Tällä oppitunnilla tarkastellaan, kuinka determinanttia käytetään säveltämiseen tasoyhtälö. Jos et tiedä, mikä determinantti on, siirry oppitunnin ensimmäiseen osaan - " Matriisit ja determinantit». Muuten vaarana on, että et ymmärrä mitään tämän päivän materiaalista.

Tason yhtälö kolmella pisteellä

Miksi ylipäänsä tarvitsemme tason yhtälön? Se on yksinkertaista: sen tietäen voimme helposti laskea kulmat, etäisyydet ja muuta paskaa tehtävässä C2. Yleensä tämä yhtälö on välttämätön. Siksi muotoilemme ongelman:

Tehtävä. Avaruudessa on kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Niiden koordinaatit:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

On kirjoitettava näiden kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö. Ja yhtälön pitäisi näyttää tältä:

Ax + By + Cz + D = 0

jossa luvut A , B , C ja D ovat kertoimia, jotka itse asiassa haluat löytää.

No, kuinka saada tason yhtälö, jos vain pisteiden koordinaatit tiedetään? Helpoin tapa on korvata koordinaatit yhtälöllä Ax + By + Cz + D = 0. Saat kolmen yhtälön järjestelmän, joka on helposti ratkaistava.

Monet opiskelijat pitävät tätä ratkaisua erittäin tylsänä ja epäluotettavana. Viime vuoden matematiikan tentti osoitti, että laskentavirheen todennäköisyys on todella korkea.

Siksi edistyneimmät opettajat alkoivat etsiä yksinkertaisempia ja tyylikkäämpiä ratkaisuja. Ja he löysivät sen! Totta, saatu vastaanotto on todennäköisempää korkeampaa matematiikkaa. Henkilökohtaisesti minun piti selata koko liittovaltion oppikirjojen luetteloa varmistaakseni, että meillä on oikeus käyttää tätä tekniikkaa ilman perusteita ja todisteita.

Determinantin läpi kulkevan tason yhtälö

Riittää jahkailua, ryhdytään asiaan. Aluksi lause siitä, kuinka matriisideterminantti ja tason yhtälö liittyvät toisiinsa.

Lause. Olkoon kolmen pisteen koordinaatit, joiden kautta taso on piirrettävä: M = (x 1 , y 1 , z 1 ); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Sitten tämän tason yhtälö voidaan kirjoittaa determinantin avulla:

Yritetään esimerkiksi löytää tasopari, jotka todella esiintyvät C2-ongelmissa. Katso kuinka nopeasti kaikki laskee:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Muodostamme determinantin ja rinnastamme sen nollaan:

Determinantin avaaminen:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Kuten näette, kun lasken lukua d, muokkasin yhtälöä hieman niin, että muuttujat x, y ja z olivat oikeassa järjestyksessä. Siinä kaikki! Tason yhtälö on valmis!

Tehtävä. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Korvaa välittömästi determinantin pisteiden koordinaatit:

Laajenna determinanttia uudelleen:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Joten, tasoyhtälö saadaan taas! Jälleen päälle viimeinen askel Minun piti vaihtaa siinä olevia kylttejä saadakseni "kauniimman" kaavan. Tätä ei tarvitse tehdä tässä ratkaisussa, mutta se on silti suositeltavaa - ongelman jatkoratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Kuten näet, tason yhtälön kirjoittaminen on nyt paljon helpompaa. Korvaamme pisteet matriisiin, laskemme determinantin - ja siinä kaikki, yhtälö on valmis.

Tämä voi olla oppitunnin loppu. Monet opiskelijat unohtavat kuitenkin jatkuvasti, mitä determinantin sisällä on. Esimerkiksi mikä rivi sisältää x 2 tai x 3 ja mikä rivi vain x . Tämän ratkaisemiseksi viimein jäljitetään, mistä kukin numero tulee.

Mistä determinantin sisältävä kaava tulee?

Joten selvitetään, mistä tällainen ankara yhtälö determinantin kanssa tulee. Tämä auttaa sinua muistamaan sen ja soveltamaan sitä menestyksekkäästi.

