä Thomas Herriotilta (1560-1621).
Division. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
William Oughtred käytti kauttaviivaa / jakomerkkinä. Gottfried Leibniz alkoi merkitä jakautumista kaksoispisteellä. Ennen heitä kirjainta käytettiin myös usein D. Fibonaccista alkaen käytetään myös murto-osan vaakaviivaa, jota käyttivät Heron, Diophantus ja arabiankielisissä teoksissa. Englannissa ja Yhdysvalloissa symboli ÷ (obelus), jonka Johann Rahn ehdotti (mahdollisesti John Pellin osallistuessa) vuonna 1659, tuli laajalle levinneeksi. Amerikan kansallisen matemaattisten standardien komitean yritys ( Kansallinen matemaattisten vaatimusten komitea) Obeluksen poistaminen harjoituksista (1923) epäonnistui.
Prosentti. herra de la Porte (1685).
Kokonaisuuden sadasosa yksikkönä otettuna. Itse sana "prosentti" tulee latinan sanasta "pro centum", joka tarkoittaa "sataa". Vuonna 1685 Pariisissa julkaistiin Mathieu de la Porten kirja "Manual of Commercial Aithmetic". Yhdessä paikassa puhuttiin prosenteista, jotka sitten nimettiin "cto" (lyhenne sanoista cento). Ladotaja kuitenkin luuli tämän "cto":n murto-osaan ja kirjoitti "%". Joten kirjoitusvirheen vuoksi tämä merkki otettiin käyttöön.
astetta. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Eksponentin nykyaikaisen merkinnän esitteli Rene Descartes teoksessaan " Geometria"(1637), kuitenkin vain luonnolliset asteet joiden eksponentit ovat suurempia kuin 2. Myöhemmin Isaac Newton laajensi tämän merkintämuodon negatiivisiin ja murto-eksponentteihin (1676), joiden tulkintaa oli jo ehdotettu tähän mennessä: flaamilainen matemaatikko ja insinööri Simon Stevin, englantilainen matemaatikko John Wallis ja ranskalainen matemaatikko Albert Girard.
Aritmeettinen juuri n-reaaliluvun potenssi A≥0, - ei-negatiivinen luku n- jonka aste on yhtä suuri kuin A. 2. asteen aritmeettista juuria kutsutaan neliöjuureksi ja se voidaan kirjoittaa ilman astetta: √. Kolmannen asteen aritmeettista juuria kutsutaan kuutiojuureksi. Keskiaikaiset matemaatikot (esimerkiksi Cardano) nimettiin Neliöjuuri symboli R x (latinasta Radix, juuri). Nykyaikaista merkintää käytti ensimmäisen kerran saksalainen matemaatikko Christoph Rudolf Cossist-koulusta vuonna 1525. Tämä symboli tulee saman sanan tyylitellystä ensimmäisestä kirjaimesta radix. Aluksi radikaalin ilmaisun yläpuolella ei ollut viivaa; Descartes (1637) esitteli sen myöhemmin eri tarkoitukseen (sulujen sijaan), ja tämä ominaisuus sulautui pian juurimerkkiin. 1500-luvulla kuutiojuurta merkittiin seuraavasti: R x .u.cu (sanasta lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) alkoi käyttää tuttua merkintää mielivaltaisen asteen juureen. Tämä muoto perustettiin Isaac Newtonin ja Gottfried Leibnizin ansiosta.
Logaritmi, desimaalilogaritmi, luonnollinen logaritmi. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Termi "logaritmi" kuuluu skotlantilaiselle matemaatikolle John Napierille ( "Kuvaus hämmästyttävästä logaritmitaulukosta", 1614); se syntyi kreikan sanojen λογος (sana, suhde) ja αριθμος (luku) yhdistelmästä. J. Napierin logaritmi on apuluku kahden luvun suhteen mittaamiseen. Moderni määritelmä Logaritmin antoi ensimmäisenä englantilainen matemaatikko William Gardiner (1742). Määritelmän mukaan luvun logaritmi b perustuen a (a ≠ 1, a > 0) - eksponentti m, johon numeroa tulisi nostaa a(kutsutaan logaritmin kantaksi) saadaksesi b. Nimetty kirjaudu a b. Niin, m = kirjaudu a b, Jos a m = b.
Ensimmäiset desimaalilogaritmien taulukot julkaisi vuonna 1617 Oxfordin matematiikan professori Henry Briggs. Siis ulkomailla desimaalilogaritmit kutsutaan usein brigeiksi. Termin "luonnollinen logaritmi" otettiin käyttöön Pietro Mengoli (1659) ja Nicholas Mercator (1668), vaikka Lontoon matematiikan opettaja John Spidell laati taulukon luonnollisista logaritmeista jo vuonna 1619.
1800-luvun loppuun asti logaritmille, perustalle, ei ollut yleisesti hyväksyttyä merkintää. a merkitty symbolin vasemmalla ja yläpuolella Hirsi, sitten sen yläpuolelle. Lopulta matemaatikot tulivat siihen tulokseen, että sopivin paikka pohjalle on viivan alapuolella symbolin jälkeen Hirsi. Logaritmimerkki - sanan "logaritmi" lyhenteen tulos - esiintyy eri muodoissa lähes samanaikaisesti ensimmäisten logaritmitaulukoiden, esim. Hirsi- I. Kepler (1624) ja G. Briggs (1631), Hirsi- kirjoittanut B. Cavalieri (1632). Nimitys ln varten luonnollinen logaritmi esitteli saksalainen matemaatikko Alfred Pringsheim (1893).
Sini, kosini, tangentti, kotangentti. W. Outred (1600-luvun puoliväli), I. Bernoulli (1700-luku), L. Euler (1748, 1753).
William Oughtred otti käyttöön sinin ja kosinin lyhenteet 1600-luvun puolivälissä. Tangentin ja kotangentin lyhenteet: tg, ctg Johann Bernoulli esitteli 1700-luvulla, ja ne levisivät laajalti Saksassa ja Venäjällä. Muissa maissa käytetään näiden toimintojen nimiä rusketus, pinnasänky Albert Girard ehdotti jo aikaisemmin, 1600-luvun alussa. SISÄÄN moderni muoto trigonometristen funktioiden teorian esitteli Leonhard Euler (1748, 1753), ja olemme hänelle velkaa todellisen symbolismin vahvistamisesta.Termin "trigonometriset funktiot" otti käyttöön saksalainen matemaatikko ja fyysikko Georg Simon Klügel vuonna 1770.
Intialaiset matemaatikot kutsuivat alun perin siniviivaa "arha-jiva"("puolikielinen", eli puoli sointu), sitten sana "archa" hylättiin ja siniviivaa alettiin kutsua yksinkertaisesti "jiva". Arabian kääntäjät eivät kääntäneet sanaa "jiva" Arabialainen sana "vatar", joka tarkoittaa merkkijonoa ja sointua ja kirjoitettiin arabialaisilla kirjaimilla ja alkoi kutsua siniviivaa "jiba". Vuodesta lähtien arabialainen Lyhyitä vokaalia ei ole merkitty, mutta sanassa on pitkä "i". "jiba" ilmaistaan samalla tavalla kuin puolivokaali "th", arabit alkoivat lausua siniviivan nimeä "jibe", joka tarkoittaa kirjaimellisesti "ontto", "sinus". Käännettäessä arabiankielisiä teoksia latinaksi eurooppalaiset kääntäjät käänsivät sanan "jibe" Latinalainen sana sinus, joilla on sama merkitys.Termi "tangentti" (lat.tangentit- koskettava) esitteli tanskalainen matemaatikko Thomas Fincke kirjassaan The Geometry of the Round (1583).
Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).
Käänteiset trigonometriset funktiot ovat matemaattisia funktioita, jotka ovat trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita. Käänteisen trigonometrisen funktion nimi muodostetaan vastaavan trigonometrisen funktion nimestä lisäämällä etuliite "kaari" (Lat. kaari- kaari).Käänteisissä trigonometrisissa funktioissa on tavallisesti kuusi funktiota: arcsini (arcsin), arccosine (arccos), arktosiini (arctg), arkotangentti (arcctg), arcsekantti (arcsec) ja arccosecant (arccosec). Daniel Bernoulli (1729, 1736) käytti erikoissymboleja käänteisille trigonometrisille funktioille.Käänteisten trigonometristen funktioiden merkitseminen etuliitteen avulla kaari(alkaen lat. arcus, kaari) ilmestyi itävaltalaisen matemaatikon Karl Scherferin kanssa ja vakiintui ranskalaisen matemaatikon, tähtitieteilijän ja mekaanikon Joseph Louis Lagrangen ansiosta. Tarkoituksena oli, että esimerkiksi tavallinen sini mahdollistaa sen ympyrän kaaren suuntaisen sointeen löytämisen, ja käänteinen funktio ratkaisee päinvastaisen ongelman. 1800-luvun loppuun asti englantilaiset ja saksalaiset matemaattiset koulut ehdottivat muita merkintöjä: synti -1 ja 1/sin, mutta niitä ei käytetä laajasti.