Kaikki tehtävässä C2 esiintyvät tasot määritellään kolmella pisteellä. Nämä kohdat on aina merkitty piirustukseen tai jopa suoraan ongelmatekstiin. Joka tapauksessa yhtälön laatimiseksi meidän on kirjoitettava niiden koordinaatit:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Harkitse vielä yhtä pistettä tasossamme mielivaltaisilla koordinaateilla:

T = (x, y, z)

Otamme minkä tahansa pisteen kolmesta ensimmäisestä (esimerkiksi pisteestä M ) ja piirretään siitä vektorit jokaiseen kolmeen jäljellä olevaan pisteeseen. Saamme kolme vektoria:

MN = (x 2 - x 1, y2 - y 1, z2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y1, z - z 1).

Tehdään nyt näistä vektoreista neliömatriisi ja rinnastetaan sen determinantti nollaan. Vektorien koordinaateista tulee matriisin rivejä - ja saamme saman determinantin, joka on esitetty lauseessa:

Tämä kaava tarkoittaa, että vektoreille MN , MK ja MT rakennetun laatikon tilavuus on nolla. Siksi kaikki kolme vektoria ovat samassa tasossa. Erityisesti mielivaltainen piste T = (x, y, z) on juuri sitä mitä etsimme.

Korvataan determinantin pisteet ja rivit

Determinanteissa on upeita ominaisuuksia, jotka tekevät siitä vieläkin helpompaa ongelman C2 ratkaisu. Esimerkiksi meille ei ole väliä, mistä pisteestä piirretään vektoreita. Siksi seuraavat determinantit antavat saman tasoyhtälön kuin yllä oleva:

Voit myös vaihtaa determinantin rivejä. Yhtälö pysyy ennallaan. Esimerkiksi monet ihmiset haluavat kirjoittaa suoran, jonka pisteen T = (x; y; z) koordinaatit ovat ylhäällä. Ole hyvä, jos se sopii sinulle:

Joitakin hämmentää se, että yksi riveistä sisältää muuttujat x , y ja z , jotka eivät katoa pisteitä korvattaessa. Mutta niiden ei pitäisi kadota! Korvaamalla numerot determinanttiin, sinun pitäisi saada seuraava konstruktio:

Sitten determinanttia laajennetaan oppitunnin alussa annetun kaavion mukaisesti ja saadaan tason standardiyhtälö:

Ax + By + Cz + D = 0

Katso esimerkkiä. Hän on tämän päivän oppitunnin viimeinen. Vaihdan tietoisesti rivit varmistaakseni, että vastaus on sama tason yhtälö.

Tehtävä. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Joten harkitsemme 4 pistettä:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Tehdään ensin vakiodeterminantti ja rinnastetaan se nollaan:

Determinantin avaaminen:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Siinä se, saimme vastauksen: x + y + z − 2 = 0 .

Järjestetään nyt pari riviä uudelleen determinantissa ja katsotaan mitä tapahtuu. Esimerkiksi kirjoitetaan rivi muuttujilla x, y, z ei alareunaan, vaan ylhäällä:

Laajennetaan saatua determinanttia uudelleen:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Saimme täsmälleen saman tasoyhtälön: x + y + z − 2 = 0. Eli se ei todellakaan riipu rivien järjestyksestä. Vielä on kirjoitettava vastaus ylös.

Olemme siis nähneet, että tason yhtälö ei riipu viivojen sarjasta. On mahdollista suorittaa samanlaisia ​​laskelmia ja todistaa, että tason yhtälö ei riipu pisteestä, jonka koordinaatit vähennämme muista pisteistä.

Yllä käsitellyssä tehtävässä käytimme pistettä B 1 = (1, 0, 1), mutta oli täysin mahdollista ottaa C = (1, 1, 0) tai D 1 = (0, 1, 1). Yleensä mikä tahansa piste, jolla on tunnetut koordinaatit, joka sijaitsee halutulla tasolla.

Jotta yksi taso voidaan piirtää minkä tahansa kolmen pisteen läpi avaruudessa, on välttämätöntä, että nämä pisteet eivät ole yhdellä suoralla.

Tarkastellaan pisteitä M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) yhteisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa.

Jotta mielivaltainen piste M(x, y, z) olisi samassa tasossa kuin pisteet M 1 , M 2 , M 3 , vektorien on oltava samassa tasossa.

(
) = 0

Täten,

Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

Tason yhtälö kahden pisteen suhteen ja tason kanssa kollineaarinen vektori.

Olkoon pisteet M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ja vektori
.

Muodostetaan yhtälö tasosta, joka kulkee annettujen pisteiden M 1 ja M 2 ja mielivaltaisen vektorin suuntaisen pisteen M (x, y, z) kautta .

Vektorit
ja vektori
on oltava samassa tasossa, ts.

(
) = 0

Tasoyhtälö:

Tason yhtälö yhden pisteen ja kahden vektorin suhteen,

kollineaarinen taso.

Olkoon kaksi vektoria annettu
Ja
, kollineaariset tasot. Sitten tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) vektorit
on oltava samassa tasossa.

Tasoyhtälö:

Tasoyhtälö pisteen ja normaalivektorin mukaan .

Lause. Jos piste M on annettu avaruudessa 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), sitten pisteen M läpi kulkevan tason yhtälö 0 kohtisuorassa normaalivektoriin nähden (A, B, C) näyttää:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Todiste. Tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) muodostetaan vektori . Koska vektori - normaalivektori, silloin se on kohtisuorassa tasoon nähden ja siten kohtisuorassa vektoriin nähden
. Sitten skalaaritulo

= 0

Siten saamme tason yhtälön

Lause on todistettu.

Tason yhtälö segmenteissä.

Jos yleisessä yhtälössä Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, jaa molemmat osat (-D)

,

korvaamalla
, saamme tason yhtälön segmenteissä:

Numerot a, b, c ovat vastaavasti tason leikkauspisteitä x-, y-, z-akselien kanssa.

Tasoyhtälö vektorimuodossa.

Missä

- nykyisen pisteen sädevektori M(x, y, z),

Yksikkövektori, jonka kohtisuoran suunta on pudonnut tasoon origosta.

,  ja  ovat kulmia, jotka tämä vektori muodostaa x-, y-, z-akselien kanssa.

p on tämän kohtisuoran pituus.

Koordinaateissa tällä yhtälöllä on muoto:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Etäisyys pisteestä tasoon.

Etäisyys mielivaltaisesta pisteestä M 0 (x 0, y 0, z 0) tasoon Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 on:

Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P (4; -3; 12) on alustasta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

Joten A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, käytä kaavaa:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Esimerkki. Etsi kahden pisteen P(2; 0; -1) kautta kulkevan tason yhtälö ja

Q(1; -1; 3) on kohtisuorassa tasoon 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normaalivektori tasolle 3x + 2y - z + 5 = 0
yhdensuuntainen halutun tason kanssa.

Saamme:

Esimerkki. Etsi pisteiden A(2, -1, 4) läpi kulkevan tason yhtälö ja

В(3, 2, -1) kohtisuorassa tasoon nähden X + klo + 2z – 3 = 0.

Halutulla tasoyhtälöllä on muoto: A x+B y+C z+ D = 0, tämän tason normaalivektori (A, B, C). Vektori
(1, 3, -5) kuuluu tasoon. Meille annetulla tasolla, joka on kohtisuorassa haluttuun nähden, on normaalivektori (1, 1, 2). Koska pisteet A ja B kuuluvat molempiin tasoihin ja tasot ovat siis keskenään kohtisuorassa

Normaalivektori siis (11, -7, -2). Koska piste A kuuluu haluttuun tasoon, silloin sen koordinaattien on täytettävä tämän tason yhtälö, ts. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Yhteensä saamme tason yhtälön: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P(4, -3, 12) on alustasta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

Normaalivektorin koordinaattien löytäminen
= (4, -3, 12). Haluttu tason yhtälö on muotoa: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Kertoimen D löytämiseksi korvaamme pisteen Р koordinaatit yhtälöön:

16 + 9 + 144 + D = 0

Yhteensä saamme halutun yhtälön: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Esimerkki. Kun on annettu pyramidin kärkien koordinaatit A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Laske reunan pituus A 1 A 2 .

Etsi reunojen A 1 A 2 ja A 1 A 4 välinen kulma.

Etsi reunan A 1 A 4 ja pinnan A 1 A 2 A 3 välinen kulma.

Etsi ensin normaalivektori kasvolle A 1 A 2 A 3 vektorien ristitulona
Ja
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Etsi kulma normaalivektorin ja vektorin välillä
.

-4 – 4 = -8.

Haluttu kulma  vektorin ja tason välillä on  = 90 0 - .

Etsi kasvojen pinta-ala A 1 A 2 A 3 .

Etsi pyramidin tilavuus.

Etsi tason А 1 А 2 А 3 yhtälö.