Hyperbolinen sini, hyperbolinen kosini. V. Riccati (1757).
Historioitsijat löysivät hyperbolisten funktioiden ensimmäisen esiintymisen englantilaisen matemaatikon Abraham de Moivren (1707, 1722) teoksista. Italialainen Vincenzo Riccati teki niiden nykyaikaisen määritelmän ja yksityiskohtaisen tutkimuksen vuonna 1757 teoksessaan "Opusculorum", hän ehdotti myös niiden nimityksiä: sh,ch. Riccati aloitti yksikön hyperbelin tarkastelun. Riippumattoman löydön ja lisätutkimuksen hyperbolisten funktioiden ominaisuuksista suoritti saksalainen matemaatikko, fyysikko ja filosofi Johann Lambert (1768), joka totesi tavallisen ja hyperbolisen trigonometrian kaavojen laajan rinnakkaisuuden. N.I. Lobatševski käytti myöhemmin tätä rinnakkaisuutta yrittäessään todistaa ei-euklidisen geometrian johdonmukaisuuden, jossa tavallinen trigonometria korvataan hyperbolisella.
Samanlainen kuin trigonometrinen sini ja kosini ovat koordinaattiympyrän pisteen koordinaatit, hyperbolinen sini ja kosini ovat hyperbelin pisteen koordinaatit. Hyperboliset funktiot ilmaistaan eksponentiaalin kautta ja liittyvät läheisesti toisiinsa trigonometriset funktiot: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Analogisesti trigonometristen funktioiden kanssa hyperbolinen tangentti ja kotangentti määritellään hyperbolisen sinin ja kosinin, kosinin ja sinin suhteiksi, vastaavasti.
Ero. G. Leibniz (1675, julkaistu 1684).
Funktioinkrementin lineaarinen pääosa.Jos toiminto y=f(x) yksi muuttuja x:llä on klo x=x 0johdannainen ja lisäysΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)toimintoja f(x) voidaan esittää muodossaΔy=f"(x0)Δx+R(Δx) , missä on jäsen Räärettömän pieni verrattunaΔx. Ensimmäinen jäsendy=f"(x0)Δxtässä laajennuksessa ja sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi f(x) pisteessäx 0. SISÄÄN Gottfried Leibnizin, Jacobin ja Johann Bernoullin teoksia"ero"käytettiin "lisäyksen" merkityksessä, sitä merkitsi I. Bernoulli Δ:n kautta. G. Leibniz (1675, julkaistu 1684) käytti merkintää "äärettömälle pienelle erolle"d- sanan ensimmäinen kirjain"ero", jonka hän on muodostanut"ero".
Epämääräinen integraali. G. Leibniz (1675, julkaistu 1686).
Sanaa "integraali" käytti ensimmäisen kerran painettuna Jacob Bernoulli (1690). Ehkä termi on johdettu latinan kielestä kokonaisluku-kokonainen. Toisen oletuksen mukaan perustana oli latinalainen sana integro- palauttaa entiseen tilaan, palauttaa. Merkkiä ∫ käytetään edustamaan integraalia matematiikassa ja se on tyylitelty esitys latinalaisen sanan ensimmäisestä kirjaimesta summa - summa. Sitä käytti ensimmäisenä saksalainen matemaatikko ja differentiaali- ja integraalilaskennan perustaja Gottfried Leibniz 1600-luvun lopulla. Toinen differentiaali- ja integraalilaskennan perustajista, Isaac Newton, ei ehdottanut teoksissaan vaihtoehtoista symboliikkaa integraalille, vaikka hän kokeilikin erilaisia vaihtoehtoja: pystypalkkia funktion yläpuolella tai neliömerkkiä, joka seisoo funktion edessä tai rajaa sitä. Epämääräinen integraali funktiolle y=f(x) on tietyn funktion kaikkien antijohdannaisten joukko.
Varma integraali. J. Fourier (1819-1822).
Funktion määrätty integraali f(x) alemmalla rajalla a ja yläraja b voidaan määritellä eroksi F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Missä F(x)- jonkin verran toiminnan antijohdannainen f(x) . Varma integraali a ∫ b f(x)dx numeerisesti yhtä suuri kuin pinta-ala kuva, jota x-akseli rajoittaa suorilla viivoilla x=a Ja x=b ja funktion kuvaaja f(x). Määrätyn integraalin suunnittelua meille tutussa muodossa ehdotti ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Jean Baptiste Joseph Fourier 1800-luvun alussa.
Johdannainen. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Derivaata on differentiaalilaskennan peruskäsite, joka kuvaa funktion muutosnopeutta f(x) kun argumentti muuttuu x . Se määritellään rajaksi funktion lisäyksen suhteelle sen argumentin kasvuun, koska argumentin lisäys pyrkii nollaan, jos tällainen raja on olemassa. Funktiota, jolla on jossain pisteessä äärellinen derivaatta, kutsutaan siinä pisteessä differentioituvaksi. Derivaatan laskentaprosessia kutsutaan differentiaatioksi. Käänteinen prosessi on integrointi. Klassisessa differentiaalilaskennassa derivaatta määritellään useimmiten rajateorian käsitteiden kautta, mutta historiallisesti rajateoria ilmestyi myöhemmin kuin differentiaalilaskenta.
Termin "johdannainen" otti käyttöön Joseph Louis Lagrange vuonna 1797, hän käyttää myös johdannaisen ilmaisua vedolla (1770, 1779). dy/dx- Gottfried Leibniz vuonna 1675. Tapa, jolla aikaderivaata merkitään pisteellä kirjaimen päällä, on peräisin Newtonilta (1691).Venäläistä termiä "funktion johdannainen" käytti ensin venäläinen matemaatikkoVasily Ivanovich Viskovatov (1779-1812).
Osittainen johdannainen. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Monien muuttujien funktioille määritellään osittaiset derivaatat - derivaatat suhteessa yhteen argumenteista, jotka lasketaan olettaen, että muut argumentit ovat vakioita. Nimitykset ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y esitteli ranskalainen matemaatikko Adrien Marie Legendre vuonna 1786; fx",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ y- toisen asteen osittaiset derivaatat - saksalainen matemaatikko Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Ero, lisäys. I. Bernoulli (1600-luvun loppu - 1700-luvun ensimmäinen puolisko), L. Euler (1755).
Sveitsiläinen matemaatikko Johann Bernoulli käytti ensimmäisen kerran lisäyksen merkintää kirjaimella Δ. SISÄÄN yleinen käytäntö Delta-symbolin käyttö otettiin käyttöön Leonhard Eulerin työn jälkeen vuonna 1755.
Summa. L. Euler (1755).
Summa on suureiden (lukujen, funktioiden, vektorien, matriisien jne.) yhteenlaskemisen tulos. N:n luvun a 1, a 2, ..., a n summan merkitsemiseen käytetään kreikkalaista kirjainta "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Σ-merkin summalle otti käyttöön Leonhard Euler vuonna 1755.
Tehdä työtä. K. Gauss (1812).
Tulo on kertolaskun tulos. N:n luvun tuloa a 1, a 2, ..., a n merkitään kreikkalaisella kirjaimella pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Esimerkiksi 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Saksalainen matemaatikko Carl Gauss otti tuotteen Π-merkin käyttöön vuonna 1812. Venäläisessä matemaattisessa kirjallisuudessa termin "tuote" tapasi ensimmäisenä Leonty Filippovich Magnitsky vuonna 1703.
Factorial. K. Crump (1808).
Luvun n faktoriaali (merkitty n!, lausutaan "en factorial") on kaikkien luonnollisten lukujen tulo n:ään asti: n! = 1·2·3·...·n. Esimerkiksi 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Määritelmän mukaan 0! = 1. Faktoriaali määritellään vain ei-negatiivisille kokonaisluvuille. Luvun n tekijä on yhtä suuri kuin n alkion permutaatioiden lukumäärä. Esimerkiksi 3! = 6, todellakin
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Kaikki kuusi ja vain kuusi kolmen elementin permutaatiota.