Käytämme kaavaa kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälöön.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

Kun käytät PC-versiota " Korkeamman matematiikan kurssi” voit ajaa ohjelman, joka ratkaisee yllä olevan esimerkin mille tahansa pyramidipisteiden koordinaatille.

Käynnistä ohjelma kaksoisnapsauttamalla kuvaketta:

Syötä avautuvaan ohjelmaikkunaan pyramidipisteiden koordinaatit ja paina Enter. Siten kaikki päätöspisteet voidaan saada yksitellen.

Huomautus: Jotta voit suorittaa ohjelman, sinulla on oltava Maple ( Waterloo Maple Inc.) asennettuna tietokoneellesi, mikä tahansa versio alkaen MapleV Release 4.

Tasoyhtälö. Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle?
Keskinäinen järjestely lentokoneita. Tehtävät

Tilageometria ei ole paljon monimutkaisempaa kuin "litteä" geometria, ja lentomme avaruudessa alkavat tästä artikkelista. Aiheen ymmärtämiseksi on oltava hyvä käsitys aiheesta vektorit, lisäksi on toivottavaa tuntea tason geometria - siellä on monia yhtäläisyyksiä, monia analogioita, joten tiedot sulautuvat paljon paremmin. Oppituntieni sarjassa 2D-maailma avautuu artikkelilla Tason suoran yhtälö. Mutta nyt Batman on poistunut taulutelevisiosta ja lähtee liikkeelle Baikonurin kosmodromista.

Aloitetaan piirustuksista ja symboleista. Kaavamaisesti taso voidaan piirtää suunnikkaana, joka antaa vaikutelman avaruudesta:

Taso on ääretön, mutta meillä on mahdollisuus kuvata vain osa siitä. Käytännössä suunnikkaan lisäksi piirretään myös soikea tai jopa pilvi. Teknisistä syistä minun on helpompi kuvata kone tällä tavalla ja tässä asennossa. Oikeita lentokoneita, joita harkitsemme käytännön esimerkkejä, voidaan järjestää haluamallasi tavalla - ota piirustus henkisesti käsiisi ja käännä sitä avaruudessa, jolloin tasolle kaltevuus, mikä tahansa kulma.

Merkintä: on tapana merkitä lentokoneet pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla, ilmeisesti, jotta niitä ei sekoitettaisi suoraan lentokoneessa tai kanssa suoraan avaruuteen. Olen tottunut käyttämään kirjainta. Piirustuksessa se on kirjain "sigma", eikä ollenkaan reikä. Vaikka reikäinen lentokone, se on varmasti erittäin hauska.

Joissakin tapauksissa on kätevää käyttää samoja kreikkalaisia ​​kirjaimia alaindeksien kanssa osoittamaan tasoja, esimerkiksi .

On selvää, että tason määrittää yksiselitteisesti kolme erilaista pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Siksi lentokoneiden kolmikirjaiminen nimitykset ovat melko suosittuja - esimerkiksi niihin kuuluvien pisteiden mukaan jne. Usein kirjaimet ovat sulkeissa: , jotta tasoa ei sekoitettaisi toiseen geometriseen kuvioon.

Kokeneille lukijoille annan pikavalikko:

• Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja kahden vektorin avulla?
• Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja normaalivektorin avulla?

emmekä joudu pitkiin odotuksiin:

Tason yleinen yhtälö

Tason yleinen yhtälö on muotoa , jossa kertoimet ovat samanaikaisesti nollasta poikkeavia.

Useita teoreettisia laskelmia ja käytännön tehtäviä pätevät sekä tavanomaiselle ortonormaalille että affiniselle avaruuden perustalle (jos öljy on öljyä, palaa oppitunnille Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta). Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että kaikki tapahtumat tapahtuvat ortonormaalilla pohjalla ja suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Ja nyt harjoitellaan vähän avaruudellista mielikuvitusta. Ei hätää, jos sinulla on se huono, nyt kehitetään sitä hieman. Myös hermoilla pelaaminen vaatii harjoittelua.

Yleisimmässä tapauksessa, kun luvut eivät ole yhtä suuria kuin nolla, taso leikkaa kaikki kolme koordinaattiakselia. Esimerkiksi näin:

Toistan vielä kerran, että kone jatkaa loputtomiin kaikkiin suuntiin, ja meillä on mahdollisuus kuvata vain osa siitä.

Harkitse yksinkertaisimpia tasojen yhtälöitä:

Kuinka ymmärtää tämä yhtälö? Ajattele sitä: "Z" AINA, kaikille "X":n ja "Y":n arvoille on nolla. Tämä on "natiivi" koordinaattitason yhtälö. Itse asiassa muodollisesti yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , josta on selvästi nähtävissä, että emme välitä, mitkä arvot "x" ja "y" ottavat, on tärkeää, että "z" on nolla.

Samalla lailla:
on koordinaattitason yhtälö ;
on koordinaattitason yhtälö.

Monimutkaistaan ​​ongelmaa hieman, harkitsemme tasoa (tässä ja edelleen kappaleessa oletetaan, että numeeriset kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin nolla). Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon: . Miten se ymmärretään? "X" on AINA, koska mikä tahansa "y":n ja "z":n arvo on yhtä suuri kuin tietty luku. Tämä taso on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa. Esimerkiksi taso on yhdensuuntainen tason kanssa ja kulkee pisteen läpi.

Samalla lailla:
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa;
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa.

Lisää jäseniä: . Yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , eli "Z" voi olla mikä tahansa. Mitä se tarkoittaa? "X" ja "Y" on yhdistetty suhteella, joka piirtää tietyn suoran tasoon (tunteat tasossa olevan suoran yhtälö?). Koska Z voi olla mikä tahansa, tämä viiva "toistetaan" millä tahansa korkeudella. Siten yhtälö määrittelee tason, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa

Samalla lailla:
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa;
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa.

Jos vapaat termit ovat nolla, tasot kulkevat suoraan vastaavien akselien läpi. Esimerkiksi klassinen "suora suhteellisuus":. Piirrä suora viiva tasoon ja kerro se henkisesti ylös ja alas (koska "z" on mikä tahansa). Johtopäätös: yhtälön antama taso kulkee koordinaattiakselin läpi.

Päätämme tarkastelun: tason yhtälö kulkee alkuperän läpi. No, tässä on aivan ilmeistä, että piste täyttää annetun yhtälön.

Ja lopuksi tapaus, joka näkyy piirustuksessa: - taso on ystävä kaikkien koordinaattiakseleiden kanssa, samalla kun se "leikkaa" aina kolmion, joka voi sijaita missä tahansa kahdeksasta oktantista.

Lineaariset epäyhtälöt avaruudessa

Tietojen ymmärtämiseksi on opiskella hyvin lineaariset epäyhtälöt tasossa koska monet asiat ovat samanlaisia. Kappale on lyhyt katsaus muutaman esimerkin kera, koska materiaali on käytännössä harvinaista.

Jos yhtälö määrittelee tason, niin epäyhtälöt
kysyä puolivälit. Jos epäyhtälö ei ole tiukka (luettelon kaksi viimeistä), niin epäyhtälön ratkaisu sisältää puoliavaruuden lisäksi itse tason.

Esimerkki 5

Etsi tason yksikkönormaalivektori .

Ratkaisu: Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi. Merkitään tämä vektori merkillä . On aivan selvää, että vektorit ovat kollineaarisia:

Ensin poistetaan normaalivektori tason yhtälöstä: .

Kuinka löytää yksikkövektori? Yksikkövektorin löytämiseksi tarvitset joka vektorikoordinaatti jaettuna vektorin pituudella.

Kirjoitetaan normaalivektori muotoon ja selvitetään sen pituus:

Yllä olevan mukaan:

Vastaus:

Tarkista: , joka oli tarkistettava.

Lukijat, jotka ovat tutkineet huolellisesti oppitunnin viimeistä kappaletta, luultavasti huomasivat sen yksikkövektorin koordinaatit ovat täsmälleen vektorin suuntakosinit:

Poistutaanpa puretun ongelman sisällöstä: kun sinulle annetaan mielivaltainen nollasta poikkeava vektori, ja ehdon mukaan sen suuntakosinit on löydettävä (katso oppitunnin viimeiset tehtävät Vektorien pistetulo), niin löydät itse asiassa myös yksikkövektorin, joka on kollineaarinen annetun vektorin kanssa. Itse asiassa kaksi tehtävää samassa pullossa.

Tarve löytää yksikkönormaalivektori syntyy joissakin matemaattisen analyysin ongelmissa.

Selvitimme normaalin vektorin kalastuksen, nyt vastaamme päinvastaiseen kysymykseen:

Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja normaalivektorin avulla?