Termin "factorial" otti käyttöön ranskalainen matemaatikko ja poliitikko Louis Francois Antoine Arbogast (1800), nimitys n! - Ranskalainen matemaatikko Christian Crump (1808).
Moduuli, itseisarvo. K. Weierstrass (1841).
Reaaliluvun x itseisarvo on ei-negatiivinen luku, joka määritellään seuraavasti: |x| = x, kun x ≥ 0, ja |x| = -x, kun x ≤ 0. Esimerkiksi |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Kompleksiluvun z = a + ib moduuli on reaaliluku, joka on yhtä suuri kuin √(a 2 + b 2).
Uskotaan, että sanaa "moduuli" ehdotti englantilainen matemaatikko ja filosofi, Newtonin opiskelija Roger Cotes. Gottfried Leibniz käytti myös tätä funktiota, jota hän kutsui "moduuliksi" ja merkitsi: mol x. Yleisesti hyväksytyn absoluuttisen arvon merkinnän otti vuonna 1841 käyttöön saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass. Kompleksiluvuille tämän käsitteen otettiin käyttöön ranskalaiset matemaatikot Augustin Cauchy ja Jean Robert Argan 1800-luvun alussa. Vuonna 1903 itävaltalainen tiedemies Konrad Lorenz käytti samaa symboliikkaa vektorin pituudelle.
Normi. E. Schmidt (1908).
Normi on vektoriavaruuteen määritelty funktio, joka yleistää käsitteen vektorin pituudesta tai luvun moduulista. Merkin "normi" (latinan sanasta "norma" - "sääntö", "näyte") otti käyttöön saksalainen matemaatikko Erhard Schmidt vuonna 1908.
Raja. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), monet matemaatikot (1900-luvun alkuun asti)
Raja - yksi matemaattisen analyysin peruskäsitteitä, mikä tarkoittaa, että tietty muuttuja kyseessä olevan muutoksen prosessissa lähestyy tiettyä arvoa loputtomasti vakioarvo. Rajan käsitettä käyttivät intuitiivisesti jo 1600-luvun toisella puoliskolla Isaac Newton sekä 1700-luvun matemaatikot, kuten Leonhard Euler ja Joseph Louis Lagrange. Ensimmäiset tiukat määritelmät sekvenssin rajalle antoivat Bernard Bolzano vuonna 1816 ja Augustin Cauchy vuonna 1821. Symboli lim (kolme ensimmäistä kirjainta latinalaisesta sanasta limes - raja) ilmestyi vuonna 1787 sveitsiläisen matemaatikon Simon Antoine Jean Lhuillierin kanssa, mutta sen käyttö ei vielä muistuttanut nykyaikaista. Ilmaisun lim meille tutussa muodossa käytti ensimmäisen kerran irlantilainen matemaatikko William Hamilton vuonna 1853.Weierstrass esitteli nykyaikaista läheistä nimitystä, mutta tavanomaisen nuolen sijaan hän käytti yhtäläisyysmerkkiä. Nuoli ilmestyi 1900-luvun alussa useiden matemaatikoiden kanssa samanaikaisesti - esimerkiksi englantilaisen matemaatikon Godfried Hardyn kanssa vuonna 1908.
Zeta-toiminto, d Riemannin zeta-funktio. B. Riemann (1857).
Kompleksimuuttujan s = σ + it analyyttinen funktio arvolle σ > 1, määritetty absoluuttisesti ja tasaisesti konvergentilla Dirichlet-sarjalla:
ζ(s) = 1-s + 2-s + 3-s +....
Jos σ > 1, esitys Euler-tulon muodossa on voimassa:
ζ(s) = Π s (1-p -s) -s,
jossa tuote on otettu kaikki prime p. Zeta-funktiolla on suuri rooli lukuteoriassa.Reaalimuuttujan funktiona zeta-funktion esitteli vuonna 1737 (julkaistu 1744) L. Euler, joka osoitti sen hajoamisen tuotteeksi. Sitten tätä funktiota harkitsi saksalainen matemaatikko L. Dirichlet ja erityisen menestyksekkäästi venäläinen matemaatikko ja mekaanikko P.L. Chebyshev tutkiessaan jakelulakia alkuluvut. Zeta-funktion syvimmät ominaisuudet löydettiin kuitenkin myöhemmin, saksalaisen matemaatikon Georg Friedrich Bernhard Riemannin (1859) työn jälkeen, jossa zeta-funktiota pidettiin kompleksisen muuttujan funktiona; Hän otti käyttöön myös nimen "zeta-funktio" ja nimityksen ζ(s) vuonna 1857.
Gammafunktio, Euler Γ -funktio. A. Legendre (1814).
Gammafunktio on matemaattinen funktio, joka laajentaa faktoriaalin käsitteen kompleksilukujen kentälle. Yleensä merkitään Γ(z). G-funktion esitteli ensimmäisenä Leonhard Euler vuonna 1729; se määritetään kaavalla:
Γ(z) = rajan→∞ n!·nz/z(z+1)...(z+n).
Ilmaistaan G-funktion kautta iso luku integraalit, äärettömät tulot ja sarjojen summat. Käytetään laajasti analyyttisessä lukuteoriassa. Nimen "Gammafunktio" ja merkintää Γ(z) ehdotti ranskalainen matemaatikko Adrien Marie Legendre vuonna 1814.
Beta-toiminto, B-toiminto, Euler B-toiminto. J. Binet (1839).
Kahden muuttujan p ja q funktio, jotka on määritelty arvoille p>0, q>0 yhtälöllä:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Beetafunktio voidaan ilmaista Γ-funktiolla: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Aivan kuten kokonaislukujen gammafunktio on faktoraalin yleistys, beetafunktio on tietyssä mielessä binomikertoimien yleistys.
Beta-funktio kuvaa monia ominaisuuksiaalkuainehiukkasia osallistumassa vahva vuorovaikutus. Tämän ominaisuuden huomasi italialainen teoreettinen fyysikkoGabriele Veneziano vuonna 1968. Tämä merkitsi alkua säieteoria.
Ranskalainen matemaatikko, mekaanikko ja tähtitieteilijä Jacques Philippe Marie Binet otti käyttöön vuonna 1839 nimen "betafunktio" ja merkinnän B(p, q).
Laplace-operaattori, Laplacian. R. Murphy (1833).
Lineaarinen differentiaalioperaattori Δ, joka toimii φ (x 1, x 2, ..., x n) n muuttujasta x 1, x 2, ..., x n liittää funktion:
Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.
Erityisesti yhden muuttujan funktiolle φ(x) Laplace-operaattori on sama kuin 2. derivaatan operaattori: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Yhtälöä Δφ = 0 kutsutaan yleensä Laplacen yhtälöksi; Tästä ovat peräisin nimet "Laplace-operaattori" tai "Laplacian". Englantilainen fyysikko ja matemaatikko Robert Murphy otti käyttöön merkinnän Δ vuonna 1833.
Hamilton-operaattori, nabla-operaattori, Hamiltonilainen. O. Heaviside (1892).
Lomakkeen
∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂v · j+ ∂/∂z · k,
Missä i, j, Ja k- koordinaattiyksikkövektorit. Vektorianalyysin perustoiminnot sekä Laplace-operaattori ilmaistaan luonnollisella tavalla Nabla-operaattorin kautta.
Vuonna 1853 irlantilainen matemaatikko William Rowan Hamilton esitteli tämän operaattorin ja loi sen symbolin ∇ käänteiseksi kreikkalaiseksi kirjaimeksi Δ (delta). Hamiltonissa symbolin kärki osoitti vasemmalle, myöhemmin skotlantilaisen matemaatikon ja fyysikon Peter Guthrie Taten teoksissa symboli sai nykyaikaisen muotonsa. Hamilton kutsui tätä symbolia "atlediksi" (sana "delta" luettuna taaksepäin). Myöhemmin englantilaiset tutkijat, mukaan lukien Oliver Heaviside, alkoivat kutsua tätä symbolia "nablaksi" foinikialaisten aakkosten ∇-kirjaimen nimen mukaan, jossa se esiintyy. Kirjeen alkuperä liittyy musiikki-instrumenttiin, kuten harppuun, ναβλα (nabla) muinaisessa kreikassa, joka tarkoittaa "harppua". Operaattoria kutsuttiin Hamilton-operaattoriksi tai nabla-operaattoriksi.
Toiminto. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Matemaattinen käsite, joka heijastaa joukkojen elementtien välistä suhdetta. Voidaan sanoa, että funktio on "laki", "sääntö", jonka mukaan yhden joukon jokainen elementti (kutsutaan määritelmäalueeksi) liittyy johonkin toisen joukon elementtiin (kutsutaan arvoalueeksi). Funktion matemaattinen käsite ilmaisee intuitiivisen ajatuksen siitä, kuinka yksi suure määrittää täysin toisen suuren arvon. Usein termi "funktio" viittaa numeeriseen funktioon; eli funktio, joka asettaa jotkin numerot vastaamaan muita. Pitkään aikaan matemaatikot määrittelivät argumentit ilman sulkeita, esimerkiksi näin - φх. Tätä merkintää käytti ensimmäisen kerran sveitsiläinen matemaatikko Johann Bernoulli vuonna 1718.Sulkuja käytettiin vain monien argumenttien tapauksessa ja myös jos argumentti oli monimutkainen ilmaisu. Tuon ajan kaikuja ovat edelleen käytössä olevat tallenteetsin x, log xjne. Mutta vähitellen sulkujen, f(x) käyttö alkoi yleissääntö. Ja tärkein ansio tästä kuuluu Leonhard Eulerille.
Tasa-arvo. R. Record (1557).
Yhtävyysmerkkiä ehdotti walesilainen lääkäri ja matemaatikko Robert Record vuonna 1557; symbolin ääriviivat olivat paljon pidempiä kuin nykyisen, koska se jäljitteli kahden rinnakkaisen segmentin kuvaa. Kirjoittaja selitti, ettei maailmassa ole mitään tasa-arvoisempaa kuin kaksi samanpituista rinnakkaista segmenttiä. Ennen tätä antiikin ja keskiajan matematiikassa tasa-arvoa merkittiin verbaalisesti (esim est egale). Rene Descartes alkoi 1600-luvulla käyttää æ:tä (lat. aequalis), ja hän käytti nykyaikaista yhtäläisyysmerkkiä osoittamaan, että kerroin voi olla negatiivinen. François Viète merkitsi vähennyslaskua yhtäläisyysmerkillä. Ennätyksen symboli ei levinnyt heti. Ennätyssymbolin leviämistä vaikeutti se, että muinaisista ajoista lähtien samaa symbolia on käytetty osoittamaan suorien viivojen yhdensuuntaisuutta; Lopulta yhdensuuntaisuuden symbolista päätettiin tehdä pystysuora. Manner-Euroopassa Gottfried Leibniz otti "="-merkin käyttöön vasta 1600-1700-luvun vaihteessa, eli yli 100 vuotta Robert Recordin kuoleman jälkeen, joka käytti sitä ensimmäisenä tähän tarkoitukseen.
Suunnilleen sama, suunnilleen sama. A. Gunther (1882).
allekirjoittaa " Saksalainen matemaatikko ja fyysikko Adam Wilhelm Sigmund Günther otti sanan ≈ käyttöön symbolina suhteelle "likimäärin yhtä suuri" vuonna 1882.
Enemmän vähemmän. T. Harriot (1631).
Englantilainen tähtitieteilijä, matemaatikko, etnografi ja kääntäjä Thomas Harriot otti nämä kaksi merkkiä käyttöön vuonna 1631; ennen sitä käytettiin sanoja "enemmän" ja "vähemmän".
Vertailukelpoisuus. K. Gauss (1801).
Vertailu on kahden kokonaisluvun n ja m välinen suhde, mikä tarkoittaa sitä n-m ero näistä luvuista jaetaan annetulla kokonaisluvulla a, jota kutsutaan vertailumoduuliksi; se kirjoitetaan: n≡m(mod a) ja lukee "luvut n ja m ovat vertailukelpoisia modulo a". Esimerkiksi 3≡11(mod 4), koska 3-11 on jaollinen 4:llä; luvut 3 ja 11 ovat vertailukelpoisia modulo 4:llä. Kongruenssilla on monia samanlaisia ominaisuuksia kuin yhtälöillä. Näin ollen vertailun yhdessä osassa oleva termi voidaan siirtää päinvastaisella merkillä toiseen osaan ja samalla moduulilla tehtyjä vertailuja voidaan lisätä, vähentää, kertoa, molemmat vertailun osat voidaan kertoa samalla luvulla jne. . Esimerkiksi,
3≡9+2 (mod 4) ja 3-2≡9 (mod 4)
Samalla oikeita vertailuja. Ja oikeasta vertailuparista 3≡11 (mod 4) ja 1≡5 (mod 4) seuraavaa:
3+1≡11+5 (mod 4)
3-1≡11-5 (mod 4)
3·1≡11·5 (mod 4)
3 2 ≡ 11 2 (mod 4)
3·23≡11·23 (mod 4)
Lukuteoria käsittelee menetelmiä erilaisten vertailujen ratkaisemiseksi, ts. menetelmiä löytää kokonaislukuja, jotka tyydyttävät yhden tai toisen tyyppiset vertailut. Modulo-vertailuja käytti ensimmäisenä saksalainen matemaatikko Carl Gauss vuonna 1801 ilmestyneessä kirjassaan Aritmetic Studies. Hän ehdotti myös matematiikassa vakiintunutta vertauskuvaa.
Identiteetti. B. Riemann (1857).
Identiteetti on kahden analyyttisen lausekkeen yhtäläisyys, joka pätee mille tahansa hyväksyttäviä arvoja siihen sisältyvät kirjaimet. Yhtälö a+b = b+a pätee kaikille a:n ja b:n numeerisille arvoille ja on siksi identiteetti. Identiteettien kirjaamiseen on joissain tapauksissa vuodesta 1857 lähtien käytetty merkkiä ”≡” (lue ”identtisesti yhtäläinen”), jonka kirjoittaja tässä käytössä on saksalainen matemaatikko Georg Friedrich Bernhard Riemann. Voit kirjoittaa ylös a+b ≡ b+a.
Kohtisuoraus. P. Erigon (1634).
kohtisuora - keskinäinen järjestely kaksi suoraa, tasoa tai suoraa ja tasoa, jossa esitetyt luvut muodostavat suoran kulman. Merkin ⊥, joka ilmaisee kohtisuoraa, otti käyttöön vuonna 1634 ranskalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Pierre Erigon. Perpendikulaarisuuden käsitteellä on useita yleistyksiä, mutta kaikkiin niihin liittyy yleensä merkki ⊥.
Rinnakkaisuus. W. Outred (postuumipainos 1677).
Parallelismi on tiettyjen geometristen kuvioiden välinen suhde; esimerkiksi suora. Määritelty eri tavalla riippuen eri geometrioista; esimerkiksi Eukleideen geometriassa ja Lobatševskin geometriassa. Rinnakkaisuuden merkki on tunnettu muinaisista ajoista lähtien, sitä käyttivät Aleksandrian Heron ja Pappus. Aluksi symboli oli samanlainen kuin nykyinen yhtäläisyysmerkki (vain laajennettu), mutta jälkimmäisen ilmaantuessa symboli käännettiin sekaannusten välttämiseksi pystysuunnassa ||. Se ilmestyi tässä muodossa ensimmäistä kertaa englantilaisen matemaatikon William Oughtredin teosten postuumipainoksessa vuonna 1677.
Risteys, liitto. J. Peano (1888).
Joukkojen leikkauspiste on joukko, joka sisältää ne ja vain ne alkiot, jotka kuuluvat samanaikaisesti kaikkiin annettuihin joukkoihin. Joukkojen liitto on joukko, joka sisältää kaikki alkuperäisten joukkojen elementit. Leikkausta ja liittoa kutsutaan myös operaatioiksi joukoissa, jotka osoittavat tietyille joukoille uusia joukkoja yllä olevien sääntöjen mukaisesti. Merkitään ∩ ja ∪, vastaavasti. Esimerkiksi jos
A= (♠ ♣ ) Ja B= (♣ ♦),
Että
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Sisältää, sisältää. E. Schroeder (1890).
Jos A ja B ovat kaksi joukkoa ja A:ssa ei ole alkioita, jotka eivät kuulu B:hen, niin he sanovat, että A sisältyy B:hen. He kirjoittavat A⊂B tai B⊃A (B sisältää A:n). Esimerkiksi,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Symbolit "sisältää" ja "sisältää" julkaisi vuonna 1890 saksalainen matemaatikko ja loogikko Ernst Schroeder.
Liittyminen. J. Peano (1895).