Tikkataulu tuntee hyvin tämän normaalivektorin ja pisteen jäykän rakenteen. Ojenna kätesi eteenpäin ja valitse mielivaltaisesti mielivaltainen piste avaruudesta, esimerkiksi pieni kissa senkkissä. On selvää, että läpi annettu piste voit piirtää yhden tason kohtisuoraan käteesi nähden.

Vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan tason yhtälö ilmaistaan ​​kaavalla:

Tämän materiaalin puitteissa analysoimme kuinka löytää tason yhtälö, jos tiedämme sen kolmen eri pisteen koordinaatit, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Tätä varten meidän on muistettava, mikä on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä kolmiulotteisessa avaruudessa. Ensin esittelemme tämän yhtälön perusperiaatteen ja näytämme, kuinka sitä käytetään tiettyjen ongelmien ratkaisemisessa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aluksi meidän on muistettava yksi aksiooma, joka kuulostaa tältä:

Määritelmä 1

Jos kolme pistettä eivät ole yhteensopivia toistensa kanssa eivätkä ole yhdellä suoralla, niin kolmiulotteisessa avaruudessa vain yksi taso kulkee niiden läpi.

Toisin sanoen, jos meillä on kolme erilaista pistettä, joiden koordinaatit eivät täsmää ja joita ei voida yhdistää suoralla, voimme määrittää sen läpi kulkevan tason.

Oletetaan, että meillä on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä. Merkitään se O x y z . Se sisältää kolme pistettä M, joiden koordinaatit M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3), joita ei voida yhdistää suoraan linja. Näiden ehtojen perusteella voimme kirjoittaa tarvitsemamme tason yhtälön. Tämän ongelman ratkaisemiseksi on kaksi lähestymistapaa.

1. Ensimmäinen lähestymistapa käyttää yleinen yhtälö lentokoneita. Kirjaimellisessa muodossa se kirjoitetaan muodossa A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Sen avulla voit asettaa suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään tietyn tason alfan, joka kulkee ensimmäisen annetun pisteen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) kautta. Osoittautuu, että normaalitasovektorilla α on koordinaatit A , B , C .

Sanan N määritelmä

Kun tiedämme normaalivektorin koordinaatit ja sen pisteen koordinaatit, jonka kautta taso kulkee, voimme kirjoittaa muistiin tämän tason yleisen yhtälön.

Tästä jatketaan eteenpäin.

Näin ollen meillä on tehtävän ehtojen mukaan halutun pisteen koordinaatit (jopa kolme), jonka läpi taso kulkee. Yhtälön löytämiseksi sinun on laskettava sen normaalivektorin koordinaatit. Merkitse sitä n → .

Muista sääntö: mikä tahansa tietyn tason nollasta poikkeava vektori on kohtisuorassa saman tason normaalivektoria vastaan. Sitten on, että n → on kohtisuorassa alkupisteistä M 1 M 2 → ja M 1 M 3 → muodostuviin vektoreihin nähden. Tällöin voidaan merkitä n → vektorituloksi muotoa M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Koska M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ja M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (näiden yhtälöiden todisteet annetaan artikkelissa, joka on omistettu vektorin koordinaattien laskemiseen pisteiden koordinaateista), niin käy ilmi, että:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Jos laskemme determinantin, saamme tarvitsemamme normaalivektorin n → koordinaatit. Nyt voimme kirjoittaa yhtälön, jonka tarvitsemme tasolle, joka kulkee kolmen läpi annettuja pisteitä.

2. Toinen tapa löytää yhtälö, joka kulkee M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3, z 3) kautta on perustuu sellaiseen käsitteeseen kuin vektorien komplanaarisuus.

Jos meillä on joukko pisteitä M (x, y, z) , niin suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa ne määrittelevät tason annetuille pisteille M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2, y) 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ) vain jos vektorit M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) ja M1M3  → = (x3-x1, y3-y1, z3-z1) ovat samantasoisia.

Kaaviossa se näyttää tältä:

Tämä tarkoittaa, että vektorien M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → sekatulo on yhtä suuri kuin nolla: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , koska tämä on pääehto vertailukelpoisuudelle: M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z2-z1) ja M1M3  → = (x3-x1, y3-y1, z3-z1).