Jos a on joukon A alkio, kirjoita a∈A ja lue "a kuuluu A:lle". Jos a ei ole joukon A alkio, kirjoita a∉A ja lue "a ei kuulu A:han". Aluksi suhteita "sisältyy" ja "kuuluu" ("on elementti") ei erotettu, mutta ajan myötä nämä käsitteet vaativat eriyttämistä. Symbolia ∈ käytti ensimmäisen kerran italialainen matemaatikko Giuseppe Peano vuonna 1895. Symboli ∈ tulee kreikan sanan εστι ensimmäisestä kirjaimesta - olla.
Universaliteetin kvantoija, olemassaolon kvantori. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Kvantifier - yleinen nimi loogisille operaatioille, jotka osoittavat predikaatin totuusalueen (matemaattinen lause). Filosofit ovat pitkään kiinnittäneet huomiota loogisiin operaatioihin, jotka rajoittavat predikaatin totuusaluetta, mutta eivät ole tunnistaneet niitä erilliseksi operaatioluokkaksi. Vaikka kvantoriloogisia konstruktioita käytetään laajalti sekä tieteellisessä että jokapäiväisessä puheessa, niiden formalisointi tapahtui vasta vuonna 1879, saksalaisen loogikon, matemaatikon ja filosofin Friedrich Ludwig Gottlob Fregen kirjassa "The Calculus of Concepts". Fregen merkintä näytti vaivalloisilta graafisilta rakenteilta, eikä sitä hyväksytty. Myöhemmin ehdotettiin monia onnistuneita symboleja, mutta yleisesti hyväksytyt merkinnät olivat ∃ eksistentiaaliselle kvantorille (lue "olemassa", "on"), jota amerikkalainen filosofi, loogikko ja matemaatikko Charles Peirce ehdotti vuonna 1885, ja ∀ universaalille kvantorille (lue "kaikki" , "kaikki", "kaikki"), jonka saksalainen matemaatikko ja loogikko Gerhard Karl Erich Gentzen muodosti vuonna 1935 analogisesti eksistentiaalisen kvantorin symbolin kanssa (käänteiset ensimmäiset kirjaimet). englanninkielisiä sanoja olemassaolo (olemassaolo) ja mikä tahansa (mikä tahansa)). Esimerkiksi äänittää
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0, |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
kuuluu näin: "millä tahansa ε>0:lla on δ>0 siten, että kaikille x ei ole yhtä suuri kuin x 0 ja joka täyttää epäyhtälön |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Tyhjä setti. N. Bourbaki (1939).
Joukko, joka ei sisällä yhtä elementtiä. Tyhjän sarjan merkki otettiin käyttöön Nicolas Bourbakin kirjoissa vuonna 1939. Bourbaki on vuonna 1935 perustetun ranskalaisen matemaatikoryhmän kollektiivinen salanimi. Yksi Bourbaki-ryhmän jäsenistä oli Andre Weil, Ø-symbolin kirjoittaja.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
Matematiikassa todiste ymmärretään tiettyihin sääntöihin rakennettuna päättelysarjana, joka osoittaa, että tietty väite on totta. Renessanssista lähtien matemaatikot ovat merkinneet todisteen loppua lyhenteellä "Q.E.D.", latinalaisesta ilmaisusta "Quod Erat Demonstrandum" - "Mitä vaadittiin todistettavaksi". Luodessaan tietokoneen asettelujärjestelmää ΤΕΧ vuonna 1978 amerikkalainen tietojenkäsittelytieteen professori Donald Edwin Knuth käytti symbolia: täytettyä neliötä, niin sanottua "Halmos-symbolia", joka on nimetty unkarilaissyntyisen amerikkalaisen matemaatikon Paul Richard Halmosin mukaan. Nykyään todistuksen valmistumista ilmaisee yleensä Halmos-symboli. Vaihtoehtoisesti käytetään muita merkkejä: tyhjä neliö, suorakulmainen kolmio, // (kaksi vinoviivaa eteenpäin) sekä venäläinen lyhenne "ch.t.d."
Balagin Victor
Matemaattisten sääntöjen ja lauseiden löytämisen myötä tutkijat keksivät uusia matemaattisia merkintöjä ja merkkejä. Matemaattiset merkit ovat symboleja, jotka on suunniteltu tallentamaan matemaattisia käsitteitä, lauseita ja laskelmia. Matematiikassa erikoissymboleja käytetään lyhentämään merkintää ja ilmaisemaan lausetta tarkemmin. Erilaisten aakkosten (latinalainen, kreikka, heprea) numeroiden ja kirjainten lisäksi matemaattisessa kielessä käytetään monia viime vuosisatojen aikana keksittyjä erikoissymboleita.
Ladata:
Esikatselu:
MATEMAATISET SYMBOLIT.
Olen tehnyt työn
7. luokan oppilas
GBOU lukio nro 574
Balagin Victor
Lukuvuosi 2012-2013
MATEMAATISET SYMBOLIT.
- Johdanto
Sana matematiikka tuli meille antiikin kreikasta, jossa μάθημα tarkoitti "oppia", "hankkia tietoa". Ja se, joka sanoo: "En tarvitse matematiikkaa, minusta ei tule matemaatikkoa", on väärässä." Kaikki tarvitsevat matematiikkaa. Paljastaen meitä ympäröivän ihmeellisen numeromaailman, se opettaa meitä ajattelemaan selkeämmin ja johdonmukaisemmin, kehittää ajattelua, huomiokykyä ja edistää sinnikkyyttä ja tahtoa. M.V. Lomonosov sanoi: "Matematiikka laittaa mielen järjestykseen." Sanalla sanoen matematiikka opettaa meitä oppimaan hankkimaan tietoa.
Matematiikka on ensimmäinen tiede, jonka ihminen voi hallita. Vanhin aktiviteetti oli laskeminen. Jotkut primitiiviset heimot laskivat esineiden määrän sormillaan ja varpaillaan. Tähän päivään asti kivikaudelta säilynyt kalliomaalaus kuvaa numeroa 35 35 peräkkäisen tikun muodossa. Voimme sanoa, että 1 keppi on ensimmäinen matemaattinen symboli.
Nyt käyttämämme matemaattinen "kirjoitus" - tuntemattomien osoittamisesta kirjaimilla x, y, z integraalimerkkiin - kehittyi vähitellen. Symbolismin kehittyminen yksinkertaisti työtä matemaattisten operaatioiden kanssa ja vaikutti itse matematiikan kehitykseen.
Muinaisesta kreikasta "symboli" (kreikka. symbolon - merkki, merkki, salasana, tunnus) - merkki, joka liittyy sen osoittamaan objektiivisuuteen siten, että merkin ja sen kohteen merkitys esitetään vain itse merkillä ja paljastuu vain sen tulkinnan kautta.
Matemaattisten sääntöjen ja lauseiden löytämisen myötä tutkijat keksivät uusia matemaattisia merkintöjä ja merkkejä. Matemaattiset merkit ovat symboleja, jotka on suunniteltu tallentamaan matemaattisia käsitteitä, lauseita ja laskelmia. Matematiikassa erikoissymboleja käytetään lyhentämään merkintää ja ilmaisemaan lausetta tarkemmin. Erilaisten aakkosten (latinalainen, kreikka, heprea) numeroiden ja kirjainten lisäksi matemaattisessa kielessä käytetään monia viime vuosisatojen aikana keksittyjä erikoissymboleita.
2. Yhteen- ja vähennysmerkit
Matemaattisen merkinnän historia alkaa paleoliittista. Kivet ja luut, joissa on lovia, joita on käytetty laskemiseen, ovat peräisin tähän aikaan. Tunnetuin esimerkki onIshangon luu. Kuuluisa luu Ishangosta (Kongo), joka on peräisin noin 20 tuhatta vuotta eKr., todistaa, että jo tuolloin ihminen suoritti melko monimutkaisia matemaattisia operaatioita. Luissa olevia lovia käytettiin yhteenliittämiseen ja niitä käytettiin ryhmissä, mikä symboloi numeroiden lisäämistä.
Muinaisessa Egyptissä oli jo paljon kehittyneempi merkintäjärjestelmä. Esimerkiksi sisäänAhmes papyrusLisäyssymboli käyttää kuvaa, jossa kaksi jalkaa kävelevät eteenpäin tekstin poikki, ja vähennyssymboli käyttää kahta jalkaa kävelemässä taaksepäin.Muinaiset kreikkalaiset esittivät yhteenlaskua kirjoittamalla vierekkäin, mutta toisinaan käyttivät vinoviivasymbolia "/" ja puolielliptistä käyrää vähentämiseen.