Kirjoitamme tuloksena olevan yhtälön koordinaattimuodossa:

Kun olemme laskeneet determinantin, saamme tarvitsemamme tason yhtälön kolmelle pisteelle, jotka eivät ole yhdellä suoralla M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M3 (x 3, y 3, z 3).

Tuloksena olevasta yhtälöstä voit siirtyä tason yhtälöön segmenteissä tai tason normaaliyhtälöön, jos tehtävän ehdot niin vaativat.

Seuraavassa kappaleessa annamme esimerkkejä siitä, kuinka esittämiämme lähestymistapoja toteutetaan käytännössä.

Esimerkkejä tehtävistä 3 pisteen läpi kulkevan tason yhtälön laatimiseksi

Aiemmin tunnistimme kaksi lähestymistapaa, joita voidaan käyttää halutun yhtälön löytämiseen. Katsotaanpa, miten niitä käytetään ongelmanratkaisussa ja milloin kukin niistä kannattaa valita.

Esimerkki 1

On kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla, ja niiden koordinaatit M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Kirjoita yhtälö niiden läpi kulkevalle tasolle.

Ratkaisu

Käytämme molempia menetelmiä vuorotellen.

1. Etsi kahden tarvitsemamme vektorin koordinaatit M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Nyt laskemme niiden vektoritulon. Tässä tapauksessa emme kuvaa determinantin laskelmia:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Meillä on tason normaalivektori, joka kulkee kolmen vaaditun pisteen kautta: n → = (- 5 , 30 , 2) . Seuraavaksi meidän on otettava yksi pisteistä, esimerkiksi M 1 (- 3 , 2 , - 1) , ja kirjoitettava yhtälö tasolle, jonka vektori on n → = (- 5 , 30 , 2) . Saamme, että - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Tämä on tarvitsemamme tason yhtälö, joka kulkee kolmen pisteen läpi.

2. Käytämme erilaista lähestymistapaa. Kirjoitetaan yhtälö tasolle, jossa on kolme pistettä M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) seuraavalla lomakkeella:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Täällä voit korvata tietoja ongelman tilasta. Koska x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, lopulta saamme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 v + 2 z - 73

Saimme tarvitsemamme yhtälön.

Vastaus:- 5x + 30v + 2z - 73 .

Mutta entä jos annetut pisteet ovat edelleen samalla suoralla ja meidän on laadittava niille tasoyhtälö? Tässä on heti sanottava, että tämä ehto ei ole täysin oikea. Tällaisten pisteiden läpi voi kulkea äärettömän monta tasoa, joten on mahdotonta laskea yhtä vastausta. Tarkastellaanpa tällaista ongelmaa todistaaksemme tällaisen kysymyksen muotoilun virheellisyyden.

Esimerkki 2

Meillä on 3D-avaruudessa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, joka sisältää kolme pistettä, joiden koordinaatit ovat M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . On tarpeen kirjoittaa yhtälö sen läpi kulkevalle tasolle.

Ratkaisu

Käytämme ensimmäistä menetelmää ja aloitamme laskemalla kahden vektorin M 1 M 2 → ja M 1 M 3 → koordinaatit. Lasketaan niiden koordinaatit: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektoritulo on yhtä suuri kuin:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Koska M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , niin vektorimme ovat kollineaarisia (lue niitä koskeva artikkeli uudelleen, jos unohdit tämän käsitteen määritelmän). Siten alkupisteet M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) ovat samalla suoralla, ja ongelmallamme on äärettömästi vastaus moniin vaihtoehtoihin.

Jos käytämme toista menetelmää, saamme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 v + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Tuloksena olevasta yhtälöstä seuraa myös, että annetut pisteet M 1 (5 , - 8 , - 2 ), M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 ( - 1 , 1 , 1) ovat samalla suoralla.

Jos haluat löytää ainakin yhden vastauksen tähän ongelmaan sen loputtomasta joukosta, sinun on noudatettava näitä vaiheita:

1. Kirjoita suoran M 1 M 2, M 1 M 3 tai M 2 M 3 yhtälö (katso tarvittaessa materiaalia tästä toimenpiteestä).

2. Otetaan piste M 4 (x 4 , y 4 , z 4 ), joka ei ole suoralla M 1 M 2 .

3. Kirjoita muistiin tason yhtälö, joka kulkee kolmen eri pisteen M 1 , M 2 ja M 4 kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Olkoon tarpeen löytää yhtälö tasolle, joka kulkee kolmen tietyn pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Merkitsemällä niiden sädevektorit merkillä ja nykyistä sädevektoria saamme helposti halutun yhtälön vektorimuodossa. Itse asiassa vektorien , täytyy olla samassa tasossa (ne kaikki sijaitsevat halutussa tasossa). Siksi näiden vektorien vektori-skalaaritulon on oltava nolla:

Tämä on kolmen tietyn pisteen läpi kulkevan tason yhtälö vektorimuodossa.

Kääntyen koordinaatteihin, saamme yhtälön koordinaatteina:

Jos kolme annettua pistettä ovat samalla suoralla, vektorit olisivat kollineaarisia. Siksi yhtälön (18) determinantin kahden viimeisen rivin vastaavat elementit olisivat verrannollisia ja determinantti olisi identtisesti yhtä suuri kuin nolla. Siksi yhtälöstä (18) tulisi identiteetti kaikille x:n, y:n ja z:n arvoille. Geometrisesti tämä tarkoittaa, että jokaisen avaruuden pisteen läpi kulkee taso, jossa on myös kolme annettua pistettä.

Huomautus 1. Sama ongelma voidaan ratkaista ilman vektoreita.

Merkitään kolmen annetun pisteen koordinaatit, vastaavasti, kirjoitamme minkä tahansa ensimmäisen pisteen läpi kulkevan tason yhtälön:

Halutun tason yhtälön saamiseksi on edellytettävä, että yhtälö (17) täyttyy kahden muun pisteen koordinaateista:

Yhtälöistä (19) on tarpeen määrittää kahden kertoimen suhteet kolmanteen ja syöttää löydetyt arvot yhtälöön (17).

Esimerkki 1. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle.

Ensimmäisen näistä pisteistä kulkevan tason yhtälö on:

Edellytykset tason (17) kulkemiselle kahden muun pisteen ja ensimmäisen pisteen kautta ovat:

Lisäämällä toisen yhtälön ensimmäiseen, saamme:

Korvaamalla toisen yhtälön, saamme:

Korvaamalla yhtälöön (17) A:n, B:n, C:n sijaan 1, 5, -4 (niihin verrannolliset luvut), saamme:

Esimerkki 2. Kirjoita yhtälö tasolle, joka kulkee pisteiden (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) kautta.

Minkä tahansa pisteen (0, 0, 0) läpi kulkevan tason yhtälö on]

Edellytykset tämän tason kulkemiselle pisteiden (1, 1, 1) ja (2, 2, 2) läpi ovat:

Pienentämällä toista yhtälöä kahdella, näemme, että kahden tuntemattoman määrittämiseksi suhteella on yksi yhtälö

Täältä saamme. Korvaamalla nyt tasoyhtälöön sen arvon sijaan, löydämme:

Tämä on halutun tason yhtälö; se riippuu mielivaltaisesta

suuret B, C (eli suhteesta eli kolmen tietyn pisteen kautta kulkevia tasoja on ääretön määrä (kolme annettua pistettä on yhdellä suoralla).

Huomautus 2. Ongelma piirtää taso kolmen tietyn pisteen läpi, jotka eivät ole yhdellä suoralla, on helppo ratkaista yleisnäkymä jos käytät determinantteja. Itse asiassa, koska yhtälöissä (17) ja (19) kertoimet A, B, C eivät voi olla yhtä aikaa yhtä suuret kuin nolla, niin nämä yhtälöt ovat homogeeninen järjestelmä kolmella tuntemattomalla A, B, C kirjoitetaan tähän järjestelmään välttämätön ja riittävä ehto nollasta poikkeavan ratkaisun olemassaololle (osa 1, luku VI, § 6):

Laajentamalla tätä determinanttia ensimmäisen rivin elementeillä saadaan ensimmäisen asteen yhtälö nykyisten koordinaattien suhteen, joka täyttyy erityisesti kolmen annetun pisteen koordinaateista.

Tämä jälkimmäinen voidaan myös todentaa suoraan, jos korvaamme minkä tahansa näistä pisteistä koordinaatit determinantilla kirjoitetun yhtälön sijaan. Vasemmalla puolella saadaan determinantti, jossa joko ensimmäisen rivin alkiot ovat nolla tai kaksi identtistä riviä. Näin ollen muotoiltu yhtälö edustaa tasoa, joka kulkee kolmen annetun pisteen läpi.