Aritmeettisten yhteen- (plus "+") ja vähennyslaskutoimintojen (miinus "-") symbolit ovat niin yleisiä, että emme melkein koskaan ajattele sitä tosiasiaa, että niitä ei aina ollut olemassa. Näiden symbolien alkuperä on epäselvä. Yksi versio on, että niitä käytettiin aiemmin kaupankäynnissä voiton ja tappion merkkeinä.
Uskotaan myös, että meidän merkkitulee yhdestä muodosta sanasta "et", joka tarkoittaa "ja" latinaksi. Ilmaisu a+b se oli kirjoitettu latinaksi näin: a et b . Vähitellen, toistuvan käytön vuoksi, merkistä " et "jää vain" t "joka ajan myötä muuttui"+ ". Ensimmäinen henkilö, joka on saattanut käyttää merkkiälyhenteenä et:stä oli tähtitieteilijä Nicole d'Oresme (teoksen The Book of the Sky and the World kirjoittaja) 1300-luvun puolivälissä.
1500-luvun lopulla ranskalainen matemaatikko Chiquet (1484) ja italialainen Pacioli (1494) käyttivät ""tai" "" (merkitsee "plus") lisäykselle ja ""tai" '' (merkitsee "miinus") vähennyslaskua varten.
Vähennysmerkintä oli hämmentävämpi, koska yksinkertaisen "Saksalaisissa, sveitsiläisissä ja hollantilaisissa kirjoissa he käyttivät toisinaan symbolia "÷'", jota käytämme nykyään jakamiseen. Useissa 1600-luvun kirjoissa (kuten Descartes ja Mersenne) käytetään kahta pistettä "∙ ∙" tai kolmea pistettä "∙ ∙ ∙" osoittamaan vähennyslaskua.
Modernin algebrallisen symbolin ensimmäinen käyttö” viittaa saksalaiseen algebrakäsikirjoitukseen vuodelta 1481, joka löydettiin Dresdenin kirjastosta. Saman ajan latinalaisessa käsikirjoituksessa (myös Dresdenin kirjastosta) on molemmat merkit: "" Ja " - " . Merkkien järjestelmällinen käyttö"" ja " - " yhteen- ja vähennyslaskua varten löytyyJohann Widmann. Saksalainen matemaatikko Johann Widmann (1462-1498) käytti ensimmäisenä molempia merkkejä merkitsemään opiskelijoiden läsnäoloa ja poissaoloa luennoissaan. On totta, että on tietoa, että hän "lainasi" nämä merkit vähän tunnetulta Leipzigin yliopiston professorilta. Vuonna 1489 hän julkaisi ensimmäisen painetun kirjan Leipzigissä (merkantiili aritmetiikka - "kaupallinen aritmetiikka"), jossa molemmat merkit olivat läsnä Ja , teoksessa "Nopea ja miellyttävä tili kaikille kauppiaille" (n. 1490)
Historiallisena kurioosuutena on syytä huomata, että jopa merkin käyttöönoton jälkeenkaikki eivät käyttäneet tätä symbolia. Widmann itse esitteli sen kreikkalaisena ristinä(tänään käyttämämme merkki), jossa vaakaviiva on joskus hieman pidempi kuin pystysuora. Jotkut matemaatikot, kuten Record, Harriot ja Descartes, käyttivät samaa merkkiä. Toiset (kuten Hume, Huygens ja Fermat) käyttivät latinalaista ristiä "†", toisinaan sijoitettuna vaakasuoraan, jossa oli poikkipalkki toisessa tai toisessa päässä. Lopuksi jotkut (kuten Halley) käyttivät koristeellisempaa ilmettä " ».
3.Yhtävyysmerkki
Matematiikan ja muiden eksaktien tieteiden yhtäläisyysmerkki kirjoitetaan kahden kooltaan identtisen lausekkeen väliin. Diophantus käytti ensimmäisenä yhtäläisyysmerkkiä. Hän nimesi tasa-arvon kirjaimella i (kreikan sanasta isos - yhtäläinen). SISÄÄNantiikin ja keskiajan matematiikkatasa-arvo ilmaistiin suullisesti, esimerkiksi est egale, tai he käyttivät lyhennettä "ae" latinan sanasta aequalis - "tasa-arvoinen". Muut kielet käyttivät myös sanan "yhtä" ensimmäisiä kirjaimia, mutta tätä ei yleisesti hyväksytty. Yhtävyysmerkin "=" otti käyttöön vuonna 1557 walesilainen lääkäri ja matemaatikkoRobert Record(Recorde R., 1510-1558). Joissakin tapauksissa matemaattinen symboli tasa-arvon ilmaisemiseksi oli symboli II. Record esitteli symbolin "=" kahdella yhtä suurella vaakasuuntaisella viivalla, jotka ovat paljon pidempiä kuin nykyään käytetyt. Englantilainen matemaatikko Robert Record käytti ensimmäisenä tasa-arvosymbolia väittäen sanoilla: "Kaksi esinettä ei voi olla samanarvoisempi toistensa kanssa kuin kaksi rinnakkaista segmenttiä." Mutta silti mukanaXVII vuosisadallaRene Descarteskäytti lyhennettä "ae".Francois VietYhtävyysmerkki tarkoittaa vähennyslaskua. Tietue-symbolin leviämistä vaikeutti jonkin aikaa se, että samaa symbolia käytettiin osoittamaan suorien viivojen yhdensuuntaisuutta; Lopulta yhdensuuntaisuuden symbolista päätettiin tehdä pystysuora. Merkki tuli laajalle levinneeksi vasta Leibnizin työn jälkeen 1600-1700-luvun vaihteessa, eli yli 100 vuotta sen henkilön kuoleman jälkeen, joka käytti sitä ensimmäistä kertaa tähän tarkoitukseen.Robert Record. Hänen hautakivellään ei ole sanoja - vain siihen kaiverrettu yhtäläisyysmerkki.
Vastaavat symbolit, jotka osoittavat likimääräistä yhtäläisyyttä "≈" ja identiteettiä "≡" ovat hyvin nuoria - ensimmäisen esitteli Günther vuonna 1885, toisen vuonna 1857.Riemann
4. Kerto- ja jakomerkit
Kertolaskumerkin ristin muodossa ("x") esitteli anglikaaninen pappi-matemaatikkoWilliam Ooughtred V 1631. Ennen häntä M-kirjainta käytettiin kertomerkkinä, vaikka ehdotettiin myös muita merkintöjä: suorakulmion symboli (Erigon, ), tähti ( Johann Rahn, ).
Myöhemmin Leibnizkorvasi ristin pisteellä (loppu17. vuosisata), jotta sitä ei sekoiteta kirjaimeen x ; ennen häntä tällaista symboliikkaa löydettiin joukostaRegiomontana (15-luvulla) ja englantilainen tiedemiesThomas Herriot (1560-1621).
Osoittaa jaon toiminnanMuokataensisijainen kauttaviiva. Kaksoispiste alkoi merkitä jakautumistaLeibniz. Ennen heitä käytettiin usein myös kirjainta D. AlkaenFibonacci, käytetään myös arabiankielisissä teoksissa käytettyä murtoviivaa. Jako muodossa obelus ("÷"), jonka esitteli sveitsiläinen matemaatikkoJohann Rahn(n. 1660)
5. Prosenttimerkki.
Kokonaisuuden sadasosa yksikkönä otettuna. Itse sana "prosentti" tulee latinan sanasta "pro centum", joka tarkoittaa "sataa". Vuonna 1685 Pariisissa julkaistiin Mathieu de la Porten (1685) kirja "Manual of Commercial Aithmetic". Yhdessä paikassa puhuttiin prosenteista, jotka sitten nimettiin "cto" (lyhenne sanoista cento). Ladotaja kuitenkin luuli tämän "cto":n murto-osaan ja kirjoitti "%". Joten kirjoitusvirheen vuoksi tämä merkki otettiin käyttöön.
6. Ääretön merkki
Nykyinen ääretön symboli "∞" otettiin käyttöönJohn Wallis vuonna 1655. John Wallisjulkaisi suuren tutkielman "Äärettömän aritmetiikka" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), johon hän syötti keksimänsä symbolinääretön. Vielä ei tiedetä, miksi hän valitsi tämän merkin. Yksi arvovaltaisimmista hypoteeseista yhdistää tämän symbolin alkuperän latinalaiseen kirjaimeen "M", jota roomalaiset käyttivät edustamaan numeroa 1000.Matemaatikko Bernoulli antoi äärettömyyden symbolin nimeksi "lemniscus" (latinalainen nauha) noin neljäkymmentä vuotta myöhemmin.
Toinen versio sanoo, että kahdeksaslukuinen hahmo välittää "äärettömyyden" käsitteen pääominaisuuden: liikkeen loputtomasti . Numeron 8 linjoja pitkin voit liikkua loputtomasti, kuin pyöräteillä. Jotta syötettyä merkkiä ei sekoitettaisi numeroon 8, matemaatikot päättivät sijoittaa sen vaakasuoraan. Tapahtui. Tästä merkinnästä on tullut standardi kaikessa matematiikassa, ei vain algebrassa. Miksi ääretöntä ei edusta nolla? Vastaus on ilmeinen: riippumatta siitä, kuinka käännät numeroa 0, se ei muutu. Siksi valinta osui 8.
Toinen vaihtoehto on omaa häntäänsä syövä käärme, joka puolitoista tuhatta vuotta eKr Egyptissä symboloi erilaisia prosesseja, joilla ei ollut alkua tai loppua.
Monet uskovat, että Möbius-nauha on symbolin kantaääretön, koska äärettömyyden symboli patentoitiin Mobius-nauhalaitteen keksimisen jälkeen (nimetty 1800-luvun matemaatikon Moebiuksen mukaan). Möbius-nauha on kaareva ja päistään yhdistetty paperikaistale, joka muodostaa kaksi tilapintaa. Saatavilla olevien historiallisten tietojen mukaan äärettömyyden symbolia alettiin kuitenkin käyttää edustamaan ääretöntä kaksi vuosisataa ennen Möbius-kaistaleen löytämistä.
7. Merkit kulma a ja kohtisuorassa sti
Symbolit " kulma"ja" kohtisuorassa"keksittiin 1634ranskalainen matemaatikkoPierre Erigon. Hänen kohtisuora symboli oli käännetty ja muistuttaa kirjainta T. Kulmasymboli muistutti kuvaketta, antoi sille modernin muodonWilliam Ooughtred ().
8. Allekirjoita rinnakkaisuus Ja
Symboli " rinnakkaisuus» tunnettu muinaisista ajoista lähtien, sitä käytettiinHarmaahaikara Ja Pappus Aleksandriasta. Aluksi symboli oli samanlainen kuin nykyinen yhtäläisyysmerkki, mutta jälkimmäisen tullessa symbolia käännettiin sekaannusten välttämiseksi pystysuoraan (Muokata(1677), Kersey (John Kersey ) ja muut 1600-luvun matemaatikot)
9. Pi
Ympyrän kehän ja halkaisijan välistä suhdetta vastaava luku (3,1415926535...) muodostettiin ensin.William Jones V 1706, ottaa ensimmäisen kirjaimen kreikan sanoista περιφέρεια -ympyrä ja περίμετρος - ympärysmitta, eli ympärysmitta. Pidin tästä lyhenteestä.Euler, jonka teokset vahvistivat nimityksen.
10. Sini ja kosini
Sinin ja kosinin ulkonäkö on mielenkiintoinen.
Sinus latinasta - sinus, onkalo. Mutta tällä nimellä on pitkä historia. Intialaiset matemaatikot edistyivät trigonometriassa 500-luvun tienoilla. Itse sanaa "trigonometria" ei ollut olemassa, sen otti käyttöön Georg Klügel vuonna 1770.) Se, mitä me nyt kutsumme siniksi, vastaa suunnilleen sitä, mitä hindut kutsuivat ardha-jiyaksi, käännettynä puolikieliseksi (eli puolisoinnaksi). Lyhyyden vuoksi he kutsuivat sitä yksinkertaisesti jiyaksi (jono). Kun arabit käänsivät hindujen teoksia sanskritista, he eivät kääntäneet "merkkijonoa" arabiaksi, vaan yksinkertaisesti litteroivat sanan arabialaisilla kirjaimilla. Tuloksena oli jiba. Mutta koska tavuisessa arabiankielisessä kirjoituksessa lyhyitä vokaalia ei ole merkitty, jäljelle jää j-b, joka on samanlainen kuin toinen arabialainen sana - jaib (ontto, povi). Kun Gerard of Cremona käänsi arabeja latinaksi 1100-luvulla, hän käänsi sanan sinus, joka latinaksi tarkoittaa myös sinusta, masennusta.
Kosini ilmestyi automaattisesti, koska hindut kutsuivat sitä koti-jiyaksi tai lyhyesti ko-jiyaksi. Koti on sanskritin kielellä jousen kaareva pää.Nykyaikaiset pikakirjoitukset ja esiteltiin William Ooughtredja kirjattu teoksiin Euler.
Nimitys tangentti/cotangent on peräisin paljon myöhemmästä alkuperästä (englanninkielinen sana tangent tulee latinan sanasta tangere - koskettaa). Ja vieläkään ei ole yhtenäistä nimitystä - joissain maissa nimitystä tan käytetään useammin, toisissa - tg
11. Lyhenne "Mitä vaadittiin todistettavaksi" (jne.)
« Quod erat demonstrandum "(quol erat lamonstranlum).
Kreikan ilmaus tarkoittaa "mitä piti todistaa", ja latina tarkoittaa "mitä piti näyttää". Tämä kaava päättää muinaisen Kreikan suuren kreikkalaisen matemaatikon Eukleideen (3. vuosisadalla eKr.) kaikki matemaattiset päättelyt. Käännetty latinasta - mikä oli todistettava. Keskiaikaisissa tieteellisissä tutkielmissa tämä kaava kirjoitettiin usein lyhennetyssä muodossa: QED.
12. Matemaattinen merkintä.
Symbolit | Symbolien historia |
Plus- ja miinusmerkit ilmeisesti keksittiin saksalaisessa "kossistien" (eli algebraistien) matemaattisessa koulukunnassa. Niitä käytetään Johann Widmannin vuonna 1489 julkaistussa Aritmetiikassa. Aikaisemmin yhteenlaskua merkittiin kirjaimella p (plus) tai latinalaisella sanalla et (konjunktio "ja") ja vähennystä kirjaimella m (miinus). Widmannille plussymboli ei korvaa vain yhteenlaskua, vaan myös konjunktiota "ja". Näiden symbolien alkuperä on epäselvä, mutta todennäköisesti niitä käytettiin aiemmin kaupankäynnissä voiton ja tappion indikaattoreina. Molemmat symbolit yleistyivät melkein välittömästi Euroopassa - Italiaa lukuun ottamatta. |
|
× ∙ | William Oughtred (Englanti) otti kertomerkin käyttöön vuonna 1631 vinon ristin muodossa. Ennen häntä käytettiin kirjainta M. Myöhemmin Leibniz korvasi ristin pisteellä (1600-luvun lopulla), jotta se ei sekoita sitä kirjaimeen x; ennen häntä tällainen symboliikka löydettiin Regiomontanista (XV vuosisata) ja englantilaiselta tiedemieheltä Thomas Harriotilta (1560-1621). |
/ : ÷ | Ooughtred piti parempana kauttaviivaa. Leibniz alkoi merkitä jakautumista kaksoispisteellä. Ennen heitä käytettiin usein myös kirjainta D. Fibonaccista alkaen käytetään myös arabiankielisissä kirjoituksissa käytettyä murtoviivaa. Englannissa ja Yhdysvalloissa symboli ÷ (obelus), jota Johann Rahn ja John Pell ehdottivat 1600-luvun puolivälissä, yleistyi. |
= | Robert Record (1510-1558) ehdotti yhtäläisyysmerkkiä vuonna 1557. Hän selitti, ettei maailmassa ole mitään tasa-arvoisempaa kuin kaksi samanpituista rinnakkaista segmenttiä. Manner-Euroopassa yhtäläisyysmerkin otti käyttöön Leibniz. |
Thomas Herriot esitteli vertailevat merkit teoksessaan, joka julkaistiin postuumisti vuonna 1631. Ennen häntä he kirjoittivat sanoilla: enemmän, vähemmän. |
|
% | Prosenttisymboli esiintyy 1600-luvun puolivälissä useissa lähteissä, sen alkuperä on epäselvä. On olemassa hypoteesi, että se syntyi konekirjoittajan virheestä, joka kirjoitti lyhenteen cto (cento, sadasosa) arvoksi 0/0. On todennäköisempää, että tämä on kursiivinen kaupallinen kuvake, joka ilmestyi noin 100 vuotta aiemmin. |
√ | Juurimerkkiä käytti ensimmäisen kerran saksalainen matemaatikko Christoph Rudolf Cossist-koulusta vuonna 1525. Tämä symboli tulee sanan radix (juuri) tyylitellystä ensimmäisestä kirjaimesta. Aluksi radikaalin ilmaisun yläpuolella ei ollut viivaa; Descartes esitteli sen myöhemmin eri tarkoitukseen (sulujen sijaan), ja tämä ominaisuus sulautui pian juurimerkkiin. |
a n | Eksponentointi. Eksponentin nykyaikaisen merkinnän esitti Descartes teoksessaan "Geometria" (1637), kuitenkin vain luonnollisille potenssille, joka on suurempi kuin 2. Myöhemmin Newton laajensi tämän merkintämuodon negatiivisiin ja murto-osien eksponenteihin (1676). |
() | Tartagliassa (1556) esiintyi sulkeita radikaalilausekkeille, mutta useimmat matemaatikot halusivat alleviivata korostettua ilmaisua sulkeiden sijaan. Leibniz otti kiinnikkeet yleiseen käyttöön. |
Euler otti käyttöön summamerkin vuonna 1755 |
|
Gauss esitteli tuotesymbolin vuonna 1812 |
|
i | i-kirjain kuvitteellisena yksikkökoodina:ehdotti Euler (1777), joka otti tähän sanan imaginarius (imaginary) ensimmäisen kirjaimen. |
π | Yleisesti hyväksytyn nimityksen numerolle 3.14159... loi William Jones vuonna 1706, kun hän otti ensimmäisen kirjaimen kreikan sanoista περιφέρεια - ympyrä ja περίμετρος - ympärysmitta, eli ympärysmitta. |
Leibniz johti integraalin merkinnän sanan "Summa" ensimmäisestä kirjaimesta. |
|
y" | Derivaatan lyhyt merkintä alkuluvulla palaa Lagrangeen. |
Rajan symbolin ilmestyi vuonna 1787 Simon Lhuillier (1750-1840). |
|
Wallis keksi äärettömän symbolin, joka julkaistiin vuonna 1655. |
13. Johtopäätös
Matemaattinen tiede on välttämätöntä sivistyneelle yhteiskunnalle. Matematiikka sisältyy kaikkiin tieteisiin. Matemaattinen kieli sekoittuu kemian ja fysiikan kieleen. Mutta ymmärrämme sen silti. Voidaan sanoa, että alamme oppia matematiikan kieltä yhdessä äidinpuheemme kanssa. Näin matematiikka on erottamattomasti tullut elämäämme. Menneisyyden matemaattisten löytöjen ansiosta tiedemiehet luovat uusia teknologioita. Säilyneet löydöt mahdollistavat monimutkaisten matemaattisten ongelmien ratkaisemisen. Ja muinainen matemaattinen kieli on meille selvä, ja löydöt kiinnostavat meitä. Matematiikan ansiosta Archimedes, Platon ja Newton löysivät fyysiset lait. Opiskelemme niitä koulussa. Fysiikassa on myös fysikaaliselle tieteelle ominaisia symboleja ja termejä. Mutta matemaattinen kieli ei ole hukassa fyysisten kaavojen joukossa. Päinvastoin, näitä kaavoja ei voida kirjoittaa ilman matematiikkaa. Historia säilyttää tiedon ja tosiasiat tuleville sukupolville. Matematiikan lisätutkimukset ovat välttämättömiä uusille löydöksille. Jos haluat käyttää esityksen esikatselua, luo Google-tili ja kirjaudu sisään siihen: https://accounts.google.com
Dian kuvatekstit:
Matemaattiset symbolit Työn suoritti koulun nro 574 Balagin Victor 7. luokan oppilas
Symboli (kreikaksi symbolon - merkki, merkki, salasana, tunnus) on merkki, joka liittyy sen osoittamaan objektiivisuuteen siten, että merkin ja sen kohteen merkitys esitetään vain itse merkillä ja paljastuu vain sen kautta. tulkinta. Merkit ovat matemaattisia symboleja, jotka on suunniteltu tallentamaan matemaattisia käsitteitä, lauseita ja laskelmia.
Ishango Bone osa Ahmesin papyrusta
+ − Plus- ja miinusmerkit. Yhteenlasku osoitti kirjaimella p (plus) tai latinan sana et (konjunktio "ja") ja vähennys kirjaimella m (miinus). Lause a + b kirjoitettiin latinaksi näin: a et b.
Vähennysmerkintä. ÷ ∙ ∙ tai ∙ ∙ ∙ René Descartes Maren Mersenne
Sivu Johann Widmannin kirjasta. Vuonna 1489 Johann Widmann julkaisi ensimmäisen painetun kirjan Leipzigissä (Mercantile Aithmetic - "Kaupallinen aritmetiikka"), jossa oli sekä + että - -merkkejä.
Lisäysmerkintä. Christiaan Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley
Tasamerkki Diophantus käytti ensimmäisenä yhtäläisyysmerkkiä. Hän nimesi tasa-arvon kirjaimella i (kreikan sanasta isos - yhtäläinen).
Englantilaisen matemaatikon Robert Recordin vuonna 1557 ehdottama yhtäläisyysmerkki "Kaksi esinettä ei voi olla yhtä samanarvoisempi kuin kaksi rinnakkaista segmenttiä." Manner-Euroopassa yhtäläisyysmerkin otti käyttöön Leibniz
× ∙ William Oughtred (Englanti) otti kertomerkin käyttöön vuonna 1631 vinon ristin muodossa. Leibniz korvasi ristin pisteellä (1600-luvun lopulla), jotta sitä ei sekoitettaisi x-kirjaimeen. William Oughtred Gottfried Wilhelm Leibniz
Prosentti. Mathieu de la Porte (1685). Kokonaisuuden sadasosa yksikkönä otettuna. "prosentti" - "pro centum", mikä tarkoittaa "sataa kohden". "cto" (lyhenne sanoista cento). Kirjoittaja luuli "cto" murto-osaan ja kirjoitti "%".
ääretön. John Wallis John Wallis esitteli keksimänsä symbolin vuonna 1655. Häntänsä syövä käärme symboloi erilaisia prosesseja, joilla ei ole alkua tai loppua.
Äärettömyyssymbolia alettiin käyttää edustamaan ääretöntä kaksi vuosisataa ennen Möbius-nauhan löytymistä.Möbius-nauha on kaareva ja päistään liitetty paperikaistale, joka muodostaa kaksi avaruudellista pintaa. August Ferdinand Mobius
Kulma ja kohtisuora. Symbolit keksi vuonna 1634 ranskalainen matemaatikko Pierre Erigon. Erigonin kulmasymboli muistutti kuvaketta. Kohtisuoran symboli on käännetty ylösalaisin ja muistuttaa T-kirjainta. William Oughtred (1657) antoi näille merkeille nykyaikaisen muotonsa.
Rinnakkaisuus. Symbolia käyttivät Aleksandrian Heron ja Aleksandrian Pappus. Aluksi symboli oli samanlainen kuin nykyinen yhtäläisyysmerkki, mutta jälkimmäisen ilmaantuessa symboli käännettiin sekaannusten välttämiseksi pystysuoraan. Aleksandrian haikara
Pi. π ≈ 3,1415926535... William Jones vuonna 1706 π εριφέρεια on ympyrä ja π ερίμετρος on ympyrä eli ympärysmitta. Euler piti tästä lyhenteestä, jonka teokset lopulta vahvistivat nimityksen. William Jones
sin Sini ja kosini cos Sinus (latinasta) – sinus, onkalo. Kochi-jiya tai lyhennettynä ko-jiya. Coty - jousen kaareva pää. Modernin pikamerkinnän esitteli William Oughtred, ja se vakiintui Eulerin teoksiin. "Arha-jiva" - intiaanien keskuudessa - "puolikielinen" Leonard Euler William Oughtred
Mitä vaadittiin todistettavaksi (jne.) "Quod erat demonstrandum" QED. Tämä kaava päättää muinaisen Kreikan suuren matemaatikon Eukleideen (3. vuosisadalla eKr.) kaikki matemaattiset väitteet.
Muinainen matemaattinen kieli on meille selvä. Fysiikassa on myös fysikaaliselle tieteelle ominaisia symboleja ja termejä. Mutta matemaattinen kieli ei ole hukassa fyysisten kaavojen joukossa. Päinvastoin, näitä kaavoja ei voida kirjoittaa ilman matematiikkaa.
